第 1 章 振动
一,振动的概念
二,简谐振动方程
三,旋转矢量
四,简谐振动的速度、加速度
五,简谐振动的的能量
六,简谐振动实例
七,阻尼振动
八,受迫振动 共振
九,简谐振动的叠加
一、振动的概念
?振动 也称 振荡 。 在力学中, 振动是指物体围
绕某个平衡位置作周期性往复的运动, 又称 机
械振动 。
?广义的说, 任何一个物理量在某一确定值附
近的反复变化都可称为振动, 如电磁振动, 交
流电中电流, 电压的反复变化等 。
一、振动的概念
?物体作机械振动时, 来回往复的运动轨迹,
最简单的是一条直线, 称为直线振动 。 在平面
或空间的复来振动, 都可以认为是由多个直线
振动叠加而成的 。
?在直线振动中, 最基本最常见的振动是 简谐
振动, 任何复杂的振动, 都可认为是由多个简
谐振动合成的 。
二、简谐振动方程
?组成物质的分子, 原子间的相互作用在很多情
况下都可以用一个弹簧振子的振动来描述 。
? 不考虑弹簧的
质量和任何摩擦,
弹簧振子的振动
是一种典型的简
谐振动 。
1,弹簧振子模型
?胡克定律给出弹簧的
恢复力
kx
dt
xdmmaF ????
2
2
02
2
?? x
m
k
dt
xd
2,简谐振动的动力学方程
kxF ??
m
xO
F?
x??由牛顿第二定律
二、简谐振动方程
令
xax
dt
xd
m
k
22
2
2
2
,0 ??
?
????
?
即
则
是简谐振动的 动力学方程, 其解为
x = Acos(ωt + ?) 或 x = Asin(ωt + ?)
式中 A,?为待定积分常量 。
二、简谐振动方程
?习惯上用余弦形 式 。
3,简谐振动的定义
?物体运动时，如果离开平
衡位置的位移（或角位移）
按余弦函数（或正弦函数 〕
的规律随时间变化，这种运
动就叫 简谐振动 。
x = Acos(ωt + ?)
或 x = Asin(ωt + ?)
二、简谐振动方程
?动力学角度,若质点受的力与位移成正比，方
向相反，则该质点的振动称为简谐振动。
4,简谐振动的判据
二、简谐振动方程
xkF ?? ??
?运动学角度, 若质点加速度与位移成正比，方
向相反，则称为简谐振动。 a = -ω2x
022
2
?? x
dt
xd ω
?广义地讲，任何物理量的变化满足下面的微分
方程 都称为简谐振动。
三、旋转矢量图示法（ 相量图 法）
?简谐振动可以用一个旋转矢量来描述, 有助
于了解谐振动表达式中 A,ω,φ 的物理意义 。
?质点 m 以角速度 ω做
匀速圆周运动, 其位矢
在 x 轴上的分量或投
影为,?
y
xωt
A-A O x
m ω
A?
? 称为 振幅矢量A?
x = A cos (ωt + ?)
?A 振幅,是质点离
开平衡位置的最大
幅度, 即最大位移,
它的大小表征振动
的强弱 。
?描述简谐振动的三个特征量
x = A cos (ωt + ?)
?
y
xωt
A-A O x
m ω
A?
三、旋转矢量图示法（ 相量图 法）
?ω角速度,又称圆频率, 表征振幅矢量旋转
的快慢, 也即振动的快慢 。
)c o s ( ?? ?? tAx
三、旋转矢量图示法（ 相量图 法）
?
y
xωt
A-A O x
m ω
A?
m
k
??
又称为系统的 固有角频率
])2(c o s [ ?
?
?? ??? tA
)2c o s ( ??? ??? tA
k
m
T ?
?
?
2
2
??
?在单位时间内完成完全振动的次数称为 频率 v
νν ??? 221 ???
TT
即
三、旋转矢量图示法（ 相量图 法）
所以 是矢量 旋转一周, 即质点完成一次完
全振动所需的时间, 称为 周期 T
?
?2 A
?
又称为系统的 固有 周期
?单位 v 的 为 1/秒 (s-1),称为 赫兹 ( Hz )
? 的为 rad/s 或 s-1
?ωt + ? 相位,决定了质点在 t 时刻的振动状
态, t = 0 时的相位 ? 称为 初相位, 简称 初相 。
三、旋转矢量图示法（ 相量图 法）
?
y
xωt
A-A O x
m ω
A?
?单位 弧度 (rad)。 相位
相差 2π整数倍时质点的
振动状态相同 。
x = A cos (ωt + ? + 2k?)
= A cos (ωt + ?)
