1
第 13讲程向红典型环节的极坐标图奈奎斯特稳定判据对数稳定判据和稳定裕度
2
第 5章 线性系统的频域分析法
Frequency-response analysis
频域分析法频率特性及其表示法典型环节的频率特性稳定裕度和判据频率特性指标应用频率特性研究线性系统的经典方法称为频域分析法。
3
5.2.5最小相位系统与非最小相位系统
Minimum phase systems and non-minimum phase systems
最小相位传递函数非最小相位传递函数在右半 s平面内既无极点也无零点的传递函数在 右半 s平面内有极点和（或）零点的传递函数最小相位系统非最小相位系统具有最小相位 传递函数的系统具有非最小相位传递函数的系统请看例子
4
5.2.7 系统类型与对数幅值之间的关系考虑单位反馈控制系统。静态位置、速度和加速度误差常数分别描述了 0型,1型和 2型系统的 低频特性 。
当 趋近于零时，回路增益越高，有限的静态误差常值就越大。
对于给定的系统，只有静态误差常数是有限值，才有意义。
系统的类型确定了低频时对数幅值曲线的斜率。
因此，对于给定的输入信号，控制系统是否存在稳态误差，以及稳态误差的大小，都可以从观察对数幅值曲线的低频区特性予以确定。
5
静态位置误差常数的确定
+
-
R ( s ) E ( s ) C ( s )
)( sG
图 5-21单位反馈控制系统假设系统的开环传递函数为
)1()1)(1(
)1()1)(1()(
21
21
sTsTsTs
sTsTsTKsG
n
m
)1()1)(1()(
)1()1)(1()(
21
21
jTjTjTj
jTjTjTKjG
n
m
)(?jG 在低频段等于 pK,即
pKjG )(lim 0
6
10
-1
10
0
10
1
- 4 0
- 3 0
- 2 0
- 1 0
0
10
20
30
2 0 l o g K
- 2 0 d B / d e c
- 4 0 d B / d e c
图 5-22 某一 0型系统对数幅值曲线
)12.0)(1(
15)(
sssG
cf3_dB=-30.4575749
cf1_dB=23.5218252
cf2_dB=9.5424251
7
图 5-23为一个 1型系统对数幅值曲线的例子。
decdB /20? 的起始线段 /或其延长线，与 1
的直线的交点具有的幅值为
vKlo g20
静态速度误差常数的确定在 1型系统中
1,)( jKjG v
斜率为证明
vv Kj
K lo g20lo g20
11
斜率为 decdB /20?
其延长线与 0分贝线的交点的频率在数值上等于
vK设交点上的频率为
1?
1
1
jKv
1vK
的起始线段 /或证明
8
10
0
10
1
10
2
- 4 0
- 3 0
- 2 0
- 1 0
0
10
20
30
- 2 0 d B / d e c
- 4 0 d B / d e c
1?
2?
3?
2?
9
10
0
10
1
10
2
- 4 0
- 3 0
- 2 0
- 1 0
0
10
20
30
- 2 0 d B / d e c
- 4 0 d B / d e c
1?
2?
3?
2?
图 5-23 某个 1型系统对数幅值曲线
)1()( Tss
KsG
转角频率为 2? 斜率为
decdB /40?
与 /或其延长线与 0分贝线的交点为
3?
的直线
T
1
2
，
T
K?2
3?
，
KK v1?
由此得到
2321
2
3
3
1
在伯德图上 2331 l o gl o gl o gl o g
3?
点恰好是 2? 点与 1? 点的中点
10
静态加速度误差常数的确定斜率为 d ecdB /40?
的起始线段 /或其
1
的直线的交点具有的幅值为
aKlo g20
)( 对数坐标?
dB
d e cdB /40?
d e cdB /60?
d e cdB /20?
1
0
aa
K
图 5-24 某 2型系统对数幅值曲线延长线，与
1,)()( 2 jKjG a
a
a K
j
K l o g20
)(l o g20 12
证明
11
)( 对数坐标?
dB
d e cdB /40?
d e cdB /60?
d e cdB /20?
1
0
aa
K
图 5-24 某 2型系统对数幅值曲线斜率为 d ecdB /40?
的起始线段 /或其延长线与
0分贝线的交点的频率为
a? 在数值上等于 aK
的平方根证明
01l o g20)(l o g20 2
a
a
j
K
aa K
12
5.3极坐标图 (Polar plot)，幅相频率特性曲线，奈奎斯特曲线
)(?jG 可用幅值 )(?jG 和相角 )(
的向量表示。当输入信号的频率?
由零变化到无穷大时，向量 )(?jG
的幅值和相位也随之作相应的变化，
其端点在复平面上移动的轨迹称为极坐标图。
在极坐标图上，正 /负相角是从正实轴开始，以逆时针 /顺时针旋转来定义的
13
-3 -2 -1 0 1 2 3
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
R e a l A x i s
I
m
a
g
A
x
i
s
图 5-25 极坐标图
)](Im[?jG
)](Re[?jG
)(?jG
)(
1?
2?
3?
Im
Re
0
但它不能清楚地表明开环传递函数中每个因子对系统的具体影响采用极坐标图的优点是它能在一幅图上表示出系统在整个频率范围内的频率响应特性。
14
5.3.1积分与微分因子
11)( j
jjG
所以
jjG
1)(?
的极坐标图是负虚轴。
jjG?)(
的极坐标图是正虚轴。
N y q u i s t D i a g r a m
R e a l A x i s
I
m
a
g
i
n
a
r
y
A
x
i
s
-3 -2 -1 0 1 2 3
-5
- 4,5
-4
- 3,5
-3
- 2,5
-2
- 1,5
-1
- 0,5
0
图 5-26 积分因子极坐标图
901?
90?
jjG?)(
0
15
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R e a l A x i s
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m
a
g
i
n
a
r
y
A
x
i
s
-3 -2 -1 0 1 2 3
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
4,5
5
图 5-27 微分因子极坐标图
0
16
5.3.2一阶因子
TjjG 1
1)(
01)0( jG
4521)1( TjG
N y q u i s t D i a g r a m
R e a l A x i s
I
m
a
g
i
n
a
r
y
A
x
i
s
- 1,5 -1 - 0,5 0 0,5 1 1,5
-3
- 2,5
-2
- 1,5
-1
- 0,5
0
图 5-28 一阶因子
jjG 1
1)( 极坐标图
Ta r c tg
T
2
)(1
1
0
1 8 00)( jG
T
1
)(?jG
17
N y q u i s t D i a g r a m
R e a l A x i s
I
m
a
g
i
n
a
r
y
A
x
i
s
-3 -2 -1 0 1 2 3
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
4,5
5
图 5-29 一阶因子 jjG 1)( 极坐标图
18
5.3.3二阶因子
0,
)()(21
1)(
2
nn
jj
jG
01)0( jG
1 8 00)( jG
)(?jG
的高频部分与负实轴相切。极坐标图的精确形状与阻尼比有关，
但对于欠阻尼和过阻尼的情况，极坐标图的形状大致相同。
N y q u i s t D i a g r a m
R e a l A x i s
I
m
a
g
i
n
a
r
y
A
x
i
s
-3 -2 -1 0 1 2 3
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
n
0
图 5-30 二阶因子极坐标图
19
对于欠阻尼
n 时
2
1)(
jjG n?
