§ 6–1 概述
§ 6–2 梁的挠曲线近似微分方程及其积分
§ 6–3 求梁的挠度与转角的共轭梁法
§ 6–4 按叠加原理求梁的 挠度与转角
§ 6–5 梁的刚度校核
第六章 弯曲变形
§ 6–6 梁内的弯曲应变能
§ 6–7 简单超静定 梁的求解方法
§ 6–8 梁内的弯曲应变能
§ 6－１ 概 述
研究范围：等直梁在对称弯曲时位移的计算。
研究目的：①对梁作刚度校核；
②解超静定梁（变形几何条件提供补充方程）。
1.挠度：横截面形心沿垂直于轴线方向的线位移。 用 v表示。
与 f 同向为正，反之为负。
2.转角：横截面绕其中性轴转
动的角度 。用 ? 表示，顺时
针转动为正,反之为负。
二、挠曲线：变形后，轴线变为光滑曲线，该曲线称为挠曲线。
其方程为,v =f (x)
三、转角与挠曲线的关系：
一、度量梁变形的两个基本位移量
( 1 ) ddtg fxf ???? ??
小变形
P
x
v
C
?
C1f
§ 6-2 梁的挠曲线近似微分方程及其积分
z
z
EI
xM )(1 ?
?
一、挠曲线近似微分方程
z
z
EI
xMxf )()( ?????
式（ 2）就是挠曲线近似微分方程。
EI
xMxf )()( ?????? …… （ 2 ）
)(
)1(
)(1
232
xf
f
xf ????
??
????
?
小变形
f
xM>0
0)( ??? xf
f
x
M<0
0)( ??? xf
)()( xMxfEI ????
对于等截面直梁，挠曲线近似微分方程可写成如下形式：
二、求挠曲线方程（弹性曲线）
)()( xMxfEI ???? 1d))(()( CxxMxfEI ???? ?
21d)d))((()( CxCxxxMxE I f ???? ? ?
1.微分方程的积分
2.位移边界条件
P
A BC PD
讨论：
①适用于小变形情况下、线弹性材料、细长构件的平面弯曲。
②可应用于求解承受各种载荷的等截面或变截面梁的位移。
③积分常数由挠曲线变形的几何相容条件（边界条件、连续条
件）确定。
④优点：使用范围广，直接求出较精确； 缺点：计算较繁。
?支点位移条件：
?连续条件：
?光滑条件：
0?Af 0?Bf 0?Df 0?D?
?? ? CC ff
?? ? CC ?? 右左或写成 CC ?? ?
右左或写成 CC ff ?
例 1 求下列各等截面直梁的弹性曲线、最大挠度及最大转角。
?建立坐标系并写出弯矩方程
)()( LxPxM ??
?写出 微分方程的积分并积分 ?应用位移边界条件 求积分常数
)()( xLPxMfEI ??????
1
2)(
2
1 CxLPfEI ?????
21
3)(
6
1 CxCxLPE I f ????
061)0( 23 ??? CPLEIf
021)0()0( 12 ?????? CPLfEIEI ?
3
2
2
1 6
1 ;
2
1 PLCPLC ????
解：
P
L
x
f
?写出弹性曲线方程并画出曲线
? ?323 3)(6)( LxLxLEIPxf ????
EI
PLLff
3)(
3
m a x ??EI
PLL
2)(
2
m a x ?? ??
?最大挠度及最大转角
x
f
P
L
解,?建立坐标系并写出弯矩方程
??
?
??
????
)( 0
)0( )()(
Lxa
axaxPxM
?写出 微分方程的积分并积分
??
?
?
? ???
??
1
1
2)(
2
1
D
CxaP
fEI
??
?
?
?
?
???
?
21
21
3)(
6
1
DxD
CxCxaP
E I f
??
?
??
??????
)( 0
)0( )(
Lxa
axxaPfEI
x
f
P
L
a
?应用位移边界条件 求积分常数
061)0( 23 ??? CPaE I f
021)0( 12 ???? CPaEI ?
