哈尔滨工业大学
电工学教研室
第 3章
正弦交流电路
返回
3.1 正弦电压与电流
3.3 电阻元件、电感元件与电容元件
3.4 电阻元件的交流电路
3.5 电感元件的交流电路
3.6 电容元件的交流电路
3.7 电阻、电感与电容元件的交流电路
3.8 阻抗的串联与并联
3.9 交流电路的频率特性
3.10 功率因数的提高
目 录
3.2 正弦量的相量表示法
直流电和正弦交流电
前面两章分析的是直流电路，其中的电压和电流的大小
和方向是不随时间变化的。
3.1 正弦电压与电流
I, U
O
t
直流电压和电流
返回
t
iu
O
正弦电压和电流
实际方向和参考方向一致
实际方向和参考方向相反
＋
－
正半周
实际方向和参考方向一致
+
_
u R
?
i
负半周
实际方向和参考方向相反
+
_
u R
?
i
正弦交流电的电压和电流是按照正弦规律周期性变化的。
3.1.1 频率和周期
正弦量变化一次所需要的时间（秒）称为 周期（ T）。
每秒内变化的次数称为 频率 （ ）, 单位是赫兹（ Hz）。
我国和大多数国家采用 50Hz的电力标准，
有些国家（美国、日本等）采用 60Hz。
小
常
识
正弦量变化的快慢还可用角频率来表示：
fT ??? 22 ??
t
T
2
T
2
3 T
t?? ?2 ?3 ?4
T2
u i
Of
频率是周期的倒数,
f =1/T
已知 =50Hz,求 T 和 ω 。
[解 ]T=1/ =1/50=0.02s,ω=2π =2× 3.14× 50＝ 314rad/s
f
f f
例题 3.1
3.1.2 幅值和有效值
瞬时值和幅值
正弦量在任一瞬间的值称为 瞬时值, 用小写字母表示，如, u,e 等 。
瞬时值中的最大的值称为 幅值或最大值, 用带下标 m的大写字母表示，
如 Im,Um,Em等 。
有效值
在工程应用中常用 有效值 表示交流电的幅度。一般所讲的正
弦交流电的大小，如交流电压 380V或 220V，指的都是有效值。
有效值 是用电流的热效应来规定的。设一交流电流和一直流
电流 I 流过相同的电阻 R,如果在交流电的一个周期内交流电和
直流电产生的热量 相等，则交流电流的 有效值 就等于这个直流电
的电流 I。
i
则
??
T
dti
T
I
0
21
dtRi
T
2
0? 交流 直流
RTI 2 ?
根据热效应相等有：
正弦电压和电动势的有效值：
22
mm EEUU ??
有效值都用大写字母表示！
tIi m ?s i n?
由 可得正弦电流的有效值：
2
mII ?
3.1.3 初相位
相位 表示正弦量的变化进程，也称 相位角 。
初相位 t =0时的相位 。
tIi m ?s i n?
相位：
t?
初相位,0
i
t ?
O
? ??? ?? tIi m s i n
相位,? ?
?? ?t
初相位,? ψ
i
t ?
初相位 给出了观察正弦波的起点或参考点。说明
相位差
两个同频率的正弦量的相位之差或初相位之差称为 相位差 。
则 和 的 相位差 为：
? ? ? ? 2121 ??????? ?????? tt
当 时, 比 超前 角,比 滞后 角。u
?i u i ?21 ?? ?
u i
? ?2?? ?? tIi m s i n
? ?1?? ?? tUu m sin
正弦交流电路中电压和电流的频率是相同的，但初相不
一定相同，设电路中电压和电流为,ω t
u
i
?
O
同相反相的概念
同相,相位相同，相位差为零。
反相,相位相反，相位差为 180° 。
总
结
描述正弦量的三个特征量：
幅值, 频率, 初相位 返回
O
ω t
i 1
i
2
i
3
i
下面图中是三个正弦电流波形。 与 同相, 与 反相 。1i 2i 1i 3i
3.2 正弦量的相量表示法
正弦量的表示方法：
三角函数式, ? ?
?? ?? tIi m s i n
★
★ 波形图：
i
t?
O
★ 相量法：用复数的方法表示正弦量
返回
一个正弦量可以用旋转的有向线段表示 。
相量法
? ??? ?? tUu m s i n
?
?
mU
t ?
ω
有向线段的 长度 表示正弦量的 幅值 ；
有向线段 (初始位置 )与横轴的 夹角 表示正弦量的 初相位 ;
有向线段旋转的 角速度 表示正弦量的 角频率 。
正弦量的瞬时值由旋转的有向线段在纵轴上的投影表示。
有向线段可以用复数表示。
复数的加减运算可用直角坐标式，乘除法运算可
用指数式或极坐标式。
j?
1?
O
r
a
b
?
A
? ??? s i nco s jrjbaA ????
?jreA ?
??? rA
直角坐标式：
指数式：
极坐标式式：
有向线段 OA可用复数形式表示：
表示正弦量的复数称为 相量
注意,相量用上面打点的大写字母表示。
由复数知识可知,j为 90° 旋转因子。一个相量乘上
+j 则旋转 +90° ；乘上 -j 则旋转 - 90° 。
复数的 模 表示正弦量的 幅值或有效值
复数的 辐角 表示正弦量的 初相位
? ? ??? ? ????? mjmmm UeUjUU s i nc o s?
? ? ??? ? ????? UUejUU js i nc o s?
正弦电压 的 相量 形式为：
有效值相量
幅值相量,? ??? ?? tUu m s i n
一个正弦量可以用旋转的有向线段表示，而有向线
段可以用复数表示，因此正弦量可以用复数来表示。
把表示各个正弦量的有向线段画在一起就是 相量图,
它可以形象地表示出各正弦量的大小和相位关系。
相量图
ψ ２ ψ １
?
Ι
?
U
?
电压相量 比电流相量U? I? 超前 ?角
1,只有 正弦周期量 才能用相量表示。
2,只有 同频率 的正弦量 才能画在一张相量图上。
注意
[解 ](1)用 复数形式 求解
根据 基尔霍夫电流定律,
? ? ? ?
? ? ? ?
A.,
.,
s i nco ss i nco s
0218
3045
2121
1297407122
3052770770
306030604510045100
6010021
?
?
???
????
????
??????
?
??
????
???
j
jjj
m
j
mmmm
ej
jj
j
eeeIeIIII
??
i
1
i
2
i在如图所示的电路中，设：
A)s i n ()s i n (
A)s i n ()s i n (
????
?????
3060
451 0 0
221
111
－ttIi
ttIi
m
m
???
???
求总电流 。
例题 3.2
i
（ 2）用 相量图 求解
画出相量图，并作出平行四边形，其对角线即是总电流。
+ j
+1
m
I
1
?
m
I
2
?
m
I
?
70.7
40.7
70.7
52
122.7
30
45°
1 8 °2 0 ′
30°
返回
3.3 电阻元件、电感元件和电容元件
在 直流电路 中（稳态）,电感元件 可视为短路，
电容元件 （稳态）可视为开路。
在 交流电路 中,电感元件 和 电容元件 中的电流均
不为零。
电阻元件,消耗电能，转换为热能（电阻性）
电感元件,产生磁场，存储磁场能（电感性）
电容元件,产生电场，存储电场能（电容性）
返回
3.3.1 电阻元件
对电阻元件，其电压电流满足欧姆定律：
iRu
R
ui ?? 或
把上面两式相乘并积分，得,? ?
?
t t
dtRiu id t
0 0
2
由此可知，电能全部消耗在电阻上，转换为热能。
金属导体的电阻值与其材料导电性及尺寸的关系为：
S
lR ??
其中,ρ,,S分别为导体的电阻率、长度、横截面积。l
3.3.2 电感元件
对于一个电感线圈，习惯上规定感应电动势的参考
方向与磁通的参考方向之间符合右手螺旋定则。
线圈的感应电动势为：
tt
ΦNe
d
d
d
d ?????
电感的定义
如果磁通是由通过线圈的电流 产生的, 则：
LiN Φ ???
L为线圈的 电感,也称为 自感 。
i
此时的感应电动势也称为 自感电动势,
t
iLe
L d
d??
l
SN
L
2?
?
线圈的电感与线圈的尺寸、匝数及介质的磁导率 μ 有关：
电感的单位为 亨 [利 ](H).
