浙江大学本科生课程化工原理 第一章 流体力学基础 1/19
1.3.4 总能量衡算和机械能衡算方程一、机械能衡算方程习题课幻灯片 3目录浙江大学本科生课程化工原理 第一章 流体力学基础 2/19
能量守恒动量守恒质量守恒三大守恒定律
随时间的变化率控制体内总能量的能量速率输出控制体的能量速率输入控制体对于控制体，能量衡算方程为：
一、机械能衡算方程
1.3.4 总能量衡算和机械能衡算方程
V
U d V
Dt
DWQ?
对于系统，能量守恒定律为：
Q 2 流体出换热器
2
z 2
流体入 1 泵
z 1 1 W s
热量速率
Q,W
吸热时为正，放热时为负。
2
2v
gzUE
表面力所作功率有效轴功率
Ws
A
d Av
能量,运动着的流体涉及的能量形式有内能,动能,位能 热 功总能量,
取决于温度，
U,J/kg
v2/2
J/kg
gz
J/kg
外界对流体作功时为正,流体对外界作功时为负。
功率
W
J/kg
浙江大学本科生课程化工原理 第一章 流体力学基础 4/19
AA
s dv d AEWQ A
v
1
的能量速率输入控制体
2A
v d AE?
的能量速率输出控制体
Q 2
换热器
2
z
2
1 泵
z
1
1 W
s
随时间的变化率控制体内总能量
V
dVEt?
VAAA
s dVEtv d AEv d AEdWQ
21
A
v
于是
1-1面,2-2面和管壁围成控制体浙江大学本科生课程化工原理 第一章 流体力学基础 5/19
z
v
y
v
x
v
z
v
p
z
v
y
v
x
v
y
v
p
z
v
y
v
x
v
x
v
p
zyxz
zz
zyxy
yy
zyxx
xx
3
2
2
3
2
2
3
2
2
法向应力
x
v
z
v
y
v
z
v
x
v
y
v
zx
xzzx
zy
zyyz
yx
yxxy
切向应力三维层流时：
本构方程回忆：
浙江大学本科生课程化工原理 第一章 流体力学基础 6/19
Q 2
换热器
2
z
2
1 泵
z
1
1 W
s
21
21 c o sc o s
AAA
dApvdApvdpAv
21 AA
p v d Ap v d A
对理想流体：黏度为 0
A
d Av
于是
VAAAA
s dVEtv d AEv d AEp v d Ap v d AWQ
2121
2
2vgzUE
浙江大学本科生课程化工原理 第一章 流体力学基础 7/19
V
A
A
s
dV
v
gzU
t
v dA
pv
gzU
v dA
pv
gzUWQ
2
2
2
2
2
2
2
1
或对不可压缩流体等温流动,
VAA
dVUtv dAUv dAUQ 0,0,0
21
机械能 - - - - - 可直接用于输送流体可以相互转变亦可以转变为热或流体的内能对理想流体：黏度为 0
浙江大学本科生课程化工原理 第一章 流体力学基础 8/19
V
AA
s
dV
v
gz
t
v dA
pv
gzv dA
pv
gzW
2
22
2
22
21
故对管道内稳定流动：
0t
m
v d A
v
v d A
v d A
v
v A
A
A
av
22
2
22
2
令对理想流体：黏度为 0
浙江大学本科生课程化工原理 第一章 流体力学基础 9/19
Q 2
换热器
2
z
2
1 泵
z
1
1 W
s
21 21 AA
v d Apgzv d Apgz?
sW
0
22
2
2
1
2
avav
v
m
v
m
则
0
22
21
2
2
1
2
21?
ppvvgzgzmW
avav
s即两边同除以 m，并令 Ws/m＝ ws得：
对理想流体：黏度为 0
12
1
2
2
2
12 22
ppvv
zzgw
avav
s
每一项单位均为 J/ kg
对理想流体：黏度为 0
对管内层流,速度分布方程为 ]1[ 2m a x Rrvv,且 m a x
2
1 vu?,于是：
r d rv
r d rv
v
v d A
v d A
v
v
A
A
av
2
2
22
2
2
2
2
2u?
