电子测量原理
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3章．测量误差及数据处理
? 3.1 测量误差的分类和测量结果的表征
? 3.2 测量误差的估计和处理
? 3.3 测量不确定度
? 3.4 测量数据处理
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3.1 测量误差的分类和测量结果的表征
3.1.1 测量误差的分类
? 根据测量误差的性质, 测量误差可分为随机误差, 系
统误差, 粗大误差三类 。
? 1.随机误差
? 定义, 在同一测量条件下 （ 指在测量环境, 测量人员,
测量技术和测量仪器都相同的条件下 ）, 多次重复测
量同一量值时 （ 等精度测量 ）, 每次测量误差的绝对
值和符号都以不可预知的方式变化的误差, 称为随机
误差或偶然误差, 简称随差 。
? 随机误差主要由对 测量值影响微小但却互不相关的大
量因素共同造成 。 这些因素主要是噪声干扰, 电磁场
微变, 零件的摩擦和配合间隙, 热起伏, 空气扰动,
大地微震, 测量人员感官的 无规律变化 等 。
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3.1.1 测量误差的分类 （续）
? 例：对一不变的电压在相同情况下，多次测量得到
1.235V,1.237V,1.234V,1.236V,1.235V,1.237V。
? 单次测量的随差没有规律，
但多次测量的总体却服从统计规律。
? 可通过数理统计的方法来处理,即求算术平均值
12
1
1 nn
i
i
x x xxx
nn ?
? ? ??? ?
?随机误差定义：测量结果与在重复性条件下，对同一被测
量进行无限多次测量所得结果的平均值之差
iixx? ?? ()n ??
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3.1.1 测量误差的分类 （续）
? 2.系统误差
? 定义：在同一测量条件下，多次测量重复同一量时，
测量误差的绝对值和符号都保持不变,或 在测量条件
改变时按一定规律变化 的误差，称为系统误差。例如
仪器的刻度误差和零位误差，或值随温度变化的误差。
? 产生的主要原因是仪器的制造、安装或使用方法不正
确，环境因素（温度、湿度、电源等）影响，测量原
理中使用近似计算公式，测量人员不良的读数习惯等。
? 系统误差表明了一个测量结果偏离真值或实际值的程
度 。 系差越小, 测量就越准确 。
? 系统误差的定量定义是：在重复性条件下, 对同一被
测量进行无限多次测量所得结果的平均值与被测量的
真值之差 。 即
0xA? ??
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3.1.1 测量误差的分类 （续）
? 3.粗大误差,粗大误差是一种显然与实际值不符的
误差 。 产生粗差的原因有：
? ① 测量操作疏忽和失误 如测错, 读错, 记错以及实
验条件未达到预定的要求而匆忙实验等 。
? ② 测量方法不当或错误 如用普通万用表电压档直接
测高内阻电源的开路电压
? ③ 测量环境条件的突然变化 如电源电压突然增高或
降低, 雷电干扰, 机械冲击等引起测量仪器示值的剧
烈变化等 。
? 含有粗差的测量值称为坏值或异常值, 在数据处
理时, 应剔除掉 。
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3.1.1 测量误差的分类 （续）
? 4.系差和随差的表达式
在剔除粗大误差后, 只剩下系统误差和随机误差
各次测得值的绝对误差等于系统误差和随机误差的代数和 。
? 在任何一次测量中，系统误差和随机误差一般都是同
时存在的。
? 系差和随差之间在一定条件下是可以相互转化
iiii xAxxxAx ????????? ??
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3.1.2 测量结果的表征
? 准确度 表示系统误差的大小 。 系统误差越小, 则准确度
越高, 即测量值与实际值符合的程度越高 。
? 精密度 表示随机误差的影响 。 精密度越高, 表示随机误
差越小 。 随机因素使测量值呈现分散而不确定, 但总是
分布在平均值附近 。
? 精确度 用来反映系统误差和随机误差的综合影响 。 精确
度越高, 表示正确度和精密度都高, 意味着系统误差和
随机误差都小 。
射击误差
示意图
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3.1.2 测量结果的表征 （续）
? 测量值
| | | |xA ??? ? ?
是粗大误差
4x
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3.2 测量误差的估计和处理
? 3.2.1 随机误差的统计特性及减少方法
? 在测量中, 随机误差是不可避免的 。
? 随机误差是由大量微小的没有确定规律的因素
引起的, 比如外界条件 （ 温度, 湿度, 气压,
电源电压等 ） 的微小波动, 电磁场的干扰, 大
地轻微振动等 。
? 多次测量, 测量值和随机误差 服从概率统计规
律 。
? 可用 数理统计 的方法, 处理测量数据, 从而 减
少随机误差 对测量结果的影响 。
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3.2.1随机误差的统计特性及减少方法 (续）
（ 1） 随机变量的数字特征
① 数学期望,反映其平均特性 。 其定义如下：
? X为 离散 型随机变量：
? X为 连续 型随机变量：
?
?
?
??
1i
ipixE(X )μ
?
?
??
?? dxxxpXE )()(?
1,随机误差的分布规律
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3.2.1随机误差的统计特性及减少方法 (续）
② 方差和标准偏差
方差是用来描述随机变量与其数学期望的分散程度 。
设随机变量 X的数学期望为 E(X),则 X的方差定义为：
D(X)= E(X－ E(X))2
标准偏差 定义为：
? 标准偏差同样描述随机变量与其数学期望的分散程度,
并且与随机变量具有相同量纲 。
)( XD??
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3.2.1随机误差的统计特性及减少方法 (续）
? 测量中的随机误差通常是多种相互独立的因素造
成的许多微小误差的总和。
? 中心极限定理：假设被研究的随机变量可以表示
为大量独立的随机变量的和，其中每一个随机变
量对于总和只起微小作用，则可认为这个随机变
量服从正态分布。
为什么测量数据和随机
误差大多接近正态分布？
(2)测量误差的正态分布
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第 13页
3.2.1随机误差的统计特性及减少方法 (续）
正态分布的概率密度函数和统计特性
? 随机误差的概率密度函数为：
? 测量数据 X的概率密度函数为：
? 随机误差的数学期望和方差为：
? 同样测量数据的数学期望 E(X)＝, 方差 D(X)＝
)
2
e x p (
2
1)(
2
2
?
?
??
? ??p
]
2
)(e x p [
2
1)(
2
2
?
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??? xxp
0)
2
e x p (
2
1)()(
2
2
???? ??
?
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?
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?
?
??
??
???? ddpE
2
2
2
222 )
2
e x p (
2
1)()0()( ??
?
??
??
????? ?????? ??
?
??
?
??
ddpED
? 2?
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3.2.1随机误差的统计特性及减少方法 (续）
正态分布时概率密度曲线
随机误差和测量数据的分布形状相同，因为它们的标准偏
差相同，只是横坐标相差 ?
( a ) 随 机 误 差 ( b ) 测 量 数 据
0 ?
)( ?p
x
p ( x )
0
图 3 － 1 随 机 误 差 和 测 量 数 据 的 正 态 分 布 曲 线
随机误差具有,① 对称性 ② 单峰性 ③ 有界性 ④ 抵偿性
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3.2.1随机误差的统计特性及减少方法 (续）
标准偏差意义
? 标准偏差是代表测量数据和测量误差分布离散程
度的特征数 。
? 标准偏差越小, 则曲线形状越尖锐, 说明数据越
集中；标准偏差越大, 则曲线形状越平坦, 说明
数据越分散 。
0 ?
)( ?p
1
?
2
?
3
?
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3.2.1随机误差的统计特性及减少方法 (续）
（ 3）测量误差的非正态分布
? 常见的非正态分布有均匀分布, 三角分布, 反正弦分布等 。
? 均匀分布：仪器中的刻度盘回差、最小分辨力引起的误差
等；, 四舍五入, 的截尾误差；当只能估计误差在某一范
围内，而不知其分布时，一般可假定均匀分布。
a b
P(x)
概率密度,
均值, 当 时,
标准偏差,
当 时，
??
?
?
?
??
0
1
)( abxp
bxax
bxa
??
??
,
2
ba ???
ba ??
32
ab ?
3
b??
ba ?? 0??
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3.2.1随机误差的统计特性及减少方法 (续）
2,有限次测量的数学期望和标准偏差的估计值
求被测量的数字特征，理论上需 无穷多次 测量，
但在实际测量中只能进行 有限次 测量，怎么办？
用事件发生的频度代替事件发生的概率, 当
则
n
nxpxXE im
i
i
m
i
ii ??
??
??
11
)(
令 n个可相同的测试数据 xi(i=1.2…,n)
次数都计为 1,当 时，则
??
??
??
n
i
i
n
i
i xnnxXE
11
11)(
? ? n
? ? n
（ 1）有限次测量的数学期望的估计值 ——算术平均值
被测量 X的数学期望，
就是当测量次数
时，各次测量值的算
术平均值
? ? n
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3.2.1随机误差的统计特性及减少方法 (续）
? 规定使用算术平均值为数学期望的估计值, 并作
为最后的测量结果 。 即：
? 算术平均值是数学期望的无偏估计值, 一致估计
值和最大似然估计值 。
?
?
?
n
i
ixnx
1
1
有限次测量值的算术平均
值比测量值更接近真值？
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3.2.1随机误差的统计特性及减少方法 (续）
（ 2）算术平均值的标准偏差
故：
算术平均值的标准偏差比总体或单次测量值的标准
偏差小 倍。原因是随机误差的抵偿性 。
*
)]()()([1)(1)1()( 222122
1
2
2
1
22
n
n
i
i
n
i
i xxxnxnxnx ?????? ?????? ??
??
?
)(1)(1 222 X
n
Xn
n
?? ??
n
Xx )()( ?? ?
n
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算术平均值,
3.2.1随机误差的统计特性及减少方法 (续）
（ 2）有限次测量数据的标准偏差的估计值
残差：
实验标准偏差 （ 标准偏差的估计值），贝塞尔公式：
算术平均值标准偏差的估计值,
xx ii ???
??
??
?
?
?
?
?
n
i
i
n
i
i xxnnxs
1
2
1
2 )(
1
1
1
1)( ?
n
xsxs )()( ?
?
?
?
n
i
ixnx
1
1
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3.2.1随机误差的统计特性及减少方法 (续）
【 例 3.1】 用温度计重复测量某个不变的温度，得 11个测
量值的序列（见下表）。求测量值的平均值及其标准偏差。
解,① 平均值
② 用公式 计算各测量值残差列于上表中
③ 实验偏差
④ 标准偏差
)(1.530)531530532530529533531527529531528(11 11
1
Cxnx o
n
i
i ????????????? ?
?
xx ii ???
)(767.111)(
1
2 C
nxs
o
n
i
i ??? ?
?
?
)(53.011767.1)()( Cnxsxs o???
x
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第 22页
3.2.1随机误差的统计特性及减少方法 (续
3,测量结果的臵信问题
（ 1） 臵信概率与臵信区间：
臵信区间 内包含真值的概率称为臵信概率 。
臵信限：
k—— 臵信系数 （ 或臵信因子 ）
?k???
?kxEx ?? )(
臵信概率是图中
阴影部分面积
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3.2.1随机误差的统计特性及减少方法 (续）
（ 2）正态分布的臵信概率
? 当分布和 k值确定之后，则臵信概率可定
? 正态分布,当 k=3时
臵信因子 k 臵信概率 Pc
1 0.683
2 0.955
3 0.997
? ?????? ? ? ????? k k dpkPkxExP )(][])([
997.0)
2
e x p (
2
1)()3(
2
23
3
3
3
????? ? ?
? ?
?
?
?
??
????
?
?
?
?
ddpP
区间越宽，
臵信概率越大
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第 24页
3.2.1随机误差的统计特性及减少方法 (续）
（ 3） t分布的臵信限
? t分布与测量次数有关。当 n>20以后,t分布趋于
正态分布。正态分布是 t分布的极限分布。
? 当 n很小时,t分布的中心值比较小，分散度较大，
即对于相同的概率,t分布比正态分布有更大的
臵信区间。
? 给定臵信概率和测量次数 n，查表得臵信因子 kt。
自由度,v=n-1
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3.2.1随机误差的统计特性及减少方法 (续）
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3.2.1随机误差的统计特性及减少方法 (续）
（ 4）非正态分布的臵信因子
? 由于常见的非正态分布都是有限的, 设其臵信限为误差极
限, 即误差的臵信区间为 臵信概率为 100％ 。
k
（ P=1)
反正弦均匀三角分布
236
k
?? k?a?
例：均匀分布
有 故,
3
a??
3
akka ?? ? 3?k
-a a
P(x)
x0
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3.2.1随机误差的统计特性及减少方法 (续）
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3.2.2 系统误差的判断及消除方法 （续）
1,系统误差的特征：
c
a
?
0 t
图 3 － 7 多种系统误差的特征
其中,a ---- 不变系差 b ----- 线性变化系差
c ----- 周期性系差 d ----- 复杂规律变化系差
d
b
在同一条件下，多次测量同一量值时，误差的绝对值和符
号保持不变，或者在条件改变时，误差按一定的规律变化。
多次测量求平均不能减少系差 。
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第 29页
3.2.2 系统误差的判断及消除方法 （续）
2,系统误差的发现方法
? （ 1） 不变的系统误差,
? 校 准, 修正和实验比对 。
? （ 2） 变化的系统误差
? ① 残差观察法, 适用于系统误差比随机误差大的情况
将所测数据及其残差按先后次序列表或作图, 观察各
数据的残差值的大小和符号的变化 。
i
i
?
