第二章 地基中的应力计算
土像其他任何材料一样。受力后也要产生应力和变形。在地基上建造建筑物将使地基中原有的应力状态发生变化，引起地基变形。如果应力变化引起的变形量在允许范围以内，则不致对建筑物的使用和安全造成危害；当外荷载在土中引起的应力过大时，则不仅会使建筑物发生不能容许的过大沉降，甚至可能使土体发生整体破坏而失去稳定。因此，研究土中应力计算和分布规律是研究地基变形和稳定问题的依据。
土体中的应力按其产生的原因主要有两种：由土体本身重量引起的自重应力和由外荷载引起的附加应力。
第一节 土体自重应力的计算
自重应力:未修建建筑物前,由土体本身自重引起的应力称土体自重应力.
说明：从结构分析：土为单粒、蜂窝、絮状结构，土为三相体；从构造分析：层状、节理、裂隙、软硬不均、断裂、层理等具有一定的构造，因此土是非均匀、非连续、各向异性体，很难用解析法或公式法进行计算，大型工程一般用计算机或实验分析。但为计算方便，常将其假定为弹性体、均匀、连续各项同性半无限体。这和实际情况会有的区别，但研究表明，当地基上均匀施加荷载，且在正常允许范围内时，其应力—应变如图示，且研究的是基础作用下的宏观应变而不是土粒之间微观应变，假设应力—应变为直线能够满足设计要求。当然对高层作用或构造非常明显的地基应根据情况分析。
半无限体如图：
自重应力是指土体本身的有效重量产生的应力，在建筑物建造之前就存在于土中，使土体压密并且有一定的强度和刚度。研究地基自重应力的目的是为了确定土体的初始应力状态。
一、竖向自重应力
假定地表面是无限延伸的水平面，在深度Z处水平面上各点的自重应力相等且均匀地无限分布，任何竖直面和水平面上均无剪应力存在，故地基中任意深度Z处的竖向自重应力就等于单位面积上的土柱重量。
如图2-1（a）所示。若Z深度内的土层为均质土，天然重度γ不发生变化，则土柱的自身重力为W=γZA，而W必与Z深度处的竖向自重应力σCZ的合力σCZ A相平衡，故有：
σCZ =γZ （2-1）
当地基由多个不同重度的土层(成层土)组成时，则任意深度处的竖向自重应力可按竖向各分段土柱自重相加的方法求出，即：
（2-2）
对均质土，自重应力沿深度成直线分布，如图2-1(b)所示；对成层土，自重应力在土层界面处发生转折，沿深度成折线分布，如图2-2所示。
若计算应力点在地下水位以下，由于地下水位以下土体受到水的浮力作用，使土体的有效重量减少，故在计算土体的竖向自重应力时，对地下水位以下的土层应按土的有效重度计算。
在地下水位以下，如埋藏有不透水层(例如岩层或只含强结合水的竖硬黏土层)时，由于不透水层中不存在水的浮力，所以不透水层层面及层面以下的自重应力等于上覆土和水的总重。
自重应力随深度和层状变化情况用应力分布线表示：纵坐标表示计算点深度，横坐标表示自重应力值，计算出各土层分界处的自重应力，然后在所计算竖直线的左侧用水平线段按一定的比例表示各点的自重应力值，再用直线加以连结所得折线称为土的自重应力曲线。
必须指出，这里所讨论的土中自重应力是指土颗粒之间接触点传递的应力，故称有效自重应力。
图2-1 均质土竖向 图2-2 成层土竖向
自重应力分布 自重应力分布
二、水平自重应力
地基中除了存在作用于水平面上的竖向自重应力外，还存在作用于竖直面上的水平自重应力σcx和σcy。把地基近似按弹性体分析，并将侧限条件代入，可推导得：
σcx = σcy =K0σcz （2-3）
式中K0称为土的静止侧压力系数，它是侧限条件下土中水平向应力与竖向应力之比，依土的种类、密度不向而异，可由试验确定。例如：软泥土就接近1，硬土岩就小。
三、地下水位变化对自重应力的影响
由于土的自重应力取决于土的有效重量，有效重量在地下水位以上用天然重度，在地下水位以下用浮重度。因此地下水位的升降变化会引起自重应力的变化。如图2-3(a)所示，由于大量抽取地下水等原因，造成地下水位大幅度下降，使地基中原水位以下土体的有效自重应力增加，会造成地表下沉的严重后果。如图2-3(b)所示，地下水位上升的情况一般发生在人工抬高蓄水水位的地区(如筑坝蓄水)或工业用水等大量渗入地下的地区。如果该地区土层具有遇水后土的性质发生变化(如湿陷性或膨胀性等)的特性，则地下水位的上升会导致一些工程问题，应引起足够的重视。
(a) (b)
图2-3 地下水位升降对自重应力的影响
(a)地下水位下降 (b)地下水位上升
第二节 基底压力的计算
建筑物荷裁通过基础传给地基，基础底面传递到地基表面的压力称为基底压力，而地基支撑基础的反力称为地基反力。基底压力与地基反力是大小相等、方向相反的作用力与反作用力。基底压力是分析地基中应力、变形及稳定性的外荷载，地基反力则是计算基础结构内力的外荷载。因此，研究基底压力的分布规律和计算方法具有重要的工程意义。
意义: 基底压力的计算的目的为计算地基中的附加应力和基础结构.因为建筑物的荷载是通过基础传给地基的,为计算上部荷载在地基土层中引起的附加应力,必须首先研究基础底面处与基础底面接触面上压力大小分布.