对管内湍流,假设速度分布方程为 711m a x Rrvv,且 m a x8 1 7.0 vu?,于是：
2
5 2 9.0
2
2
2
2 u
uv
av
maxv
相同流量下层流与湍流的比较浙江大学本科生课程化工原理 第一章 流体力学基础 11/19
2
2
2
2
1
2
1
1 22
pugzwpugz
s
统一写成：
22
22 uv
av
层流时,?=0.5；湍流时,?=1
工程上以湍流多见，且动能 u2/2项与其他机械能项相比数值较小，故可近似取?＝ 1，于是
Q 2
换热器
2
z
2
1 泵
z
1
1 W
s
对理想流体：黏度为 0
浙江大学本科生课程化工原理 第一章 流体力学基础 12/19
对实际流体：黏度不为 0，上式修正为：
fs w
pu
gzw
pu
gz
2
2
2
2
1
2
1
1 22
W f 称为摩擦损失，永远为正，单位 J /k g
总机械能 Et 机械能衡算方程（柏努利方程）
每一项单位均为 J/ kg
外加压头静压头动压头位头压头损失
fe hg
p
g
uzh
g
p
g
uz
2
2
2
2
1
2
1
1 22或写成每一项单位均为 m
浙江大学本科生课程化工原理 第一章 流体力学基础 13/19
fs w
pugzwpugz
2
2
2
2
1
2
1
1 22
( 2 ) 对静止流体
(3 ) 若流动系统无外加轴功，即 w s =0,则
fwEtEt 21
由于 w f >0,故 E t 1 > E t 2
这说明流体能自动从高 （机械能）
能位流向低 （机械能）能位机械能衡算方程（柏努利方程）讨论：
（ 1）适用条件：不可压缩、连续、均质流体、等温流动
2
2
1
1
pgzpgz --------静力学方程
Q 2
换热器
2
z
2
1 泵
z
1
1 W
s
浙江大学本科生课程化工原理 第一章 流体力学基础 14/19
Q 2
换热器
2
z
2
1 泵
z
1
1 W
s
习题课使用机械能衡算方程时,应注意以下几点：
控制体的选取：
控制体内的流体必须连续,均质；
有流体进出的那些控制面（流通截面）应与流动方向相垂直，且已知条件最多；
包含待求变量。
基准水平面的选取
压力 用绝压或表压均可,
但两边必须统一 。
fs w
pugzwpugz
2
2
2
2
1
2
1
1 22
2 2 气体洗涤塔
5 m
泵 气体
3 3
1m
1 1m 1 4 4 0,2m
河水 废水池解 在 1 - 1 面和 2 - 2 面间
f
s
w
pu
gz
w
pu
gz
2
2
2
2
1
2
1
1
2
2
22
2
26.8210268.281.97 ppw s
smdVu /68.2422
1 0 6421 1 4d
例 1 轴功的计算管道尺寸为?114?4mm，
流量为 85m3/h，
水在管路中流动时的总摩擦损失为
10J/kg（ 不包括出口阻力损失 ）,
喷头处压力较塔内压力高 20kPa，
水从塔中流入下水道的摩擦损失可忽略不计 。
求泵的有效轴功率 。
浙江大学本科生课程化工原理 第一章 流体力学基础 16/19
kWWVw s 14.22 1 3 73 6 0 049.90851 0 0 0
3
32 1020 pp kgJ /23.8?
3 - 3 面与 4 - 4 面间
4
3
3 gz
pgz
kgJp /77.113
泵的有效轴功率为：
smw
226.82 pw
s
kgJ /49.90?
