浙江大学本科生课程化工原理 第一章 流体力学基础 1/37
幻灯片 2目录
1.3 流体流动的基本方程
1.3.1 基本概念
1.3.2 质量衡算方程
1.3.3 运动方程一、作用在流体上的力二、运动方程三,N-S方程四、欧拉方程五、不可压缩流体稳定层流时的 N-S
方程若干解浙江大学本科生课程化工原理 第一章 流体力学基础 2/37
能量守恒动量守恒质量守恒三大守恒定律
1.3.1 基本概念
1.3 流体流动的基本方程一．稳定流动与不稳定流动流动参数都不随时间而变化,就称这种流动为稳定流动 。 否则就称为不稳定流动 。
浙江大学本科生课程化工原理 第一章 流体力学基础 3/37
smV
skgm
3表示，体积流量，用表示，质量流量，用流量
Vm
A
mG? 又称质量通量，单位为 k g / m 2? s
uG
uAGAm
点速度 v，单位 m/s?
体积流速质量流速流速
1.3.1 基本概念二,流速和流量
A
v dA
A
Vu A平均流速,单位 m/s-----
浙江大学本科生课程化工原理 第一章 流体力学基础 4/37
流体 内部存在内摩擦力或粘滞力
dy
dv x
- - - - - - - - - - - - - - - - 牛顿粘性定律单位面积上的内摩擦 力,2mN
速度梯度动力粘度简称 粘度
1.3.1 基本概念三,粘性 —— 牛顿粘性定律
v
内摩擦力产生的原因还可以从动量传递角度加以理解,
浙江大学本科生课程化工原理 第一章 流体力学基础 5/37
塑性流体牛顿流体涨塑性流体假塑性流体
dv / dy
1.3.1 基本概念非牛顿型流体浙江大学本科生课程化工原理 第一章 流体力学基础 6/37
dy
dv x
sPa
m
sN
m
sm
mN
dydv
2
2?
cPP 1001?
cPPsPa 1 0 0 0101
主要有体系、温度、浓度
GLT,,
1.3.1 基本概念物理意义,衡量流体粘性大小的一个物理量单位：
获取方法,属物性之一,
由实验测定,查有关手册或资料,用经验公式计算 。
影响因素：
粘度?：
浙江大学本科生课程化工原理 第一章 流体力学基础 7/37
du?Re
000
2
3
Re skgm
msN
m
kg
s
m
mdu
无因次
du
u
2?
粘性力惯性力?
1.3.1 基本概念四,流动类型和雷诺数雷诺数雷诺实验层流或滞流 laminar flow
湍流或紊流 turbulent flow
两种流动型态浙江大学本科生课程化工原理 第一章 流体力学基础 8/37
1.3.1 基本概念直管内流动时,Re?2000 层流
Re=2000?4000 过渡区
Re>4000 湍流浙江大学本科生课程化工原理 第一章 流体力学基础 9/37
u
1,偏导数 t
2,全导数 dtd
3,随体导数 DtD
dt
dz
zdt
dy
ydt
dx
xtdt
d
若 d x / d t = v x,d y / d t = v y,d z / d t =v z
zvyvxvtDt
D
zyx?
u?
1.3.1 基本概念五、几种时间导数对流导数项浙江大学本科生课程化工原理 第一章 流体力学基础 10/37
能量守恒动量守恒质量守恒三大守恒定律
2A
vdA
1A
vdA? 0?
V
dV
t
1.3.2 质量衡算方程一,管内流动的连续性方程质量衡算方程：
0
随时间的变化率控制体内的质量的质量流量输入控制体的质量流量输出控制体控制体浙江大学本科生课程化工原理 第一章 流体力学基础 11/37
1 控制体
2
1
2
1 =? 2 = 常数
2211 AuAu?
对圆管 222211 dudu?
21 mm?
222111 AuAu
输入流量输出流量?
2A
vdA
1A
vdA?
