§ 2-0 问题的提出
§ 2-1 控制系统的微分方程
§ 2-2 传递函数
§ 2-3 传递函数方框图等效变换
§ 2-4 典型环节及其传递函数
第二章 自动控制系统的数学模型
拉氏变换定理
方框图结束
方框图练习（ 10min）
一阶惯性环节
返回目录
控制
单元
执行
单元
控制
对象
测量
单元
p(t) q(t) y(t)
b(t)
r(t) e(t)+
-
f(t)
y(t)=F(r(t),f(t))
为研究系统输出 y(t)随时间变化的规律，以及系统的特
性，必须研究系统的数学模型。
§ 2-0 问题的提出
返回本章
§ 2-1 控制系统的微分方程
任何一个物理系统都可以用一个微分方程进行描述，
控制系统也不例外。
例如：
R
CUi(t) UO(t)
）（
）（
t)( ioo UtU
dt
tdU
RC ??
解
返回本章
§ 2-1 控制系统的微分方程
R
CUi(t) UO(t)
RCT
eUtU Ttio
?
??? ? ）（）（ /1t)(
当 Uo(0)=0时，
）（
）（
t)( ioo UtU
dt
tdU
RC ??
返回本节
一般地，对于线性定常系统，可描述为：
x(t)b ++
dt
x(t)d
b+
dt
x(t)d
b=
y(t)a++
dt
y(t)d
a+
dt
y(t)d
a
01-m
1-m
1-mm
m
m
01-n
1-n
1-nn
n
n
?
?
§ 2-1 控制系统的微分方程
返回本节
系统的数学模型可以用微分方程表示，但对复杂的微
分方程，其求解过于困难，甚至无法求解。为此研究系统
的复数模型，即传递函数。
为把实数模型转换为复数模型，必须借助拉氏变换，
即 Laplace 变换。
返回本章
§ 2-2 传递函数
1,Laplace 变换
积分变换的一种，它把复杂的微分方程转换为简单的线
性代数方程。定义为：
??? ? ?0 )()()]([ dtetfsFtfL st
其中,s=σ+jω；
F(s)——f(t)的象函数； f(t)——F(s)的象原函数
例如：
ss
e
dtetsFtL
st
st 1)(1)()](1[
0
0 ?????
??
? ?
返回本节
§ 2-2 传递函数
2,常用拉氏变换,
s
sFtf
1
)(1)( ???
?
?
?
??? ?
s
sFetf t
1
)()(
2
1
)()(
s
sFttf ???
1)()()( ??? sFttf ?
返回本节
§ 2-2 传递函数
3,拉氏变换定理：
)()()]()([ 2121 sFsFtftfL ???
)()]([ sAFtAfL ?
)()]([ sFetfL s?? ???
)(])([ ssF
dt
tdfL ?
)(])([ sFs
dt
tfdL n
n
n
?
s
sFdttfL )(])([ ?
?
条件,f(0)=0,即初始条件为 0
条件,f(0)=f '(0)=f ''(0)=… f (n-1)(0)=0
返回本节
§ 2-2 传递函数
4,拉氏逆变换：
8
7
3
5
1
3
)8)(3)(1(
)3824()4911()(
831)8)(3)(1(
13310615
)(
321321
2
321
321
22
243512
13310615
23
22
?
?
?
?
?
?
???
????????
?
?
?
?
?
?
?
???
??
??
???
??
sss
sss
cccscccsccc
s
c
s
c
s
c
sss
ss
sF
sss
ss可通过公式推导，但通常通过查拉氏变换表。如不能直
接查到，则应先分解为部分分式和。例如：
)]([)( 1 sFLtf ??
ttt eeesFLtf 831 753)]([)( ???? ?????
返回本章
§ 2-2 传递函数
5,传递函数,R
CUi(t) UO(t)
）（
）（
t)( ioo UtUdt
tdU
RC ??
）（ s)()( ioo UsUsR C s U ??
设 Uo(0)=0，则
返回本节
§ 2-2 传递函数
）（ s)()( ioo UsUsR C s U ??
)(
)1(
1
s
)(
sG
R CsU
sU
i
o ?
?
?
）（
）（ s)()( io UsGsU ?
从以上可以看出，只要 G(s)一确定，该电路（环节、系统）的
输出与输入之间的关系便已确定。因此，将 G(s)称为该电路（
环节、系统）的传递函数。
返回本节
§ 2-2 传递函数
传递函数的定义：线性定常系统在初始条件为零的情况下，
其输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。
x(t)b ++
dt
x(t)d
b+
dt
x(t)d
b=
y(t)a++
dt
y(t)d
a+
dt
y(t)d
a
01-m
1-m
1-mm
m
m
01-n
1-n
1-nn
n
n
?
?
下面推导一般系统的传递函数：
返回本节
§ 2-2 传递函数
01
1
1
01
1
1
s
)(
)(
asasasa
bsbsbsb
X
sY
sG
n
n
n
n
m
m
m
m
????
????
??
?
?
?
?
?
?
）（
在初始条件为零的情况下，对两边求拉氏变换得：
)X(s)b ++sb+s(b=
)Y(s)a+sa+s(a
0
1-m
1-m
m
m
0
1-n
1-n
n
n
?
??
传递函数 G(s)在复数域表征了在零初始条件下
系统的输出量与输入量之间的关系。
对于实际的系统，总有 n≥m。即 G(s)是复变量 s
的有理分式。
返回本节
§ 2-2 传递函数
? ?
? ?
??
?