2 2 气体洗涤塔
5 m
泵 气体
3 3
1m
1 1m 1 4 4 0,2m
河水 废水池
1 1
1 m
2 4
大气
2? 2 2? 4
1m
3 3
喉径
3Et
2tE?
)(
2
2
2
2
1
表pugz
1 - 1 和 4 - 4 间
2
2
4
1
ugz?
smu /43.4181.924
u 2 = （ d 4 / d 2 ） 2 u 4 = （ 1 / 0,8 ） 2? 4,4 3 = 6,9 2 m / s
kgJp /13.14292.6181.9(
2
2 )
表
kgJ /32.4
1 -1 与 2 -2 间流体能自动从高 （机械能）能位流向低 （机械能）能位
)(81.9)(
2
22
2
2
2
表表 ppuzg
0)(2 3
2
3
3
表pugz
解,假设垂直小管中流体静止例 2 流向判断喉径内径与水管内径之比为 0.8。 若忽略水在管中流动时的能量损失,
试判断垂直小管中水的流向 。
浙江大学本科生课程化工原理 第一章 流体力学基础 18/19
1 1
1 m
2 4
大气
2? 2 2? 4
1m
3 3
小管中的水自下而上流动。
mgpz 44.181.9 13.14(22 表）
Et2?<Et3
思考,小管多长时,水静止不动？
浙江大学本科生课程化工原理 第一章 流体力学基础 19/19
)(1 2
2
表pgtE
2
)()( 2222 upp
表表
kgJ /62.1994.2313.1481.9
0)(2 3
2
3
33
表pugzEt
4
2
2
4
1m
3 3
2?
2?
小管中的水自上而下流动
u 2 = （ d 4 / d 2 ） 2 u 4 = （ 1 / 0,8 ） 2? 4,4 3 = 6,9 2 m / s
kgJp /13.14292.6181.9(
2
2 )
表思考,若将垂直小管改为弯头小管,弯头迎着来流方向,如图所示,试判断此时弯头小管中水的流向 。
Et2?>Et3
1.3.4 总能量衡算和机械能衡算方程一、机械能衡算方程习题课幻灯片 3目录浙江大学本科生课程化工原理 第一章 流体力学基础 2/19
能量守恒动量守恒质量守恒三大守恒定律
随时间的变化率控制体内总能量的能量速率输出控制体的能量速率输入控制体对于控制体，能量衡算方程为：
一、机械能衡算方程
1.3.4 总能量衡算和机械能衡算方程
V
U d V
Dt
DWQ?
对于系统，能量守恒定律为：
Q 2 流体出换热器
2
z 2
流体入 1 泵
z 1 1 W s
热量速率
Q,W
吸热时为正，放热时为负。
2
2v
gzUE
表面力所作功率有效轴功率
Ws
A
d Av
能量,运动着的流体涉及的能量形式有内能,动能,位能 热 功总能量,
取决于温度，
U,J/kg
v2/2
J/kg
gz
J/kg
外界对流体作功时为正,流体对外界作功时为负。
功率
W
J/kg
浙江大学本科生课程化工原理 第一章 流体力学基础 4/19
AA
s dv d AEWQ A
v
1
的能量速率输入控制体
2A
v d AE?
的能量速率输出控制体
Q 2
换热器
2
z
2
1 泵
z
1
1 W
s
随时间的变化率控制体内总能量
V
dVEt?