----------管内流动的连续性方程
1.3.2 质量衡算方程对于管道内稳定流动,?/?t=0,上式变为：
浙江大学本科生课程化工原理 第一章 流体力学基础 12/37
m
1
m
m
2
21 mmm
2211 AuAuuA
1.3.2 质量衡算方程思考：
如果管道有分支,则稳定流动时的连续性方程又如何？
浙江大学本科生课程化工原理 第一章 流体力学基础 13/37
z
( x,y,z )
d y
x y
dz
dx
0
随时间的变化率控制体内的质量的质量流量净输出控制体
dy dzvdy dzdx
x
vv
x
x
x?
d x d yd z
x
v x
dx dy dz
y
v y
d x d yd z
z
v z
1.3.2 质量衡算方程二,连续性方程的微分式：
x方向上净输出的质量流量为：
同理得：
y方向上净输出的质量流量为：
z方向上净输出的质量流量为：
浙江大学本科生课程化工原理 第一章 流体力学基础 14/37
d x d y d z
z
v
y
v
x
v zyx
0?
t
d x d y d z?
0?
z
v
y
v
x
v
t
zyx
0
z
v
y
v
x
v
Dt
D zyx
0
zvy
v
x
v
zvyvxvt
zyx
zyx?
-------连续性方程微分式
0 zvyvxv zyx
若流体不可压缩,则 D?/Dt=0
浙江大学本科生课程化工原理 第一章 流体力学基础 15/37
0
11
0
11
z
vv
rr
rv
rDt
D
z
vv
rr
vr
rt
zr
zr
或
0
s i n
1s i n
s i n
11
0
s i n
1s i n
s i n
11
2
2
2
2
v
r
v
rr
vr
rDt
D
v
r
v
rr
vr
rt
r
r
或柱坐标系：
球坐标系：
浙江大学本科生课程化工原理 第一章 流体力学基础 16/37
能量守恒动量守恒质量守恒三大守恒定律
F
Dt
mD v?
0
z
( x,y,z )
dz dx
dy
y
x
Dt
mD
Dt
Dm vvF
Dt
Dd x d y d z
Dt
Dm vvF
1.3.3 运动方程动量定理：物体的动量随时间的变化率等于作用在该物体上所有外力之和 。 F=ma=mdu/dt
dm
系统对任一 微元系统,动量定理为：微元系统内流体的动量随时间的变化率等于作用在该微元系统上所有外力之和。即浙江大学本科生课程化工原理 第一章 流体力学基础 17/37
z
v
y
v
x
v
t
dx dy dz
z
v
y
v
x
v
t
dx dy dz
z
v
y
v
x
v
t
dx dy dz
zyx
zyx
zyx
zzzz
z
yyyy
y
xxxx
x
vvvv
F
vvvv
F
vvvv
F
-----------(A)
1.3.3 运动方程直角坐标系下,
浙江大学本科生课程化工原理 第一章 流体力学基础 18/37
SB FFF
矢量式：
d x d y d z BMB FF?质量力
SzBzz
SyByy
SxBxx
FFF
FFF
FFF
标量式：
d x d y d zg
d x d y d zg
d x d y d zg
z
y
x
Bz
By
Bx
F
F
F标量式：
质量力 表面力
-----------(B)
一、作用在流体上的力
1.3.3 运动方程其中：
-----------(C)
浙江大学本科生课程化工原理 第一章 流体力学基础 19/37
关于表面力：
z
y
x
zz
zx
zy?
kjiτ z zzzyzx某面上的表面力为：
z?