三、旋转矢量图示法（ 相量图 法）
)c o s (),c o s ( 222111 ???? ???? tAxtAx
1212 )()( ??????? ??????? tt
?相差
??2 < ?1, 振动 （ 1） 比振动 （ 2） 超前或振
动 （ 2） 比振动 （ 1） 落后；
??2- ?1=0 或 2π
的整数倍，也即 π
的偶数倍，称这两
个振动为 同相 。
x1
x2
三、旋转矢量图示法（ 相量图 法）
??2- ?1=π 或 π 的寄数倍, 称这两个振动为 反
相 。
x2
x1
?由 初始条件 确定振幅 A 和初相 ?
三、旋转矢量图示法（ 相量图 法）
)s i n (),c o s ( ????? ?????? tA
dt
dxvtAx
??? s in,c o s 00 AvAx ???
00,,0 vvxxt ???
初始条件
)a r c t a n (
0
0
2
2
02
0
x
v
v
xA
?
?
?
??
??
由此解得
?例 P,13
四、简谐振动 的速度、加速度
)c o s ( ?? ?? tAx
?简谐振动 的位移
?简谐振动
的速度
?简谐振动
的加速度 )c o s (2 ??? ???? tA
dt
dva
)
2
c o s ( ??? ??? tv m
)s i n ( ??? ???? tA
dt
dxv
)c o s ( ??? ??? ta m
四、谐振动的速度、加速度
式中 vm= ωA,am= ω2A 分别为速度, 加速度的
振幅, v,a 均为谐振动, v 比 x 相位超前 ?/2,a
与 x 反相 。
?例 P,9
课堂练习：
① Ax 0 ??
② A2
2x
0 ? 0v 0 ?
③ 0x 0 ? 0v 0 ?
④ 2Ax 0 ?? 0v 0 ?
o x
A ?
?? ?
o x
课堂练习：
① Ax 0 ??
② A2
2x
0 ? 0v 0 ?
③ 0x 0 ? 0v 0 ?
④ 2Ax 0 ?? 0v 0 ?
?? ?
A ?
4
?? ?
课堂练习：
① Ax 0 ??
② A2
2x
0 ? 0v 0 ?
③ 0x 0 ? 0v 0 ?
④ 2Ax 0 ?? 0v 0 ?
o x4
?? ?
?? ?
A ?
2
?? ?
课堂练习：
① Ax 0 ??
② A2
2x
0 ? 0v 0 ?
③ 0x 0 ? 0v 0 ?
④ 2Ax 0 ?? 0v 0 ?
o x
2
?? ?
4
?? ?
?? ?
A
?
??
3
4? ??
3
2??或
五、简谐振动的能量
?弹簧振子做谐振动时, 振动系统不受外力和
内部非保守力的作用, 系统 机械能守恒 。
)c o s ( ?? ?? tAx
?势能 Ep
)(c o s
2
1
2
1 222 ?? ??? tkAkxE
p
?动能 Ek
)s i n ( ??? ??? tAv
)(s i n
2
1
2
1 2222 ??? ??? tAmmvE
k
五、简谐振动的能量
?总机械能
pk EEE ??
)(c o s
2
1)(s i n
2
1 22222 ????? ???? tkAtAm
m
k
??
即振动总机械能是恒量, 并与振幅平方成正比 。
2
2
1 kA?
2A?
?弹簧振子 动能, 势能的平均值
五、简谐振动的能量
即动能平均值与势能平均值相等，等于总能
量的一半。
2
0
22
0 4
1)(s i n
2
111 kAdttkA
T
dtE
T
E
TT
kk ???? ?? ??
2
0
22
0 4
1)(c o s
2
111 kAdttkA
T
dtE
T
E
TT
pp ???? ?? ??
x
t
t
E
Ep
Ek
2
2
1 kA
2
4
1 kA
五、简谐振动的能量
T
五、简谐振动的能量
六、简谐振动实例
1,单摆
系统所受力矩
?s i nm g lM ??
J
M
dt
d ?? ??
2
2
角加速度
?? s i ns i n2
l
g
ml
m g l ????
六、简谐振动实例
l
g?2?令
022
2
?? ???
dt
d
有
0s i n22
2
?? ???
dt
d
? 较小时 （ ? ??）
?? ?s in
则
g
l
T ?
?
?
2
2
??
单摆作简谐振动 。
六、简谐振动实例
?对单摆的另一种处理方法
摆球所受合力
2
2
dt
dlla
t
?? ??
摆球切向角加速度
ft（ ? ? ?
?时 ）
称为 准弹性力
?s inmgf t ??
?mg??
?? mg
dt
dml ??
2
2有
022
2
?? ???
dt
d
例 1 复摆（物理摆）的振动
?
mg
?
2
2
s in
t
Jm g l
d
d ?? ??
0s in2
2
?? ??
J
m g l
td
d
对比谐振动方程知：
但若做小幅度摆动
即当
?? ?sin
c
o
l由转动定律
02
2
?? ??
