第七章 应力状态与应变状态分析
§ 7–1 应力状态的概念
§ 7–2 平面应力状态分析 ——解析法
§ 7–3 平面应力状态分析 ——图解法
§ 7–4 梁的主应力及其主应力迹线
§ 7–5 三向应力状态研究 ——应力圆法
§ 7–6 平面内的应变分析
§ 7–7 复杂应力状态下的应力 -- 应变关系
——（ 广义虎克定律 ）
§ 7–8 复杂应力状态下的变形比能
§ 7–１ 应力状态的概念
一、引言
1、铸铁与低碳钢的拉、压、扭试验现象是怎样产生的？
M
低碳钢
铸铁 P
P 铸铁拉伸
P
铸铁压缩
2、组合变形杆将怎样破坏？
M
P
四、普遍状态下的应力表示
三、单元体, ?单元体 ——构件内的点的代表物，是包围被研究点
的无限小的几何体，常用的是正六面体。
?单元体的性质 ——a、平行面上，应力均布；
b、平行面上，应力相等。
二、一点的应力状态：
过一点有无数的截面，这一点的各个截面上应力情况的集合，
称为这点的应力状态（ State of Stress at a Given Point）。
x
y
z
sx
sz
sy
txy
x
y
z
sx
sz
sy
txy
五、剪应力互等定理（ Theorem of Conjugate Shearing Stress):
过一点的两个正交面上,如果有与相交边垂直的剪应力分
量,则两个面上的这两个剪应力分量一定等值、方向相对或相
离。
0, ?? zM单元体平衡证明
0d)dd(d)dd( ?? yxzxzy yxxy tt
yxxy tt ??
tzx
六、原始单元体（已知单元体）：
例 1 画出下列图中的 A,B,C点的已知单元体。
PP A
A
sxsx
M
P
x
y
z
B
C
sxsx B
txz C
txy
tyx
七、主单元体、主面、主应力：
?主单元体 (Principal bidy)：
各侧面上剪应力均为零的单元体。
?主面 (Principal Plane)：
剪应力为零的截面。
?主应力 (Principal Stress ）：
主面上的正应力。
?主应力排列规定：按代数值大小，
321 sss ??
s1
s2
s3
x
y
z
sx
sy
sz
?单向应力状态（ Unidirectional State of Stress）,
一个主应力不为零的应力状态。
?二向应力状态（ Plane State of Stress）,
一个主应力为零的应力状态。
?三向应力状态（ Three—Dimensional State of Stress）,
三个主应力都不为零的应力状态。
A
sxsx
tzx
sxsx B
txz
§ 7–2 平面应力状态分析 ——解析法
等价
sxt
xy
sy
x
y
z x
y
sx
txy
sy
O
规定,?s? 截面外法线同向为正；
?t?绕研究对象顺时针转为正；
??逆时针为正。
图 1
设：斜截面面积为 S,由分离体平衡得：
? ? F n 0
0c o ss ins in
s inc o sc o s
2
2
???
??
??t?s
??t?ss ?
SS
SSS
yxy
xyx
一、任意斜截面上的应力
x
y
sx
txy
sy
O
sy
txysx
s?
t?
?
x
y
O t
n
图 2
图 1x
y
sx
txy
sy
O
sy
txysx
s?
t?
?
x
y
O t
n
图 2
?t?sssss ? 2s in2c o s22 xyyxyx ?????
?t?sst ? 2c o s2s i n2 xyyx ???
考虑剪应力互等和三角变换，得：
同理：
? ? 02c o s22s in,00
0
?????
?
?t?ss?s
??
?
xyyxd
d令
二、极值应力
yx
xy
ss
t?
???
22tg
0和两各极值：）、（
由此的两个驻点：
20101
?
?? ?
！极值正应力就是主应力?? 00?t
） 2222 xyyxyx
m in
m ax tssss
s
s ??±??
?
?
?
（′
′
x
y
sx
txy
sy
O
x
y
sx
txy
sy
O
主
单元体s1?在剪应力相对的项限内，
且偏向于 sx 及 sy大的一侧。
0dd:
1
?
????
t ?令
xy
yx
t
ss?
22tg 1
??
22
2 x y
yx
min
max tss
t
t ??±?
??
?
?
? ）（
0
10 45,4 成即极值剪应力面与主面
??? ??
m i n2m a x1 ; ssss ??????
2s?
1s?
例 2 分析受扭构件的破坏规律。
解,?确定危险点并画其原
始单元体
?求极值应力
0?? yx ss
P
n
xy W
M??tt
22
2
1
22 xy
yxyx tssss
s
s
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
）（
tt ???? 2xy
txyC
tyx
M
C
x
y
O
txy
tyx
?破坏分析
tt
ss
t
t
???
?
??
?
?
?
?
