§ 8.2平行数据计量经济学模型（二）
— 扩展模型
一、变系数模型
二、动态模型
三、关于平行数据模型的总结
一、变系数模型
要点
? 变系数模型的表达式
? 固定影响模型 —— 随机干扰项在不同横截面个体
之间不相关 —— OLS估计
? 固定影响模型 —— 随机干扰项在不同横截面个体
之间相关 —— GLS估计
? 随机影响模型的复合误差项
? 随机影响模型的 GLS估计
实际经济分析中的变系数问题
? 线性模型中，系数表示边际倾向（对于直接线性
模型）或者弹性（对于对数线性模型），而它们
相对于不同的截面个体经常是不同的。例如：
– 不同地区收入的边际消费倾向不同。
– 不同地区 FDI的边际效益不同。
– 不同家庭的边际储蓄倾向不同。
? 而它们在各自的时间序列中一般是相同的。
? 提出了变系数平行数据模型问题。
模型表达
系数 随 横截面上 个 体 而 改变 的 模型 为,
itiitit
uXy ?? ?,;,,1 ni ?? Tt,,1 ??
其中
it
X 和
i
? 是解释变量和参数向量。也可写成
iiii
uXy ?? ?
其中
1
2
1
?
?
?
?
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?
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T
iT
i
i
i
y
y
y
y
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KT
K iTiTiT
Kiii
Kiii
i
xxx
xxx
xxx
X
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iK
i
i
i
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iT
i
i
i
u
u
u
u
?
2
1
1.固定影响模型
? 将 βi视为固定的不同的常数时，可写成：
uXy ?? ?
1
2
1
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
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nTn
y
y
y
y
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X
X
X
X
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00
00
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?
?
?
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?
?
?
?
?
?
?
?
nKn
?
?
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?
1
2
1
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?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
nTn
u
u
u
u
?
将截距项也看作一个虚变量
? 显然，如果随机干扰项在不同横截面个体之间不
相关，上述模型的参数估计极为简单，即以每个
截面个体的时间序列数据为样本，采用经典单方
程模型的估计方法分别估计其参数。即使采用
GLS估计同时得到的 GLS估计量，也是与在每个
横截面个体上的经典单方程估计一样。
? 条件：
0??jiuEu ji?
IuEu iii 2???
? 如果随机项在不同横截面个体之间的协方差不为
零,GLS估计比每个横截面个体上的经典单方程
估计更有效。
? 为什么？
jiij uEu ???
nTnTnnnn
n
n
V
?
?
?
?
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?
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?
?
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???
???
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21
22221
11211
yVXXVXG L S 111 )(? ??? ??＝?
各种文献中提出各种 V矩阵的方
法，形成了各种 FGLS估计
2.随机影响模型
原模型写成：
令
ii
??? ??, 假定
0?
i
E ?
?
?
?
?
??
??
ji
ji
E
ji
0
??
0??
jit
Ex ?
?
?
?
?
?
??
ji
jiI
uEu
Ti
ji
0
2
?
uXXy ??? ?? ~
后两项组成
复合随机项
问题变成具有复杂
随机项结构的不变
系数模型
? β的最佳线性无偏估计是 GLS估计：
?
?
?
?
?
?
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?
?
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iiiG L S yXXX
1
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Tiiii IXX 2??????
112
1
1
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?
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?
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?
???? ? iii
n
i
iiii XXXXW ??
iiiii yXXX ??? ? 1)(??
复合随机项的协方差矩
阵的第 i个对角分块
说明 GLS估计是每一个横截面个体
上最小二乘估计的矩阵加权平均。
权与它们的协方差成比例。
G L S 估计的协方差矩阵为,
?)
?
(
GL S
Var ?
1
1
1
?
?
?
?
?
?
?
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?
?
?
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n
i
iii
XX
1
1
112
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?
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??
?
?
?
?
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?
?
?
?
?
????
?
n
i
iii
XX?
Sw am y 建议使用最小二乘估计
iiiii
yXXX ???
? 1
)(
?
? 和它们的残差
iiii
Xyu ?
?
? ?? 得到
2
i
? 和 ? 的无偏估计,
KT
uu
ii
i
?
?
?
??
?
2
?
iiiiii
yXXXXIy
KT
])([
1
1
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?
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1
1
1 1
1
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1
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)(
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(
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?
? ?
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?????
?
??
??? ? ii
n
i
i
n
j
ji
n
i
n
j
ji
XX
n
nn
n
?????