0i
i
?
0
存在线性变化的系统误差 无明显系统误差
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第 30页
3.2.2 系统误差的判断及消除方法 （续）
② 马利科夫判据：
若有累进性系统误差, D 值应明显异于零 。
当 n为偶数时,
当 n为奇数时,
? ③ 阿贝－赫梅特判据：检验周期性系差的存在 。
2
1
1
11 sn
n
i
ii ?????
?
?
??
? ?
? ??
??
2/
1 12/
n
i
n
ni
iiD ??
? ?
?
? ??
??
2/)1(
1 2/)1(
n
i
n
ni
iiD ??
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第 31页
3.2.2 系统误差的判断及消除方法 （续）
3,系统误差的削弱或消除方法
（ 1） 从产生系统误差根源上采取措施减小系统误差
? ① 要从测量原理和测量方法尽力做到正确, 严格 。
? ② 测量仪器定期检定和校准, 正确使用仪器 。
? ③ 注意周围环境对测量的影响, 特别是温度对电子测量
的影响较大 。
? ④ 尽量减少或消除测量人员主观原因造成的系统误差 。
应提高测量人员业务技术水平和工作责任心, 改进设备 。
（ 2） 用修正方法减少系统误差
修正值＝－误差 =－（测量值－真值）
实际值＝测量值＋修正值
电子测量原理
第 32页
3.2.2 系统误差的判断及消除方法 （续）
（ 3）采用一些专门的测量方法
? ① 替代法
? ② 交换法
? ③ 对称测量法
? ④ 减小周期性系统误差的半周期法
系统误差可忽略不计的准则 是：
系统误差或残余系统误差代数和的绝对值不超过测
量结果扩展不确定度的最后一位有效数字的一半 。
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第 33页
3.2.3 粗大误差及其判断准则
? 大误差出现的概率很小，列出可疑数据，分析
是否是粗大误差，若是，则应将对应的测量值
剔除 。
? 1,粗大误差产生原因以及防止与消除的方法
? 粗大误差的产生原因
? ① 测量人员的主观原因,操作失误或错误记录；
? ② 客观外界条件的原因,测量条件意外改变, 受
较大的电磁干扰, 或测量仪器偶然失效等 。
? 防止和消除粗大误差的方法
? 重要的是采取各种措施, 防止产生粗大误差 。
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第 34页
3.2.3 粗大误差及其判断准则 （续）
2,粗大误差的判别准则
统计学的方法的基本思想是：给定一臵信概率，确定相应
的臵信区间，凡超过臵信区间的误差就认为是粗大误差，
并予以剔除。
莱特检验法
格拉布斯检验法
si 3??
sG ??m a x?
式中,G值按重复测量次数 n及臵信概率 Pc确定
3 4 5 6 7 8 9 10 11
95% 1,15 1,46 1,67 1,82 1,94 2,03 2,11 2,18 2,23
99% 1,16 1,49 1,75 1,94 2,1 2,22 2,32 2,41 2,48
12 13 14 15 16 17 18 19 20
95% 2,29 2,33 2,37 2,41 2,44 2,47 2,5 2,53 2,56
99% 2,55 2,61 2,66 2,7 2,74 2,78 2,82 2,85 2,88
c
p
n
c
p
n
电子测量原理
第 35页
3.2.3 粗大误差及其判断准则 （续）
应注意的问题
? ① 所有的检验法都是人为主观拟定的, 至今 无
统一的规定 。 当偏离正态分布和测量次数少时检
验不一定可靠 。
? ② 若有多个可疑数据同时超过检验所定臵信区间,
应 逐个剔除, 重新计算, 再行判别 。 若有两个相
同数据超出范围时, 应逐个剔除 。
? ③ 在一组测量数据中,可疑数据应很少 。反之，
说明系统工作不正常。
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第 36页
3.2.3 粗大误差及其判断准则 （续）
解,① 计算得 s=0.033
计算残差填入表 3－ 7,最大, 是可疑数据 。
②用莱特检验法
3 ·s=3× 0.033=0.099
故可判断 是粗大误差, 应予剔除 。
再 对 剔 除 后 的 数 据 计 算 得, s′ = 0.016
3·s′ = 0.048
各测量值的残差 V′ 填入表 3－ 7,残差均小于 3 s′
故 14个数据都为正常数据 。
4 0 4.20?x
104.08 ??? 8x
8x
4 1 1.20' ?x
【 例 3.3】 对某电炉的温度进行多次重复测量，所得
结果列于表 3－ 7，试检查测量数据中有无粗大误差。
电子测量原理
第 37页
3.2.4 测量结果的处理步骤
? ① 对测量值进行系统误差修正, 将数据依次列成表格；
? ② 求出算术平均值
? ③ 列出残差, 并验证
? ④ 按贝塞尔公式计算标准偏差的估计值
? ⑤ 按莱特准则, 或格拉布斯准则 检查和剔除粗大误差；
? ⑥ 判断有无系统误差 。 如有系统误差, 应查明原因, 修正
或消除系统误差后重新测量；
? ⑦ 计算算术平均值的标准偏差 ；
? ⑧ 写出最后结果的表达式, 即 （ 单位 ） 。
?
?
?
n
i
ixnx
1
1
xx ii ??? 0
1
??
?
n
i
i?
?
??
?
n
i
ins
1
2
1
1 ?
n
ss
x ?
xskxA ???
电子测量原理
第 38页
3.2.4 测量结果的处理步骤 （续）
? 【 例 3,4】 对某电压进行了 16次等精度测量,
测量数据中已记入修正值, 列于表中 。 要求给出
包括误差在内的测量结果表达式 。
1 2 0 5, 3 0 0.09 9 2 0 5, 7 1 0.41 0.5
2 2 0 4, 9 4 -0.4 -0.27 10 2 0 4, 7 -0.6 -0.51
3 2 0 5, 6 3 0.33 0.42 11 2 0 4, 8 6 -0.44 -0.35
4 2 0 5, 2 4 -0.1 0.03 12 2 0 5, 3 5 0.05 0.14
5 2 0 6, 6 5 1.35 13 2 0 5, 2 1 -0.09 0
6 2 0 4, 9 7 -0.3 -0.24 14 2 0 5, 1 9 -0.11 -0.02
7 2 0 5, 3 6 0.06 0.15 15 2 0 5, 2 1 -0.09 0
8 2 0 5, 1 6 -0.1 -0.05 16 2 0 5, 3 2 0.02 0.11
残 差 残 差测量值序号 残 差 残 差 序号测量值
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第 39页
3.2.4 测量结果的处理步骤 （续）
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第 40页
3.2.4 测量结果的处理步骤 （续）
- 0, 8
- 0, 6
- 0, 4
- 0, 2
0
0, 2
0, 4
0, 6
图3 －9 残差图
5 10 15 n
'i?
电子测量原理
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3.2.4 测量结果的处理步骤 （续）
等精度测量与不等精度测量
? 等精度测量,即在相同地点、相同的测量方法和相同测
量设备、相同测量人员、相同环境条件（温度、湿度、
干扰等），并在 短时间内进行的重复测量 。
? 不等精度测量,在 测量条件不相同 时进行的测量，测量
结果的精密度将不相同。
? 不等精度测量处理方法：
权值与标准偏差的平方成反比 。权值
测量结果为加权平均值
i
iW 2?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
??
m
i
i
m
i
ii
m
i i
m
i i
i
W
xW
x
x
1
1
1
2
1
2
1
?
?
电子测量原理
第 42页
3.2.4 测量结果的处理步骤 （续）
电子测量原理
第 43页
3.2.5 误差的合成分析
? 问题：用间接法测量电阻消耗的功率时, 需测量电阻 R、
端电压 V和电流 I三个量中的两个量, 如何根据电阻, 电
压或电流的误差来推算功率的误差呢？
电子测量原理
第 44页
3.2.5 误差的合成分析 （续）
电子测量原理
第 45页
3.2.5 误差的合成分析 （续）
? 在实际应用中，由于分项误差符号不定而可同时
取正负，有时就采用保守的办法来估算误差，即
将式中各分项取绝对值后再相加
? 该公式常用于在设计阶段中对传感器、仪器及系
统等的误差进行分析和估算，以采取减少误差的
相应措施。但是，更严格和更准确地计算合成误
差的方法是测量不确定度理论中的合成不确定度
评定，有关内容在本书第 3章中讨论
1
n
i
i i
f
yx
x?
?
? ? ?
??
电子测量原理
第 46页
3.3 测量不确定度
? 3.3.1 不确定度的概念
? 不确定度是说明 测量结果可能的分散程度 的参数 。 可
用标准偏差表示, 也可用标准偏差的倍数或臵信区间
的半宽度表示 。
? 1.术语
（ 1） 标准不确定度,
用概率分布的 标准偏差表示的不确定度
① A类 标准不确定度：用 统计方法 得到的不确定度 。
② B类 标准不确定度：用 非统计方法 得到的不确定度
电子测量原理
第 47页
3.3.1 不确定度的概念 （续）
（ 2） 合成 标准不确定度
*由各 不确定度分量合成 的标准不确定度。
*因为测量结果是受若干因素联合影响。
（ 3） 扩展 不确定度
*合成标准不确定度的倍数 表示的测量不确定度，即用包
含因子乘以合成标准不确定度得到一个区间半宽度。
*包含因子的取值决定了扩展不确定度的臵信水平。
*通常 测量结果的不确定度都用扩展不确定度表示
电子测量原理
第 48页
3.3.1 不确定度的概念 （续）
2.不确定度的分类
测量不
确定度
不确定度
扩展不确定度
B 类标准不确定度
B
u
标准不确定
度
A 类标准不确定度
A
u
合成标准不确定度
C
u
U
99
U
95
U( )3?k
U( )2?k
相对不确定度
电子测量原理
第 49页
3.3.1 不确定度的概念 （续）
3,不确定度的来源
① 被测量定义 的不完善, 实现被测量定义的方法不理想,
被测量样本不能代表所定义的被测量 。
② 测量装臵或仪器 的分辨力, 抗干扰能力, 控制部分稳定性
等影响 。
③ 测量环境 的不完善对测量过程的影响以及测量人员技术水
平等影响 。
④ 计量标准 和标准物质的值本身的不确定度, 在数据简化算
法中使用的常数及其他参数值的不确定度, 以及在测量
过程中引入的 近似值 的影响 。
⑤ 在相同条件下, 由随机因素所引起的 被测量本身的不稳定
性 。
电子测量原理
第 50页
3.3.2 误差与不确定度的区别
测量误差 测量不确定度
客观存在的，但不能准确得到，
是一个定性的概念
表示测量结果的分散程度, 可根据
试验, 资料等信息定量评定 。
误差是不以人的认识程度而改变 与人们对被测量和影响量及测量过
程的认识有关 。
随机误差、系统误差是两种不同
性质的误差
A类或 B类不确定度是两种不同的评
定方法，与随机误差、系统误差之
间不存在简单的对应关系。
须进行异常数据判别并剔除。 剔除异常数据后再评定不确定度
在最后测量结果中应修正确定的
系统误差。
在测量不确定度中不包括已确定的
修正值，但应考虑修正不完善引入
的不确定度分量。
“误差传播定律, 可用于间接测量
时对误差进行定性分析。
不确定度传播律更科学，用于定量
评定测量结果的合成不确定度
电子测量原理
第 51页
? 1,标准不确定度的 A类评定方法
在同一条件下对被测量 X进行 n 次测量，测量值为
xi(i=1,2,…,n)，
(A)计算样本算术平均值，作为被测量 X的估计值，
并把它作为测量结果 。
(B)计算实验偏差
式中自由度 v=n－ 1.
( C) A类不确定度
3.3.3 不确定度的评定方法 （续）
?
?
?
n
i
ixnx
1
1
1
)(
)( 1
2
?
?
?
?
?
n
xx
XS
n
i
i
n
XSxSu
A
)()( ??
自由度意义：
自由度数值越大，
说明测量不确定
度越可信。
电子测量原理
第 52页
3.3.3 不确定度的评定方法 （续）
2,标准不确定度的 B类评定方法
? B类方法评定的主要信息来源是以前测量的数据,
生产厂的技术证明书, 仪器的鉴定证书或校准证
书等 。
? 确定测量值的误差区间 （ α,-α ）, 并假设被测
量的值的概率分布, 由要求的臵信水平估计包含
因子 k,则 B类标准不确定度 uB为
? 其中 a ——区间的半宽度；
? k——臵信因子，通常在 2～ 3之间。
ku B
??
电子测量原理
第 53页
分布 三角 梯形 均匀 反正弦
k (p=1)
概率
P%
50 68.27 90 95 95.45 99 99.73
置信因
子
0.676 1 1.645 1.960 2 2.576 3
3.3.3 不确定度的评定方法 （续）
? 表 3－ 9 正态分布时概率与臵信因子的关系
6 21/6 ?? 3 2
表 3－ 10 几种非正态分布的臵信因子 k
电子测量原理
第 54页
3.3.3 不确定度的评定方法 （续）
电子测量原理
第 55页
3.3.3 不确定度的评定方法 （续）
3,合成标准不确定度的计算方法
? （ 1） 协方差和相关系数的概念
? 两个随机变量 X和 Y,其中一个量的变化导致另一个量
的变化, 那么这两个量是相关的 。
? 独立肯定不相关, 但不相关不一定独立 。
? ① 协方差的概念
? 协方差
? 协方差的估计值
)])([(),( yx yxEYXC o v ?? ???