?
n
i
i
m
i
i
ps
zs
K
X
sY
sG
1
1
)(
)(
s
)(
)(
）（
将 G(s)写成：
其中,X(s)=0称为系统的特征方程，也即对应微分方
程的特征方程；
pi(i=1~n)为 X(s)=0的根，称为 G(s)的极点；
zi(i=1~m)为 Y(s)=0的根，称为 G(s)的零点。
如果系统特征方程中 s的次数是 n，则称该系统称为 n阶系统。
返回本节
§ 2-2 传递函数
传递函数的性质：
1）分母次数 n≥分子次数 m，惯性所致； ◎
2） an,an-1,…a1,a0 ; bm,bm-1,…,b1,b0取决于系统中各元件的参数；
3）传递函数反映系统的固有特性，取决于系统的结构和参数，
与系统存在的物理形式、输 入输出的形式以及初始条件无
关；
4）传递函数的零极点若为复数，则必为共轭复数，成对出现；
5）传递函数的拉氏逆变换实际上是系统的理想单位脉冲响应
（简称脉冲响应）； ◎
6）传递函数在系统中 起信号的传递或转换作用。 返回本节
§ 2-2 传递函数
由于传递函数反映的是系统的固有特性，取决于系统的
结构和参数,与系统存在的物理形式、输 入输出的形式以
及初始条件无关，因此在研究控制系统时往往仅从系统的
传递函数入手，而不去关心系统的结构形式。因为，对于
控制系统，最重要的是,
（ 1）系统的动态过程是否稳定，以及稳定程度如何；
（ 2）系统是否存在静态偏差，以及静态偏差的大小；
（ 3）寻找提高稳定性和减少静态偏差的途径。
传递函数的用途：
（ 1）求系统或环节输出量的表达式；
（ 2）分析系统的稳定性、动态特性和静态特性。 返回本节
§ 2-2 传递函数
6,传递函数的方框图：
将一个环节用方框图表示，并将其传递函数写在方框中，
便得到该环节的传递函数方框图；若用方框图描述一个系统，
并将系统中各个环节用传递函数方框图表示，则得到该系统的
传递函数方框图。
G(s)
Xi(s) XO(s)
）（ s)()( io XsGsX ?
环节的传递函数方框图
返回本节
§ 2-2 传递函数
G1(s) G2(s) G3(s)
G4(s)
P(s) Q(s) Y(s)
B(s)
R(s) E(s)
+-
F(s)
控制系统的传递函数方框图
）s()()( BsRsE ??
）s()()( 1GsEsP ??
返回本节
§ 2-2 传递函数
传递函数的方框图的基本元素：
（ 1）函数方框：方框中的传递函数表示该环节的动态特性，
其输出等于该环节的传递函数和输入的乘积。环节的输入会影
响环节的输出，但输出不会影响输入。
（ 2）信号线：带箭头的信号传递路线，信号线上标出其携带
的信号变量。信号传递具有单向性。
（ 3）引出点（交叉点，测量点）：信号线的分叉点。同一位
置引出的信号在数值和性质方面完全相同。
（ 4）比较点（会合点）：对两个以上的信号进行代数运算，
其输出等于各个输入的代数和。
END 返回本节
§ 2-2 传递函数
s)(
)()(
X
sYsG ?
s)()()( XsGsY ??
又设系统的输入 x(t)=δ(t)，即 X(s)=1
)(1)()( sGsGsY ???
对 Y(s)求拉氏逆变换得到系统的脉冲响应输出 y(t)。
设系统的传递函数为：
则系统的输出
则
返回最近
§ 2-2 传递函数
11ss)()()( ?????
s
XsGsY
对 Y(s)求拉氏逆变换得到系统的阶跃响应输出 y(t)= δ(t)。
那么系统的输出
若 n<m，则在 G(s)中至少出现 s的一次方项。设 G(s)=s
01
1
1
01
1
1
s
)(
)(
asasasa
bsbsbsb
X
sY
sG
n
n
n
n
m
m
m
m
????
????
??
?
?
?
?
?
?
）（
假设对系统输入一个单位阶跃输入 x(t)=1,即 X(s)=1/s
该系统在实际中不存在。
返回最近
§ 2-2 传递函数
§ 2-3 传递函数的方框图等效变换
G2(s)G1(s) G3(s)
Xi(s) X1(s) X2(s) Xo(s)
)()()()(
)()()()()()(
123
12323
sXsGsGsG
sXsGsGsXsGsX
i
o
????
?????
)()()(
)(
)(
)( 321 sGsGsG
sX
sX
sG
i
o ????
1.串联方框的等效变换
返回本章
G2(s)G1(s) G3(s)
Xi(s) X1(s) X2(s) Xo(s)
)()()(
)(
)(
)(
321
sGsGsG
sX
sX
sG
i
o ????
G (s)
Xi(s) Xo(s)
返回本节
§ 2-3 传递函数的方框图等效变换
§ 2-3 传递函数的方框图等效变换
)()(
)(
)(
)(
21
sGsG
sX
sX
sG
i
o
????
G2(s)
G1(s)Xi(s) X1(s)
X2(s)
Xo(s)?
?
