1
2
第十二章 静不定结构
§ 12–1 静不定结构 概述
§ 12–2 用力法解静不定结构
§ 12–3 对称及对称性质的应用
§ 12-4 连续梁与三弯矩方程
3
用静力学平衡方程无法确定全部约束力和内力的结构，统
称为 静不定结构或系统,也称为 超静定结构或系统 。
§ 12–1 静不定结构 概述
在静不定结构中，超过维持静力学平衡所必须的约束称为 多
余约束,多余约束相对应的反力称为 多余约束反力,多余约束的
数目为结构的 静不定次数 。
4
静
不
定
问
题
分
类
第一类：仅在结构外部存在多余约束，即支反力是静
不定的，可称为外力静不定系统。
第二类：仅在结构内部存在多余约束，即内力是静不
定的，可称为内力静不定系统。
第三类：在结构外部和内部均存在多余约束，即支反
力和内力是静不定的。
分析方法
1.力法：以未知力为基本未知量的求解方法。
2.位移法：以未知位移为基本未知量的求解方法。
5第一类 第二类 第三类
6
§ 12–2 用力法解静不定结构
一、力法的基本思路（举例说明）
解,① 判定多余约束反力的数目
（一个）
② 选取并去除多余约束，代
以多余约束反力，列出变形
协调方程，见图 (b)。
C
2l
例 1 如图所示，梁 EI为常数。
试求支座反力，作弯矩图，并
求梁中点的挠度。
P
A B
2l
(a)
P
A BC X
1
(b)
7
011 1 ?????? PXB
变形协调方程
③ 用能量法计算 和
P1? 11X?
P
A BC(c) x
(d)
xA
B
X1
A B1
x
(e)
由莫尔定理可得 (图 c,d,e)
EI
Pl
xx
l
xP
EI
l
lP
48
5
d)
2
(
1
3
2
1
??
?????? ?
EI
lXxxxX
EI
l
X 3d
1 31
0 11 1
?????? ?
8
④ 求多余约束反力
将上述结果代入变形协调方程得
04853
33
1 ??
EI
Pl
EI
lX
PX 1651?
⑤ 求其它约束反力
由平衡方程可求得 A端反
力，其大小和方向见图 (f)。
C
P
A B( f )
16
5P
16
11P
16
3Pl
⑥ 作弯矩图，见图 (g)。
(g) +–
16
3Pl
32
5Pl
⑦ 求梁中点的挠度
9
选取基本静定系 ( 见图 ( b)) 作为计算对象。单位载荷如图 (h) 。
P
A BC X
1
(b)
x
1
A BC
(h)
用莫尔定理可得
)(
768
7
d)(])
2
(
16
5
[
1
3
2
0
??
?????? ?
EI
Pl
xxPxx
l
P
EI
y
l
C
注意,对于同一静不定结构，若选
取不同的多余约束，则基本静定系
也不同。本题中若选固定段处的转
动约束为多余约束，基本静定系是
如图 (i)所示的简支梁。
C
P
A
B(i)
X1
10
二、力法正则方程
上例中以未知力为未知量的变形协调方程可改写成下式
01111 ??? PX?
X1——多余未知量；
?11——在基本静定系上,X1取单位值时引起的在 X1作用点沿
X1方向的位移；
?1P——在基本静定系上,由原载荷引起的在 X1作用点沿
X1方向的位移；
变形协调方程的标准形式，即所谓的力法正则方程。
11
对于有无数多余约束反力的静不定系统的正则方程如下：
0
0
0
2211
22222121
11212111
??????
??????
??????
nPnnnnn
Pnn
Pnn
XXX
XXX
XXX
???
???
???
?
??
?
?
由位移互等定理知：
jiij ?? ?
?ij,影响系数，表示在基本静定系上由 Xj取单位值时引起的
在 Xi作用点沿 Xi方向的位移；
?iP,自由项，表示 在基本静定系上,由原载荷引起的在 Xi
作用点沿 Xi 方向的位移。
12
例 2 试求图示刚架的全部约束反力，刚架 EI为常数。
q
a
A
B
a
解,① 刚架有两个多余约束。
② 选取并去除多余约束，代以多
余约束反力。
q
A
B
X1 X2
③ 建立力法正则方程
0
0
2222121
1212111
????
