第 四 章
空 间 力 系
c o syFF ??
c o szFF ??
直接投影法
1、力在直角坐标轴上的投影
?c o sFF x ?
§ 4–1 空间汇交力系
间接（二次）投影法
s inxyFF ??
si n c o sxFF ???
s in s inyFF ???
c oszFF ??
R x i x xF F F???? R y i y yF F F???? R z i z zF F????
合矢量（力）投影定理
R iFF? ?
rr空间汇交力系的合力
2,空间汇交力系的合力与平衡条件
合力的大小 2 2 2( ) ( ) ( )R x y zF F F F? ? ?? ? ?
c o s(,) xR
R
FFi
F?
?r r
方向余弦
c o s (,) yR
R
FFj
F
??r r c o s(,) z
R
R
FFk
F
??rr
空间汇交力系平衡的充分必要条件是：
称为空间汇交力系的平衡方程,
0xF ?? 0yF ??
0RF ?r该力系的合力等于零，即
空间汇交力系的合力等于各分力的矢量和，合
力的作用线通过汇交点,
空间汇交力系平衡的 充要条件,该力系中所有
各力在三个坐标轴上的投影的代数和分别为零,
1,力对点的矩以矢量表示 ——力矩矢
§ 4–2 力对点的矩和力对轴的矩
()OM F r F??r r rr
（ 3）作用面：力矩作用面,
（ 2）方向,转动方向
(1）大小,力 F与力臂的乘积
三要素：
x y zF F i F j F k? ? ?
rr rrr x i y j z k? ? ? rrrr
( ) ( ) ( )z y x z y xy F z F i z F x F j x F y F k? ? ? ? ? ? rrr
( ) ( ) ( ) ( )O x y zM F r F x i y j z k F i F j F k? ? ? ? ? ? ? ?rrr r r r r r rr
力对点 O的矩在三个坐标轴上的投影为
()O z yxM F y F z F?? ????rr
()O x zyM F zF x F?? ????rr
()O y xzM F x F y F?? ????rr
2.力对轴的矩
力与轴相交或与轴平行（力与轴在同一平面内），
力对该轴的矩为零,
( ) ( )z O x y x yM F M F F h? ? ? ?rr
( ) ( ) ( ) ( )x x x x y x z z yM F M F M F M F F y F z? ? ? ? ? ? ?r r r r
( ) ( ) ( ) ( )y y x y y y z x zM F M F M F M F F z F x? ? ? ? ? ? ?r r r r
3、力对点的矩与力对过该点的轴的矩的关系
()z y xM F F x F y? ? ? ?r
( ) ( )O z y xxM F y F z F M F?? ? ? ???r r r
( ) ( )O x z yyM F zF x F M F?? ? ? ???r r r
( ) ( )O y x zzM F x F y F M F?? ? ? ???r r r
§ 4–3 空间力偶
1、力偶矩以矢量表示－－力偶矩矢
1 2 1 2F F F F??? ? ?
空间力偶的三要素
（ 1） 大小：力与力偶臂的乘积；
（ 3） 作用面：力偶作用面。
（ 2） 方向：转动方向；
BAM r F??
rrr
(,) ( ) ( )O O O
AB
M F F M F M F
r F r F
????
?? ? ? ?
r r r r r r r
rrrr
(,) ( )O A BM F F r r F M? ? ? ? ?r r r r rrr
2、力偶的性质
FF???rr
（ 2）力偶对任意点取矩都等于力偶矩，不因矩心的改
变而改变。
(1）力偶中两力在任意坐标轴上投影的代数和为零,
（ 3）只要保持力偶矩不变，力偶可在其作用面内
任意移转，且可以同时改变力偶中力的大小
与力偶臂的长短，对刚体的作用效果不变,
12
12
1 1 1
(,) ( )
(,)
R R B A R B A
B A B A
BA
M F F r F r F F
r F r F
r F M F F
? ? ? ? ? ?
? ? ? ?
?? ? ?
r r r r r rrr
rrrr
r r r rr
= = =
(4)只要保持力偶矩不变, 力偶可从其所在平面
移至另一与此平面平行的任一平面, 对刚体
的作用效果不变,
211 FFF ???
332 FFF ?????
= =
= =
(5)力偶没有合力, 力偶只能由力偶来平衡,
定位矢量
力偶矩相等的力偶等效
力偶矩矢是自由矢量
自由矢量滑移矢量
3．力偶系的合成与平衡条件
1 1 1 2 2 2,,.,,,,,,n n nM r F M r F M r F? ? ? ? ? ?
r r r r r rr r r
= =
iMM? ?
rr
Mr 为合力偶矩矢，等于各分力偶矩矢的矢量和,
2 2 2( ) ( ) ( )x y zM M M M? ? ?? ? ?