?
?
??
?
?
n
i
iixy yyxxnS
1
))((
1
1
电子测量原理
第 56页
3.3.3 不确定度的评定方法 （续）
? ② 相关系数 Q 概念,表示两随机变量相关程度
? － 1≤ Q≤ 1。
? 相关系数的估计值 r(x,y)
)()(
),(),(
YX
YXCo vYXQ
??
?
正相关 负相关 完全正相关 完全负相关 不相关
0<Q<1 － 1<Q<0 Q=1 Q=－ 1 Q=0
)()()1(
))((
)()(
))((
)()(
),(
1
1 1
22
1
ySxSn
yyxx
yyxx
yyxx
ySxS
S
yxr
n
i
ii
n
i
n
i
ii
n
i
ii
xy
?
??
?
??
??
?
?
?
?
? ?
?
?
? ?
?
电子测量原理
第 57页
? （ 2） 输入量不相关时不确定度的合成
? ① 可写出函数关系式 Y＝ｆ （ X1,X2,……, XN） ；
式中 称为灵敏系数
? ② 不能写出函数关系式
? (3)输入量相关时,使用 不确定度传播律
3.3.3 不确定度的评定方法 （续）
2/1
1
2
2
)()(
?
?
?
?
?
?
?
?
???
?
???
?
?
?? ?
?
N
i
i
i
c xux
fyu
?
?
?
N
i
iC uu
1
2
1 / 22
1
2
1 1 1
( ) ( ) 2 (,) ( ) ( )
N N N
C i i j i j
i i j ii i j
f f f
u y u x r x x u x u x
x x x
?
? ? ? ?
????? ? ???
??????
? ? ?????? ? ?
i
f
x
?
?
电子测量原理
第 58页
? （ 4）不确定度传播律公式的几种简化方法
? ① 所有的输入量都相关, 且相关系数 ｒ (ｘ ｉ,ｘ ｊ )＝ 1
时, 则 UC(y)为
② 当被测量的函数形式为 Y＝ A1X1＋ A2X2＋ … ＋ ANXN,且 X1,
X2,…,XN不相关 时, 合成标准不确定度 UC(y)为
3.3.3 不确定度的评定方法 （续）
1
( ) ( )
N
Ci
i i
fu y u x
x?
??
??
1 / 2
22
1
( ) ( )
N
C i i
i
u y A u y
?
???
?????
电子测量原理
第 59页
3.3.3 不确定度的评定方法 （续）
? ③ 当被测量的函数形式为
且 X1,X2,…,XN不相关 时, 相对合成标准不确定度
UC(y)/Y为
例, 电功率 P=IV 则
?
?
?
N
i
iii
C xxuP
Y
yu
1
2]/)([)(
1212 Np p pNY X X X? ? ? ?
22( ) ( )VPI uuu
P I V
??
2 2 2 2 2 2 2 2( ) ( )
P I V I V
PP
u u u V u I u
IV
??
? ? ? ?
??
电子测量原理
第 60页
3.3.3 不确定度的评定方法 （续）
电子测量原理
第 61页
3.3.3 不确定度的评定方法 （续）
? （ 5） 不确定度分量的忽略
? 一切不确定度分量均贡献于合成不确定度, 即只会使
合成不确定度增加 。 忽略任何一个分量, 都会导致合
成不确定度变小 。
? 但由于采用的是方差相加得到合成方差, 当某些分量
小到一定程度后, 对合成不确定度实际上起不到什么
作用, 为简化分析与计算, 则可以忽略不计 。
? 例如, 忽略某些分量后, 对合成不确定度的影响不足
十分之一, 就 可根据情况忽略这些分量 。
电子测量原理
第 62页
3.3.3 不确定度的评定方法 （续）
4.扩展不确定度的确定方法
? 扩展不确定度 U由合成标准不确定度 ｕ C 与包含因
子 ｋ 的乘积得到
U＝ k·uC
? 测量结果表示为 Y＝ ｙ 〒 U,即 Y=y 〒 kuc
y是被测量 Y的 最佳估计值,k 由臵信概率（常取 0.95或
0.99）和概率 分布（正态、均匀,t分布等）确定。
算术平均值
电子测量原理
第 63页
3.3.3 不确定度的评定方法 （续）
? 包含因子 k是的选取方法有,
? (A)无法得到合成标准不确定度
的自由度, 且测量值接近正态分
布时, 则一般取 ｋ 的典型值为 2
或 3。
? (B)根据测量值的分布规律和所
要求的臵信水平, 选取ｋ值 。 例
如, 假设为均匀分布时, 臵信水
平 P＝ 0,95,查表得 k＝ 1,65。
P﹪ k
57.74 1
95 1.65
99 1.71
100 1.73
表 3—11 均匀分
布时臵信概率与臵
信因子 k的关系
电子测量原理
第 64页
3.3.3 不确定度的评定方法 （续）
(C)根据要求的 臵信概率 Pc和计算得到的自由度 veff，查 t分布
的 t值，得 k 。自由度的计算步骤如下：
a)求 A类不确定度分量的自由度
b)求 B类不确定度分量的自由度
c)求合成不确定度的自由度
1?? ni?
?
?
?
N
i i
ii
C
e f f
v
xuC
yu
v
1
44
4
)(
)(
2
)(
)(
2
1 ?
??
?
??
? ?
i
i
xu
xu
电子测量原理
第 65页
3.3.3 不确定度的评定方法 （续）
电子测量原理
第 66页
3.3.4 测量不确定度的评定步骤
? 对测量设备进行校准或检定后，要出具校准或检
定证书；对某个被测量进行测量后也要报告测量
结果，并说明测量不确定度。
? ① 明确被测量的定义和数学模型及测量条件, 明确测
量原理, 方法, 以及测量标准, 测量设备等；
? ② 分析不确定度来源 ；
? ③ 分别采用 A类和 B类评定方法, 评定各不确定度分量 。
A类评定时要剔除异常数据；
? ④ 计算 合成 标准不确定度；
? ⑤ 计算 扩展 不确定度；
? ⑥ 报告测量结果 。
Y=y 〒 kuc
电子测量原理
第 67页
3.3.4 测量不确定度的评定步骤 （续）
【 例 3,9】 用电压表直接测量一个标称值为 200Ω 的
电阻两端的电压, 以便确定该电阻承受的 功率 。 测
量所用的电压的技术指标由使用说明书得知, 其 最
大允许误差为 〒 1％, 经计量鉴定合格, 证书指出
它的自由度为 10。 (当证书上没有有关自由度的信
息时, 就认为自由度是无穷大 。 )标称值为 200Ω 的
电阻经校准, 校准证书给出其校准值为 199.99Ω,
校准值的 扩展不确定度为 0.02Ω （ 包含因子 k为 2） 。
用电压表对该电阻在同一条件下重复测量 5次, 测
量值分别为,2.2V,2.3V,2.4V,2.2V,2.5V。 测
量时温度变化对测量结果的影响可忽略不计 。 求功
率的测量结果及其扩展不确定度 。
R
VP 2?
电压的 B类
不确定度
电阻的 B类
不确定度
电压的 A类
不确定度
电子测量原理
第 68页
解,（ 1） 数学模型
（ 2） 计算测量结果的最佳估计值
①
②
3.3.4测量不确定度的评定步骤 （例 3.9续）
R
VP 2?
VVnVV n
i
i 32.25
5.22.24.23.22.2/
1
????????????? ?
?
WWRVP 0 2 7.099.1 9 9 )32.2()(
22
???
3）测量不确定度的分析
本例的测量不确定度主要来源为①电压表不准确；②电阻不准
确；③由于各种随机因素影响所致电压测量的重复性。
电子测量原理
第 69页
3.3.4测量不确定度的评定步骤 （例 3.9续）
·
Vn
V
V
n
i
i
32.21 ??
?
?
VV
xx
S i
i
13.0
4
18.012.008.002.012.0
15
)( 22222
5
1
2
??????
?
?
?
?
?
VVnSxSVu 058.0513.0)()(2 ????
（ 4） 标准不确定度分量的评定
① 电压测量引入的标准不确定度
(a)电压表不准引入的标准不确定度分量 u1 （ V）按 B类评定。
a1=2.32V〓 1%=0.023V
(b) 电压测量重复性引入的标准不确定度分量 u2 （ V） 。 按 A类评定 。
VkaVu 0 1 3.030 2 3.0)(
1
1
1 ???
电子测量原理
第 70页
3.3.4测量不确定度的评定步骤 （例 3.9续）
? (c)由此可得,
? 电压的自由度如下：
② 电阻不准引入的标准不确定度分量 u（ R）
? 由电阻的校准证书得知, 其校准值的扩展不确
定度 U＝ 0.02Ω, 且 k=2,则 u（ R） 可由 B类评定
得到
VVVuVuVu 0 5 9.00 5 8.00 1 3.0)()()( 222221 ?????
3.4
4
0 5 8.0
10
0 1 3.0
0 5 9 4.0
)()(
)(
44
4
2
4
2
1
4
1
4
)( ?
?
?
?
?
v
Vu
v
Vu
Vu
v CVe f f
?????? 01.0202.0)(
2
2
k
U
k
aRu
电子测量原理
第 71页
3.3.4测量不确定度的评定步骤 （例 3.9续）
? （ 5） 计算合成标准不确定度 uC(P)
?, 其中输入量 V（ 电压 ） 和 R（ 电阻 ） 不相关
? ① 计算灵敏系数 c1和 c2,得
? ② 计算 UC(P),得
R
VP 2?
)()()( 222221 RucVucPu C ??
???????? /0 2 3.099.1 9 9 32.2221 VRVVPc
22
22
2
( 2, 3 2 ) 0, 0 0 0 1 3 /
( 1 9 9, 9 9 )
PVcV
RR
?? ? ? ? ?
?
WPu C 0 0 1 4.0)01.0()0 0 0 1 3.0()059.0()023.0()( 2222 ???
电子测量原理
第 72页
3.3.4测量不确定度的评定步骤 （例 3.9续）
? （ 6） 确定扩展不确定度 U
? 计算合成标准不确定度的有效自由度 veff：
? 电压的自由度＝ 4.3,电阻的自由度可设为, 则
? ③ 根据 P＝ 0.95,veff＝ 5,查 t分布, 得
? ④扩展不确定度 U0.95为
（ 7）报告最终测量结果
功率 P＝（ 0.027〒 0.004） W （臵信水平 P＝ 0.95）
包含因子 k为 2.57，有效自由度为 5。
?
52.5
3.4
0 5 9.00 2 3.0
0 0 1 4.0
)(
)(
)(
)(
)(
44
4
44
2
44
1
4
??
?
?
?
?
Rv
Ruc
Vv
Vuc
Puv C
e f f
57.2)5(95.095.0 ?? tk
0, 0 0 4 W W6 0 0 3.00 0 1 4.057.2)(95.095.0 ????? PukU c
电子测量原理
第 73页
? 1.合成不确定度的分配
? 在进行测量工作前, 根据测量准确度的要求来选择测量
方案, 确定每项不确定度的允许范围
? （ 1） 按等作用原则分配不确定度：各个不确定度分量对
合成不确定度的影响相等 。
假设确定度互不相关, 各个不确定度分量相等,
有：
则：
? （ 2） 因为有的测量值则难以满足要求, 各分量灵敏系数
也不同, 必须根据具体情况进行调整 。 对难以实现的不
确定项进行补偿；
3.3.5合成不确定分配及最佳测量方案的选择
nuuu ??? ?21
iiiC Scnnuu ??? 2
nuu Ci /?
