1
2
§ 4–1 平面弯曲的概念及梁的计算简图
§ 4–2 梁的剪力和弯矩
§ 4–3 剪力方程和弯矩方程 ·剪力图和弯矩图
§ 4–4 剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系及应用
§ 4–5 按叠加原理作弯矩图
§ 4–6 平面刚架和曲杆的内力图
弯曲内力习题课
第四章 弯曲内力
3
§ 4–1 平面弯曲的概念及梁的计算简图
一、弯曲的概念
1,弯曲, 杆受垂直于轴线的外力或外力偶矩矢的作用时,轴
线变成了曲线，这种变形称为弯曲。
2,梁,以 弯曲变形为主的
构件通常称为梁。
4
3,工程实例
5
6
4,平面弯曲,杆发生弯曲变形后，轴线仍然和外力在同一
平面内 。
对称弯曲（如下图） —— 平面弯曲的特例。
纵向对称面M
P1 P2q
7
非对称弯曲 —— 若梁不具有纵对称面，或者，梁虽具有纵
对称面但外力并不作用在对称面内，这种
弯曲则统称为非对称弯曲。
下面几章中，将以对称弯曲为主，讨论梁的应力和变
形计算。
8
二、梁的计算简图
梁的支承条件与载荷情况一般都比较复杂，为了便于
分析计算，应进行必要的简化，抽象出计算简图。
1,构件本身的简化
通常取梁的轴线来代替梁。
2,载荷简化
作用于梁上的载荷（包括支座反力）可简化为三种类型：
集中力、集中力偶和分布载荷。
3,支座简化
9
① 固定铰支座
2个约束,1个自由度。
如：桥梁下的固定支座，止
推滚珠轴承等。
② 可动铰支座
1个约束,2个自由度。
如：桥梁下的辊轴支座，滚
珠轴承等。
10
③ 固定端
3个约束,0个自由度。
如：游泳池的跳水板支座，
木桩下端的支座等。
XA
YA
MA
4,梁的三种基本形式
① 简支梁
M —集中力偶
q(x)— 分布力
② 悬臂梁
11
③ 外伸梁
— 集中力Pq— 均布力
5,静定梁与超静定梁
静定梁：由静力学方程可求出支反力，如上述三种基本
形式的静定梁。
超静定梁：由静力学方程不可求出支反力或不能求出全
部支反力。
12
[例 1]贮液罐如图示，罐长 L=5m，内径 D=1m，壁厚 t =10mm，
钢的密度为,7.8g/cm3，液体的密度为,1g/cm3,液面高
0.8m，外伸端长 1m，试求贮液罐 的计算简图。
解,q— 均布力
13
L
gLAgLA
L
gV
L
mgq 2211 ??? ??????
r a d85513106 0,,???
gRRgDt 2221 )]s i n(21[ ?????? ????
gAgA 2211 ?? ??
( k N/ m ) 9?
9, 81000)]s in 1 0 6, 3( 1, 8 5 50, 521
0, 5[ 3, 1 48978000101143
2
2
?????
????????,..
q— 均布力
14
§ 4–2 梁的剪力和弯矩
一、弯曲内力：
[举例 ]已知：如图,P,a,l。
求：距 A端 x处截面上内力。
Pa
P
l
YA
XA
RB
A
A B
B
解：①求外力
l
alP
YY
l
Pa
Rm
XX
A
BA
A
)(
,0
,0
0,0
?
?? ??
?? ??
?? ??
15
A B
P
YA
XA
RBm
m
x
② 求内力 ——截面法
xYMm
l
alPYQY
AC
A
??? ??
???? ??
,0
)(,0
A
YA
Q
M
RB
P
M
Q
∴ 弯曲构件内力
剪力
弯矩
1,弯矩,M
构件受弯时，横截面上其作
用面垂直于截面的内力偶矩。
C
C
16
2,剪力,Q
构件受弯时，横截面上其作用线平行于截面的内力。
3.内力的正负规定,
① 剪力 Q,绕研究对象顺时针转为正剪力；反之为负。
② 弯矩 M：使梁变成凹形的为正弯矩；使梁变成凸形的为负弯矩。
Q(+) Q(–)
Q(–)Q(+)
M(+) M(+)
M(–) M(–)
17
[例 2],求图 （ a）所 示梁 1--1,2--2截面处的内力。
xy
qLQ
QqLY
???
