第二章 剪 切
§ 2－ 1 连接件的剪切与挤压强度计算
剪应力的产生
§ 2－ 1 连接件的剪切与挤压强度计算
一、连接件的受力特点和变形特点：
1、连接件
在构件连接处起连接作用的部件，称为 连接件 。例如：
螺栓、铆钉、键等。连接件虽小，起着传递载荷的作用。
特点：可传递一般 力，
可拆卸。P
P
螺栓
P P
铆钉
特点：可传递一般 力，不可拆卸。如桥梁桁架结点处于它连接。
无间隙
m
轴
键
齿轮
特点：传递扭矩。
2、受力特点和变形特点：
n n
（合力）
（合力）
P
P
以铆钉为例,① 受力特点,
构件受两组大小相等、方向相
反、作用线相互很近（差一个几
何平面）的平行力系作用。
② 变形特点,
构件沿两组平行力系的交界面
发生相对错动。
n n
（合力）
（合力）
P
P
③ 剪切面,
构件将发生相互的错动面，如
n– n 。
④ 剪切面上的内力,
内力 — 剪力 Q,其作用线与
剪切面平行。
P
n n
Q 剪切面
n n
（合力）
（合力）
P
P
3、连接处破坏三种形式,
① 剪切破坏
沿铆钉的剪切面剪断,如
沿 n– n面剪断 。
② 挤压破坏
铆钉与钢板在相互接触面
上因挤压而使溃压连接松动，
发生破坏。
③ 拉伸 破坏
P
n n
Q 剪切面
钢板在受铆钉孔削弱的截面处，应力增大，易在连接处拉断。
二、剪切的实用计算
实用计算方法,根据构件的破坏可能性，采用能反映受力基本
特征，并简化计算的假设，计算其名义应力，然后根据直接试
验的结果，确定其相应的许用应力，以进行强度计算。
适用,构件体积不大，真实应力相当复杂情况，如连接件等。
实用计算假设,假设剪应力在整个剪切面上均匀分布，等于剪
切面上的平均应力。
1、剪切面 --AQ, 错动面。
剪力 --Q,剪切面上的内力。
QA
Q??
2、名义剪应力 --?：
3、剪切强度条件（准则）：
? ??? ?? AQ ? ?
n
jx?? ?:其中
n n
（合力）
（合力）
P
P
P
n n
Q 剪切面
工作应力不得超过材料的许用应力。
三、挤压的实用计算
1、挤压力 ― Pjy,接触面上的合力 。
挤压：构件局部面积的承压现象。
挤压力：在接触面上的压力，记 Pjy 。
假设：挤压应力在有效挤压面上均匀分布。
2、挤压面积：接触面在垂直 Pjy方向上的投影面的面积。
? ?jy
jy
jy
jy A
P ?? ??
3、挤压强度条件（准则）：
工作挤压应力不得超过材料的许用挤压应力。
挤压面积 dtA
jy ?
][ ][1 jyjy ???? ?? ；、校核强度：
][ ][2 jy
jy
jyQ
PAQA
?? ?? ；、设计尺寸：
][ ][3 jyjyjyQ APAQ ?? ?? ；、设计外载：
四、应用
PP
M P a952.0103512 40 7 ?????? bhPAQ
Q
?
M P a 4.710125.4 40 7 ?????? cbPAP
jy
jy
jy?
例 1 木榫接头如图所示,a = b =12cm,h=35cm,c=4.5cm,
P=40KN，试求接头的剪应力和挤压应力。
解, ?,受力分析如图 ∶
?,剪应力和挤压应力
PPQ jy ??
剪切面和剪力为 ∶
挤压面和挤压力为：
P P
PP b
a c
h
QA
jyA
m
d
P
解,?键的受力分析如图
例 2 齿轮与轴由平键（ b× h× L=20 × 12 × 100）连接，它传递的
扭矩 m=2KNm，轴的直径 d=70mm，键的许用剪应力为 [?]= 60M
Pa,许用挤压应力为 [?jy]= 100M Pa，试校核键的强度。
kN5707.0 222 ???? dmP
2
h
m
b
h
L
综上, 键满足强度要求。
? ??? ??????? M P a6.2810020 1057 3bLPAQ
Q
?剪应力和挤压应力的强度 校核 PPQ
jy ??
? ?jy
jy
jy
jy hL
P
A
P ?? ??
?
