第 4 章 光的衍射
一, 衍射现象, 惠更斯 -菲涅耳原理
二, 单缝的夫琅禾费衍射
三, 光学仪器的分辨本领
四, 光栅衍射
五, 光栅光谱
六, X射线衍射
一、衍射现象、惠更斯 -菲涅耳原理
1.光的衍射 现象
缝较大时，光是直线传播的 缝很小时，衍射现象明显
阴
影
屏幕 屏幕
?当光波长与障碍物或孔隙的线度相比拟时,
光的传播偏离直线方向, 并形成光强不均匀分
布的现象, 称为 光的衍射 。
?衍射现象与波长有关
只有当障碍物线度和波长可以比拟
时，衍射现象才明显地表现出来。
?光波波长～ 4～ 7× 10－ 5厘米
?无线电波～几百米，微波～几毫米
?声波波长～几十米，超声波～几毫米
(若广播台, 电视台都在山前侧 )
★ 如你家在大山后,听广播和
看电视哪个更容易?
?几种常见的光的衍射图样
?狭缝衍射
?圆孔衍射
菲涅尔圆孔衍射
一、衍射现象、惠更斯 -菲涅耳原理
?各种孔径的夫琅禾费衍射图样
正六
边形
孔
正四
边形
孔
正三
边形
孔
正八
边形
孔
一、衍射现象、惠更斯 -菲涅耳原理
菲涅尔圆屏衍射
?圆 屏 衍射
S P
R rk
?直边衍射
直边衍射
一、衍射现象、惠更斯 -菲涅耳原理
2、惠更斯 — 菲涅耳原理
Huygens-Fresnel’s principle
（ 1） 惠更斯原理,在波的传播过程中，波阵面（波面）（相位
相同的点构成的面）上的每一点都可看作是发射子波（次波）的
波源，在其后的任一时刻，这些子波的包迹就成为新的波阵面。
平面波
t+?t时刻波面
·
·
·
·
·
u?t
波传播方向
t 时刻波面
球面波
··
·
· · · ··
·
·
····
t
t + ?t
（ 2） 惠更斯原理可定性地说明衍射现象,但不能解释光的衍射
图样中光强的分布。
（ 3） 菲涅耳假定,波在传播过程中，从同一波阵面上各点发出
的子波，经传播而在空间某点相遇时，产生相干叠加。
·
·
·
a ·
A.J.菲涅耳
?光源和观察点 （ 或二者之一 ） 到孔隙或障碍
物的距离为有限远的衍射称为 菲涅尔衍射 或 近
场衍射, 二者均为无限远的衍射称为 夫琅禾费
衍射 或 远场衍射 。
PR
S
菲涅尔衍射
处的光屏
射向无限远
R
远的光源
来自无限
夫琅禾费衍射
3.衍射分类
一、衍射现象、惠更斯 -菲涅耳原理
二、单缝的夫琅禾费衍射
1.单缝夫琅禾费衍射实验装置
f
P
?
单缝处波面看作无穷多个相干波源
P点是 (无穷 )多光束干涉的结果
中央亮纹
负一级
正一级
2.单缝夫琅禾费衍射实验光路图
3、菲涅耳半波带法
f
?
?
2
?
?相邻半波带发出的光到达 P点的 光程差 均是
?/2,在 P点会聚时将相互抵消。
P
?P点是明纹还是暗纹取决于 半波带数目
? ?
2
12 ?? ???? ks i naAC
?
?
? kks i naAC ???
?
?
?
?
????
2
2
?若可将缝分为偶数个, 半波带,
a
λ /2
B
A
θ
c暗纹
?若可将缝分为奇数个“半波带”
明纹?,,,k 321?
?,,,k 321?
?若不能将单缝分成整数个“半波带”
P点光强介于最明与最暗之间。
结论：分成偶数半波带为暗纹。
分成奇数半波带为明纹。
?
?
?
?
?
???
??
?
中央明纹
明纹
暗纹
0
21212
21
),,k()k(
),,k(k
s i na ?
?
?
?
?
?正、负号表示衍射条纹对称分布于中央明纹的两侧
?对于任意衍射角，单缝不能分成整数个半波带，
在屏幕上光强介于最明与最暗之间。
?中央明条纹的 角宽
为中央两侧第一暗条
纹之间的区域,
a
??? ?? s in
???a
?/a-(?/a) 2(?/a)-2(?/a) sin?
0.047 0.017
1I / I0
0
相对光强曲线
0.0470.017
λ Δ x
I0
x1
x2衍射屏 透镜 观测屏
Δ x
f
?
0??
??
半角宽
?明纹宽度
令 k=1
?? ks i na ?由
二、单缝的夫琅禾费衍射
?角宽度
a
??? 22 ???
?线宽度
aa
f ?? ?? 2
—— 衍射反比定律
λ Δ x
I0
x1
x2衍射屏 透镜 观测屏
Δ x
f
?
0??
??
x? ?tgf ?? 2 ?f2?
?中央明纹宽
度最宽，约为
其它各级明纹
宽度的两倍
?由 上 至 下,
缝宽由窄 变
宽 。
二、单缝的夫琅禾费衍射
增
大
a
二、单缝的夫琅禾费衍射
∴ 几何光学是波动光学在 ?/a ? 0时的 极限情形
只显出单一的明条纹 ?? 单缝的几何光学像
?当 时,0?
a
?