????
1
1
0
解,截面法求内力。
1--1截面处截取的分离体
如图（ b） 示。
图（ a）
11
11
0)(
q L xM
Mq L xFm iA
???
????
二、例题
qqL
a b1
1
2
2
qL
Q1
A
M1
图（ b）x1
18
L)axq Q ???? 22 (
axqMq Lx
Fm iB
0)(
2
1
,0)(
2
222 ????
??
2--2截面处截取的分离体如图（ c）
)ax(qQqLY 022 ??????
2
2
22 )(2
1 q L xaxqM ???
xy 图（ a）
qqL
a b1
1
2
2
qL
Q2
B
M2
x2
图（ c）
19
1,内力方程：内力与截面位置坐标（ x）间的函数关系式。
2,剪力图和弯矩图：
)(xQQ ? 剪力方程
)(xMM ? 弯矩方程
)(xQQ ?剪力图 的图线表示
)(xMM ?弯矩图 的图线表示
§ 4–3 剪力方程和弯矩方程 · 剪力图和弯矩图
20
[例 3] 求下列各图示梁的内力方程并画出内力图。
PY)x(Q O ??
解：①求支反力
)Lx(P
MxY)x(M OO
??
??
② 写出内力方程
PL MPY OO ?? ;
P
YO
L
③ 根据方程画内力图
M(x)
x Q(x)
Q(x)
M(x)
x
x
P
–PL
MO
21
解：①写出内力方程
② 根据方程画内力图
qx)x(Q ??
221 qx)x(M ??
L
q
M(x)
x Q(x)
Q(x)
x
M(x) x
– qL
2
2qL?
22
)3(6 220 xLLq)x(Q ??
解：①求支反力
② 内力方程
3 ; 6 00
Lq RLqR
BA ??
q0
RA
③ 根据方程画内力图
RB
L
)xL(LxqxM 2206)( ??x
L33
Q(x)
x
6
20Lq
3
20Lq
27
3 20Lq
M(x)
23
一,剪力、弯矩与分布荷载间的关系
对 dx 段进行平衡分析，有：
? ? 0dd
0
????
??
)x(Q)x(Qx)x(q)x(Q
Y
)x(Qx)x(q dd ?
§ 4–4 剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系及应用
dxx
q(x)
q(x)
M(x)+d M(x)
Q(x)+d Q(x)
Q(x)
M(x)
dx
A
y ? ? ? ?xq
x
xQ ?
d
d
剪力图上某点处的切线斜率
等于该点处荷载集度的大小。
24
q(x)
M(x)+d M(x)
Q(x)+d Q(x)
Q(x)
M(x)
dx
A
y
0)](d)([)()) ( d(21)d(
,0)(
2 ?????
??
xMxMxMxxqxxQ
Fm iA
)(d )(d xQx xM ?
弯矩图上某点处的切线斜率等于该点处剪力的大小。
)(d )(d 2
2
xqx xM ?
弯矩与荷载集度的关系是：
25
二、剪力、弯矩与外力间的关系
外
力
无外力段 均布载荷段 集中力 集中力偶
q=0 q>0 q<0
Q
图
特
征
M
图
特
征
C
P
C
m
水平直线
x
Q
Q>0
Q
Q<0
x
斜直线
增函数
x
Q
x
Q
降函数
x
Q
C
Q1
Q2
Q1–
Q2=P
自左向右突变
x
Q
C
无变化
斜直线
x
M
增函数
x
M
降函数
曲线
x
M
坟状
x
M
盆状
自左向右折角 自左向右突变
与
m
反
x
M
折向与 P反向
M
x
M1
M2
mMM ?? 21
26
简易作图法, 利用内力和外力的关系及特殊点的内力值来作
图的方法。
[例 4] 用简易作图法画下列各图示梁的内力图。
解, 利用内力和外力的关系及
特殊点的内力值来作图。
特殊点,
端点、分区点（外力变化点）和
驻点等。
a a
qa q
A
27
2
2
30 qaM;Q ???
0 ; ??? MqaQ
2 ; qaMqaQ ????