? 22
m i n
m a x
2 xy
yx ）（
tssts ???? 321 ;0; ?4522tg
00 ??????? ?ss
t?
yx
xy
0022tg 11 ????? ?t ss?
xy
yx
M P a2 0 0;M P a2 4 0,?? ss ts低碳钢
M P a3 0 0~1 9 8;M P a9 6 0~6 4 0
M P a2 8 0~98:
??
?
byb
Lb
ts
s灰口铸铁
低碳钢
铸铁
§ 7–3 平面应力状态分析 ——图解法
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?t?
ss
t
?t?
ssss
s
?
?
2c o s2s in
2
2s in2c o s
22
xy
yx
xy
yxyx
2
2
2
2
22 xy
yxyx tsstsss
?? ???
?
?
???
? ???
???
?
???
? ??
对上述方程消去参数（ 2?），得：
一、应力圆（ Stress Circle）
x
y
sx
txy
sy
O
sy
txysx
s?
t?
?
x
y
O t
n
此方程曲线为圆 —应力圆（或莫尔圆，
由德国工程师,Otto Mohr引入）
?建立应力坐标系，如下图所示，
（注意选好比例尺）
二、应力圆的画法
?在 坐标系内画出点 A(sx,txy)和
B(sy,tyx)
?AB与 s?轴的交点 C便是圆心。
?以 C为圆心，以 AC为半径画
圆 ——应力圆；
sx
txy
sy
x
y
O
n
s?
t?
?
O
s?
t?
C
A(sx,txy)
B(sy,tyx)
x
2?
n D( s?,t??
sx
txy
sy
x
y
O
n
s?
t?
?
O
s?
t?
C
A(sx,txy)
B(sy,tyx)
x
2?
n D( s?,t??
三、单元体与应力圆的对应关系
??面上的 应力 (s ?,t?)
应力圆上一点 (s ?,t ?)
??面的法线 应力圆的半径
?两面夹角 ? 两半径夹角 2? ；
且转向一致。
22
3
1
22
xy
yxyx
ROC
t
ssss
s
s
?
?
?
?
???
?
?
?
）（
半径
四、在应力圆上标出极值应力
22
m i nm a x
m i n
m a x
2
2
xy
yx
R
t
ss
ss
t
t
?
?
?
?
????
?
?
?
）（
半径
O C s
?
t?
A(sx,txy)
B(sy,tyx)
x
2?1
mint
maxt
2?0
s1s2s3
s3
例 3 求图示单元体的主应力及主平面的位置。 (单位,MPa)
45
325
325
95
150
°
A
B
s1
s2
解,?主应力坐标系如图
?AB的垂直平分线与
s?轴的交点 C便是
圆心，以 C为圆心，
以 AC为半径画
圆 ——应力圆
?0
s1s2
B A
C
2s0
s?
t?
(MPa)
(MPa)
O
20MPa
)325,45(B
)325,95(A
?在 坐标系内画出点
s3 s
1s2
B A
C
2s0
s?
t?
(MPa)
(MPa)
O
20MPa
?主应力及主平面如图
0
20
1 2 0
3
2
1
?
?
?
s
s
s
?300 ???
45
325
325
95
150
°
s1
?0s2
A
B
?t?sst ? 2c o s2s in2 xyyx ???
45
325
325
95
150
°解法 2—解析法：分析 ——建立坐标系如图
xyyx
y
tt
s
???
?
M P a325
M P a45
?xs
22
2
1
22 xy
yxyx tssss
s
s ?????
?
?
? ）（
60°
M P a325
M P a95
60
60
?
?
t
sx
y
O
§ 7–4 梁的主应力及其主应力迹线
z
z
xy Ib
QS ??t
z
x I
My?s
1
2
3
4
5
P1 P2 q 如图，已知梁发生剪切弯
曲（横力弯曲），其上 M、
Q>0，试确定截面上各点主
应力大小及主平面位置。
单元体：
22
3
1
22 xy
xx tss
s
s ???
?
?
? ）（
1
s1
s3
s3
3
s1
s3
s1
s1
s3
5
?0
–45°
?0
s
t
A1A2 D2D1
C O
s
A2
D2
D1
C
A1
O
t
2?0
s
t
D2
D1
C
D1
O
2?0= –90°
s
D2
A1O
t
2?0
C
D1
A2
s
t
A2D2 D1
C
A1
O
拉力
压力
主应力迹线（ Stress Trajectories)：
主应力方向线的包络线 ——曲线上每一点的切线都指示
着该点的拉主应力方位（或压主应力方位）。
实线表示拉主应力迹线；
虚线表示压主应力迹线。
s1s3
q
x
y
主应力迹线的画法：
1
1
截面
2
2
截面
3
3
截面
4
4
截面
i
i
截面
n
n
截面
ba
c
d
s3
s1
§ 7–5 三向应力状态研究 ——应力圆法
s2
s1
x
y
z
s3
1s2
s3s
?s
?t
1、空间应力状态
2、三向应力分析
?弹性理论证明，图 a单元体内任意一点任意截面上的应
力都对应着图 b的应力圆上或阴影区内的一点。
图 a
图 b
?整个单元体内的最大剪应力为：
tmax
2
31
m a x
sst ??
s2
s1
x
y
z
s3
1s2
s3s
?s
?t
例 4 求图示单元体的主应力和最大剪应力。（ MPa）
解,?由单元
体图知,y
z面为主面
501??s
?建立应力坐标系如
图，画应力圆和
点 s1′,得,
27
50
58
3
2
1
??