电感元件的电压电流关系
＋
_
u
_
＋
e L L
i电感中出现的自感电动势表现在电感两端有电压降产生。
设一电感元件电路电压、电流及电动势的参考方向如图所示。
根据 基尔霍夫电压定律：
Leu ??
t
iLeu
L d
d???从而：
? ??? ???? ????? 0 000 1111 ttt tuLituLtuLtuLi dddd
把上式两边积分可得：
式中 为 t=0时电流的初始值。如果 ＝ 0则：
?? t tuLi 01 d
0i 0i
电感元件的磁场能量
2
2
1
Li
因此电感元件中存储的 磁场能量 为：
返回
t
iLeu
L d
d ???把式 两边乘以 并积分得：
?? ??
tt
LiiLitui
0
2
0 2
1
dd
i
3.3.3 电容元件
电容元件的电容 C定义为电容上的 电量与电压的比值,
u
qC ?
电容的定义
电容的大小与电容元件的尺寸及介质的介电常数有关。
平行板电容器的电容为：
d
SC ??
式中 ε 为介质的介电常数,S为极板面积,d为极板间距离。
单位为 法 [拉 ](F).
电容元件的电压与电流的关系 ＋
_
u C
i
对于图中的电路有：
t
u
C
t
q
i
d
d
d
d
??
对上式两边积分，可得：
? ??? ???? ????? 0 000 1111 ttt tiCutiCtiCtiCu dddd
式中 u0为 t=0时电压的初始值。如果 u0＝ 0则：
?? tid tCu 01
电容元件的电场能量
2
2
1 Cu
电容元件中存储的 电场能量 为：
把式 两边乘以 u并积分得：
?? ??
tt
CuuCutui
0
2
0 2
1
dd
t
uC
t
qi
d
d
d
d ??
特征
电阻元件 电感元件 电容元件
参数定义
电压电流关系
能量
iRu ?
i
uR ?
i
NL ??
u
qC ?
t
iLu
d
d?
t
uCi
d
d?
?
t
dtRi
0
2 2
2
1 Li 2
2
1 Cu
元件
总结
如果一个电感元件两端的电压为零，其
储能是否也一定为零？如果一个电容元件中
的电流为零，其储能是否一定为零？
思考题
返回
3.4 电阻元件的交流电路
电压电流关系
tUtRIiRu mm ?? s i ns i n ???
tIi m ?s i n?
＋
_
u R
i
设图中电流为：
根据 欧姆定律,
从而：
R
I
U
I
U
i
uRIU
m
m
mm ????
电压和电流 频率相同, 相位相同 。
IRU ?? ?相量形式的欧姆定律 返回
瞬时功率
电压和电流瞬时值的乘积就是 瞬时功率,
? ? ? ?tUItIUtIUuip mmmm ??? c o sc o ss i n ?????? 1122
p≥0，总为正值，所以电阻元件消耗电能，转换为热能 。
平均功率
平均功率 是一个周期内瞬时功率的平均值：
? ??? ?????? TT
R
URIUIttUI
T
pdt
T
P
0
2
2
0
111 dc o s ?
电压、电流、功率的波形
u
u
2 ππ
O
O
p
P
ω t
ω t
＋
_
u
C
I
?
U
?
i
i
i
p
返回
3.5 电感元件的交流电路
电压电流关系
设一非铁心电感线圈 (线性电感元件，
L为常数 ),假定电阻为零。根据基尔霍夫电
压定律：
t
iLeu
L d
d ???
＋
_
u
_
＋
e L L
i
设电流为参考正弦量,tIi
m ?s i n?
? ? ? ? ? ??? 9090 ?????? tUtLItLI
t
tILu
mmmm ?????
? s i ns i nc o s
d
s i nd
电压和电流 频率相同, 电压比电流相位超前 90° 。
返回
从而,L
I
U
I
ULIU
m
m
mm ?? ???
LXi
u ? 注意！
这样，电压电流的关系可表示为 相量形式,
ILjIjXU L ??? ???
ωL 单位为欧 [姆 ]。电压 U 一定时 ωL 越大电流 I越小
,可见它对电流起阻碍作用,定义为 感抗,
fLLX L ?? 2??
感抗 XL与电感 L,频率 成正比。对于直流电 ＝ 0，
XL＝ 0,因此 电感对直流电相当于短路。 f f
瞬时功率
? ?
tUIt
IU
ttIU
ttIUuip
mm
mm
mm
????
??
22
2
90
s i ns i nc o ss i n
s i ns i n
???
??? ?
P=0表明电感元件不消耗能量。 只有电源与电感元件间
的能量互换。用 无功功率 来衡量这种能量互换的规模。
平均功率 （有功功率）
0211
00 ??
???
TT
ttUI
T
tp
T
P ds i nd ?
平均功率衡量电路中所消耗的电能，也称 有功功率 。
无功功率
电感元件的无功功率 用来衡量电感与电源间 能量互换
的规模,规定 电感元件的无功功率 为瞬时功率的幅值
（它并不等于单位时间内互换了多少能量）。它的单
位是乏（ var）。
LXIUIQ
2??
无功功率是否与频率有关？
思考题
返回
电压、电流、功率的波形
u
2 ππ
O
O
p
ω t
ω tI
?
U
?
p
＋
_
u
_
＋
e
L
+
_
+
_
+
_
+
_
储能 储能 放能放能
L
+ +
- -
i
iiii
i
返回
在第一个和第三个 1/4周期内，电流在增大，磁场在建立，
p为正值（ u 和 正负相同）,电感元件从电源取用能量，并转
换为磁场能量； 在第二个和第四个 1/4周期内,电流在减小,p
为负值（ u 和 一正一负）,磁场在消失，电感元件释放原先
储存的能量并转换为电能归还给电源。 这是一个可逆的能量转
换过程。在一个周期内，电感元件吸收和释放的能量相等。
i
i
3.6 电容元件的交流电路
电压电流关系
＋
_
u C
i
对于电容电路：
t
uC
t
qi
d
d
d
d ??
如果电容两端加正弦电压：
tUu m s i n ??
? ? ? ? ? ??? 9090 ?????? tItCUtCU
dt
tUCi
mmmm ?????
? s i ns i nc o ss i nd
则：
电压和电流 频率相同, 电压比电流相位滞后 90° 。
返回
从而：
CI
U
I
UUCI
m
m
mm ??
1???
这样，电压电流的关系可表示为 相量形式,
Cj
I
C
IjIjXU
C ??
????
?????
f
(1/ωC)单位为欧 [姆 ]。电压 U一定时 (1/ωC)越大电流
I越小,可见它对电流起阻碍作用,定义为 容抗,
fCCX C ?? 2
11 ??
容抗 XC与电容 C，频率 成反比。对直流电 ＝ 0，
XC→∞, 因此 电容对直流相当于开路,电容具有隔直通
交的作用。
f
瞬时功率
? ?
tUIt
IU
ttIU
ttIUuip
mm
mm
mm
????
??
22
2
90
s i ns i nc o ss i n
s i ns i n
???
??? ?
平均功率 （有功功率）
电容的平均功率（有功功率）：
0211
00 ??
???
TT
ttUI
T
p d t
T
P ds i n ?
P=0表明电容元件不消耗能量。 只有电源与电容元件
间的能量互换。
无功功率
为了同电感的无功功率相比较，设电流
tIi m ?s i n?
为参考正弦量，则：
? ??90?? tUu m s i n ?
这样，得出的瞬时功率为：
tUIuip ?2si n ???
由此,电容元件的无功功率 为：
CXIUIQ 2????
电容性无功功率为负值，电感性无功功率取正值。
u
2 ππ
O
O
p
ω t
ω t
I?
U ?
p
+
_
+
_
+
_
+
_
充电 充电 放电放电
+ +
- -
＋
_
u
C
i
i
iiii
电压、电流、功率的波形
返回
在第一个和第三个 1/4周期内，电压在增大，电容在充电，
p为正值（ u 和 正负相同）,电容元件从电源取用能量，并转
换为电场能量； 在第二个和第四个 1/4周期内,电压在减小,p
为负值（ u 和 一正一负），电容在放电,电容元件释放原先储
存的能量并转换为电能归还给电源。 这是一个可逆的能量转换
过程。在一个周期内，电容元件吸收和释放的能量相等。
i
i
3.7电阻、电感与电容元件串联的交流电路
_
u
_
L
R
C
_
_
u R
u L
u C
+
+
++
i
电压电流关系
根据基尔霍夫电压定律：
??????? i d tCtiLRiuuuu CLR 1dd
设串联电路电流
tIi m ?s in?
为参考正弦量，则：
tUtRIu RmmR ?? s i ns i n ??
? ? ? ??? 9090 ???? tUtLIu LmmL ??? s i ns i n
? ? ? ??? 9090 ???? tUtCIu CmmC ??? s i ns i n
同频率的的正弦量相加，得出的仍为同频率的正弦量，所以可得出下面
形式的电源电压：
? ??? ????? tUuuuu mCLR s i n返回
相量关系
? ?? ? IXXjRIjXIjXIRUUUU CLCLCLR ???????? ?????????
