第五章 时域分析法
ST
§ 5-0 引言
§ 5-1 一阶系统的过渡过程
§ 5-2 二阶系统的过渡过程
§ 5-3 系统稳定性及劳斯判据
§ 5-0 引言
ST
时域分析法是根据系统的微分方程，以拉氏变
换作为工具，直接解出控制系统的时间响应。然后，
根据响应的表达式以及过程曲线来分析系统的性能，
如稳定性、快速性和准确性等。
时域分析法一般局限于分析一、二阶系统。
§ 5-1 一阶系统的过渡过程
ST
由一阶微分方程描述的系统称为一阶系统。
其微分方程为：
)()(
)(
trty
dt
tdy
T ??
其中,y(t)为输出量,r(t)为输入量,T为时间常数
§ 5-1 一阶系统的过渡过程
ST
其传递函数为：
1
1
)(
)(
)(
??
??
sTsR
sY
sG
其中,T 为时间常数
其方框图为：
1/Ts－
＋R(s) Y(s)
§ 5-1 一阶系统的过渡过程
ST
1,一阶系统的单位阶跃响应：
ssT
sRsGsY
1
1
1
)()()( ?
??
???
t
Tety
??
??
1
1)(
§ 5-1 一阶系统的过渡过程
ST
一阶系统的单位
阶跃响应曲线：
0 2 4 6 8 100
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
一般系统对单位阶跃函数的响应：
1T 2T 3T 4T
§ 5-1 一阶系统的过渡过程
ST
2,一阶系统的单位斜坡响应：
2
1
1
1
)()()(
ssT
sRsGsY ?
??
???
t
TeTTt
T
s
T
s
T
s
Lty
??
?
????
?
???
1
2
1
]
1
1
[)(
§ 5-1 一阶系统的过渡过程
ST
一阶系统的单位
斜坡响应曲线：
Time (sec.)
Am
pli
tud
e
Linear Simulation Results
0 2 4 6 8 10
0
1
2
3
4
5
6
T
T
r(t)
y(t)
)1(
)()()(
T
t
eT
tytrte
?
??
??
§ 5-1 一阶系统的过渡过程
ST
3,一阶系统的单位脉冲响应：
T
s
T
sT
sRsGsY
1
1
1
1
1
)()()(
?
??
??
???
t
Te
T
T
s
T
Lty
??
?
??
?
?
1
1 1
]
1
[)(
§ 5-1 一阶系统的过渡过程
ST
一阶系统的单位脉冲响应曲线,Impulse Response
Time (sec.)
Am
pli
tud
e
0 5 10 15 20 25 300
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
0.16
0.18
0.2
T
2
1
2
1
0
1
0
)(
T
t
e
T
tdt
tdy
t
T
??
?
???
?
??
§ 5-1 一阶系统的过渡过程
ST
t
TeTTtty
??
????
1
)(
t
Tety
??
??
1
1)(
t
Te
T
ty
??
??
1
1
)(
阶跃响应
脉冲响应
斜坡响应
)()( ttr ??
§ 5-2 二阶系统的过渡过程
ST
二阶系统的微分方程：
)( )(
)(
2
)(
2
2
2 trty
dt
tdy
T
dt
tyd
T ????? ?
由二阶微分方程描述的系统，称为二阶系统。
22
2
22
212
1
)(
nn
n
sssTsT
sG
???
?
? ?????
?
??????
?
y(t)—— 输出
r(t)—— 输入
T —— 时间常数
ξ—— 阻尼系数
ωn—— 无阻尼振
荡频率
Tn
1??
§ 5-2 二阶系统的过渡过程
ST
1 02 22,1 22 ??????????? ???????? nnnn ss
二阶系统的特征根：
§ 5-2 二阶系统的过渡过程
ST
二阶系统的单位阶跃响应：
sss
sss
sRsGsY
n
nn
n
))((
1
2
)()()(
21
2
22
2
??