一种 FGLS
二、动态模型
要点
? 动态模型的“动态”的含义及表达
? 不包含外生解释变量情况下的动态模型的 IV估计
? 包含外生解释变量情况下的动态模型的 IV估计
? 随机影响动态模型的一般表述
? 随机影响动态模型的 IV估计
动态平行数据模型
? 动态模型，即指包含滞后被解释变量作为解释变
量的模型。
? 当采用平行数据作为样本观测值时，变截距模型
写为：
itiittiit
uxyy ????
?
???
1,;,,1 ni ?? Tt,,1 ??
其中 0?
it
Eu
?
?
? ??
?
否则
且
0
2
stji
uEu
u
jsit
?
1,固定影响模型
首先 考虑 不 包含 外 生 解释 变量 的 情况,
ititiit
uyy ???
?
??
1,
1|| ??,;,,1 ni ?? Tt,,1 ??
如果
it
u 是正态分布且
0i
y 是给定的常数，则动态固定影响模型参数
的 ML 估计在 T 较小时是有偏估计 。利用工具变量法可得到在 T
固定,??n 时参数 的一致估计。
取差分消除
i
? 后，有
)()()(
1,2,1,1,????
?????
tiittititiit
uuyyyy ? ;,,1 ni ?? Tt,,1 ??
因为
2,?ti
y 和 )(
3,2,??
?
titi
yy 与 )(
2,1,??
?
titi
yy 相关，但与 )(
1,?
?
tiit
uu 不相关,
所以它们是有效的工具变量。
以 )( 3,2,?? ? titi yy 作为 )( 2,1,?? ? titi yy 的工具变量，得到,
? ?
? ?
? ? ????
? ? ???
??
??
?
n
i
T
t titititi
n
i
T
t tititiit
IV
yyyy
yyyy
1 3 3,2,2,1,
1 3 3,2,1,
))((
))((
??
以 2,?tiy 作为 )( 2,1,?? ? titi yy 的工具变量，得到,
? ?
? ?
? ? ???
? ? ??
?
?
?
n
i
T
t tititi
n
i
T
t titiit
IV
yyy
yyy
1 2 2,2,1,
1 2 2,1,
)(
)(
??
在 ??n 或 ??T 时，都是一致估计。于是进一步得到,
1,?? ??? iii yy ?? ni,,1 ??
? 在包含外生解释变量的情况下，类似地，首先采用
工具变量方法估计差分方程模型，得到 γ和 β的估计
量，然后求得 αi的估计量。
2.随机影响模型
如果 模型 中
i
? 为 随机 变量, 可以 将 模型 写 成,
itititiit
vxzyy ????
?
???
1,;,,1 ni ?? Tt,,1 ??
其中 1|| ??
itiit
uv ?? ? 0??
iti
EuE ?
0?
ii
zE ? 0?
iti
xE ? 0?
jti
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ji
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??
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?
否则0
,
2
stji
uEu
u
jsit
?
其中
i
z 是 诸 如 性别, 民族 等随时间不变的
1
1 K? 阶 属性外生变量向量,
it
x 是随时间变化的
2
1 K? 阶 外生变量向量，且 让它的第一个元素为 1,
以 代表截距,? 是 11 ? 阶, ? 和 ? 分别是 1
1
?K 阶 和 1
2
?K 阶 的参数向量。
? 关于 y0的不同假设：
情况 1,
0i
y 固定。一个横截面 个 体 单位可能开始于某一任意位置
0i
y,
并渐近地移向稳定的位置 ?
?
?
???
0
,
)1/()(
j
j
jtiii
xz ????? 。但如果
何时开始抽样的决定是任意的且与
0i
y 的值无关，则将
0i
y 视为固定是
值得怀疑的，因为 0
0
?
ii
yE ? 意味着个体影响
i
? 在第 0 期对模型不产
生影响，但影响第一期 以及之后的观察值。
情况 2,
0i
y 随机。 可假定初始值是随机的，均值为
0y
?, 方差为
2
0y
? 。
即
iyi
y ?? ??
00
这个假定的合理性 在于 人们 将
it
y 视为状态, 而且 并不关心怎样到达
初始状态，只 需要 知道它 的分布有有限均值和方差。
情况 2b,
0i
y 与
i
? 相关。 记它们的协方差为
2
0y
??,则随着 时间
的推移，初始赋值
00 yii
y ?? ?? 通过它与
i
? 的相关性影响
it
y 的
未来值，并最终达到,
]|)1/([lim)1/(
1
0
,?