相角
90)(?jG
的轨迹与虚轴交点处的频率，就是无阻尼自然频率
n?
极坐标图上，距原点最远的频率点，
相应于谐振频率
r?
这时 )(?jG
可以用谐振频率
r?
处的向量幅值，与 0 处向量幅值之比来确定。
当
N y q u i s t D i a g r a m
R e a l A x i s
I
m
a
g
i
n
a
r
y
A
x
i
s
-3 -2 -1 0 1 2 3
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
n
0
的峰值
20
过阻尼情况
增加到远大于 1时，
)(?jG 的轨迹趣近于半圆。这是因为对于强阻尼系统，特征方程的根为实根，并且其中一个根远小于另一个根。对于足够大的? 值，比较大的一个根对系统影响很小，因此系统的特征与一阶系统相似。
当
21
N y q u i s t D i a g r a m
R e a l A x i s
I
m
a
g
i
n
a
r
y
A
x
i
s
-3 -2 -1 0 1 2 3
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1.0
22
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R e a l A x i s
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m
a
g
i
n
a
r
y
A
x
i
s
-3 -2 -1 0 1 2 3
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
2.0
1.0
23
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g
i
n
a
r
y
A
x
i
s
-3 -2 -1 0 1 2 3
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
2.0
1.0
3.0
24
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a
g
i
n
a
r
y
A
x
i
s
-3 -2 -1 0 1 2 3
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
2.0
1.0
3.0
4.0
25
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a
g
i
n
a
r
y
A
x
i
s
-3 -2 -1 0 1 2 3
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
2.0
1.0
3.0
4.0
2
26
对于
2)()(21)(
nn
jjjG
)2()1( 22
nn
j
极坐标图的低频部分为：
01)0( jG
极坐标图的高频部分为：
1 8 0)( jG
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a
g
in
a
r
y
A
x
is
-3 -2 -1 0 1 2 3
0
1
2
3
4
5
6
图 5-31 二阶因子 2)()(21
nn
jj
极坐标图
27
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g
i
n
a
r
y
A
x
i
s
-3 -2 -1 0 1 2 3
0
1
2
3
4
5
6
图 5-31 二阶因子 2)()(21
nn
jj
极坐标图
28
例 5-2 考虑下列二阶传递函数：
)1(
1)(
TsssG
试画出这个传递函数的极坐标图。
解：
)1(
1)(
TjjjG
Ta r c t g
TTjj
jG?
90
)(1
1
)1(
1)(
2
极坐标图的低频部分为：
90)0( jG
极坐标图的高频部分为：
1 8 00)( jG
29
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g
i
n
a
r
y
A
x
i
s
-3 -2 -1 0 1 2 3
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
图 5-32 )1( 1 Tjj 极坐标图
30
5.3.4 传递延迟
Re
Im
0
1
0
TjejG)( TjTjG s i nco s1)( Re
Im
0
Tj1
1?
Tj
e
低频区当
T
1 时，
Tje Tj 1
TjTj 11 1
当
T
1 两者存在本质的差别低频时传递延迟与一阶环节的特性相似时
31
5.3.5 极坐标图的一般形状
Re
Im
0
型系统0
型系统1
型系统2
0
0
0
)1()1)(1()(
)1()1)(1()(
21
21
jTjTjTj
jjjKjG
n
m
mn?
0 0型系统：极坐标图的起点
0 是一个位于正实轴的有限值
极坐标图曲线的终点位于坐标原点，并且这一点上的曲线与一个坐标轴相切。
1 1型系统,90 的相角是
j
极坐标是一条渐近于平行与虚轴的直线的线段
幅值为零，且曲线收敛于原点，且曲线与一个坐标轴相切。
在总的相角中 项产生的
0
32
2
在总相角中180 的相角是由
2)(?j 项产生的
2型系统：
Re
0
1 mn
2 mn
3 mn
图 5-34b高频区域内的极坐标图如果 )(?jG 的分母多项式阶次
)(?jG 的轨迹将沿者顺时针方向收敛于原点
时,)(?jG 轨迹将与实轴或虚轴相切高于分子多项式阶次，那么当
33
5.4对数幅 -相图 (Nichols Chart)尼柯尔斯图
N i c h o l s C h a r t
O p e n - L o o p P h a s e ( d e g )
O
p
e
n
-
L
o
o
p
G
a
in
(
d
B
)
- 1 8 0 - 1 3 5 - 9 0 - 4 5 0
- 5 0
- 4 0
- 3 0
- 2 0
- 1 0
0
10
20
图 5-34 二阶因子对数幅 -相图
34
5.5奈奎斯特稳定判据
(Nyquist Stability Criterion)
C ( s )R ( s )
G ( s )
H ( s )
图 3-35 闭环系统闭环传递函数为
)()(1
)(
)(
)(
sGsH
sG
sR
sC
为了保证系统稳定，特征方程 0)()(1 sGsH
的全部根，都必须位于左半 s平面。
)()( sGsH
的极点和零点可能位于右半 s平面，
但如果 闭环传递函数的所有极点均位于 左半 s平面，则 系统 是稳定的。
虽然开环传递函数充要条件
35
奈奎斯特稳定判据正是将开环频率响应
)()( jGjH 与 )()(1 sGsH?