J
m g l
td
d
得
动力学方程
022
2
?? x
t
x
?
d
d
一般情况 不是简谐振动
时
满足的方程：
J
m gl?2?
J
m g l
π2
1
??
m gl
J
T π2?
振动的物理量
?
?
?
?
?
?
?
?
?? ??? t
J
m g l
m c o s
固有圆频率
角位移 ?
振动表达式
022
2
?? x
t
x
?
d
d
02
2
?? ?
?
J
m g l
td
d
对比
六、简谐振动实例
2,LC振荡
?开关 K 打向左侧
?电源给电容充电
?开关 K 打向右侧
?LC 回路中电流振荡
六、简谐振动实例
?LC 回路中
0??? CL u?
C
qu
C ?
dt
dqi ??
td
qdL
dt
diL
L 2
2
????
02
2
???
C
q
td
qdL
012
2
?? q
LCtd
qd
六、简谐振动实例
012
2
?? q
LCtd
qd 02
2
2
?? x
dt
xd ?
)c o s (0 ?? ?? tqq
LC
1
??
)s i n (0 ??? ???? tq
dt
dqi
七、阻尼振动
?在弹性力或准弹性力作用下的简谐振动, 由
于没有任何阻力的作用, 振动系统的能量和振
幅不随时间变化, 这样的振动称为 无阻尼自由
振动 。
?由于阻力的作用, 振动系统的能量随时间逐
渐减小, 因而其振幅也逐渐减小, 这种振动称
为 阻尼振动, 又称为 减幅振动 。
2
2
,
dt
xdm
dt
dxkxvf ????? ?? 则
?实验表明，当物体运动速度不很大时，阻力
与速度成正比且方向相反
七、阻尼振动
02 202
2
??? x
dt
dx
dt
xd ??有
式中 为阻尼系数, 为系统
的固有 角 频率 。
m2
?? ?
m
k
?0?
A0,?0 为积分常数,
? ?00 c o s ??? ?? ? teAx t
22
0 ??? ??
1,欠阻尼振动
七、阻尼振动
?是一种振幅随时间指
数式衰减的振动, 称
为 欠阻尼振动 。
x
t
teA ??
0
0
当 ω0 > β 时, 微分方程的 解为
?阻尼振动不是简谐振
动, 也不是严格的周
期振动 。
七、阻尼振动
x
t
teA ??
0
0
22
0
22
??
?
?
?
?
??T
即比振动系统的固有周期要长 。
0
2
?
?
?
?但仍可以定义周期
?时间常量 欠阻尼振
动振幅随时间指数式
衰减
七、阻尼振动
x
t
teA ??
0
0振动能量
teAA ???
0
teEE ?2
0
??
定义
eeE
E
t
t
11
2
0
??
? ?
?
?
?
2
1
?
作为阻尼振动的特征时间称为
时间常量 或鸣响时间 。
?品质因数 Q 定义为 鸣响时间内可能振动的次
数的 2? 倍 。
七、阻尼振动
???? ??
T
Q 2
品质因 数 即 Q 值越高, 振动的次数越多, 系
统能量损失越慢, 表示 振动 系统 越, 好, 。
在 阻尼不严重的情况下, 可用振动 系统 的 固有
周期 和 固有角频率 计算 。
例,钢琴 Q ?103,激光器光学谐振腔 Q?107
2,当 ω0 < β 时 的阻尼运
动称为 过阻尼 运动 。 x
不振动, 需要很长的时
间才能回到平衡位置 。
七、阻尼振动
3,当 ω0 = β 时 的阻尼运
动称为 临界阻尼 运动 。
此时物体刚刚能做非周
期性运动, 最后 回到平
衡位置 。
?和过阻尼相比, 临界
阻尼这种非周期性运动
回到平衡位置 的时间最
短 。 在实验中, 例如天
平, 高灵敏电流计等仪
器, 控制在临界阻尼状
态, 指针或光标可以迅
速, 无振荡的达到平衡
位置 。
七、阻尼振动
八、受迫振动 共振
谐振子在周期性外力驱动下的振动称为 受迫振
动 。 外力提供的能量刚好弥补阻尼所消耗的能
量时, 系统达到稳定振动状态 。
? ??????? ???????? ??? ? tAteAx t c o sc o s 02200
t
m
Hx
dt
dx
dt
xd ??? c o s2 2
02
2
???
振动方程
方程通解
设驱动力为 Hcos?t
? ??????? ???????? ??? ? tAteAx t c o sc o s 02200
受迫振动 的振动频率与外力作用频率相同而与
振动系统的固有频率无关。
暂态, 经一定时
间后衰减为零 。
八、受迫振动 共振
稳定的振动, 称
为 受迫振动 。
m
Hh ?
t
x
O
A
-A
八、受迫振动 共振
?受迫振动 的振幅与位相
令
? ? 220
0
22222
0
2
t a n,
4 ??