2
2
3; 0 qaMQ ???
a a
qa q
A
左端点：
线形,根据
)(d )(d xQx xM ? )(d )(d 22 xqx xM ?；
? ? ? ?xqx xQ ?dd ；
及集中载荷点的规律确定。
分区点 A：
M 的驻点,
右端点：
Q x
223qa
qa2
–
qa
–
x
M
28
[例 5] 用简易作图法画下列各图示梁的内力图。
解：求支反力 ????
2 ; 2 qaRqaR DA
0;2 ??? MqaQ
左端点 A：
2
2
1;
2 qaM
qaQ ????
B点左：
2
2
1;
2 qaM
qaQ ???
B点右：
2
2
1;
2 qaM
qaQ ????
C点左：
M 的驻点,
2
8
3; 0 qaMQ ???
2
2
1;
2 qaM
qaQ ???
C点右：
0 ; 21 ??? MqaQ
右端点 D：
q qa2
qaRA RD
Q x
qa/2 qa/2
qa/2
– –
+
A B
C D
qa2/2
xM qa2/2
qa2/23qa2/8
–
+
29
§ 4–5 按叠加原理作弯矩图
一、叠加原理,
多个载荷同时作用于结构而引起的内力等于每个载荷单独
作用于结构而引起的内力的代数和。
)()()()( 221121 nnn PQPQPQPPPQ ????????????????
)()()()( 221121 nnn PMPMPMPPPM ????????????????
适用条件,所求参数（内力、应力、位移）必然与荷载满
足线性关系。即在弹性限度内满足虎克定律。
30
二、材料力学构件小变形、线性范围内必遵守此原理
——叠加方法
步骤：
①分别作出各项荷载单独作用下梁的弯矩图；
②将其相应的纵坐标叠加即可（注意：不是图形的简单
拼凑）。
31
[例 6]按叠加原理作弯矩图 (AB=2a，力 P作用在梁 AB的中点处）。
q
q
P
P =
+
A
A
A
B
B
B x
M2
x
M1
x
M
2Pa
+
+
+
2
2qa
22
2qaPa ?
=
+
32
三、对称性与反对称性的应用：
对称结构在对称载荷作用下,Q图反对称,M图对称；对称
结构在反对称载荷作用下,Q图对称,M图反对称。
33
[例 7] 作下列图示梁的内力图。
P PL
P
PL
L L
L L
L L
0.5P
0.5P
0.5P
0.5P
P0
Q x
Q1 x
Q2 x
–
0.5P
0.5P
0.5P
–
+
–
P
34
P PL
P
PL
L L
L L
L L
0.5P
0.5P
0.5P
0.5P
P0 M
x
M1
x
M2
x
0.5PL
PL
0.5PL
–
+
+
0.5PL
+
35
[例 8] 改内力图之错。
a 2aa
qqa2A
B
Q x
x
M
– –
+
+
qa/4 qa/4
3qa/4
7qa/4
qa2/4
49qa2/32
3qa2/2
5qa2/4
47;4 qaRqaR BA ??
36
[例 9] 已知 Q图，求外载及 M图（梁上无集中力偶）。
Q(kN)
x
1m 1m2m
2
3
1
5kN 1kN
q=2kN/m
+
–
+
M(kN·m)
x
+
1
1
1.25
–
37
§ 4–6 平面刚架和曲杆的内力图
一、平面刚架
1,平面刚架,同一平面内，不同取向的杆件，通过杆端相
互刚性连接而组成的结构。
特点,刚架各杆的内力有,Q,M,N。
2,内力图规定：
弯矩图,画在各杆的受拉一侧，不注明正、负号。
剪力图及轴力图,可画在刚架轴线的任一侧（通常正
值画在刚架的外侧），但须注明正、负号。
38
[例 10] 试作图示刚架的内力图。
P1P
2
a
l
A
B C –
N 图
P2
+
Q 图
P 1 +
P1
P1a
M 图
P 1
a
P1a+ P2 l
39
二、曲杆,轴线为曲线的杆件 。
内力情况及绘制方法与平面刚架相同。
[例 11] 已知：如图所示,P及 R 。试绘制 Q,M,N 图。
O
PR
?
x
解：建立极坐标,O为极点,OB
极轴,?表示截面 m–m的位置。
)(0 )c o s1()c o s()( ????? ??????? PRRRPPxM
)(0 co s)( 2 ???? ???? PPN
)(0 s i n)( 1 ???? ???? PPQ
A B
40
O
PR
?
