拉 （压） 扭 转 平面弯曲
内
力
应
力
变
形
N
N > 0
x—杆轴
A
Mn > 0
x—杆轴
A M
n A M
Q M > 0
Q > 0x—平行于杆轴
x
s
A
xN )(?s
L
xxEA xNL L d)( )(d ??
O
tr
p
n
I
M rrt ?)(
z
x I
My?s
s
t x
y
z
z
y bI
QS ??t
A B
xGIM
ABL p
n
AB d???
qn
f
x
q? f′
n? f
EI
xMxf )()( ????
拉 （压） 扭 转 平面弯曲
强
度
条
件
刚
度
条
件
变
形
能
][max ss ?
][
m a x
m i n s
NA ?
][m a x sAN ?
][max tt ?
][
|| m a x
t
n
t
MW ?
][| m a x ttn WM ?
][max ss ? ][max tt ?
][
m a x
s
MW
z?
][m a x szWM ?
][max qq ?
][m a x qq ?
??
?
??
??
L
f
L
f || m a x
xEAxNU L d2 )(
2?
? xGI xMU
L
n d
2
)(2?? x
EI
xMU
L d2
)(2??
拉
压
扭
转
平
面
弯
曲
内力计算
以 A点左侧部分为对象,A点的内力由下式计算：
(其中,Pi,Pj”均为 A 点左侧部分的所有外力 )
?? ?? ) () ( jiAn mmM
? ? ? ??? ?? )( )( jAiAA PmPm M
? ? ? ??? ???? jiA PP Q
?? ???? )()( jiA PPN
弯曲剪力、弯矩与外力间的关系
? ? ? ?xq
x
xQ ?
d
d
)(d )(d xQx xM ?
)(d )(d 2
2
xqx xM ?
对称性与反对称性的应用：
对称结构在对称载荷作用下,Q图反对称,M图对称；对称
结构在反对称载荷作用下,Q图对称,M图反对称。
剪力, 弯矩与外力间的关系
外
力
无外力段 均布载荷段 集中力 集中力偶
q=0 q>0 q<0
Q
图
特
征
M
图
特
征
C
P
C
m
水平直线
x
Q
Q>0
Q
Q<0
x
斜直线
增函数
x
Q
x
Q
降函数
x
Q
C
Q1
Q2
Q1–
Q2=P
自左向右突变
x
Q
C
无变化
斜直线
x
M
增函数
x
M
降函数
曲线
x
M
坟状
x
M
盆状
自左向右折角 自左向右突变
与
m
反
x
M
折向与 P反向
M
x
M1
M2
mMM ?? 21
超静定问题的方法步骤：
① 平衡方程
② 几何方程 —— 变形协调方程
③ 物理方程 —— 变形与力的关系
④ 补充方程
⑤ 解由平衡方程和补充方程组
变形的应用：
求位移和解决超静定问题
变形能的应用：
求位移和解决动载问题
j
h
d
K
?
???
2
11
,( 1 ) 自由落体
jg
v
d
K
?
?
2
,)2( 水平冲击
△ j:冲击物落点的静位移
材料试验
sp se ss
sb
s
a
b
ep
et
ee
st
f
g h
e
s?MPa?
0.05 0.10 0.15 0.20 0.25
450
400
350
300
250
200
150
100
50
0
低碳钢 s?e曲线线上特征点
p
e
? ?
n
jxss ?
,1,容许应力
},,2.0{,2 bsjx ssss ?、极限应力
3,安全系数, n
泊松比（或横向变形系数）
een ??
三个弹性常数
?
t?G
e
s?E
)1(2 ???
EG
n n
（合力）
（合力）
P
P
Pc
n n
Q
h?
b
h
t 1 T
tmax
注意, b
剪切与挤压的实用计算
? ?tt ?? AQ
? ?c
c
c
c A
P ss ??
矩形截面杆约束扭转
3m a x
m a x, bpWW
M
P
n ?t ?? 其中
4,,bI
GI
M
P
P
n ?q ?? 其中 m a x1 ntt ?
64
,
64
3
4
4
3
nR
Gd
K
K
P
Gd
nPR
?
???
其中
圆柱形密圈螺旋弹簧的计算
为弹簧常数
其中：精确值：;
615.0
44
14;
8
3m a x
d
D
C
CC
C
k
d
DP
k
??
?
?
?
?
?
t
非对称截面梁发生平面 弯曲的条件
① 外力必须作用在主惯性面内 ;
② 中性轴为形心主轴 ;
③ 若是横向力，还必须过弯曲中心。
P
x
y
z
O
3m a x
8)1
2( d
DP
D
d
?t ??近似值：
共轭梁法 —— 实梁与虚梁的关系
① x 轴指向及 坐标原点完全相同。 ② 几何形状完全相同。
④ 依实梁的“位移”边界条件，建立虚梁的“力”边界条件。
AAAA QEIMEI f ?? q ;
EI
Q
EI
Mf x
x
x
x ?? q ;
⑤ 依虚梁的“内力”，求实梁的“位移”。
a,固定端 自由端
b,铰支座 铰支座
c,中间铰支座 中间铰链
载荷。依此建立虚梁上的分布令,)()( xMxq ??③
例 1 拐杆如图,A处为一轴承，允许杆在轴承内自由转动，但不能
上下移动，已知,E=210Gpa,G=0.4E,[s]=160MPa,[t]=80MPa
,试校核此杆的强度并求 B点的垂直位移。
5
10
20
A
P=60N
B
x500
C
x1
解,B点的垂直位移由两部
分组成，即,BA弯曲和 CA杆
扭转,A截面转动而引起。
P
AC
L
f
A B
q0
LEI EI
qLf
B 8
4
?