??
?
???? ?
??
??
?
h
A
受迫振动的振幅 A
是驱动力频率 ω的
函数
22
0 2 ??? ??
八、受迫振动 共振
? ? 222220 4 ???? ??
?
h
A
受迫振动的振幅
当驱动力频率
这种现象称为 共振 。
22
0
m a x
2 ??? ?
?
h
A
时，受迫振动的振幅 A 达到极大值
八、受迫振动 共振
β 小
β?0
β 大
ω0 ω
A
共振 时
)c o s ( ?? ?? tAx
与外力同相, 驱动力对系统总作正功, 形成共振 。
)
2
(t a n 22
0
01
??
??
?
?
?? ?
22
0 2 ??? ??
2
???
振 动速度
tAtA
dt
dxv ????? c o s)c o s ( ?????
小号发出的波足以把玻璃杯振碎
1940年华盛顿的塔科曼大桥建成
同年 7月的一场大风引起桥的共振
桥被摧毁
?合矢量 A 将与
矢量 A1 与 A2 一
起以角速度 ω转动 。
),c o s ( 111 ?? ?? tAx
?2
?1
?
A2
A1
A
x2 x1 x
ω
x
y
1,同一直线上两个同频率简谐振动的合成
九、简谐振动的叠加
)c o s ( ?? ?? tAx
)c o s ()c o s ( 221121 ???? ?????? tAtAxxx
)c o s ( 222 ?? ?? tAx
?即在同一直线上
两个同频简谐振
动的合振动, 仍
是一个同频率的
简谐振动 。
)c o s ( ?? ?? tAx
九、简谐振动的叠加
?2
?1
?
A2
A1
A
x2 x1 x
ω
x
y
2211
2211
c o sc o s
s i ns i nt a n
??
???
AA
AA
?
??
)c o s (2 12212221 ?? ???? AAAAA
?两个特例
??? k212 ??
A
A2
A1
t
x
九、简谐振动的叠加
2121
2
2
2
1m a x 2 AAAAAAA ?????
,k = 0,?1, ?2,…
?两分振动同相
1)c o s ( 12 ?? ??
合振幅最大 。
??? )12(12 ??? k
问题,A1 = A2 时,
合振动情况如何？
A
A1
-A2 t
x
九、简谐振动的叠加
,k = 0,?1, ?2,…
?两分振动反相
合振幅最小 。
1)c o s ( 12 ??? ??
2121
2
2
2
1m i n 2 AAAAAAA ?????
九、简谐振动的叠加
2,同一直线上 n 个同频率简谐振动的合成
tax ?c o s1 ?
? ?? ???
??
1c o s
)2c o s (3
???
??
ntax
tax
n
?
)c o s (2 ?? ?? tax
九、简谐振动的叠加
?在轴上的个同频率简谐振动合成的相量图
x
a?
?
?
A?
R
?? N?
2
s in
2
?
a
R ?
2
s in2 ?RA ?
2
s in
2
s in
?
?N
a?
Nxxxxx ????? 321线性相加
用旋矢法求解
?
?
由图得
x
a?
?
?
R ?
2
s in
2
s in
?
?N
aA ?
一般情况
特例
1） π2 k??
?,2,1,0 ???k a?
NaA ?
a? a?
主极大
A?
2） π2 kN ??
Nk ??,0 的倍数的整数
0?A 极小
3） )12(π ?? kN ?
?,2,1,0 ???k
RA 2? 次极大
（多光束干涉的理论基础）
特例
1） π2 k??
?,2,1,0 ???k a?
NaA ?
a? a?
主极大
A?
2） π2 kN ??
Nk ??,0 的倍数的整数
0?A 极小
例,三个同频率 ? 同振幅 A0 同方向的 SHV
相邻相位差为 ?/2 求：合振幅 A
解,画旋矢图
?/3
?/3
0A
?
A?由图很容易得到
A = 2A0
或将已知条件代入公式
2
s in
2
s in
0
?
?N
AA ?
得出结果（请自解）
,)c o s ( 01 tAx ??? ??
九、简谐振动的叠加
3,同一直线上不同频率简谐振动的合成
时, 随时间缓慢变化, 其绝对值可
以看作合振动的振幅, 则合振动就是, 拍, 。0??? ??
ttA 0c o sc o s2 ????
tAx )c o s ( 02 ??? ??
tAtA
xxx
)c o s ()c o s ( 00
21
?????? ????
??
九、简谐振动的叠加
ttAxxx 021 c o sc o s2 ??????
?拍频
?
??
2
2 ??v
?
???
?
???
2
)(
2
)( 00 ????
余弦函数的绝对值在一个周期内有两个最大值,
故
2
)()(
2
12 00 ??????
?
??????
12 vv ??