x
)(0 )c o s1()c o s()( ????? ??????? PRRRPPxM
)(0 co s)( 2 ???? ???? PPN
)(0 s i n)( 1 ???? ???? PPQ
A B
A B
O
M图
O O
+ Q图 N图
2PR
P P
– +
41
一、内力的直接求法：
求任意截面 A上的内力时，以 A 点左侧部分为研究对象，
内力计算式如下，其中 Pi, Pj 均为 A 点左侧的所有向上和向
下的外力。
剪力图和弯矩图
弯曲内力习题课
? ? ? ?? ??? ?? iiA PPQ
? ? ? ????? )( )( iAiAA PmPmM
42
)(d )(d 22 xqx xM ?
剪力、弯矩与分布荷载间的关系：
q(x) ? ? ? ?xq
x
xQ ?
d
d
)(d )(d xQx xM ?
二,简易作图法,
利用内力和外力的关系及特殊点的内力值来作图的方法。
43
三,叠加原理：
多个载荷同时作用于结构而引起的内力等于每个载荷单
独作用于结构而引起的内力的代数和。
)()()()( 221121 nnn PQPQPQPPPQ ????????????????
)()()()( 221121 nnn PMPMPMPPPM ????????????????
四、对称性与反对称性的应用：
对称结构在对称载荷作用下,Q图反对称,M图对称；对称
结构在反对称载荷作用下,Q图对称,M图反对称。
44
五、剪力、弯矩与外力间的关系
外
力
无外力段 均布载荷段 集中力 集中力偶
q=0 q>0 q<0
Q
图
特
征
M
图
特
征
C
P
C
m
水平直线
x
Q
Q>0
Q
Q<0
x
斜直线
增函数
x
Q
x
Q
降函数
x
Q
C
Q1
Q2
Q1–
Q2=P
x
Q
C
自左向右突变 无变化
斜直线
x
M
增函数
x
M
降函数
x
M
x
M
x
M
x
M
曲线
坟状 盆状
自左向右折角
折向与 P反向
M1
M2
自左向右突变
与
m
反
mMM ?? 21
45
[例 1] 绘制下列图示梁的弯矩图。
2P
a a P
=
2P
P
+
x
M
xM
1
x
M2
=
+
–
+
+
2Pa
2Pa
Pa
(1)
46
(2)
a
a
q
q
q
q
=
+ xM1
=
xM
+
–
+
–
xM
2
3qa2/2
qa2/2
qa2
47
(3) P
a a
PL/2
=
+
P
xM
2
xM
=
+
PL/2
PL/4
PL/2
xM
1
–
+
–
PL/2
48
(4) 50kN
a a
20kNm
=
+
x
M2
xM
=
+
20kNm
50kNm
xM1
20kNm
50kN
20kNm20kNm
+
+
–
20kNm
30kNm
20kNm
49y
zh
b )
4(2
2
2 yh
I
Q
bI
QS
zz
z ???
?
?
解,（ 1） 横截面的剪应力为：
[例 2]结构如图，试证明：
（ 1）任意横截面上的剪应力的合力等于该面的剪力；
（ 2）任意横截面上的正应力的合力矩等于该面的弯矩；
（ 3）过高度中点做纵截面，那么，此纵截面上的剪应力的
合力由哪个力来平衡？
q
50
? ???
?
h.
h,zA
yByhIQA
50
50
2
2
d)4(2d?
MIIMAIMyM z
z
h.
h,z
z ????
?
50
50
2
d
(2) 横截面上的合剪力为：
Q)h(hIQB
z
???? ]2324[2 33
(3) 合力偶
51
)(bhqx.A xQ,?????? 51)(51m a x??
h
qLx)qx(
hAQ
LL
AB 4
3d
2
3d 2
00
???? ?? ?
z
A W
AMAN
22
1 1m a x
1m a x 1 ?? ?
1AAB NQ ?
(4)中面上的剪应力为：
纵 面上的合剪力与右侧面的正应力的合力平衡 。
(5) 纵 截面上的合剪力 大小 为：
?max??
h
qLbh
bh
qL
4
3
2
6
22
1 2
2
2 ??