在右半 s平面内的零点数和极点数联系起来的判据。这种方法无须求出闭环极点，得到广泛应用。
由解析的方法和实验的方法得到的开环频率特性曲线，均可用来进行稳定性分析奈奎斯特稳定判据是建立在复变函数理论中的图形影射基础上的假设开环传递函数 )()( sGsH
可以表示成 s的多项式之比。对于物理上可实现的系统，闭环传递函数的分母多项式的阶数必须大于或等于分子多项式的阶数，这表明，当 s趋于无穷大时，任何物理上可实现系统的
)()( sGsH 的极限，或趋于零，或趋于常数。
36
5.5.1 预备知识
0)()(1)( sGsHsF
可以证明，对于 S平面上给定的一条不通过任何奇点的连续封闭曲线，在 )(sF 平面上必存在一条封闭曲线与之对应。
)(sF 平面上的原点被封闭曲线包围的次数和方向，在下面的讨论中具有特别重要的意义。我们将包围的次数和方向与系统的稳定性联系起来。
例如考虑下列开环传递函数：
37
)2)(1(
6)()(
sssGsH
其特征方程为：
)2)(1(
61)()(1)(
sssGsHsF 0)2)(1(
)4.25.1)(4.25.1(?
ss
jsjs
函数 )(sF 在 s平面内除了奇点外处处解析。对于 s平面上的每一个解析点，
)(sF 平面上必有一点与之对应
21 js,则
)(sF 为：
577.0115.1)23)(22( 61)21( jjjjF
这样，对于 s平面上给定的连续封闭轨迹，只要它不通过任何奇点，在 )(sF 平面上就必有一个封闭曲线与之对应。
例如
38
-1 0 1 2 3 4
-1
- 0,5
0
0,5
1
1,5
2
-4 -3 -2 -1 0 1
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
1,4
1,6
1,8
2
A
B
C
D
A 1
B1
C 1
D1
Im
Re
j平面s 平面)(sF
图 5-36 s平面上的图形在 平面上的变换
)(sF
上半 s平面内的直线 1,3 和 2
在 )(sF 平面上的变换
39
-3 -2 -1 0 1
-2
- 1,5
-1
- 0,5
0
0,5
1
1,5
2
-1 0 1 2 3 4
-2
- 1,5
-1
- 0,5
0
0,5
1
1,5
2
A
B C
D
E F
A
B C
D
E
F 1
A
B C
D
E F
A 1
B 1
C 1
D 1
E 1
Im
Re
j
平面s
平面)(sF
0
0
当 s平面上的图形包围两个 )(sF 的极点时，
)(sF 的轨迹将 反时针 方向包围 )(sF 平面上原点两次
40
-3 -2 -1 0 1
-3
-2
-1
0
1
2
3
0 1 2 3 4
-2
- 1,5
-1
- 0,5
0
0,5
1
1,5
2
A
A
B
F E
D
C
A1
B1
F1
E1 D1
C1
Re
j平面s 平面)(sFIm
当 s平面上的图形 包围 )(sF 的两个极点和两个零点，
)(sF 的轨迹将不包围原点相应的
41
Im
Re
j平面s 平面)(sF
0
0
如果这个曲线只包围一个零点,相应的 )(sF
的轨迹将 顺时针 包围原点一次,封闭曲线既不包围零点又不包围极点，
)(sF 的轨迹将永远不会包围 )(sF 平面上的原点
42
如果在 s平面上曲线包围 k个零点和 k个极点 (k=0,1,2… )，
)(sF
相应的封闭曲线不包围 )(sF
上述讨论是影射定理的图解说明。奈奎斯特稳定判据正是建立在影射定理的基础上。
即包围的零点数与极点数相同，则在 平面上，
平面上的原点。
43
5.5.2影射定理设 )(sF 为两个 s的多项式之比，并设 P为 )(sF 的极点数,Z为
)(sF 的零点数，它们位于 s平面上的某一封闭曲线内，
)(sF 的任何极点和零点。于是,s平面上的这一封闭曲线影射到
)(sF 平面上，也是一条封闭曲线。当变量 s顺时针通过封闭曲线时
)(sF 平面上，相应的轨迹顺时针包围 )(sF 原点的总次数 R等于 Z-P。
且有多重极点和多重零点的情况。设上述封闭曲线不通过在
44
若 R为正数，表示 )(sF 的零点数超过了极点数；
)(sF 的极点数超过了零点数。
)()( sGsH 很容易确定
)()(1)( sGsHsF 的 P数。因此，如果,)(sF
的轨迹图中确定了 R，则 s平面上 封闭曲线内的零点数若 R为负数，表示在控制系统应用中，由很容易确定。
)(
)()()(
sA
sBsGsH?
)(
)()()()(1)(
sA
sBsAsGsHsF
两者的极点数相同
45
5.5.3影射定理在闭环系统稳定性分析中的应用为了分析线性控制系统的稳定性，令 s平面上的封闭曲线包围整个右半 s平面。这时的封闭曲线由整个
j 轴 (从
到
该封闭曲线为 奈奎斯特轨迹 (轨迹的方向为顺时针方向 )。
因为 奈奎斯特轨迹包围 了整个右半 s平面，所以它包围了
)和右半 s平面上半径为无穷大的半圆轨迹构成
)()(1 sGsH? 的所有正实部的极点和零点 。
)()(1 sGsH?
则不存在闭环极点，因而系统是稳定的。
如果 在右半 s平面不存在零点，
46
平面s
j
0
图 5-37 s平面内的封闭曲线
Re
Im
平面GH?1
)()(1 jHjG?
10
Re
Im
0
)()(1 jHjG? )()( jHjG
1?
平面GH
曲线对原点的包围，恰等于
)()( jGjH
)()(1 jGjH?
轨迹对 -1+j0点的包围
47
这一判据可表示为,PRZ
Z 函数 )()(1)( sGsHsF 在右半 s平面内的零点数
R 对 -1+j0点顺时针包围的次数
P 函数 )()( sGsH
如果 P不等于零，对于稳定的控制系统，必须 0?Z 或
PR,这意味着必须反时针方向包围 -1+j0点 P次。
5.5.5关于奈奎斯特稳定判据的几点说明式中在右半 s平面内的极点数如果 函数 )()( sGsH 在右半 s平面内无任何极点，则 RZ?
因此，为了保证系统稳定，
)()( jHjG
的轨迹必须不包围 -1+j0点。
48
5.5.6 )()( sHsG 含有位于?j 上极点和 /或零点的特殊情况平面s
j
0j
0j
j
j
1
A
B
C
平面GH
Re
Im
'''
,,FED
F
E
D
'
A
'
B
'
C
0?
0?
变量
s
沿着?j 轴从j 运动到?0j
，从?0j 到?0j,变量
s
沿着半径为
1 ）的半圆运动，再沿着正?j 轴从?0j
运动到?j（
)1()()( Tss
KsHsG
49
对于包含因子?,3,2,1s 的开环传递函数 )()( sGsH
，当变量 s沿半径为? ( 1 )的半圆运动时,)()( sGsH
的图形中将有? 个半径为无穷大的顺时针方向的半圆环绕原点。例如，
考虑开环传递函数：
)1()()( 2 Tss
KsHsG
jes
j
es e
KsHsG
j
22)()(lim?
当 s平面上的
9090? 时,)()( sGsH 的相角 180180
50
平面s
j
0j
0j
j
j
1
A
B
C
平面GH
Re
Im
F
E
D
0?