3
22
2
11 6
1 ;
2
1 PaDCPaDC ??????
)()( ?? ? afaf
)()( ?? ? aa ?? 11 DC ??
2121 DaDCaC ????
P
L
a
x
f
?写出弹性曲线方程并画出曲线
? ?
? ?
?
?
?
??
?
?
???
?????
?
)(a 3
6
)0( 3)(
6
)(
32
323
Lx axa
EI
P
ax axaxa
EI
P
xf
? ?aLEIPaLff ??? 36)( 2m a x
EI
Paa
2)(
2
m a x ?? ??
?最大挠度及最大转角
P
L
a
x
f
§ 6-3 求梁的挠度与转角的共轭梁法
)()(:梁的挠曲线微分方程 xMxfEI ????
一、方法的用途：求 梁上指定点的挠度与转角。
二、方法的理论基础：相似比拟。
)()(:为梁的外载与内力的关系 xqxM ???
上二式形式相同，用类比法，将微分方程从形式上转化为
外载与内力的关系方程。从而把求挠度与转角的问题转化为求
弯矩与剪力的问题。
三、共轭梁（实梁与虚梁的关系）：
① x轴指向及 坐标原点完全相同 。
② 几何形状完全相同。
③ 实梁对应方程,)()( xMxfEI ????
)()( xqxM ???
)()( xMxfEI ??????
⑤ 虚梁“力”微分方程的积分
00 d)()()( QxxqxMxQ
x ???? ?
000 0 d)d)(()( MxQxxxqxM
x x ??? ? ?
载荷。依此建立虚梁上的分布令,)()( xMxq ??④
)()( xqxM ???
虚梁对应方程：
)()( xMxE I f ??
下脚标带,0”的量均为坐标原点的量。
实梁“位移”微分方程的积分
)()( xMxfEI ????
00 ))(()( ?? EIdxxMxfEIEI
x ????? ?
000 0 d)d))((()( E I fxEIxxxMxE I f
x x ???? ? ? ?
)()( xQxEI ??
⑥ 依实梁的“位移”边界条件建立虚梁的“力”边界条件。
AAAA QEIMEI f ?? ? ;
中间铰
支座 A
虚虚 梁梁
实实 梁梁
共 轭 梁
支 承 和 端 部 情 况
位移边界 相应的支承和端部情况 力边界
0?Af
0?A?
0?Af
0?A?
右左 AA ?? ?
右左 AA ff ? 右左 AA MM ?
右左 AA QQ ?
固定端 A
A
0 ?AM
0 ?AQ
0 ?AM
0 ?AQ
0 ?AM
0 ?AQ
0?Af
0?A?
0?? 右左 AA ??
0?Af
0?? 右左 AA QQ
0 ?AM
固定端 A
A
自由端 A A
自由端 A A
铰支端 A
A
铰支端 A
A
中间铰
支座 A
中间铰 A
中间铰 A
总结：等截面实梁与虚梁的关系如下：
① x 轴指向及 坐标原点完全相同。 ② 几何形状完全相同。
④ 依实梁的“位移”边界条件，建立虚梁的“力”边界条件。
AAAA QEIMEI f ?? ? ;
EI
Q
EI
Mf x
x
x
x ?? ? ;
⑤ 依虚梁的“内力”，求实梁的“位移”。
a,固定端 自由端
b,铰支座 铰支座
c,中间铰支座 中间铰链
载荷。依此建立虚梁上的分布令,)()( xMxq ??③
解,? 建立坐标和虚梁
例 2 求下列等截面直梁 B点的位移（挠度和转角）。
?求虚梁 B点的剪力和弯矩，
以求实梁 B点的转角和挠度
求实梁的弯矩方程
以确定虚梁荷载
2)(
2
q)( xLxM ???
2)(
2
q)( )( xLxMxq ????
q
L
A
B
f
x
2
2
0
qLq ?