VAAA
s dVEtv d AEv d AEdWQ
21
A
v
于是
1-1面,2-2面和管壁围成控制体浙江大学本科生课程化工原理 第一章 流体力学基础 5/19
z
v
y
v
x
v
z
v
p
z
v
y
v
x
v
y
v
p
z
v
y
v
x
v
x
v
p
zyxz
zz
zyxy
yy
zyxx
xx
3
2
2
3
2
2
3
2
2
法向应力
x
v
z
v
y
v
z
v
x
v
y
v
zx
xzzx
zy
zyyz
yx
yxxy
切向应力三维层流时：
本构方程回忆：
浙江大学本科生课程化工原理 第一章 流体力学基础 6/19
Q 2
换热器
2
z
2
1 泵
z
1
1 W
s
21
21 c o sc o s
AAA
dApvdApvdpAv
21 AA
p v d Ap v d A
对理想流体：黏度为 0
A
d Av
于是
VAAAA
s dVEtv d AEv d AEp v d Ap v d AWQ
2121
2
2vgzUE
浙江大学本科生课程化工原理 第一章 流体力学基础 7/19
V
A
A
s
dV
v
gzU
t
v dA
pv
gzU
v dA
pv
gzUWQ
2
2
2
2
2
2
2
1
或对不可压缩流体等温流动,
VAA
dVUtv dAUv dAUQ 0,0,0
21
机械能 - - - - - 可直接用于输送流体可以相互转变亦可以转变为热或流体的内能对理想流体：黏度为 0
浙江大学本科生课程化工原理 第一章 流体力学基础 8/19
V
AA
s
dV
v
gz
t
v dA
pv
gzv dA
pv
gzW
2
22
2
22
21
故对管道内稳定流动：
0t
m
v d A
v
v d A
v d A
v
v A
A
A
av
22
2
22
2
令对理想流体：黏度为 0
浙江大学本科生课程化工原理 第一章 流体力学基础 9/19
Q 2
换热器
2
z
2
1 泵
z
1
1 W
s
21 21 AA
v d Apgzv d Apgz?
sW
0
22
2
2
1
2
avav
v
m
v
m
则
0
22
21
2
2
1
2
21?
ppvvgzgzmW
avav
s即两边同除以 m，并令 Ws/m＝ ws得：
对理想流体：黏度为 0
12
1
2
2
2
12 22
ppvv
zzgw
avav
s
每一项单位均为 J/ kg
对理想流体：黏度为 0
对管内层流,速度分布方程为 ]1[ 2m a x Rrvv,且 m a x
2
1 vu?,于是：
r d rv
r d rv
v
v d A
v d A
v
v
A
A
av
2
2
22
2
2
2
2
2u?
对管内湍流,假设速度分布方程为 711m a x Rrvv,且 m a x8 1 7.0 vu?,于是：
2
5 2 9.0
2
2
2
2 u
uv
av
maxv
相同流量下层流与湍流的比较浙江大学本科生课程化工原理 第一章 流体力学基础 11/19
2
2
2
2
1
2
1
1 22
pugzwpugz
s
统一写成：
22
22 uv
av
层流时,?=0.5；湍流时,?=1
工程上以湍流多见，且动能 u2/2项与其他机械能项相比数值较小，故可近似取?＝ 1，于是
Q 2
换热器
2
z
2
1 泵
z
1
1 W
s
对理想流体：黏度为 0
浙江大学本科生课程化工原理 第一章 流体力学基础 12/19
对实际流体：黏度不为 0，上式修正为：
fs w
pu
gzw
pu
gz
2
2
2
2
1
2
1
1 22
W f 称为摩擦损失，永远为正，单位 J /k g
总机械能 Et 机械能衡算方程（柏努利方程）
每一项单位均为 J/ kg
外加压头静压头动压头位头压头损失
fe hg
p
g
uzh
g
p
g
uz
2
2
2
2
1
2
1
1 22或写成每一项单位均为 m
浙江大学本科生课程化工原理 第一章 流体力学基础 13/19
fs w
pugzwpugz
2
2
2
2
1
2
1
1 22
( 2 ) 对静止流体