2.并联方框的等效变换
G (s)Xi(s) Xo(s)
返回本节
§ 2-3 传递函数的方框图等效变换
G1(s)
H(s)
+
＋
3.反馈连接方框的等效变换
X1(s)
Xf(s)
Xi(s) Xo(s)
A
返回本节
§ 2-3 传递函数的方框图等效变换
G1(s)
H(s)
+
＋ X1(s)
Xf(s)
Xi(s) Xo(s)
A
G (s)Xi(s)
Xo(s)
反馈连接传递函数也称为闭环传递函数；若在 A点断开，
则为开环，开环传递函数为：
前向通道 反馈通道
返回本节
§ 2-3 传递函数的方框图等效变换
G1(s)+
＋Xi(s)
G (s)Xi(s) Xo(s)
Xo(s)
若反馈通道的传递函数 H(s)=1，则称为单位反馈。
返回本节
§ 2-3 传递函数的方框图等效变换
4.引出点的移动
相邻的引出点可以前后任意改变次序
A
B B
A
返回本节
§ 2-3 传递函数的方框图等效变换
顺着信号传递的方向跨越环节
)(
1
sG
乘以
G(s)X1(s)
X2(s)
X3(s)
G(s) X3(s)X1(s)
X2(s)
1/G(s)
返回本节
§ 2-3 传递函数的方框图等效变换
G(s)X1(s)
X2(s)
X3(s) G(s) X3(s)X1(s)
X2(s)
逆着信号传递的方向跨越环节 乘以 G(s)
返回本节
G(s)
§ 2-3 传递函数的方框图等效变换
X1(s)
X2(s)
X4(s)
5.汇合点的移动
＋
＋
＋
－
X3(s)
X1(s)
X2(s)
X4(s)＋
＋
＋
－
X3(s)
A B AB
相邻的汇合点可以前后任意改变次序
返回本节
§ 2-3 传递函数的方框图等效变换
乘以 G(s)
G(s)X1(s)
X2(s)
X3(s) G(s)
G(s)
X3(s)X1(s)
X2(s)
5.汇合点的移动
＋
＋
＋
＋
顺着信号传递的方向跨越环节
返回本节
§ 2-3 传递函数的方框图等效变换
乘以
G(s) X3(s)X1(s)
X2(s)
＋
＋
G(s)X1(s)
X2(s)
X3(s)
1/G(s)
＋
＋
)(
1
sG
逆着信号传递的方向跨越环节
返回本节
§ 2-3 传递函数的方框图等效变换
相邻的引出点和汇合点不可改变次序
X1(s)
X2(s)
＋
＋
A B X
1(s)
X2(s)
＋
＋
AB
返回本节
§ 2-3 传递函数的方框图等效变换
逆着信号传递
的方向移动
引
出
点
汇
合
点
顺着信号传递
的方向移动
乘以 G(s)
)(
1
sG
)(
1
sG
乘以
乘以
乘以 G(s)
引出点和汇合点的移动原则：保持移动前后的信息总量不变。
返回本节
§ 2-3 传递函数的方框图等效变换
G2 G3G1
H1
H2
_
＋
Xi(s) Xo(s)＋
＋ ＋
_
G2 G3G1
H1
H2/G1
_
＋
Xi(s) Xo(s)＋
＋ ＋
_
练习 1：
返回本节
§ 2-3 传递函数的方框图等效变换
G2 G3G1
H1
H2/G1
_
＋
Xi(s) Xo(s)＋
＋ ＋
_
G3
H2/G1
_X
i(s) Xo(s)
＋ ＋
_
G1G2
1－ G1G2H1
返回本节
§ 2-3 传递函数的方框图等效变换
_X
i(s) Xo(s)
＋ G1G2G3
1－ G1G2H1＋ G2G3H2
G1G2G3
1－ G1G2H1＋ G2G3H2 ＋ G1G2G3
Xi(s) Xo(s)
返回本节
§ 2-3 传递函数的方框图等效变换
G2(s) G3(s)G1(s)
G4(s)
G5(s)
_
+ ＋ +
G6(s)
_
+
X(s)
Y(s)
练习 2：
返回本节
§ 2-3 传递函数的方框图等效变换
G2(s) G3(s)G4(s)
G5(s)
+
+
_
＋
G6(s)
X(s) Y(s)
练习 3：
返回本节
§ 2-4 典型环节的传递函数
1.比例环节：环节的输出随输入成比例变化
xo(t)=kxi(t)
其传递函数为：
任何复杂的控制系统都是由最基本的典型环节所组成的。
k
sX
sX
sG
i
o ??
)(
)(
)(
返回本章
§ 2-4 典型环节的传递函数
（ 1）弹性元件：位移随外力大小成比例变化，比例系数取决
于元件的弹性大小。与输入输出无关。
片簧金属膜片 波汶管
F F
P
返回本节
§ 2-4 典型环节的传递函数
（ 2）节流元件：前后压力差的大小随气流量成比例变化，比
例系数取决于元件的弹性大小。与输入输出
无关。
Δp(t)=RΔq(t)
G (s)=ΔP(s)/ ΔQ(s)= R
返回本节
§ 2-4 典型环节的传递函数
（ 3）喷嘴挡板机构：输出压力随喷嘴挡板的开度成比例变化
恒节流孔 背 压 室 喷 嘴
挡 板
喷 嘴 挡 板 机 构 结 构 示 意 图
气源
输出
返回本节
§ 2-4 典型环节的传递函数
0.10MPa
0.02MPa
10 22
h(um)
MPa
喷嘴挡板机构的静特性
返回本节
§ 2-4 典型环节的传递函数
（ 4）放大器：对输入信号成比例放大
气源
输出
输入
气
动
功
率
放
大
器
返回本节
§ 2-4 典型环节的传递函数
I
II
III
S
P输入 F
P0 Pa
返回本节
§ 2-4 典型环节的传递函数
电
动
功
率
放
大
器
R1
Rf
u0
ui
i
i
－
＋
ii
f
f
i
o
kuu
R
R
R
R
u
u ??????
11
返回本节
§ 2-4 典型环节的传递函数
返回本节
（ 5）比例环节的阶跃相应特性
t
t
xo(t)
xi(t)
A
kA
t
xo(t)
xi(t)
A
-kA
t
0
0
0
0
§ 2-4 典型环节的传递函数
2.积分环节：环节的输出与输入对时间的积分成比例。
?? dttxktx io )()(
s
k
sG ?)(
若 k=1,则
s
sG 1)( ?
返回本节
§ 2-4 典型环节的传递函数
q p
? ?? dtq
c
p
1
cssQ
sP
sG
1
)(
)(
)( ??
dm
c
dp
dp
dmc 1???
dtq
c
dp
q
cdt
dm
cdt
dp
????
???
1
11
输入量为气体流量，输出量为气
容气压
（ 1）气容
返回本节
§ 2-4 典型环节的传递函数
? ?? dti
c
u
1
0
cssI
sU
sG
1
)(
)(
)( 0 ??
C uo
i
输入量为电流，输出量为电容两
端的电压
（ 2）阻容电路
返回本节
§ 2-4 典型环节的传递函数
?? ?????? dtRucdticu io 11
R CssU
sUsG
i
1
)(
)()( 0 ???
输入量为电压，输出量也为电压
（ 3）运放电路
ui
C
－
+ uoi
iR
)(1)( sU
R Cs
sU io ??