基尔霍夫电压定律的相量形式为：
由此：
? ?CL XXjRIU ?????
? ?CL XXjR ??其中 实部为, 阻,,虚部为, 抗,,称为 阻抗。
? ? ?????? ZXXjRZ CL
阻抗 Z不是一个相量，而是一个复数计算量。
阻抗模,
? ?
2
222 1 ?
?
?
?
?
? ??????
C
LRXXRZ CL
?
?
单位为欧 [姆 ]。反映了电压与电流之间的大小关系。
阻抗角（电压与电流的相位差）：
R
XX CL ?? a r c t a n?
其大小由电路参数决定,反映了电压与电流之间的相位关系。
.,0 电路为电容性即 ?? ?CL XX
.,0 电路为电感性即 ?? ?CL XX
.,0 电路为电阻性即 ?? ?CL XX
复数形式的欧姆定律：
ZIU ?? ?
由此可得：
???
?
? ?????
?
??? Z
I
U
I
U
I
UZ
iu
i
u
?
?
R
XXtg CL
iu
???? ? 1???
复数形式的欧姆定理：
相量图
L
U
?
C
U
?
C
U
?
CL
UU
??
?
U
?
R
U
? I
?
?
电压三角形
相量图中由,, 构成的三角形称为 电压三角形 。
? ? ? ? ? ?
? ?22
2222
CL
CLCLR
XXRI
IXIXRIUUUU
???
??????
R
XX
U
UU CL
R
CL ???? a r c t a na r c t a n?
? ? 22 CL XXRIUZ ????
CL UU ?? ?RU?U?
瞬时功率
? ?
)c o s (c o s
)c o s (c o s
s i ns i n
???
???
???
???
???
???
tUIUI
t
IUIU
ttIUuip
mmmm
mm
2
2
22
平均功率 （有功功率）
?
???
c o s
d)2c o s (c o s[
1
d
1
00
UI
ttUIUI
T
tp
T
P
TT
?
???? ??
根据电压三角形：
RIUU R ???c o s
于是 有功功率 为,
?c o sUIRIIUP R ??? 2
无功功率
?s i n)(
)(
UIXXI
IUUIUIUQ
CL
CLCL
???
????
2
功率因数 ?cos
视在功率
2IZUIS ?? 单位为：伏 ·安（ V·A）
功率 ﹑ 电压 ﹑ 阻抗 三角形
S
Q
Z
U
?
C
L
X
X
?
C
L
U
U
?
?
?
R
U
?R
?
返回
22 QPS ??
有功功率、无功功率和视在功率的关系：
3.8 阻抗的串联与并联
3.8.1 阻抗的串联
_ _
Z 1
_
+
+
Z 2
U ?
1
U ?
2
U?
I?
+
_
Z
U ?
I?
+
? ? IZZIZIZUUU ?????? 21221121 ??????
根据基尔霍夫电压定律：
用一个等效阻抗 Z 两个串联的阻抗，则：
IZU ?? ?比较上面两式得等效阻抗为：
21 ZZZ ??
返回，
多个阻抗串联时，等效阻抗为：
?jkk
k eZXjRZZ ???? ???
? ? ? ?22 ?? ?? kk XRZ式中,???
k
k
R
X
a r c t a n?
注
意
！
对于两个阻抗串联电路,一般情况下：
21 UUU ??
即,IZIZIZ 21 ??
所以,21 ZZZ ??
两个阻抗串联时，什么情况下：
成立？
思考题
21 UUU ?? 21 ZZZ ??
例题 3.3
??? 91661 jZ, ??? 4522 jZ, V?? 30220??U两个阻抗 和 串联接在 的电
源上。试用相量计算电路的电流和各阻抗上的电压。
[解 ]
验算方法,是否 UUU ??? ?? 21
? ? ? ?
? ? ? ?
? ?
? ? V...
V.....
A
,
.,
.,
??
??
?
?
?
?
??
??
?
?
5861 0 3225871422452
65582 3 922655910229166
022
3010
302 2 0
30105668
4952166
4529166
22
11
11
??????????
????????
??
?
?
??
????
????
????
??
jIZU
jIZU
Z
U
I
j
j
jj
ZZZ
?
30
?
6.55
?
58
1U
?
2U
?
I?
U?
_ _
Z 1
_
+
+
Z 2
U?
1U
?
2U
?
I?
+
3.8.2 阻抗的并联
_
Z
U ?
I?
+
_
Z 1
U ?
I?
+
1I
?
2I
? Z
2
根据基尔霍夫电流定律：
???
?
???
? ??????
2121
21
11
ZZUZ
U
Z
UIII ??????
用一个等效阻抗 Z 两个并联的阻抗，则：
Z
UI ?? ?
比较上面两式得等效阻抗为,
21
111
ZZZ ?? 21
21
ZZ
ZZZ
??
或
??
kZZ
11多个阻抗并联时：
对于两个阻抗并联电路,一般情况下：
注
意
！
21 III ??
即：
21 Z
U
Z
U
Z
U ??
所以：
21
111
ZZZ ??
两个阻抗并联时，什么情况下：
成立？
思考题
21
111
ZZZ ??21 III ??
例题 3.4
两个阻抗 和 并联接在 的电
源上。计算电路的各支路的电流和总电流。
??? 681 jZ V?? 0220??U??? 431 jZ
III
Z
U
I
Z
U
I
Z
U
I
jjjZZ
ZZ
Z
jZjZ
???
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
????
??
??
???
?
?
??
??
??
?
??
???
?
?
??
???
??
?
?
?
?
?
???
????
?
?
?
???????????
21
2
2
1
1
21
21
21
526249
526474
0220
3722
3710
0220
5344
535
0220
526474
510811
1650
211
1650
6843
3710535
37106853543
A..
..
A
A
.,
..
,
是否验算方法：
解：
?
37
?
53
I
?
U
?
1
I
?
2
I
?
?
5.26
返回
_
Z 1
U?
I?
+
1I
?
2I
? Z
2
?
?
3.9 交流电路的频率特性
频率特性, 电路中电压和电流随频率变化的关系 。
时域分析,在时间领域内对电路进行分析。
频域分析,在频率领域内对电路进行分析。
3.9.1 RC串联电路的频率特性
概念
传递函数,电路输出电压与输入电压的比值。
返回
＋
_
C
R
)( ?jU 1 )( ?jU 2
＋
_
1.低通滤波电路
0 2
0
01
1
1
1
?
?
?
? ?
?
?arctan ) (? ?
? ?
?
?
? ?
?
?
?
?
?
?
j
j T
RC
1
0? ?
设 则：
式中：
传递函数,
)()()a r c t a n (
)(
)(
)(
)(
????
?
?
?
?
?
?
?
????
?
?
?
?
?
??
jTRC
RC
RCj
Cj
R
Cj
jU
jU
jT
2
1
2
1
1
1
1
1
1
21
2
1
1
)()(
)()(
RCU
UjT
??
??
?
?
)a r c t a n ()( RC??? ??
21
2
1
1
)()(
)()(
RCU
UjT
??
??
?
??
幅频特性：
)a r c t a n ()( RC??? ??
相频特性,
频率特性,
0
00.7071
0
)( ?jT
)(??
? ?
4?? 2??
0?
? ??T
0.707
? ???
?
2/??
4/??
1
0? ?
O
)2/1(
O 0?
ω<ω0时,变化不大，接近于 1。
)( ?jT
)( ?jT
ω>ω0时,明显下降。
由幅频特性可知：
低通滤波电路使低频信号容易通过，抑制高频信号 。
由此可见：
通频带
频率半功率点频率或截止频率
)dB (,
0
0
0
3
??
?
??
定义：
半功率点频率,
2
1?
i
o
U
U
iPP 2
1?
o
当
0?? ?
时，
dB3
2
1
lg20lg20
??
?
i
o
U
U当
0?? ?
时，
2
1?
i
o
U
U
分贝数定义：
i
o
U
UlgdB 20?
-3dB频率,
2.高通滤波电路
RC
1
0? ?
设 则：
?
?
?
?
?
?
?0
2
0
0
1
1
1
1
arctan ) (?
?
?
?
?
?
? ?
?
?
?
j
j T
＋
_
C
R)( ?jU
1
)( ?jU 2
＋
_
传递函数,
)()(a r c t a n
)(
)(
)(
???
?
?
?
?
?
?
?
?
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???
?
?
?
?
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?
?
?
?
??
jT
RC
RC
RC
j
RCj
RCj
Cj
R
R
jU
jU
jT
1
1
1
1
1
1
1
11
2
1
2
式中：
21
2
11
1
?
?
??
?
??
?
RC
U
UjT
?
?
??
)(
)()( ???????? RC??? 1a r c t a n)(
21
2
11
1
?