52
2
§ 4–1 平面弯曲的概念及梁的计算简图
§ 4–2 梁的剪力和弯矩
§ 4–3 剪力方程和弯矩方程 ·剪力图和弯矩图
§ 4–4 剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系及应用
§ 4–5 按叠加原理作弯矩图
§ 4–6 平面刚架和曲杆的内力图
弯曲内力习题课
第四章 弯曲内力
3
§ 4–1 平面弯曲的概念及梁的计算简图
一、弯曲的概念
1,弯曲, 杆受垂直于轴线的外力或外力偶矩矢的作用时,轴
线变成了曲线，这种变形称为弯曲。
2,梁,以 弯曲变形为主的
构件通常称为梁。
4
3,工程实例
5
6
4,平面弯曲,杆发生弯曲变形后，轴线仍然和外力在同一
平面内 。
对称弯曲（如下图） —— 平面弯曲的特例。
纵向对称面M
P1 P2q
7
非对称弯曲 —— 若梁不具有纵对称面，或者，梁虽具有纵
对称面但外力并不作用在对称面内，这种
弯曲则统称为非对称弯曲。
下面几章中，将以对称弯曲为主，讨论梁的应力和变
形计算。
8
二、梁的计算简图
梁的支承条件与载荷情况一般都比较复杂，为了便于
分析计算，应进行必要的简化，抽象出计算简图。
1,构件本身的简化
通常取梁的轴线来代替梁。
2,载荷简化
作用于梁上的载荷（包括支座反力）可简化为三种类型：
集中力、集中力偶和分布载荷。
3,支座简化
9
① 固定铰支座
2个约束,1个自由度。
如：桥梁下的固定支座，止
推滚珠轴承等。
② 可动铰支座
1个约束,2个自由度。
如：桥梁下的辊轴支座，滚
珠轴承等。
10
③ 固定端
3个约束,0个自由度。
如：游泳池的跳水板支座，
木桩下端的支座等。
XA
YA
MA
4,梁的三种基本形式
① 简支梁
M —集中力偶
q(x)— 分布力
② 悬臂梁
11
③ 外伸梁
— 集中力Pq— 均布力
5,静定梁与超静定梁
静定梁：由静力学方程可求出支反力，如上述三种基本
形式的静定梁。
超静定梁：由静力学方程不可求出支反力或不能求出全
部支反力。
12
[例 1]贮液罐如图示，罐长 L=5m，内径 D=1m，壁厚 t =10mm，
钢的密度为,7.8g/cm3，液体的密度为,1g/cm3,液面高
0.8m，外伸端长 1m，试求贮液罐 的计算简图。
解,q— 均布力
13
L
gLAgLA
L
gV
L
mgq 2211 ??? ??????
r a d85513106 0,,???
gRRgDt 2221 )]s i n(21[ ?????? ????
gAgA 2211 ?? ??
( k N/ m ) 9?
9, 81000)]s in 1 0 6, 3( 1, 8 5 50, 521
0, 5[ 3, 1 48978000101143
2
2
?????
????????,..
q— 均布力
14
§ 4–2 梁的剪力和弯矩
一、弯曲内力：
[举例 ]已知：如图,P,a,l。
求：距 A端 x处截面上内力。
Pa
P
l
YA
XA
RB
A
A B
B
解：①求外力
l
alP
YY
l
Pa
Rm
XX
A
BA
A
)(
,0
,0
0,0
?
?? ??
?? ??
?? ??
15
A B
P
YA
XA
RBm
m
x
② 求内力 ——截面法
xYMm
l
alPYQY
AC
A
??? ??
???? ??
,0
)(,0
A
YA
Q
M
RB
P
M
Q
∴ 弯曲构件内力
剪力
弯矩
1,弯矩,M
构件受弯时，横截面上其作
用面垂直于截面的内力偶矩。
C
C
16
2,剪力,Q
构件受弯时，横截面上其作用线平行于截面的内力。
3.内力的正负规定,
① 剪力 Q,绕研究对象顺时针转为正剪力；反之为负。
② 弯矩 M：使梁变成凹形的为正弯矩；使梁变成凸形的为负弯矩。
Q(+) Q(–)
Q(–)Q(+)
M(+) M(+)
M(–) M(–)
17
[例 2],求图 （ a）所 示梁 1--1,2--2截面处的内力。
xy
qLQ
QqLY
???