合力偶矩矢的大小和方向余弦
,,x x y y z zM M M M M M? ? ?? ? ?
称为空间力偶系的平衡 方程,
0 0 0x y zM M M? ? ?? ? ?
0M ?r
空间力偶系平衡的充分必要条件是,合力偶矩矢等
于零，即
c os xMM? ?? c o s yMM? ?? c os zMM? ??
§ 4–4 空间任意力系向一点的简化 ·主矢和主矩
1,空间任意力系向一点的简化
iiFF??
rr ()i O iM M F?r r r
空间汇交与空间力偶系等效代替一空间任意力系,
R i x y zF F F i F j F k? ? ? ? ?? ? ? ?
rrr rr
主矩
()O i O iM M M F????r r r r
( ) ( ) ( )O x y zM M F i M F j M F k? ? ?? ? ? rr r r rrr
主矢
空间力偶系的合力偶矩
由力对点的矩与力对轴的矩的关系，有
空间汇交力系的合力
—有效推进力
RxF?
r 飞机向前飞行
RyF?
r —有效升力 飞机上升
RzF?
r —侧向力 飞机侧移
OxM
r —滚转力矩 飞机绕 x轴滚转
OyM
r —偏航力矩 飞机转弯
OzM
r —俯仰力矩 飞机仰头
（ 1） 合力
ORd M F ??
r
合力,合力作用线距简化
中心为
2,空间任意力系的简化结果分析 （ 最后结果 ）
0,0,R O R OF M F M??? ? ?r r r r
0,0ROFM? ??rr 过简化中心合力
( ) ( )O R O R OM d F M F M F? ? ? ? ?rr r r r r r
合力矩定理：合力对某点 (轴）之矩等于各分力对同
一点（轴）之矩的矢量和,
（ 2）合力偶
一个合力偶，此时与简化中心无关。0,0
ROFM? ??
rr
（ 3）力螺旋
0,0,R O R OF M F M????r r r rP中心轴过简化中心的力螺旋
既不平行也不垂直0,0,,
R O R OF M F M????
r r r r
力螺旋中心轴距简化中心为 s i nO
R
Md
F
??
?
（ 4）平衡
平衡0,0
ROFM? ??
rr
§ 4–5 空间任意力系的平衡方程
空间任意力系平衡的充要条件：
1.空间任意力系的平衡方程
0 0 0x y zF F F? ? ?? ? ?
0 0 0x y zM M M? ? ?? ? ?
空间任意力系平衡的充要条件：所有各力在三
个坐标轴中每一个轴上的投影的代数和等于零，以
及这些力对于每一个坐标轴的矩的代数和也等于零,
该力系的主矢、主矩分别为零,
3.空间力系平衡问题举例
2.空间约束类型举例
0 0 0z x yF M M? ? ?? ? ?
空间平行力系的平衡方程
§ 4–6 重 心
1．计算重心坐标的公式
1 1 2 2,...C n n
ii
P x P x P x P x
Px
? ? ? ? ? ? ? ?
???
ii
C
Pxx
P?
?
1 1 2 2,...C n n
ii
P y P y P y P y
Py
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ??
ii
C
Pyy
P?
?
1 1 2 2,...C n n
ii
P z P z P z P z
Pz
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ??
ii
C
Pzz
P?
?
计算重心坐标的公式为
ii
C
Pzz
P?
?ii
C
Pxx
P?
? ii
C
Pyy
P?
?
对均质物体，均质板状物体，有
ii
C
Vxx
V?
? ii
C
Vyy
V?
? ii
C
Vzz
V?
?
ii
C
Axx
A?
? ii
C
Ayy
A?
? ii
C
Azz
A?
? 称为重心或形心公式
2,确定重心的悬挂法与称重法
（ 1） 悬挂法
（ 2） 称重法
1CP x F l? ? ? 1C FxlP?
则
有 2
C
Fxl
P? ??
2221 1
C
FFz r l H
PH
?? ? ? ? ?