?
???
?
??
?
?
?????
???
§ 5-2 二阶系统的过渡过程
ST
dnnn j ???????? ??????? 1
2
2,1
1,0<ξ<1（欠阻尼）
222222
21
2
)(
)(
1
))((
)(
dn
n
dn
nn
ss
s
ssss
sY
???
??
???
??
??
?
??
?
??
?
??
??
?
)
1
a r c t a n1 s i n (1)(
2
2
?
?
??
?? ?
??????
???
tety
n
t
n
§ 5-2 二阶系统的过渡过程
ST
nnn j ?????? ?????? 1
2
2,1
2,ξ= 0 （无阻尼）
ttty nn ??????? ?? c os1)90 s i n(1)( ?
§ 5-2 二阶系统的过渡过程
ST
nnn ?????? ?????? 1
2
2,1
3,ξ= 1 （临界阻尼）
)(
1
)(
1
))((
)(
22
21
2
nn
nn
ssssss
sY
??
?
??
?
?
?
?
??
??
?
)1 (1)( tety ntn ????? ?? ??
§ 5-2 二阶系统的过渡过程
ST
122,1 ???? ????? nn
4,ξ> 1 （过阻尼）
t
t
n
n
e
ety
????
????
???
?
???
??
???
???
???
???
)1(
22
)1(
22
2
2
)11(2
1
)11(2
1
1)(
§ 5-3 稳定性与劳斯判据
ST
本教材定义：当输入量去除之后，经过足够长的时间，
系统的输出量仍能恢复到原始平衡态的能力。
1.稳定性的概念
见图 5-16
在自控理论中，通常采用两种方法定义系统的稳定性：
（ 1） BIBO稳定性；
（ 2）李亚普诺夫稳定性。
§ 5-3 稳定性与劳斯判据
ST
2.稳定的条件：系统传递函数的极点全部位于复平面的
左侧。
x ( t )+ b+
dt
x ( t )d
+ b
dt
x ( t )d
=b
y ( t ) +a+
dt
y ( t )d
+ a
dt
y ( t )d
a
m-
m-
m-m
m
m
n-
n-
n-n
n
n
01
1
1
01
1
1
?
?
设系统的微分方程为：
§ 5-3 稳定性与劳斯判据
ST
00
1
1
1 =y( t )+a+ dt
y( t )d
+ a
dt
y( t )d
a
n-
n-
n-n
n
n ?
当去除输入量后,x(t)及各阶导数均为 0，于是：
其特征方程为：
0011 =+a+ s + a s a n-n-nn ?
若特征方程的根为 λ1,λ2,λ3,…,λ n，则 微分方程的解为：
t
n
ttt neCeCeCe y ( t ) = C ???? ???? ?321
321
§ 5-3 稳定性与劳斯判据
ST
设特征方程有 k 个实数根 （ i =1,2…,k),r 个复数根
（ i =1,2…,r),则：
)s i nco s(
11
321
321
tBtAeeC
eCeCeCe y( t ) = C
iiii
r
i
ttk
i
i
t
n
ttt
ii
n
??
??
????
?????
????
??
?
i?
ii j?? ?
§ 5-3 稳定性与劳斯判据
ST
0
)s i nc o s(lim
limlim
1
1
?
???
?
? ??
?????
tBtAe
eCy ( t ) =
iiii
r
i
t
t
t
t
k
i
i
t
i
i
??
?
?
若是一个稳定的系统，则
只有当时 时,才有
0 0 ??? ii ?? 0 lim ?