九、简谐振动的叠加
2x
1x
t
t
x
t
一,振动的概念
二,简谐振动方程
三,旋转矢量
四,简谐振动的速度、加速度
五,简谐振动的的能量
六,简谐振动实例
七,阻尼振动
八,受迫振动 共振
九,简谐振动的叠加
一、振动的概念
?振动 也称 振荡 。 在力学中, 振动是指物体围
绕某个平衡位置作周期性往复的运动, 又称 机
械振动 。
?广义的说, 任何一个物理量在某一确定值附
近的反复变化都可称为振动, 如电磁振动, 交
流电中电流, 电压的反复变化等 。
一、振动的概念
?物体作机械振动时, 来回往复的运动轨迹,
最简单的是一条直线, 称为直线振动 。 在平面
或空间的复来振动, 都可以认为是由多个直线
振动叠加而成的 。
?在直线振动中, 最基本最常见的振动是 简谐
振动, 任何复杂的振动, 都可认为是由多个简
谐振动合成的 。
二、简谐振动方程
?组成物质的分子, 原子间的相互作用在很多情
况下都可以用一个弹簧振子的振动来描述 。
? 不考虑弹簧的
质量和任何摩擦,
弹簧振子的振动
是一种典型的简
谐振动 。
1,弹簧振子模型
?胡克定律给出弹簧的
恢复力
kx
dt
xdmmaF ????
2
2
02
2
?? x
m
k
dt
xd
2,简谐振动的动力学方程
kxF ??
m
xO
F?
x??由牛顿第二定律
二、简谐振动方程
令
xax
dt
xd
m
k
22
2
2
2
,0 ??
?
????
?
即
则
是简谐振动的 动力学方程, 其解为
x = Acos(ωt + ?) 或 x = Asin(ωt + ?)
式中 A,?为待定积分常量 。
二、简谐振动方程
?习惯上用余弦形 式 。
3,简谐振动的定义
?物体运动时，如果离开平
衡位置的位移（或角位移）
按余弦函数（或正弦函数 〕
的规律随时间变化，这种运
动就叫 简谐振动 。
x = Acos(ωt + ?)
或 x = Asin(ωt + ?)
二、简谐振动方程
?动力学角度,若质点受的力与位移成正比，方
向相反，则该质点的振动称为简谐振动。
4,简谐振动的判据
二、简谐振动方程
xkF ?? ??
?运动学角度, 若质点加速度与位移成正比，方
向相反，则称为简谐振动。 a = -ω2x
022
2
?? x
dt
xd ω
?广义地讲，任何物理量的变化满足下面的微分
方程 都称为简谐振动。
三、旋转矢量图示法（ 相量图 法）
?简谐振动可以用一个旋转矢量来描述, 有助
于了解谐振动表达式中 A,ω,φ 的物理意义 。
?质点 m 以角速度 ω做
匀速圆周运动, 其位矢
在 x 轴上的分量或投
影为,?
y
xωt
A-A O x
m ω
A?
? 称为 振幅矢量A?
x = A cos (ωt + ?)
?A 振幅,是质点离
开平衡位置的最大
幅度, 即最大位移,
它的大小表征振动
的强弱 。
?描述简谐振动的三个特征量
x = A cos (ωt + ?)
?
y
xωt
A-A O x
m ω
A?
三、旋转矢量图示法（ 相量图 法）
?ω角速度,又称圆频率, 表征振幅矢量旋转
的快慢, 也即振动的快慢 。
)c o s ( ?? ?? tAx
三、旋转矢量图示法（ 相量图 法）
?
y
xωt
A-A O x
m ω
A?
m
k
??
又称为系统的 固有角频率
])2(c o s [ ?
?
?? ??? tA
)2c o s ( ??? ??? tA
k
m
T ?
?
?
2
2
??
?在单位时间内完成完全振动的次数称为 频率 v
νν ??? 221 ???
TT
即
三、旋转矢量图示法（ 相量图 法）
所以 是矢量 旋转一周, 即质点完成一次完
全振动所需的时间, 称为 周期 T
?
?2 A
?
又称为系统的 固有 周期
?单位 v 的 为 1/秒 (s-1),称为 赫兹 ( Hz )
? 的为 rad/s 或 s-1
?ωt + ? 相位,决定了质点在 t 时刻的振动状
态, t = 0 时的相位 ? 称为 初相位, 简称 初相 。
三、旋转矢量图示法（ 相量图 法）
?
y
xωt
A-A O x
m ω
A?
?单位 弧度 (rad)。 相位
相差 2π整数倍时质点的
振动状态相同 。
x = A cos (ωt + ? + 2k?)
= A cos (ωt + ?)