?
?
???
?????
t
j
i
j
jtiiitti
xzyE ????????
情况 2a,
0i
y 独立于
i
?,即 0),( ?
ii
Co v ?? 。在这种情况下，初始
赋值的影响逐渐随时间消失。模型有点象情况 1,初始值与影响
i
?
是独立的，只不过现在的初始值不是固定的而是来自均值为
0y
?,
方差为
2
0y
? 总体的随机变量。
? 最大似然估计
– 关于初始条件的不同假定蕴含着不同形式的似然函数。
– 构造各种情况下的似然函数。
– 使得上述似然函数达到最大化，就得到相应情况下参
数的最大似然估计。
? 当横截面个体单位较多、时期长度较短时，初始
条件的错误选择将导致得到的估计与正确的估计
不是渐近等价的，也可能不是一致估计。
? 关于初始条件的选择是否正确，并没有什么判断
依据。
? 工具变量估计
– 能够得到与初始条件无关的参数的一致估计。
– 同时也为 ML迭代过程提供参数的初始值。
? 工具变量法参数一致估计的计算步骤：
第一步,对方程
itititiit
vxzyy ????
?
???
1,
进行差分,有
1,1,2,1,1,
)()(
?????
???????
tiittiittititiit
uuxxyyyy ??
利用
2,?ti
y 和 )(
3,2,??
?
titi
yy 作为 )(
2,1,??
?
titi
yy 的 工具 变量,
并利用工具变量法得到 ? 和 ? 的估计 ?
~
和 ?
~
。
第二步,将估计出的 ?
~
和 ?
~
代入
itititiit
vxzyy ????
?
???
1,
,
在时间上求平均, 得 到,
iiiiii
uzXyy ?????
?
????
1,
其中 Tyy
T
t
iti
/
1
?
?
?, Tyy
T
t
tii
/
1
1,1,?
?
??
?, TxX
T
t
iti
/
1
?
?
?,
Tuu
T
t
iti
/
1
?
?
? 。 对 该 模型 用 O L S 得到 ? 的估计 ?
~
。
第三步,估计
2
u
? 和
2
?
?, 得到
)1(2
)](
~
)(
~
)[(
?
1 2
2
1,2,1,1,
2
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?????
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? ?
? ?
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Tn
xxyyyy
n
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T
t
tiittititiit
u
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2
1,
2
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1
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~~
~~
(
?
u
n
i
iiii
Tn
Xzyy
?
???
?
?
?
???
?
?
?
?
上述 估计与初始值无关。 当 n 或 T 趋于无穷大时,??,和 2u? 是一致
估计。 而 ? 和 2?? 的估计只有当 n 趋于无穷大时，才是一致估计。
三、关于平行数据模型的总结
Analysis of Panel Data—Cheng Hsiao
Chapter 1,Introduction
Chapter 2,Analysis of Covariance
Chapter 3,Simple Regression with Variable Intercepts
Chapter 4,Dynamic Model with Variable Intercepts
Chapter 5,Simultaneous-Equations Models
Chapter 6,Variable-Coefficient Models
Chapter 7,Discrete Data
Chapter 8,Truncated and Censored Data
Chapter 9,Incomplete Panel Data
Chapter 10,Miscellaneous Topics
Chapter 11,A Summary View
∨
∨
∨
∨
∨
∨ ×
在研究经济问题时，采用平行数据比单纯采用横截
面数据或时间序列数据的优势在那里？
⑴ increasing degrees of freedom and
reducing problems of data multicollinearity;
⑵ identifying economic models and
discrimination between competing economic
hypotheses;
⑶ eliminating or reducing estimation bias;
⑷ providing micro foundations for aggregate
data analysis.