' c o sll ??
' c o s sinCCx x h????
sin Hl? ?
22
c o s lHl? ??
例 4-1 已知：,,nF ??r
求：力 在三个坐标轴上的投影,
nF
r
?s innz FF ?? ?c o snxy FF ?
??? s i nc o ss i n nxyx FFF ????
??? c o sc o sc o s nxyy FFF ????
解：
例 4-2 已知：物重 P=10kN,CE=EB=DE；
030??
求：杆受力及绳拉力
解：画受力图，列平
衡方程
0?? xF
045s in45s in 21 ?? ?? FF
0?? yF
030c o s45c o s30c o s45c o s30s i n 21 ??? ????? FFF A
0?? zF
030c o s30s i n45c o s30s i n45c o s 21 ???? PFFF A ?????
12 3, 5 4k NFF?? 8,6 6k NAF ?
例 4-3
求：三根杆所受力,
已知,P=1000N,各杆重不计,
解：各杆均为二力杆，取球铰 O，
画受力图。
0xF ?? 045s in45s in ?? ?? OCOB FF
0yF ??
045c o s45c o s45c o s ???? ??? OAOCOB FFF
0zF ?? 045s in ?? PF OA ?
N1 4 1 4??OAF （ 拉 ） N7 0 7?? OCOB FF
例 4-4
已知,?,,,alF
求,? ? ? ? ? ?,,
x y zM F M F M F
r r r
? ? ? ? c o sxM F F l a ?? ? ?r
? ? c o syM F F l ???r
? ? ? ? s i nzM F F l a ?? ? ?
解：把力 分解如图Fr
例 4-5 已知：在工件四个面上同时钻 5个孔，每个孔
所受切削力偶矩均为 80N·m.
,,x y z求：工件所受合力偶矩在 轴上的投影
解：把力偶用
力偶矩矢表示，
平行移到点 A,
mN ????????? 1.19345c o s45c o s 543 ?? MMMMM ixx
mN ??????? 802MMM iyy
mN ????????? 1.19345c o s45c o s 541 ?? MMMMM izz
求,轴承 A,B处的约束力,
例 4-6
已知：两圆盘半径均为 200mm,AB =800mm,圆盘面 O1
垂直于 z轴，圆盘面 O2垂直于 x轴，两盘面上作用有力
偶,F1=3N,F2=5N,构件自重不计,
解：取整体，受力图如图所示,
0?? xM 2 4 0 0 8 0 0 0AzFF? ? ? ?
0zM?? 1 4 0 0 8 0 0 0AxFF? ? ? ?
N5.1??? BxAx FF N5.2?? BzAz FF
例 4-7
求：正方体平衡时，力 的关系和两根杆受力,12,FF
1 1 2 2(,),(,),F F F F??
r r r r
,不计正方体和直杆自重,
已知：正方体上作用两个力偶
2C D A EP
解：两杆为二力杆，取正方体，画
受力图建坐标系如图 b
以矢量表示力偶，如图 c
12MM?
设正方体边长为 a,有
1 1 2 2M F a M F a? ? ? ? ?
有
12FF? 32 2AM F a??
2 2 1 2ABF F F F? ? ?
杆 受拉,受压。
12AA 12BB
0xM ?? 045c o s31 ?? ?MM
0yM ?? 045s in32 ?? ?MM
例 4-8 已知,P=8kN,
,101 kN?P 各尺寸如图
求,A,B,C 处约束力
解：研究对象：小车
列平衡方程
0?? zF 01 ?????? DBA FFFPP
? ? 0?? FM x 10, 2 1, 2 2 0DP P F? ? ? ?
? ? 0?? FM y 06.02.16.08.0 1 ???? DB FFPP
5, 8 k N,7, 7 7 7 k N,4, 4 2 3 k ND B AF F F? ? ?
例 4-9
已知：,2 0 0 0 N?F,2 12 FF ?,60,30 ?? ?? ?? 各尺寸如图
求：
21,FF
及 A,B处约束力
解：研究对象, 曲轴
列平衡方程
0xF ?? 060s i n30s i n 21 ???? BxAx FFFF ??
? ? 0yF 00 ?
? ? 0zF 060c o s30c o s 21 ?????? BzAz FFFFF ??
? ? 0?? FM x
040020020060c o s20030c o s 21 ???????? BxFFFF ??