0?
1?
在右半 s平面内没有极点，并且对所有的正 K值，轨迹包围
01 j 点两次。所以函数 )()(1 sGsH?
在右半 s平面内存在两个零点。因此，系统是不稳定的。
51
如果在 s平面内，奈奎斯特轨迹包含 )()(1 sGsH?
和 P个极点，并且当 s变量顺时针沿奈奎斯特轨迹运动时，不
)()(1 sGsH? 通过的任何极点或零点，则在 )()( sGsH
平面上相对应的曲线将沿顺时针方向包围 01 j 点
PZR 次（负 R值表示反时针包围 01 j 点）。
5.6稳定性分析的 Z个零点
a)不包围 -1+j0 如果这时 )()( sGsH
在右半 s平面内没有极点，说明系统是稳定的；否则，系统是不稳定的。
点。如果反时针方向包围的次数，等于
)()( sGsH 在右半 s平面内没有极点数，则系统是稳定的；否则系统是不稳定的。
点。系统是不稳定的。c)顺时针包围 -1+j0
b)反时针包围 -1+j0
52
例 5-3 设闭环系统的开环传递函数为：
)1)(1()()( 21 sTsT
KsGsH
)()( jGjH 的轨迹如图 5-41所示。
)()( sGsH 在右半 s平面内没有任何极点，并且
)()( jGjH 的轨迹 不包围 01 j
，所以对于任何的值，该系统都是稳定的。
53
N y q u i s t D i a g r a m
R e a l A x i s
I
m
a
g
i
n
a
r
y
A
x
i
s
-1 - 0,8 - 0,6 - 0,4 - 0,2 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1
- 0,6
- 0,4
- 0,2
0
0,2
0,4
0,6
图 5-41 例 5-3中的 )()( jGjH 极坐标图
54
例 5-4 设系统具有下列开环传递函数：
)1)(1()()( 21 sTsTs
KsGsH
试确定以下两种情况下，系统的稳定性,?增益 K较小?增益 K较大。
平面GH
Re
Im
0?
0?
1?
0
0
0
Z
R
P?
平面GH
Re
Im
0?
0?
1?
2
2
0
Z
R
P
jjjj 00
小 K值时是稳定的 大 K值时是不稳定的
55
例 5-5 设开环传递函数为：
)1(
)1()()(
12
2
sTs
sTKsGsH
该系统的闭环稳定性取决于
1T
和 2T
相对大小。试画出该系统的奈奎斯特图，并确定系统的稳定性。
Re
Im
0?
0?
1?
21
TT?
平面GH
平面GH
Re
Im
0?
0?
1?
21
TT?
点矢量穿过 01)()( jjHjG
21 TT? )()( sGsH
的轨迹不包围
01 j
系统是稳定的
21 TT? )()( sGsH
的轨迹通过 01 j
点，这表明闭环极点位于 轴上
j
56
平面GH
Re
Im
0?
0?
1?
21
TT?
21 TT? )()( sGsH
的轨迹顺时针方向包围 01 j
点两次，因此系统有两个闭环极点位于右半 s平面，系统是不稳定的。
57
例 5-6 设一个闭环系统具有下列
)1()()( Tss
KsHsG
试确定该闭环系统的稳定性。
平面GH
Re
Im
1?
0?
0?
开环传递函数：
)()( sGsH
在右半 s平面内有一个极点 (
Ts 1?
)，因此1?P
。图 5-44中的奈奎斯特图表明，
)()( sGsH
轨迹顺时针方向包围 01 j 点一次，因此，1?R 。因为
2 PRZ。这表明闭环系统有两个极点在右半 s平面，因此系统是不稳定的。
58
)1()()( Tjj
KjHjG
)1( Tj )1( Tjj
K
)1( Tj
))(1( 2Tj
K
))(1( )1( 2Tj TjK
2)(1
)1(
Tj
TjK
a rc tg 90
0? 0,
0?
0,
2)(1
)1(
Tj
TjK
ar c tg90
)1( Tj
59
例 5-7 设一个闭环系统具有下列开环传递函数：
试确定该闭环系统的稳定性。
1,)1( )3()()( Kss sKsHsG
平面GH
Re
Im
0?
0?
1?
图 5-45 例 5-7中的 )()( jGjH
极坐标图
)()( sGsH
在右半 s平面内有一个极点 (
1?s
)，因此1?P
。开环系统是不稳定的。图 5-45表明
)()( sGsH
轨迹逆时针方向包围 01 j
点一次，因此，
1R
因为 0 PRZ
，这说明)()(1 sGsH?
没有零点位于右半 s平面内，闭环系统闭环系统是稳定的。这是一个开环系统不稳定，但是回路闭合后，变成稳定系统的例子。
60
5.7.2相位裕度和增益裕度
Re
Im
0
1?
平面G
大时K
小时K
图 5-46
))1()1)(1(()(
)1()1)(1()(
21
21
jTjTjTj
jTjTjTKjG
n
m
mn?
的极坐标图对于大的 K值，系统是不稳定的。当增益减小到一定值时，
)(?jG
的轨迹通过
01 j
点。对于小的 K值，系统是稳定的。
)(?jG
的 轨迹对
01 j
点的靠近程度，可以用来度量稳定裕量 (对条件稳定系统不适用 )。在实际系统中常用相位裕量和增益裕量表示。
61
相位裕度、相角裕度 (Phase Margin)
设系统的截止频率 (Gain cross-over frequency)为
c?