????
1
1
0
解,截面法求内力。
1--1截面处截取的分离体
如图（ b） 示。
图（ a）
11
11
0)(
q L xM
Mq L xFm iA
???
????
二、例题
qqL
a b1
1
2
2
qL
Q1
A
M1
图（ b）x1
18
L)axq Q ???? 22 (
axqMq Lx
Fm iB
0)(
2
1
,0)(
2
222 ????
??
2--2截面处截取的分离体如图（ c）
)ax(qQqLY 022 ??????
2
2
22 )(2
1 q L xaxqM ???
xy 图（ a）
qqL
a b1
1
2
2
qL
Q2
B
M2
x2
图（ c）
19
1,内力方程：内力与截面位置坐标（ x）间的函数关系式。
2,剪力图和弯矩图：
)(xQQ ? 剪力方程
)(xMM ? 弯矩方程
)(xQQ ?剪力图 的图线表示
)(xMM ?弯矩图 的图线表示
§ 4–3 剪力方程和弯矩方程 · 剪力图和弯矩图
20
[例 3] 求下列各图示梁的内力方程并画出内力图。
PY)x(Q O ??
解：①求支反力
)Lx(P
MxY)x(M OO
??
??
② 写出内力方程
PL MPY OO ?? ;
P
YO
L
③ 根据方程画内力图
M(x)
x Q(x)
Q(x)
M(x)
x
x
P
–PL
MO
21
解：①写出内力方程
② 根据方程画内力图
qx)x(Q ??
221 qx)x(M ??
L
q
M(x)
x Q(x)
Q(x)
x
M(x) x
– qL
2
2qL?
22
)3(6 220 xLLq)x(Q ??
解：①求支反力
② 内力方程
3 ; 6 00
Lq RLqR
BA ??
q0
RA
③ 根据方程画内力图
RB
L
)xL(LxqxM 2206)( ??x
L33
Q(x)
x
6
20Lq
3
20Lq
27
3 20Lq
M(x)
23
一,剪力、弯矩与分布荷载间的关系
对 dx 段进行平衡分析，有：
? ? 0dd
0
????
??
)x(Q)x(Qx)x(q)x(Q
Y
)x(Qx)x(q dd ?
§ 4–4 剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系及应用
dxx
q(x)
q(x)
M(x)+d M(x)
Q(x)+d Q(x)
Q(x)
M(x)
dx
A
y ? ? ? ?xq
x
xQ ?
d
d
剪力图上某点处的切线斜率
等于该点处荷载集度的大小。
24
q(x)
M(x)+d M(x)
Q(x)+d Q(x)
Q(x)
M(x)
dx
A
y
0)](d)([)()) ( d(21)d(
,0)(
2 ?????
??
xMxMxMxxqxxQ
Fm iA
)(d )(d xQx xM ?
弯矩图上某点处的切线斜率等于该点处剪力的大小。
)(d )(d 2
2
xqx xM ?
弯矩与荷载集度的关系是：
25
二、剪力、弯矩与外力间的关系
外
力
无外力段 均布载荷段 集中力 集中力偶
q=0 q>0 q<0
Q
图
特
征
M
图
特
征
C
P
C
m
水平直线
x
Q
Q>0
Q
Q<0
x
斜直线
增函数
x
Q
x
Q
降函数
x
Q
C
Q1
Q2
Q1–
Q2=P
自左向右突变
x
Q
C
无变化
斜直线
x
M
增函数
x
M
降函数
曲线
x
M
坟状
x
M
盆状
自左向右折角 自左向右突变
与
m
反
x
M
折向与 P反向
M
x
M1
M2
mMM ?? 21
26
简易作图法, 利用内力和外力的关系及特殊点的内力值来作
图的方法。
[例 4] 用简易作图法画下列各图示梁的内力图。
解, 利用内力和外力的关系及
特殊点的内力值来作图。
特殊点,
端点、分区点（外力变化点）和
驻点等。
a a
qa q
A
27
2
2
30 qaM;Q ???
0 ; ??? MqaQ
2 ; qaMqaQ ????