???? M P a3.95
61 0 0
1057
2
3
m
d
P
QA
b
h
L
解,?键的受力分析如图
例 3 齿轮与轴由平键（ b=16mm,h=10mm，）连接，它传递的扭
矩 m=1600Nm，轴的直径 d=50mm，键的许用剪应力为 [?]= 80M Pa
，许用挤压应力为 [? jy]= 240M Pa，试设计键的长度。
kN6405.0 160022 ?????? dmPQP jy2h
m
m
d
P
QA
b
h
L
m
d
P
QA
b
h
L
?剪应力和挤压应力的强度条件
? ? mm50)m(108016
64][ ][ 3
1 ???????
?
?? b
QL
Lb
Q
mm3.53)m(102 4 010 642][2][ ][2 32 ???????? ?
jy
jy
jy
jy
h
PL
Lh
P
??
?综上
? ? ? ? ? ?? ? mm3.53,m a x 21 ?? LLL
解,?受力分析如图
例 4 一铆接头如图所示，受力 P=110kN，已知钢板厚度为 t=1cm
，宽度 b=8.5cm,许用应力为 [? ]= 160M Pa ；铆钉的直径
d=1.6cm，许用剪应力为 [?]= 140M Pa,许用挤压应力为 [?jy]=
320M Pa，试校核铆接头的强度。（假定每个铆钉受力相等。）
4
PPQ
jy ??
b
P P
t
t
d
P
P
P
1
1 2
2
3
3
P/4
?钢板的 2--2和 3--3面为危险面
?剪应力和挤压应力的强度条件
? ???? ??????? M P a8.136106.114.3 110 722dPAQ
Q
? ??? ?????? ???? M P a7.15510)6.125.8(4 1103)2(4 3 72 dbt P
? ?jy
jy
jy
jy td
P
A
P ?? ???
????? M P a9.171106.114
110
4
7
? ??? ???????? M P a4.1 5 910)6.15.8(1 1 1 0)( 73 dbt P
综上，接头安全。
t
t
d
P
P
P
1
1 2
2
3
3
P/4
一、轴向拉压杆的内力及轴力图
1、轴力的表示?
2、轴力的求法?
3、轴力的正负规定?
为什么画轴力图?
应注意什么?
4、轴力图,N=N(x)的图象表示?
P
A
N
B C
简图
AP P
N
x
P
+
轴力的简便求法,
以 x点左侧部分为对象,x点的内力 N(x)由下式计算,
其中,?P(?)” 与,?P(?)” 均为 x点左侧与右侧部分的
所有外力。
?? ???? )()()( PPxN
例 1 图示杆的 A,B,C,D点分别作用着 5P,8P,4P,P的
力，方向如图，试画出杆的轴力图。
A B C DO
5P 4P P8P
N
x
–3P
5P
P
2P
应力的正负规定?
1、横截面上的应力,
A
xN )( ??
二、拉压杆的应力
危险截面及最大工作应力?
?
?
?
??
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
2s i n
2
)2c o s(1
2
0
0
2、拉压杆斜截面上的应力
Saint-Venant原理?
应力集中?
? N(x)P
? ?
x
三,强度设计准则（ Strength Design Criterion）：
1、强度设计准则?
? ? ))( )(m a x ( m a x ?? ?? xA xN
? ? m a x ?? ??校核强度：
?设计截面尺寸：
? ? m a xm i n ?
NA ?
?设计载荷,? ? ; m a x ?AN ? ? ? )( m a xNfP ?
EA
NL
EA
PLL ??d
1,等内力拉压杆的弹性定律
2、变内力拉压杆的弹性定律
3、单向应力状态下的弹性定律 1 ??
E?
?? ??? LL xEA xxNxL )( d)( )d(d
?
?
?
n
i ii
ii
AE
LNL
1
d
四、拉压杆的变形及应变 N （ x ）
x
d x
N(x)
dx
x
PP
4、泊松比（或横向变形系数）
??? ??
5、小变形放大图与位移的求法
C'
A B
C
L1 L
2
P
C"
1L?2L?
装配应力 —— 预应力
装配温度
?平衡方程；
?几何方程 —— 变形协调方程；
?物理方程 —— 弹性定律；
?补充方程：由几何方程和物理方程得；
?解由平衡方程和补充方程组成的方程组 。
6、超静定问题的方法步骤：
五,材料在拉伸和压缩时的力学性能
3、卸载定律；冷作硬化；冷拉时效。
、容许应力 6
、极限应力 2
1,弹性定律
??? tg ; ?? EE
? ?bsjx ????,,2.0?