0
2
12 ?????
a
) k(s i n ???
阴
影
屏幕屏幕
4.干涉和衍射的 联系与 区别
二、单缝的夫琅禾费衍射
?干涉指的是 有限多 的分立光束的相干叠加。
从本质上讲干涉和衍射都是波的相干叠 加。只是
?衍射指的是 无限多 的子波的相干叠加 。
?二者又常常同时出现在同一现象中。
例 1、一束波长为 ?=5000?的平行光垂直照射在一
个单缝上。 如果所用的单缝的宽度 a=0.5mm，缝后
紧挨着的薄透镜焦距 f=1m，求,(a)中央明条纹的角
宽度； (b)中央亮纹的线宽度； (c)第一级与第二级暗
纹的距离；
(a)
aa
??? ??? s in
mmmfx 2102 300 ???? ????
(b)
r a d
m
m
a
3
30 102105.0
5.022 ???
?
???
?
????
(c) 第一级与第二级暗纹的距离即为
第一级明纹的线宽度
mmxx 121 012 ????
解：
例 2、一束波长为 ?=5000?的平行光垂直照射在一个
单缝上。 a=0.5mm,f=1m 。如果在屏幕上离中央亮
纹中心为 x=3.5mm处的 P点为一亮纹，试求 (a)该 P处
亮纹的级数； (b)从 P处看，对该光波而言，狭缝处的
波阵面可分割成几个半波带？
亮纹
2
12 ?? )k(s i na)a( ??
f
xtg ??? ???s in
321 ??? faxk ?
(b)当 k=3时，光程差
27212
??? ???? )k(s i na
狭缝处波阵面可分成 7个半波带。
解：
λ Δ x
I0
x1
x2衍射屏 透镜 观测屏
Δ x
f
?
0??
??
例 3：单缝衍射，缝宽 a=0.5mm,透镜焦距 f=50cm，
以白光垂直入射，观察到屏上 x=1.5mm 明纹中心
求：（ 1）该处光波的波长
（ 2）此时对应的单缝所在处的波阵面分成的波
带数为多少？
f
x
s in ??
又因为
o
x
x
f
2
12 ?? )k(s i na ??
解 （ 1）由单缝衍射明纹条件得
?2,1 ???k
光的衍射习题课
nm333,4
)( nm420,3
)( nm600,2
nm1000,1
4
3
2
1
??
??
??
??
?
?
?
?
k
k
k
k
符合
符合
)(x?
)12(
2
?
?
kf
bx
?
处波长为
)cm50,mm5.1( ?? fx
在可见光范围内，满足上式的光波：
可允许在屏上 x=1.5mm 处的明纹为波长 600nm 的第二
级衍射和波长为 420nm 的第三级衍射
o
x
x
f
光的衍射习题课
712k,3
512k,2
???
???
为时
为时
k
k
（ 2）此时单缝可分成的波带数分别是
讨论,当单缝平行于透镜（屏）上下微小平移时，屏上
的条纹位置是否也随之移动,
答案：位置不变！
λ Δ x
I0
x1
x2衍射屏 透镜 观测屏
Δ x
f
?
0??
??
三、光学仪器的分辨本领
1.夫琅禾费圆孔衍射
?光强, 占 整个入射光束总光强的 84%
爱里斑?中央亮斑称爱里斑
?大小,由第一暗环围成的光斑 爱里斑
第一暗环满足 ?? 221,s i nD ?
D
.s i n ??? 221??
爱里斑的半角宽度（角半径）
三、光学仪器的分辨本领
D
,?? 22122 ??
?
f ?
2 ?yD
L P 1.22(?/D)
sin?
1
I / I0
0
爱里斑
?爱里斑的角宽度
?可见 D?,?? 爱里斑变小
S
D
?可见,爱里斑是点光源通过衍射孔产生。
点光源可看作一个物点，爱里斑是该物点通
过圆孔产生的像。即
?一个物点通过衍射孔所成的像不是一个点，
而是一个 爱里斑。只有,才近似认为
物点 像点。
???R
?光的衍射限制了光学仪器的分辨本领
物 像
S1
S2
D
**
爱里斑
2、光学仪器的分辨 本领
?点光源经过光学仪器的小圆孔后，由于衍射的影响，
所成的象不是一个点而是一个明暗相间的圆形光斑。
?若两物点距离很近，对应的两个爱里斑可能部分
重叠而不易分辨
能
分
辨
不
能
分
辨
?瑞利判据,如果一个点光源的衍射图象的中央最亮处
刚好与另一个点光源的衍射图象第一个最暗处相重合，
认为这两个点光源恰好能为这一光学仪器所分辨。
恰
能
分
辨
三、光学仪器的分辨本领
在恰能分辨时，两个点光源在透镜前所张的角度，
称为最小分辨角 ?0,等于爱里斑的半角宽度。
D/,?? 2210 ?
?最小分辨角 （ 角分辨率）
s1
s2
?0D
**
D为 光学仪器的透光孔径
最小分辨角的倒数 称为光学仪器的分辨率
0
1
?
?? 221
1
0,
DR ??
?光学仪器的分辨率 （ 分辨本领）
?提高 光学仪器 分辨本领的途径：
?增大仪器的孔径。 如望远镜
?采用波长短的波入射。 如光学显微镜采用紫光
入射。电子 ?,0.1 ?～ 1 ?,电子显微镜 R很大，
可观察物质结构
射电望远镜 波多黎各射电望远镜
?如人眼的瞳孔基本为圆孔, 直径 d一般在
2~8mm之间调节, 取 D ~2.5mm,对 λ=550nm的
光, 爱里斑角半径
6105.2
5 5 022.1
?