? ? 0?? FM y ? ? 02 12 ????? FFDRF
? ? 0?? FM z 12( s in 3 0 s in 6 0 ) 2 0 0 4 0 0 0BxF F F? ? ? ? ?oo
,6000,3000 21 NN ?? FF
,9 3 9 7,1 0 0 4 NN ??? AzAx FF
,1 7 9 9,3 3 4 8 NN ??? BzBx FF
例 4-10
已知,4,2 5 N,
xF ? 6,8 N,yF ? 1 7 N,zF ?
,36.0 ?FF r ? 5 0 m m,R ? 3 0 m mr ?
各尺寸如图
求,（ 2） A,B处约束力 （ 3） O 处约束力,
rFF?
rr(1)
? ? 0xF 0????? xAxBx FFFF ?
? ? 0yF 0?? yBy FF
? ? 0zF 0???? zAzBz FFFF ?
? ? 0?? FM x ? ?4 8 8 7 6 7 6 3 8 8 0B z zF F F?? ? ? ? ?
? ? 0?? FM y 0???? rFRF z?
? ? 0?? FM z ? ?7 6 4 8 8 7 6 3 0 3 8 8 0r B x y xF F F F? ? ? ? ? ?
解：研究对象 1：主轴及工件，受力图如图
又：,36.0
?FF r ?
,2.10 kN??F 3,6 7,rF ? kN
,64.15 kN?AxF,87.31 kN??AzF
,19.1 kN??BxF,8.6 kN?ByF,2.11 kN?BzF
研究对象 2：工件受力图如图
列平衡方程
? ? 0xF 0?? xOx FF
? ? 0yF 0?? yOy FF
? ? 0zF 0?? zOz FF
? ? 0?? FM x 01 0 0 ?? xZ MF
? ? 0?? FM y 030 ??? yZ MF
? ? 0?? FM z 0301 0 0 ??? zyx MFF
kNkNkN 17,8.6,25.4 ???? OzOyOx FFF
mkNmkNmkN ???????? 22.0,51.0,7.1 zyx MMM
例 4-11已知,F,P及各尺寸
求,杆内力
解：研究对象，长方板
列平衡方程
? ? 0ABMF ?? r 0
26 ????? P
aaF
6 2
PF ??
? ? 0AEMF ?? r 05 ?F
? ? 0ACMF ?? r 04 ?F
? ? 0EFMF ?? r 0
2 2216 ???????? ba
abFPaaF 01 ?F
? ? 0FGMF ?? r 02 2 ???? bFPbFb PF 5.12 ?
? ? 0BCMF ?? r 045c o s2 32 ???????? bFPbbF ?PF 223 ??
例 4-12
求：其重心坐标
已知：均质等厚 Z字型薄板尺寸如图所示,
则
用虚线分割如图，为三个小矩形，其面积与坐标分别为
解,厚度方向重心坐标已确定，只求重心的 x,y坐标即可,
mm151 ??x mm451?y 21 3 0 0 mm?A
mm52?x mm302 ?y 22 400 mm?A
mm153?x mm53?y 23 3 0 0 mm?A
mm2
321
332211 ?
??
?????
AAA
xAxAxA
A
xAx ii
C
mm27
321
332211 ?
??
?????
AAA
yAyAyA
A
yAy ii
C
例 4-13
求：其重心坐标,
1 2 3
4 4 ( ),,0
33
R r by y y
??
?? ? ? ?
由 ii
C
Ayy
A?
?
2 2 2
1 2 3,( ),22A R A r b A r
?? ?? ? ? ? ?
0Cx ?由对称性，有
解：用负面积法，为三部分组成,
已知：等厚均质偏心块的 mmmmmm 13,17,1 0 0 ??? brR
得 mm01.40
321
332211 ?
??
???
AAA
yAyAyAy
C
三个大小相等的力 P分别与坐标轴平行，且分别在三个坐标
平面内，其作用点依次为（ x,0,0），（ 0,y,0）
（ 0,0,z）,预使该力系合成为合力，则 x,y,z应满足
的关系。
已知：两根均质杆分别重为 P和 Q,其端点 A,C利用球铰链
固定到水平面上，另一端 B用球铰链相互连接，并靠在光滑
的铅直墙上,AC平行于墙和地的交线，如杆 AB与水平成 45
度，, AC=AO,求支座 A,C的约束力及 B处的
约束力。
90BAC?? o
空 间 力 系
c o syFF ??
c o szFF ??