4、延伸率
00
1 100???
L
LL?
5、面缩率
00
1 1 0 0???
A
AA?
? ? njx?? ?
1、剪切的实用计算
? ??? ?? AQ
六,拉 (压 )杆连接部分的剪切与挤压强度计算
n n
（合力）
（合力）
P
P P
n n
Q 剪切面
2、挤压的实用计算
? ?jy
jy
jy
jy A
P ?? ??
挤压面积 dtA
jy ?
][ ][ jyjy ???? ?? ；校核强度：
][ ][ jy
jy
jyQ
PAQA
?? ?? ；设计尺寸：
][ ][ jyjyjyQ APAQ ?? ?? ；设计外载：
例 2 结构如图,AB,CD,EF,GH都由两根不等边角钢组成，
已知材料的 [?]=170 M P a, E=210 G P a。 AC,EG可视为
刚杆，试选择各杆的截面型号和 A,D,C点的位移。
P=300kN
0.8m 3.2m 1.8m1.2m
2m
3.4m
1.2m
A
B
C
D
F Hq
0=100kN/m
解,?求内力，受力分析如图
E G
kN1 8 6?EN
kN2403004 2.3 ???AN
kN603004 8.0 ???DN
kN1 7 4?GN
D
q0=100kN/m
E G
A C
NG
NCNA
NE
ND
=NDP=300kN
?由强度条件求面积
][?
i
i
NA ?
23 cm12.1410
170
240 ??? ?
ABA
2cm5.3?CDA
2cm9.10?EFA
2cm2.10?GHA
21 cm212.72),55690(2,????? ABAAB
21 cm89.12),32540(2,????? CDACD
21 cm609.52),54570(2:)( ????? EFAGHEF
?试依面积值查表确定钢号
?求变形
i
ii
i EA
LNL ??
mm67.21054.141.2 4.3240 4
1
??? ???? ?
AB
ABAB
AB EA
LNL
mm91.0?? CDL mm74.1?? EFL mm63.1?? GHL
?求位移,变形图如图
mm61.2?????? CDDC L mm61.2???? ABA L
A
B
D
F H
E G
mm70.1????????? GHGHEFD LDGEG LL
C
C1A1
E1 D
1 G1
例 3 结构如图,AC,BD的直径分别为,d1 =25mm,d2 =18mm,已知
材料的 [?]=170 M Pa, E=210 G Pa,AE可视为刚杆，试校核各杆
的强度 ;求 A,B点的位移△ A和△ B。 (2)求当 P作用于 A点时,F点的
位移△ F′,△ F′= △ A是普遍规律：称为位移互等定理。
B
NBP=100kNNA
A
A B
C DP=100kN
1.5m 3m2.5m
F
A?
B?
F?
解, ?求内力，受力分析如图
kN7.661005.4 3 ???AN kN3.33?BN
?校核强度
? ???? ??? 24
i
ii
i d
N
A
N
? ??? ?????? M P a8.1 3 5102514.3 7.664 92A
? ??? ?? M P a131B
?求变形及位移
i
ii
i EA
LNL ??
mm62.110251.214.3 5.27.664 22 ???? ????? ?
AC
A
AC EA
LNL
mm56.1?? BDL
?求当 P作用于 A点时,F点的位移△ F′
mm62.1??????? ACF LABBFL
0 ;kN1 0 0 ???? BA NN
mm43.210251.214.3 5.21 0 04 22 ???? ????? ?ACL
FAC LL ?????
P=100kN
1.5m 3m2.5m
A??
F??
A F B
C D
△ 11
1
1P
△ 12 △
22 2
2P
位移互等定理
功互等定理与位移互等定理
最终变形能与加载顺序无关
2
111
11
?? PU
2
222
22
?? PU
引起的位移上做功在 21
12112
PP
PU
?
??
2112 UU ??
122211 UUUU ???
211221 ????? 时当 PP
功互等定理212121 ??? PP
212211 UUU ???
2
221
1
11 )()(d
EA
LGGP
EA
LGPL ?????
例 4 结构如图，已知材料的 [?]=2MPa, E=20GPa,混凝土容重
?=22kN/m3，试设计上下两段的面积并 求 A点的位移△ A。
? ? ? ??? 1m a x1
GPNA ???
解：由强度条件求面积
? ? ? ??? 21m a x2
GGPNA ????
?? ??? LL xEA xxNxL )( d)( )d(d
P=100kN
12m
12m
A