三、旋转矢量图示法（ 相量图 法）
)c o s (),c o s ( 222111 ???? ???? tAxtAx
1212 )()( ??????? ??????? tt
?相差
??2 < ?1, 振动 （ 1） 比振动 （ 2） 超前或振
动 （ 2） 比振动 （ 1） 落后；
??2- ?1=0 或 2π
的整数倍，也即 π
的偶数倍，称这两
个振动为 同相 。
x1
x2
三、旋转矢量图示法（ 相量图 法）
??2- ?1=π 或 π 的寄数倍, 称这两个振动为 反
相 。
x2
x1
?由 初始条件 确定振幅 A 和初相 ?
三、旋转矢量图示法（ 相量图 法）
)s i n (),c o s ( ????? ?????? tA
dt
dxvtAx
??? s in,c o s 00 AvAx ???
00,,0 vvxxt ???
初始条件
)a r c t a n (
0
0
2
2
02
0
x
v
v
xA
?
?
?
??
??
由此解得
?例 P,13
四、简谐振动 的速度、加速度
)c o s ( ?? ?? tAx
?简谐振动 的位移
?简谐振动
的速度
?简谐振动
的加速度 )c o s (2 ??? ???? tA
dt
dva
)
2
c o s ( ??? ??? tv m
)s i n ( ??? ???? tA
dt
dxv
)c o s ( ??? ??? ta m
四、谐振动的速度、加速度
式中 vm= ωA,am= ω2A 分别为速度, 加速度的
振幅, v,a 均为谐振动, v 比 x 相位超前 ?/2,a
与 x 反相 。
?例 P,9
课堂练习：
① Ax 0 ??
② A2
2x
0 ? 0v 0 ?
③ 0x 0 ? 0v 0 ?
④ 2Ax 0 ?? 0v 0 ?
o x
A ?
?? ?
o x
课堂练习：
① Ax 0 ??
② A2
2x
0 ? 0v 0 ?
③ 0x 0 ? 0v 0 ?
④ 2Ax 0 ?? 0v 0 ?
?? ?
A ?
4
?? ?
课堂练习：
① Ax 0 ??
② A2
2x
0 ? 0v 0 ?
③ 0x 0 ? 0v 0 ?
④ 2Ax 0 ?? 0v 0 ?
o x4
?? ?
?? ?
A ?
2
?? ?
课堂练习：
① Ax 0 ??
② A2
2x
0 ? 0v 0 ?
③ 0x 0 ? 0v 0 ?
④ 2Ax 0 ?? 0v 0 ?
o x
2
?? ?
4
?? ?
?? ?
A
?
??
3
4? ??
3
2??或
五、简谐振动的能量
?弹簧振子做谐振动时, 振动系统不受外力和
内部非保守力的作用, 系统 机械能守恒 。
)c o s ( ?? ?? tAx
?势能 Ep
)(c o s
2
1
2
1 222 ?? ??? tkAkxE
p
?动能 Ek
)s i n ( ??? ??? tAv
)(s i n
2
1
2
1 2222 ??? ??? tAmmvE
k
五、简谐振动的能量
?总机械能
pk EEE ??
)(c o s
2
1)(s i n
2
1 22222 ????? ???? tkAtAm
m
k
??
即振动总机械能是恒量, 并与振幅平方成正比 。
2
2
1 kA?
2A?
?弹簧振子 动能, 势能的平均值
五、简谐振动的能量
即动能平均值与势能平均值相等，等于总能
量的一半。
2
0
22
0 4
1)(s i n
2
111 kAdttkA
T
dtE
T
E
TT
kk ???? ?? ??
2
0
22
0 4
1)(c o s
2
111 kAdttkA
T
dtE
T
E
TT
pp ???? ?? ??
x
t
t
E
Ep
Ek
2
2
1 kA
2
4
1 kA
五、简谐振动的能量
T
五、简谐振动的能量
六、简谐振动实例
1,单摆
系统所受力矩
?s i nm g lM ??
J
M
dt
d ?? ??
2
2
角加速度
?? s i ns i n2
l
g
ml
m g l ????
六、简谐振动实例
l
g?2?令
022
2
?? ???
dt
d
有
0s i n22
2
?? ???
dt
d
? 较小时 （ ? ??）
?? ?s in
则
g
l
T ?
?
?
2
2
??
单摆作简谐振动 。
六、简谐振动实例
?对单摆的另一种处理方法
摆球所受合力
2
2
dt
dlla
t
?? ??
摆球切向角加速度
ft（ ? ? ?
?时 ）
称为 准弹性力
?s inmgf t ??
?mg??
?? mg
dt
dml ??
2
2有
022
2
?? ???
dt
d
例 1 复摆（物理摆）的振动
?
mg
?
2
2
s in
t
Jm g l
d
d ?? ??
0s in2
2
?? ??
J
m g l
td
d
对比谐振动方程知：
但若做小幅度摆动
即当
?? ?sin
c
o
l由转动定律
02
2
?? ??