表示应力作用面的法线方向表示应力的方向
1.3.3 运动方程记为?ij
浙江大学本科生课程化工原理 第一章 流体力学基础 20/37
某点所受的力为：
z
M
y
x
yy?
yx?
yz?
zz?
zy?
zx?
xx?
xz?
xy?
kjiτ y yzyyyx
kjiτ x xzxyxx
kjiτ z zzzyzx
zzzyzx
yzyyyx
xzxyxx
应力张量
9 个应力分量
个切向力个法向力
6
3
xzzxzyyzyxxy,，
1.3.3 运动方程
z
M
y
x
yy?
yx?
yz?
zz?
zy?
zx?
xx?
xz?
xy?
z
o y
x
微元系统
dxxxyxy
x 方向上所有表面力之和为：
dx
x
dx
x
dz
z
xx
xx
xz
xz
zx
zx
dy
y
dy
y
dy
y
dz
z
yx
yx
yy
yy
yz
yz
zy
zy
dzzzzzz
dxdydz
z
dxdzdy
y
dy dzdx
x
F
zx
zx
zx
yx
yx
yxxx
xx
xxSx
d x d y d z
zyx
zxyxxx
浙江大学本科生课程化工原理 第一章 流体力学基础 22/37
SxF? d x d y d z
zyx
zxyxxx
d x d y d z
zyx
F zyyyxySy
d x d y d z
zyx
F zzyzxzSz
1.3.3 运动方程
d x d y d z
zyx
F zyyyxySy
d x d y d z
zyx
F zzyzxzSz
类似地：
于是：
--------(D)
浙江大学本科生课程化工原理 第一章 流体力学基础 23/37
SzBzz
SyByy
SxBxx
FFF
FFF
FFF
dxd y dz
zyx
g
dxd y dz
zyx
g
dxd y dz
zyx
g
zzyzxz
z
zyyyxy
y
zxyxxx
x
将式 (C),(D)代入式 (B)得：
-----------(E)
1.3.3 运动方程将式 (E) 代入式 (A)得：
浙江大学本科生课程化工原理 第一章 流体力学基础 24/37
zyx
g
z
u
y
u
x
u
t
zyx
g
z
u
y
u
x
u
t
zyx
g
z
u
y
u
x
u
t
zzyzxz
zzyx
zyyyxy
yzyx
zxyxxx
xzyx
zzzz
yyyy
xxxx
uuuu
uuuu
uuuu
10 个未知量尚需 7 个方程
---------------运动方程
1.3.3 运动方程浙江大学本科生课程化工原理 第一章 流体力学基础 25/37
剪切形变速率
dy
dv x
yx
y u
x u =0
1.3.3 运动方程应力与形变速率之间的关系本构方程回忆：一维层流时
z
v
y
v
x
v
z
v
p
z
v
y
v
x
v
y
v
p
z
v
y
v
x
v
x
v
p
zyxz
zz
zyxy
yy
zyxx
xx
3
2
2
3
2
2
3
2
2
法向应力将本构方程代入运动方程得：
x
v
z
v
y
v
z
v
x
v
y
v
zx
xzzx
zy
zyyz
yx
yxxy
切向应力三维层流时：
本构方程
z
v
y
v
x
v
z
z
v
y
v
x
v
z
p
g
z
u
y
u
x
u
t
z
v
y
v
x
v
y
z
v
y
v
x
v
y
p
g
z
u
y
u
x
u
t
z
v
y
v
x
v
x
z
v
y
v
x
v
x
p
g
z
u
y
u
x
u
t
zyx
zzz
zzyx
zyx
yyy
yzyx
zyx
xxx
xzyx
3
1
3
1
3
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
zzzz
yyyy
xxxx
vvvv
vvvv
vvvv
-------------N-S方程根据连续性方程，对不可压缩流体，有：
0 zvyvxv zyx
三,奈维 -斯托克斯方程 （ N-S方程 ）
浙江大学本科生课程化工原理 第一章 流体力学基础 28/37
v2 pDtD BMFv写成矢量式为：
惯性力项 粘性力项将连续性方程代入 N-S方程中得：
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
z
v
y
v
x
v
z
p
g
z
v
y
v
x
v
t
z
v
y
v
x
v
y
p
g
z
v
y
v
x
v
t
z
v
y
v
x
v
x
p
g
z
v
y
v
x
v
t
zzz
zzyx
yyy
yzyx
xxx
xzyx
zzzz
yyyy
xxxx
vvvv
vvvv
vvvv
4 个未知量尚需 1 个方程 ----- 连续性方程 0
z
v
y
v
x
v zyx
------不可压缩流体的
N-S方程浙江大学本科生课程化工原理 第一章 流体力学基础 29/37
pDtD M Fv
四,欧拉方程 -------理想流体的 N-S方程
--------欧拉 （ Euler） 方程五,不可压缩 流体 稳定层流 流动时的 N-S方 程若干解粘度为零的流体
y
r x
o z
流向
011?