)(xq
A B
L
?求虚梁 B点的剪力和弯矩，以求实梁 B点的转角和挠度
3
0 LqQEI
BB ???
84
3 4qLLAMEIf
qBB ????
EI
qL
B 6
3
?? ?
EI
qLf
B 8
4
??
面积) 的(点左侧 xqBQ B ?
2
2
0
qLq ?
)(xq
A B
L
面积对) 的(点左侧 xqBBM ? B点之矩
解,? 建立坐标和虚梁
?求虚梁 B点的剪力和弯矩
求实梁的弯矩方程以确定
虚梁荷载
) )( M ( xxq ??
???? 2 ; 2 qaRqaR DA
q qa2
qa
A B
C D
qa2/2
xM qa2/2
qa2/23qa2/8
–
+
a a a
f
x
D
?求虚梁 B点的剪力和弯矩
7213
3
?? qaR A
3
23
72
5
22
1
72
13 qaaqaqa
BQ ????
?C点左右位移怎样？
4
23
72
7
322
1
72
13 qaaaqaaqa
BM ?????
EI
qa
B 72
5 3??
EI
qaf
B 72
7 4??
qa2/2
xM qa2/2
qa2/23qa2/8
–
+
A B C
a a a
D
qa2/2
3qa2/8
① 将截面的变化折算到弯矩之中去。
② 几何形状：长度不变，惯性矩变为 I0 。
③ 实梁对应方程：
虚梁对应方程：
)()(0 xMxfEI ?????
)()( xqxM ???
四、变截面直梁的共轭梁法：
00
0 )(
)(
)()(
EI
xM
I
I
xEI
xMxf ????????
)()(0 xMxfEI ?????
)()()(
0
xI
IxMxM ??
其它与等截面直梁完全相同。
载荷。依此建立虚梁上的分布令,)()( xMxq ???④
例 3 求下列变截面直梁 C点的位
移，已知,IDE =2IEB =2IAD 。
解,? 建立坐标和虚梁
) )( (xMxq ???
ADADAD xMxI
IxMxM )(
)()()(
0 ???
2
)()()( DE
DE
AD
DEDE
xM
I
IxMxM ???
a a
P0.5a
A B
CD E x
f
x
M
2
Pa
4
Pa
4
Pa4Pa
?M
)(xq
4
Pa
4
Pa4Pa
a a
P0.5a
A B
CD E x
f
x
M
2
Pa
4
Pa
4
Pa4Pa
?M
)(xq
4
Pa
4
Pa4Pa
?求虚梁 C点的剪力和弯矩
325
2
?? PaR A 0?CQ
3
32
3
6282
1
428 Pa
aaPaaaPa ??
0?C?
AD
C EI
Paf
32
3 3?
??? 322421325
2 aaPa
aPaCM
§ 6-4 按叠加原理求梁的 挠度与转角
一、载荷叠加,多个载荷同时作用于结构而引起的变形
等于每个载荷单独作用于结构而引起的变形的代数和。
)()()()( 221121 nnn PPPPPP ???? ????????????????
)()()()( 221121 nnn PfPfPfPPPf ????????????????
二、结构形式叠加（逐段刚化法）：
例 4 按叠加原理求 A点转角和 C点
挠度。
解,?载荷分解如图
?由梁的简单载荷变形表，
查简单载荷引起的变形。
EI
Paf
PC 6
3
?EIPaPA 4 2??
EI
qLf
qC 24
5 4?
EI
qa
qA 3
3
??
q
q
P
P =
+
A
A
A
B
B
B
C
a a
EI
Paf
PC 6
3
?EIPaPA 4 2??
EI
qLf
qC 24
5 4?
EI
qa
qA 3
3
??
q
q
P
P =
+
A
A
A
B
B
B
C
a a
?叠加
qAPAA ??? ??
)43(12
2
qaPEIa ??
EI
Pa
EI
qaf
C 624
5 34 ??