直接投影法
1、力在直角坐标轴上的投影
?c o sFF x ?
§ 4–1 空间汇交力系
间接（二次）投影法
s inxyFF ??
si n c o sxFF ???
s in s inyFF ???
c oszFF ??
R x i x xF F F???? R y i y yF F F???? R z i z zF F????
合矢量（力）投影定理
R iFF? ?
rr空间汇交力系的合力
2,空间汇交力系的合力与平衡条件
合力的大小 2 2 2( ) ( ) ( )R x y zF F F F? ? ?? ? ?
c o s(,) xR
R
FFi
F?
?r r
方向余弦
c o s (,) yR
R
FFj
F
??r r c o s(,) z
R
R
FFk
F
??rr
空间汇交力系平衡的充分必要条件是：
称为空间汇交力系的平衡方程,
0xF ?? 0yF ??
0RF ?r该力系的合力等于零，即
空间汇交力系的合力等于各分力的矢量和，合
力的作用线通过汇交点,
空间汇交力系平衡的 充要条件,该力系中所有
各力在三个坐标轴上的投影的代数和分别为零,
1,力对点的矩以矢量表示 ——力矩矢
§ 4–2 力对点的矩和力对轴的矩
()OM F r F??r r rr
（ 3）作用面：力矩作用面,
（ 2）方向,转动方向
(1）大小,力 F与力臂的乘积
三要素：
x y zF F i F j F k? ? ?
rr rrr x i y j z k? ? ? rrrr
( ) ( ) ( )z y x z y xy F z F i z F x F j x F y F k? ? ? ? ? ? rrr
( ) ( ) ( ) ( )O x y zM F r F x i y j z k F i F j F k? ? ? ? ? ? ? ?rrr r r r r r rr
力对点 O的矩在三个坐标轴上的投影为
()O z yxM F y F z F?? ????rr
()O x zyM F zF x F?? ????rr
()O y xzM F x F y F?? ????rr
2.力对轴的矩
力与轴相交或与轴平行（力与轴在同一平面内），
力对该轴的矩为零,
( ) ( )z O x y x yM F M F F h? ? ? ?rr
( ) ( ) ( ) ( )x x x x y x z z yM F M F M F M F F y F z? ? ? ? ? ? ?r r r r
( ) ( ) ( ) ( )y y x y y y z x zM F M F M F M F F z F x? ? ? ? ? ? ?r r r r
3、力对点的矩与力对过该点的轴的矩的关系
()z y xM F F x F y? ? ? ?r
( ) ( )O z y xxM F y F z F M F?? ? ? ???r r r
( ) ( )O x z yyM F zF x F M F?? ? ? ???r r r
( ) ( )O y x zzM F x F y F M F?? ? ? ???r r r
§ 4–3 空间力偶
1、力偶矩以矢量表示－－力偶矩矢
1 2 1 2F F F F??? ? ?
空间力偶的三要素
（ 1） 大小：力与力偶臂的乘积；
（ 3） 作用面：力偶作用面。
（ 2） 方向：转动方向；
BAM r F??
rrr
(,) ( ) ( )O O O
AB
M F F M F M F
r F r F
????
?? ? ? ?
r r r r r r r
rrrr
(,) ( )O A BM F F r r F M? ? ? ? ?r r r r rrr
2、力偶的性质
FF???rr
（ 2）力偶对任意点取矩都等于力偶矩，不因矩心的改
变而改变。
(1）力偶中两力在任意坐标轴上投影的代数和为零,
（ 3）只要保持力偶矩不变，力偶可在其作用面内
任意移转，且可以同时改变力偶中力的大小
与力偶臂的长短，对刚体的作用效果不变,
12
12
1 1 1
(,) ( )
(,)
R R B A R B A
B A B A
BA
M F F r F r F F
r F r F
r F M F F
? ? ? ? ? ?
? ? ? ?
?? ? ?
r r r r r rrr
rrrr
r r r rr
= = =
(4)只要保持力偶矩不变, 力偶可从其所在平面
移至另一与此平面平行的任一平面, 对刚体
的作用效果不变,
211 FFF ???
332 FFF ?????
= =
= =
(5)力偶没有合力, 力偶只能由力偶来平衡,
定位矢量
力偶矩相等的力偶等效
力偶矩矢是自由矢量
自由矢量滑移矢量
3．力偶系的合成与平衡条件
1 1 1 2 2 2,,.,,,,,,n n nM r F M r F M r F? ? ? ? ? ?
r r r r r rr r r
= =
iMM? ?
rr
Mr 为合力偶矩矢，等于各分力偶矩矢的矢量和,
2 2 2( ) ( ) ( )x y zM M M M? ? ?? ? ?