EI
PLf
B 3
3
?
P=60N
A
B
C ABAABBBB LEIPLfff ????? 3 321
P
ACAB
AB
AB
GI
LPLL
EI
PL ??
3
3
????? ??? 33
3
101052103 123.060
3
4 10202104.0
325.03.0603.0 ?
??
????
?
mm22.8?
A
P
fB1
B
P
A
B
C
MA=PLAB
fB2
P
n
W
Mτ m a x
m a x ?
M P a46.110, 0 21618 3 ?? ?? ?
m a xm a x
zW
M?s
M P a2 1 60, 0 10 0 5.0 618 2 ????
? ? m a x ss ? 强度不足
P=60N
A
B
C
18 Nm
解,实梁弯矩如图,
虚梁支座及载荷如图,
22
2
1 PaaPaQ
B ?????
)(48109 2 ?? PaN B
例 2 用共轭梁法求下列等截面直
梁 B点的挠度及转角。 (AB=2a，
BD=CD=0.5a,E,I,P均已知 )
PA B C
D
PA B CD
Pa?
4
Pa
4
Pa
Pa?
x
M
2Pa
8
2Pa
3
4a
NB NC
222
48
61
48
1 0 9 PaPaPaQ
B ?????
32
3
4
3
4 PaaPaM
B ???
EI
Pa
EI
Mf B
B 3
4 3??
EI
Pa
EI
Q B
B 48
61 2??? ?
?q
EI
Pa
EI
Q B
B
2
?? ??q
求实梁位移
PA B CD
Pa?
4
Pa
2Pa
8
2Pa
3
4a
NB NC
例 3 结构如图,E=210Gpa,ss=240MPa,LBC=1m,ABC=1cm2,
AB为矩形截面梁,b=10cm,h=30cm,L=2m,q0=20 kN/m,求结构的安
全系数。
解,一次静不定梁,
BCBNBqB BCfff ????
BC
BCBCBC
EA
LN
EI
LN
EI
Lq ??
38
34
0
kN14.8?BCN
q0
L NBCA
B
EI
q0
LA
BEI
?? m a xm a x
z
AB W
Ms
M P a8.150, 30, 1 62 3 7 2 0 2 ?? ?
M P a4.81
10
8 1 4 0
4
??
?
?
BC
BC
BC
A
N
s
94.24.81240
m a x
??? ss sn
弯矩如图,q0
L NBCA
B
EI
–23.72kN·m
1.64kN·m
x
M
y1zC
yC
y2
例 4 梁及截面如图,y2=2y1,IZC,q
,L均已知,[sy]=3[sL]、试确定 a的
合理长度； 如果 y2=4y1,a的合理长
度又是多少？
解,弯矩如图,
2
2
1
qaM ?
)4(2 222 aLqM ??
危险面的应力同时达到极限状态合理。
? ? ? ?L3y2 5.1 ssss ??? Ly若
a
q
a
M
xM1
M2
L
A B
D1
x
D2
D3
y1zC
yC
y2a
q
a
M
xM1
M2
L
A B
D1
x
D2
D3
? ?L211 ss ??
z
L I
yM
? ?y123 ss ??
z
L I
yM
时，合理。
6
3La?
如果 y2=4y1,a的合理长度又是多少？
:合理条件应为?
? ?L211 ss ??
z
L I
yM
4
La? 时，合理。
? ?y222 ss ??
z
y I
yM
2
2
1
qaM ? )
4(2
22
2 a
LqM ??
? ? ? ?y2L3 33.1 ssss ??? yL若
?
?
??,
合理条件应为
M
xM1
M2
D1
x
D2
D3
例 5 用共轭梁法求下列等截面直
梁 A,D点的挠度及 A,B点的转
角。
qL2/8
解,用叠加法求实梁弯矩如图,
虚梁支座及载荷如图,
P=qL/2
A B C
D
L/2 L/2 L/2
M
x
A
B
C
D
qL2/4
qL2/4
qL2/8
A
B
C
D
qL2/4
qL2/8
2416
33 qLqL
RQ AB ?????
3
48
5 qLR
A??
4
24
1 qLM
A ?
求虚梁支反力和指定点内力
A
B
C
D 0
qL3/12
qL3/8qL3/16
AR
AM
6822
1 2 LqLLM
D ?
EI
Mf i
i?EI
Q i
i?q
38416
3
823
2 42 qLLqLL ???
求实梁位移
qL2/4
A
B
C
qL2/8
QD
D
qL2/8
MD
L/2
例 6 用叠加法求下列等截面直梁 A
,D,E（ BD之中点）点的挠度。
EI
qaf
A 8
4
1?
解,结构和载荷分解如图。
EI
qaa
EI
aqa
f A
33
2
2 4
2
2 ?
?
?
EI
qaf
E 8
4
2 ??
EI
qaff A
D 62
4
2
2 ??
q=P/a
A
B
C D
aEa 2a
A B
q
P
A
B
C D
Pqa2/2
EI
qaf
D 8
4
3?
EI
qaf
A 3
4
4?
EI
qaf
E 4
4
4 ??
EI
qaff
AD 3
22 4
44 ??
EI
qaff
i
AiA 24
19 44
1
???
? EI
qaff
i
EiE 8
3 44
1
????
?
EI
qaff
i
DiD 6
7 44
1
???
?
C D
P
C
BA DP Pa