1)()()( ccc jHjGjA定义相角裕度为
)()(180 cc jHjG
相角裕度的含义是，对于闭环稳定系统，如果开环相频特性再滞后
度，则系统将变为临界稳定。
62
增益裕度、幅值裕度 (Gain Margin)
h设系统的穿越频率 (Phase cross-over frequency)
)12()()()( kjHjG xxx
，
,1,0k定义幅值裕度为
)()( 1 xx jHjGh
幅值裕度
h
的含义是，对于闭环稳定系统，如果系统开环幅频特性再增大
h
倍，则系统将变为临界稳定状态。
)()(lo g20 xx jHjGh
63
Re
Im
h
1
PlaneG
Positive
Gain Margin
Positive
Phase Margin
-1
1
Re
Im
h
1
PlaneG
Negative
Gain Margin
Negative
Phase Margin
-1
1
Stable System Unstable System
)(?jG
)(?jG
64
Log
Log
Log
Log
90
270
180
Positive
Gain Margin
Positive
Phase Margin
Negative
Gain Margin
Negative
Phase Margin
Stable System Unstable System
0
dB
90
270
180
0
dB
65
谢谢！
结束
第 13讲程向红典型环节的极坐标图奈奎斯特稳定判据对数稳定判据和稳定裕度
2
第 5章 线性系统的频域分析法
Frequency-response analysis
频域分析法频率特性及其表示法典型环节的频率特性稳定裕度和判据频率特性指标应用频率特性研究线性系统的经典方法称为频域分析法。
3
5.2.5最小相位系统与非最小相位系统
Minimum phase systems and non-minimum phase systems
最小相位传递函数非最小相位传递函数在右半 s平面内既无极点也无零点的传递函数在 右半 s平面内有极点和（或）零点的传递函数最小相位系统非最小相位系统具有最小相位 传递函数的系统具有非最小相位传递函数的系统请看例子
4
5.2.7 系统类型与对数幅值之间的关系考虑单位反馈控制系统。静态位置、速度和加速度误差常数分别描述了 0型,1型和 2型系统的 低频特性 。
当 趋近于零时，回路增益越高，有限的静态误差常值就越大。
对于给定的系统，只有静态误差常数是有限值，才有意义。
系统的类型确定了低频时对数幅值曲线的斜率。
因此，对于给定的输入信号，控制系统是否存在稳态误差，以及稳态误差的大小，都可以从观察对数幅值曲线的低频区特性予以确定。
5
静态位置误差常数的确定
+
-
R ( s ) E ( s ) C ( s )
)( sG
图 5-21单位反馈控制系统假设系统的开环传递函数为
)1()1)(1(
)1()1)(1()(
21
21
sTsTsTs
sTsTsTKsG
n
m
)1()1)(1()(
)1()1)(1()(
21
21
jTjTjTj
jTjTjTKjG
n
m
)(?jG 在低频段等于 pK,即
pKjG )(lim 0
6
10
-1
10
0
10
1
- 4 0
- 3 0
- 2 0
- 1 0
0
10
20
30
2 0 l o g K
- 2 0 d B / d e c
- 4 0 d B / d e c
图 5-22 某一 0型系统对数幅值曲线
)12.0)(1(
15)(
sssG
cf3_dB=-30.4575749
cf1_dB=23.5218252
cf2_dB=9.5424251
7
图 5-23为一个 1型系统对数幅值曲线的例子。
decdB /20? 的起始线段 /或其延长线，与 1
的直线的交点具有的幅值为
vKlo g20
静态速度误差常数的确定在 1型系统中
1,)( jKjG v
斜率为证明
vv Kj
K lo g20lo g20
11
斜率为 decdB /20?
其延长线与 0分贝线的交点的频率在数值上等于
vK设交点上的频率为
1?
1
1
jKv
1vK
的起始线段 /或证明
8
10
0
10
1
10
2
- 4 0
- 3 0
- 2 0
- 1 0
0
10
20
30
- 2 0 d B / d e c
- 4 0 d B / d e c
1?
2?
3?
2?
9
10
0
10
1
10
2
- 4 0
- 3 0
- 2 0
- 1 0
0
10
20
30
- 2 0 d B / d e c
- 4 0 d B / d e c
1?
2?
3?
2?
图 5-23 某个 1型系统对数幅值曲线
)1()( Tss
KsG
转角频率为 2? 斜率为
decdB /40?
与 /或其延长线与 0分贝线的交点为
3?
的直线
T
1
2
，
T
K?2
3?
，
KK v1?
由此得到
2321
2
3
3
1
在伯德图上 2331 l o gl o gl o gl o g
3?
点恰好是 2? 点与 1? 点的中点
10
静态加速度误差常数的确定斜率为 d ecdB /40?
的起始线段 /或其
1
的直线的交点具有的幅值为
aKlo g20
)( 对数坐标?
dB
d e cdB /40?
d e cdB /60?
d e cdB /20?
1
0
aa
K
图 5-24 某 2型系统对数幅值曲线延长线，与
1,)()( 2 jKjG a
a
a K
j
K l o g20
)(l o g20 12
证明
11
)( 对数坐标?
dB
d e cdB /40?
d e cdB /60?
d e cdB /20?
1
0
aa
K
图 5-24 某 2型系统对数幅值曲线斜率为 d ecdB /40?
的起始线段 /或其延长线与
0分贝线的交点的频率为
a? 在数值上等于 aK
的平方根证明
01l o g20)(l o g20 2
a
a
j
K
aa K
12
5.3极坐标图 (Polar plot)，幅相频率特性曲线，奈奎斯特曲线
)(?jG 可用幅值 )(?jG 和相角 )(
的向量表示。当输入信号的频率?
由零变化到无穷大时，向量 )(?jG
的幅值和相位也随之作相应的变化，
其端点在复平面上移动的轨迹称为极坐标图。
在极坐标图上，正 /负相角是从正实轴开始，以逆时针 /顺时针旋转来定义的
13
-3 -2 -1 0 1 2 3
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
R e a l A x i s
I
m
a
g
A
x
i
s
图 5-25 极坐标图
)](Im[?jG
)](Re[?jG
)(?jG
)(
1?
2?
3?
Im
Re
0
但它不能清楚地表明开环传递函数中每个因子对系统的具体影响采用极坐标图的优点是它能在一幅图上表示出系统在整个频率范围内的频率响应特性。
14
5.3.1积分与微分因子
11)( j
jjG
所以
jjG
1)(?
的极坐标图是负虚轴。
jjG?)(
的极坐标图是正虚轴。
N y q u i s t D i a g r a m
R e a l A x i s
I
m
a
g
i
n
a
r
y
A
x
i
s
-3 -2 -1 0 1 2 3
-5
- 4,5
-4
- 3,5
-3
- 2,5
-2
- 1,5
-1
- 0,5
0
图 5-26 积分因子极坐标图
901?
90?
jjG?)(
0
15
N y q u i s t D i a g r a m
R e a l A x i s
I
m
a
g
i
n
a
r
y
A
x
i
s
-3 -2 -1 0 1 2 3
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
4,5
5
图 5-27 微分因子极坐标图
0
16
5.3.2一阶因子
TjjG 1
1)(
01)0( jG
4521)1( TjG
N y q u i s t D i a g r a m
R e a l A x i s
I
m
a
g
i
n
a
r
y
A
x
i
s
- 1,5 -1 - 0,5 0 0,5 1 1,5
-3
- 2,5
-2
- 1,5
-1
- 0,5
0
图 5-28 一阶因子
jjG 1
1)( 极坐标图
Ta r c tg
T
2
)(1
1
0
1 8 00)( jG
T
1
)(?jG
17
N y q u i s t D i a g r a m
R e a l A x i s
I
m
a
g
i
n
a
r
y
A
x
i
s
-3 -2 -1 0 1 2 3
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
4,5
5
图 5-29 一阶因子 jjG 1)( 极坐标图
18
5.3.3二阶因子
0,
)()(21
1)(
2
nn
jj
jG
01)0( jG
1 8 00)( jG
)(?jG
的高频部分与负实轴相切。极坐标图的精确形状与阻尼比有关，
但对于欠阻尼和过阻尼的情况，极坐标图的形状大致相同。
N y q u i s t D i a g r a m
R e a l A x i s
I
m
a
g
i
n
a
r
y
A
x
i
s
-3 -2 -1 0 1 2 3
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
n
0
图 5-30 二阶因子极坐标图
19
对于欠阻尼
n 时
2
1)(
jjG n?