电子测量原理
第 74页
3.3.5合成不确定分配及最佳测量方案的选择 （续）
? 2.最佳测量方案的选择
选择目的：使测量结果的不确定度为最小 。
? （ 1） 选择 最有利的函数公式
? 应先取包含测量值数目最少的函数公式来表示；
? 则应选取不确定度较小的测量值的函数公式,
如测量内尺寸的误差比测量外尺寸的误差大, 应选择含
有外尺寸的函数公式 。
? （ 2） 使各个测量值对函数的 传递系数为零或最小
由函数公式可知, 若使不确定度传递系数 ci＝ 0或为
最小, 则合成不确定度可相应减小 。
电子测量原理
第 75页
3.4 测量数据处理
? 3.4.1 有效数字的处理
? 1,数字修约规则
? 由于测量数据和测量结果均是近似数, 其位数各不相同 。
为了使测量结果的表示准确唯一, 计算简便, 在数据处
理时, 需对测量数据和所用常数进行修约处理 。
? 数据修约规则：
? （ 1） 小于 5舍去 ——末位不变 。
? （ 2） 大于 5进 1——在末位增 1。
? （ 3） 等于 5时, 取偶数 ——当末位是偶数, 末位不变；
末位是奇数, 在末位增 1（ 将末位凑为偶数 ） 。
电子测量原理
第 76页
3.4.1有效数字的处理 （续）
? 例：将下列数据舍入到小数第二位 。
? 12.4344→ 12.43 63.73501→ 63.74
? 0.69499→ 0.69 25.3250→ 25.32
? 17.6955→ 17.70 123.1150→ 123.12
? 需要注意的是, 舍入应一次到位, 不能逐位舍入 。
上例中 0.69499,正确结果为 0.69, 错误做法是：
0.69499→ 0.6950→ 0.695→ 0.70。
? 在, 等于 5”的舍入处理上, 采用取偶数规则, 是为了在
比较多的数据舍入处理中, 使产生正负误差的概率近似
相等 。
电子测量原理
第 77页
3.4.1有效数字的处理 （续）
? 2,有效数字
? 若截取得到的近似数其 截取或舍入误差的绝对值不超过
近似数末位的半个单位, 则该近似数从左边第一个非零
数字到最末一位数为止的全部数字, 称之为有效数字 。
例如：
3.142 四位有效数字, 极限误差 ≤ 0.0005
8.700 四位有效数字, 极限误差 ≤ 0.0005
8.7〓 103 二位有效数字, 极限误差 ≤ 0.05〓 103
0.0807 三位有效数字, 极限误差 ≤ 0.005
电子测量原理
第 78页
3.4.1有效数字的处理 （续）
中间的 0和末尾的 0都是有效数字, 不能随意添加 。 开头的
零不是有效数字 。
测量数据的绝对值比较大 （ 或比较小 ）, 而有效数字又比
较少的测量数据, 应采用 科学计数法, 即 a〓 10n,a的位
数由有效数字的位数所决定 。
? 测量结果 （ 或读数 ） 的有效位数应由该测量的不
确定度来确定, 即 测量结果的最末一位应与不确
定度的位数对齐 。
? 例如, 某物理量的测量结果的值为 63.44,且该量的测量
不确定度 u＝ 0.4,测量结果表示为 63.4〒 0.4。
电子测量原理
第 79页
3.4.1有效数字的处理 （续）
? 3.近似运算法则
保留的位数原则上取决于各数中准确度最差的那一项 。
? （ 1） 加法运算
以小数点后位数最少的为准 （ 各项无小数点则以有效位数
最少者为准 ）, 其余各数可多取一位 。 例如：
? （ 2） 减法运算,当两数相差甚远时, 原则同加法运算；当
两数很接近时, 有可能造成很大的相对误差, 因此, 第一
要尽量避免导致相近两数相减的测量方法, 第二在运算中
多一些有效数字 。
电子测量原理
第 80页
3.4.1有效数字的处理 （续）
? （ 3） 乘除法运算
? 以有效数字位数最少的数为准, 其余参与运算的数字
及结果中的有效数字位数与之相等 。 例如：
→
? 也可以比有效数字位数最少者多保留一位有效数字 。
例如上面例子中的 517.43和 4.08各保留至 517和 4.08,结果
为 35.5。
? （ 4） 乘方, 开方运算：
? 运算结果比原数多保留一位有效数字 。 例如：
? （ 27.8） 2≈ 772.8 (115)2≈ 1.322〓 104
5.3508.4 8 8 0 4.1 4 408.4 28.043.5 1 7 ???
365.3551.351.4 28.052008.4 28.043.517 ??????
电子测量原理
第 81页
3.4.2测量数据的表示方法
1,列表法
? 根据测试的目的和内容, 设计出合理的表格 。 列表
法简单, 方便, 数据易于参考比较, 它对数据变化
的趋势不如图解法明了和直观, 但列表法是图示法
和经验公式法的基础 。
例：
x 0 2 4 6 8 10 12
y 1.5 12.1 19.1 31.3 42.1 48.6 59.1
电子测量原理
第 82页
3.4.2测量数据的表示方法
2,图示法
? 图示法的最大优点是形象, 直观, 从图形中可以很直
观地看出函数的变化规律, 如递增或递减, 最大值和
最小值及是否有周期性变化规律等 。
0
20
40
60
80
0 5 10 15
x
y
?作图时采用直角坐标
或极座标 。 一般是先按
成对数据 （ x,y） 描点,
再连成光滑曲线, 并尽
量使曲线于所有点接近,
不强求通过各点, 要使
位于曲线两边的点数尽
量相等
电子测量原理
第 83页
? 3,经验公式法
? 经验公式法就是通过对实验数据的计算, 采用数理统
计的方法, 确定它们之间的数量关系, 即 用数学表达
式表示各变量之间关系 。 有时又把这种经验公式称为
数学模型 。
? 类型
? 有些一元非线性回归可采用变量代换, 将其转化为线
性回归方程来解 。
3.4.2测量数据的表示方法 （续）
一元线形
回归
一元非线
性回归
多元线性
回归
多元非线
性回归
变量个数 1 1 >1 >1
方次 1 >1 1 >1
y=a+bx
电子测量原理
第 84页
3.4.3 建立经验公式的步骤
已知测量数据列 (xi,yi i=1,2,…,n),建立公式的步骤如下：
? （ 1)将输入自变量 xi,作为横坐标, 输出量 yi即测量值作
为纵坐标, 描绘在坐标纸上, 并 把数据点描绘成测量曲
线 。
? （ 2） 分析描绘的曲线, 确定公式 y=f(x)的基本形式 。
? ① 直线, 可用一元线性回归方法确定直线方程 。
? ② 某种类型曲线, 则先将该曲线方程变换为直线方程,
然后按一元线性回归方法处理 。
? ③ 如果测量曲线很难判断属于何种类型, 这可以按曲
线多项式回归处理 。 即：
（ 3） 由测量数据 确定拟合方程 （ 公式 ） 中的常量 。
0
m
j
j
j
y k x
?
? ?
电子测量原理
第 85页
3.4.3 建立经验公式的步骤 （续）
? ( 4 ) 检验所确定的方程的准确性 。
① 用测量数据中的自变量代入拟合方程计算出函数值 y′
② 计算拟合残差
③ 计算拟合曲线的标准偏差
式中,m为拟合曲线未知数个数, n为测量数据列长度 。
? 如果标准偏差很大，说明所确定的公式基本形式有错误，
应建立另外形式公式重做。
'iii yy ???
mn
i
?
?? 2??
电子测量原理
第 86页
3.4.4 一元线性回归
? 用一个直线方程 y=a+bx来表达测量数据 (xi,yi
i=1,2,…,n)之间的相互关系，即求出 a和 b，此
过程就是一元线性回归。
? 1.端点法
? 此方法是将测量数据中两个端点, 起点和终点
（ 即最大量程点 ） 的测量值 （ x1,y1） 和 （ xn,yn）,
代入 y=a+bx, 则 a,b分别为
11 bxya ??
1
1
n
n
yyb
xx
??
?
0
20
40
60
80
0 5 10 15
x
y
电子测量原理
第 87页
3.4.4一元线性回归 （续）
? 2,平均选点法
? 此方法是将全部 n个测量值 (xi,yi i=1,2,…,n)
分成数目大致相同的两组, 前半部 k个测量点为
一组, 其余的 n-k个测量点为另一组, 两组测量
点都有自己的, 点系中心,, 其坐标分别为
? 通过两个, 点系中心, 的直线即是拟合直线
y=a+bx，其中 a,b分别为：
k
x
x
k
i
i?
?? 1
1 k
y
y
k
i
i?
?? 1
1 kn
x
x
n
ki
i
?
?
?
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2 kn
y
y
n
ki
i
?
?
?
?? 1
2
12
12
xx
yyb
?
?? 2211 xbyxbya ????
电子测量原理
第 88页
3.4.4一元线性回归 （续）
? 3,最小二乘法
? 最小二乘法的基本原理是在 残差平方和为最小 的条件下
求出最佳直线 。
? 测量数据中的任何一个数据 yi与拟合直线上 y=a+bx对应
的理想值 yi?之残差 (i=1,2,… n 为测量点数 ）
即
求 a和 b的偏导数, 并令它们为零, 即可解得 a和 b的值 。
'iii yy ???
m i n)]([
1 1
22 ????? ?
? ?
n
i
n
i
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? ?
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?
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n
i
n
i
ii
n
i
n
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n
i
ii
n
i
iii
xnx
xyyxx
a
1 1
22
1 1 1
2
1
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? ?
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?
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n
i
n
i
ii
n
i
n
i
ii
n
i
ii
xnx
yxnyx
b
1 1
22
1 11
)(
电子测量原理
第 89页
3.4.4一元线性回归 （续）
? 【 例 3.10】 对量程为 10Mpa的压力传感器, 用活
塞式压力计进行测试, 输出由数字电压表读数,
所得各测量点的输出值列于下表中 。 试用端点法,
平均选点法和最小二乘法 拟合线性方程, 并计算
各种拟合方程的 拟合精度 。
ix
iy
压力
（ MPa）
2 4 6 8 10
输出
（ mV）
10.043 20.093 30.135 40.128 50.072
电子测量原理
第 90页
3.4.4一元线性回归 （续）
压力
MPa
输出
mV
端点法 平均选点法 最小二乘法
理想直
线
残差 理想直
线
残差 理想直
线
残差
2 10.0
43
10.044 －
0.001
10.95 －
0.052
10.080 －
0.0337
4 20.0
93
20.052 0.041 20.097 －
0.004
20.090 0.003
6 30.1
35
30.060 0.093 30.099 0.054 30.100 0.053
8 40.1
28
40.068 0.060 40.101 0.027 40.110 0.018
10 50.0
72
50.068 －
0.004
50.103 －
0.031
50.120 －
0.048
拟合直线方程
拟合误差 0.068 0.049 0.048
xy 0 0 4.50 3 6.0 ?? xy 001.5093.0 ?? xy 0 0 5.50 7 0.0 ??
最小二乘法精确度最高，平均选点次之，端点法较差
mn
i
?
?? 2??
电子测量原理
第 91页
3章 总 结
? 1,随机误差
? 随机误差是由大量微小的没有确定规律的因素引起的,
无法避免和控制, 不能消除随机误差 。 但应采用数理统
计的方法, 减少随机误差 。
? ① 算术平均值
? ② 残差
? ③ 实验标准偏差
? （ 贝塞尔公式 ）
? ④ 算术平均值标准偏差的估计值
? ⑤ 根据概率分布和臵信概率确定臵信因子, 得到测量结
果的臵信区间 。 正态分布或 n>20时, k=2～ 3； n<20时,
查 t分布表得 k；均匀分布时 k＝ 。
? ⑥ 测量结果为：
??
??
????? n
i
i
n
i
i xxnnxs
1
2
1
2 )(
1
1
1
1)( ?
n
xsxs )()( ?
xx ii ???
?
?
? n
i
ixnx
1
1
3
)( xksx ?
电子测量原理
第 92页
3章 总 结 （续）
? 2,系统误差
? 系统误差的特点是固定不变的或按确定规律变化, 主
要由测量仪器, 测量方法, 测量环境和测量人员等因
素引起 。 多次测量不能减少系统误差 。
? 系统误差的发现方法有：校准的方法, 残差观察法,
马利科夫判据和阿贝－赫梅特判据 。
? 系统误差的削弱或消除方法,（ 1） 从产生系统误差根
源上采取措施； （ 2） 修正方法； （ 3） 采用专门的测
量方法, 如 ① 替代法, ② 交换法, ③ 对称测量法, ④
半周期法 。
电子测量原理
第 93页
3章 总 结 （续）
? 3,粗大误差
? 粗大误差是由于测量人员的偶然出错和外界条件的改
变, 干扰和偶然失效等造成, 应采取各种措施, 防止
产生粗大误差 。 对测量中的可疑数据可采用莱特检验
法或拉布斯检验法判断是否是粗大误差, 若是, 应剔
除不用 。
? 4,测量结果的处理
? 应区别对待等精度测量和不等精度测量, 不等精度测
量的测量结果用加权平均值表示, 标准偏差越小, 权
值越大 。
? 对测量数据进行处理时, 应首先检查和修正系统误差,
判别并剔除粗大误差 。
电子测量原理
第 94页
3章 总 结 （续）
电子测量原理
第 95页
3章 总 结 （续）
? 6,合成不确定度
? 由各不确定度分量合成的标准不确定度, 称为合成标
准不确定度 。 其评定方法是：
? (1)输入量不相关时,
? ① 可写出函数关系式
? ② 不能写出函数关系式
? (2)输入量相关时
2/1
1
1
1 1
)()(),(2)(2
2
)(
?
?
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?
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?
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f
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C
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iC uu
1
2
2/1
1
2
2
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?
?
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???
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???
?
?
?? ?
?
N
i
i
i
c xux
fyu
电子测量原理
第 96页
3章 总 结 （续）
? 7.扩展不确定度
? 扩展不确定度 U由合成标准不确定度与包含因子的乘积得到,U＝
k·uC, 的选取由臵信概率 （ 常取 0.95或 0.99） 和概率分布 （ 正态,
均匀, t分布等 ） 确定 。
? 8,测量不确定度的评定步骤
? ① 明确被测量的定义和数学模型及测量条件, 明确测量原理, 方法,
以及测量标准, 测量设备等；
? ② 分析不确定度来源；
? ③ 分别采用 A类和 B类评定方法, 评定各不确定度分量 。
? ④ 计算合成标准不确定度；
? ⑤ 计算扩展不确定度；
? ⑥ 报告测量结果 。
电子测量原理
第 97页
3章 总 结 （续）
? 9,有效数字处理和测量数据的表示方法
? （ 1） 数据修约规则：, 四舍五入, 等于五取偶数, ；
? （ 2） 有效数字与数据的准确度密切相关, 测量结果
（ 或读数 ） 的有效位数应由该测量的不确定度来确定；
? (3)把测量数据处理成一定的函数关系，通常采用方法
有列表法、图示法和经验公式
电子测量原理
第 98页
3章 总 结 （续）
? 10,建立公式的步骤和一元线性回归
? （ 1） 建立公式的步骤是：
? ① 列表画曲线
? ② 分析曲线, 确定曲线的基本形式,
? ③ 由测量数据确定拟合方程中的系数
? ④ 求拟合残差和拟合曲线的标准偏差, 并进行验证 。
? (2）一元线性回归（直线拟合）是用一个直线方程
来表示测量数据之间的相互关系，即求出方
程中的两个系数 a和 b。
? 回归方法通常有端点法、平均选点法和最小二乘法。
bxay ??