????
P
P
XX
XX
??
??
④ 计算系数 ?ij和自由项 ?iP
用莫尔定理求得
13
q
A
B
x1x 2
A
B
x1x 2 1
1
A
B
x1x 2
EI
qaxaqx
EI
a
P 6d)2
1(1 4
2
2
201 ??????? ?
EI
qaxxqx
EI
a
P 8d)2
1(1 4
22
2
202 ??????? ?
EI
axaxx
EI
aa
3
4)dd(1 3
20
2
10
2
111 ??? ???
EI
axx
EI
a
3d
1 3
20
2
222 ?? ??
EI
axax
EI
a
2d
1 3
20 22112 ??? ???
14
⑤ 求多余约束反力
将上述结果代入力法正则方程可得
0
832
0
623
4
4
2
3
1
3
4
2
3
1
3
???
???
EI
qa
X
EI
a
X
EI
a
EI
qa
X
EI
a
X
EI
a
)(
7
3
)(
28
1
2
1
??
???
qaX
qaX
⑥ 求其它支反力
由平衡方程得其它支反力，
全部表示于图中。
q
A
B
qa73
qa281
qa74
qa281
2
28
3 qa
15
§ 12–3 对称及对称性质的应用
一、对称结构的对称变形与反对称变形
结构几何尺寸、形状，构件材料及约束条件均对称于某一
轴，则称此结构为 对称结构 。当对称结构受力也对称于结构对
称轴，则此结构将产生 对称变形 。若外力反对称于结构对称轴，
则结构将产生 反对称变形 。
E1I1 E1I1
EI
对
称
轴
E1I1 E1I1
EI
对
称
轴
E1I1 E1I1
EI
对
称
轴
16
正确利用对称、反对称性质，则可推知某些未知量，可
大大简化计算过程：如对称变形对称截面上，反对称内力为
零或已知；反对称变形反对称截面上，对称内力为零或已知。
对
称
轴
X1
X2
X2
X3
P
X1
X3
例如：
X1
X3
P
X1
X3
P
X2
X2
P P
17
例 3 试求图示刚架的全部约束反力。刚架 EI为常数。
A B
C
P P
a a
解：图示刚架有三个多余未知力。但
由于结构是对称的，而载荷反对称，
故对称轴横截面上轴力、弯矩为零，
只有一个多余未知力（剪力），只需
列出一个正则方程求解。
P PX
1 X1
01111 ??? PX?
用莫尔定理求 ?1P和 ?11。
18
P x1x 2 x1x 2 1
EI
PaxaPx
EI
a
P 2d2)(
2 3
20 21 ??????? ?
EI
Paxaxx
EI
a a
12
7]d)
2(d[
2 3
2
22
0 01
2
111 ????? ? ??
02127
3
1
3
?? EIPaXEIPa
则 PX
7
6
1?
由平衡方程求得：
PRR BA 76??
PHH BA ??
PaMM BA 74??
A B
P P
MBR
B
HB
MARA
HA
19
§ 12-4 连续梁与三弯矩方程
为减小跨度很大直梁的弯曲变形和应力，常在其中间安
置若干中间支座，在建筑、桥梁以及机械中常见的这类结构称
为 连续梁 。撤去中间支座，该梁是两端铰支的静定梁，因此中
间支座就是其多余约束，有多少个中间支座，就有多少个多余
约束，中间支座数就是连续梁的 超静定次数 。
一、连续梁与超静定次数
0 1 2 n-1 n+1n
l1 l2 ln ln+1
M1 M2 Mn-1 Mn Mn+1
20
二、三弯矩方程
连续梁是超静定结构，静定基可有多种选择，如果选撤去
中间支座为静定基，则因每个支座反力将对静定梁的每个中间
支座位置上的位移有影响，因此正则方程中每个方程都将包含
多余约束反力，使计算非常繁琐。如果设想将每个中间支座上
的梁切开并装上铰链，将连续梁变成若干个简支梁，每个简支
梁都是一个静定基。这相当于把每个支座上梁的内约束解除，
即将其内力弯矩 M1,M2,… Mn-1,Mn,… 作为多余约束力 (见上
图 )，则每个支座上方的铰链两侧截面上需加上大小相等、方向
相反的一对力偶矩，与其对应的位移是两侧截面的相对转角。
21
如从基本静定系中任意取出两个相邻跨度 ln,ln+1，设 n支
座上方，铰链两侧的相对转角为 ?n，则
01)1(1)1( ??????? ???? nPnnnnnnnnnn MMM ???