?
?
?
?
??
??
RC
U
UjT
?
?
??
)(
)()(幅频特性：
频率特性,
?
?
??
?
??
RC?
?? 1 a r c t a n)(
相频特性,
高通滤波器使高频信号容易通过，抑制低频信号。
0
10.7071
0
)( ?jT
)(??
? ?
4?2?
0?
? ??T
0.707
? ???
?
2/?
4/?
1
0? ?
O
)2/1(
O
0?
3.带通滤波电路
传递函数,
)()(
a r c t a n
)()(
)(
)(
???
?
?
?
?
?
?
??
?
??
?
?
?
?
?
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?
?
?
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?
??
?
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?
?
?
??
?
??
jT
RC
RC
RC
RC
RC
RCj
RCjRCj
RCj
RCj
R
Cj
RCj
RCj
R
Cj
R
Cj
R
Cj
R
Cj
R
Cj
R
jU
jU
jT
3
1
1
3
1
1
3
1
1
1
1
1
1
1
1
2
2
2
1
2
C
R
＋
_
C
R)( ?jU 1 )( ?jU 2
＋
_
RC
1
0? ?
设 则：
3
3
1
3
1
0
0
2
0
0
2
0
0
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
?arctan ) (
j
j T
频率特性,
幅频特性：
2
2 13
1
?
?
?
?
?
? ??
??
RC
RC
jT
?
?
? )(
0.707/3
)(??0
01/30
0
)( ?jT
)(??
? 0? ?
2? 2??
a r c t a n)(
3
1
RC
RC
?
?
??
?
???
相频特性,
通频带,
12 ??? ???
? ??T
1/3
2/??
2/?
0?
0?1? 2? ?
?
3.9.2 串联谐振
串联谐振频率,
LC
ff
?2
1
0 ??
串联谐振的条件,
0??? R XX CLa r c t a n?
则：
fC
fLXX CL
?
?
2
12 ?? 或
如果：
电压与电流同相，发生串联谐振 。
_
u
_
L
R
C
_
_
u R
u L
u C
+
+
++
i
谐振的概念, 含有电感和电容的交流电路，电路两端电压
和电路的电流同相，这时电路中就发生了 谐振现象 。
串联谐振特征,
(1)电路的阻抗模最小，电流最大 。
? ? RXXRZZ CL ????? 220 m i n
CL XX ?
因为
所以
从而在电源电压不变的情况下，电路中的电流达到最大值：
R
UIII ???
m a x0
(2)电压与电流同相，电路对外呈电阻性 。
此时，电路外部（电源）供给电路的能量全部被电阻消耗，电
路不与外部发生能量互换。能量的互换只发生在电感与电容之间。
I?
LU?
CU?
UUR ?? ?
(3) 和 有效值相等，相位相反，互相抵消，对整个
电路不起作用，因此电源电压 。
LU? CU?
RUU ?? ?
在电力工程中应避免串联谐振，以免电容
或电感两端电压过高造成电气设备损坏。
在无线电技术中常利用串联谐振，以获得
比输入电压大许多倍的电压。
应用常识
RXX CL ?? (4)当 时,。UUU CL ??? ＝
因为 和 可能超过电源电压的许多倍因此串联谐振
也称为 电压谐振 。
LU CU
CCC
LLL
X
R
U
IXU
X
R
U
IXU
??
??
品质因数 --Q
串联谐振时电感或电容上的电压和总电压的比值。
CR
U
X
R
U
U
R
LU
X
R
U
U
CC
LL
0
0
?
?
??
??
串联谐振时,
R
L
RCU
U
U
UQ LC 0
0
1 ?
? ????
所以：
f
串联谐振特性曲线
0ff ?
(1) 时，发生串联谐振,
电路对外呈 电阻性 。
0ff ?(2) 时,电路对外呈 电容性 。
0ff ?(3) 时,电路对外呈 电感性 。
f
0f
L?
R
C?
1
感性? ?0ff ?
Z
容性? ?0ff ?
I
0f
0I
02
1 I
1f 2f
:下限截止频率
:上限截止频率
12 fff ???
:通频带
1f
2f
Q值越大谐振曲线越尖锐，
电路的频率选择性越强。
3.9.3 并联谐振
_
u L C
+
R
i
1
i
C
i
并联谐振条件,
LCRCj
LjR
LjR
Cj
LjR
Cj
Z
211
1
??
?
?
?
?
?
??
?
?
??
?
?
)(
)(
电路的等效阻抗为：
线圈的电阻很小，在谐振时 ωL>>R，上式可写成：
?
?
?
?
?
? ??
?
??
?
L
Cj
L
RCLCRCj
Lj
Z
?
???
?
1
1
1 2
01 ?LC ?? －
LCf ?2
1
0 ?
并联谐振频率,
串联谐振特征,
(1)电路的阻抗模最大，电流最小。
RC
L
L
RC
ZZ ???
1
m a x0
在电源电压不变的情况下，电路中的电流达到最小值：
0
0 Z
UIII ???
m i n
(2)电压与电流同相，电路对外呈电阻性 。
(3)两并联支路电流近于相等，且比总电流大许多倍 。
Lf
U
LfR
UI
0202
1 2
2 ??
?
?
?
)( Cf
UI
C
02?
?
R
Lf
CfR
Lf
RC
LZ 20
0
0
0
2
2
2 )(
)(
?
?
? ?? ＝
当 时 RLf ??
02?
R
Lf
Cf
Lf
2
0
0
0
2
2
12 )( ?
?
? ???
并联谐振时两并联支路的电流近于相等且比总电流
大许多倍。因此并联谐振又称为 电流谐振 。
U?
1I?
CI?
0I?
品质因数 --Q
CRR
L
R
Lf
I
IQ
0
00
0
1 12
?
?? ????
并联谐振时支路的电流和总电流的比值。
返回
f
IZ
R
并联谐振特性曲线
0f
Q值越大谐振曲线越尖锐，
电路的频率选择性越强。
3.10 功率因数的提高
?c o sUIP ?负载的 有功功率,
?s inUIQ ?负载的 无功功率,
功率因数低的原因,
只有电阻性负载的功率因数为 1。
其它负载电压和电流间存在相位差，功
率因数介于 0和 1之间。
功率因数,1c os ??
返回
功率因数低的危害,
(2)增加线路和发电机绕组的功率损耗。
?c o sUIP ?
发电机的电压 U和输出功率 P 一定时，电流 I与功率因
数成反比。线路和发电机绕组上的功率损耗与功率因数成
反比。
?22
2
2 1
c o s?
?
?
?
???
?
??
U
PrrIP△
提高功率因数可以提高发电设备的利用率，并节约大量电能。
(1)发电设备的容量不能充分利用 。
额定情况下发电设备发出的有功功率：
因为发电设备的额定功率一定，所以功率因数越小
发电设备的发出的 有功功率越小，无功功率越大 。
额定功率一定
?c o sNN IUP ?
提高功率因数的常用方法,
并联电容
_
u
L
C
+
R
i
1
i
C
i
U
?
1
?
?
C
I
?
1
I
?
I
?
由相量图可以看出，并联电容后阻抗角减小了，功率因
数提高了，电源与负载之间的能量互换减少了，这时电感性负
载所需的无功功率大部分或全部由并联的电容供给，也就是说
能量的互换主要或完全发生在电感性负载和并联的电容之间。
例题 3.5
有一电感性负载，其功率 P =10kW,功率因数为 0.6,接在电
压 U =220V的电源上，电源频率为 50Hz。（ 1）如要将功率因
数提高到 0.95，试求与负载并联的电容器的电容值和电容器并
联前后的线路电流。（ 2）如要将功率因数从 0.95再提高到 1，
试问并联电容器的电容值还需增加多少。
解,
? ???
?
?
?
?
??
t a nt a n
s i n
c o s
s i n
c o s
s i ns i n
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
1
1
1
11
U
P
U
P
U
P
III
C
由相量图可得：
又因,CU
X
UI
C
C ???
所以,? ???? t a nt a n ??
1U
PCU
由此得,? ???
? t a nt a n ?? 12U
PC
?
?
18,95.0c o s
53,6.0c o s)1( 11
??
??
??
??
即
即
? ? F65618t a n53t a n
502220
1010
2
3
μC ?????? ???
并联电容前线路的电流为：
A6.75
6.02 2 0
1010
c o s
3
1
1 ??
???
?U
PI
并联电容后线路的电流为：
A8.47
95.0220
1010
c o s
3
?
?
???
?U
PI
（ 2）如要将功率因数由 0.95再提高到 1，则要增加的电
容值为：
? ? FC ?? 6213018502220 10102 3,t a nt a n ?????? ??