例 5 按叠加原理求 C点挠度。 解,?载荷无限分解如图
?由梁的简单载荷变形表，
查简单载荷引起的变形。
?叠加
EI
bLbPf
d P C 48
)43()d( 32 ??
bLbqxxqP d2d)(d 0??
bEI bLqb d24 )43(
322 ?
?
??? d P CqC ff EIqLbE I L bLqbL 2 4 0d24 )43(
45.0
0
322
???
q0
0.5L 0.5L
x dx
b
x
f
C
例 6 结构形式叠加（逐段刚化法 ) 原理说明。
=
+
PL1 L2
A BC
BC
PL2
f1
f2
等价
等价
x
f
x
f
21 fff ??f
PL1 L2
A BC刚化 AC段
PL1 L2
A BC
刚化 BC段
PL1 L2
A BC M x
f
§ 6-5 梁的刚度校核
))1 0 0 01~250 1(,对土建工程( ma x ?????????????? LfLfLf
? ??? ?m a x
一、梁的刚度条件
其中 [?]称为许用转角； [f/L]称为许用挠跨比。通常 依此条件
进行如下三种刚度计算：
?,校核刚度：
?,设计截面尺寸；
?,设计载荷。
??????? L
f
L
f m a x ? ??? ?m a x
(但：对于土建工程，强度常处于主要地位，
刚度常处于从属地位。特殊构件例外）
PL=400mm
P2=2kN
A C
a=0.1m
200mm
D
P1=1kN
B
例 7 下图为一空心圆杆，内外径分别为,d=40mm,D=80mm，
杆的 E=210GPa，工程规定 C点的 [f/L]=0.00001,B点的 ??]=0.001
弧度,试 核此杆的刚度。
=
++
=
P1=1kN
A BD C
P2
B CDA
P2=2kN
B CDA
P2
B C
a
P2
B CDA
M
P2
B C
a
=
+
+
图 1
图 2
图 3
EI
aLPaf
BC 16
2
1
11 ???EI
LP
B 16
2
1
1 ??
EI
L a P
EI
ML
B 33
2
3 ?????
EI
LaPaf
BC 3
2
2
33 ????
解,?结构变换，查表求简单
载荷变形。
02 ?B? EIaPf C 3
3
2
2 ??
PL=400mm
P2=2kN
A C
a=0.1m
200mm
D
P1=1kN
B
P1=1kN
A BD C
P2
B CDA
M
x
f
P2
B C
a
=
+
+
图 1
图 2
图 3
PL=400mm
P2=2kN
A C
a=0.1m
200mm
D
P1=1kN
B
P1=1kN
A BD C
P2
B CDA
M
x
f
EI
LaP
EI
aP
EI
aLPf
C 3316
2
2
3
2
2
1 ???
EI
LaP
EI
LP
B 316
2
2
1 ???
?叠加求复杂载荷下的变形
48
1244
44
m101 8 8
10)4080(
64
14.3
)(
64
?
?
??
???
?? dDI
?
m1019.53316 6
2
2
3
2
2
1 ???????
EI
LaP
EI
aP
EI
aLPf
C
)(104 2 3.0)32 0 0164 0 0(1 8 8 02 1 0 4.0316 42
2
1 弧度?????
???? EI
LaP
EI
LP
B?
? ? 001.010423.0 4m ax ???? ? ??
??????? L
f
L
f m a x
? ? m10m1019.5 56m ax ?? ???? ff
?校核刚度
dx
x
Q Q+dQ
M M+dM
一、弯曲应变能的计算：
§ 6–6 梁内的弯曲应变能
EI
xM )(1 ?
?
?d)(21dd ??? xMWU
xEI xMU d2 )(d
2
?
?? L xEI xMU d2 )( 2
??
xdd ?
应变能等于外力功。不计剪切应变能并略去 ?dd ?M
d?
M(x)
P1
M x
f
P2 dx
d? ?