J
m g l
td
d
得
动力学方程
022
2
?? x
t
x
?
d
d
一般情况 不是简谐振动
时
满足的方程：
J
m gl?2?
J
m g l
π2
1
??
m gl
J
T π2?
振动的物理量
?
?
?
?
?
?
?
?
?? ??? t
J
m g l
m c o s
固有圆频率
角位移 ?
振动表达式
022
2
?? x
t
x
?
d
d
02
2
?? ?
?
J
m g l
td
d
对比
六、简谐振动实例
2,LC振荡
?开关 K 打向左侧
?电源给电容充电
?开关 K 打向右侧
?LC 回路中电流振荡
六、简谐振动实例
?LC 回路中
0??? CL u?
C
qu
C ?
dt
dqi ??
td
qdL
dt
diL
L 2
2
????
02
2
???
C
q
td
qdL
012
2
?? q
LCtd
qd
六、简谐振动实例
012
2
?? q
LCtd
qd 02
2
2
?? x
dt
xd ?
)c o s (0 ?? ?? tqq
LC
1
??
)s i n (0 ??? ???? tq
dt
dqi
七、阻尼振动
?在弹性力或准弹性力作用下的简谐振动, 由
于没有任何阻力的作用, 振动系统的能量和振
幅不随时间变化, 这样的振动称为 无阻尼自由
振动 。
?由于阻力的作用, 振动系统的能量随时间逐
渐减小, 因而其振幅也逐渐减小, 这种振动称
为 阻尼振动, 又称为 减幅振动 。
2
2
,
dt
xdm
dt
dxkxvf ????? ?? 则
?实验表明，当物体运动速度不很大时，阻力
与速度成正比且方向相反
七、阻尼振动
02 202
2
??? x
dt
dx
dt
xd ??有
式中 为阻尼系数, 为系统
的固有 角 频率 。
m2
?? ?
m
k
?0?
A0,?0 为积分常数,
? ?00 c o s ??? ?? ? teAx t
22
0 ??? ??
1,欠阻尼振动
七、阻尼振动
?是一种振幅随时间指
数式衰减的振动, 称
为 欠阻尼振动 。
x
t
teA ??
0
0
当 ω0 > β 时, 微分方程的 解为
?阻尼振动不是简谐振
动, 也不是严格的周
期振动 。
七、阻尼振动
x
t
teA ??
0
0
22
0
22
??
?
?
?
?
??T
即比振动系统的固有周期要长 。
0
2
?
?
?
?但仍可以定义周期
?时间常量 欠阻尼振
动振幅随时间指数式
衰减
七、阻尼振动
x
t
teA ??
0
0振动能量
teAA ???
0
teEE ?2
0
??
定义
eeE
E
t
t
11
2
0
??
? ?
?
?
?
2
1
?
作为阻尼振动的特征时间称为
时间常量 或鸣响时间 。
?品质因数 Q 定义为 鸣响时间内可能振动的次
数的 2? 倍 。
七、阻尼振动
???? ??
T
Q 2
品质因 数 即 Q 值越高, 振动的次数越多, 系
统能量损失越慢, 表示 振动 系统 越, 好, 。
在 阻尼不严重的情况下, 可用振动 系统 的 固有
周期 和 固有角频率 计算 。
例,钢琴 Q ?103,激光器光学谐振腔 Q?107
2,当 ω0 < β 时 的阻尼运
动称为 过阻尼 运动 。 x
不振动, 需要很长的时
间才能回到平衡位置 。
七、阻尼振动
3,当 ω0 = β 时 的阻尼运
动称为 临界阻尼 运动 。
此时物体刚刚能做非周
期性运动, 最后 回到平
衡位置 。
?和过阻尼相比, 临界
阻尼这种非周期性运动
回到平衡位置 的时间最
短 。 在实验中, 例如天
平, 高灵敏电流计等仪
器, 控制在临界阻尼状
态, 指针或光标可以迅
速, 无振荡的达到平衡
位置 。
七、阻尼振动
八、受迫振动 共振
谐振子在周期性外力驱动下的振动称为 受迫振
动 。 外力提供的能量刚好弥补阻尼所消耗的能
量时, 系统达到稳定振动状态 。
? ??????? ???????? ??? ? tAteAx t c o sc o s 02200
t
m
Hx
dt
dx
dt
xd ??? c o s2 2
02
2
???
振动方程
方程通解
设驱动力为 Hcos?t
? ??????? ???????? ??? ? tAteAx t c o sc o s 02200
受迫振动 的振动频率与外力作用频率相同而与
振动系统的固有频率无关。
暂态, 经一定时
间后衰减为零 。
八、受迫振动 共振
稳定的振动, 称
为 受迫振动 。
m
Hh ?
t
x
O
A
-A
八、受迫振动 共振
?受迫振动 的振幅与位相
令
? ? 220
0
22222
0
2
t a n,
4 ??
