讲题,测量误差的基本知识
内容提要,
第五章：测量误差的基本知识
§ 5.1 测量误差的概念
§ 5.2 衡量精度的指标
§ 5.3 误差传播定律及应用
§ 5.1 测量误差的概念
测量误差按其对测量结果影响的性质，可分为：
系统误差和偶然误差。
一．系统误差 (system error)
1．定义,在相同观测条件下，对某量进行一系
列观测，如误差出现符号和大小均相同或按一
定的规律变化，这种误差称为系统误差。
2．特点：
具有积累性，对测量结果的影响大，但
可通过一般的改正或用一定的观测方法
加以消除。
例如：钢尺尺长误差,钢尺温度误差、水准
仪视准轴误差,经纬仪视准轴误差。
二．偶然误差 (accident error)
1、定义：
在相同观测条件下，对某量进行一系列观
测，如误差出现符号和大小均不一定，这
种误差称为偶然误差。但具有一定的统计
规律。
2、特点,（见图 ）
（ 1）具有一定的范围。
（ 2）绝对值小的误差出现概率大。
（ 3）绝对值相等的正、负误差出现的概率相同，
数学期限望等于零。即：
此外，在测量工作中还要注意避免 粗差 (gross error)
（即：错误）的出现。
0][l i m ??
?? nn
图形：偶然误差分布频率直方图
正态分布曲线
四个特性,有界性，趋向性，对称性,抵偿性 。
? ? 0limlim 21 ?????????
???? nn n
n
n
?
-21 -15 -9 -3 +3 +9 +15 +21
-24 -18 -12 -6 0 +6 +12 +18 +24
x=?
y
误差分布频率直方图
§ 5.2 衡量精度的指标
一、中误差 (mean square error)
1.用真误差（ true error）计算中误差的公式
。，XlXl iii 为观测值的真值为观测值???真误差：
标准差公式,为观测值的个数n
nn
][lim ????
??
?
nnm
n ][
22
2
2
1 ???????????? ?中误差公式为：
举 例
2.用改正数计算中误差的公式
iii lxln
lv ???? ][
当观测值的真值未知时：
设某未知量的观测值为,nlll,,,21 ?
n
l
n
lllx n ][21 ????? ?则该量的算术平均值为：
则该量的改正数：
1
][
??? n
VVm计算得：观测值的中误差
举 例
二、相对误差 (relative error)
1、相对中误差 =
2、往返测较差率 K=
三、极限误差 (limit error)或容许误差 (tolerance）
常以两倍或三倍中误差作为偶然误差的容许值。
XXXDm /1?
XXXDD DD /12/)( ?? ?
返往
返往
1、一生有你
2、天黑
§ 5.3 误差传播定律
一、误差传播定律
设函数 ),,,(
21 nxxxFZ ??
为独立观测值，
ix
则有全微分
n
n
dxxFdxxFdxxFdZ ?????????? ?2
2
1
1
转换成中误差关系式即 误差传播定律,
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
n
n
Z mx
F
m
x
F
m
x
F
m ??
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????
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???
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?
?
?
?? ??
（误差传播定律应用举例）
二、权 (weight)的概念
2、规律,权与中误差的平方成反比，故观测值精度愈高，
其权愈大。
?0m
2
2
0
2
2
ii
i m
m
m
p ?? ?
权 P=1的中误差称为“单位权中误差”,通常
用 或 表示，所以权也表示为：
式中,C为任意正数,mi为中误差。
2
i
i m
cp ?1、定义,权 用 P表示，即：
内容提要,
第五章：测量误差的基本知识
§ 5.1 测量误差的概念
§ 5.2 衡量精度的指标
§ 5.3 误差传播定律及应用
§ 5.1 测量误差的概念
测量误差按其对测量结果影响的性质，可分为：
系统误差和偶然误差。
一．系统误差 (system error)
1．定义,在相同观测条件下，对某量进行一系
列观测，如误差出现符号和大小均相同或按一
定的规律变化，这种误差称为系统误差。
2．特点：
具有积累性，对测量结果的影响大，但
可通过一般的改正或用一定的观测方法
加以消除。
例如：钢尺尺长误差,钢尺温度误差、水准
仪视准轴误差,经纬仪视准轴误差。
二．偶然误差 (accident error)
1、定义：
在相同观测条件下，对某量进行一系列观
测，如误差出现符号和大小均不一定，这
种误差称为偶然误差。但具有一定的统计
规律。
2、特点,（见图 ）
（ 1）具有一定的范围。
（ 2）绝对值小的误差出现概率大。
（ 3）绝对值相等的正、负误差出现的概率相同，
数学期限望等于零。即：
此外，在测量工作中还要注意避免 粗差 (gross error)
（即：错误）的出现。
0][l i m ??
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图形：偶然误差分布频率直方图
正态分布曲线
四个特性,有界性，趋向性，对称性,抵偿性 。
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-21 -15 -9 -3 +3 +9 +15 +21
-24 -18 -12 -6 0 +6 +12 +18 +24
x=?
y
误差分布频率直方图
§ 5.2 衡量精度的指标
一、中误差 (mean square error)
1.用真误差（ true error）计算中误差的公式
。，XlXl iii 为观测值的真值为观测值???真误差：
标准差公式,为观测值的个数n
nn
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2
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举 例
2.用改正数计算中误差的公式
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设某未知量的观测值为,nlll,,,21 ?
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则该量的改正数：
1
][
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VVm计算得：观测值的中误差
举 例
二、相对误差 (relative error)
1、相对中误差 =
2、往返测较差率 K=
三、极限误差 (limit error)或容许误差 (tolerance）
常以两倍或三倍中误差作为偶然误差的容许值。
XXXDm /1?
XXXDD DD /12/)( ?? ?
返往
返往
1、一生有你
2、天黑
§ 5.3 误差传播定律
一、误差传播定律
设函数 ),,,(
21 nxxxFZ ??
为独立观测值，
ix
则有全微分
n
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转换成中误差关系式即 误差传播定律,
2
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（误差传播定律应用举例）
二、权 (weight)的概念
2、规律,权与中误差的平方成反比，故观测值精度愈高，
其权愈大。
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2
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0
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权 P=1的中误差称为“单位权中误差”,通常
用 或 表示，所以权也表示为：
式中,C为任意正数,mi为中误差。
2
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cp ?1、定义,权 用 P表示，即：