n-1 n+1n
ln ln+1
Mn-1 M
n+1
n-1 n n+1n
Mn
1 1
dwn
dxn
MnP
dwn+1
dxn+1xn xn+1
wn wn+1
an bn+1
22
1.求 ?nP：
静定基上只作用外载荷时，跨度 ln上弯矩记为 MnP，跨度
ln+1上弯矩记为 M(n+1)P。当只作用单位力偶矩时，跨度 ln上和
ln+1上弯矩分别记为
n
n
l
xM ??
1
1
?
????
n
n
l
xM
则由莫尔定理得
)d
1
d
1
(
1
dd
1
1
11
1
1
11)1(
??
??
?
?
??
?
?
???
??
???
nn
nn
l
nn
n
l
nn
n
l
n
nnPn
l
n
nnnP
nP
x
l
x
lEI
EIl
xxM
EIl
xxM
ww
式中：
nnnP ddxM w? 11)1( ??? ? nnPn ddxM w
23
nnl nn axn ww ?? d 111 d ??? ?? nnl nn bx
n
ww
)(1
1
11
?
?????
n
nn
n
nn
nP l
b
l
a
EI
ww
因此
)(3 1)d()(1)d()(1 11
1
1
1
1
1
??
?
?
?
? ???? ??
?
nnl n
n
n
n
n
l n
n
n
n
n
nn llEIxl
x
l
x
EIxl
x
l
x
EI nn?
类似地可求出
nnn lEI6
1
)1( ??? 1)1( 6
1
?? ? nnn lEI?
将上述结果代入方程
01)1(1)1( ??????? ???? nPnnnnnnnnnn MMM ??? 得
24
1
11
1111
66)(2
?
??
???? ??????
n
nn
n
nn
nnnnnnn l
b
l
alMllMlM ww
三弯矩方程
对于连续梁的每一个中间支座都可以列出一个三弯矩方程，
所以可能列出的方程式的数目恰好等于中间支座的数目，也就
是等于静不定的次数。而且每一个方程式中只含有三个多余约
束力偶矩，这就使得计算得以一定的简化。
25
例 4 试用三弯矩方程作等刚度连续梁 AC的弯矩图。见图 (a)。
A B C
q P=ql
l l/2 l/2
解,AC梁总共有二跨，跨
长 l1=l2=l 。中间支座编号应
取为 1，即 n=1。由于已知 0，
2两支座上无弯矩，故;001 ??? MM n;1 Bn MMM ??
021 ??? MM n
(a)
A B C
q P=qlMB
(b)
26
8;12
3
21
3
1
qlql
nn ???? ? wwww
2
1 ;
2
1
1
1 ??
?
?
n
n
n
n
l
b
l
a
A B C
q P=ql
w1 w28
2ql
4
2ql
(c)由图 (c)和 (d)图得：
1
A B C
1
(d)代入三弯矩方程可得
)2182112(60)(20
33
1 ????????
qlqlllM
解得
2
1 32
5 qlM ?? (方向与图 (b)所示相反 )
27
++
–
(e)
2
32
5 ql
2
64
11ql将图 (d)中的单位弯矩图乘以
便得到 MB在简支梁上产生
的 M图，再与载荷引起的 M
图 (c)相加，就得到梁 AC的
图，见图 (e)。
2
32
5 ql?