z
vv
rr
rv
r
zr
连：
z
vvv
r
v
r
vv
t
vz z
z
zz
r
z
分量：
2
2
2
2
2
11
z
vv
rr
vr
rrz
zzz
z
vv
r
vv
r
v
r
vv
t
vr r
z
rr
r
r
2
分量：
2
2
22
2
2
211
z
vv
r
v
rrvrrrr
rr
r
z
vv
r
vvv
r
v
r
vv
t
v
z
r
r
分量：
2
2
22
2
2
2111
z
vv
r
v
r
rvrrrr r
化简条件：
流动稳定? /? t = 0,
一维流动 v r =v? =0,
轴向对称,? / =0
0zv
1,圆管内的稳定层流浙江大学本科生课程化工原理 第一章 流体力学基础 31/37
r
vr
rrz
z10?
0r
0
0 zv z
0zv
表明 vz只是 r的函数；
只是 z的函数
1,圆管内的稳定层流浙江大学本科生课程化工原理 第一章 流体力学基础 32/37
dr
dvr
dr
d
rdz
d 1?
是 z 的函数是 r 的函数常数? L
rd rLdrdvrd
1
2
2
cr
Ldr
dvr
21
2 ln
4
crcr
L
v
y
r x
o z
流向
R
01?c
2
2 4 RLc?
r = 0 时,0?drdv
边界条件：
r = R 时,v=0边界条件：
1,圆管内的稳定层流浙江大学本科生课程化工原理 第一章 流体力学基础 33/37
y
r x
o z
流向
R?
2
2 1
4 R
r
R
L
v
当 r＝ 0时，有最大值，即
2
m a x 4 RLv?
2
m a x
1?
R
r
v
v
maxv
1,圆管内的稳定层流浙江大学本科生课程化工原理 第一章 流体力学基础 34/37
R
R
r d r
R
r
v
R
r d rv
RA
v d A
u
0
2
m a x2
02
12
1
2
1
maxv
2
m a xvu
1,圆管内的稳定层流浙江大学本科生课程化工原理 第一章 流体力学基础 35/37
2
2u
f w
而由牛顿粘性定律可知，圆管内层流时：
Rrw
dr
dv
u
RvR
42
ma x
Re
16168
uduRf?
Re
644 f?
2
m a x
1?
R
r
v
v
引入：阻力系数 （ 又称范宁因子 ）
引入：摩擦因数?
1,圆管内的稳定层流
z
y 1
x 2 流向
0 zuyuxu zyx
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
z
u
y
u
x
u
z
p
g
z
u
y
u
x
u
t
z
u
y
u
x
u
y
p
g
z
u
y
u
x
u
t
z
u
y
u
x
u
x
p
g
z
u
y
u
x
u
t
zzz
zzyx
yyy
yzyx
xxx
xzyx
zzzz
yyyy
xxxx
uuuu
uuuu
uuuu
化简条件,0,0
zy uut,
gggg zyx,0
2,试证明不可压缩流体管内稳定流动时,管截面上的流体满足静力学方程 。 即证明,不可压缩流体有
2112 zzgpp
z
y 1
x 2 流向
z
p
g
y
p
z
u
y
u
x
p
xx
0
0
0
2
2
2
2
dzzpdxxpdp故 g d zdx
z
u
y
u xx
2
2
2
2
212
2
2
2
12
2
1
zzgdx
z
u
y
upp x
x
xx
在同一流通截面上有 21 xx?,故2112 zzgpp
压力 p是 x,z的函数,而与 y无关 。 因此,等高面即为等压面 。
在点 1,2间积分得：
幻灯片 2目录
1.3 流体流动的基本方程
1.3.1 基本概念
1.3.2 质量衡算方程
1.3.3 运动方程一、作用在流体上的力二、运动方程三,N-S方程四、欧拉方程五、不可压缩流体稳定层流时的 N-S
方程若干解浙江大学本科生课程化工原理 第一章 流体力学基础 2/37
能量守恒动量守恒质量守恒三大守恒定律
1.3.1 基本概念
1.3 流体流动的基本方程一．稳定流动与不稳定流动流动参数都不随时间而变化,就称这种流动为稳定流动 。 否则就称为不稳定流动 。
浙江大学本科生课程化工原理 第一章 流体力学基础 3/37
smV
skgm
3表示，体积流量，用表示，质量流量，用流量
Vm
A
mG? 又称质量通量，单位为 k g / m 2? s
uG
uAGAm
点速度 v，单位 m/s?