返回本节
§ 2-4 典型环节的传递函数
? ????
? ????
)
1
(
)
1
(
1
2
1
2
dt
R
u
c
R
R
u
dti
c
iRu
ii
o
)1(
)(
)(
)(
11
20
csRR
R
sU
sU
sG
i
????
（ 4） f ig,2-35
ui
C
+
_
uoi
iR
1
)()1()(
11
2 sU
csRR
R
sU io ???
R2
返回本节
§ 2-4 典型环节的传递函数
（ 5）积分环节的阶跃响应
ssU
sU
sG
i
1
)(
)(
)( 0 ??
设 ui(t)=1,则 Ui(s)=1/s
2
1 11)()()(
sss
sUsGsU io ?????
ttu o ?)(
t
u(t)
返回本节
§ 2-4 典型环节的传递函数
3,一阶惯性环节：
输入突变时，输
出的变化滞后于输
入的变化，并按一
定的规律趋近于输
入值。
p0
pi
R
节流盲室
u0ui
R
C
K
RC电路
ui
Rf
C
-
+
R1 u
o
运算放大电路
返回本节
§ 2-4 典型环节的传递函数
uoui
R
C
K
? ?? dtti
c
tu o )(
1
)(i
)()()( tutiRtu oi ???
)()(
)(
tutu
dt
tdu
RC ioo ???
)()()( sUsUsUR C s ioo ???
1
1
1
1
)(
)(
)(
?
?
?
??
TsR CssU
sU
sG
i
o
因分母最高次数
为 1，所以为一
阶惯性环节。
返回本节
§ 2-4 典型环节的传递函数
ui
Rf
C
-
+
R1 u
o
运算放大电路组成的惯性环节
))()(()(
1 dt
tduC
R
tu
R
tu o
f
oi ???
))()(()(
1
sC s UR sUR sU o
f
oi ???
111
1
)(
)(
)( 11
?
??
?
??
?
???
Ts
K
CsR
R
R
Cs
R
R
sU
sU
sG
f
f
f
i
o
返回本节
§ 2-4 典型环节的传递函数
1
1
)(
)(
)(
?
??
TssU
sU
sG
i
o
一阶惯性环节的阶跃响应：
设 ui(t)=1,则 Ui(s)=1/s
T
s
sTs
T
s
sTs
sUsGsU
io
1
11
1
1
1
1
1
)()()(
?
??
?
??
?
?
???
Tt
o etu
/1)( ??? 0 2 4 6 8 10
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
一般系统对单位阶跃函数的响应
返回本节
§ 2-4 典型环节的传递函数
4,一阶微分环节：环节的输出与输入的微分成比例。
dt
tdx
ktx io
)(
)( ?
)()( sk s XsX io ?
sk
sX
sX
sG
i
o ???
)(
)(
)(
设 xi(t)=1，则 Xi(s)=1/s
1)()( ??? ksk s XsX io
)()( tktx o ??
因此，理想的微分环节在实
际中并不存在。
返回本节
§ 2-4 典型环节的传递函数
实际的微分环节：理想的微分环节与惯性环节的串联。
Rf
ui
C
-
+ uoi
iR
1
)
)()(
()( 1
CsR
sU
R
sUR
sU
f
o
f
o
i ???
11)(
)(
)(
1 ?
??
?
???
Ts
K T s
CsR
CsR
sU
sU
sG f
i
o
CRT
R
R
K f 1
1
,??
? ????
? ???
)
1
(
)
1
(
1
1
dt
R
u
c
R
R
u
dti
c
iRu
f
o
f
o
i
返回本节
§ 2-4 典型环节的传递函数
实际的微分环节：理想的微分环节与惯性环节的串联。
f
o
o
f
i
ic
R
u
dt
u
R
R
ud
C
dt
iRud
C
dt
du
Ci
??
?
?
?
??
)(
)(
1
1
Rf
ui
C
-
+ uoi
iR
1
f
o
o
f
i R
sU
sU
R
R
CssC s U
)(
)()( 1 ???
11)(
)(
)(
1 ?
??
?
???
Ts
K T s
CsR
CsR
sU
sU
sG f
i
o
CRT
R
R
K f 1
1
,??
Pass
返回本节
§ 2-4 典型环节的传递函数
1)(
)(
)(
?
??
Ts
Ts
sU
sU
sG
i
o
实际微分环节的阶跃响应：
设 ui(t)=1,则 Ui(s)=1/s
T
s
Ts
T
sTs
Ts
sUsGsU
io
1
1
1
1
1
)()()(
?
?
?
?
?
?
???
Tt
o etu
/)( ?? 0 2 4 6 8 10
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
一般系统对单位阶跃函数的响应：
返回本节
§ 2-4 典型环节的传递函数
12
1)(
22 ??? TssTsG ?
返回本节
5,振荡环节：具有两个以上的储能元件，并且存在能量交
换，表现出振荡特性
§ 2-4 典型环节的传递函数
返回本节
5,振荡环节：
例 1 机械力学系统 —— 弹簧阻尼系统：
其中,f 是阻尼系数
k 是弹簧系数
mF(t)
f X(t)
)()()()(22 tFtkXdt tdXfdt tXdm ???
kfsmssF
sX
??? 2
1
)(
)(
§ 2-4 典型环节的传递函数
返回本节
例 2 电学系统：
5,振荡环节,＋
－
ui(t)
＋
－
uo(t)i
)()()()(2
2
tutudt tduRCdt tudLC iooo ???
1
1
)(
)(
2 ??? R C sL C ssU
sU
i
o
LR
C
§ 2-4 典型环节的传递函数
返回本节
5,振荡环节：
12
1)(
22 ??? TssTsG ?
§ 2-4 典型环节的传递函数
6.纯迟延环节：输出比输入滞后一个延时时间 τ
e－ τs
Xo(s)Xi(s)
)()( ??? txtx io
s
i
o e
sX
sX
sG ????