合力偶矩矢的大小和方向余弦
,,x x y y z zM M M M M M? ? ?? ? ?
称为空间力偶系的平衡 方程,
0 0 0x y zM M M? ? ?? ? ?
0M ?r
空间力偶系平衡的充分必要条件是,合力偶矩矢等
于零，即
c os xMM? ?? c o s yMM? ?? c os zMM? ??
§ 4–4 空间任意力系向一点的简化 ·主矢和主矩
1,空间任意力系向一点的简化
iiFF??
rr ()i O iM M F?r r r
空间汇交与空间力偶系等效代替一空间任意力系,
R i x y zF F F i F j F k? ? ? ? ?? ? ? ?
rrr rr
主矩
()O i O iM M M F????r r r r
( ) ( ) ( )O x y zM M F i M F j M F k? ? ?? ? ? rr r r rrr
主矢
空间力偶系的合力偶矩
由力对点的矩与力对轴的矩的关系，有
空间汇交力系的合力
—有效推进力
RxF?
r 飞机向前飞行
RyF?
r —有效升力 飞机上升
RzF?
r —侧向力 飞机侧移
OxM
r —滚转力矩 飞机绕 x轴滚转
OyM
r —偏航力矩 飞机转弯
OzM
r —俯仰力矩 飞机仰头
（ 1） 合力
ORd M F ??
r
合力,合力作用线距简化
中心为
2,空间任意力系的简化结果分析 （ 最后结果 ）
0,0,R O R OF M F M??? ? ?r r r r
0,0ROFM? ??rr 过简化中心合力
( ) ( )O R O R OM d F M F M F? ? ? ? ?rr r r r r r
合力矩定理：合力对某点 (轴）之矩等于各分力对同
一点（轴）之矩的矢量和,
（ 2）合力偶
一个合力偶，此时与简化中心无关。0,0
ROFM? ??
rr
（ 3）力螺旋
0,0,R O R OF M F M????r r r rP中心轴过简化中心的力螺旋
既不平行也不垂直0,0,,
R O R OF M F M????
r r r r
力螺旋中心轴距简化中心为 s i nO
R
Md
F
??
?
（ 4）平衡
平衡0,0
ROFM? ??
rr
§ 4–5 空间任意力系的平衡方程
空间任意力系平衡的充要条件：
1.空间任意力系的平衡方程
0 0 0x y zF F F? ? ?? ? ?
0 0 0x y zM M M? ? ?? ? ?
空间任意力系平衡的充要条件：所有各力在三
个坐标轴中每一个轴上的投影的代数和等于零，以
及这些力对于每一个坐标轴的矩的代数和也等于零,
该力系的主矢、主矩分别为零,
3.空间力系平衡问题举例
2.空间约束类型举例
0 0 0z x yF M M? ? ?? ? ?
空间平行力系的平衡方程
§ 4–6 重 心
1．计算重心坐标的公式
1 1 2 2,...C n n
ii
P x P x P x P x
Px
? ? ? ? ? ? ? ?
???
ii
C
Pxx
P?
?
1 1 2 2,...C n n
ii
P y P y P y P y
Py
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ??
ii
C
Pyy
P?
?
1 1 2 2,...C n n
ii
P z P z P z P z
Pz
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ??
ii
C
Pzz
P?
?
计算重心坐标的公式为
ii
C
Pzz
P?
?ii
C
Pxx
P?
? ii
C
Pyy
P?
?
对均质物体，均质板状物体，有
ii
C
Vxx
V?
? ii
C
Vyy
V?
? ii
C
Vzz
V?
?
ii
C
Axx
A?
? ii
C
Ayy
A?
? ii
C
Azz
A?
? 称为重心或形心公式
2,确定重心的悬挂法与称重法
（ 1） 悬挂法
（ 2） 称重法
1CP x F l? ? ? 1C FxlP?
则
有 2
C
Fxl
P? ??
2221 1
C
FFz r l H
PH
?? ? ? ? ?