第 1页
3章．测量误差及数据处理
? 3.1 测量误差的分类和测量结果的表征
? 3.2 测量误差的估计和处理
? 3.3 测量不确定度
? 3.4 测量数据处理
电子测量原理
第 2页
3.1 测量误差的分类和测量结果的表征
3.1.1 测量误差的分类
? 根据测量误差的性质, 测量误差可分为随机误差, 系
统误差, 粗大误差三类 。
? 1.随机误差
? 定义, 在同一测量条件下 （ 指在测量环境, 测量人员,
测量技术和测量仪器都相同的条件下 ）, 多次重复测
量同一量值时 （ 等精度测量 ）, 每次测量误差的绝对
值和符号都以不可预知的方式变化的误差, 称为随机
误差或偶然误差, 简称随差 。
? 随机误差主要由对 测量值影响微小但却互不相关的大
量因素共同造成 。 这些因素主要是噪声干扰, 电磁场
微变, 零件的摩擦和配合间隙, 热起伏, 空气扰动,
大地微震, 测量人员感官的 无规律变化 等 。
电子测量原理
第 3页
3.1.1 测量误差的分类 （续）
? 例：对一不变的电压在相同情况下，多次测量得到
1.235V,1.237V,1.234V,1.236V,1.235V,1.237V。
? 单次测量的随差没有规律，
但多次测量的总体却服从统计规律。
? 可通过数理统计的方法来处理,即求算术平均值
12
1
1 nn
i
i
x x xxx
nn ?
? ? ??? ?
?随机误差定义：测量结果与在重复性条件下，对同一被测
量进行无限多次测量所得结果的平均值之差
iixx? ?? ()n ??
电子测量原理
第 4页
3.1.1 测量误差的分类 （续）
? 2.系统误差
? 定义：在同一测量条件下，多次测量重复同一量时，
测量误差的绝对值和符号都保持不变,或 在测量条件
改变时按一定规律变化 的误差，称为系统误差。例如
仪器的刻度误差和零位误差，或值随温度变化的误差。
? 产生的主要原因是仪器的制造、安装或使用方法不正
确，环境因素（温度、湿度、电源等）影响，测量原
理中使用近似计算公式，测量人员不良的读数习惯等。
? 系统误差表明了一个测量结果偏离真值或实际值的程
度 。 系差越小, 测量就越准确 。
? 系统误差的定量定义是：在重复性条件下, 对同一被
测量进行无限多次测量所得结果的平均值与被测量的
真值之差 。 即
0xA? ??
电子测量原理
第 5页
3.1.1 测量误差的分类 （续）
? 3.粗大误差,粗大误差是一种显然与实际值不符的
误差 。 产生粗差的原因有：
? ① 测量操作疏忽和失误 如测错, 读错, 记错以及实
验条件未达到预定的要求而匆忙实验等 。
? ② 测量方法不当或错误 如用普通万用表电压档直接
测高内阻电源的开路电压
? ③ 测量环境条件的突然变化 如电源电压突然增高或
降低, 雷电干扰, 机械冲击等引起测量仪器示值的剧
烈变化等 。
? 含有粗差的测量值称为坏值或异常值, 在数据处
理时, 应剔除掉 。
电子测量原理
第 6页
3.1.1 测量误差的分类 （续）
? 4.系差和随差的表达式
在剔除粗大误差后, 只剩下系统误差和随机误差
各次测得值的绝对误差等于系统误差和随机误差的代数和 。
? 在任何一次测量中，系统误差和随机误差一般都是同
时存在的。
? 系差和随差之间在一定条件下是可以相互转化
iiii xAxxxAx ????????? ??
电子测量原理
第 7页
3.1.2 测量结果的表征
? 准确度 表示系统误差的大小 。 系统误差越小, 则准确度
越高, 即测量值与实际值符合的程度越高 。
? 精密度 表示随机误差的影响 。 精密度越高, 表示随机误
差越小 。 随机因素使测量值呈现分散而不确定, 但总是
分布在平均值附近 。
? 精确度 用来反映系统误差和随机误差的综合影响 。 精确
度越高, 表示正确度和精密度都高, 意味着系统误差和
随机误差都小 。
射击误差
示意图
电子测量原理
第 8页
3.1.2 测量结果的表征 （续）
? 测量值
| | | |xA ??? ? ?
是粗大误差
4x
电子测量原理
第 9页
3.2 测量误差的估计和处理
? 3.2.1 随机误差的统计特性及减少方法
? 在测量中, 随机误差是不可避免的 。
? 随机误差是由大量微小的没有确定规律的因素
引起的, 比如外界条件 （ 温度, 湿度, 气压,
电源电压等 ） 的微小波动, 电磁场的干扰, 大
地轻微振动等 。
? 多次测量, 测量值和随机误差 服从概率统计规
律 。
? 可用 数理统计 的方法, 处理测量数据, 从而 减
少随机误差 对测量结果的影响 。
电子测量原理
第 10页
3.2.1随机误差的统计特性及减少方法 (续）
（ 1） 随机变量的数字特征
① 数学期望,反映其平均特性 。 其定义如下：
? X为 离散 型随机变量：
? X为 连续 型随机变量：
?
?
?
??
1i
ipixE(X )μ
?
?
??
?? dxxxpXE )()(?
1,随机误差的分布规律
电子测量原理
第 11页
3.2.1随机误差的统计特性及减少方法 (续）
② 方差和标准偏差
方差是用来描述随机变量与其数学期望的分散程度 。
设随机变量 X的数学期望为 E(X),则 X的方差定义为：
D(X)= E(X－ E(X))2
标准偏差 定义为：
? 标准偏差同样描述随机变量与其数学期望的分散程度,
并且与随机变量具有相同量纲 。
)( XD??
电子测量原理
第 12页
3.2.1随机误差的统计特性及减少方法 (续）
? 测量中的随机误差通常是多种相互独立的因素造
成的许多微小误差的总和。
? 中心极限定理：假设被研究的随机变量可以表示
为大量独立的随机变量的和，其中每一个随机变
量对于总和只起微小作用，则可认为这个随机变
量服从正态分布。
为什么测量数据和随机
误差大多接近正态分布？
(2)测量误差的正态分布
电子测量原理
第 13页
3.2.1随机误差的统计特性及减少方法 (续）
正态分布的概率密度函数和统计特性
? 随机误差的概率密度函数为：
? 测量数据 X的概率密度函数为：
? 随机误差的数学期望和方差为：
? 同样测量数据的数学期望 E(X)＝, 方差 D(X)＝
)
2
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2
1)(
2
2
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2
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2
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2
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2
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2
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?
??
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ddpED
? 2?
电子测量原理
第 14页
3.2.1随机误差的统计特性及减少方法 (续）
正态分布时概率密度曲线
随机误差和测量数据的分布形状相同，因为它们的标准偏
差相同，只是横坐标相差 ?
( a ) 随 机 误 差 ( b ) 测 量 数 据
0 ?
)( ?p
x
p ( x )
0
图 3 － 1 随 机 误 差 和 测 量 数 据 的 正 态 分 布 曲 线
随机误差具有,① 对称性 ② 单峰性 ③ 有界性 ④ 抵偿性
电子测量原理
第 15页
3.2.1随机误差的统计特性及减少方法 (续）
标准偏差意义
? 标准偏差是代表测量数据和测量误差分布离散程
度的特征数 。
? 标准偏差越小, 则曲线形状越尖锐, 说明数据越
集中；标准偏差越大, 则曲线形状越平坦, 说明
数据越分散 。
0 ?
)( ?p
1
?
2
?
3
?
电子测量原理
第 16页
3.2.1随机误差的统计特性及减少方法 (续）
（ 3）测量误差的非正态分布
? 常见的非正态分布有均匀分布, 三角分布, 反正弦分布等 。
? 均匀分布：仪器中的刻度盘回差、最小分辨力引起的误差
等；, 四舍五入, 的截尾误差；当只能估计误差在某一范
围内，而不知其分布时，一般可假定均匀分布。
a b
P(x)
概率密度,
均值, 当 时,
标准偏差,
当 时，
??
?
?
?
??
0
1
)( abxp
bxax
bxa
??
??
,
2
ba ???
ba ??
32
ab ?
3
b??
ba ?? 0??
电子测量原理
第 17页
3.2.1随机误差的统计特性及减少方法 (续）
2,有限次测量的数学期望和标准偏差的估计值
求被测量的数字特征，理论上需 无穷多次 测量，
但在实际测量中只能进行 有限次 测量，怎么办？
用事件发生的频度代替事件发生的概率, 当
则
n
nxpxXE im
i
i
m
i
ii ??
??
??
11
)(
令 n个可相同的测试数据 xi(i=1.2…,n)
次数都计为 1,当 时，则
??
??
??
n
i
i
n
i
i xnnxXE
11
11)(
? ? n
? ? n
（ 1）有限次测量的数学期望的估计值 ——算术平均值
被测量 X的数学期望，
就是当测量次数
时，各次测量值的算
术平均值
? ? n
电子测量原理
第 18页
3.2.1随机误差的统计特性及减少方法 (续）
? 规定使用算术平均值为数学期望的估计值, 并作
为最后的测量结果 。 即：
? 算术平均值是数学期望的无偏估计值, 一致估计
值和最大似然估计值 。
?
?
?
n
i
ixnx
1
1
有限次测量值的算术平均
值比测量值更接近真值？
电子测量原理
第 19页
3.2.1随机误差的统计特性及减少方法 (续）
（ 2）算术平均值的标准偏差
故：
算术平均值的标准偏差比总体或单次测量值的标准
偏差小 倍。原因是随机误差的抵偿性 。
*
)]()()([1)(1)1()( 222122
1
2
2
1
22
n
n
i
i
n
i
i xxxnxnxnx ?????? ?????? ??
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?
)(1)(1 222 X
n
Xn
n
?? ??
n
Xx )()( ?? ?
n
电子测量原理
第 20页
算术平均值,
3.2.1随机误差的统计特性及减少方法 (续）
（ 2）有限次测量数据的标准偏差的估计值
残差：
实验标准偏差 （ 标准偏差的估计值），贝塞尔公式：
算术平均值标准偏差的估计值,
xx ii ???
??
??
?
?
?
?
?
n
i
i
n
i
i xxnnxs
1
2
1
2 )(
1
1
1
1)( ?
n
xsxs )()( ?
?
?
?
n
i
ixnx
1
1
电子测量原理
第 21页
3.2.1随机误差的统计特性及减少方法 (续）
【 例 3.1】 用温度计重复测量某个不变的温度，得 11个测
量值的序列（见下表）。求测量值的平均值及其标准偏差。
解,① 平均值
② 用公式 计算各测量值残差列于上表中
③ 实验偏差
④ 标准偏差
)(1.530)531530532530529533531527529531528(11 11
1
Cxnx o
n
i
i ????????????? ?
?
xx ii ???
)(767.111)(
1
2 C
nxs
o
n
i
i ??? ?
?
?
)(53.011767.1)()( Cnxsxs o???
x
电子测量原理
第 22页
3.2.1随机误差的统计特性及减少方法 (续
3,测量结果的臵信问题
（ 1） 臵信概率与臵信区间：
臵信区间 内包含真值的概率称为臵信概率 。
臵信限：
k—— 臵信系数 （ 或臵信因子 ）
?k???
?kxEx ?? )(
臵信概率是图中
阴影部分面积
电子测量原理
第 23页
3.2.1随机误差的统计特性及减少方法 (续）
（ 2）正态分布的臵信概率
? 当分布和 k值确定之后，则臵信概率可定
? 正态分布,当 k=3时
臵信因子 k 臵信概率 Pc
1 0.683
2 0.955
3 0.997
? ?????? ? ? ????? k k dpkPkxExP )(][])([
997.0)
2
e x p (
2
1)()3(
2
23
3
3
3
????? ? ?
? ?
?
?
?
??
????
?
?
?
?
ddpP
区间越宽，
臵信概率越大
电子测量原理
第 24页
3.2.1随机误差的统计特性及减少方法 (续）
（ 3） t分布的臵信限
? t分布与测量次数有关。当 n>20以后,t分布趋于
正态分布。正态分布是 t分布的极限分布。
? 当 n很小时,t分布的中心值比较小，分散度较大，
即对于相同的概率,t分布比正态分布有更大的
臵信区间。
? 给定臵信概率和测量次数 n，查表得臵信因子 kt。
自由度,v=n-1
电子测量原理
第 25页
3.2.1随机误差的统计特性及减少方法 (续）
电子测量原理
第 26页
3.2.1随机误差的统计特性及减少方法 (续）
（ 4）非正态分布的臵信因子
? 由于常见的非正态分布都是有限的, 设其臵信限为误差极
限, 即误差的臵信区间为 臵信概率为 100％ 。
k
（ P=1)
反正弦均匀三角分布
236
k
?? k?a?