28
2
第十二章 静不定结构
§ 12–1 静不定结构 概述
§ 12–2 用力法解静不定结构
§ 12–3 对称及对称性质的应用
§ 12-4 连续梁与三弯矩方程
3
用静力学平衡方程无法确定全部约束力和内力的结构，统
称为 静不定结构或系统,也称为 超静定结构或系统 。
§ 12–1 静不定结构 概述
在静不定结构中，超过维持静力学平衡所必须的约束称为 多
余约束,多余约束相对应的反力称为 多余约束反力,多余约束的
数目为结构的 静不定次数 。
4
静
不
定
问
题
分
类
第一类：仅在结构外部存在多余约束，即支反力是静
不定的，可称为外力静不定系统。
第二类：仅在结构内部存在多余约束，即内力是静不
定的，可称为内力静不定系统。
第三类：在结构外部和内部均存在多余约束，即支反
力和内力是静不定的。
分析方法
1.力法：以未知力为基本未知量的求解方法。
2.位移法：以未知位移为基本未知量的求解方法。
5第一类 第二类 第三类
6
§ 12–2 用力法解静不定结构
一、力法的基本思路（举例说明）
解,① 判定多余约束反力的数目
（一个）
② 选取并去除多余约束，代
以多余约束反力，列出变形
协调方程，见图 (b)。
C
2l
例 1 如图所示，梁 EI为常数。
试求支座反力，作弯矩图，并
求梁中点的挠度。
P
A B
2l
(a)
P
A BC X
1
(b)
7
011 1 ?????? PXB
变形协调方程
③ 用能量法计算 和
P1? 11X?
P
A BC(c) x
(d)
xA
B
X1
A B1
x
(e)
由莫尔定理可得 (图 c,d,e)
EI
Pl
xx
l
xP
EI
l
lP
48
5
d)
2
(
1
3
2
1
??
?????? ?
EI
lXxxxX
EI
l
X 3d
1 31
0 11 1
?????? ?
8
④ 求多余约束反力
将上述结果代入变形协调方程得
04853
33
1 ??
EI
Pl
EI
lX
PX 1651?
⑤ 求其它约束反力
由平衡方程可求得 A端反
力，其大小和方向见图 (f)。
C
P
A B( f )
16
5P
16
11P
16
3Pl
⑥ 作弯矩图，见图 (g)。
(g) +–
16
3Pl
32
5Pl
⑦ 求梁中点的挠度
9
选取基本静定系 ( 见图 ( b)) 作为计算对象。单位载荷如图 (h) 。
P
A BC X
1
(b)
x
1
A BC
(h)
用莫尔定理可得
)(
768
7
d)(])
2
(
16
5
[
1
3
2
0
??
?????? ?
EI
Pl
xxPxx
l
P
EI
y
l
C
注意,对于同一静不定结构，若选
取不同的多余约束，则基本静定系
也不同。本题中若选固定段处的转
动约束为多余约束，基本静定系是
如图 (i)所示的简支梁。
C
P
A
B(i)
X1
10
二、力法正则方程
上例中以未知力为未知量的变形协调方程可改写成下式
01111 ??? PX?
X1——多余未知量；
?11——在基本静定系上,X1取单位值时引起的在 X1作用点沿
X1方向的位移；
?1P——在基本静定系上,由原载荷引起的在 X1作用点沿
X1方向的位移；
变形协调方程的标准形式，即所谓的力法正则方程。
11
对于有无数多余约束反力的静不定系统的正则方程如下：
0
0
0
2211
22222121
11212111
??????
??????
??????
nPnnnnn
Pnn
Pnn
XXX
XXX
XXX
???
???
???
?
??
?
?
由位移互等定理知：
jiij ?? ?
?ij,影响系数，表示在基本静定系上由 Xj取单位值时引起的
在 Xi作用点沿 Xi方向的位移；
?iP,自由项，表示 在基本静定系上,由原载荷引起的在 Xi
作用点沿 Xi 方向的位移。
12
例 2 试求图示刚架的全部约束反力，刚架 EI为常数。
q
a
A
B
a
解,① 刚架有两个多余约束。
② 选取并去除多余约束，代以多
余约束反力。
q
A
B
X1 X2
③ 建立力法正则方程
0
0
2222121
1212111
????
