第四章 证券的收益与风险
持有期收益率 拥有金融资产期间所获得的收益率 。
HPR=(投资的期末价值 —期初价值 +此期间所得到的收入 )/期初价值
投资者期初储蓄 5000元,期末获本息 5200元,有
(5200—5000+0)/5000=200/5000=0.04=4%
[(19× 500)-(20× 500)+(4× 500)]/(20× 500)
=0.15=15%
一,单利与复利二、年收益率的折算
不同期限的折合成年收益率,折算的公式为
年收益率 =持有期收益率× [年 (或 365)÷持有期长度 ]
股票投资期限是 5年，而银行储蓄的期限是 17个月
股票投资的年收益率为 15%× [1/5]=3%
银行储蓄的年收益率为 4%× [12/17]=2.82%
三、算术平均收益率
算术平均收益率 R 的计算公式为
R (R1+R2+…… +RN)/N
如果投资者一项投资 4年的收益率分别为 10%，
-5%,0和 23%,年算术平均收益率为
(10%-5%+0+23%)/4=28%/4=7%
几何平均方法是计算复利的方法,几何平均收益率 RG 的计算公式为
RG=[(1+ R1)(1+R2)…… (1+ Rn-1) (1+ Rn)]1/n-1
如果将上例 4期收益的数字代入几何平均收益率的公式,得到的结果为
RG=[(1+ 0.1)(1-0.05)(1+0)(1+0.23)]1/4-1
=1.065-1=0.065=6.5%
四、几何平均收益率
时间权重收益率也是计算复利的一种收益率,
计算公式为
RTW=[(1+ R1)(1+R2)…… (1+ Rn-1) (1+ Rn)]-1
它与几何平均收益率的计算公式相比较,只缺少对总收入开 1/n次方 。 因此,也可以说,时间权重收益率是投资的考虑复利的总收益率 。
五、时间权重收益率第五章 投资基金六、名义利率与实际利率
实际利率与名义利率的关系有下式：
Rreal =[(1+ Rnom)/(1+h)]-1
Rreal为实际利率,Rnom为名义利率,h是通货膨胀率 。 如果名义利率为 8%,通货膨胀率为 5%,其实际利率就是
[(1+0.08)/(1+0.05)]-1=1.02857-1=0.02857=2.857%
计算实际利率的公式可以近似地写成
Rreal≈R nom—h
七、通货膨胀效应
年通 买 1元物品 20年 1000元 20年 年实际
胀率 后要求的金额 后的购买力 收益率
4% 2.19元 456.39元 7.69%
6% 3.21元 311.80元 5.66%
8% 4.66元 214.55元 3.70%
10% 6.73元 148.64元 1.82%
12% 9.65元 103.67元 0.00%
八、连续复利
复利频率 n 复利水平 (%)
年 1 6.00000
半年 2 6.09000
季 4 6.13636
月 12 6.16778
周 52 6.17998
日 365 6.18313
九、连续复利的计算
连续复利的计算公式为
R EFF=[1+(APR)/n] n –1
这里,APR为利息的年百分率,n为每年计算复利的期数 。 当 n趋近于无穷大时,(1+APR/n)n会趋近于 e APR，
这里,e的值为 2.71828。 在上例中,e 0.06=1.0618365，
因此,我们可以说,利息为 6%的债券的连续复利为每年 6.18365%。
十、净现值的计算
贴现值是未来收益的现值,因此它是终值计算的逆运算 。
譬如 8年后孩子要读大学,家长要考虑在利率为 5%的情况下,现在要存入银行多少钱,8年后才会有 30000元 。
计算现值 PV的公式为
PV=1/(1+i)n
这是利率为 i,持续期为 n时的 1元的现值系数,
PV=[1/(1+0.05)8]× 30000=0.6768× 30000=20305.18
即家长现在需要储蓄 20305.18元,就可以了 。
PV=[1/(1+0.06)8]× 30000=0.6274× 30000=18822.37，
PV=[1/(1+0.04)8]× 30000=0.7307× 30000=21920.71，
利率提高或降低一个百分点,可以节省 (20305.18-
18822.37=)1482.81元,或者多存 (20305.18-
21920.71=)1615.53元 。
十一、年金的计算年金的现值 普通年金每期获得 1元的现值计算公式为
PV=[1-(1+i)-n]/i
PV为普通年金的现值,i为利率,n为年金的期数 。 假定有一每年获得 100元,利率为 6%,可获得 10期的普通年金,有
PV={[1-(1+006)10]/0.06}× 100=736元永久年金 指没有到期日的年金,永久年金的计算公式为永久年金的现值 =C/I
C为定期支付的现金,I为以小数表示的利率 。
十二、不同资产投资收益投资 萧条 繁荣 高通胀 低通胀 四期平均
(长期政府 )债券 17% 4% -1% 8% 7%
商品指数 1 -6 15 -5 1.25%
钻石 (1克拉投资级 ) -4 8 79 15 24.5%
黄金 (金块 ) -8 -9 105 19 26.75%
私人住宅 4 6 6 5 5.25%
实物资产 (商业 ) 9 13 18 6 11.5%
白银 (银块 ) 3 -6 94 4 23.75%
股票 (蓝筹 ) 14 7 -3 21 9.75%
股票 (小型增长公司 )17 14 7 12 12.5%
国库券 (3个月期 ) 6 5 7 3 5.25%
年度 股票收益 国债收益 国库券收益 通胀率
26-97均值 13.0 5.6 3.8 3.2