?
?
s
s
s
44m a x?t
5040
x
y
z
30
10
(MPa)
s?
（ MPa ）t?
A
B
C
A
B
s1s2s3
tmax
§ 7–6 平面内的应变分析
x
y
O
?
一, 叠加法求应变分析公式
??? ? c o sd 11 xaDD ??
??? ? 21 co sx?
??
?
??
?
??
? ?
2s i n
/ c o s
s i n
s i n/
c o s
1
x
xx
a
a
b
b
B O EA O D
??
???
?????
ab
c d
?
A
O
B
剪应变,直角的增大量！
（只有这样，前后才对应）
?
D
D1
E
E1
? ? ?
??? ? s i nd 22 ycDD ??
???? 22 s iny?
??
?
??
?
??
?
?
2s in
/c o s
s in
/c o s
s in
2
y
yy
c
c
c
c
B O EA O D
??
???
?????
x
y
O
ab
c d
?
A
O
B D
D2
E
E2
? ?
??? ? c o sd 33 xycADd ???????
???? ? s o cxy s i n3 ??
? ????
?
??
?
??
?
?
22
33
s i nc o s
/ c o s
c o s
s i n/
s i n
??
???
?????
xy
xyxy
c
c
c
c
B O EA O DD
D3
E
E3
?
xy?
xy?
x
y
O
ab
c d
?
A
O
B
????????? ?? c o ss ins inc o s 22
3
1
xyyx
i
i ???? ?
?
? ?????????? ?? 223
1
s inc o s2s in2s in ?????? ?
?
xyyx
i
i
?t?sssss ? 2s in2c o s22 xyyxyx ?????
?t?sst ? 2c o s2s in2 xyyx ????
?
?
???????? ? 2s i n212c o s22 xyyxyx ?????
?????? ? 2c o s212s in22 xyyx ????
?
?
2、已知一点 A的应变（ ），画应变圆
xyyx ???,,
二、应变分析图解法 ——应变圆 （ Strain Circle）
22 ; 2 ; ??t?s? ???? ???
1、应变圆与应力圆的类比关系
?建立应变坐标系如图
?在 坐标系内画出点
A(?x,?xy/2)
B(?y,-?yx/2)
?AB与 ??轴的交点 C便是圆心
?以 C为圆心，以 AC为半径画圆 ——应变圆。
??
??/2
A
B
C
??
??/2
三, ?方向上的 应变与 应变圆的对应关系
?max?min
2?0
D(??,??/2)
2?
n
??方向上的 应变 (??,? ?/2)
应变圆上一点 (??,? ?/2)
??方向线 应变圆的半径
?两方向间夹角 ?
两半径夹角 2?；且转向一致。
A
B
C
四, 主应变数值及其方位
? ?? ?22
m i n
m a x
2
1
xyyxyx ??????
?
?????
?
?
?
）（
22 ; 2 ; ??t?s? ???? ???
22
m i n
m a x
22 xy
yxyx tssss
s
s
?
?
?
?
?
?
?
? ）（ yx
xytg
ss
t?
???
22
0
yx
xy
??
??
?
??
02tg
例 5 已知一点在某一平面内的 ?1,?2,?3、方向上的 应变 ??1、
??2,??3,三个线应变，求该面内的主应变。
解：由
iixyiyixi ???????? ? c o ss i ns i nc o s 22 ???
i =1,2,3这三个方程求出 ?x,? y,? x y；然后在求主应变。
? ?? ?22
m i n
m a x
2
1
xyyxyx ??????
?
?????
?
?
? ）（
例 6 用 45° 应变花测得一点的三个线应变后，求该点的主应变。
x
y u
45o ?0?max
? ?][2)(21 22m a x ）（）（ yuuxyx ??????? ??????
? ?][2)(21 22m i n ）（）（ yuuxyx ??????? ??????
yx
yxu
??
???
?
?
??
?
2
2tg 0
§ 7–7 复杂应力状态下的应力 -- 应变关系
——（ 广义虎克定律 ）
一、单拉下的应力 --应变关系
E
x
x
s? ?
xy E s
?? ??
xz E s
?? ??
二、纯剪的应力 --应变关系
G
xy
xy
t? ?