' c o sll ??
' c o s sinCCx x h????
sin Hl? ?
22
c o s lHl? ??
例 4-1 已知：,,nF ??r
求：力 在三个坐标轴上的投影,
nF
r
?s innz FF ?? ?c o snxy FF ?
??? s i nc o ss i n nxyx FFF ????
??? c o sc o sc o s nxyy FFF ????
解：
例 4-2 已知：物重 P=10kN,CE=EB=DE；
030??
求：杆受力及绳拉力
解：画受力图，列平
衡方程
0?? xF
045s in45s in 21 ?? ?? FF
0?? yF
030c o s45c o s30c o s45c o s30s i n 21 ??? ????? FFF A
0?? zF
030c o s30s i n45c o s30s i n45c o s 21 ???? PFFF A ?????
12 3, 5 4k NFF?? 8,6 6k NAF ?
例 4-3
求：三根杆所受力,
已知,P=1000N,各杆重不计,
解：各杆均为二力杆，取球铰 O，
画受力图。
0xF ?? 045s in45s in ?? ?? OCOB FF
0yF ??
045c o s45c o s45c o s ???? ??? OAOCOB FFF
0zF ?? 045s in ?? PF OA ?
N1 4 1 4??OAF （ 拉 ） N7 0 7?? OCOB FF
例 4-4
已知,?,,,alF
求,? ? ? ? ? ?,,
x y zM F M F M F
r r r
? ? ? ? c o sxM F F l a ?? ? ?r
? ? c o syM F F l ???r
? ? ? ? s i nzM F F l a ?? ? ?
解：把力 分解如图Fr
例 4-5 已知：在工件四个面上同时钻 5个孔，每个孔
所受切削力偶矩均为 80N·m.
,,x y z求：工件所受合力偶矩在 轴上的投影
解：把力偶用
力偶矩矢表示，
平行移到点 A,
mN ????????? 1.19345c o s45c o s 543 ?? MMMMM ixx
mN ??????? 802MMM iyy
mN ????????? 1.19345c o s45c o s 541 ?? MMMMM izz
求,轴承 A,B处的约束力,
例 4-6
已知：两圆盘半径均为 200mm,AB =800mm,圆盘面 O1
垂直于 z轴，圆盘面 O2垂直于 x轴，两盘面上作用有力
偶,F1=3N,F2=5N,构件自重不计,
解：取整体，受力图如图所示,
0?? xM 2 4 0 0 8 0 0 0AzFF? ? ? ?
0zM?? 1 4 0 0 8 0 0 0AxFF? ? ? ?
N5.1??? BxAx FF N5.2?? BzAz FF
例 4-7
求：正方体平衡时，力 的关系和两根杆受力,12,FF
1 1 2 2(,),(,),F F F F??
r r r r
,不计正方体和直杆自重,
已知：正方体上作用两个力偶
2C D A EP
解：两杆为二力杆，取正方体，画
受力图建坐标系如图 b
以矢量表示力偶，如图 c
12MM?
设正方体边长为 a,有
1 1 2 2M F a M F a? ? ? ? ?
有
12FF? 32 2AM F a??
2 2 1 2ABF F F F? ? ?
杆 受拉,受压。
12AA 12BB
0xM ?? 045c o s31 ?? ?MM
0yM ?? 045s in32 ?? ?MM
例 4-8 已知,P=8kN,
,101 kN?P 各尺寸如图
求,A,B,C 处约束力
解：研究对象：小车
列平衡方程
0?? zF 01 ?????? DBA FFFPP
? ? 0?? FM x 10, 2 1, 2 2 0DP P F? ? ? ?
? ? 0?? FM y 06.02.16.08.0 1 ???? DB FFPP
5, 8 k N,7, 7 7 7 k N,4, 4 2 3 k ND B AF F F? ? ?
例 4-9
已知：,2 0 0 0 N?F,2 12 FF ?,60,30 ?? ?? ?? 各尺寸如图
求：
21,FF
及 A,B处约束力
解：研究对象, 曲轴
列平衡方程
0xF ?? 060s i n30s i n 21 ???? BxAx FFFF ??
? ? 0yF 00 ?
? ? 0zF 060c o s30c o s 21 ?????? BzAz FFFFF ??
? ? 0?? FM x
040020020060c o s20030c o s 21 ???????? BxFFFF ??