?? ?
这是人眼的最小分
辨角 。
三、光学仪器的分辨本领
1~1068.2 4 ??? ? r a d
1?
A
B
?y
25cm
?在 明视距离 25cm处, 能分辨两点的最小距离
mm
y
0 6 7 5.0
107.2250~ 4
?
??? ?
即人眼可以分辨每毫米 15 条线 。
三、光学仪器的分辨本领
三、光学仪器的分辨本领
?思考
（ 1）电子显微镜为什么有高分辨率？
（ 2）天文望远镜口径为什么尽可能大？
（ 3）如何提高分辨率？
?哈勃太空望远镜
四、光栅衍射
1,光栅
2,光栅常数
3,光栅衍射的实验装置
4,光栅衍射图样
5,光栅谱线缺级
1,光栅
?光栅 是由大量等宽等间距的平行狭缝 (或反
射面 )构成的光学元件 。
?从 广义 上理解, 任何具有空间周期性的衍射
屏都可叫作光栅 。
2,光栅常数
?光栅上每个狭缝 （ 或反光 部分 ） 的宽度 a 和
相邻两缝间不透光 (或不反光 ) 部分的宽度 b
之和称为 光栅常数 d，
即 d = a + b
反射光栅 透射光栅
2,光栅常数
?设单位长度内的刻痕
条数为 n,则光栅常数
?如 每 厘 米 刻
5000 条栅痕的衍
射光栅常数
n
d 1?
mcmd 6102
5000
1 ????
?普通光栅刻线为数十条 /mm ─ 数千条 /mm
m μ110 ??用电子束刻制可达数万条 /mm(d? )。
3,光栅衍射的实验装置
?光栅衍射的实验装置
?光栅常数为 d，透光缝宽为 a,光栅的总缝数
为 N,一束平行单色光垂直照射在光栅上。
Y
I
光路图：
光
栅
granting
透 lens
镜 屏幕
screen
I
I
I
1 2 4 5-1-2-4-5
Analysis of the intensity,
Only is there diffraction 如果只有衍射,
Only is there interference 如果只有干涉：
There are diffraction and interference干涉衍射均有,
缺
级
缺
级
-1-2 1 2
-2 2
4,光栅衍射图样
?通过光栅每个 单缝的光都有衍射,通过光栅 不
同缝的光要发生干涉 。 所以在屏上出现的应是同
一单缝衍射因子 调制 下的 N 个缝的干涉条纹,
称为 光栅衍射条纹 。
单缝衍射 多缝干涉 合成
?光栅衍射条纹是 单缝衍射 与 多缝干涉 的 总效果 。
4,光栅衍射图样
?多光束干涉 是指多个缝发出的光束的干涉，即
先不考虑单缝衍射对每个光束的影响，来看多束
光的相干叠加。
?P点为 明纹（主极
大） 条件：
各相邻光程差
?? kd ??si n
k = 0,1,2,3? 光栅方程
4,光栅衍射图样
?暗纹 条件 （ 半波带法 ）,
?暗条纹是由各缝射出的衍射光因干涉相消形成的。
?最上一条缝和最下一条
缝发出的光的光程差
?? 'ks i nNd ?
??
N
ks ind '?
??,，，，，,)N()N()N(k ' 11221 ????????? 暗纹 条件
?在相邻两主极大之间有 N-1个极小,N-2 个次极大。
4,光栅衍射图样
?谱线半角宽度
?
??
c o sNd
??
????? c o ss in)s in ( ?????故
Ndd
k
Nd
kN ??? ???? 1
则主极大半角宽度
L
f
S
?
?
??
?? ks i nd ?极大公式
? ? 1????? kNm
N
ms i nd ???极小公式
4,光栅衍射图样
双缝 三缝
四缝 五缝
六缝
?总的说来, 光栅中的缝数 N越大, 主极大的宽
度就越窄, 主极大的峰就越尖锐, 主极大强度
越大, 背景越暗 。
单缝衍射极小
?? ka ??s i n
各
主
极
大
要
受
单
缝
衍
射
的
调
制
?光栅常数 d决定主极大位置,透光缝宽 a影响主
极大强度,总缝数 N影响主极大宽度,
5,光栅谱线缺级
?缺级,多缝干涉极大 与 单缝衍射极小 相重合时,
总的光强为零, 干涉主极大消失
?光栅方程 ?? kd ??si n k = 0,1,2,3?
?单缝衍射暗纹公式
?? 'ks i na ? ?,,,k ' 321?
'k
a
dk ? ?,,,k ' 321?
称缺级公式
k=1
k=2k=0 k=4
k=5k=-1
k=-2k=-4
k=-5 k=3k=-3
k=6
3?
?
?
k
k
a
d若
缺 级
k=-6
缺级,k = 3,6,9,...
缺级
光栅衍射
第三级极
大值位置单缝衍射第一级极
小值位置
I
1 2 4 5-1-2-4-5
缺
级
缺
级
N=3
2 4 5-1-4-5
I
1-2
缺
级
缺
级N=4
I
1 2 4 5-1-2-4-5
缺
级
缺
级
N=5
I
1 2 4 5-1-2-4-5
缺
级
缺
级
N=2
3?
a
d
)3('' ?
a
d
k
a
ba
kk ?