) 0 x,y,z( i,jij ???
)( 0 x,y,zii ???
0?? zxyz ??
x
y
z
sx
x
y
z
txy
三、复杂状态下的应力 --- 应变关系
依叠加原理,得,
? ?? ?zyx
zyx
x
E
EEE
ss?s
s
?
s
?
s
?
???
???
1
? ?? ?xzyy E ss?s? ??? 1
? ?? ?yxzz E ss?s? ??? 1
G
xy
xy
t? ?
G
yz
yz
t? ?
G
zx
zx
t? ?
? ?? ?zyxx E ss?s? ??? 1
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
x
y
z
sz
sy
txy
sx
主应力 --- 主应变关系
四、平面状态下的应力 ---应变关系,
0??? zxyzz tts
方向一致
02tg
2 ?
ss
t ?
??? yx
xy
yx
xy
??
??
?
???
02tg
? ?? ?1322 1 ss?s? ??? E
? ?? ?1233 1 ss?s? ??? E
? ?? ?3211 1 ss?s? ??? E
xyxy G?t ?
? ?yxx E ????s ??? 21
? ?xyy E ????s ??? 21
主应力与主应变 方向一致?
0
2
0 2tg)(
)]1)([(
1
22
2tg ?
??
?
???
?
?
ss
t
? ??
?
??
??
?
?
?
?
?
?
yx
xy
yx
xy
yx
xy
E
G
五、体积应变与应力分量间的关系
321 aaaV ?
)1()1()1( 3322111 ??? ???? aaaV
3211 ??? ???
???
V
VV
体积应变：
)(
21
)(
21
321
zyx
E
E
sss
?
sss
?
??
?
?
??
?
??
体积应变与应力分量间的关系,
例 7 已知一受力构件自由表面上某一点处的两个面内主应变分别
为,?1=240?10-6,?2=–160?10-6，弹性模量 E=210GPa，泊松比
为 ?=0.3,试求该点处的主应力及另一主应变 。
03, ??s自由面上解
? ?
M P a3.4410)1603.0240(
3.01
10210
1
6
2
9
2121
????
?
?
?
?
?
???
?
???
?
s
E
所以，该点处的平面应力状态
? ?
M P a3.2010)2403.0160(
3.01
10210
1
6
2
9
1222
??????
?
?
?
?
?
???
?
???
?
s
E
1s?
2s?
? ? 669132 103.3410)3.443.22(10210 3.0 ????????????? ss?? E;M P a3.20;0;M P a3.44 321 ????? sss
?? 3342,??
例 8 图 a所示为承受内压的薄壁容器。为测量容器所承受的内压
力值，在容器表面用电阻应变片测得环向应变 ? t =350× l06，若
已知容器平均直径 D=500 mm，壁厚 ?=10 mm，容器材料的
E=210GPa,?=0.25，试求,1.导出容器横截面和纵截面上的正应
力表达式； 2.计算容器所受的内压力。
p
p
p
x
s1
sm
l
p
OD
x
A B
y
图 a
1、轴向应力,(longitudinal stress)
解：容器的环向和纵向应力表达式
用横截面将容器截开，受力如图 b所示,根据平衡方程
? ? 42DpDm ???s ??
?s 4
pD
m ?
p
sm
sm
xD
图 b
用纵截面将容器截开，受力如图 c所示
2、环向应力,(hoop stress)
? ? Dlplt ??? ?s 2 ?s 2pDt?
3、求内压（以应力应变关系求之）
? ? ? ????ss? ???? 241 EpDE mtt
M P a36.3
)25.02(5.0
1035001.0102104
)2(
4
69
?
??
?????
?
?
?
?
?
??
D
E
p t
st
sm
外表面
y
ps
t s tD
q
dq )d2( q??Dlp
z
图 c
O
§ 7－ 8 复杂应力状态下的变形比能
332211 2
1
2
1
2
1 ?s?s?s ???u
)(31 321 ssss ???m
s2
s3
s1
图 a
图 c
s3-sm
s1-sm
s2-sm
ba E ????
??? )(21
321 sss
? 0??c
? ?? ?312321232221 22 1 ssssss?sss ?????? E
sm
图 b
sm
sm
? ? ? ? ? ?? ?21323222161 ssssss? ??????? Eu x
:单元体的应变能为图 c
称为形状改变比能或歪形能。
图 c
s3-sm
s1-sm
s2-sm
例 9 用能量法证明三个弹性常数间的关系。
Gu 22
1 2tt? ??
?纯剪单元体的比能为：
?纯剪单元体比能的主应力表示为：
? ?? ?312321232221 22 1 ssssss?sss ?????? Eu
? ?? ?tt?tt )(002)(02 1 22 ???????? E
21 t?
E
??
? ????? 12
EG
txy
A
s1
s3