例 8 用能量法求 C点的挠度。梁为等截面直梁。
CPfW 2
1?
解：外力功等于应变能
?? L xEI xMU d2 )(
2
)0(; 2)( axxPxM ???
在应用对称性，得,EIaPxxPEIU a 12d)2(2 12 320 2 ?? ?
EI
PafUW
C 6
3
????
思考：分布荷载时，可否用此法求 C点位移？
P
a a
q
x
f
二,梁的冲击问题 1.假设：
?冲击物为钢体；
?不计被冲击物的重力势能和动能；
?冲击物不反弹；
?不计声、光、热等能量损耗（能
量守恒）。
0)(
2
1
冲击前
2
111
???
???
dfhmgmv
UVT
mg
L
hA BC
A BC x
f
fd
22
2
222
)(
2
1
)(
2
1
)(
2
1
2
1
00
冲击后
d
j
d
j
j
ddd
f
f
mg
f
f
P
fkfP
UVT
??
????
??
冲击前、后，能量守恒，所以：
A BC x
f
fd
22 )(
2)(2
1
d
j
d ff
mgfhmgmv ???
jdj
j
fKff hgvf ????? )2)(11(
2
d
jj
d
d f
hgv
f
fK 2)2(11,?????动荷系数
jf
h
dK
211:)1( ???自由落体 2:)2( ?dK突然荷载
h
BA C
mgE =P
三、动响应计算：
解,?求 C点静挠度
221
1 ;
2 PACj RCC
AAf ???
动响应计算等于静响应计算与动荷系数之积,
例 9 结构如图,AB=DE=L,A,C 分别为 AB 和 DE 的中点，
求梁在重物 mg 的冲击下,C 面的动应力。
ABDE
A
EI
PL
EI
LR
9648
33
??
EI
PL
192
5 3?
C1
A1
D
EIEIEI DEAB ??
L
C2
?动荷系数
3
64
11
2
11
PL
E I h
f
h
d
K
Cj
???
???
?求 C面的动应力
zz
C
dCjdCd W
PL
PL
E I h
W
MKK
4)
6411(
3m a xm a x ????? ??
h
BA C
mgE =P
C1
A1
D
EIEIEI DEAB ??
L
C2
§ 6-7 简单超静定 梁的求解方法
1、处理方法：变形协调方程、物理
方程与平衡方程相结合，求全部未
知力。
解,?建立静定基
确定超静定次数，用反力
代替多余约束所得到的结构 —
—静定基。
=
EI
q0
LA
B
L
q0MA
BA
q0
L RBA
B
x
f
?几何方程 ——变形协调方程
0??? BBRBqB fff
+
q0
L RBA
B
=
RB
A B
q0
A B
?物理方程 ——变形与力的关系
?补充方程
EI
LRf
EI
qLf B
BRBq B 3;8
34
???
038
34
?? EILREIqL B 83 qLR B ??
?求解其它问题（反力、应力、
变形等）
?几何方程
——变形协调方程：
解,?建立静定基
BCBRBqB Lfff B ????
=
例 10 结构如图，求 B点反力。L
BCEA
x
f
q0
L RBA
B
C
q0
L RBA
B
EI =
RB
A B
+ q0
A B
=
LBCEA
x
f
q0
L RBA
B
C
RB
A B+
q0
A B
?物理方程 ——变形与力的关系
?补充方程
?求解其它问题（反力、应力、
变形等）
EI
LRf
EI
qLf B
BRBq B 3; 8
34
???
EA
LR
EI
LR
EI
qL BCBB ??
38
34
)
3
(8
3
4
EI
L
A
LI
qLR
BC
B
?
??
EA
LRL BCB
BC ??
§ 6-8 如何提高梁的承载能力
强度：正应力：
剪应力：
? ? m a x ?? ??
zW
M
? ??? ??
z
z
bI
QS *
zEI
XMf )(????