一、基底压力的分布规律
精确地确定基底压力的分布形式是—个相当复杂的问题，它涉及地基与基础的相对刚度、荷载大小及其分布情况、基础埋深和地基土的性质等多种因素。
绝对柔性基础(如土坝、路基、钢板做成的储油罐底板等)的抗弯刚度，在垂直荷载作用下没有抵抗弯曲变形的能力，基础随着地基一起变形，中部沉降大，两边沉降小，基底压力的分布与作用在基础上的荷载分布完全一致(图2-5a)。如果要使柔性基础的各点沉降相同，则作用在基础上的荷载应是两边大而中部小(图2-5b)。
(a) (b)
图2-5 柔性基础的基底压力分布
绝对刚性基础的抗弯刚度，在均布荷载作用下，基础只能保持平面下沉而不能弯曲，但对地基而言，均匀分布的基底压力将产生不均匀沉降，其结果是基础变形与地基变形不相适应(图2-6a)。为使地基与基础的变形协调一致，基底压力的分布必是两边大而中部小。如果地基是完全弹性体，由弹性理论解得基底压力分布如图2-6(b)所示，边缘处压力将为无穷大。
(a) (b)
图2-6 刚性基础的基地压力分布
有限刚度基础是工程中最常见的情况，具有较大的抗弯刚度，但不是绝对刚性，可以稍微弯曲。由于绝对刚性和绝对柔性基础只是假定的理想情况，地基也不是完全弹性体，当基底两端的压力足够大，超过土的极限强度后，土体就会形成塑性区，所承受的压力不再增大，自行调整向中间转移。实测资料表明，当荷载较小时，基底压力分布接近弹性理论解(如，粘性土，400Kpa图2-7a)；随着上部荷载的逐渐增大，基底压力转变为马鞍形分布(粘性土，500Kpa图2-7b)，抛物线形分布(沙土，500Kpa图2-7c)；当荷载接近地基的破坏荷载时，压力图形为钟形分布(沙土，600Kpa图2-7d)。
图2-7 荷载对基底压力的影响 图2-8 轴心受压基础基底压力
二、基底压力的简化计算
从以上分析可见，基底压力分布形式是十分复杂的，但由于基底压力都是作用在地表面附近，其分布形式对地基应力的影响将随深度的增加而减少，而决定于荷载合力的大小和位置。因此，目前在工程实践中，对一般基础均采用简化方法，即：当基础宽度大于1M，荷载不大于300~500kPa，目前地基设计中允许使用简化方法，虽然有误差，但一般工程允许。基底压力按直线分布的材料力学公式计算。
(一)轴心荷载作用下的基底压力
如图2-8所示，作用在基础上的荷载，其合力通过基础底面形心时为轴心受压基础，基底压力均匀分布，数值按下式计算：
(2-4)
图2-9 偏心受压基础基底压力
（二）偏心荷载作用下的基底压力
如图2-9所示，常见的偏心荷载作用于矩形基础的一个主轴上，即单向偏心。设计时通常将基底长边L方向取为与偏心方向一致，则基底边缘压力为：
(2-6)
式中 M—作用于基础底面的力矩值(KN·m)；
W—基础底面的抵抗矩，对矩形基础，将偏心矩、、代入式（2-6），得：
（2-7）
式中:—基底最大、最小边缘压力（）
由上式可见：
当时，基底压力呈梯形分布（图2-9a）；
当时，基底压力呈三角形分布（图2-9b）；
当时，上式计算结果，表示基底出现拉应力，如图2-9(c)中虚线所示。由于基底与地基之间不能承受拉力，故基底与地基之间将局部分开，导致基底压力重新分布。根据偏心荷载应与基底反力平衡的条件，合力F+G应通过三角形基底压力分布图的形心。由此可得基底边缘最大压力为：
（2-8）
式中 a一单向偏心荷载作用点至基底最大压力边缘的距离(m)，；
b—基础底面宽度(m)。
为了避免因地基应力不均匀,引起过大不均匀沉降,通常要求Pmax/Pmin≦1.5~3,压缩性高粘性土取小值, 压缩性小无粘性土取大值.