?
?
缺级公式：
1 2 4 5-1-2-4-5
I
缺
级
缺
级-2 2
example,A gratings,b=2a,find lack of the order：
'3
2
'' k
a
aa
k
a
ba
kk ?
?
?
?
?
.,,3.2.1' ????k
故,..9.6.3'3 ????? kk
.,,3.2.1' ????k
?? ks i n)ba( ??
解 （ 1）由光栅方程，有
代入 ?? 2
2 ?? s i n)ba(
?? 33 ?? s i n)ba(
例题,=600nm 单色光垂直入射光栅，已知第二级、
第三级明纹分别位于 处，
且第 4级缺级，求
3.0si n2.0si n 32 ?? ?? 与
（ 1）光栅常数 a+b和缝宽 a
（ 2）在屏上实际显示的全部级数为多少？
?
光的衍射习题课
m106 6???? ba得
又因第 4级缺级，由缺级公式
k
a
ba
k ?
?
?
m1051 4 6????
?
.a
a
ba
（ 2）设 ?? 90?
2112 ??k
?? ks i n)ba( ??
由
10
106
106
7
6
?
?
????
?
?
?
bak
)8,4( ??
其中 缺级，可得到 17条（实际 15条）
五、光栅光谱
故白光入射时, 在屏上 (k≠0)形成彩色条纹,
称为 光栅的光谱 。
???
??
??
?
d
k
kd
s i n
s i n
1?k 2?k
3?k
光栅光谱
?光栅是一个很好的分光元件 即色散元件
?波长很接近的两条谱线是否一定能在光栅光谱
中分辨出来？
答：不一定。因为这与谱线的宽度有关。
L
f
S
?
?
??
?
??
c o sNd
??
主极大半角宽度
L
f
S
?
?
????
??
?? kd ?s i n 两边微分
????? ??? kc o sd
??
?
??
c osd
k?
两条谱线
角间隔
五、光栅光谱
?光栅色分辨本领
根据 瑞利判据, 一个波长的主极大 半角宽 ??
度与两波长主极大的 角间隔 ?? 恰好相等时,
两波长刚好能分辨 。
??
? ??? ?
刚好能
分辨
? ??? ?
可分辨
??
五、光栅光谱
kN
??? ?
?
??
c o sNd
??
主极大半角宽度
??
?
??
c osd
k?
两波长主极大的角距离
，则定义光栅的分辨本领
??
??RkNR ?
?
???
? c osNdc osd
k ?
例 宽 5厘米的光栅 每毫米 1200条
求：色分辨本领 R
解：
4106501200 ????N 4106 ???? kkNR
41061 ??? Rkif
4106 ??
??
?
6 0 0 0??if ?
可分辨出附近
110
60000
6000 ?????
?
如果用三棱镜实现这样的色分辨
根据计算 棱镜底边需为 500毫米
根本无法实现
三棱镜分光
光栅 光谱
六,X 射线衍射
?1895年 11月 8日晚上,
德国维尔茨堡大学的校长
伦琴发现 X 射线, 故 又名
伦琴射线 。
? X射线的发现是 19世纪
末 20世纪初物理学的三大
发现之一, 这一发现标志
着现代物理学的产生 。
1.X射线的发现和产生
六,X 射线衍射
1.X射线的发现和产生
- K A
X射线
X射线管
+
? K 是发射电
子的 热阴极,
A是由钼, 钨
或铜等金属制
成的阳极, 又称 对阴极 。 两极之间加有数万伏
特的高电压, 使电子流加速, 向阳极 A撞击而
产生 X 射线 。
六,X 射线衍射
。
六,X 射线衍射
?X 射线有如下特点：在电磁场中不发生偏转,
使某些物质发荧光, 使气体电离, 底片感光,
具有极强的穿透力, 能透过一般光线透不过的
物体 。
?X 射线的本质是波长较短的电磁波, 范围在
0.001nm～ 10nm之间 。 是由原子中的电子在内
壳层间的跃迁发出的辐射 。
2.X射线的特点和本质
。
六,X 射线衍射
?1912年德国物理学家劳厄发现了 X射线通过晶
体时产生衍射现象, 证明了 X射线的波动性和晶
体内部结构的周期性 。
3.劳厄 （ Laue） 实验 （ 1912）
六,X 射线衍射
?X射线通过红宝石晶体 (a)和硅单晶体 (b)所拍
摄的劳厄斑照片
六,X 射线衍射
4.X射线在晶体上的衍射
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
d
d?
d????
dsin?
1
2晶面
A C B
?, 掠射角
d, 晶面间距
(晶格常数）
?? s i n2 dCBAC ???
),2,1(s i n2 ??? kkd ??