)(
)(
)( τ t
t
xo(t)
xi(t)
返回本节
§ 2-1 控制系统的微分方程
§ 2-2 传递函数
§ 2-3 传递函数方框图等效变换
§ 2-4 典型环节及其传递函数
第二章 自动控制系统的数学模型
拉氏变换定理
方框图结束
方框图练习（ 10min）
一阶惯性环节
返回目录
控制
单元
执行
单元
控制
对象
测量
单元
p(t) q(t) y(t)
b(t)
r(t) e(t)+
-
f(t)
y(t)=F(r(t),f(t))
为研究系统输出 y(t)随时间变化的规律，以及系统的特
性，必须研究系统的数学模型。
§ 2-0 问题的提出
返回本章
§ 2-1 控制系统的微分方程
任何一个物理系统都可以用一个微分方程进行描述，
控制系统也不例外。
例如：
R
CUi(t) UO(t)
）（
）（
t)( ioo UtU
dt
tdU
RC ??
解
返回本章
§ 2-1 控制系统的微分方程
R
CUi(t) UO(t)
RCT
eUtU Ttio
?
??? ? ）（）（ /1t)(
当 Uo(0)=0时，
）（
）（
t)( ioo UtU
dt
tdU
RC ??
返回本节
一般地，对于线性定常系统，可描述为：
x(t)b ++
dt
x(t)d
b+
dt
x(t)d
b=
y(t)a++
dt
y(t)d
a+
dt
y(t)d
a
01-m
1-m
1-mm
m
m
01-n
1-n
1-nn
n
n
?
?
§ 2-1 控制系统的微分方程
返回本节
系统的数学模型可以用微分方程表示，但对复杂的微
分方程，其求解过于困难，甚至无法求解。为此研究系统
的复数模型，即传递函数。
为把实数模型转换为复数模型，必须借助拉氏变换，
即 Laplace 变换。
返回本章
§ 2-2 传递函数
1,Laplace 变换
积分变换的一种，它把复杂的微分方程转换为简单的线
性代数方程。定义为：
??? ? ?0 )()()]([ dtetfsFtfL st
其中,s=σ+jω；
F(s)——f(t)的象函数； f(t)——F(s)的象原函数
例如：
ss
e
dtetsFtL
st
st 1)(1)()](1[
0
0 ?????
??
? ?
返回本节
§ 2-2 传递函数
2,常用拉氏变换,
s
sFtf
1
)(1)( ???
?
?
?
??? ?
s
sFetf t
1
)()(
2
1
)()(
s
sFttf ???
1)()()( ??? sFttf ?
返回本节
§ 2-2 传递函数
3,拉氏变换定理：
)()()]()([ 2121 sFsFtftfL ???
)()]([ sAFtAfL ?
)()]([ sFetfL s?? ???
)(])([ ssF
dt
tdfL ?
)(])([ sFs
dt
tfdL n
n
n
?
s
sFdttfL )(])([ ?
?
条件,f(0)=0,即初始条件为 0
条件,f(0)=f '(0)=f ''(0)=… f (n-1)(0)=0
返回本节
§ 2-2 传递函数
4,拉氏逆变换：
8
7
3
5
1
3
)8)(3)(1(
)3824()4911()(
831)8)(3)(1(
13310615
)(
321321
2
321
321
22
243512
13310615
23
22
?
?
?
?
?
?
???
????????
?
?
?
?
?
?
?
???
??
??
???
??
sss
sss
cccscccsccc
s
c
s
c
s
c
sss
ss
sF
sss
ss可通过公式推导，但通常通过查拉氏变换表。如不能直
接查到，则应先分解为部分分式和。例如：
)]([)( 1 sFLtf ??
ttt eeesFLtf 831 753)]([)( ???? ?????
返回本章
§ 2-2 传递函数
5,传递函数,R
CUi(t) UO(t)
）（
）（
t)( ioo UtUdt
tdU
RC ??
）（ s)()( ioo UsUsR C s U ??
设 Uo(0)=0，则
返回本节
§ 2-2 传递函数
）（ s)()( ioo UsUsR C s U ??
)(
)1(
1
s
)(
sG
R CsU
sU
i
o ?
?
?
）（
）（ s)()( io UsGsU ?
从以上可以看出，只要 G(s)一确定，该电路（环节、系统）的
输出与输入之间的关系便已确定。因此，将 G(s)称为该电路（
环节、系统）的传递函数。
返回本节
§ 2-2 传递函数
传递函数的定义：线性定常系统在初始条件为零的情况下，
其输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。
x(t)b ++
dt
x(t)d
b+
dt
x(t)d
b=
y(t)a++
dt
y(t)d
a+
dt
y(t)d
a
01-m
1-m
1-mm
m
m
01-n
1-n
1-nn
n
n
?
?
下面推导一般系统的传递函数：
返回本节
§ 2-2 传递函数
01
1
1
01
1
1
s
)(
)(
asasasa
bsbsbsb
X
sY
sG
n
n
n
n
m
m
m
m
????
????
??
?
?
?
?
?
?
）（
在初始条件为零的情况下，对两边求拉氏变换得：
)X(s)b ++sb+s(b=
)Y(s)a+sa+s(a
0
1-m
1-m
m
m
0
1-n
1-n
n
n
?
??
传递函数 G(s)在复数域表征了在零初始条件下
系统的输出量与输入量之间的关系。
对于实际的系统，总有 n≥m。即 G(s)是复变量 s
的有理分式。
返回本节
§ 2-2 传递函数
? ?
? ?
??
?