2
2
3; 0 qaMQ ???
a a
qa q
A
左端点：
线形,根据
)(d )(d xQx xM ? )(d )(d 22 xqx xM ?；
? ? ? ?xqx xQ ?dd ；
及集中载荷点的规律确定。
分区点 A：
M 的驻点,
右端点：
Q x
223qa
qa2
–
qa
–
x
M
28
[例 5] 用简易作图法画下列各图示梁的内力图。
解：求支反力 ????
2 ; 2 qaRqaR DA
0;2 ??? MqaQ
左端点 A：
2
2
1;
2 qaM
qaQ ????
B点左：
2
2
1;
2 qaM
qaQ ???
B点右：
2
2
1;
2 qaM
qaQ ????
C点左：
M 的驻点,
2
8
3; 0 qaMQ ???
2
2
1;
2 qaM
qaQ ???
C点右：
0 ; 21 ??? MqaQ
右端点 D：
q qa2
qaRA RD
Q x
qa/2 qa/2
qa/2
– –
+
A B
C D
qa2/2
xM qa2/2
qa2/23qa2/8
–
+
29
§ 4–5 按叠加原理作弯矩图
一、叠加原理,
多个载荷同时作用于结构而引起的内力等于每个载荷单独
作用于结构而引起的内力的代数和。
)()()()( 221121 nnn PQPQPQPPPQ ????????????????
)()()()( 221121 nnn PMPMPMPPPM ????????????????
适用条件,所求参数（内力、应力、位移）必然与荷载满
足线性关系。即在弹性限度内满足虎克定律。
30
二、材料力学构件小变形、线性范围内必遵守此原理
——叠加方法
步骤：
①分别作出各项荷载单独作用下梁的弯矩图；
②将其相应的纵坐标叠加即可（注意：不是图形的简单
拼凑）。
31
[例 6]按叠加原理作弯矩图 (AB=2a，力 P作用在梁 AB的中点处）。
q
q
P
P =
+
A
A
A
B
B
B x
M2
x
M1
x
M
2Pa
+
+
+
2
2qa
22
2qaPa ?
=
+
32
三、对称性与反对称性的应用：
对称结构在对称载荷作用下,Q图反对称,M图对称；对称
结构在反对称载荷作用下,Q图对称,M图反对称。
33
[例 7] 作下列图示梁的内力图。
P PL
P
PL
L L
L L
L L
0.5P
0.5P
0.5P
0.5P
P0
Q x
Q1 x
Q2 x
–
0.5P
0.5P
0.5P
–
+
–
P
34
P PL
P
PL
L L
L L
L L
0.5P
0.5P
0.5P
0.5P
P0 M
x
M1
x
M2
x
0.5PL
PL
0.5PL
–
+
+
0.5PL
+
35
[例 8] 改内力图之错。
a 2aa
qqa2A
B
Q x
x
M
– –
+
+
qa/4 qa/4
3qa/4
7qa/4
qa2/4
49qa2/32
3qa2/2
5qa2/4
47;4 qaRqaR BA ??
36
[例 9] 已知 Q图，求外载及 M图（梁上无集中力偶）。
Q(kN)
x
1m 1m2m
2
3
1
5kN 1kN
q=2kN/m
+
–
+
M(kN·m)
x
+
1
1
1.25
–
37
§ 4–6 平面刚架和曲杆的内力图
一、平面刚架
1,平面刚架,同一平面内，不同取向的杆件，通过杆端相
互刚性连接而组成的结构。
特点,刚架各杆的内力有,Q,M,N。
2,内力图规定：
弯矩图,画在各杆的受拉一侧，不注明正、负号。
剪力图及轴力图,可画在刚架轴线的任一侧（通常正
值画在刚架的外侧），但须注明正、负号。
38
[例 10] 试作图示刚架的内力图。
P1P
2
a
l
A
B C –
N 图
P2
+
Q 图
P 1 +
P1
P1a
M 图
P 1
a
P1a+ P2 l
39
二、曲杆,轴线为曲线的杆件 。
内力情况及绘制方法与平面刚架相同。
[例 11] 已知：如图所示,P及 R 。试绘制 Q,M,N 图。
O
PR
?
x
解：建立极坐标,O为极点,OB
极轴,?表示截面 m–m的位置。
)(0 )c o s1()c o s()( ????? ??????? PRRRPPxM
)(0 co s)( 2 ???? ???? PPN
)(0 s i n)( 1 ???? ???? PPQ
A B
40
O
PR
?