— 布喇格公式
六,X 射线衍射
5.X射线的应用
?X射线在科学研究和工程技术上有着广泛的应
用。在医学和分
子生物学领域也
不断有新的突破。
右图是手指的 X
射线照片。
?已知 ?,?可测 d — X射线晶体结构分析。
?已知 ?,d可测 ?— X射线光谱分析。
六,X 射线衍射
?1953年英国的威尔金斯、沃森和克里克利用
X 射线的结构分析得到了遗传基因脱氧核糖核
酸（ DNA) 的双螺旋结构，荣获了 1962 年度
诺贝尔生物和医学奖。
DNA 晶体 X 射线衍射照片
一, 衍射现象, 惠更斯 -菲涅耳原理
二, 单缝的夫琅禾费衍射
三, 光学仪器的分辨本领
四, 光栅衍射
五, 光栅光谱
六, X射线衍射
一、衍射现象、惠更斯 -菲涅耳原理
1.光的衍射 现象
缝较大时，光是直线传播的 缝很小时，衍射现象明显
阴
影
屏幕 屏幕
?当光波长与障碍物或孔隙的线度相比拟时,
光的传播偏离直线方向, 并形成光强不均匀分
布的现象, 称为 光的衍射 。
?衍射现象与波长有关
只有当障碍物线度和波长可以比拟
时，衍射现象才明显地表现出来。
?光波波长～ 4～ 7× 10－ 5厘米
?无线电波～几百米，微波～几毫米
?声波波长～几十米，超声波～几毫米
(若广播台, 电视台都在山前侧 )
★ 如你家在大山后,听广播和
看电视哪个更容易?
?几种常见的光的衍射图样
?狭缝衍射
?圆孔衍射
菲涅尔圆孔衍射
一、衍射现象、惠更斯 -菲涅耳原理
?各种孔径的夫琅禾费衍射图样
正六
边形
孔
正四
边形
孔
正三
边形
孔
正八
边形
孔
一、衍射现象、惠更斯 -菲涅耳原理
菲涅尔圆屏衍射
?圆 屏 衍射
S P
R rk
?直边衍射
直边衍射
一、衍射现象、惠更斯 -菲涅耳原理
2、惠更斯 — 菲涅耳原理
Huygens-Fresnel’s principle
（ 1） 惠更斯原理,在波的传播过程中，波阵面（波面）（相位
相同的点构成的面）上的每一点都可看作是发射子波（次波）的
波源，在其后的任一时刻，这些子波的包迹就成为新的波阵面。
平面波
t+?t时刻波面
·
·
·
·
·
u?t
波传播方向
t 时刻波面
球面波
··
·
· · · ··
·
·
····
t
t + ?t
（ 2） 惠更斯原理可定性地说明衍射现象,但不能解释光的衍射
图样中光强的分布。
（ 3） 菲涅耳假定,波在传播过程中，从同一波阵面上各点发出
的子波，经传播而在空间某点相遇时，产生相干叠加。
·
·
·
a ·
A.J.菲涅耳
?光源和观察点 （ 或二者之一 ） 到孔隙或障碍
物的距离为有限远的衍射称为 菲涅尔衍射 或 近
场衍射, 二者均为无限远的衍射称为 夫琅禾费
衍射 或 远场衍射 。
PR
S
菲涅尔衍射
处的光屏
射向无限远
R
远的光源
来自无限
夫琅禾费衍射
3.衍射分类
一、衍射现象、惠更斯 -菲涅耳原理
二、单缝的夫琅禾费衍射
1.单缝夫琅禾费衍射实验装置
f
P
?
单缝处波面看作无穷多个相干波源
P点是 (无穷 )多光束干涉的结果
中央亮纹
负一级
正一级
2.单缝夫琅禾费衍射实验光路图
3、菲涅耳半波带法
f
?
?
2
?
?相邻半波带发出的光到达 P点的 光程差 均是
?/2,在 P点会聚时将相互抵消。
P
?P点是明纹还是暗纹取决于 半波带数目
? ?
2
12 ?? ???? ks i naAC
?
?
? kks i naAC ???
?
?
?
?
????
2
2
?若可将缝分为偶数个, 半波带,
a
λ /2
B
A
θ
c暗纹
?若可将缝分为奇数个“半波带”
明纹?,,,k 321?
?,,,k 321?
?若不能将单缝分成整数个“半波带”
P点光强介于最明与最暗之间。
结论：分成偶数半波带为暗纹。
分成奇数半波带为明纹。
?
?
?
?
?
???
??
?
中央明纹
明纹
暗纹
0
21212
21
),,k()k(
),,k(k
s i na ?
?
?
?
?
?正、负号表示衍射条纹对称分布于中央明纹的两侧
?对于任意衍射角，单缝不能分成整数个半波带，
在屏幕上光强介于最明与最暗之间。
?中央明条纹的 角宽
为中央两侧第一暗条
纹之间的区域,
a
??? ?? s in
???a
?/a-(?/a) 2(?/a)-2(?/a) sin?
0.047 0.017
1I / I0
0
相对光强曲线
0.0470.017
λ Δ x
I0
x1
x2衍射屏 透镜 观测屏
Δ x
f
?
0??
??
半角宽
?明纹宽度
令 k=1
?? ks i na ?由
二、单缝的夫琅禾费衍射
?角宽度
a
??? 22 ???
?线宽度
aa
f ?? ?? 2
—— 衍射反比定律
λ Δ x
I0
x1
x2衍射屏 透镜 观测屏
Δ x
f
?
0??
??
x? ?tgf ?? 2 ?f2?
?中央明纹宽
度最宽，约为
其它各级明纹
宽度的两倍
?由 上 至 下,
缝宽由窄 变
宽 。
二、单缝的夫琅禾费衍射
增
大
a
二、单缝的夫琅禾费衍射
∴ 几何光学是波动光学在 ?/a ? 0时的 极限情形
只显出单一的明条纹 ?? 单缝的几何光学像
?当 时,0?
a
?
0
2
12 ?????
a
) k(s i n ???