?
n
i
i
m
i
i
ps
zs
K
X
sY
sG
1
1
)(
)(
s
)(
)(
）（
将 G(s)写成：
其中,X(s)=0称为系统的特征方程，也即对应微分方
程的特征方程；
pi(i=1~n)为 X(s)=0的根，称为 G(s)的极点；
zi(i=1~m)为 Y(s)=0的根，称为 G(s)的零点。
如果系统特征方程中 s的次数是 n，则称该系统称为 n阶系统。
返回本节
§ 2-2 传递函数
传递函数的性质：
1）分母次数 n≥分子次数 m，惯性所致； ◎
2） an,an-1,…a1,a0 ; bm,bm-1,…,b1,b0取决于系统中各元件的参数；
3）传递函数反映系统的固有特性，取决于系统的结构和参数，
与系统存在的物理形式、输 入输出的形式以及初始条件无
关；
4）传递函数的零极点若为复数，则必为共轭复数，成对出现；
5）传递函数的拉氏逆变换实际上是系统的理想单位脉冲响应
（简称脉冲响应）； ◎
6）传递函数在系统中 起信号的传递或转换作用。 返回本节
§ 2-2 传递函数
由于传递函数反映的是系统的固有特性，取决于系统的
结构和参数,与系统存在的物理形式、输 入输出的形式以
及初始条件无关，因此在研究控制系统时往往仅从系统的
传递函数入手，而不去关心系统的结构形式。因为，对于
控制系统，最重要的是,
（ 1）系统的动态过程是否稳定，以及稳定程度如何；
（ 2）系统是否存在静态偏差，以及静态偏差的大小；
（ 3）寻找提高稳定性和减少静态偏差的途径。
传递函数的用途：
（ 1）求系统或环节输出量的表达式；
（ 2）分析系统的稳定性、动态特性和静态特性。 返回本节
§ 2-2 传递函数
6,传递函数的方框图：
将一个环节用方框图表示，并将其传递函数写在方框中，
便得到该环节的传递函数方框图；若用方框图描述一个系统，
并将系统中各个环节用传递函数方框图表示，则得到该系统的
传递函数方框图。
G(s)
Xi(s) XO(s)
）（ s)()( io XsGsX ?
环节的传递函数方框图
返回本节
§ 2-2 传递函数
G1(s) G2(s) G3(s)
G4(s)
P(s) Q(s) Y(s)
B(s)
R(s) E(s)
+-
F(s)
控制系统的传递函数方框图
）s()()( BsRsE ??
）s()()( 1GsEsP ??
返回本节
§ 2-2 传递函数
传递函数的方框图的基本元素：
（ 1）函数方框：方框中的传递函数表示该环节的动态特性，
其输出等于该环节的传递函数和输入的乘积。环节的输入会影
响环节的输出，但输出不会影响输入。
（ 2）信号线：带箭头的信号传递路线，信号线上标出其携带
的信号变量。信号传递具有单向性。
（ 3）引出点（交叉点，测量点）：信号线的分叉点。同一位
置引出的信号在数值和性质方面完全相同。
（ 4）比较点（会合点）：对两个以上的信号进行代数运算，
其输出等于各个输入的代数和。
END 返回本节
§ 2-2 传递函数
s)(
)()(
X
sYsG ?
s)()()( XsGsY ??
又设系统的输入 x(t)=δ(t)，即 X(s)=1
)(1)()( sGsGsY ???
对 Y(s)求拉氏逆变换得到系统的脉冲响应输出 y(t)。
设系统的传递函数为：
则系统的输出
则
返回最近
§ 2-2 传递函数
11ss)()()( ?????
s
XsGsY
对 Y(s)求拉氏逆变换得到系统的阶跃响应输出 y(t)= δ(t)。
那么系统的输出
若 n<m，则在 G(s)中至少出现 s的一次方项。设 G(s)=s
01
1
1
01
1
1
s
)(
)(
asasasa
bsbsbsb
X
sY
sG
n
n
n
n
m
m
m
m
????
????
??
?
?
?
?
?
?
）（
假设对系统输入一个单位阶跃输入 x(t)=1,即 X(s)=1/s
该系统在实际中不存在。
返回最近
§ 2-2 传递函数
§ 2-3 传递函数的方框图等效变换
G2(s)G1(s) G3(s)
Xi(s) X1(s) X2(s) Xo(s)
)()()()(
)()()()()()(
123
12323
sXsGsGsG
sXsGsGsXsGsX
i
o
????
?????
)()()(
)(
)(
)( 321 sGsGsG
sX
sX
sG
i
o ????
1.串联方框的等效变换
返回本章
G2(s)G1(s) G3(s)
Xi(s) X1(s) X2(s) Xo(s)
)()()(
)(
)(
)(
321
sGsGsG
sX
sX
sG
i
o ????
G (s)
Xi(s) Xo(s)
返回本节
§ 2-3 传递函数的方框图等效变换
§ 2-3 传递函数的方框图等效变换
)()(
)(
)(
)(
21
sGsG
sX
sX
sG
i
o
????
G2(s)
G1(s)Xi(s) X1(s)
X2(s)
Xo(s)?
?