体积流速质量流速流速
1.3.1 基本概念二,流速和流量
A
v dA
A
Vu A平均流速,单位 m/s-----
浙江大学本科生课程化工原理 第一章 流体力学基础 4/37
流体 内部存在内摩擦力或粘滞力
dy
dv x
- - - - - - - - - - - - - - - - 牛顿粘性定律单位面积上的内摩擦 力,2mN
速度梯度动力粘度简称 粘度
1.3.1 基本概念三,粘性 —— 牛顿粘性定律
v
内摩擦力产生的原因还可以从动量传递角度加以理解,
浙江大学本科生课程化工原理 第一章 流体力学基础 5/37
塑性流体牛顿流体涨塑性流体假塑性流体
dv / dy
1.3.1 基本概念非牛顿型流体浙江大学本科生课程化工原理 第一章 流体力学基础 6/37
dy
dv x
sPa
m
sN
m
sm
mN
dydv
2
2?
cPP 1001?
cPPsPa 1 0 0 0101
主要有体系、温度、浓度
GLT,,
1.3.1 基本概念物理意义,衡量流体粘性大小的一个物理量单位：
获取方法,属物性之一,
由实验测定,查有关手册或资料,用经验公式计算 。
影响因素：
粘度?：
浙江大学本科生课程化工原理 第一章 流体力学基础 7/37
du?Re
000
2
3
Re skgm
msN
m
kg
s
m
mdu
无因次
du
u
2?
粘性力惯性力?
1.3.1 基本概念四,流动类型和雷诺数雷诺数雷诺实验层流或滞流 laminar flow
湍流或紊流 turbulent flow
两种流动型态浙江大学本科生课程化工原理 第一章 流体力学基础 8/37
1.3.1 基本概念直管内流动时,Re?2000 层流
Re=2000?4000 过渡区
Re>4000 湍流浙江大学本科生课程化工原理 第一章 流体力学基础 9/37
u
1,偏导数 t
2,全导数 dtd
3,随体导数 DtD
dt
dz
zdt
dy
ydt
dx
xtdt
d
若 d x / d t = v x,d y / d t = v y,d z / d t =v z
zvyvxvtDt
D
zyx?
u?
1.3.1 基本概念五、几种时间导数对流导数项浙江大学本科生课程化工原理 第一章 流体力学基础 10/37
能量守恒动量守恒质量守恒三大守恒定律
2A
vdA
1A
vdA? 0?
V
dV
t
1.3.2 质量衡算方程一,管内流动的连续性方程质量衡算方程：
0
随时间的变化率控制体内的质量的质量流量输入控制体的质量流量输出控制体控制体浙江大学本科生课程化工原理 第一章 流体力学基础 11/37
1 控制体
2
1
2
1 =? 2 = 常数
2211 AuAu?
对圆管 222211 dudu?
21 mm?
222111 AuAu
输入流量输出流量?
2A
vdA
1A
vdA?