阴
影
屏幕屏幕
4.干涉和衍射的 联系与 区别
二、单缝的夫琅禾费衍射
?干涉指的是 有限多 的分立光束的相干叠加。
从本质上讲干涉和衍射都是波的相干叠 加。只是
?衍射指的是 无限多 的子波的相干叠加 。
?二者又常常同时出现在同一现象中。
例 1、一束波长为 ?=5000?的平行光垂直照射在一
个单缝上。 如果所用的单缝的宽度 a=0.5mm，缝后
紧挨着的薄透镜焦距 f=1m，求,(a)中央明条纹的角
宽度； (b)中央亮纹的线宽度； (c)第一级与第二级暗
纹的距离；
(a)
aa
??? ??? s in
mmmfx 2102 300 ???? ????
(b)
r a d
m
m
a
3
30 102105.0
5.022 ???
?
???
?
????
(c) 第一级与第二级暗纹的距离即为
第一级明纹的线宽度
mmxx 121 012 ????
解：
例 2、一束波长为 ?=5000?的平行光垂直照射在一个
单缝上。 a=0.5mm,f=1m 。如果在屏幕上离中央亮
纹中心为 x=3.5mm处的 P点为一亮纹，试求 (a)该 P处
亮纹的级数； (b)从 P处看，对该光波而言，狭缝处的
波阵面可分割成几个半波带？
亮纹
2
12 ?? )k(s i na)a( ??
f
xtg ??? ???s in
321 ??? faxk ?
(b)当 k=3时，光程差
27212
??? ???? )k(s i na
狭缝处波阵面可分成 7个半波带。
解：
λ Δ x
I0
x1
x2衍射屏 透镜 观测屏
Δ x
f
?
0??
??
例 3：单缝衍射，缝宽 a=0.5mm,透镜焦距 f=50cm，
以白光垂直入射，观察到屏上 x=1.5mm 明纹中心
求：（ 1）该处光波的波长
（ 2）此时对应的单缝所在处的波阵面分成的波
带数为多少？
f
x
s in ??
又因为
o
x
x
f
2
12 ?? )k(s i na ??
解 （ 1）由单缝衍射明纹条件得
?2,1 ???k
光的衍射习题课
nm333,4
)( nm420,3
)( nm600,2
nm1000,1
4
3
2
1
??
??
??
??
?
?
?
?
k
k
k
k
符合
符合
)(x?
)12(
2
?
?
kf
bx
?
处波长为
)cm50,mm5.1( ?? fx
在可见光范围内，满足上式的光波：
可允许在屏上 x=1.5mm 处的明纹为波长 600nm 的第二
级衍射和波长为 420nm 的第三级衍射
o
x
x
f
光的衍射习题课
712k,3
512k,2
???
???
为时
为时
k
k
（ 2）此时单缝可分成的波带数分别是
讨论,当单缝平行于透镜（屏）上下微小平移时，屏上
的条纹位置是否也随之移动,
答案：位置不变！
λ Δ x
I0
x1
x2衍射屏 透镜 观测屏
Δ x
f
?
0??
??
三、光学仪器的分辨本领
1.夫琅禾费圆孔衍射
?光强, 占 整个入射光束总光强的 84%
爱里斑?中央亮斑称爱里斑
?大小,由第一暗环围成的光斑 爱里斑
第一暗环满足 ?? 221,s i nD ?
D
.s i n ??? 221??
爱里斑的半角宽度（角半径）
三、光学仪器的分辨本领
D
,?? 22122 ??
?
f ?
2 ?yD
L P 1.22(?/D)
sin?
1
I / I0
0
爱里斑
?爱里斑的角宽度
?可见 D?,?? 爱里斑变小
S
D
?可见,爱里斑是点光源通过衍射孔产生。
点光源可看作一个物点，爱里斑是该物点通
过圆孔产生的像。即
?一个物点通过衍射孔所成的像不是一个点，
而是一个 爱里斑。只有,才近似认为
物点 像点。
???R
?光的衍射限制了光学仪器的分辨本领
物 像
S1
S2
D
**
爱里斑
2、光学仪器的分辨 本领
?点光源经过光学仪器的小圆孔后，由于衍射的影响，
所成的象不是一个点而是一个明暗相间的圆形光斑。
?若两物点距离很近，对应的两个爱里斑可能部分
重叠而不易分辨
能
分
辨
不
能
分
辨
?瑞利判据,如果一个点光源的衍射图象的中央最亮处
刚好与另一个点光源的衍射图象第一个最暗处相重合，
认为这两个点光源恰好能为这一光学仪器所分辨。
恰
能
分
辨
三、光学仪器的分辨本领
在恰能分辨时，两个点光源在透镜前所张的角度，
称为最小分辨角 ?0,等于爱里斑的半角宽度。
D/,?? 2210 ?
?最小分辨角 （ 角分辨率）
s1
s2
?0D
**
D为 光学仪器的透光孔径
最小分辨角的倒数 称为光学仪器的分辨率
0
1
?
?? 221
1
0,
DR ??
?光学仪器的分辨率 （ 分辨本领）
?提高 光学仪器 分辨本领的途径：
?增大仪器的孔径。 如望远镜
?采用波长短的波入射。 如光学显微镜采用紫光
入射。电子 ?,0.1 ?～ 1 ?,电子显微镜 R很大，
可观察物质结构
射电望远镜 波多黎各射电望远镜
?如人眼的瞳孔基本为圆孔, 直径 d一般在
2~8mm之间调节, 取 D ~2.5mm,对 λ=550nm的
光, 爱里斑角半径
6105.2
5 5 022.1
?