— 扩展模型
一、变系数模型
二、动态模型
三、关于平行数据模型的总结
一、变系数模型
要点
? 变系数模型的表达式
? 固定影响模型 —— 随机干扰项在不同横截面个体
之间不相关 —— OLS估计
? 固定影响模型 —— 随机干扰项在不同横截面个体
之间相关 —— GLS估计
? 随机影响模型的复合误差项
? 随机影响模型的 GLS估计
实际经济分析中的变系数问题
? 线性模型中，系数表示边际倾向（对于直接线性
模型）或者弹性（对于对数线性模型），而它们
相对于不同的截面个体经常是不同的。例如：
– 不同地区收入的边际消费倾向不同。
– 不同地区 FDI的边际效益不同。
– 不同家庭的边际储蓄倾向不同。
? 而它们在各自的时间序列中一般是相同的。
? 提出了变系数平行数据模型问题。
模型表达
系数 随 横截面上 个 体 而 改变 的 模型 为,
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其中
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X 和
i
? 是解释变量和参数向量。也可写成
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1.固定影响模型
? 将 βi视为固定的不同的常数时，可写成：
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? 显然，如果随机干扰项在不同横截面个体之间不
相关，上述模型的参数估计极为简单，即以每个
截面个体的时间序列数据为样本，采用经典单方
程模型的估计方法分别估计其参数。即使采用
GLS估计同时得到的 GLS估计量，也是与在每个
横截面个体上的经典单方程估计一样。
? 条件：
0??jiuEu ji?
IuEu iii 2???
? 如果随机项在不同横截面个体之间的协方差不为
零,GLS估计比每个横截面个体上的经典单方程
估计更有效。
? 为什么？
jiij uEu ???
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各种文献中提出各种 V矩阵的方
法，形成了各种 FGLS估计
2.随机影响模型
原模型写成：
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后两项组成
复合随机项
问题变成具有复杂
随机项结构的不变
系数模型
? β的最佳线性无偏估计是 GLS估计：
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阵的第 i个对角分块
说明 GLS估计是每一个横截面个体
上最小二乘估计的矩阵加权平均。
权与它们的协方差成比例。
G L S 估计的协方差矩阵为,
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一种 FGLS
二、动态模型
要点
? 动态模型的“动态”的含义及表达
? 不包含外生解释变量情况下的动态模型的 IV估计
? 包含外生解释变量情况下的动态模型的 IV估计
? 随机影响动态模型的一般表述
? 随机影响动态模型的 IV估计
动态平行数据模型
? 动态模型，即指包含滞后被解释变量作为解释变
量的模型。
? 当采用平行数据作为样本观测值时，变截距模型
写为：
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其中 0?
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1,固定影响模型
首先 考虑 不 包含 外 生 解释 变量 的 情况,
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1|| ??,;,,1 ni ?? Tt,,1 ??
如果
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u 是正态分布且
0i
y 是给定的常数，则动态固定影响模型参数
的 ML 估计在 T 较小时是有偏估计 。利用工具变量法可得到在 T
固定,??n 时参数 的一致估计。
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i
? 后，有
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所以它们是有效的工具变量。
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以 2,?tiy 作为 )( 2,1,?? ? titi yy 的工具变量，得到,
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? ? ???
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?
?
?
n
i
T
t tititi
n
i
T
t titiit
IV
yyy
yyy
1 2 2,2,1,
1 2 2,1,
)(
)(
??
在 ??n 或 ??T 时，都是一致估计。于是进一步得到,
1,?? ??? iii yy ?? ni,,1 ??
? 在包含外生解释变量的情况下，类似地，首先采用
工具变量方法估计差分方程模型，得到 γ和 β的估计
量，然后求得 αi的估计量。
2.随机影响模型
如果 模型 中
i
? 为 随机 变量, 可以 将 模型 写 成,
itititiit
vxzyy ????
?
???
1,;,,1 ni ?? Tt,,1 ??
其中 1|| ??
itiit
uv ?? ? 0??
iti
EuE ?
0?
ii
zE ? 0?
iti
xE ? 0?
jti
uE ?
?
?
? ?
?
否则0
2
ji
E
ji
?
?
??
?
?
? ??
?
否则0
,
2
stji
uEu
u
jsit
?
其中
i
z 是 诸 如 性别, 民族 等随时间不变的
1
1 K? 阶 属性外生变量向量,
it
x 是随时间变化的
2
1 K? 阶 外生变量向量，且 让它的第一个元素为 1,
以 代表截距,? 是 11 ? 阶, ? 和 ? 分别是 1
1
?K 阶 和 1
2
?K 阶 的参数向量。
? 关于 y0的不同假设：
情况 1,
0i
y 固定。一个横截面 个 体 单位可能开始于某一任意位置
0i
y,
并渐近地移向稳定的位置 ?
?
?
???