??
y( t )
t
§ 5-3 稳定性与劳斯判据
ST
3,劳斯判据
虽然通过求出系统传递函数的极点，并根据极点
在复平面上的分布情况可以判断系统的稳定性，但一
般并不这样做。原因有二：
（ 1）只需要极点的分布情况，并不需要知道极点的
具体位置；
（ 2）对于高阶代数方程，求解困难。
因此，通常采用前人总结的判据方法进行判断。劳斯
判据就是其中的一种方法。
§ 5-3 稳定性与劳斯判据
ST
（ 1）必要条件：闭环传递函数特征方程的所有系数
全部为正（不允许为 0或负数）。
（ 2）充分必要条件：劳斯计算表（劳斯阵列）中第
一列元素全部为正。
§ 5-3 稳定性与劳斯判据
ST
劳斯计算表,sn a
n an-2 an-4 … 0
sn-1 an-1 an-3 an-5 … 0
sn-2 b1 b2 b3 … 0
sn-3 c1 c2 c3 … 0
sn-4 d1 d2 d3 … 0… … … … … …
s1 u1 0 0 0 0
s0 v1 0 0 0 0
§ 5-3 稳定性与劳斯判据
ST
sn an an-2 an-4 … 0
sn-1 an-1 an-3 an-5 … 0
sn-2 b1 b2 b3 … 0
sn-3 c1 c2 c3 … 0
sn-4 d1 d2 d3 … 0… … … … … …
s1 u1 0 0 0 0
s0 v1 0 0 0 0
1
31
2
1
?
??
?
?
?
n
nn
nn
a
aa
aa
b
§ 5-3 稳定性与劳斯判据
ST
sn an an-2 an-4 … 0
sn-1 an-1 an-3 an-5 … 0
sn-2 b1 b2 b3 … 0
sn-3 c1 c2 c3 … 0
sn-4 d1 d2 d3 … 0… … … … … …
s1 u1 0 0 0 0
s0 v1 0 0 0 0
1
51
4
2
?
??
?
?
?
n
nn
nn
a
aa
aa
b
§ 5-3 稳定性与劳斯判据
ST
sn an an-2 an-4 … 0
sn-1 an-1 an-3 an-5 … 0
sn-2 b1 b2 b3 … 0
sn-3 c1 c2 c3 … 0
sn-4 d1 d2 d3 … 0… … … … … …
s1 u1 0 0 0 0
s0 v1 0 0 0 0
1
21
31
1
b
bb
aa
c
nn ??
?
?
§ 5-3 稳定性与劳斯判据
ST
sn an an-2 an-4 … 0
sn-1 an-1 an-3 an-5 … 0
sn-2 b1 b2 b3 … 0
sn-3 c1 c2 c3 … 0
sn-4 d1 d2 d3 … 0… … … … … …
s1 u1 0 0 0 0
s0 v1 0 0 0 0
1
31
51
2
b
bb
aa
c
nn ??
?
?
§ 5-3 稳定性与劳斯判据
ST
sn an an-2 an-4 … 0
sn-1 an-1 an-3 an-5 … 0
sn-2 b1 b2 b3 … 0
sn-3 c1 c2 c3 … 0
sn-4 d1 d2 d3 … 0… … … … … …
s1 u1 0 0 0 0
s0 v1 0 0 0 0
1
21
21
1
c
cc
bb
d
?
?
§ 5-3 稳定性与劳斯判据
ST
sn an an-2 an-4 … 0
sn-1 an-1 an-3 an-5 … 0
sn-2 b1 b2 b3 … 0
sn-3 c1 c2 c3 … 0
sn-4 d1 d2 d3 … 0… … … … … …
s1 u1 0 0 0 0
s0 v1 0 0 0 0
1
31
31
2
c
cc
bb
d
?
?