2.并联方框的等效变换
G (s)Xi(s) Xo(s)
返回本节
§ 2-3 传递函数的方框图等效变换
G1(s)
H(s)
+
＋
3.反馈连接方框的等效变换
X1(s)
Xf(s)
Xi(s) Xo(s)
A
返回本节
§ 2-3 传递函数的方框图等效变换
G1(s)
H(s)
+
＋ X1(s)
Xf(s)
Xi(s) Xo(s)
A
G (s)Xi(s)
Xo(s)
反馈连接传递函数也称为闭环传递函数；若在 A点断开，
则为开环，开环传递函数为：
前向通道 反馈通道
返回本节
§ 2-3 传递函数的方框图等效变换
G1(s)+
＋Xi(s)
G (s)Xi(s) Xo(s)
Xo(s)
若反馈通道的传递函数 H(s)=1，则称为单位反馈。
返回本节
§ 2-3 传递函数的方框图等效变换
4.引出点的移动
相邻的引出点可以前后任意改变次序
A
B B
A
返回本节
§ 2-3 传递函数的方框图等效变换
顺着信号传递的方向跨越环节
)(
1
sG
乘以
G(s)X1(s)
X2(s)
X3(s)
G(s) X3(s)X1(s)
X2(s)
1/G(s)
返回本节
§ 2-3 传递函数的方框图等效变换
G(s)X1(s)
X2(s)
X3(s) G(s) X3(s)X1(s)
X2(s)
逆着信号传递的方向跨越环节 乘以 G(s)
返回本节
G(s)
§ 2-3 传递函数的方框图等效变换
X1(s)
X2(s)
X4(s)
5.汇合点的移动
＋
＋
＋
－
X3(s)
X1(s)
X2(s)
X4(s)＋
＋
＋
－
X3(s)
A B AB
相邻的汇合点可以前后任意改变次序
返回本节
§ 2-3 传递函数的方框图等效变换
乘以 G(s)
G(s)X1(s)
X2(s)
X3(s) G(s)
G(s)
X3(s)X1(s)
X2(s)
5.汇合点的移动
＋
＋
＋
＋
顺着信号传递的方向跨越环节
返回本节
§ 2-3 传递函数的方框图等效变换
乘以
G(s) X3(s)X1(s)
X2(s)
＋
＋
G(s)X1(s)
X2(s)
X3(s)
1/G(s)
＋
＋
)(
1
sG
逆着信号传递的方向跨越环节
返回本节
§ 2-3 传递函数的方框图等效变换
相邻的引出点和汇合点不可改变次序
X1(s)
X2(s)
＋
＋
A B X
1(s)
X2(s)
＋
＋
AB
返回本节
§ 2-3 传递函数的方框图等效变换
逆着信号传递
的方向移动
引
出
点
汇
合
点
顺着信号传递
的方向移动
乘以 G(s)
)(
1
sG
)(
1
sG
乘以
乘以
乘以 G(s)
引出点和汇合点的移动原则：保持移动前后的信息总量不变。
返回本节
§ 2-3 传递函数的方框图等效变换
G2 G3G1
H1
H2
_
＋
Xi(s) Xo(s)＋
＋ ＋
_
G2 G3G1
H1
H2/G1
_
＋
Xi(s) Xo(s)＋
＋ ＋
_
练习 1：
返回本节
§ 2-3 传递函数的方框图等效变换
G2 G3G1
H1
H2/G1
_
＋
Xi(s) Xo(s)＋
＋ ＋
_
G3
H2/G1
_X
i(s) Xo(s)
＋ ＋
_
G1G2
1－ G1G2H1
返回本节
§ 2-3 传递函数的方框图等效变换
_X
i(s) Xo(s)
＋ G1G2G3
1－ G1G2H1＋ G2G3H2
G1G2G3
1－ G1G2H1＋ G2G3H2 ＋ G1G2G3
Xi(s) Xo(s)
返回本节
§ 2-3 传递函数的方框图等效变换
G2(s) G3(s)G1(s)
G4(s)
G5(s)
_
+ ＋ +
G6(s)
_
+
X(s)
Y(s)
练习 2：
返回本节
§ 2-3 传递函数的方框图等效变换
G2(s) G3(s)G4(s)
G5(s)
+
+
_
＋
G6(s)
X(s) Y(s)
练习 3：
返回本节
§ 2-4 典型环节的传递函数
1.比例环节：环节的输出随输入成比例变化
xo(t)=kxi(t)
其传递函数为：
任何复杂的控制系统都是由最基本的典型环节所组成的。
k
sX
sX
sG
i
o ??
)(
)(
)(
返回本章
§ 2-4 典型环节的传递函数
（ 1）弹性元件：位移随外力大小成比例变化，比例系数取决
于元件的弹性大小。与输入输出无关。
片簧金属膜片 波汶管
F F
P
返回本节
§ 2-4 典型环节的传递函数
（ 2）节流元件：前后压力差的大小随气流量成比例变化，比
例系数取决于元件的弹性大小。与输入输出
无关。
Δp(t)=RΔq(t)
G (s)=ΔP(s)/ ΔQ(s)= R
返回本节
§ 2-4 典型环节的传递函数
（ 3）喷嘴挡板机构：输出压力随喷嘴挡板的开度成比例变化
恒节流孔 背 压 室 喷 嘴
挡 板
喷 嘴 挡 板 机 构 结 构 示 意 图
气源
输出
返回本节
§ 2-4 典型环节的传递函数
0.10MPa
0.02MPa
10 22
h(um)
MPa
喷嘴挡板机构的静特性
返回本节
§ 2-4 典型环节的传递函数
（ 4）放大器：对输入信号成比例放大
气源
输出
输入
气
动
功
率
放
大
器
返回本节
§ 2-4 典型环节的传递函数
I
II
III
S
P输入 F
P0 Pa
返回本节
§ 2-4 典型环节的传递函数
电
动
功
率
放
大
器
R1
Rf
u0
ui
i
i
－
＋
ii
f
f
i
o
kuu
R
R
R
R
u
u ??????
11
返回本节
§ 2-4 典型环节的传递函数
返回本节
（ 5）比例环节的阶跃相应特性
t
t
xo(t)
xi(t)
A
kA
t
xo(t)
xi(t)
A
-kA
t
0
0
0
0
§ 2-4 典型环节的传递函数
2.积分环节：环节的输出与输入对时间的积分成比例。
?? dttxktx io )()(
s
k
sG ?)(
若 k=1,则
s
sG 1)( ?
返回本节
§ 2-4 典型环节的传递函数
q p
? ?? dtq
c
p
1
cssQ
sP
sG
1
)(
)(
)( ??
dm
c
dp
dp
dmc 1???
dtq
c
dp
q
cdt
dm
cdt
dp
????
???
1
11
输入量为气体流量，输出量为气
容气压
（ 1）气容
返回本节
§ 2-4 典型环节的传递函数
? ?? dti
c
u
1
0
cssI
sU
sG
1
)(
)(
)( 0 ??
C uo
i
输入量为电流，输出量为电容两
端的电压
（ 2）阻容电路
返回本节
§ 2-4 典型环节的传递函数
?? ?????? dtRucdticu io 11
R CssU
sUsG
i
1
)(
)()( 0 ???
输入量为电压，输出量也为电压
（ 3）运放电路
ui
C
－
+ uoi
iR
)(1)( sU
R Cs
sU io ??