对于偏心荷载沿长度方向均匀分布的条形基础，则偏心方向与基底短边b方向一致，此时取长度方向L=1m为计算单位，基底边缘压力为：
(2-9)
三、基底附加压力
由于修造建筑物，在地基中增加的压力称为附加压力。
1.基础位于地面上, 基底附加压力即为基底接触压力.既:P0=P
2基础位于地面下:
在基础建造前，基底处已存在土的自重应力，这部分自重应力引起的地基变形可以认为已经完成。由于基坑开挖使该自重应力卸荷，故引起地基附加应力和变形的压力应为基底压力扣除原先已存在的土的自重应力(图2-10)。即基底附加压力为：
轴心荷载时： （2-10）
偏心荷载时： （2-11）
式中 —基底附加压力(kPa)；
—基底压力(kPa)；
—基底处土的自重应力(kPa)。
图2-10 基底附加压力 图2-11 例题2-2附图
上式为何要将基底压力P减去γd ?，因为未修建筑前，在土中早已存在土的自重应力γd，修建筑物时，将这部分土挖除后，再造建筑，因此土中某点实际增加的压力为P-γd，即：超过原有自重压力γd的压力为附加压力。
第三节 竖向荷载作用下地基附加应力计算
地基附加应力是指由新增加建筑物荷载在地基中产生的应力。对一般天然土层来说，土的自重应力引起的压缩变形在地质历史上早已完成，不会再引起地基沉降，因此引起地基变形与破坏的主要原因是附加应力。目前采用的计算方法是根据弹性理论推导的（实践证明，地基上作用荷载不大，土中塑性变形小，荷载与变形间近似呈线形关系，弹性理论具有一定准确性）。
一、竖向集中荷载作用下附加应力计算
地表面上作用一个集中荷载，实践中虽然不存在，但集中荷载在地基中引起的应力解答却是求解地基内附加应力及其分布的基础。
图2-12 集中力作用土中M点的应力
1885年法国学者布辛内斯克(J·Boussinesp)用弹性理论推出了在半无限空间弹性体表面上作用有竖向集中力P时，在弹性体内任意点M所引起的应力解析解。如图2-12所示，以P作用点为原点，以P作用线为z轴，建立坐标系，则M点坐标为(x，y，z)， W点为M点在弹性体表面上的投影。布辛内斯克得出点M的六个应力分量和三个位移分量（σx、σy、σz、τxy、τyz、τxz；Ux、Uy、Uz），其中对地基沉降计算有关的是竖向正应力σz，下面将主要介绍其计算及分布规律。
地基中任一点M的竖向正应力表达式为：
（2-12）
利用图2-12中的几何关系，式(2-12)可改写为：
（2-13）
式中 K—集中力作用下坚向附加应力系数，为r/z函数，可由表2-1查得。
集中力作用下的竖向附加应力系数 表2-1
集中荷载产生的竖向附加应力σz在地基中的分布存在如下规律(图2-13)：
1.在集中力P作用线上
在P作用线上，r=0，当z=0时， =∞；当z=∞时，σz =0。可见，沿P作用线上的σz分布随深度增加而递减。
2．在r >0的竖直线上
在r >0的竖直线上，当z=0时，σz =0；随着z的增加，σz从零逐渐增大，至一定深度后又随着z的增加逐渐变小。
3．在z为常数的水平面上
在z为常数的水平面上，σz在集中力作用线上最大，并随着r的增大而逐渐减小。随着z深度的增加，集中力作用线上的σz减小，但随r增加而降低的速率变缓。
若在空间将σz相同的点连接成曲面，可以得到如图2-14所示的等值线，其空间曲面的形状如泡状，所以也称为应力泡。
图2-13 σz的分布 图2-14σz的等值线
通过上述分析，可以建立起土中应力分布的概念：即集中力P在地基中引起的附加应力，在地基中向下、向四周无限扩散，并在扩散的过程中应力逐渐降低。此即应力扩散的概念，与杆件中应力的传递完全不同。
当地基表面作用几个集中力时，可分别算出各集中力在地基中引起的附加应力(图2-15中的a、b线)，然后根据弹性体应力叠加原理求出附加应力的总和，如图2-15中C线所示。