----------管内流动的连续性方程
1.3.2 质量衡算方程对于管道内稳定流动,?/?t=0,上式变为：
浙江大学本科生课程化工原理 第一章 流体力学基础 12/37
m
1
m
m
2
21 mmm
2211 AuAuuA
1.3.2 质量衡算方程思考：
如果管道有分支,则稳定流动时的连续性方程又如何？
浙江大学本科生课程化工原理 第一章 流体力学基础 13/37
z
( x,y,z )
d y
x y
dz
dx
0
随时间的变化率控制体内的质量的质量流量净输出控制体
dy dzvdy dzdx
x
vv
x
x
x?
d x d yd z
x
v x
dx dy dz
y
v y
d x d yd z
z
v z
1.3.2 质量衡算方程二,连续性方程的微分式：
x方向上净输出的质量流量为：
同理得：
y方向上净输出的质量流量为：
z方向上净输出的质量流量为：
浙江大学本科生课程化工原理 第一章 流体力学基础 14/37
d x d y d z
z
v
y
v
x
v zyx
0?
t
d x d y d z?
0?
z
v
y
v
x
v
t
zyx
0
z
v
y
v
x
v
Dt
D zyx
0
zvy
v
x
v
zvyvxvt
zyx
zyx?
-------连续性方程微分式
0 zvyvxv zyx
若流体不可压缩,则 D?/Dt=0
浙江大学本科生课程化工原理 第一章 流体力学基础 15/37
0
11
0
11
z
vv
rr
rv
rDt
D
z
vv
rr
vr
rt
zr
zr
或
0
s i n
1s i n
s i n
11
0
s i n
1s i n
s i n
11
2
2
2
2
v
r
v
rr
vr
rDt
D
v
r
v
rr
vr
rt
r
r
或柱坐标系：
球坐标系：
浙江大学本科生课程化工原理 第一章 流体力学基础 16/37
能量守恒动量守恒质量守恒三大守恒定律
F
Dt
mD v?
0
z
( x,y,z )
dz dx
dy
y
x
Dt
mD
Dt
Dm vvF
Dt
Dd x d y d z
Dt
Dm vvF
1.3.3 运动方程动量定理：物体的动量随时间的变化率等于作用在该物体上所有外力之和 。 F=ma=mdu/dt
dm
系统对任一 微元系统,动量定理为：微元系统内流体的动量随时间的变化率等于作用在该微元系统上所有外力之和。即浙江大学本科生课程化工原理 第一章 流体力学基础 17/37
z
v
y
v
x
v
t
dx dy dz
z
v
y
v
x
v
t
dx dy dz
z
v
y
v
x
v
t
dx dy dz
zyx
zyx
zyx
zzzz
z
yyyy
y
xxxx
x
vvvv
F
vvvv
F
vvvv
F
-----------(A)
1.3.3 运动方程直角坐标系下,
浙江大学本科生课程化工原理 第一章 流体力学基础 18/37
SB FFF
矢量式：
d x d y d z BMB FF?质量力
SzBzz
SyByy
SxBxx
FFF
FFF
FFF
标量式：
d x d y d zg
d x d y d zg
d x d y d zg
z
y
x
Bz
By
Bx
F
F
F标量式：
质量力 表面力
-----------(B)
一、作用在流体上的力
1.3.3 运动方程其中：
-----------(C)
浙江大学本科生课程化工原理 第一章 流体力学基础 19/37
关于表面力：
z
y
x
zz
zx
zy?
kjiτ z zzzyzx某面上的表面力为：
z?