返回本节
§ 2-4 典型环节的传递函数
? ????
? ????
)
1
(
)
1
(
1
2
1
2
dt
R
u
c
R
R
u
dti
c
iRu
ii
o
)1(
)(
)(
)(
11
20
csRR
R
sU
sU
sG
i
????
（ 4） f ig,2-35
ui
C
+
_
uoi
iR
1
)()1()(
11
2 sU
csRR
R
sU io ???
R2
返回本节
§ 2-4 典型环节的传递函数
（ 5）积分环节的阶跃响应
ssU
sU
sG
i
1
)(
)(
)( 0 ??
设 ui(t)=1,则 Ui(s)=1/s
2
1 11)()()(
sss
sUsGsU io ?????
ttu o ?)(
t
u(t)
返回本节
§ 2-4 典型环节的传递函数
3,一阶惯性环节：
输入突变时，输
出的变化滞后于输
入的变化，并按一
定的规律趋近于输
入值。
p0
pi
R
节流盲室
u0ui
R
C
K
RC电路
ui
Rf
C
-
+
R1 u
o
运算放大电路
返回本节
§ 2-4 典型环节的传递函数
uoui
R
C
K
? ?? dtti
c
tu o )(
1
)(i
)()()( tutiRtu oi ???
)()(
)(
tutu
dt
tdu
RC ioo ???
)()()( sUsUsUR C s ioo ???
1
1
1
1
)(
)(
)(
?
?
?
??
TsR CssU
sU
sG
i
o
因分母最高次数
为 1，所以为一
阶惯性环节。
返回本节
§ 2-4 典型环节的传递函数
ui
Rf
C
-
+
R1 u
o
运算放大电路组成的惯性环节
))()(()(
1 dt
tduC
R
tu
R
tu o
f
oi ???
))()(()(
1
sC s UR sUR sU o
f
oi ???
111
1
)(
)(
)( 11
?
??
?
??
?
???
Ts
K
CsR
R
R
Cs
R
R
sU
sU
sG
f
f
f
i
o
返回本节
§ 2-4 典型环节的传递函数
1
1
)(
)(
)(
?
??
TssU
sU
sG
i
o
一阶惯性环节的阶跃响应：
设 ui(t)=1,则 Ui(s)=1/s
T
s
sTs
T
s
sTs
sUsGsU
io
1
11
1
1
1
1
1
)()()(
?
??
?
??
?
?
???
Tt
o etu
/1)( ??? 0 2 4 6 8 10
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
一般系统对单位阶跃函数的响应
返回本节
§ 2-4 典型环节的传递函数
4,一阶微分环节：环节的输出与输入的微分成比例。
dt
tdx
ktx io
)(
)( ?
)()( sk s XsX io ?
sk
sX
sX
sG
i
o ???
)(
)(
)(
设 xi(t)=1，则 Xi(s)=1/s
1)()( ??? ksk s XsX io
)()( tktx o ??
因此，理想的微分环节在实
际中并不存在。
返回本节
§ 2-4 典型环节的传递函数
实际的微分环节：理想的微分环节与惯性环节的串联。
Rf
ui
C
-
+ uoi
iR
1
)
)()(
()( 1
CsR
sU
R
sUR
sU
f
o
f
o
i ???
11)(
)(
)(
1 ?
??
?
???
Ts
K T s
CsR
CsR
sU
sU
sG f
i
o
CRT
R
R
K f 1
1
,??
? ????
? ???
)
1
(
)
1
(
1
1
dt
R
u
c
R
R
u
dti
c
iRu
f
o
f
o
i
返回本节
§ 2-4 典型环节的传递函数
实际的微分环节：理想的微分环节与惯性环节的串联。
f
o
o
f
i
ic
R
u
dt
u
R
R
ud
C
dt
iRud
C
dt
du
Ci
??
?
?
?
??
)(
)(
1
1
Rf
ui
C
-
+ uoi
iR
1
f
o
o
f
i R
sU
sU
R
R
CssC s U
)(
)()( 1 ???
11)(
)(
)(
1 ?
??
?
???
Ts
K T s
CsR
CsR
sU
sU
sG f
i
o
CRT
R
R
K f 1
1
,??
Pass
返回本节
§ 2-4 典型环节的传递函数
1)(
)(
)(
?
??
Ts
Ts
sU
sU
sG
i
o
实际微分环节的阶跃响应：
设 ui(t)=1,则 Ui(s)=1/s
T
s
Ts
T
sTs
Ts
sUsGsU
io
1
1
1
1
1
)()()(
?
?
?
?
?
?
???
Tt
o etu
/)( ?? 0 2 4 6 8 10
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
一般系统对单位阶跃函数的响应：
返回本节
§ 2-4 典型环节的传递函数
12
1)(
22 ??? TssTsG ?
返回本节
5,振荡环节：具有两个以上的储能元件，并且存在能量交
换，表现出振荡特性
§ 2-4 典型环节的传递函数
返回本节
5,振荡环节：
例 1 机械力学系统 —— 弹簧阻尼系统：
其中,f 是阻尼系数
k 是弹簧系数
mF(t)
f X(t)
)()()()(22 tFtkXdt tdXfdt tXdm ???
kfsmssF
sX
??? 2
1
)(
)(
§ 2-4 典型环节的传递函数
返回本节
例 2 电学系统：
5,振荡环节,＋
－
ui(t)
＋
－
uo(t)i
)()()()(2
2
tutudt tduRCdt tudLC iooo ???
1
1
)(
)(
2 ??? R C sL C ssU
sU
i
o
LR
C
§ 2-4 典型环节的传递函数
返回本节
5,振荡环节：
12
1)(
22 ??? TssTsG ?
§ 2-4 典型环节的传递函数
6.纯迟延环节：输出比输入滞后一个延时时间 τ
e－ τs
Xo(s)Xi(s)
)()( ??? txtx io
s
i
o e
sX
sX
sG ????
)(
)(
)( τ t
t
xo(t)
xi(t)
返回本节