x
)(0 )c o s1()c o s()( ????? ??????? PRRRPPxM
)(0 co s)( 2 ???? ???? PPN
)(0 s i n)( 1 ???? ???? PPQ
A B
A B
O
M图
O O
+ Q图 N图
2PR
P P
– +
41
一、内力的直接求法：
求任意截面 A上的内力时，以 A 点左侧部分为研究对象，
内力计算式如下，其中 Pi, Pj 均为 A 点左侧的所有向上和向
下的外力。
剪力图和弯矩图
弯曲内力习题课
? ? ? ?? ??? ?? iiA PPQ
? ? ? ????? )( )( iAiAA PmPmM
42
)(d )(d 22 xqx xM ?
剪力、弯矩与分布荷载间的关系：
q(x) ? ? ? ?xq
x
xQ ?
d
d
)(d )(d xQx xM ?
二,简易作图法,
利用内力和外力的关系及特殊点的内力值来作图的方法。
43
三,叠加原理：
多个载荷同时作用于结构而引起的内力等于每个载荷单
独作用于结构而引起的内力的代数和。
)()()()( 221121 nnn PQPQPQPPPQ ????????????????
)()()()( 221121 nnn PMPMPMPPPM ????????????????
四、对称性与反对称性的应用：
对称结构在对称载荷作用下,Q图反对称,M图对称；对称
结构在反对称载荷作用下,Q图对称,M图反对称。
44
五、剪力、弯矩与外力间的关系
外
力
无外力段 均布载荷段 集中力 集中力偶
q=0 q>0 q<0
Q
图
特
征
M
图
特
征
C
P
C
m
水平直线
x
Q
Q>0
Q
Q<0
x
斜直线
增函数
x
Q
x
Q
降函数
x
Q
C
Q1
Q2
Q1–
Q2=P
x
Q
C
自左向右突变 无变化
斜直线
x
M
增函数
x
M
降函数
x
M
x
M
x
M
x
M
曲线
坟状 盆状
自左向右折角
折向与 P反向
M1
M2
自左向右突变
与
m
反
mMM ?? 21
45
[例 1] 绘制下列图示梁的弯矩图。
2P
a a P
=
2P
P
+
x
M
xM
1
x
M2
=
+
–
+
+
2Pa
2Pa
Pa
(1)
46
(2)
a
a
q
q
q
q
=
+ xM1
=
xM
+
–
+
–
xM
2
3qa2/2
qa2/2
qa2
47
(3) P
a a
PL/2
=
+
P
xM
2
xM
=
+
PL/2
PL/4
PL/2
xM
1
–
+
–
PL/2
48
(4) 50kN
a a
20kNm
=
+
x
M2
xM
=
+
20kNm
50kNm
xM1
20kNm
50kN
20kNm20kNm
+
+
–
20kNm
30kNm
20kNm
49y
zh
b )
4(2
2
2 yh
I
Q
bI
QS
zz
z ???
?
?
解,（ 1） 横截面的剪应力为：
[例 2]结构如图，试证明：
（ 1）任意横截面上的剪应力的合力等于该面的剪力；
（ 2）任意横截面上的正应力的合力矩等于该面的弯矩；
（ 3）过高度中点做纵截面，那么，此纵截面上的剪应力的
合力由哪个力来平衡？
q
50
? ???
?
h.
h,zA
yByhIQA
50
50
2
2
d)4(2d?
MIIMAIMyM z
z
h.
h,z
z ????
?
50
50
2
d
(2) 横截面上的合剪力为：
Q)h(hIQB
z
???? ]2324[2 33
(3) 合力偶
51
)(bhqx.A xQ,?????? 51)(51m a x??
h
qLx)qx(
hAQ
LL
AB 4
3d
2
3d 2
00
???? ?? ?
z
A W
AMAN
22
1 1m a x
1m a x 1 ?? ?
1AAB NQ ?
(4)中面上的剪应力为：
纵 面上的合剪力与右侧面的正应力的合力平衡 。
(5) 纵 截面上的合剪力 大小 为：
?max??
h
qLbh
bh
qL
4
3
2
6
22
1 2
2
2 ??
52