? ? 0?? FM y ? ? 02 12 ????? FFDRF
? ? 0?? FM z 12( s in 3 0 s in 6 0 ) 2 0 0 4 0 0 0BxF F F? ? ? ? ?oo
,6000,3000 21 NN ?? FF
,9 3 9 7,1 0 0 4 NN ??? AzAx FF
,1 7 9 9,3 3 4 8 NN ??? BzBx FF
例 4-10
已知,4,2 5 N,
xF ? 6,8 N,yF ? 1 7 N,zF ?
,36.0 ?FF r ? 5 0 m m,R ? 3 0 m mr ?
各尺寸如图
求,（ 2） A,B处约束力 （ 3） O 处约束力,
rFF?
rr(1)
? ? 0xF 0????? xAxBx FFFF ?
? ? 0yF 0?? yBy FF
? ? 0zF 0???? zAzBz FFFF ?
? ? 0?? FM x ? ?4 8 8 7 6 7 6 3 8 8 0B z zF F F?? ? ? ? ?
? ? 0?? FM y 0???? rFRF z?
? ? 0?? FM z ? ?7 6 4 8 8 7 6 3 0 3 8 8 0r B x y xF F F F? ? ? ? ? ?
解：研究对象 1：主轴及工件，受力图如图
又：,36.0
?FF r ?
,2.10 kN??F 3,6 7,rF ? kN
,64.15 kN?AxF,87.31 kN??AzF
,19.1 kN??BxF,8.6 kN?ByF,2.11 kN?BzF
研究对象 2：工件受力图如图
列平衡方程
? ? 0xF 0?? xOx FF
? ? 0yF 0?? yOy FF
? ? 0zF 0?? zOz FF
? ? 0?? FM x 01 0 0 ?? xZ MF
? ? 0?? FM y 030 ??? yZ MF
? ? 0?? FM z 0301 0 0 ??? zyx MFF
kNkNkN 17,8.6,25.4 ???? OzOyOx FFF
mkNmkNmkN ???????? 22.0,51.0,7.1 zyx MMM
例 4-11已知,F,P及各尺寸
求,杆内力
解：研究对象，长方板
列平衡方程
? ? 0ABMF ?? r 0
26 ????? P
aaF
6 2
PF ??
? ? 0AEMF ?? r 05 ?F
? ? 0ACMF ?? r 04 ?F
? ? 0EFMF ?? r 0
2 2216 ???????? ba
abFPaaF 01 ?F
? ? 0FGMF ?? r 02 2 ???? bFPbFb PF 5.12 ?
? ? 0BCMF ?? r 045c o s2 32 ???????? bFPbbF ?PF 223 ??
例 4-12
求：其重心坐标
已知：均质等厚 Z字型薄板尺寸如图所示,
则
用虚线分割如图，为三个小矩形，其面积与坐标分别为
解,厚度方向重心坐标已确定，只求重心的 x,y坐标即可,
mm151 ??x mm451?y 21 3 0 0 mm?A
mm52?x mm302 ?y 22 400 mm?A
mm153?x mm53?y 23 3 0 0 mm?A
mm2
321
332211 ?
??
?????
AAA
xAxAxA
A
xAx ii
C
mm27
321
332211 ?
??
?????
AAA
yAyAyA
A
yAy ii
C
例 4-13
求：其重心坐标,
1 2 3
4 4 ( ),,0
33
R r by y y
??
?? ? ? ?
由 ii
C
Ayy
A?
?
2 2 2
1 2 3,( ),22A R A r b A r
?? ?? ? ? ? ?
0Cx ?由对称性，有
解：用负面积法，为三部分组成,
已知：等厚均质偏心块的 mmmmmm 13,17,1 0 0 ??? brR
得 mm01.40
321
332211 ?
??
???
AAA
yAyAyAy
C
三个大小相等的力 P分别与坐标轴平行，且分别在三个坐标
平面内，其作用点依次为（ x,0,0），（ 0,y,0）
（ 0,0,z）,预使该力系合成为合力，则 x,y,z应满足
的关系。
已知：两根均质杆分别重为 P和 Q,其端点 A,C利用球铰链
固定到水平面上，另一端 B用球铰链相互连接，并靠在光滑
的铅直墙上,AC平行于墙和地的交线，如杆 AB与水平成 45
度，, AC=AO,求支座 A,C的约束力及 B处的
约束力。
90BAC?? o