????
P
P
XX
XX
??
??
④ 计算系数 ?ij和自由项 ?iP
用莫尔定理求得
13
q
A
B
x1x 2
A
B
x1x 2 1
1
A
B
x1x 2
EI
qaxaqx
EI
a
P 6d)2
1(1 4
2
2
201 ??????? ?
EI
qaxxqx
EI
a
P 8d)2
1(1 4
22
2
202 ??????? ?
EI
axaxx
EI
aa
3
4)dd(1 3
20
2
10
2
111 ??? ???
EI
axx
EI
a
3d
1 3
20
2
222 ?? ??
EI
axax
EI
a
2d
1 3
20 22112 ??? ???
14
⑤ 求多余约束反力
将上述结果代入力法正则方程可得
0
832
0
623
4
4
2
3
1
3
4
2
3
1
3
???
???
EI
qa
X
EI
a
X
EI
a
EI
qa
X
EI
a
X
EI
a
)(
7
3
)(
28
1
2
1
??
???
qaX
qaX
⑥ 求其它支反力
由平衡方程得其它支反力，
全部表示于图中。
q
A
B
qa73
qa281
qa74
qa281
2
28
3 qa
15
§ 12–3 对称及对称性质的应用
一、对称结构的对称变形与反对称变形
结构几何尺寸、形状，构件材料及约束条件均对称于某一
轴，则称此结构为 对称结构 。当对称结构受力也对称于结构对
称轴，则此结构将产生 对称变形 。若外力反对称于结构对称轴，
则结构将产生 反对称变形 。
E1I1 E1I1
EI
对
称
轴
E1I1 E1I1
EI
对
称
轴
E1I1 E1I1
EI
对
称
轴
16
正确利用对称、反对称性质，则可推知某些未知量，可
大大简化计算过程：如对称变形对称截面上，反对称内力为
零或已知；反对称变形反对称截面上，对称内力为零或已知。
对
称
轴
X1
X2
X2
X3
P
X1
X3
例如：
X1
X3
P
X1
X3
P
X2
X2
P P
17
例 3 试求图示刚架的全部约束反力。刚架 EI为常数。
A B
C
P P
a a
解：图示刚架有三个多余未知力。但
由于结构是对称的，而载荷反对称，
故对称轴横截面上轴力、弯矩为零，
只有一个多余未知力（剪力），只需
列出一个正则方程求解。
P PX
1 X1
01111 ??? PX?
用莫尔定理求 ?1P和 ?11。
18
P x1x 2 x1x 2 1
EI
PaxaPx
EI
a
P 2d2)(
2 3
20 21 ??????? ?
EI
Paxaxx
EI
a a
12
7]d)
2(d[
2 3
2
22
0 01
2
111 ????? ? ??
02127
3
1
3
?? EIPaXEIPa
则 PX
7
6
1?
由平衡方程求得：
PRR BA 76??
PHH BA ??
PaMM BA 74??
A B
P P
MBR
B
HB
MARA
HA
19
§ 12-4 连续梁与三弯矩方程
为减小跨度很大直梁的弯曲变形和应力，常在其中间安
置若干中间支座，在建筑、桥梁以及机械中常见的这类结构称
为 连续梁 。撤去中间支座，该梁是两端铰支的静定梁，因此中
间支座就是其多余约束，有多少个中间支座，就有多少个多余
约束，中间支座数就是连续梁的 超静定次数 。
一、连续梁与超静定次数
0 1 2 n-1 n+1n
l1 l2 ln ln+1
M1 M2 Mn-1 Mn Mn+1
20
二、三弯矩方程
连续梁是超静定结构，静定基可有多种选择，如果选撤去
中间支座为静定基，则因每个支座反力将对静定梁的每个中间
支座位置上的位移有影响，因此正则方程中每个方程都将包含
多余约束反力，使计算非常繁琐。如果设想将每个中间支座上
的梁切开并装上铰链，将连续梁变成若干个简支梁，每个简支
梁都是一个静定基。这相当于把每个支座上梁的内约束解除，
即将其内力弯矩 M1,M2,… Mn-1,Mn,… 作为多余约束力 (见上
图 )，则每个支座上方的铰链两侧截面上需加上大小相等、方向
相反的一对力偶矩，与其对应的位移是两侧截面的相对转角。
21
如从基本静定系中任意取出两个相邻跨度 ln,ln+1，设 n支
座上方，铰链两侧的相对转角为 ?n，则
01)1(1)1( ??????? ???? nPnnnnnnnnnn MMM ???