§ 5-3 稳定性与劳斯判据
ST
如果劳斯计算表中第一列元素均为正值，则特
征方程的根全部为左根，系统稳定。反之，若出现
负值，则必有右根，且右根的个数等于符号变化的
次数。
§ 5-3 稳定性与劳斯判据
ST
例 5-4 设系统的特征方程为 0243 2345 ?????? sssss
试确定系统的稳定性，如不稳定，则确定右根
的个数。
解：劳斯计算表为,s5 1 3 1
s4 1 4 2
s3 -1 -1 0
s2 3 2 0
s1 -1/3 0 0
s0 2 0 0
由于存在负值，所
以不稳定，符号变
化 4次，因此有 4个
右根。
§ 5-3 稳定性与劳斯判据
ST
例 5-5 设系统的特征方程为 0301925 234 ????? ssss
试确定系统的稳定性，如不稳定，则确定右根
的个数。
解：劳斯计算表为,s4 1 -25 30
s3 1 -19 0
s2 -6 30 0
s1 -14 0 0
s0 30 0 0
由于存在负值，所
以不稳定，符号变
化 2次，因此有 2个
右根。
§ 5-3 稳定性与劳斯判据
ST
例 5-11 设系统的特征方程为
)125.0)(11.0(
)()(
??
?
sss
K
sHsG
试确定使系统稳定 K值。
解：先求系统的闭环特征方程
－
＋R(s) Y(s)
)125.0)(11.0( ?? sss
K
A
§ 5-3 稳定性与劳斯判据
ST
系统的闭环传递函数为
Ksss
K
sss
K
sss
K
s
???
?
??
?
??
?
)125.0)(11.0(
)125.0)(11.0(
1
)125.0)(11.0(
)(?
因此，闭环特征方程为
0)125.0)(11.0( ???? Ksss
0404014
40)4)(10(
23 ?????
???
Ksss
Ksss
§ 5-3 稳定性与劳斯判据
ST
0404014 23 ???? Ksss
s3 1 40
s2 14 40K
s1 0
s0 40K 0
劳斯计算表为：
14
60540- ?K
0
14
60540- ??K
40K > 0
0 < K <14
§ 5-3 稳定性与劳斯判据
ST
0D ( s ) 2 ???? CBsAs
s2 A C
s1 B 0
s0 C 0
对于二阶系统
只需各系数均大
于 0即可。
ST
§ 5-0 引言
§ 5-1 一阶系统的过渡过程
§ 5-2 二阶系统的过渡过程
§ 5-3 系统稳定性及劳斯判据
§ 5-0 引言
ST
时域分析法是根据系统的微分方程，以拉氏变
换作为工具，直接解出控制系统的时间响应。然后，
根据响应的表达式以及过程曲线来分析系统的性能，
如稳定性、快速性和准确性等。
时域分析法一般局限于分析一、二阶系统。
§ 5-1 一阶系统的过渡过程
ST
由一阶微分方程描述的系统称为一阶系统。
其微分方程为：
)()(
)(
trty
dt
tdy
T ??
其中,y(t)为输出量,r(t)为输入量,T为时间常数
§ 5-1 一阶系统的过渡过程
ST
其传递函数为：
1
1
)(
)(
)(
??
??
sTsR
sY
sG
其中,T 为时间常数
其方框图为：
1/Ts－
＋R(s) Y(s)
§ 5-1 一阶系统的过渡过程
ST
1,一阶系统的单位阶跃响应：
ssT
sRsGsY
1
1
1
)()()( ?
??
???
t
Tety
??
??
1
1)(
§ 5-1 一阶系统的过渡过程
ST
一阶系统的单位
阶跃响应曲线：
0 2 4 6 8 100
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
一般系统对单位阶跃函数的响应：
1T 2T 3T 4T
§ 5-1 一阶系统的过渡过程
ST
2,一阶系统的单位斜坡响应：
2
1
1
1
)()()(
ssT
sRsGsY ?
??
???
t
TeTTt
T
s
T
s
T
s
Lty
??
?
????
?
???
1
2
1
]
1
1
[)(
§ 5-1 一阶系统的过渡过程
ST
一阶系统的单位
斜坡响应曲线：
Time (sec.)