?? ?
这是人眼的最小分
辨角 。
三、光学仪器的分辨本领
1~1068.2 4 ??? ? r a d
1?
A
B
?y
25cm
?在 明视距离 25cm处, 能分辨两点的最小距离
mm
y
0 6 7 5.0
107.2250~ 4
?
??? ?
即人眼可以分辨每毫米 15 条线 。
三、光学仪器的分辨本领
三、光学仪器的分辨本领
?思考
（ 1）电子显微镜为什么有高分辨率？
（ 2）天文望远镜口径为什么尽可能大？
（ 3）如何提高分辨率？
?哈勃太空望远镜
四、光栅衍射
1,光栅
2,光栅常数
3,光栅衍射的实验装置
4,光栅衍射图样
5,光栅谱线缺级
1,光栅
?光栅 是由大量等宽等间距的平行狭缝 (或反
射面 )构成的光学元件 。
?从 广义 上理解, 任何具有空间周期性的衍射
屏都可叫作光栅 。
2,光栅常数
?光栅上每个狭缝 （ 或反光 部分 ） 的宽度 a 和
相邻两缝间不透光 (或不反光 ) 部分的宽度 b
之和称为 光栅常数 d，
即 d = a + b
反射光栅 透射光栅
2,光栅常数
?设单位长度内的刻痕
条数为 n,则光栅常数
?如 每 厘 米 刻
5000 条栅痕的衍
射光栅常数
n
d 1?
mcmd 6102
5000
1 ????
?普通光栅刻线为数十条 /mm ─ 数千条 /mm
m μ110 ??用电子束刻制可达数万条 /mm(d? )。
3,光栅衍射的实验装置
?光栅衍射的实验装置
?光栅常数为 d，透光缝宽为 a,光栅的总缝数
为 N,一束平行单色光垂直照射在光栅上。
Y
I
光路图：
光
栅
granting
透 lens
镜 屏幕
screen
I
I
I
1 2 4 5-1-2-4-5
Analysis of the intensity,
Only is there diffraction 如果只有衍射,
Only is there interference 如果只有干涉：
There are diffraction and interference干涉衍射均有,
缺
级
缺
级
-1-2 1 2
-2 2
4,光栅衍射图样
?通过光栅每个 单缝的光都有衍射,通过光栅 不
同缝的光要发生干涉 。 所以在屏上出现的应是同
一单缝衍射因子 调制 下的 N 个缝的干涉条纹,
称为 光栅衍射条纹 。
单缝衍射 多缝干涉 合成
?光栅衍射条纹是 单缝衍射 与 多缝干涉 的 总效果 。
4,光栅衍射图样
?多光束干涉 是指多个缝发出的光束的干涉，即
先不考虑单缝衍射对每个光束的影响，来看多束
光的相干叠加。
?P点为 明纹（主极
大） 条件：
各相邻光程差
?? kd ??si n
k = 0,1,2,3? 光栅方程
4,光栅衍射图样
?暗纹 条件 （ 半波带法 ）,
?暗条纹是由各缝射出的衍射光因干涉相消形成的。
?最上一条缝和最下一条
缝发出的光的光程差
?? 'ks i nNd ?
??
N
ks ind '?
??,，，，，,)N()N()N(k ' 11221 ????????? 暗纹 条件
?在相邻两主极大之间有 N-1个极小,N-2 个次极大。
4,光栅衍射图样
?谱线半角宽度
?
??
c o sNd
??
????? c o ss in)s in ( ?????故
Ndd
k
Nd
kN ??? ???? 1
则主极大半角宽度
L
f
S
?
?
??
?? ks i nd ?极大公式
? ? 1????? kNm
N
ms i nd ???极小公式
4,光栅衍射图样
双缝 三缝
四缝 五缝
六缝
?总的说来, 光栅中的缝数 N越大, 主极大的宽
度就越窄, 主极大的峰就越尖锐, 主极大强度
越大, 背景越暗 。
单缝衍射极小
?? ka ??s i n
各
主
极
大
要
受
单
缝
衍
射
的
调
制
?光栅常数 d决定主极大位置,透光缝宽 a影响主
极大强度,总缝数 N影响主极大宽度,
5,光栅谱线缺级
?缺级,多缝干涉极大 与 单缝衍射极小 相重合时,
总的光强为零, 干涉主极大消失
?光栅方程 ?? kd ??si n k = 0,1,2,3?
?单缝衍射暗纹公式
?? 'ks i na ? ?,,,k ' 321?
'k
a
dk ? ?,,,k ' 321?
称缺级公式
k=1
k=2k=0 k=4
k=5k=-1
k=-2k=-4
k=-5 k=3k=-3
k=6
3?
?
?
k
k
a
d若
缺 级
k=-6
缺级,k = 3,6,9,...
缺级
光栅衍射
第三级极
大值位置单缝衍射第一级极
小值位置
I
1 2 4 5-1-2-4-5
缺
级
缺
级
N=3
2 4 5-1-4-5
I
1-2
缺
级
缺
级N=4
I
1 2 4 5-1-2-4-5
缺
级
缺
级
N=5
I
1 2 4 5-1-2-4-5
缺
级
缺
级
N=2
3?
a
d
)3('' ?
a
d
k
a
ba
kk ?