由此可见，功率因数已经接近于 1时再继续提高，
则所需的电容值是很大的，因此一般不必提高到 1。
返回
结 束
第 3 章
返回
电工学教研室
第 3章
正弦交流电路
返回
3.1 正弦电压与电流
3.3 电阻元件、电感元件与电容元件
3.4 电阻元件的交流电路
3.5 电感元件的交流电路
3.6 电容元件的交流电路
3.7 电阻、电感与电容元件的交流电路
3.8 阻抗的串联与并联
3.9 交流电路的频率特性
3.10 功率因数的提高
目 录
3.2 正弦量的相量表示法
直流电和正弦交流电
前面两章分析的是直流电路，其中的电压和电流的大小
和方向是不随时间变化的。
3.1 正弦电压与电流
I, U
O
t
直流电压和电流
返回
t
iu
O
正弦电压和电流
实际方向和参考方向一致
实际方向和参考方向相反
＋
－
正半周
实际方向和参考方向一致
+
_
u R
?
i
负半周
实际方向和参考方向相反
+
_
u R
?
i
正弦交流电的电压和电流是按照正弦规律周期性变化的。
3.1.1 频率和周期
正弦量变化一次所需要的时间（秒）称为 周期（ T）。
每秒内变化的次数称为 频率 （ ）, 单位是赫兹（ Hz）。
我国和大多数国家采用 50Hz的电力标准，
有些国家（美国、日本等）采用 60Hz。
小
常
识
正弦量变化的快慢还可用角频率来表示：
fT ??? 22 ??
t
T
2
T
2
3 T
t?? ?2 ?3 ?4
T2
u i
Of
频率是周期的倒数,
f =1/T
已知 =50Hz,求 T 和 ω 。
[解 ]T=1/ =1/50=0.02s,ω=2π =2× 3.14× 50＝ 314rad/s
f
f f
例题 3.1
3.1.2 幅值和有效值
瞬时值和幅值
正弦量在任一瞬间的值称为 瞬时值, 用小写字母表示，如, u,e 等 。
瞬时值中的最大的值称为 幅值或最大值, 用带下标 m的大写字母表示，
如 Im,Um,Em等 。
有效值
在工程应用中常用 有效值 表示交流电的幅度。一般所讲的正
弦交流电的大小，如交流电压 380V或 220V，指的都是有效值。
有效值 是用电流的热效应来规定的。设一交流电流和一直流
电流 I 流过相同的电阻 R,如果在交流电的一个周期内交流电和
直流电产生的热量 相等，则交流电流的 有效值 就等于这个直流电
的电流 I。
i
则
??
T
dti
T
I
0
21
dtRi
T
2
0? 交流 直流
RTI 2 ?
根据热效应相等有：
正弦电压和电动势的有效值：
22
mm EEUU ??
有效值都用大写字母表示！
tIi m ?s i n?
由 可得正弦电流的有效值：
2
mII ?
3.1.3 初相位
相位 表示正弦量的变化进程，也称 相位角 。
初相位 t =0时的相位 。
tIi m ?s i n?
相位：
t?
初相位,0
i
t ?
O
? ??? ?? tIi m s i n
相位,? ?
?? ?t
初相位,? ψ
i
t ?
初相位 给出了观察正弦波的起点或参考点。说明
相位差
两个同频率的正弦量的相位之差或初相位之差称为 相位差 。
则 和 的 相位差 为：
? ? ? ? 2121 ??????? ?????? tt
当 时, 比 超前 角,比 滞后 角。u
?i u i ?21 ?? ?
u i
? ?2?? ?? tIi m s i n
? ?1?? ?? tUu m sin
正弦交流电路中电压和电流的频率是相同的，但初相不
一定相同，设电路中电压和电流为,ω t
u
i
?
O
同相反相的概念
同相,相位相同，相位差为零。
反相,相位相反，相位差为 180° 。
总
结
描述正弦量的三个特征量：
幅值, 频率, 初相位 返回
O
ω t
i 1
i
2
i
3
i
下面图中是三个正弦电流波形。 与 同相, 与 反相 。1i 2i 1i 3i
3.2 正弦量的相量表示法
正弦量的表示方法：
三角函数式, ? ?
?? ?? tIi m s i n
★
★ 波形图：
i
t?
O
★ 相量法：用复数的方法表示正弦量
返回
一个正弦量可以用旋转的有向线段表示 。
相量法
? ??? ?? tUu m s i n
?
?
mU
t ?
ω
有向线段的 长度 表示正弦量的 幅值 ；
有向线段 (初始位置 )与横轴的 夹角 表示正弦量的 初相位 ;
有向线段旋转的 角速度 表示正弦量的 角频率 。
正弦量的瞬时值由旋转的有向线段在纵轴上的投影表示。
有向线段可以用复数表示。
复数的加减运算可用直角坐标式，乘除法运算可
用指数式或极坐标式。
j?
1?
O
r
a
b
?
A
? ??? s i nco s jrjbaA ????
?jreA ?
??? rA
直角坐标式：
指数式：
极坐标式式：
有向线段 OA可用复数形式表示：
表示正弦量的复数称为 相量
注意,相量用上面打点的大写字母表示。
由复数知识可知,j为 90° 旋转因子。一个相量乘上
+j 则旋转 +90° ；乘上 -j 则旋转 - 90° 。
复数的 模 表示正弦量的 幅值或有效值
复数的 辐角 表示正弦量的 初相位
? ? ??? ? ????? mjmmm UeUjUU s i nc o s?
? ? ??? ? ????? UUejUU js i nc o s?
正弦电压 的 相量 形式为：
有效值相量
幅值相量,? ??? ?? tUu m s i n
一个正弦量可以用旋转的有向线段表示，而有向线
段可以用复数表示，因此正弦量可以用复数来表示。
把表示各个正弦量的有向线段画在一起就是 相量图,
它可以形象地表示出各正弦量的大小和相位关系。
相量图
ψ ２ ψ １
?
Ι
?
U
?
电压相量 比电流相量U? I? 超前 ?角
1,只有 正弦周期量 才能用相量表示。
2,只有 同频率 的正弦量 才能画在一张相量图上。
注意
[解 ](1)用 复数形式 求解
根据 基尔霍夫电流定律,
? ? ? ?
? ? ? ?
A.,
.,
s i nco ss i nco s
0218
3045
2121
1297407122
3052770770
306030604510045100
6010021
?
?
???
????
????
??????
?
??
????
???
j
jjj
m
j
mmmm
ej
jj
j
eeeIeIIII
??
i
1
i
2
i在如图所示的电路中，设：
A)s i n ()s i n (
A)s i n ()s i n (
????
?????
3060
451 0 0
221
111
－ttIi
ttIi
m
m
???
???
求总电流 。
例题 3.2
i
（ 2）用 相量图 求解
画出相量图，并作出平行四边形，其对角线即是总电流。
+ j
+1
m
I
1
?
m
I
2
?
m
I
?
70.7
40.7
70.7
52
122.7
30
45°
1 8 °2 0 ′
30°
返回
3.3 电阻元件、电感元件和电容元件
在 直流电路 中（稳态）,电感元件 可视为短路，
电容元件 （稳态）可视为开路。
在 交流电路 中,电感元件 和 电容元件 中的电流均
不为零。
电阻元件,消耗电能，转换为热能（电阻性）
电感元件,产生磁场，存储磁场能（电感性）
电容元件,产生电场，存储电场能（电容性）
返回
3.3.1 电阻元件
对电阻元件，其电压电流满足欧姆定律：
iRu
R
ui ?? 或
把上面两式相乘并积分，得,? ?
?
t t
dtRiu id t
0 0
2
由此可知，电能全部消耗在电阻上，转换为热能。
金属导体的电阻值与其材料导电性及尺寸的关系为：
S
lR ??
其中,ρ,,S分别为导体的电阻率、长度、横截面积。l
3.3.2 电感元件
对于一个电感线圈，习惯上规定感应电动势的参考
方向与磁通的参考方向之间符合右手螺旋定则。
线圈的感应电动势为：
tt
ΦNe
d
d
d
d ?????
电感的定义
如果磁通是由通过线圈的电流 产生的, 则：
LiN Φ ???
L为线圈的 电感,也称为 自感 。
i
此时的感应电动势也称为 自感电动势,
t
iLe
L d
d??
l
SN
L
2?
?
线圈的电感与线圈的尺寸、匝数及介质的磁导率 μ 有关：
电感的单位为 亨 [利 ](H).