例：均匀分布
有 故,
3
a??
3
akka ?? ? 3?k
-a a
P(x)
x0
电子测量原理
第 27页
3.2.1随机误差的统计特性及减少方法 (续）
电子测量原理
第 28页
3.2.2 系统误差的判断及消除方法 （续）
1,系统误差的特征：
c
a
?
0 t
图 3 － 7 多种系统误差的特征
其中,a ---- 不变系差 b ----- 线性变化系差
c ----- 周期性系差 d ----- 复杂规律变化系差
d
b
在同一条件下，多次测量同一量值时，误差的绝对值和符
号保持不变，或者在条件改变时，误差按一定的规律变化。
多次测量求平均不能减少系差 。
电子测量原理
第 29页
3.2.2 系统误差的判断及消除方法 （续）
2,系统误差的发现方法
? （ 1） 不变的系统误差,
? 校 准, 修正和实验比对 。
? （ 2） 变化的系统误差
? ① 残差观察法, 适用于系统误差比随机误差大的情况
将所测数据及其残差按先后次序列表或作图, 观察各
数据的残差值的大小和符号的变化 。
i
i
?
0i
i
?
0
存在线性变化的系统误差 无明显系统误差
电子测量原理
第 30页
3.2.2 系统误差的判断及消除方法 （续）
② 马利科夫判据：
若有累进性系统误差, D 值应明显异于零 。
当 n为偶数时,
当 n为奇数时,
? ③ 阿贝－赫梅特判据：检验周期性系差的存在 。
2
1
1
11 sn
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1 12/
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2/)1(
1 2/)1(
n
i
n
ni
iiD ??
电子测量原理
第 31页
3.2.2 系统误差的判断及消除方法 （续）
3,系统误差的削弱或消除方法
（ 1） 从产生系统误差根源上采取措施减小系统误差
? ① 要从测量原理和测量方法尽力做到正确, 严格 。
? ② 测量仪器定期检定和校准, 正确使用仪器 。
? ③ 注意周围环境对测量的影响, 特别是温度对电子测量
的影响较大 。
? ④ 尽量减少或消除测量人员主观原因造成的系统误差 。
应提高测量人员业务技术水平和工作责任心, 改进设备 。
（ 2） 用修正方法减少系统误差
修正值＝－误差 =－（测量值－真值）
实际值＝测量值＋修正值
电子测量原理
第 32页
3.2.2 系统误差的判断及消除方法 （续）
（ 3）采用一些专门的测量方法
? ① 替代法
? ② 交换法
? ③ 对称测量法
? ④ 减小周期性系统误差的半周期法
系统误差可忽略不计的准则 是：
系统误差或残余系统误差代数和的绝对值不超过测
量结果扩展不确定度的最后一位有效数字的一半 。
电子测量原理
第 33页
3.2.3 粗大误差及其判断准则
? 大误差出现的概率很小，列出可疑数据，分析
是否是粗大误差，若是，则应将对应的测量值
剔除 。
? 1,粗大误差产生原因以及防止与消除的方法
? 粗大误差的产生原因
? ① 测量人员的主观原因,操作失误或错误记录；
? ② 客观外界条件的原因,测量条件意外改变, 受
较大的电磁干扰, 或测量仪器偶然失效等 。
? 防止和消除粗大误差的方法
? 重要的是采取各种措施, 防止产生粗大误差 。
电子测量原理
第 34页
3.2.3 粗大误差及其判断准则 （续）
2,粗大误差的判别准则
统计学的方法的基本思想是：给定一臵信概率，确定相应
的臵信区间，凡超过臵信区间的误差就认为是粗大误差，
并予以剔除。
莱特检验法
格拉布斯检验法
si 3??
sG ??m a x?
式中,G值按重复测量次数 n及臵信概率 Pc确定
3 4 5 6 7 8 9 10 11
95% 1,15 1,46 1,67 1,82 1,94 2,03 2,11 2,18 2,23
99% 1,16 1,49 1,75 1,94 2,1 2,22 2,32 2,41 2,48
12 13 14 15 16 17 18 19 20
95% 2,29 2,33 2,37 2,41 2,44 2,47 2,5 2,53 2,56
99% 2,55 2,61 2,66 2,7 2,74 2,78 2,82 2,85 2,88
c
p
n
c
p
n
电子测量原理
第 35页
3.2.3 粗大误差及其判断准则 （续）
应注意的问题
? ① 所有的检验法都是人为主观拟定的, 至今 无
统一的规定 。 当偏离正态分布和测量次数少时检
验不一定可靠 。
? ② 若有多个可疑数据同时超过检验所定臵信区间,
应 逐个剔除, 重新计算, 再行判别 。 若有两个相
同数据超出范围时, 应逐个剔除 。
? ③ 在一组测量数据中,可疑数据应很少 。反之，
说明系统工作不正常。
电子测量原理
第 36页
3.2.3 粗大误差及其判断准则 （续）
解,① 计算得 s=0.033
计算残差填入表 3－ 7,最大, 是可疑数据 。
②用莱特检验法
3 ·s=3× 0.033=0.099
故可判断 是粗大误差, 应予剔除 。
再 对 剔 除 后 的 数 据 计 算 得, s′ = 0.016
3·s′ = 0.048
各测量值的残差 V′ 填入表 3－ 7,残差均小于 3 s′
故 14个数据都为正常数据 。
4 0 4.20?x
104.08 ??? 8x
8x
4 1 1.20' ?x
【 例 3.3】 对某电炉的温度进行多次重复测量，所得
结果列于表 3－ 7，试检查测量数据中有无粗大误差。
电子测量原理
第 37页
3.2.4 测量结果的处理步骤
? ① 对测量值进行系统误差修正, 将数据依次列成表格；
? ② 求出算术平均值
? ③ 列出残差, 并验证
? ④ 按贝塞尔公式计算标准偏差的估计值
? ⑤ 按莱特准则, 或格拉布斯准则 检查和剔除粗大误差；
? ⑥ 判断有无系统误差 。 如有系统误差, 应查明原因, 修正
或消除系统误差后重新测量；
? ⑦ 计算算术平均值的标准偏差 ；
? ⑧ 写出最后结果的表达式, 即 （ 单位 ） 。
?
?
?
n
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ixnx
1
1
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1
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1
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ss
x ?
xskxA ???
电子测量原理
第 38页
3.2.4 测量结果的处理步骤 （续）
? 【 例 3,4】 对某电压进行了 16次等精度测量,
测量数据中已记入修正值, 列于表中 。 要求给出
包括误差在内的测量结果表达式 。
1 2 0 5, 3 0 0.09 9 2 0 5, 7 1 0.41 0.5
2 2 0 4, 9 4 -0.4 -0.27 10 2 0 4, 7 -0.6 -0.51
3 2 0 5, 6 3 0.33 0.42 11 2 0 4, 8 6 -0.44 -0.35
4 2 0 5, 2 4 -0.1 0.03 12 2 0 5, 3 5 0.05 0.14
5 2 0 6, 6 5 1.35 13 2 0 5, 2 1 -0.09 0
6 2 0 4, 9 7 -0.3 -0.24 14 2 0 5, 1 9 -0.11 -0.02
7 2 0 5, 3 6 0.06 0.15 15 2 0 5, 2 1 -0.09 0
8 2 0 5, 1 6 -0.1 -0.05 16 2 0 5, 3 2 0.02 0.11
残 差 残 差测量值序号 残 差 残 差 序号测量值
电子测量原理
第 39页
3.2.4 测量结果的处理步骤 （续）
电子测量原理
第 40页
3.2.4 测量结果的处理步骤 （续）
- 0, 8
- 0, 6
- 0, 4
- 0, 2
0
0, 2
0, 4
0, 6
图3 －9 残差图
5 10 15 n
'i?
电子测量原理
第 41页
3.2.4 测量结果的处理步骤 （续）
等精度测量与不等精度测量
? 等精度测量,即在相同地点、相同的测量方法和相同测
量设备、相同测量人员、相同环境条件（温度、湿度、
干扰等），并在 短时间内进行的重复测量 。
? 不等精度测量,在 测量条件不相同 时进行的测量，测量
结果的精密度将不相同。
? 不等精度测量处理方法：
权值与标准偏差的平方成反比 。权值
测量结果为加权平均值
i
iW 2?
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i
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ii
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xW
x
x
1
1
1
2
1
2
1
?
?
电子测量原理
第 42页
3.2.4 测量结果的处理步骤 （续）
电子测量原理
第 43页
3.2.5 误差的合成分析
? 问题：用间接法测量电阻消耗的功率时, 需测量电阻 R、
端电压 V和电流 I三个量中的两个量, 如何根据电阻, 电
压或电流的误差来推算功率的误差呢？
电子测量原理
第 44页
3.2.5 误差的合成分析 （续）
电子测量原理
第 45页
3.2.5 误差的合成分析 （续）
? 在实际应用中，由于分项误差符号不定而可同时
取正负，有时就采用保守的办法来估算误差，即
将式中各分项取绝对值后再相加
? 该公式常用于在设计阶段中对传感器、仪器及系
统等的误差进行分析和估算，以采取减少误差的
相应措施。但是，更严格和更准确地计算合成误
差的方法是测量不确定度理论中的合成不确定度
评定，有关内容在本书第 3章中讨论
1
n
i
i i
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电子测量原理
第 46页
3.3 测量不确定度
? 3.3.1 不确定度的概念
? 不确定度是说明 测量结果可能的分散程度 的参数 。 可
用标准偏差表示, 也可用标准偏差的倍数或臵信区间
的半宽度表示 。
? 1.术语
（ 1） 标准不确定度,
用概率分布的 标准偏差表示的不确定度
① A类 标准不确定度：用 统计方法 得到的不确定度 。
② B类 标准不确定度：用 非统计方法 得到的不确定度
电子测量原理
第 47页
3.3.1 不确定度的概念 （续）
（ 2） 合成 标准不确定度
*由各 不确定度分量合成 的标准不确定度。
*因为测量结果是受若干因素联合影响。
（ 3） 扩展 不确定度
*合成标准不确定度的倍数 表示的测量不确定度，即用包
含因子乘以合成标准不确定度得到一个区间半宽度。
*包含因子的取值决定了扩展不确定度的臵信水平。
*通常 测量结果的不确定度都用扩展不确定度表示
电子测量原理
第 48页
3.3.1 不确定度的概念 （续）
2.不确定度的分类
测量不
确定度
不确定度
扩展不确定度
B 类标准不确定度
B
u
标准不确定
度
A 类标准不确定度
A
u
合成标准不确定度
C
u
U
99
U
95
U( )3?k
U( )2?k
相对不确定度
电子测量原理
第 49页
3.3.1 不确定度的概念 （续）
3,不确定度的来源
① 被测量定义 的不完善, 实现被测量定义的方法不理想,
被测量样本不能代表所定义的被测量 。
② 测量装臵或仪器 的分辨力, 抗干扰能力, 控制部分稳定性
等影响 。
③ 测量环境 的不完善对测量过程的影响以及测量人员技术水
平等影响 。
④ 计量标准 和标准物质的值本身的不确定度, 在数据简化算
法中使用的常数及其他参数值的不确定度, 以及在测量
过程中引入的 近似值 的影响 。
⑤ 在相同条件下, 由随机因素所引起的 被测量本身的不稳定
性 。
电子测量原理
第 50页
3.3.2 误差与不确定度的区别
测量误差 测量不确定度
客观存在的，但不能准确得到，
是一个定性的概念
表示测量结果的分散程度, 可根据
试验, 资料等信息定量评定 。
误差是不以人的认识程度而改变 与人们对被测量和影响量及测量过
程的认识有关 。
随机误差、系统误差是两种不同
性质的误差
A类或 B类不确定度是两种不同的评
定方法，与随机误差、系统误差之
间不存在简单的对应关系。
须进行异常数据判别并剔除。 剔除异常数据后再评定不确定度
在最后测量结果中应修正确定的
系统误差。
在测量不确定度中不包括已确定的
修正值，但应考虑修正不完善引入
的不确定度分量。
“误差传播定律, 可用于间接测量
时对误差进行定性分析。
不确定度传播律更科学，用于定量
评定测量结果的合成不确定度
电子测量原理
第 51页
? 1,标准不确定度的 A类评定方法
在同一条件下对被测量 X进行 n 次测量，测量值为
xi(i=1,2,…,n)，
(A)计算样本算术平均值，作为被测量 X的估计值，
并把它作为测量结果 。
(B)计算实验偏差
式中自由度 v=n－ 1.
( C) A类不确定度
3.3.3 不确定度的评定方法 （续）
?
?
?
n
i
ixnx
1
1
1
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2
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?
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XS
n
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i
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A
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自由度意义：
自由度数值越大，
说明测量不确定
度越可信。
电子测量原理
第 52页
3.3.3 不确定度的评定方法 （续）
2,标准不确定度的 B类评定方法
? B类方法评定的主要信息来源是以前测量的数据,
生产厂的技术证明书, 仪器的鉴定证书或校准证
书等 。
? 确定测量值的误差区间 （ α,-α ）, 并假设被测
量的值的概率分布, 由要求的臵信水平估计包含
因子 k,则 B类标准不确定度 uB为
? 其中 a ——区间的半宽度；
? k——臵信因子，通常在 2～ 3之间。
ku B
??