??
?
???? ?
??
??
?
h
A
受迫振动的振幅 A
是驱动力频率 ω的
函数
22
0 2 ??? ??
八、受迫振动 共振
? ? 222220 4 ???? ??
?
h
A
受迫振动的振幅
当驱动力频率
这种现象称为 共振 。
22
0
m a x
2 ??? ?
?
h
A
时，受迫振动的振幅 A 达到极大值
八、受迫振动 共振
β 小
β?0
β 大
ω0 ω
A
共振 时
)c o s ( ?? ?? tAx
与外力同相, 驱动力对系统总作正功, 形成共振 。
)
2
(t a n 22
0
01
??
??
?
?
?? ?
22
0 2 ??? ??
2
???
振 动速度
tAtA
dt
dxv ????? c o s)c o s ( ?????
小号发出的波足以把玻璃杯振碎
1940年华盛顿的塔科曼大桥建成
同年 7月的一场大风引起桥的共振
桥被摧毁
?合矢量 A 将与
矢量 A1 与 A2 一
起以角速度 ω转动 。
),c o s ( 111 ?? ?? tAx
?2
?1
?
A2
A1
A
x2 x1 x
ω
x
y
1,同一直线上两个同频率简谐振动的合成
九、简谐振动的叠加
)c o s ( ?? ?? tAx
)c o s ()c o s ( 221121 ???? ?????? tAtAxxx
)c o s ( 222 ?? ?? tAx
?即在同一直线上
两个同频简谐振
动的合振动, 仍
是一个同频率的
简谐振动 。
)c o s ( ?? ?? tAx
九、简谐振动的叠加
?2
?1
?
A2
A1
A
x2 x1 x
ω
x
y
2211
2211
c o sc o s
s i ns i nt a n
??
???
AA
AA
?
??
)c o s (2 12212221 ?? ???? AAAAA
?两个特例
??? k212 ??
A
A2
A1
t
x
九、简谐振动的叠加
2121
2
2
2
1m a x 2 AAAAAAA ?????
,k = 0,?1, ?2,…
?两分振动同相
1)c o s ( 12 ?? ??
合振幅最大 。
??? )12(12 ??? k
问题,A1 = A2 时,
合振动情况如何？
A
A1
-A2 t
x
九、简谐振动的叠加
,k = 0,?1, ?2,…
?两分振动反相
合振幅最小 。
1)c o s ( 12 ??? ??
2121
2
2
2
1m i n 2 AAAAAAA ?????
九、简谐振动的叠加
2,同一直线上 n 个同频率简谐振动的合成
tax ?c o s1 ?
? ?? ???
??
1c o s
)2c o s (3
???
??
ntax
tax
n
?
)c o s (2 ?? ?? tax
九、简谐振动的叠加
?在轴上的个同频率简谐振动合成的相量图
x
a?
?
?
A?
R
?? N?
2
s in
2
?
a
R ?
2
s in2 ?RA ?
2
s in
2
s in
?
?N
a?
Nxxxxx ????? 321线性相加
用旋矢法求解
?
?
由图得
x
a?
?
?
R ?
2
s in
2
s in
?
?N
aA ?
一般情况
特例
1） π2 k??
?,2,1,0 ???k a?
NaA ?
a? a?
主极大
A?
2） π2 kN ??
Nk ??,0 的倍数的整数
0?A 极小
3） )12(π ?? kN ?
?,2,1,0 ???k
RA 2? 次极大
（多光束干涉的理论基础）
特例
1） π2 k??
?,2,1,0 ???k a?
NaA ?
a? a?
主极大
A?
2） π2 kN ??
Nk ??,0 的倍数的整数
0?A 极小
例,三个同频率 ? 同振幅 A0 同方向的 SHV
相邻相位差为 ?/2 求：合振幅 A
解,画旋矢图
?/3
?/3
0A
?
A?由图很容易得到
A = 2A0
或将已知条件代入公式
2
s in
2
s in
0
?
?N
AA ?
得出结果（请自解）
,)c o s ( 01 tAx ??? ??
九、简谐振动的叠加
3,同一直线上不同频率简谐振动的合成
时, 随时间缓慢变化, 其绝对值可
以看作合振动的振幅, 则合振动就是, 拍, 。0??? ??
ttA 0c o sc o s2 ????
tAx )c o s ( 02 ??? ??
tAtA
xxx
)c o s ()c o s ( 00
21
?????? ????
??
九、简谐振动的叠加
ttAxxx 021 c o sc o s2 ??????
?拍频
?
??
2
2 ??v
?
???
?
???
2
)(
2
)( 00 ????
余弦函数的绝对值在一个周期内有两个最大值,
故
2
)()(
2
12 00 ??????
?
??????
12 vv ??
九、简谐振动的叠加
2x
1x
t
t
x
t