Am
pli
tud
e
Linear Simulation Results
0 2 4 6 8 10
0
1
2
3
4
5
6
T
T
r(t)
y(t)
)1(
)()()(
T
t
eT
tytrte
?
??
??
§ 5-1 一阶系统的过渡过程
ST
3,一阶系统的单位脉冲响应：
T
s
T
sT
sRsGsY
1
1
1
1
1
)()()(
?
??
??
???
t
Te
T
T
s
T
Lty
??
?
??
?
?
1
1 1
]
1
[)(
§ 5-1 一阶系统的过渡过程
ST
一阶系统的单位脉冲响应曲线,Impulse Response
Time (sec.)
Am
pli
tud
e
0 5 10 15 20 25 300
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
0.16
0.18
0.2
T
2
1
2
1
0
1
0
)(
T
t
e
T
tdt
tdy
t
T
??
?
???
?
??
§ 5-1 一阶系统的过渡过程
ST
t
TeTTtty
??
????
1
)(
t
Tety
??
??
1
1)(
t
Te
T
ty
??
??
1
1
)(
阶跃响应
脉冲响应
斜坡响应
)()( ttr ??
§ 5-2 二阶系统的过渡过程
ST
二阶系统的微分方程：
)( )(
)(
2
)(
2
2
2 trty
dt
tdy
T
dt
tyd
T ????? ?
由二阶微分方程描述的系统，称为二阶系统。
22
2
22
212
1
)(
nn
n
sssTsT
sG
???
?
? ?????
?
??????
?
y(t)—— 输出
r(t)—— 输入
T —— 时间常数
ξ—— 阻尼系数
ωn—— 无阻尼振
荡频率
Tn
1??
§ 5-2 二阶系统的过渡过程
ST
1 02 22,1 22 ??????????? ???????? nnnn ss
二阶系统的特征根：
§ 5-2 二阶系统的过渡过程
ST
二阶系统的单位阶跃响应：
sss
sss
sRsGsY
n
nn
n
))((
1
2
)()()(
21
2
22
2
??
?
???
?
??
?
?
?????
???
§ 5-2 二阶系统的过渡过程
ST
dnnn j ???????? ??????? 1
2
2,1
1,0<ξ<1（欠阻尼）
222222
21
2
)(
)(
1
))((
)(
dn
n
dn
nn
ss
s
ssss
sY
???
??
???
??
??
?
??
?
??
?
??
??
?
)
1
a r c t a n1 s i n (1)(
2
2
?
?
??
?? ?
??????
???
tety
n
t
n
§ 5-2 二阶系统的过渡过程
ST
nnn j ?????? ?????? 1
2
2,1
2,ξ= 0 （无阻尼）
ttty nn ??????? ?? c os1)90 s i n(1)( ?
§ 5-2 二阶系统的过渡过程
ST
nnn ?????? ?????? 1
2
2,1
3,ξ= 1 （临界阻尼）
)(
1
)(
1
))((
)(
22
21
2
nn
nn
ssssss
sY
??
?
??
?
?
?
?
??
??
?
)1 (1)( tety ntn ????? ?? ??
§ 5-2 二阶系统的过渡过程
ST
122,1 ???? ????? nn
4,ξ> 1 （过阻尼）
t
t
n
n
e
ety
????
????
???
?
???
??
???
???
???
???
)1(
22
)1(
22
2
2
)11(2
1
)11(2
1
1)(
§ 5-3 稳定性与劳斯判据
ST
本教材定义：当输入量去除之后，经过足够长的时间，
系统的输出量仍能恢复到原始平衡态的能力。
1.稳定性的概念
见图 5-16
在自控理论中，通常采用两种方法定义系统的稳定性：
（ 1） BIBO稳定性；
（ 2）李亚普诺夫稳定性。
§ 5-3 稳定性与劳斯判据
ST
2.稳定的条件：系统传递函数的极点全部位于复平面的
左侧。
x ( t )+ b+
dt
x ( t )d
+ b
dt
x ( t )d
=b
y ( t ) +a+
dt
y ( t )d
+ a
dt
y ( t )d
a
m-
m-
m-m
m
m
n-
n-
n-n
n
n
01
1
1
01
1
1
?