相角
90)(?jG
的轨迹与虚轴交点处的频率，就是无阻尼自然频率
n?
极坐标图上，距原点最远的频率点，
相应于谐振频率
r?
这时 )(?jG
可以用谐振频率
r?
处的向量幅值，与 0 处向量幅值之比来确定。
当
N y q u i s t D i a g r a m
R e a l A x i s
I
m
a
g
i
n
a
r
y
A
x
i
s
-3 -2 -1 0 1 2 3
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
n
0
的峰值
20
过阻尼情况
增加到远大于 1时，
)(?jG 的轨迹趣近于半圆。这是因为对于强阻尼系统，特征方程的根为实根，并且其中一个根远小于另一个根。对于足够大的? 值，比较大的一个根对系统影响很小，因此系统的特征与一阶系统相似。
当
21
N y q u i s t D i a g r a m
R e a l A x i s
I
m
a
g
i
n
a
r
y
A
x
i
s
-3 -2 -1 0 1 2 3
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1.0
22
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m
a
g
i
n
a
r
y
A
x
i
s
-3 -2 -1 0 1 2 3
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
2.0
1.0
23
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g
i
n
a
r
y
A
x
i
s
-3 -2 -1 0 1 2 3
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
2.0
1.0
3.0
24
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g
i
n
a
r
y
A
x
i
s
-3 -2 -1 0 1 2 3
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
2.0
1.0
3.0
4.0
25
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g
i
n
a
r
y
A
x
i
s
-3 -2 -1 0 1 2 3
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
2.0
1.0
3.0
4.0
2
26
对于
2)()(21)(
nn
jjjG
)2()1( 22
nn
j
极坐标图的低频部分为：
01)0( jG
极坐标图的高频部分为：
1 8 0)( jG
N y q u i s t D i a g r a m
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a
g
in
a
r
y
A
x
is
-3 -2 -1 0 1 2 3
0
1
2
3
4
5
6
图 5-31 二阶因子 2)()(21
nn
jj
极坐标图
27
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m
a
g
i
n
a
r
y
A
x
i
s
-3 -2 -1 0 1 2 3
0
1
2
3
4
5
6
图 5-31 二阶因子 2)()(21
nn
jj
极坐标图
28
例 5-2 考虑下列二阶传递函数：
)1(
1)(
TsssG
试画出这个传递函数的极坐标图。
解：
)1(
1)(
TjjjG
Ta r c t g
TTjj
jG?
90
)(1
1
)1(
1)(
2
极坐标图的低频部分为：
90)0( jG
极坐标图的高频部分为：
1 8 00)( jG
29
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g
i
n
a
r
y
A
x
i
s
-3 -2 -1 0 1 2 3
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
图 5-32 )1( 1 Tjj 极坐标图
30
5.3.4 传递延迟
Re
Im
0
1
0
TjejG)( TjTjG s i nco s1)( Re
Im
0
Tj1
1?
Tj
e
低频区当
T
1 时，
Tje Tj 1
TjTj 11 1
当
T
1 两者存在本质的差别低频时传递延迟与一阶环节的特性相似时
31
5.3.5 极坐标图的一般形状
Re
Im
0
型系统0
型系统1
型系统2
0
0
0
)1()1)(1()(
)1()1)(1()(
21
21
jTjTjTj
jjjKjG
n
m
mn?
0 0型系统：极坐标图的起点
0 是一个位于正实轴的有限值
极坐标图曲线的终点位于坐标原点，并且这一点上的曲线与一个坐标轴相切。
1 1型系统,90 的相角是
j
极坐标是一条渐近于平行与虚轴的直线的线段
幅值为零，且曲线收敛于原点，且曲线与一个坐标轴相切。
在总的相角中 项产生的
0
32
2
在总相角中180 的相角是由
2)(?j 项产生的
2型系统：
Re
0
1 mn
2 mn
3 mn
图 5-34b高频区域内的极坐标图如果 )(?jG 的分母多项式阶次
)(?jG 的轨迹将沿者顺时针方向收敛于原点
时,)(?jG 轨迹将与实轴或虚轴相切高于分子多项式阶次，那么当
33
5.4对数幅 -相图 (Nichols Chart)尼柯尔斯图
N i c h o l s C h a r t
O p e n - L o o p P h a s e ( d e g )
O
p
e
n
-
L
o
o
p
G
a
in
(
d
B
)
- 1 8 0 - 1 3 5 - 9 0 - 4 5 0
- 5 0
- 4 0
- 3 0
- 2 0
- 1 0
0
10
20
图 5-34 二阶因子对数幅 -相图
34
5.5奈奎斯特稳定判据
(Nyquist Stability Criterion)
C ( s )R ( s )
G ( s )
H ( s )
图 3-35 闭环系统闭环传递函数为
)()(1
)(
)(
)(
sGsH
sG
sR
sC
为了保证系统稳定，特征方程 0)()(1 sGsH
的全部根，都必须位于左半 s平面。
)()( sGsH
的极点和零点可能位于右半 s平面，
但如果 闭环传递函数的所有极点均位于 左半 s平面，则 系统 是稳定的。
虽然开环传递函数充要条件
35
奈奎斯特稳定判据正是将开环频率响应
)()( jGjH 与 )()(1 sGsH?