表示应力作用面的法线方向表示应力的方向
1.3.3 运动方程记为?ij
浙江大学本科生课程化工原理 第一章 流体力学基础 20/37
某点所受的力为：
z
M
y
x
yy?
yx?
yz?
zz?
zy?
zx?
xx?
xz?
xy?
kjiτ y yzyyyx
kjiτ x xzxyxx
kjiτ z zzzyzx
zzzyzx
yzyyyx
xzxyxx
应力张量
9 个应力分量
个切向力个法向力
6
3
xzzxzyyzyxxy,，
1.3.3 运动方程
z
M
y
x
yy?
yx?
yz?
zz?
zy?
zx?
xx?
xz?
xy?
z
o y
x
微元系统
dxxxyxy
x 方向上所有表面力之和为：
dx
x
dx
x
dz
z
xx
xx
xz
xz
zx
zx
dy
y
dy
y
dy
y
dz
z
yx
yx
yy
yy
yz
yz
zy
zy
dzzzzzz
dxdydz
z
dxdzdy
y
dy dzdx
x
F
zx
zx
zx
yx
yx
yxxx
xx
xxSx
d x d y d z
zyx
zxyxxx
浙江大学本科生课程化工原理 第一章 流体力学基础 22/37
SxF? d x d y d z
zyx
zxyxxx
d x d y d z
zyx
F zyyyxySy
d x d y d z
zyx
F zzyzxzSz
1.3.3 运动方程
d x d y d z
zyx
F zyyyxySy
d x d y d z
zyx
F zzyzxzSz
类似地：
于是：
--------(D)
浙江大学本科生课程化工原理 第一章 流体力学基础 23/37
SzBzz
SyByy
SxBxx
FFF
FFF
FFF
dxd y dz
zyx
g
dxd y dz
zyx
g
dxd y dz
zyx
g
zzyzxz
z
zyyyxy
y
zxyxxx
x
将式 (C),(D)代入式 (B)得：
-----------(E)
1.3.3 运动方程将式 (E) 代入式 (A)得：
浙江大学本科生课程化工原理 第一章 流体力学基础 24/37
zyx
g
z
u
y
u
x
u
t
zyx
g
z
u
y
u
x
u
t
zyx
g
z
u
y
u
x
u
t
zzyzxz
zzyx
zyyyxy
yzyx
zxyxxx
xzyx
zzzz
yyyy
xxxx
uuuu
uuuu
uuuu
10 个未知量尚需 7 个方程
---------------运动方程
1.3.3 运动方程浙江大学本科生课程化工原理 第一章 流体力学基础 25/37
剪切形变速率
dy
dv x
yx
y u
x u =0
1.3.3 运动方程应力与形变速率之间的关系本构方程回忆：一维层流时
z
v
y
v
x
v
z
v
p
z
v
y
v
x
v
y
v
p
z
v
y
v
x
v
x
v
p
zyxz
zz
zyxy
yy
zyxx
xx
3
2
2
3
2
2
3
2
2
法向应力将本构方程代入运动方程得：
x
v
z
v
y
v
z
v
x
v
y
v
zx
xzzx
zy
zyyz
yx
yxxy
切向应力三维层流时：
本构方程
z
v
y
v
x
v
z
z
v
y
v
x
v
z
p
g
z
u
y
u
x
u
t
z
v
y
v
x
v
y
z
v
y
v
x
v
y
p
g
z
u
y
u
x
u
t
z
v
y
v
x
v
x
z
v
y
v
x
v
x
p
g
z
u
y
u
x
u
t
zyx
zzz
zzyx
zyx
yyy
yzyx
zyx
xxx
xzyx
3
1
3
1
3
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
zzzz
yyyy
xxxx
vvvv
vvvv
vvvv
-------------N-S方程根据连续性方程，对不可压缩流体，有：
0 zvyvxv zyx
三,奈维 -斯托克斯方程 （ N-S方程 ）
浙江大学本科生课程化工原理 第一章 流体力学基础 28/37
v2 pDtD BMFv写成矢量式为：
惯性力项 粘性力项将连续性方程代入 N-S方程中得：
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
z
v
y
v
x
v
z
p
g
z
v
y
v
x
v
t
z
v
y
v
x
v
y
p
g
z
v
y
v
x
v
t
z
v
y
v
x
v
x
p
g
z
v
y
v
x
v
t
zzz
zzyx
yyy
yzyx
xxx
xzyx
zzzz
yyyy
xxxx
vvvv
vvvv
vvvv
4 个未知量尚需 1 个方程 ----- 连续性方程 0
z
v
y
v
x
v zyx
------不可压缩流体的
N-S方程浙江大学本科生课程化工原理 第一章 流体力学基础 29/37
pDtD M Fv
四,欧拉方程 -------理想流体的 N-S方程
--------欧拉 （ Euler） 方程五,不可压缩 流体 稳定层流 流动时的 N-S方 程若干解粘度为零的流体
y
r x
o z
流向
011?
