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第十三章 动荷载
§ 13–1 基本概念
§ 13–2 加速运动问题的动响应
§ 13–3 冲击荷载问题的动响应
一、动载荷：
载荷不随时间变化（或变化极其平稳缓慢）且使构件各部件
加速度保持为零（或可忽略不计），此类载荷为 静载荷 。
载荷随时间急剧变化且使构件的速度有显著变化（系统产生
惯性力），此类载荷为 动载荷 。
§ 13-1 基本概念
二、动响应：
构件在动载荷作用下产生的各种响应（如应力、应变、位
移等），称为 动响应 。
实验表明：在静载荷下服从虎克定律的材料，只要应力不
超过比例极限,在动载荷下虎克定律仍成立且 E静 =E动 。
?
三、动荷系数：
jdd K ?? ?
静响应
动响应动荷系数 ?
dK
四、动应力分类：
1.简单动应力,加速度的可以确定，采用, 动静法, 求
解。2.冲击载荷,速度在极短暂的时间内有急剧改变，此时，加
速度不能确定，要采用, 能量法, 求之；
3.交变应力,应力随时间作周期性变化，疲劳问题。
4.振动问题,求解方法很多。
§ 13-2 加速运动问题的动响应
方法原理,D’Alembert’s principle
( 动静法 ）
达朗伯原理认为：处于不平衡状态的物体，存在惯性
力，惯性力的方向与加速度方向相反，惯性力的数值等于
加速度与质量的乘积。只要在物体上加上惯性力，就可以
把动力学问题在形式上作为静力学问题来处理，这就是动
静法。
agAq G ??惯性力：
)1()( gaAxxqqN djd ???? ?
)1( gaxAN dd ??? ??
例 1 起重机丝绳的有效横截面面积为 A,[?] =300M Pa,物体单位
体积重为 ?,以加速度 a上升，试校核钢丝绳的强度（不计绳
重）。 解：① 受力分析如图,
② 动应力
一、直线运动构件的动应力
L
x
m n
a
x
a
Nd
qj
qG
m a xm a x )1( jdd Kg
aL ??? ???
g
aK
d ??1
动荷系数：
? ???? ?? m a xm a x jdd K强度条件：
若,? ??? ?
m a xd
? ??? ?m a xd
满足
不满足
)1)(( gaqLGN d ???
)8.9 21)(605.251050(109.2 1 34 ?????? ?
? ? M P a300M P a214 ??? ?
例 2 起重机钢丝绳长 60m，名义直径 28cm，有效横截面面积
A=2,9cm2,单位长重量 q=25,5N/m,[?] =300MPa,以 a=2m/s2的加
速度提起重 50kN 的物体，试校核钢丝绳的强度。
G(1+a/g)
Nd
L q(1+a/g)
)1)((1 gaqLGAAN dd ?????
解：① 受力分析如图,
② 动应力
gLGRmmaG nG /22 ?? ???
惯性力：
? ??? ?? AG G /
? ? ? ?)(
2
?
?
? g
GLGA G ??
例 3 重为 G的球装在长 L的转臂端部，以等角速度在光滑水平面
上绕 O点旋转,已知许用强度 [?],求转臂的截面面积（不计
转臂自重）。
② 强度条件
解：① 受力分析如图,
?
GG
L
O
二、转动构件的动应力,
图 1
qG
例 4 设圆环的平均直径 D、厚度 t,且 t?D，环的横截面面积为
A，单位体积重量为 ?,圆环绕过圆心且垂直于圆环平面的轴以
等角速度 ?旋转，如图所示,试确定圆环的动应力，并建立强度
条件。
② 内 力分析如图 2
g
AD
g
Aaq n
G 2
2???
??
02 ?? DqN Gd
2
2
42 ?
?
g
ADDqN G
d ??
2
2?D
a n?
解：① 惯性力分析，见图１
O
D
t
图 2
qG
NG NG
22
2
4 vgg
D
A
N d
d
???? ???
? ???? ??
g
v
d
2
?
? gv ][ ??
③ 应力分析
④ 强度条件
最大线速度：
?
? gv ][
m a x ?