在右半 s平面内的零点数和极点数联系起来的判据。这种方法无须求出闭环极点，得到广泛应用。
由解析的方法和实验的方法得到的开环频率特性曲线，均可用来进行稳定性分析奈奎斯特稳定判据是建立在复变函数理论中的图形影射基础上的假设开环传递函数 )()( sGsH
可以表示成 s的多项式之比。对于物理上可实现的系统，闭环传递函数的分母多项式的阶数必须大于或等于分子多项式的阶数，这表明，当 s趋于无穷大时，任何物理上可实现系统的
)()( sGsH 的极限，或趋于零，或趋于常数。
36
5.5.1 预备知识
0)()(1)( sGsHsF
可以证明，对于 S平面上给定的一条不通过任何奇点的连续封闭曲线，在 )(sF 平面上必存在一条封闭曲线与之对应。
)(sF 平面上的原点被封闭曲线包围的次数和方向，在下面的讨论中具有特别重要的意义。我们将包围的次数和方向与系统的稳定性联系起来。
例如考虑下列开环传递函数：
37
)2)(1(
6)()(
sssGsH
其特征方程为：
)2)(1(
61)()(1)(
sssGsHsF 0)2)(1(
)4.25.1)(4.25.1(?
ss
jsjs
函数 )(sF 在 s平面内除了奇点外处处解析。对于 s平面上的每一个解析点，
)(sF 平面上必有一点与之对应
21 js,则
)(sF 为：
577.0115.1)23)(22( 61)21( jjjjF
这样，对于 s平面上给定的连续封闭轨迹，只要它不通过任何奇点，在 )(sF 平面上就必有一个封闭曲线与之对应。
例如
38
-1 0 1 2 3 4
-1
- 0,5
0
0,5
1
1,5
2
-4 -3 -2 -1 0 1
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
1,4
1,6
1,8
2
A
B
C
D
A 1
B1
C 1
D1
Im
Re
j平面s 平面)(sF
图 5-36 s平面上的图形在 平面上的变换
)(sF
上半 s平面内的直线 1,3 和 2
在 )(sF 平面上的变换
39
-3 -2 -1 0 1
-2
- 1,5
-1
- 0,5
0
0,5
1
1,5
2
-1 0 1 2 3 4
-2
- 1,5
-1
- 0,5
0
0,5
1
1,5
2
A
B C
D
E F
A
B C
D
E
F 1
A
B C
D
E F
A 1
B 1
C 1
D 1
E 1
Im
Re
j
平面s
平面)(sF
0
0
当 s平面上的图形包围两个 )(sF 的极点时，
)(sF 的轨迹将 反时针 方向包围 )(sF 平面上原点两次
40
-3 -2 -1 0 1
-3
-2
-1
0
1
2
3
0 1 2 3 4
-2
- 1,5
-1
- 0,5
0
0,5
1
1,5
2
A
A
B
F E
D
C
A1
B1
F1
E1 D1
C1
Re
j平面s 平面)(sFIm
当 s平面上的图形 包围 )(sF 的两个极点和两个零点，
)(sF 的轨迹将不包围原点相应的
41
Im
Re
j平面s 平面)(sF
0
0
如果这个曲线只包围一个零点,相应的 )(sF
的轨迹将 顺时针 包围原点一次,封闭曲线既不包围零点又不包围极点，
)(sF 的轨迹将永远不会包围 )(sF 平面上的原点
42
如果在 s平面上曲线包围 k个零点和 k个极点 (k=0,1,2… )，
)(sF
相应的封闭曲线不包围 )(sF
上述讨论是影射定理的图解说明。奈奎斯特稳定判据正是建立在影射定理的基础上。
即包围的零点数与极点数相同，则在 平面上，
平面上的原点。
43
5.5.2影射定理设 )(sF 为两个 s的多项式之比，并设 P为 )(sF 的极点数,Z为
)(sF 的零点数，它们位于 s平面上的某一封闭曲线内，
)(sF 的任何极点和零点。于是,s平面上的这一封闭曲线影射到
)(sF 平面上，也是一条封闭曲线。当变量 s顺时针通过封闭曲线时
)(sF 平面上，相应的轨迹顺时针包围 )(sF 原点的总次数 R等于 Z-P。
且有多重极点和多重零点的情况。设上述封闭曲线不通过在
44
若 R为正数，表示 )(sF 的零点数超过了极点数；
)(sF 的极点数超过了零点数。
)()( sGsH 很容易确定
)()(1)( sGsHsF 的 P数。因此，如果,)(sF
的轨迹图中确定了 R，则 s平面上 封闭曲线内的零点数若 R为负数，表示在控制系统应用中，由很容易确定。
)(
)()()(
sA
sBsGsH?
)(
)()()()(1)(
sA
sBsAsGsHsF
两者的极点数相同
45
5.5.3影射定理在闭环系统稳定性分析中的应用为了分析线性控制系统的稳定性，令 s平面上的封闭曲线包围整个右半 s平面。这时的封闭曲线由整个
j 轴 (从
到
该封闭曲线为 奈奎斯特轨迹 (轨迹的方向为顺时针方向 )。
因为 奈奎斯特轨迹包围 了整个右半 s平面，所以它包围了
)和右半 s平面上半径为无穷大的半圆轨迹构成
)()(1 sGsH? 的所有正实部的极点和零点 。
)()(1 sGsH?
则不存在闭环极点，因而系统是稳定的。
如果 在右半 s平面不存在零点，
46
平面s
j
0
图 5-37 s平面内的封闭曲线
Re
Im
平面GH?1
)()(1 jHjG?
10
Re
Im
0
)()(1 jHjG? )()( jHjG
1?
平面GH
曲线对原点的包围，恰等于
)()( jGjH
)()(1 jGjH?
轨迹对 -1+j0点的包围
47
这一判据可表示为,PRZ
Z 函数 )()(1)( sGsHsF 在右半 s平面内的零点数
R 对 -1+j0点顺时针包围的次数
P 函数 )()( sGsH
如果 P不等于零，对于稳定的控制系统，必须 0?Z 或
PR,这意味着必须反时针方向包围 -1+j0点 P次。
5.5.5关于奈奎斯特稳定判据的几点说明式中在右半 s平面内的极点数如果 函数 )()( sGsH 在右半 s平面内无任何极点，则 RZ?
因此，为了保证系统稳定，
)()( jHjG
的轨迹必须不包围 -1+j0点。
48
5.5.6 )()( sHsG 含有位于?j 上极点和 /或零点的特殊情况平面s
j
0j
0j
j
j
1
A
B
C
平面GH
Re
Im
'''
,,FED
F
E
D
'
A
'
B
'
C
0?
0?
变量
s
沿着?j 轴从j 运动到?0j
，从?0j 到?0j,变量
s
沿着半径为
1 ）的半圆运动，再沿着正?j 轴从?0j
运动到?j（
)1()()( Tss
KsHsG
49
对于包含因子?,3,2,1s 的开环传递函数 )()( sGsH
，当变量 s沿半径为? ( 1 )的半圆运动时,)()( sGsH
的图形中将有? 个半径为无穷大的顺时针方向的半圆环绕原点。例如，
考虑开环传递函数：
)1()()( 2 Tss
KsHsG
jes
j
es e
KsHsG
j
22)()(lim?
当 s平面上的
9090? 时,)()( sGsH 的相角 180180
50
平面s
j
0j
0j
j
j
1
A
B
C
平面GH
Re
Im
F
E
D
0?