n-1 n+1n
ln ln+1
Mn-1 M
n+1
n-1 n n+1n
Mn
1 1
dwn
dxn
MnP
dwn+1
dxn+1xn xn+1
wn wn+1
an bn+1
22
1.求 ?nP：
静定基上只作用外载荷时，跨度 ln上弯矩记为 MnP，跨度
ln+1上弯矩记为 M(n+1)P。当只作用单位力偶矩时，跨度 ln上和
ln+1上弯矩分别记为
n
n
l
xM ??
1
1
?
????
n
n
l
xM
则由莫尔定理得
)d
1
d
1
(
1
dd
1
1
11
1
1
11)1(
??
??
?
?
??
?
?
???
??
???
nn
nn
l
nn
n
l
nn
n
l
n
nnPn
l
n
nnnP
nP
x
l
x
lEI
EIl
xxM
EIl
xxM
ww
式中：
nnnP ddxM w? 11)1( ??? ? nnPn ddxM w
23
nnl nn axn ww ?? d 111 d ??? ?? nnl nn bx
n
ww
)(1
1
11
?
?????
n
nn
n
nn
nP l
b
l
a
EI
ww
因此
)(3 1)d()(1)d()(1 11
1
1
1
1
1
??
?
?
?
? ???? ??
?
nnl n
n
n
n
n
l n
n
n
n
n
nn llEIxl
x
l
x
EIxl
x
l
x
EI nn?
类似地可求出
nnn lEI6
1
)1( ??? 1)1( 6
1
?? ? nnn lEI?
将上述结果代入方程
01)1(1)1( ??????? ???? nPnnnnnnnnnn MMM ??? 得
24
1
11
1111
66)(2
?
??
???? ??????
n
nn
n
nn
nnnnnnn l
b
l
alMllMlM ww
三弯矩方程
对于连续梁的每一个中间支座都可以列出一个三弯矩方程，
所以可能列出的方程式的数目恰好等于中间支座的数目，也就
是等于静不定的次数。而且每一个方程式中只含有三个多余约
束力偶矩，这就使得计算得以一定的简化。
25
例 4 试用三弯矩方程作等刚度连续梁 AC的弯矩图。见图 (a)。
A B C
q P=ql
l l/2 l/2
解,AC梁总共有二跨，跨
长 l1=l2=l 。中间支座编号应
取为 1，即 n=1。由于已知 0，
2两支座上无弯矩，故;001 ??? MM n;1 Bn MMM ??
021 ??? MM n
(a)
A B C
q P=qlMB
(b)
26
8;12
3
21
3
1
qlql
nn ???? ? wwww
2
1 ;
2
1
1
1 ??
?
?
n
n
n
n
l
b
l
a
A B C
q P=ql
w1 w28
2ql
4
2ql
(c)由图 (c)和 (d)图得：
1
A B C
1
(d)代入三弯矩方程可得
)2182112(60)(20
33
1 ????????
qlqlllM
解得
2
1 32
5 qlM ?? (方向与图 (b)所示相反 )
27
++
–
(e)
2
32
5 ql
2
64
11ql将图 (d)中的单位弯矩图乘以
便得到 MB在简支梁上产生
的 M图，再与载荷引起的 M
图 (c)相加，就得到梁 AC的
图，见图 (e)。
2
32
5 ql?
28