?
设系统的微分方程为：
§ 5-3 稳定性与劳斯判据
ST
00
1
1
1 =y( t )+a+ dt
y( t )d
+ a
dt
y( t )d
a
n-
n-
n-n
n
n ?
当去除输入量后,x(t)及各阶导数均为 0，于是：
其特征方程为：
0011 =+a+ s + a s a n-n-nn ?
若特征方程的根为 λ1,λ2,λ3,…,λ n，则 微分方程的解为：
t
n
ttt neCeCeCe y ( t ) = C ???? ???? ?321
321
§ 5-3 稳定性与劳斯判据
ST
设特征方程有 k 个实数根 （ i =1,2…,k),r 个复数根
（ i =1,2…,r),则：
)s i nco s(
11
321
321
tBtAeeC
eCeCeCe y( t ) = C
iiii
r
i
ttk
i
i
t
n
ttt
ii
n
??
??
????
?????
????
??
?
i?
ii j?? ?
§ 5-3 稳定性与劳斯判据
ST
0
)s i nc o s(lim
limlim
1
1
?
???
?
? ??
?????
tBtAe
eCy ( t ) =
iiii
r
i
t
t
t
t
k
i
i
t
i
i
??
?
?
若是一个稳定的系统，则
只有当时 时,才有
0 0 ??? ii ?? 0 lim ?
??
y( t )
t
§ 5-3 稳定性与劳斯判据
ST
3,劳斯判据
虽然通过求出系统传递函数的极点，并根据极点
在复平面上的分布情况可以判断系统的稳定性，但一
般并不这样做。原因有二：
（ 1）只需要极点的分布情况，并不需要知道极点的
具体位置；
（ 2）对于高阶代数方程，求解困难。
因此，通常采用前人总结的判据方法进行判断。劳斯
判据就是其中的一种方法。
§ 5-3 稳定性与劳斯判据
ST
（ 1）必要条件：闭环传递函数特征方程的所有系数
全部为正（不允许为 0或负数）。
（ 2）充分必要条件：劳斯计算表（劳斯阵列）中第
一列元素全部为正。
§ 5-3 稳定性与劳斯判据
ST
劳斯计算表,sn a
n an-2 an-4 … 0
sn-1 an-1 an-3 an-5 … 0
sn-2 b1 b2 b3 … 0
sn-3 c1 c2 c3 … 0
sn-4 d1 d2 d3 … 0… … … … … …
s1 u1 0 0 0 0
s0 v1 0 0 0 0
§ 5-3 稳定性与劳斯判据
ST
sn an an-2 an-4 … 0
sn-1 an-1 an-3 an-5 … 0
sn-2 b1 b2 b3 … 0
sn-3 c1 c2 c3 … 0
sn-4 d1 d2 d3 … 0… … … … … …
s1 u1 0 0 0 0
s0 v1 0 0 0 0
1
31
2
1
?
??
?
?
?
n
nn
nn
a
aa
aa
b
§ 5-3 稳定性与劳斯判据
ST
sn an an-2 an-4 … 0
sn-1 an-1 an-3 an-5 … 0
sn-2 b1 b2 b3 … 0
sn-3 c1 c2 c3 … 0
sn-4 d1 d2 d3 … 0… … … … … …
s1 u1 0 0 0 0
s0 v1 0 0 0 0
1
51
4
2
?
??
?
?
?
n
nn
nn
a
aa
aa
b
§ 5-3 稳定性与劳斯判据
ST
sn an an-2 an-4 … 0
sn-1 an-1 an-3 an-5 … 0
sn-2 b1 b2 b3 … 0
sn-3 c1 c2 c3 … 0
sn-4 d1 d2 d3 … 0… … … … … …
s1 u1 0 0 0 0
s0 v1 0 0 0 0
1
21
31
1
b
bb
aa
c
nn ??