(3 ) 若流动系统无外加轴功，即 w s =0,则
fwEtEt 21
由于 w f >0,故 E t 1 > E t 2
这说明流体能自动从高 （机械能）
能位流向低 （机械能）能位机械能衡算方程（柏努利方程）讨论：
（ 1）适用条件：不可压缩、连续、均质流体、等温流动
2
2
1
1
pgzpgz --------静力学方程
Q 2
换热器
2
z
2
1 泵
z
1
1 W
s
浙江大学本科生课程化工原理 第一章 流体力学基础 14/19
Q 2
换热器
2
z
2
1 泵
z
1
1 W
s
习题课使用机械能衡算方程时,应注意以下几点：
控制体的选取：
控制体内的流体必须连续,均质；
有流体进出的那些控制面（流通截面）应与流动方向相垂直，且已知条件最多；
包含待求变量。
基准水平面的选取
压力 用绝压或表压均可,
但两边必须统一 。
fs w
pugzwpugz
2
2
2
2
1
2
1
1 22
2 2 气体洗涤塔
5 m
泵 气体
3 3
1m
1 1m 1 4 4 0,2m
河水 废水池解 在 1 - 1 面和 2 - 2 面间
f
s
w
pu
gz
w
pu
gz
2
2
2
2
1
2
1
1
2
2
22
2
26.8210268.281.97 ppw s
smdVu /68.2422
1 0 6421 1 4d
例 1 轴功的计算管道尺寸为?114?4mm，
流量为 85m3/h，
水在管路中流动时的总摩擦损失为
10J/kg（ 不包括出口阻力损失 ）,
喷头处压力较塔内压力高 20kPa，
水从塔中流入下水道的摩擦损失可忽略不计 。
求泵的有效轴功率 。
浙江大学本科生课程化工原理 第一章 流体力学基础 16/19
kWWVw s 14.22 1 3 73 6 0 049.90851 0 0 0
3
32 1020 pp kgJ /23.8?
3 - 3 面与 4 - 4 面间
4
3
3 gz
pgz
kgJp /77.113
泵的有效轴功率为：
smw
226.82 pw
s
kgJ /49.90?
2 2 气体洗涤塔
5 m
泵 气体
3 3
1m
1 1m 1 4 4 0,2m
河水 废水池
1 1
1 m
2 4
大气
2? 2 2? 4
1m
3 3
喉径
3Et
2tE?
)(
2
2
2
2
1
表pugz
1 - 1 和 4 - 4 间
2
2
4
1
ugz?
smu /43.4181.924
u 2 = （ d 4 / d 2 ） 2 u 4 = （ 1 / 0,8 ） 2? 4,4 3 = 6,9 2 m / s
kgJp /13.14292.6181.9(
2
2 )
表
kgJ /32.4
1 -1 与 2 -2 间流体能自动从高 （机械能）能位流向低 （机械能）能位
)(81.9)(
2
22
2
2
2
表表 ppuzg
0)(2 3
2
3
3
表pugz
解,假设垂直小管中流体静止例 2 流向判断喉径内径与水管内径之比为 0.8。 若忽略水在管中流动时的能量损失,
试判断垂直小管中水的流向 。
浙江大学本科生课程化工原理 第一章 流体力学基础 18/19
1 1
1 m
2 4
大气
2? 2 2? 4
1m
3 3
小管中的水自下而上流动。
mgpz 44.181.9 13.14(22 表）
Et2?<Et3
思考,小管多长时,水静止不动？
浙江大学本科生课程化工原理 第一章 流体力学基础 19/19
)(1 2
2
表pgtE
2
)()( 2222 upp
表表
kgJ /62.1994.2313.1481.9
0)(2 3
2
3
33
表pugzEt
4
2
2
4
1m
3 3
2?
2?
小管中的水自上而下流动
u 2 = （ d 4 / d 2 ） 2 u 4 = （ 1 / 0,8 ） 2? 4,4 3 = 6,9 2 m / s
kgJp /13.14292.6181.9(
2
2 )
表思考,若将垂直小管改为弯头小管,弯头迎着来流方向,如图所示,试判断此时弯头小管中水的流向 。
Et2?>Et3