电感元件的电压电流关系
＋
_
u
_
＋
e L L
i电感中出现的自感电动势表现在电感两端有电压降产生。
设一电感元件电路电压、电流及电动势的参考方向如图所示。
根据 基尔霍夫电压定律：
Leu ??
t
iLeu
L d
d???从而：
? ??? ???? ????? 0 000 1111 ttt tuLituLtuLtuLi dddd
把上式两边积分可得：
式中 为 t=0时电流的初始值。如果 ＝ 0则：
?? t tuLi 01 d
0i 0i
电感元件的磁场能量
2
2
1
Li
因此电感元件中存储的 磁场能量 为：
返回
t
iLeu
L d
d ???把式 两边乘以 并积分得：
?? ??
tt
LiiLitui
0
2
0 2
1
dd
i
3.3.3 电容元件
电容元件的电容 C定义为电容上的 电量与电压的比值,
u
qC ?
电容的定义
电容的大小与电容元件的尺寸及介质的介电常数有关。
平行板电容器的电容为：
d
SC ??
式中 ε 为介质的介电常数,S为极板面积,d为极板间距离。
单位为 法 [拉 ](F).
电容元件的电压与电流的关系 ＋
_
u C
i
对于图中的电路有：
t
u
C
t
q
i
d
d
d
d
??
对上式两边积分，可得：
? ??? ???? ????? 0 000 1111 ttt tiCutiCtiCtiCu dddd
式中 u0为 t=0时电压的初始值。如果 u0＝ 0则：
?? tid tCu 01
电容元件的电场能量
2
2
1 Cu
电容元件中存储的 电场能量 为：
把式 两边乘以 u并积分得：
?? ??
tt
CuuCutui
0
2
0 2
1
dd
t
uC
t
qi
d
d
d
d ??
特征
电阻元件 电感元件 电容元件
参数定义
电压电流关系
能量
iRu ?
i
uR ?
i
NL ??
u
qC ?
t
iLu
d
d?
t
uCi
d
d?
?
t
dtRi
0
2 2
2
1 Li 2
2
1 Cu
元件
总结
如果一个电感元件两端的电压为零，其
储能是否也一定为零？如果一个电容元件中
的电流为零，其储能是否一定为零？
思考题
返回
3.4 电阻元件的交流电路
电压电流关系
tUtRIiRu mm ?? s i ns i n ???
tIi m ?s i n?
＋
_
u R
i
设图中电流为：
根据 欧姆定律,
从而：
R
I
U
I
U
i
uRIU
m
m
mm ????
电压和电流 频率相同, 相位相同 。
IRU ?? ?相量形式的欧姆定律 返回
瞬时功率
电压和电流瞬时值的乘积就是 瞬时功率,
? ? ? ?tUItIUtIUuip mmmm ??? c o sc o ss i n ?????? 1122
p≥0，总为正值，所以电阻元件消耗电能，转换为热能 。
平均功率
平均功率 是一个周期内瞬时功率的平均值：
? ??? ?????? TT
R
URIUIttUI
T
pdt
T
P
0
2
2
0
111 dc o s ?
电压、电流、功率的波形
u
u
2 ππ
O
O
p
P
ω t
ω t
＋
_
u
C
I
?
U
?
i
i
i
p
返回
3.5 电感元件的交流电路
电压电流关系
设一非铁心电感线圈 (线性电感元件，
L为常数 ),假定电阻为零。根据基尔霍夫电
压定律：
t
iLeu
L d
d ???
＋
_
u
_
＋
e L L
i
设电流为参考正弦量,tIi
m ?s i n?
? ? ? ? ? ??? 9090 ?????? tUtLItLI
t
tILu
mmmm ?????
? s i ns i nc o s
d
s i nd
电压和电流 频率相同, 电压比电流相位超前 90° 。
返回
从而,L
I
U
I
ULIU
m
m
mm ?? ???
LXi
u ? 注意！
这样，电压电流的关系可表示为 相量形式,
ILjIjXU L ??? ???
ωL 单位为欧 [姆 ]。电压 U 一定时 ωL 越大电流 I越小
,可见它对电流起阻碍作用,定义为 感抗,
fLLX L ?? 2??
感抗 XL与电感 L,频率 成正比。对于直流电 ＝ 0，
XL＝ 0,因此 电感对直流电相当于短路。 f f
瞬时功率
? ?
tUIt
IU
ttIU
ttIUuip
mm
mm
mm
????
??
22
2
90
s i ns i nc o ss i n
s i ns i n
???
??? ?
P=0表明电感元件不消耗能量。 只有电源与电感元件间
的能量互换。用 无功功率 来衡量这种能量互换的规模。
平均功率 （有功功率）
0211
00 ??
???
TT
ttUI
T
tp
T
P ds i nd ?
平均功率衡量电路中所消耗的电能，也称 有功功率 。
无功功率
电感元件的无功功率 用来衡量电感与电源间 能量互换
的规模,规定 电感元件的无功功率 为瞬时功率的幅值
（它并不等于单位时间内互换了多少能量）。它的单
位是乏（ var）。
LXIUIQ
2??
无功功率是否与频率有关？
思考题
返回
电压、电流、功率的波形
u
2 ππ
O
O
p
ω t
ω tI
?
U
?
p
＋
_
u
_
＋
e
L
+
_
+
_
+
_
+
_
储能 储能 放能放能
L
+ +
- -
i
iiii
i
返回
在第一个和第三个 1/4周期内，电流在增大，磁场在建立，
p为正值（ u 和 正负相同）,电感元件从电源取用能量，并转
换为磁场能量； 在第二个和第四个 1/4周期内,电流在减小,p
为负值（ u 和 一正一负）,磁场在消失，电感元件释放原先
储存的能量并转换为电能归还给电源。 这是一个可逆的能量转
换过程。在一个周期内，电感元件吸收和释放的能量相等。
i
i
3.6 电容元件的交流电路
电压电流关系
＋
_
u C
i
对于电容电路：
t
uC
t
qi
d
d
d
d ??
如果电容两端加正弦电压：
tUu m s i n ??
? ? ? ? ? ??? 9090 ?????? tItCUtCU
dt
tUCi
mmmm ?????
? s i ns i nc o ss i nd
则：
电压和电流 频率相同, 电压比电流相位滞后 90° 。
返回
从而：
CI
U
I
UUCI
m
m
mm ??
1???
这样，电压电流的关系可表示为 相量形式,
Cj
I
C
IjIjXU
C ??
????
?????
f
(1/ωC)单位为欧 [姆 ]。电压 U一定时 (1/ωC)越大电流
I越小,可见它对电流起阻碍作用,定义为 容抗,
fCCX C ?? 2
11 ??
容抗 XC与电容 C，频率 成反比。对直流电 ＝ 0，
XC→∞, 因此 电容对直流相当于开路,电容具有隔直通
交的作用。
f
瞬时功率
? ?
tUIt
IU
ttIU
ttIUuip
mm
mm
mm
????
??
22
2
90
s i ns i nc o ss i n
s i ns i n
???
??? ?
平均功率 （有功功率）
电容的平均功率（有功功率）：
0211
00 ??
???
TT
ttUI
T
p d t
T
P ds i n ?
P=0表明电容元件不消耗能量。 只有电源与电容元件
间的能量互换。
无功功率
为了同电感的无功功率相比较，设电流
tIi m ?s i n?
为参考正弦量，则：
? ??90?? tUu m s i n ?
这样，得出的瞬时功率为：
tUIuip ?2si n ???
由此,电容元件的无功功率 为：
CXIUIQ 2????
电容性无功功率为负值，电感性无功功率取正值。
u
2 ππ
O
O
p
ω t
ω t
I?
U ?
p
+
_
+
_
+
_
+
_
充电 充电 放电放电
+ +
- -
＋
_
u
C
i
i
iiii
电压、电流、功率的波形
返回
在第一个和第三个 1/4周期内，电压在增大，电容在充电，
p为正值（ u 和 正负相同）,电容元件从电源取用能量，并转
换为电场能量； 在第二个和第四个 1/4周期内,电压在减小,p
为负值（ u 和 一正一负），电容在放电,电容元件释放原先储
存的能量并转换为电能归还给电源。 这是一个可逆的能量转换
过程。在一个周期内，电容元件吸收和释放的能量相等。
i
i
3.7电阻、电感与电容元件串联的交流电路
_
u
_
L
R
C
_
_
u R
u L
u C
+
+
++
i
电压电流关系
根据基尔霍夫电压定律：
??????? i d tCtiLRiuuuu CLR 1dd
设串联电路电流
tIi m ?s in?
为参考正弦量，则：
tUtRIu RmmR ?? s i ns i n ??
? ? ? ??? 9090 ???? tUtLIu LmmL ??? s i ns i n
? ? ? ??? 9090 ???? tUtCIu CmmC ??? s i ns i n
同频率的的正弦量相加，得出的仍为同频率的正弦量，所以可得出下面
形式的电源电压：
? ??? ????? tUuuuu mCLR s i n返回
相量关系
? ?? ? IXXjRIjXIjXIRUUUU CLCLCLR ???????? ?????????