?
?
§ 5-3 稳定性与劳斯判据
ST
sn an an-2 an-4 … 0
sn-1 an-1 an-3 an-5 … 0
sn-2 b1 b2 b3 … 0
sn-3 c1 c2 c3 … 0
sn-4 d1 d2 d3 … 0… … … … … …
s1 u1 0 0 0 0
s0 v1 0 0 0 0
1
31
51
2
b
bb
aa
c
nn ??
?
?
§ 5-3 稳定性与劳斯判据
ST
sn an an-2 an-4 … 0
sn-1 an-1 an-3 an-5 … 0
sn-2 b1 b2 b3 … 0
sn-3 c1 c2 c3 … 0
sn-4 d1 d2 d3 … 0… … … … … …
s1 u1 0 0 0 0
s0 v1 0 0 0 0
1
21
21
1
c
cc
bb
d
?
?
§ 5-3 稳定性与劳斯判据
ST
sn an an-2 an-4 … 0
sn-1 an-1 an-3 an-5 … 0
sn-2 b1 b2 b3 … 0
sn-3 c1 c2 c3 … 0
sn-4 d1 d2 d3 … 0… … … … … …
s1 u1 0 0 0 0
s0 v1 0 0 0 0
1
31
31
2
c
cc
bb
d
?
?
§ 5-3 稳定性与劳斯判据
ST
如果劳斯计算表中第一列元素均为正值，则特
征方程的根全部为左根，系统稳定。反之，若出现
负值，则必有右根，且右根的个数等于符号变化的
次数。
§ 5-3 稳定性与劳斯判据
ST
例 5-4 设系统的特征方程为 0243 2345 ?????? sssss
试确定系统的稳定性，如不稳定，则确定右根
的个数。
解：劳斯计算表为,s5 1 3 1
s4 1 4 2
s3 -1 -1 0
s2 3 2 0
s1 -1/3 0 0
s0 2 0 0
由于存在负值，所
以不稳定，符号变
化 4次，因此有 4个
右根。
§ 5-3 稳定性与劳斯判据
ST
例 5-5 设系统的特征方程为 0301925 234 ????? ssss
试确定系统的稳定性，如不稳定，则确定右根
的个数。
解：劳斯计算表为,s4 1 -25 30
s3 1 -19 0
s2 -6 30 0
s1 -14 0 0
s0 30 0 0
由于存在负值，所
以不稳定，符号变
化 2次，因此有 2个
右根。
§ 5-3 稳定性与劳斯判据
ST
例 5-11 设系统的特征方程为
)125.0)(11.0(
)()(
??
?
sss
K
sHsG
试确定使系统稳定 K值。
解：先求系统的闭环特征方程
－
＋R(s) Y(s)
)125.0)(11.0( ?? sss
K
A
§ 5-3 稳定性与劳斯判据
ST
系统的闭环传递函数为
Ksss
K
sss
K
sss
K
s
???
?
??
?
??
?
)125.0)(11.0(
)125.0)(11.0(
1
)125.0)(11.0(
)(?
因此，闭环特征方程为
0)125.0)(11.0( ???? Ksss
0404014
40)4)(10(
23 ?????
???
Ksss
Ksss
§ 5-3 稳定性与劳斯判据
ST
0404014 23 ???? Ksss
s3 1 40
s2 14 40K
s1 0
s0 40K 0
劳斯计算表为：
14
60540- ?K
0
14
60540- ??K
40K > 0
0 < K <14
§ 5-3 稳定性与劳斯判据
ST
0D ( s ) 2 ???? CBsAs
s2 A C
s1 B 0
s0 C 0
对于二阶系统
只需各系数均大
于 0即可。