z
vv
rr
rv
r
zr
连：
z
vvv
r
v
r
vv
t
vz z
z
zz
r
z
分量：
2
2
2
2
2
11
z
vv
rr
vr
rrz
zzz
z
vv
r
vv
r
v
r
vv
t
vr r
z
rr
r
r
2
分量：
2
2
22
2
2
211
z
vv
r
v
rrvrrrr
rr
r
z
vv
r
vvv
r
v
r
vv
t
v
z
r
r
分量：
2
2
22
2
2
2111
z
vv
r
v
r
rvrrrr r
化简条件：
流动稳定? /? t = 0,
一维流动 v r =v? =0,
轴向对称,? / =0
0zv
1,圆管内的稳定层流浙江大学本科生课程化工原理 第一章 流体力学基础 31/37
r
vr
rrz
z10?
0r
0
0 zv z
0zv
表明 vz只是 r的函数；
只是 z的函数
1,圆管内的稳定层流浙江大学本科生课程化工原理 第一章 流体力学基础 32/37
dr
dvr
dr
d
rdz
d 1?
是 z 的函数是 r 的函数常数? L
rd rLdrdvrd
1
2
2
cr
Ldr
dvr
21
2 ln
4
crcr
L
v
y
r x
o z
流向
R
01?c
2
2 4 RLc?
r = 0 时,0?drdv
边界条件：
r = R 时,v=0边界条件：
1,圆管内的稳定层流浙江大学本科生课程化工原理 第一章 流体力学基础 33/37
y
r x
o z
流向
R?
2
2 1
4 R
r
R
L
v
当 r＝ 0时，有最大值，即
2
m a x 4 RLv?
2
m a x
1?
R
r
v
v
maxv
1,圆管内的稳定层流浙江大学本科生课程化工原理 第一章 流体力学基础 34/37
R
R
r d r
R
r
v
R
r d rv
RA
v d A
u
0
2
m a x2
02
12
1
2
1
maxv
2
m a xvu
1,圆管内的稳定层流浙江大学本科生课程化工原理 第一章 流体力学基础 35/37
2
2u
f w
而由牛顿粘性定律可知，圆管内层流时：
Rrw
dr
dv
u
RvR
42
ma x
Re
16168
uduRf?
Re
644 f?
2
m a x
1?
R
r
v
v
引入：阻力系数 （ 又称范宁因子 ）
引入：摩擦因数?
1,圆管内的稳定层流
z
y 1
x 2 流向
0 zuyuxu zyx
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
z
u
y
u
x
u
z
p
g
z
u
y
u
x
u
t
z
u
y
u
x
u
y
p
g
z
u
y
u
x
u
t
z
u
y
u
x
u
x
p
g
z
u
y
u
x
u
t
zzz
zzyx
yyy
yzyx
xxx
xzyx
zzzz
yyyy
xxxx
uuuu
uuuu
uuuu
化简条件,0,0
zy uut,
gggg zyx,0
2,试证明不可压缩流体管内稳定流动时,管截面上的流体满足静力学方程 。 即证明,不可压缩流体有
2112 zzgpp
z
y 1
x 2 流向
z
p
g
y
p
z
u
y
u
x
p
xx
0
0
0
2
2
2
2
dzzpdxxpdp故 g d zdx
z
u
y
u xx
2
2
2
2
212
2
2
2
12
2
1
zzgdx
z
u
y
upp x
x
xx
在同一流通截面上有 21 xx?,故2112 zzgpp
压力 p是 x,z的函数,而与 y无关 。 因此,等高面即为等压面 。
在点 1,2间积分得：