基尔霍夫电压定律的相量形式为：
由此：
? ?CL XXjRIU ?????
? ?CL XXjR ??其中 实部为, 阻,,虚部为, 抗,,称为 阻抗。
? ? ?????? ZXXjRZ CL
阻抗 Z不是一个相量，而是一个复数计算量。
阻抗模,
? ?
2
222 1 ?
?
?
?
?
? ??????
C
LRXXRZ CL
?
?
单位为欧 [姆 ]。反映了电压与电流之间的大小关系。
阻抗角（电压与电流的相位差）：
R
XX CL ?? a r c t a n?
其大小由电路参数决定,反映了电压与电流之间的相位关系。
.,0 电路为电容性即 ?? ?CL XX
.,0 电路为电感性即 ?? ?CL XX
.,0 电路为电阻性即 ?? ?CL XX
复数形式的欧姆定律：
ZIU ?? ?
由此可得：
???
?
? ?????
?
??? Z
I
U
I
U
I
UZ
iu
i
u
?
?
R
XXtg CL
iu
???? ? 1???
复数形式的欧姆定理：
相量图
L
U
?
C
U
?
C
U
?
CL
UU
??
?
U
?
R
U
? I
?
?
电压三角形
相量图中由,, 构成的三角形称为 电压三角形 。
? ? ? ? ? ?
? ?22
2222
CL
CLCLR
XXRI
IXIXRIUUUU
???
??????
R
XX
U
UU CL
R
CL ???? a r c t a na r c t a n?
? ? 22 CL XXRIUZ ????
CL UU ?? ?RU?U?
瞬时功率
? ?
)c o s (c o s
)c o s (c o s
s i ns i n
???
???
???
???
???
???
tUIUI
t
IUIU
ttIUuip
mmmm
mm
2
2
22
平均功率 （有功功率）
?
???
c o s
d)2c o s (c o s[
1
d
1
00
UI
ttUIUI
T
tp
T
P
TT
?
???? ??
根据电压三角形：
RIUU R ???c o s
于是 有功功率 为,
?c o sUIRIIUP R ??? 2
无功功率
?s i n)(
)(
UIXXI
IUUIUIUQ
CL
CLCL
???
????
2
功率因数 ?cos
视在功率
2IZUIS ?? 单位为：伏 ·安（ V·A）
功率 ﹑ 电压 ﹑ 阻抗 三角形
S
Q
Z
U
?
C
L
X
X
?
C
L
U
U
?
?
?
R
U
?R
?
返回
22 QPS ??
有功功率、无功功率和视在功率的关系：
3.8 阻抗的串联与并联
3.8.1 阻抗的串联
_ _
Z 1
_
+
+
Z 2
U ?
1
U ?
2
U?
I?
+
_
Z
U ?
I?
+
? ? IZZIZIZUUU ?????? 21221121 ??????
根据基尔霍夫电压定律：
用一个等效阻抗 Z 两个串联的阻抗，则：
IZU ?? ?比较上面两式得等效阻抗为：
21 ZZZ ??
返回，
多个阻抗串联时，等效阻抗为：
?jkk
k eZXjRZZ ???? ???
? ? ? ?22 ?? ?? kk XRZ式中,???
k
k
R
X
a r c t a n?
注
意
！
对于两个阻抗串联电路,一般情况下：
21 UUU ??
即,IZIZIZ 21 ??
所以,21 ZZZ ??
两个阻抗串联时，什么情况下：
成立？
思考题
21 UUU ?? 21 ZZZ ??
例题 3.3
??? 91661 jZ, ??? 4522 jZ, V?? 30220??U两个阻抗 和 串联接在 的电
源上。试用相量计算电路的电流和各阻抗上的电压。
[解 ]
验算方法,是否 UUU ??? ?? 21
? ? ? ?
? ? ? ?
? ?
? ? V...
V.....
A
,
.,
.,
??
??
?
?
?
?
??
??
?
?
5861 0 3225871422452
65582 3 922655910229166
022
3010
302 2 0
30105668
4952166
4529166
22
11
11
??????????
????????
??
?
?
??
????
????
????
??
jIZU
jIZU
Z
U
I
j
j
jj
ZZZ
?
30
?
6.55
?
58
1U
?
2U
?
I?
U?
_ _
Z 1
_
+
+
Z 2
U?
1U
?
2U
?
I?
+
3.8.2 阻抗的并联
_
Z
U ?
I?
+
_
Z 1
U ?
I?
+
1I
?
2I
? Z
2
根据基尔霍夫电流定律：
???
?
???
? ??????
2121
21
11
ZZUZ
U
Z
UIII ??????
用一个等效阻抗 Z 两个并联的阻抗，则：
Z
UI ?? ?
比较上面两式得等效阻抗为,
21
111
ZZZ ?? 21
21
ZZ
ZZZ
??
或
??
kZZ
11多个阻抗并联时：
对于两个阻抗并联电路,一般情况下：
注
意
！
21 III ??
即：
21 Z
U
Z
U
Z
U ??
所以：
21
111
ZZZ ??
两个阻抗并联时，什么情况下：
成立？
思考题
21
111
ZZZ ??21 III ??
例题 3.4
两个阻抗 和 并联接在 的电
源上。计算电路的各支路的电流和总电流。
??? 681 jZ V?? 0220??U??? 431 jZ
III
Z
U
I
Z
U
I
Z
U
I
jjjZZ
ZZ
Z
jZjZ
???
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
????
??
??
???
?
?
??
??
??
?
??
???
?
?
??
???
??
?
?
?
?
?
???
????
?
?
?
???????????
21
2
2
1
1
21
21
21
526249
526474
0220
3722
3710
0220
5344
535
0220
526474
510811
1650
211
1650
6843
3710535
37106853543
A..
..
A
A
.,
..
,
是否验算方法：
解：
?
37
?
53
I
?
U
?
1
I
?
2
I
?
?
5.26
返回
_
Z 1
U?
I?
+
1I
?
2I
? Z
2
?
?
3.9 交流电路的频率特性
频率特性, 电路中电压和电流随频率变化的关系 。
时域分析,在时间领域内对电路进行分析。
频域分析,在频率领域内对电路进行分析。
3.9.1 RC串联电路的频率特性
概念
传递函数,电路输出电压与输入电压的比值。
返回
＋
_
C
R
)( ?jU 1 )( ?jU 2
＋
_
1.低通滤波电路
0 2
0
01
1
1
1
?
?
?
? ?
?
?arctan ) (? ?
? ?
?
?
? ?
?
?
?
?
?
?
j
j T
RC
1
0? ?
设 则：
式中：
传递函数,
)()()a r c t a n (
)(
)(
)(
)(
????
?
?
?
?
?
?
?
????
?
?
?
?
?
??
jTRC
RC
RCj
Cj
R
Cj
jU
jU
jT
2
1
2
1
1
1
1
1
1
21
2
1
1
)()(
)()(
RCU
UjT
??
??
?
?
)a r c t a n ()( RC??? ??
21
2
1
1
)()(
)()(
RCU
UjT
??
??
?
??
幅频特性：
)a r c t a n ()( RC??? ??
相频特性,
频率特性,
0
00.7071
0
)( ?jT
)(??
? ?
4?? 2??
0?
? ??T
0.707
? ???
?
2/??
4/??
1
0? ?
O
)2/1(
O 0?
ω<ω0时,变化不大，接近于 1。
)( ?jT
)( ?jT
ω>ω0时,明显下降。
由幅频特性可知：
低通滤波电路使低频信号容易通过，抑制高频信号 。
由此可见：
通频带
频率半功率点频率或截止频率
)dB (,
0
0
0
3
??
?
??
定义：
半功率点频率,
2
1?
i
o
U
U
iPP 2
1?
o
当
0?? ?
时，
dB3
2
1
lg20lg20
??
?
i
o
U
U当
0?? ?
时，
2
1?
i
o
U
U
分贝数定义：
i
o
U
UlgdB 20?
-3dB频率,
2.高通滤波电路
RC
1
0? ?
设 则：
?
?
?
?
?
?
?0
2
0
0
1
1
1
1
arctan ) (?
?
?
?
?
?
? ?
?
?
?
j
j T
＋
_
C
R)( ?jU
1
)( ?jU 2
＋
_
传递函数,
)()(a r c t a n
)(
)(
)(
???
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
jT
RC
RC
RC
j
RCj
RCj
Cj
R
R
jU
jU
jT
1
1
1
1
1
1
1
11
2
1
2
式中：
21
2
11
1
?
?
??
?
??
?
RC
U
UjT
?
?
??
)(
)()( ???????? RC??? 1a r c t a n)(
21
2
11
1
?