刚度：
稳定性：
都与内力和截面性质有关 。
一、选择梁的合理截面
矩形木梁的合理高宽比
北宋李诫于 1100年著 ?营造法式 ?一书中指出,
矩形木梁的合理高宽比 ( h/b = ) 1.5
英 (T.Young)于 1807年著 ?自然哲学与机械技术讲义 ?一书中指出,
矩形木梁的合理高宽比 为
刚度最大。时强度最大时,3 ;,2 ?? bhbh
R
b
h
一般的合理截面
A
Q
3
433.1
mm a x ?? ?? 32
3
1
DW
z
??
1
32
2 1, 1 8 6
)(
6 zz W
RbhW ??? ?
mm a x 5.1 ?? ?
)2/( ;,4 12
2
1 DRaaD ?? ?? 时当
1、在面积相等的情况下，选择抗弯模量大的截面
z
D
za
a
1, 0 512 1
3
2 zz I
bhI ??
mma x 2?? ?
1
4
3
3 75.2 )0, 8-(132 zz W
DW ?? ? 12221 67.1,4 ])8.0([4 DDDDD ??? 时当 ??
11
2
1
2
1 2,2
4 Daa
D ?? ?? 时当
1
3
1
2
4 67.1 6
4
6 zz W
abhW ???
mm a x 5.1 ?? ?
z D
0.8
D
a1
2a
1 z
59.4)8.01(64 14
4
3 zz I
DI ??? ?
2, 0 912812 z1
4
1
3
4 I
abh I
z ???
55.9 15 zz II ?
)(= 3.2 mm a x
fA
Q?? ?
工字形截面与框形截面类似。
15 57.4 zz WW ?
12
2
2
2
2
2
1 05.1,6.18.02
4 Daaa
D ???? 时当 ?
0.8a2
a2
1.6
a 22a 2 z
2、根据材料特性选择截面形状
?
G
z
如铸铁类材料，常用 T字形类的截面，如下图：
二、采用变截面梁
最好是等强度梁，即
][)( )()(m a x ?? ?? xW xMx
若为等强度矩形截面，则高为
][
)(6)(
?b
xMxh ?
同时 ][
)(5.1m a x ?? ?? xbh
Q
][5.1)( ?b
Qxh ??
P
x
EI
PLy 3
m a x 021.0?
EI
PLy 3
m a x 014.0?
EI
PLy 3
m a x 0 0 7 3.0?
三、合理布置外力（包括支座），使 M max 尽可能小。
P
L/2 L/2 M
x
+
PL/4
P
L/4 3L/4 M
x
3PL/16
P=qL
L/5 4L/5
对称
M
x
qL2/10
EI
qLy 4
m a x 013.0?
EI
qLy 43
m a x 107 8 7 5.0
???
EI
qLy 43
m a x 10326.0
???
M
x
8
2qL
q
L
L/5
q
L/5 40
2qL
502qL?
M
x
q
L/2 L/2
322qL?
M
x
512/9 2qL
Z
Y
cr I
I
L
GEb ?? ?
四、梁的侧向屈曲
1.矩形纯弯梁的临界载荷
M
M
x
y
z
2.工字钢形截面纯弯梁的临界载荷
M
M
x
y
z
h
???
?
???
? ??
?
?
??
?
??
Z
Y
Z
Y
Z
Y
cr I
I
I
IEG
I
I
L
E
L 2
2
2
2
)(
2
h ???
由上可见,I y过小时，虽然强度和刚度较高，但侧向失稳
的可能性却增大了，这点应引起注意。
五、选用高强度材料，提高许用应力值
同类 材料,, E”值相差不多,, ?jx”相差较大, 故换
用同类材料只能提高强度，不能提高刚度和稳定性 。
不同类材料,E和 G都相差很多（钢 E=200GPa,铜
E=100GPa），故可选用不同的材料以达到提高刚度和稳
定性的目的。但是，改换材料，其 原料费用 也会随之发生
很大的改变！