0
,
)1/()(
j
j
jtiii
xz ????? 。但如果
何时开始抽样的决定是任意的且与
0i
y 的值无关，则将
0i
y 视为固定是
值得怀疑的，因为 0
0
?
ii
yE ? 意味着个体影响
i
? 在第 0 期对模型不产
生影响，但影响第一期 以及之后的观察值。
情况 2,
0i
y 随机。 可假定初始值是随机的，均值为
0y
?, 方差为
2
0y
? 。
即
iyi
y ?? ??
00
这个假定的合理性 在于 人们 将
it
y 视为状态, 而且 并不关心怎样到达
初始状态，只 需要 知道它 的分布有有限均值和方差。
情况 2b,
0i
y 与
i
? 相关。 记它们的协方差为
2
0y
??,则随着 时间
的推移，初始赋值
00 yii
y ?? ?? 通过它与
i
? 的相关性影响
it
y 的
未来值，并最终达到,
]|)1/([lim)1/(
1
0
,?
?
?
???
?????
t
j
i
j
jtiiitti
xzyE ????????
情况 2a,
0i
y 独立于
i
?,即 0),( ?
ii
Co v ?? 。在这种情况下，初始
赋值的影响逐渐随时间消失。模型有点象情况 1,初始值与影响
i
?
是独立的，只不过现在的初始值不是固定的而是来自均值为
0y
?,
方差为
2
0y
? 总体的随机变量。
? 最大似然估计
– 关于初始条件的不同假定蕴含着不同形式的似然函数。
– 构造各种情况下的似然函数。
– 使得上述似然函数达到最大化，就得到相应情况下参
数的最大似然估计。
? 当横截面个体单位较多、时期长度较短时，初始
条件的错误选择将导致得到的估计与正确的估计
不是渐近等价的，也可能不是一致估计。
? 关于初始条件的选择是否正确，并没有什么判断
依据。
? 工具变量估计
– 能够得到与初始条件无关的参数的一致估计。
– 同时也为 ML迭代过程提供参数的初始值。
? 工具变量法参数一致估计的计算步骤：
第一步,对方程
itititiit
vxzyy ????
?
???
1,
进行差分,有
1,1,2,1,1,
)()(
?????
???????
tiittiittititiit
uuxxyyyy ??
利用
2,?ti
y 和 )(
3,2,??
?
titi
yy 作为 )(
2,1,??
?
titi
yy 的 工具 变量,
并利用工具变量法得到 ? 和 ? 的估计 ?
~
和 ?
~
。
第二步,将估计出的 ?
~
和 ?
~
代入
itititiit
vxzyy ????
?
???
1,
,
在时间上求平均, 得 到,
iiiiii
uzXyy ?????
?
????
1,
其中 Tyy
T
t
iti
/
1
?
?
?, Tyy
T
t
tii
/
1
1,1,?
?
??
?, TxX
T
t
iti
/
1
?
?
?,
Tuu
T
t
iti
/
1
?
?
? 。 对 该 模型 用 O L S 得到 ? 的估计 ?
~
。
第三步,估计
2
u
? 和
2
?
?, 得到
)1(2
)](
~
)(
~
)[(
?
1 2
2
1,2,1,1,
2
?
?????
?
? ?
? ?
????
Tn
xxyyyy
n
i
T
t
tiittititiit
u
??
?
21
2
1,
2
?
1
)
~~
~~
(
?
u
n
i
iiii
Tn
Xzyy
?
???
?
?
?
???
?
?
?
?
上述 估计与初始值无关。 当 n 或 T 趋于无穷大时,??,和 2u? 是一致
估计。 而 ? 和 2?? 的估计只有当 n 趋于无穷大时，才是一致估计。
三、关于平行数据模型的总结
Analysis of Panel Data—Cheng Hsiao
Chapter 1,Introduction
Chapter 2,Analysis of Covariance
Chapter 3,Simple Regression with Variable Intercepts
Chapter 4,Dynamic Model with Variable Intercepts
Chapter 5,Simultaneous-Equations Models
Chapter 6,Variable-Coefficient Models
Chapter 7,Discrete Data
Chapter 8,Truncated and Censored Data
Chapter 9,Incomplete Panel Data
Chapter 10,Miscellaneous Topics
Chapter 11,A Summary View
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在研究经济问题时，采用平行数据比单纯采用横截
面数据或时间序列数据的优势在那里？
⑴ increasing degrees of freedom and
reducing problems of data multicollinearity;
⑵ identifying economic models and
discrimination between competing economic
hypotheses;
⑶ eliminating or reducing estimation bias;
⑷ providing micro foundations for aggregate
data analysis.