§ 13-3 冲击荷载问题的动响应
方法原理：能量法
( 机械能守恒 ）
在冲击物与受冲构件的接触区域内，应力状态异常复杂，
且冲击持续时间非常短促，接触力随时间的变化难以准确分
析。工程中通常采用能量法来解决冲击问题，即在若干假设
的基础上，根据能量守恒定律对受冲击构件的应力与变形进
行偏于安全的简化计算。
① 冲击物为刚体；
②冲击物不反弹；
③ 不计冲击过程中的声、光、热等能量损耗（能量守恒）；
④ 冲击过程为线弹性变形过程。 (保守计算 )
111 )( UVT ??冲击前 )( 222 冲击后UVT ???
2.动能 T,势能 V,变形能 U，冲击前、后，能量守恒：
最大冲击效应：冲击后的动能为零,T2=0
一个冲击力的变形能为 U2=(1/2)PdΔ d
1.假设：
3.动荷系数为 Kd：
jdd
jdd
jdd
K
K
PKP
?? ?
???
?
0
2/
1
1
2
1
?
?
?
U
m g hV
mvT
变形能
势能
动能
冲击前后能量守恒，且
j
2
jd
2
2)(2
1 ?????
dK
mgKhmgmv
j
d
hgvK
?
???? 2/11 2
一、轴向自由落体冲击问题
冲击前：
2/
0
2
2
2
dd
d
PU
mgV
T
??
???
?
变形能
势能
动能
冲击后：
jdd
jjdd
K
mgPPKP
???
?? )(
△ j:冲击物落点的静位移。
?d mg
vmg
h
j
h
dKv ?????
211:,0)1(
2:,0)2( ?? dKh突然荷载
讨论：
jdK
mgmv ?? 22
22
1
二、不计重力的轴向冲击：
0
0
2/
1
1
2
1
?
?
?
U
V
mvT
变形能
势能
动能
冲击前：
2/
0
0
2
2
2
ddPU
V
T
??
?
?
变形能
势能
动能
冲击后：冲击前后能量守恒，且
jdd
jjdd
K
mgPPKP
???
?? )(
v
mg
动荷系数
j
d g
vK
??
2
三、冲击响应计算
② 动荷系数
③ 求动应力
解：① 求静变形
9.2174251 0 0 0211211 ?????????
j
h
dK
mm425???? EAWLEA LP jj
M P a41.15?? jdd K ??
等于静响应 与 动荷系数之积,
例 5 直径 0.3m的木桩受自由落锤冲击，落锤重 5kN,
求：桩的最大动应力。 E=10GPa
静应力,M P a07074.0/ ?? AW
j?
动应力：
h=1m
vW
f 6m
四,梁的冲击问题 1.假设：
?冲击物为钢体；
?不计被冲击物的重力势能和动能；
?冲击物不反弹；
?不计声、光、热等能量损耗（能
量守恒）。
0)(
2
1
冲击前
2
111
???
???
dfhmgmv
UVT
mg
L
hA BC
A BC x
f
fd
22
2
222
)(
2
1
)(
2
1
)(
2
1
2
1
00
冲击后
d
j
d
j
j
ddd
f
f
mg
f
f
P
fkfP
UVT
??
????
??
冲击前、后，能量守恒，所以：
A BC x
f
fd
22 )(
2)(2
1
d
j
d ff
mgfhmgmv ???
jdj
j
fKff hgvf ????? )2)(11(
2
d
jj
d
d f
hgv
f
fK 2)2(11,?????动荷系数
jf
h
dK
211:)1( ???自由落体 2:)2( ?dK突然荷载
h
BA C
mgE =P
五、动响应计算：
解,?求 C点静挠度
2112 CC
AAf
Cj ??
动响应计算等于静响应计算与动荷系数之积,
例 6 结构如图,AB=DE=L,A,C 分别为 AB 和 DE 的中点，
求梁在重物 mg 的冲击下,C 面的动应力。
ABDE
A
EI
PL
EI
LR
4896
33
??
EI
PL
192
5 3?
EIEIEI DEAB ??
D
C2
C1
A1
L
?动荷系数
3
64
11
2
11
PL
E I h
f
h
d
K
Cj
???
???
?求 C面的动应力
zz
C
dCjdCd W
PL
PL
E I h
W
MKK
4)
6411(
3m a xm a x ????? ??
h
BA C
mgE =P
C1
A1
D
EIEIEI DEAB ??
L
C2
23