图2-15 两个集中力作用下地基中的叠加
二、竖向矩形均布荷载作用下附加应力计算
矩形面积在建筑工程中最为常见，如房屋建筑采用筐架结构，立柱下面的独立基础底面通常为矩形面积。
基础传给地基表面的压应力都是面荷载，设长度为L，宽度为b的矩形面积上作用竖向均布荷载P。若要求地基内各点的附加应力，应先求出矩形面积角点下的应力σz，再利用“角点法”求任意点的应力。
(一)矩形均布荷载角点下的应力
角点下的应力是指图2-16中O、A、C、D四个角点下任意深度处的应力。将坐标原点取在角点O上，在荷载面积内任意取微分面积，其上荷载的合力以集中力代替，，利用式（2-12）可求得该集中力在角点O下深度Z处M点的竖向附加应力。
（2-14）
图2-16 矩形均布荷载角点下的附加应力
将式(2-14)沿整个矩形面积OACD积分，即可得矩形均布荷载P在点M处的附加应力。
（2-15）
式中
为计算方便，可将式(2-15)简写为：
(2-16)
式中Kc—竖向矩形均布荷载角点下的竖向附加应力分布系数，可按公式计算，Kc=f（L/b，Z/b）或由表2-2查取；
P—均布荷载强度，求地基中附加应力时，用前述基底附加压力P0。
竖向均布荷载角点下附加应力系数Kc 表2-2
(二)矩形均布荷载任意点下的应力—角点法
矩形均布荷载作用下地基内任意点的附加应力，可利用角点下的应力计算式（2-6）和应力叠加原理求得。即通过需要计算的一点作几条辅助线，将矩形面积划分为几个矩形，按照公式分别计算各个矩形公共点上的附加应力，进行叠加求得。此方法称为角点法。
如图2-17所示的荷载平面，求O点下任意深度的应力时，可过O点将荷载面积划分为几个小矩形，使O点为每个小矩形的共同角点，利用角点下的应力计算式(2-16)分别求出每个小矩形O点下同一深度的附加应力，然后利用叠加原理得总的附加应力。角点法的应用可分为下列三种情况。
图2-17 角点法的应用
第一种情况 计算矩形面积边缘上任意点O下的附加应力(图2-17a）：
第二种情况 计算矩形面积内任意点O下的附加应力(图2-17b）：
第三种情况 计算矩形面积外任意点O下的附加应力(图2-17c)：
图2-17(c)中I为ogbf、Ⅱ为ofch、Ⅲ为ogae、Ⅳ为oedh。
第四种情况O点在基底面外侧.设想将基础底面扩大,使O点位于基础底面的角点上. I(ohce)扣除Ⅱ(ohbf)和Ⅲ(ogde)之后再加上Ⅳ(ogaf).
σz=(Kc I - KcⅡ- KcⅢ+ KcⅣ)
必须注意：(1)查表(或公式)确定时矩形小面积的长边取L，短边取b；(2)所有划分的矩形小面积总和应等于原有矩形荷载面积。
三、竖向条形均布荷载作用下附加应力计算
当矩形底面长宽比很大，L/b≥10时，称为条形基础。如：砖混结构墙基、挡土墙基础等。当宽度为b的条形基础上作用均布荷载P时，取宽度b的中点作为坐标原点(图2-18)，采用积分法计算出来。地基内任意点M(x，y)的竖向附加应力为：
σz = Ksz P （2-17）
式中 Ksz—条形均布荷载作用下竖向附加应力分布系数，由表2-3查取。
条形均布荷载作用下竖向附加应力分布系数 表2-3
四 圆形基础底面均布荷载作用下中心点、边沿附加应力，矩形基底铅直三角形等都可以用积分法并查表计算。
【例2-4】 如图2-19所示，荷载面积2m×1m，p=100KPa，求A、E、O、F、G各点下z=1m深度处的附加应力，并利用计算结果说明附加应力扩散规律。
图2-18 条形均布荷载作用 图2-19 例题2-4附图
下地基内某点附加应力
将计算结果绘成图2-20(a)；将点O和点F下不同深度的求出并绘成图2-20(b)，可以形象地表现出附加应力的分布规律，请同学们自行总结。
(a) (b)
图2-20 例题2-4计算结果
复习思考题