?
?
缺级公式：
1 2 4 5-1-2-4-5
I
缺
级
缺
级-2 2
example,A gratings,b=2a,find lack of the order：
'3
2
'' k
a
aa
k
a
ba
kk ?
?
?
?
?
.,,3.2.1' ????k
故,..9.6.3'3 ????? kk
.,,3.2.1' ????k
?? ks i n)ba( ??
解 （ 1）由光栅方程，有
代入 ?? 2
2 ?? s i n)ba(
?? 33 ?? s i n)ba(
例题,=600nm 单色光垂直入射光栅，已知第二级、
第三级明纹分别位于 处，
且第 4级缺级，求
3.0si n2.0si n 32 ?? ?? 与
（ 1）光栅常数 a+b和缝宽 a
（ 2）在屏上实际显示的全部级数为多少？
?
光的衍射习题课
m106 6???? ba得
又因第 4级缺级，由缺级公式
k
a
ba
k ?
?
?
m1051 4 6????
?
.a
a
ba
（ 2）设 ?? 90?
2112 ??k
?? ks i n)ba( ??
由
10
106
106
7
6
?
?
????
?
?
?
bak
)8,4( ??
其中 缺级，可得到 17条（实际 15条）
五、光栅光谱
故白光入射时, 在屏上 (k≠0)形成彩色条纹,
称为 光栅的光谱 。
???
??
??
?
d
k
kd
s i n
s i n
1?k 2?k
3?k
光栅光谱
?光栅是一个很好的分光元件 即色散元件
?波长很接近的两条谱线是否一定能在光栅光谱
中分辨出来？
答：不一定。因为这与谱线的宽度有关。
L
f
S
?
?
??
?
??
c o sNd
??
主极大半角宽度
L
f
S
?
?
????
??
?? kd ?s i n 两边微分
????? ??? kc o sd
??
?
??
c osd
k?
两条谱线
角间隔
五、光栅光谱
?光栅色分辨本领
根据 瑞利判据, 一个波长的主极大 半角宽 ??
度与两波长主极大的 角间隔 ?? 恰好相等时,
两波长刚好能分辨 。
??
? ??? ?
刚好能
分辨
? ??? ?
可分辨
??
五、光栅光谱
kN
??? ?
?
??
c o sNd
??
主极大半角宽度
??
?
??
c osd
k?
两波长主极大的角距离
，则定义光栅的分辨本领
??
??RkNR ?
?
???
? c osNdc osd
k ?
例 宽 5厘米的光栅 每毫米 1200条
求：色分辨本领 R
解：
4106501200 ????N 4106 ???? kkNR
41061 ??? Rkif
4106 ??
??
?
6 0 0 0??if ?
可分辨出附近
110
60000
6000 ?????
?
如果用三棱镜实现这样的色分辨
根据计算 棱镜底边需为 500毫米
根本无法实现
三棱镜分光
光栅 光谱
六,X 射线衍射
?1895年 11月 8日晚上,
德国维尔茨堡大学的校长
伦琴发现 X 射线, 故 又名
伦琴射线 。
? X射线的发现是 19世纪
末 20世纪初物理学的三大
发现之一, 这一发现标志
着现代物理学的产生 。
1.X射线的发现和产生
六,X 射线衍射
1.X射线的发现和产生
- K A
X射线
X射线管
+
? K 是发射电
子的 热阴极,
A是由钼, 钨
或铜等金属制
成的阳极, 又称 对阴极 。 两极之间加有数万伏
特的高电压, 使电子流加速, 向阳极 A撞击而
产生 X 射线 。
六,X 射线衍射
。
六,X 射线衍射
?X 射线有如下特点：在电磁场中不发生偏转,
使某些物质发荧光, 使气体电离, 底片感光,
具有极强的穿透力, 能透过一般光线透不过的
物体 。
?X 射线的本质是波长较短的电磁波, 范围在
0.001nm～ 10nm之间 。 是由原子中的电子在内
壳层间的跃迁发出的辐射 。
2.X射线的特点和本质
。
六,X 射线衍射
?1912年德国物理学家劳厄发现了 X射线通过晶
体时产生衍射现象, 证明了 X射线的波动性和晶
体内部结构的周期性 。
3.劳厄 （ Laue） 实验 （ 1912）
六,X 射线衍射
?X射线通过红宝石晶体 (a)和硅单晶体 (b)所拍
摄的劳厄斑照片
六,X 射线衍射
4.X射线在晶体上的衍射
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
d
d?
d????
dsin?
1
2晶面
A C B
?, 掠射角
d, 晶面间距
(晶格常数）
?? s i n2 dCBAC ???
),2,1(s i n2 ??? kkd ??
— 布喇格公式
六,X 射线衍射
5.X射线的应用
?X射线在科学研究和工程技术上有着广泛的应
用。在医学和分
子生物学领域也
不断有新的突破。
右图是手指的 X
射线照片。
?已知 ?,?可测 d — X射线晶体结构分析。
?已知 ?,d可测 ?— X射线光谱分析。
六,X 射线衍射
?1953年英国的威尔金斯、沃森和克里克利用
X 射线的结构分析得到了遗传基因脱氧核糖核
酸（ DNA) 的双螺旋结构，荣获了 1962 年度
诺贝尔生物和医学奖。
DNA 晶体 X 射线衍射照片