电子测量原理
第 53页
分布 三角 梯形 均匀 反正弦
k (p=1)
概率
P%
50 68.27 90 95 95.45 99 99.73
置信因
子
0.676 1 1.645 1.960 2 2.576 3
3.3.3 不确定度的评定方法 （续）
? 表 3－ 9 正态分布时概率与臵信因子的关系
6 21/6 ?? 3 2
表 3－ 10 几种非正态分布的臵信因子 k
电子测量原理
第 54页
3.3.3 不确定度的评定方法 （续）
电子测量原理
第 55页
3.3.3 不确定度的评定方法 （续）
3,合成标准不确定度的计算方法
? （ 1） 协方差和相关系数的概念
? 两个随机变量 X和 Y,其中一个量的变化导致另一个量
的变化, 那么这两个量是相关的 。
? 独立肯定不相关, 但不相关不一定独立 。
? ① 协方差的概念
? 协方差
? 协方差的估计值
)])([(),( yx yxEYXC o v ?? ???
?
?
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?
?
n
i
iixy yyxxnS
1
))((
1
1
电子测量原理
第 56页
3.3.3 不确定度的评定方法 （续）
? ② 相关系数 Q 概念,表示两随机变量相关程度
? － 1≤ Q≤ 1。
? 相关系数的估计值 r(x,y)
)()(
),(),(
YX
YXCo vYXQ
??
?
正相关 负相关 完全正相关 完全负相关 不相关
0<Q<1 － 1<Q<0 Q=1 Q=－ 1 Q=0
)()()1(
))((
)()(
))((
)()(
),(
1
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22
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yyxx
yyxx
yyxx
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ii
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电子测量原理
第 57页
? （ 2） 输入量不相关时不确定度的合成
? ① 可写出函数关系式 Y＝ｆ （ X1,X2,……, XN） ；
式中 称为灵敏系数
? ② 不能写出函数关系式
? (3)输入量相关时,使用 不确定度传播律
3.3.3 不确定度的评定方法 （续）
2/1
1
2
2
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x x x
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i
f
x
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电子测量原理
第 58页
? （ 4）不确定度传播律公式的几种简化方法
? ① 所有的输入量都相关, 且相关系数 ｒ (ｘ ｉ,ｘ ｊ )＝ 1
时, 则 UC(y)为
② 当被测量的函数形式为 Y＝ A1X1＋ A2X2＋ … ＋ ANXN,且 X1,
X2,…,XN不相关 时, 合成标准不确定度 UC(y)为
3.3.3 不确定度的评定方法 （续）
1
( ) ( )
N
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fu y u x
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1 / 2
22
1
( ) ( )
N
C i i
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u y A u y
?
???
?????
电子测量原理
第 59页
3.3.3 不确定度的评定方法 （续）
? ③ 当被测量的函数形式为
且 X1,X2,…,XN不相关 时, 相对合成标准不确定度
UC(y)/Y为
例, 电功率 P=IV 则
?
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N
i
iii
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1212 Np p pNY X X X? ? ? ?
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P I V I V
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IV
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电子测量原理
第 60页
3.3.3 不确定度的评定方法 （续）
电子测量原理
第 61页
3.3.3 不确定度的评定方法 （续）
? （ 5） 不确定度分量的忽略
? 一切不确定度分量均贡献于合成不确定度, 即只会使
合成不确定度增加 。 忽略任何一个分量, 都会导致合
成不确定度变小 。
? 但由于采用的是方差相加得到合成方差, 当某些分量
小到一定程度后, 对合成不确定度实际上起不到什么
作用, 为简化分析与计算, 则可以忽略不计 。
? 例如, 忽略某些分量后, 对合成不确定度的影响不足
十分之一, 就 可根据情况忽略这些分量 。
电子测量原理
第 62页
3.3.3 不确定度的评定方法 （续）
4.扩展不确定度的确定方法
? 扩展不确定度 U由合成标准不确定度 ｕ C 与包含因
子 ｋ 的乘积得到
U＝ k·uC
? 测量结果表示为 Y＝ ｙ 〒 U,即 Y=y 〒 kuc
y是被测量 Y的 最佳估计值,k 由臵信概率（常取 0.95或
0.99）和概率 分布（正态、均匀,t分布等）确定。
算术平均值
电子测量原理
第 63页
3.3.3 不确定度的评定方法 （续）
? 包含因子 k是的选取方法有,
? (A)无法得到合成标准不确定度
的自由度, 且测量值接近正态分
布时, 则一般取 ｋ 的典型值为 2
或 3。
? (B)根据测量值的分布规律和所
要求的臵信水平, 选取ｋ值 。 例
如, 假设为均匀分布时, 臵信水
平 P＝ 0,95,查表得 k＝ 1,65。
P﹪ k
57.74 1
95 1.65
99 1.71
100 1.73
表 3—11 均匀分
布时臵信概率与臵
信因子 k的关系
电子测量原理
第 64页
3.3.3 不确定度的评定方法 （续）
(C)根据要求的 臵信概率 Pc和计算得到的自由度 veff，查 t分布
的 t值，得 k 。自由度的计算步骤如下：
a)求 A类不确定度分量的自由度
b)求 B类不确定度分量的自由度
c)求合成不确定度的自由度
1?? ni?
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N
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ii
C
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44
4
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)(
2
)(
)(
2
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i
i
xu
xu
电子测量原理
第 65页
3.3.3 不确定度的评定方法 （续）
电子测量原理
第 66页
3.3.4 测量不确定度的评定步骤
? 对测量设备进行校准或检定后，要出具校准或检
定证书；对某个被测量进行测量后也要报告测量
结果，并说明测量不确定度。
? ① 明确被测量的定义和数学模型及测量条件, 明确测
量原理, 方法, 以及测量标准, 测量设备等；
? ② 分析不确定度来源 ；
? ③ 分别采用 A类和 B类评定方法, 评定各不确定度分量 。
A类评定时要剔除异常数据；
? ④ 计算 合成 标准不确定度；
? ⑤ 计算 扩展 不确定度；
? ⑥ 报告测量结果 。
Y=y 〒 kuc
电子测量原理
第 67页
3.3.4 测量不确定度的评定步骤 （续）
【 例 3,9】 用电压表直接测量一个标称值为 200Ω 的
电阻两端的电压, 以便确定该电阻承受的 功率 。 测
量所用的电压的技术指标由使用说明书得知, 其 最
大允许误差为 〒 1％, 经计量鉴定合格, 证书指出
它的自由度为 10。 (当证书上没有有关自由度的信
息时, 就认为自由度是无穷大 。 )标称值为 200Ω 的
电阻经校准, 校准证书给出其校准值为 199.99Ω,
校准值的 扩展不确定度为 0.02Ω （ 包含因子 k为 2） 。
用电压表对该电阻在同一条件下重复测量 5次, 测
量值分别为,2.2V,2.3V,2.4V,2.2V,2.5V。 测
量时温度变化对测量结果的影响可忽略不计 。 求功
率的测量结果及其扩展不确定度 。
R
VP 2?
电压的 B类
不确定度
电阻的 B类
不确定度
电压的 A类
不确定度
电子测量原理
第 68页
解,（ 1） 数学模型
（ 2） 计算测量结果的最佳估计值
①
②
3.3.4测量不确定度的评定步骤 （例 3.9续）
R
VP 2?
VVnVV n
i
i 32.25
5.22.24.23.22.2/
1
????????????? ?
?
WWRVP 0 2 7.099.1 9 9 )32.2()(
22
???
3）测量不确定度的分析
本例的测量不确定度主要来源为①电压表不准确；②电阻不准
确；③由于各种随机因素影响所致电压测量的重复性。
电子测量原理
第 69页
3.3.4测量不确定度的评定步骤 （例 3.9续）
·
Vn
V
V
n
i
i
32.21 ??
?
?
VV
xx
S i
i
13.0
4
18.012.008.002.012.0
15
)( 22222
5
1
2
??????
?
?
?
?
?
VVnSxSVu 058.0513.0)()(2 ????
（ 4） 标准不确定度分量的评定
① 电压测量引入的标准不确定度
(a)电压表不准引入的标准不确定度分量 u1 （ V）按 B类评定。
a1=2.32V〓 1%=0.023V
(b) 电压测量重复性引入的标准不确定度分量 u2 （ V） 。 按 A类评定 。
VkaVu 0 1 3.030 2 3.0)(
1
1
1 ???
电子测量原理
第 70页
3.3.4测量不确定度的评定步骤 （例 3.9续）
? (c)由此可得,
? 电压的自由度如下：
② 电阻不准引入的标准不确定度分量 u（ R）
? 由电阻的校准证书得知, 其校准值的扩展不确
定度 U＝ 0.02Ω, 且 k=2,则 u（ R） 可由 B类评定
得到
VVVuVuVu 0 5 9.00 5 8.00 1 3.0)()()( 222221 ?????
3.4
4
0 5 8.0
10
0 1 3.0
0 5 9 4.0
)()(
)(
44
4
2
4
2
1
4
1
4
)( ?
?
?
?
?
v
Vu
v
Vu
Vu
v CVe f f
?????? 01.0202.0)(
2
2
k
U
k
aRu
电子测量原理
第 71页
3.3.4测量不确定度的评定步骤 （例 3.9续）
? （ 5） 计算合成标准不确定度 uC(P)
?, 其中输入量 V（ 电压 ） 和 R（ 电阻 ） 不相关
? ① 计算灵敏系数 c1和 c2,得
? ② 计算 UC(P),得
R
VP 2?
)()()( 222221 RucVucPu C ??
???????? /0 2 3.099.1 9 9 32.2221 VRVVPc
22
22
2
( 2, 3 2 ) 0, 0 0 0 1 3 /
( 1 9 9, 9 9 )
PVcV
RR
?? ? ? ? ?
?
WPu C 0 0 1 4.0)01.0()0 0 0 1 3.0()059.0()023.0()( 2222 ???
电子测量原理
第 72页
3.3.4测量不确定度的评定步骤 （例 3.9续）
? （ 6） 确定扩展不确定度 U
? 计算合成标准不确定度的有效自由度 veff：
? 电压的自由度＝ 4.3,电阻的自由度可设为, 则
? ③ 根据 P＝ 0.95,veff＝ 5,查 t分布, 得
? ④扩展不确定度 U0.95为
（ 7）报告最终测量结果
功率 P＝（ 0.027〒 0.004） W （臵信水平 P＝ 0.95）
包含因子 k为 2.57，有效自由度为 5。
?
52.5
3.4
0 5 9.00 2 3.0
0 0 1 4.0
)(
)(
)(
)(
)(
44
4
44
2
44
1
4
??
?
?
?
?
Rv
Ruc
Vv
Vuc
Puv C
e f f
57.2)5(95.095.0 ?? tk
0, 0 0 4 W W6 0 0 3.00 0 1 4.057.2)(95.095.0 ????? PukU c
电子测量原理
第 73页
? 1.合成不确定度的分配
? 在进行测量工作前, 根据测量准确度的要求来选择测量
方案, 确定每项不确定度的允许范围
? （ 1） 按等作用原则分配不确定度：各个不确定度分量对
合成不确定度的影响相等 。
假设确定度互不相关, 各个不确定度分量相等,
有：
则：
? （ 2） 因为有的测量值则难以满足要求, 各分量灵敏系数
也不同, 必须根据具体情况进行调整 。 对难以实现的不
确定项进行补偿；
3.3.5合成不确定分配及最佳测量方案的选择
nuuu ??? ?21
iiiC Scnnuu ??? 2
nuu Ci /?