?
?
?
?
??
??
RC
U
UjT
?
?
??
)(
)()(幅频特性：
频率特性,
?
?
??
?
??
RC?
?? 1 a r c t a n)(
相频特性,
高通滤波器使高频信号容易通过，抑制低频信号。
0
10.7071
0
)( ?jT
)(??
? ?
4?2?
0?
? ??T
0.707
? ???
?
2/?
4/?
1
0? ?
O
)2/1(
O
0?
3.带通滤波电路
传递函数,
)()(
a r c t a n
)()(
)(
)(
???
?
?
?
?
?
?
??
?
??
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jT
RC
RC
RC
RC
RC
RCj
RCjRCj
RCj
RCj
R
Cj
RCj
RCj
R
Cj
R
Cj
R
Cj
R
Cj
R
Cj
R
jU
jU
jT
3
1
1
3
1
1
3
1
1
1
1
1
1
1
1
2
2
2
1
2
C
R
＋
_
C
R)( ?jU 1 )( ?jU 2
＋
_
RC
1
0? ?
设 则：
3
3
1
3
1
0
0
2
0
0
2
0
0
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
?arctan ) (
j
j T
频率特性,
幅频特性：
2
2 13
1
?
?
?
?
?
? ??
??
RC
RC
jT
?
?
? )(
0.707/3
)(??0
01/30
0
)( ?jT
)(??
? 0? ?
2? 2??
a r c t a n)(
3
1
RC
RC
?
?
??
?
???
相频特性,
通频带,
12 ??? ???
? ??T
1/3
2/??
2/?
0?
0?1? 2? ?
?
3.9.2 串联谐振
串联谐振频率,
LC
ff
?2
1
0 ??
串联谐振的条件,
0??? R XX CLa r c t a n?
则：
fC
fLXX CL
?
?
2
12 ?? 或
如果：
电压与电流同相，发生串联谐振 。
_
u
_
L
R
C
_
_
u R
u L
u C
+
+
++
i
谐振的概念, 含有电感和电容的交流电路，电路两端电压
和电路的电流同相，这时电路中就发生了 谐振现象 。
串联谐振特征,
(1)电路的阻抗模最小，电流最大 。
? ? RXXRZZ CL ????? 220 m i n
CL XX ?
因为
所以
从而在电源电压不变的情况下，电路中的电流达到最大值：
R
UIII ???
m a x0
(2)电压与电流同相，电路对外呈电阻性 。
此时，电路外部（电源）供给电路的能量全部被电阻消耗，电
路不与外部发生能量互换。能量的互换只发生在电感与电容之间。
I?
LU?
CU?
UUR ?? ?
(3) 和 有效值相等，相位相反，互相抵消，对整个
电路不起作用，因此电源电压 。
LU? CU?
RUU ?? ?
在电力工程中应避免串联谐振，以免电容
或电感两端电压过高造成电气设备损坏。
在无线电技术中常利用串联谐振，以获得
比输入电压大许多倍的电压。
应用常识
RXX CL ?? (4)当 时,。UUU CL ??? ＝
因为 和 可能超过电源电压的许多倍因此串联谐振
也称为 电压谐振 。
LU CU
CCC
LLL
X
R
U
IXU
X
R
U
IXU
??
??
品质因数 --Q
串联谐振时电感或电容上的电压和总电压的比值。
CR
U
X
R
U
U
R
LU
X
R
U
U
CC
LL
0
0
?
?
??
??
串联谐振时,
R
L
RCU
U
U
UQ LC 0
0
1 ?
? ????
所以：
f
串联谐振特性曲线
0ff ?
(1) 时，发生串联谐振,
电路对外呈 电阻性 。
0ff ?(2) 时,电路对外呈 电容性 。
0ff ?(3) 时,电路对外呈 电感性 。
f
0f
L?
R
C?
1
感性? ?0ff ?
Z
容性? ?0ff ?
I
0f
0I
02
1 I
1f 2f
:下限截止频率
:上限截止频率
12 fff ???
:通频带
1f
2f
Q值越大谐振曲线越尖锐，
电路的频率选择性越强。
3.9.3 并联谐振
_
u L C
+
R
i
1
i
C
i
并联谐振条件,
LCRCj
LjR
LjR
Cj
LjR
Cj
Z
211
1
??
?
?
?
?
?
??
?
?
??
?
?
)(
)(
电路的等效阻抗为：
线圈的电阻很小，在谐振时 ωL>>R，上式可写成：
?
?
?
?
?
? ??
?
??
?
L
Cj
L
RCLCRCj
Lj
Z
?
???
?
1
1
1 2
01 ?LC ?? －
LCf ?2
1
0 ?
并联谐振频率,
串联谐振特征,
(1)电路的阻抗模最大，电流最小。
RC
L
L
RC
ZZ ???
1
m a x0
在电源电压不变的情况下，电路中的电流达到最小值：
0
0 Z
UIII ???
m i n
(2)电压与电流同相，电路对外呈电阻性 。
(3)两并联支路电流近于相等，且比总电流大许多倍 。
Lf
U
LfR
UI
0202
1 2
2 ??
?
?
?
)( Cf
UI
C
02?
?
R
Lf
CfR
Lf
RC
LZ 20
0
0
0
2
2
2 )(
)(
?
?
? ?? ＝
当 时 RLf ??
02?
R
Lf
Cf
Lf
2
0
0
0
2
2
12 )( ?
?
? ???
并联谐振时两并联支路的电流近于相等且比总电流
大许多倍。因此并联谐振又称为 电流谐振 。
U?
1I?
CI?
0I?
品质因数 --Q
CRR
L
R
Lf
I
IQ
0
00
0
1 12
?
?? ????
并联谐振时支路的电流和总电流的比值。
返回
f
IZ
R
并联谐振特性曲线
0f
Q值越大谐振曲线越尖锐，
电路的频率选择性越强。
3.10 功率因数的提高
?c o sUIP ?负载的 有功功率,
?s inUIQ ?负载的 无功功率,
功率因数低的原因,
只有电阻性负载的功率因数为 1。
其它负载电压和电流间存在相位差，功
率因数介于 0和 1之间。
功率因数,1c os ??
返回
功率因数低的危害,
(2)增加线路和发电机绕组的功率损耗。
?c o sUIP ?
发电机的电压 U和输出功率 P 一定时，电流 I与功率因
数成反比。线路和发电机绕组上的功率损耗与功率因数成
反比。
?22
2
2 1
c o s?
?
?
?
???
?
??
U
PrrIP△
提高功率因数可以提高发电设备的利用率，并节约大量电能。
(1)发电设备的容量不能充分利用 。
额定情况下发电设备发出的有功功率：
因为发电设备的额定功率一定，所以功率因数越小
发电设备的发出的 有功功率越小，无功功率越大 。
额定功率一定
?c o sNN IUP ?
提高功率因数的常用方法,
并联电容
_
u
L
C
+
R
i
1
i
C
i
U
?
1
?
?
C
I
?
1
I
?
I
?
由相量图可以看出，并联电容后阻抗角减小了，功率因
数提高了，电源与负载之间的能量互换减少了，这时电感性负
载所需的无功功率大部分或全部由并联的电容供给，也就是说
能量的互换主要或完全发生在电感性负载和并联的电容之间。
例题 3.5
有一电感性负载，其功率 P =10kW,功率因数为 0.6,接在电
压 U =220V的电源上，电源频率为 50Hz。（ 1）如要将功率因
数提高到 0.95，试求与负载并联的电容器的电容值和电容器并
联前后的线路电流。（ 2）如要将功率因数从 0.95再提高到 1，
试问并联电容器的电容值还需增加多少。
解,
? ???
?
?
?
?
??
t a nt a n
s i n
c o s
s i n
c o s
s i ns i n
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
1
1
1
11
U
P
U
P
U
P
III
C
由相量图可得：
又因,CU
X
UI
C
C ???
所以,? ???? t a nt a n ??
1U
PCU
由此得,? ???
? t a nt a n ?? 12U
PC
?
?
18,95.0c o s
53,6.0c o s)1( 11
??
??
??
??
即
即
? ? F65618t a n53t a n
502220
1010
2
3
μC ?????? ???
并联电容前线路的电流为：
A6.75
6.02 2 0
1010
c o s
3
1
1 ??
???
?U
PI
并联电容后线路的电流为：
A8.47
95.0220
1010
c o s
3
?
?
???
?U
PI
（ 2）如要将功率因数由 0.95再提高到 1，则要增加的电
容值为：
? ? FC ?? 6213018502220 10102 3,t a nt a n ?????? ??
由此可见，功率因数已经接近于 1时再继续提高，
则所需的电容值是很大的，因此一般不必提高到 1。
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结 束
第 3 章
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