0?
1?
在右半 s平面内没有极点，并且对所有的正 K值，轨迹包围
01 j 点两次。所以函数 )()(1 sGsH?
在右半 s平面内存在两个零点。因此，系统是不稳定的。
51
如果在 s平面内，奈奎斯特轨迹包含 )()(1 sGsH?
和 P个极点，并且当 s变量顺时针沿奈奎斯特轨迹运动时，不
)()(1 sGsH? 通过的任何极点或零点，则在 )()( sGsH
平面上相对应的曲线将沿顺时针方向包围 01 j 点
PZR 次（负 R值表示反时针包围 01 j 点）。
5.6稳定性分析的 Z个零点
a)不包围 -1+j0 如果这时 )()( sGsH
在右半 s平面内没有极点，说明系统是稳定的；否则，系统是不稳定的。
点。如果反时针方向包围的次数，等于
)()( sGsH 在右半 s平面内没有极点数，则系统是稳定的；否则系统是不稳定的。
点。系统是不稳定的。c)顺时针包围 -1+j0
b)反时针包围 -1+j0
52
例 5-3 设闭环系统的开环传递函数为：
)1)(1()()( 21 sTsT
KsGsH
)()( jGjH 的轨迹如图 5-41所示。
)()( sGsH 在右半 s平面内没有任何极点，并且
)()( jGjH 的轨迹 不包围 01 j
，所以对于任何的值，该系统都是稳定的。
53
N y q u i s t D i a g r a m
R e a l A x i s
I
m
a
g
i
n
a
r
y
A
x
i
s
-1 - 0,8 - 0,6 - 0,4 - 0,2 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1
- 0,6
- 0,4
- 0,2
0
0,2
0,4
0,6
图 5-41 例 5-3中的 )()( jGjH 极坐标图
54
例 5-4 设系统具有下列开环传递函数：
)1)(1()()( 21 sTsTs
KsGsH
试确定以下两种情况下，系统的稳定性,?增益 K较小?增益 K较大。
平面GH
Re
Im
0?
0?
1?
0
0
0
Z
R
P?
平面GH
Re
Im
0?
0?
1?
2
2
0
Z
R
P
jjjj 00
小 K值时是稳定的 大 K值时是不稳定的
55
例 5-5 设开环传递函数为：
)1(
)1()()(
12
2
sTs
sTKsGsH
该系统的闭环稳定性取决于
1T
和 2T
相对大小。试画出该系统的奈奎斯特图，并确定系统的稳定性。
Re
Im
0?
0?
1?
21
TT?
平面GH
平面GH
Re
Im
0?
0?
1?
21
TT?
点矢量穿过 01)()( jjHjG
21 TT? )()( sGsH
的轨迹不包围
01 j
系统是稳定的
21 TT? )()( sGsH
的轨迹通过 01 j
点，这表明闭环极点位于 轴上
j
56
平面GH
Re
Im
0?
0?
1?
21
TT?
21 TT? )()( sGsH
的轨迹顺时针方向包围 01 j
点两次，因此系统有两个闭环极点位于右半 s平面，系统是不稳定的。
57
例 5-6 设一个闭环系统具有下列
)1()()( Tss
KsHsG
试确定该闭环系统的稳定性。
平面GH
Re
Im
1?
0?
0?
开环传递函数：
)()( sGsH
在右半 s平面内有一个极点 (
Ts 1?
)，因此1?P
。图 5-44中的奈奎斯特图表明，
)()( sGsH
轨迹顺时针方向包围 01 j 点一次，因此，1?R 。因为
2 PRZ。这表明闭环系统有两个极点在右半 s平面，因此系统是不稳定的。
58
)1()()( Tjj
KjHjG
)1( Tj )1( Tjj
K
)1( Tj
))(1( 2Tj
K
))(1( )1( 2Tj TjK
2)(1
)1(
Tj
TjK
a rc tg 90
0? 0,
0?
0,
2)(1
)1(
Tj
TjK
ar c tg90
)1( Tj
59
例 5-7 设一个闭环系统具有下列开环传递函数：
试确定该闭环系统的稳定性。
1,)1( )3()()( Kss sKsHsG
平面GH
Re
Im
0?
0?
1?
图 5-45 例 5-7中的 )()( jGjH
极坐标图
)()( sGsH
在右半 s平面内有一个极点 (
1?s
)，因此1?P
。开环系统是不稳定的。图 5-45表明
)()( sGsH
轨迹逆时针方向包围 01 j
点一次，因此，
1R
因为 0 PRZ
，这说明)()(1 sGsH?
没有零点位于右半 s平面内，闭环系统闭环系统是稳定的。这是一个开环系统不稳定，但是回路闭合后，变成稳定系统的例子。
60
5.7.2相位裕度和增益裕度
Re
Im
0
1?
平面G
大时K
小时K
图 5-46
))1()1)(1(()(
)1()1)(1()(
21
21
jTjTjTj
jTjTjTKjG
n
m
mn?
的极坐标图对于大的 K值，系统是不稳定的。当增益减小到一定值时，
)(?jG
的轨迹通过
01 j
点。对于小的 K值，系统是稳定的。
)(?jG
的 轨迹对
01 j
点的靠近程度，可以用来度量稳定裕量 (对条件稳定系统不适用 )。在实际系统中常用相位裕量和增益裕量表示。
61
相位裕度、相角裕度 (Phase Margin)
设系统的截止频率 (Gain cross-over frequency)为
c?
1)()()( ccc jHjGjA定义相角裕度为
)()(180 cc jHjG
相角裕度的含义是，对于闭环稳定系统，如果开环相频特性再滞后
度，则系统将变为临界稳定。
62
增益裕度、幅值裕度 (Gain Margin)
h设系统的穿越频率 (Phase cross-over frequency)
)12()()()( kjHjG xxx
，
,1,0k定义幅值裕度为
)()( 1 xx jHjGh
幅值裕度
h
的含义是，对于闭环稳定系统，如果系统开环幅频特性再增大
h
倍，则系统将变为临界稳定状态。
)()(lo g20 xx jHjGh
63
Re
Im
h
1
PlaneG
Positive
Gain Margin
Positive
Phase Margin
-1
1
Re
Im
h
1
PlaneG
Negative
Gain Margin
Negative
Phase Margin
-1
1
Stable System Unstable System
)(?jG
)(?jG
64
Log
Log
Log
Log
90
270
180
Positive
Gain Margin
Positive
Phase Margin
Negative
Gain Margin
Negative
Phase Margin
Stable System Unstable System
0
dB
90
270
180
0
dB
65
谢谢！
结束