电子测量原理
第 74页
3.3.5合成不确定分配及最佳测量方案的选择 （续）
? 2.最佳测量方案的选择
选择目的：使测量结果的不确定度为最小 。
? （ 1） 选择 最有利的函数公式
? 应先取包含测量值数目最少的函数公式来表示；
? 则应选取不确定度较小的测量值的函数公式,
如测量内尺寸的误差比测量外尺寸的误差大, 应选择含
有外尺寸的函数公式 。
? （ 2） 使各个测量值对函数的 传递系数为零或最小
由函数公式可知, 若使不确定度传递系数 ci＝ 0或为
最小, 则合成不确定度可相应减小 。
电子测量原理
第 75页
3.4 测量数据处理
? 3.4.1 有效数字的处理
? 1,数字修约规则
? 由于测量数据和测量结果均是近似数, 其位数各不相同 。
为了使测量结果的表示准确唯一, 计算简便, 在数据处
理时, 需对测量数据和所用常数进行修约处理 。
? 数据修约规则：
? （ 1） 小于 5舍去 ——末位不变 。
? （ 2） 大于 5进 1——在末位增 1。
? （ 3） 等于 5时, 取偶数 ——当末位是偶数, 末位不变；
末位是奇数, 在末位增 1（ 将末位凑为偶数 ） 。
电子测量原理
第 76页
3.4.1有效数字的处理 （续）
? 例：将下列数据舍入到小数第二位 。
? 12.4344→ 12.43 63.73501→ 63.74
? 0.69499→ 0.69 25.3250→ 25.32
? 17.6955→ 17.70 123.1150→ 123.12
? 需要注意的是, 舍入应一次到位, 不能逐位舍入 。
上例中 0.69499,正确结果为 0.69, 错误做法是：
0.69499→ 0.6950→ 0.695→ 0.70。
? 在, 等于 5”的舍入处理上, 采用取偶数规则, 是为了在
比较多的数据舍入处理中, 使产生正负误差的概率近似
相等 。
电子测量原理
第 77页
3.4.1有效数字的处理 （续）
? 2,有效数字
? 若截取得到的近似数其 截取或舍入误差的绝对值不超过
近似数末位的半个单位, 则该近似数从左边第一个非零
数字到最末一位数为止的全部数字, 称之为有效数字 。
例如：
3.142 四位有效数字, 极限误差 ≤ 0.0005
8.700 四位有效数字, 极限误差 ≤ 0.0005
8.7〓 103 二位有效数字, 极限误差 ≤ 0.05〓 103
0.0807 三位有效数字, 极限误差 ≤ 0.005
电子测量原理
第 78页
3.4.1有效数字的处理 （续）
中间的 0和末尾的 0都是有效数字, 不能随意添加 。 开头的
零不是有效数字 。
测量数据的绝对值比较大 （ 或比较小 ）, 而有效数字又比
较少的测量数据, 应采用 科学计数法, 即 a〓 10n,a的位
数由有效数字的位数所决定 。
? 测量结果 （ 或读数 ） 的有效位数应由该测量的不
确定度来确定, 即 测量结果的最末一位应与不确
定度的位数对齐 。
? 例如, 某物理量的测量结果的值为 63.44,且该量的测量
不确定度 u＝ 0.4,测量结果表示为 63.4〒 0.4。
电子测量原理
第 79页
3.4.1有效数字的处理 （续）
? 3.近似运算法则
保留的位数原则上取决于各数中准确度最差的那一项 。
? （ 1） 加法运算
以小数点后位数最少的为准 （ 各项无小数点则以有效位数
最少者为准 ）, 其余各数可多取一位 。 例如：
? （ 2） 减法运算,当两数相差甚远时, 原则同加法运算；当
两数很接近时, 有可能造成很大的相对误差, 因此, 第一
要尽量避免导致相近两数相减的测量方法, 第二在运算中
多一些有效数字 。
电子测量原理
第 80页
3.4.1有效数字的处理 （续）
? （ 3） 乘除法运算
? 以有效数字位数最少的数为准, 其余参与运算的数字
及结果中的有效数字位数与之相等 。 例如：
→
? 也可以比有效数字位数最少者多保留一位有效数字 。
例如上面例子中的 517.43和 4.08各保留至 517和 4.08,结果
为 35.5。
? （ 4） 乘方, 开方运算：
? 运算结果比原数多保留一位有效数字 。 例如：
? （ 27.8） 2≈ 772.8 (115)2≈ 1.322〓 104
5.3508.4 8 8 0 4.1 4 408.4 28.043.5 1 7 ???
365.3551.351.4 28.052008.4 28.043.517 ??????
电子测量原理
第 81页
3.4.2测量数据的表示方法
1,列表法
? 根据测试的目的和内容, 设计出合理的表格 。 列表
法简单, 方便, 数据易于参考比较, 它对数据变化
的趋势不如图解法明了和直观, 但列表法是图示法
和经验公式法的基础 。
例：
x 0 2 4 6 8 10 12
y 1.5 12.1 19.1 31.3 42.1 48.6 59.1
电子测量原理
第 82页
3.4.2测量数据的表示方法
2,图示法
? 图示法的最大优点是形象, 直观, 从图形中可以很直
观地看出函数的变化规律, 如递增或递减, 最大值和
最小值及是否有周期性变化规律等 。
0
20
40
60
80
0 5 10 15
x
y
?作图时采用直角坐标
或极座标 。 一般是先按
成对数据 （ x,y） 描点,
再连成光滑曲线, 并尽
量使曲线于所有点接近,
不强求通过各点, 要使
位于曲线两边的点数尽
量相等
电子测量原理
第 83页
? 3,经验公式法
? 经验公式法就是通过对实验数据的计算, 采用数理统
计的方法, 确定它们之间的数量关系, 即 用数学表达
式表示各变量之间关系 。 有时又把这种经验公式称为
数学模型 。
? 类型
? 有些一元非线性回归可采用变量代换, 将其转化为线
性回归方程来解 。
3.4.2测量数据的表示方法 （续）
一元线形
回归
一元非线
性回归
多元线性
回归
多元非线
性回归
变量个数 1 1 >1 >1
方次 1 >1 1 >1
y=a+bx
电子测量原理
第 84页
3.4.3 建立经验公式的步骤
已知测量数据列 (xi,yi i=1,2,…,n),建立公式的步骤如下：
? （ 1)将输入自变量 xi,作为横坐标, 输出量 yi即测量值作
为纵坐标, 描绘在坐标纸上, 并 把数据点描绘成测量曲
线 。
? （ 2） 分析描绘的曲线, 确定公式 y=f(x)的基本形式 。
? ① 直线, 可用一元线性回归方法确定直线方程 。
? ② 某种类型曲线, 则先将该曲线方程变换为直线方程,
然后按一元线性回归方法处理 。
? ③ 如果测量曲线很难判断属于何种类型, 这可以按曲
线多项式回归处理 。 即：
（ 3） 由测量数据 确定拟合方程 （ 公式 ） 中的常量 。
0
m
j
j
j
y k x
?
? ?
电子测量原理
第 85页
3.4.3 建立经验公式的步骤 （续）
? ( 4 ) 检验所确定的方程的准确性 。
① 用测量数据中的自变量代入拟合方程计算出函数值 y′
② 计算拟合残差
③ 计算拟合曲线的标准偏差
式中,m为拟合曲线未知数个数, n为测量数据列长度 。
? 如果标准偏差很大，说明所确定的公式基本形式有错误，
应建立另外形式公式重做。
'iii yy ???
mn
i
?
?? 2??
电子测量原理
第 86页
3.4.4 一元线性回归
? 用一个直线方程 y=a+bx来表达测量数据 (xi,yi
i=1,2,…,n)之间的相互关系，即求出 a和 b，此
过程就是一元线性回归。
? 1.端点法
? 此方法是将测量数据中两个端点, 起点和终点
（ 即最大量程点 ） 的测量值 （ x1,y1） 和 （ xn,yn）,
代入 y=a+bx, 则 a,b分别为
11 bxya ??
1
1
n
n
yyb
xx
??
?
0
20
40
60
80
0 5 10 15
x
y
电子测量原理
第 87页
3.4.4一元线性回归 （续）
? 2,平均选点法
? 此方法是将全部 n个测量值 (xi,yi i=1,2,…,n)
分成数目大致相同的两组, 前半部 k个测量点为
一组, 其余的 n-k个测量点为另一组, 两组测量
点都有自己的, 点系中心,, 其坐标分别为
? 通过两个, 点系中心, 的直线即是拟合直线
y=a+bx，其中 a,b分别为：
k
x
x
k
i
i?
?? 1
1 k
y
y
k
i
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1 kn
x
x
n
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?? 1
2
12
12
xx
yyb
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?? 2211 xbyxbya ????
电子测量原理
第 88页
3.4.4一元线性回归 （续）
? 3,最小二乘法
? 最小二乘法的基本原理是在 残差平方和为最小 的条件下
求出最佳直线 。
? 测量数据中的任何一个数据 yi与拟合直线上 y=a+bx对应
的理想值 yi?之残差 (i=1,2,… n 为测量点数 ）
即
求 a和 b的偏导数, 并令它们为零, 即可解得 a和 b的值 。
'iii yy ???
m i n)]([
1 1
22 ????? ?
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n
i
n
i
iii bxayv
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i
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ii
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i
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i
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xnx
xyyxx
a
1 1
22
1 1 1
2
1
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i
n
i
ii
n
i
n
i
ii
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i
ii
xnx
yxnyx
b
1 1
22
1 11
)(
电子测量原理
第 89页
3.4.4一元线性回归 （续）
? 【 例 3.10】 对量程为 10Mpa的压力传感器, 用活
塞式压力计进行测试, 输出由数字电压表读数,
所得各测量点的输出值列于下表中 。 试用端点法,
平均选点法和最小二乘法 拟合线性方程, 并计算
各种拟合方程的 拟合精度 。
ix
iy
压力
（ MPa）
2 4 6 8 10
输出
（ mV）
10.043 20.093 30.135 40.128 50.072
电子测量原理
第 90页
3.4.4一元线性回归 （续）
压力
MPa
输出
mV
端点法 平均选点法 最小二乘法
理想直
线
残差 理想直
线
残差 理想直
线
残差
2 10.0
43
10.044 －
0.001
10.95 －
0.052
10.080 －
0.0337
4 20.0
93
20.052 0.041 20.097 －
0.004
20.090 0.003
6 30.1
35
30.060 0.093 30.099 0.054 30.100 0.053
8 40.1
28
40.068 0.060 40.101 0.027 40.110 0.018
10 50.0
72
50.068 －
0.004
50.103 －
0.031
50.120 －
0.048
拟合直线方程
拟合误差 0.068 0.049 0.048
xy 0 0 4.50 3 6.0 ?? xy 001.5093.0 ?? xy 0 0 5.50 7 0.0 ??
最小二乘法精确度最高，平均选点次之，端点法较差
mn
i
?
?? 2??
电子测量原理
第 91页
3章 总 结
? 1,随机误差
? 随机误差是由大量微小的没有确定规律的因素引起的,
无法避免和控制, 不能消除随机误差 。 但应采用数理统
计的方法, 减少随机误差 。
? ① 算术平均值
? ② 残差
? ③ 实验标准偏差
? （ 贝塞尔公式 ）
? ④ 算术平均值标准偏差的估计值
? ⑤ 根据概率分布和臵信概率确定臵信因子, 得到测量结
果的臵信区间 。 正态分布或 n>20时, k=2～ 3； n<20时,
查 t分布表得 k；均匀分布时 k＝ 。
? ⑥ 测量结果为：
??
??
????? n
i
i
n
i
i xxnnxs
1
2
1
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1
1
1
1)( ?
n
xsxs )()( ?
xx ii ???
?
?
? n
i
ixnx
1
1
3
)( xksx ?
电子测量原理
第 92页
3章 总 结 （续）
? 2,系统误差
? 系统误差的特点是固定不变的或按确定规律变化, 主
要由测量仪器, 测量方法, 测量环境和测量人员等因
素引起 。 多次测量不能减少系统误差 。
? 系统误差的发现方法有：校准的方法, 残差观察法,
马利科夫判据和阿贝－赫梅特判据 。
? 系统误差的削弱或消除方法,（ 1） 从产生系统误差根
源上采取措施； （ 2） 修正方法； （ 3） 采用专门的测
量方法, 如 ① 替代法, ② 交换法, ③ 对称测量法, ④
半周期法 。
电子测量原理
第 93页
3章 总 结 （续）
? 3,粗大误差
? 粗大误差是由于测量人员的偶然出错和外界条件的改
变, 干扰和偶然失效等造成, 应采取各种措施, 防止
产生粗大误差 。 对测量中的可疑数据可采用莱特检验
法或拉布斯检验法判断是否是粗大误差, 若是, 应剔
除不用 。
? 4,测量结果的处理
? 应区别对待等精度测量和不等精度测量, 不等精度测
量的测量结果用加权平均值表示, 标准偏差越小, 权
值越大 。
? 对测量数据进行处理时, 应首先检查和修正系统误差,
判别并剔除粗大误差 。
电子测量原理
第 94页
3章 总 结 （续）
电子测量原理
第 95页
3章 总 结 （续）
? 6,合成不确定度
? 由各不确定度分量合成的标准不确定度, 称为合成标
准不确定度 。 其评定方法是：
? (1)输入量不相关时,
? ① 可写出函数关系式
? ② 不能写出函数关系式
? (2)输入量相关时
2/1
1
1
1 1
)()(),(2)(2
2
)(
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2
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i
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i
c xux
fyu
电子测量原理
第 96页
3章 总 结 （续）
? 7.扩展不确定度
? 扩展不确定度 U由合成标准不确定度与包含因子的乘积得到,U＝
k·uC, 的选取由臵信概率 （ 常取 0.95或 0.99） 和概率分布 （ 正态,
均匀, t分布等 ） 确定 。
? 8,测量不确定度的评定步骤
? ① 明确被测量的定义和数学模型及测量条件, 明确测量原理, 方法,
以及测量标准, 测量设备等；
? ② 分析不确定度来源；
? ③ 分别采用 A类和 B类评定方法, 评定各不确定度分量 。
? ④ 计算合成标准不确定度；
? ⑤ 计算扩展不确定度；
? ⑥ 报告测量结果 。
电子测量原理
第 97页
3章 总 结 （续）
? 9,有效数字处理和测量数据的表示方法
? （ 1） 数据修约规则：, 四舍五入, 等于五取偶数, ；
? （ 2） 有效数字与数据的准确度密切相关, 测量结果
（ 或读数 ） 的有效位数应由该测量的不确定度来确定；
? (3)把测量数据处理成一定的函数关系，通常采用方法
有列表法、图示法和经验公式
电子测量原理
第 98页
3章 总 结 （续）
? 10,建立公式的步骤和一元线性回归
? （ 1） 建立公式的步骤是：
? ① 列表画曲线
? ② 分析曲线, 确定曲线的基本形式,
? ③ 由测量数据确定拟合方程中的系数
? ④ 求拟合残差和拟合曲线的标准偏差, 并进行验证 。
? (2）一元线性回归（直线拟合）是用一个直线方程
来表示测量数据之间的相互关系，即求出方
程中的两个系数 a和 b。
? 回归方法通常有端点法、平均选点法和最小二乘法。
bxay ??