十三、长期投资的效果
风险 (risk)是指未来收益的不确定性，不确定性的程度越高，风险就越大。
形势 概率 期末总价 总收益率
繁荣 0.25 13000元 30%
正常增长 0.50 11000元 10
萧条 0.25 9000元 -10
十四、风险及测度十五、期望收益与方差
E( r )=∑p(s)r(s)
E( r )=(0.25× 0.30)+(0.50× 0.10)+[0.25
× (-0.10)]=0.075+0.05-.025=0.10=10%
σ2=∑p(s)[r(s)-E(r)]2
σ2=∑0.25× (30-10)2+0.50× (10-10)2+
0.25(-10-10)2=200 或 14.14%
十六,26-99年美国大股票 长期国债 中期国债 国库券 通货膨胀率收益 12.50 5.31 5.16 3.76 3.22
风险 20.39 7.96 6.47 3.35 4.54
十七、彼得堡悖论
数学家丹尼尔 ·贝诺里 1725-1733年在圣彼得堡做研究时研究了这样一个问题：这是一个掷硬币的游戏,参加者先付门票,然后开始掷硬币,直至第一个正面出现时为止 。 在此之前出现的反面的次数决定参加者的报酬,计算报酬 R的公式为
R(n)=2n
公式中的 n为参加者掷硬币出现反面的次数,参加者可能获得的报酬取决于他掷硬币时,在掷出第一个正面前可以掷出多少个反面 。 参加者可能遇到的各种情况的概率及报酬见表 。
参加者可能遇到的各种情况的概率及报酬表
反面 概率 报酬 概率 × 报酬
0 1/2 1 1/2
1 1/4 2 1/2
2 1/8 4 1/2
3 1/16 8 1/2
,,,,
n (1/2)n+1 2n 1/2
十七、彼得堡悖论
如果 n为 0,他可以得到的报酬为 20=1元,期望报酬为
1/2；如果 n为 1,他可以得到的报酬为 21=2元,期望报酬仍为 1/2；余此类推,如果 n为 n,他可以得到的全部期望报酬为
E(R)=∑Pr(n)R(n)=1/2+1/2+…… =∞。
由于门票的价格是有限的,而期望报酬却是无穷大的,
这就成为了一个悖论 。 贝诺里运用边际效用递减的道理解决了这个问题 。 他指出,参加者赋予所有报酬的每一元不同的价值,随着报酬的增加,每新获得的 1元价值是递减的 。 因此,函数 log(R)给报酬为 R元的参加者一个主观价值,报酬越高,每一元的价值就越小 。
最后,他计算出风险报酬应为 2元,这是参加者愿付的最高价 。
十七、彼得堡悖论
我们将风险溢价为零时的风险投资称为公平游戏 (fair game),风险厌恶型的投资者不会选择公平游戏或更糟的资产组合,
他们只愿意进行无风险投资或投机性投资 。
当他们准备进行风险投资时,他们会要求有相应的风险报酬,即要求获得相应的超额收益或风险溢价 。 投资者为什么不接受公平游戏呢？ 公平游戏看上去至少不坏,
因为它的期望收益为 0,而不是为负 。
十八、风险厌恶与公平游戏
假定有一公平游戏,投资 10万,获利 5万的概率为 50%，
亏 5万的概率为 50%,因此,这一投资的期望收益为 0。
当 10万增到 15万时,利用对数效用函数,效用从
log(100000)=11.51增加到 log(150000)=11.92,效用增加值为 0.41,期望效用增加值为 0.5× 0.41=0.21。
如果由 10万 降 到 5 万,由于 log(100000)-
log(50000)=11.51-10.82=0.69,期望效用的减少值为
0.5× 0.69=0.35,它大于期望效用的增加值十九、边际效用递减举例
这笔投资的期望效用为
– E[U(W)]=pU(W1)+(1+p)U(W2)=(1/2)log(50
000)+(1/2)log(150 000)=11.37
– 由于 10万的效用值为 11.51,比公平游戏的
11.37要大,
– 风险厌恶型投资者不会进行这一投资 。 即不投资于公平游戏 。
十九、边际效用递减举例
这里有一个金融界广泛运用的一个投资效用计算公式,资产组合的期望收益为 E(r),其收益方差为?2,其效用值为：
U=E(r)-0.005A?2
其中 A为投资者的风险厌恶指数，风险厌恶程度不同的投资者可以有不同的指数值,A值越大，
即投资者对风险的厌恶程度越强，效用就越小。
在指数值不变的情况下，期望收益越高，效用越大；收益的方差越大，效用越小。
二十、效用公式
如果股票的期望收益率为 10%,标准差?为 21.21%,国库券的收益率为 4%,尽管股票有 6%的风险溢价,一个厌恶风险的投资者会选择全部购买国库券的投资策略 。
投资者 A=3 时,股 票 效 用 值 为,10-
(0.005× 3× 21.212)=3.25%,比无风险报酬率稍低,在这种情况下,投资者会放弃股票而选择国库券 。
如果投资者的 A为 2,股票效用值为：
10-(0.005× 2× 21.212)=5.5%,高于无风险报酬率,投资者就会接受这个期望收益,愿意投资于股票 。
所以,投资者对风险的厌恶程度十分关键 。
二十一,效用数值应用举例
– 风险厌恶型的投资者承担风险是要报酬的,
这个风险报酬就是超额收益或风险溢价 。
– 因此对于风险厌恶型的投资者来说,存在着选择资产的均值 -方差准则：当满足下列 (a)、
(b)条件中的任何一个时,投资者将选择资产
A作为投资对象：
– (a) E(RA)≥E(R B) 且 σ 2A<σ 2B
– (b) E(RA)> E(RB) 且 σ 2A≤σ 2B
二十二,均值 -方差准则二十二,均值 -方差准则（ 2）
因为它的期望收益大于或等于第四象限中的任何资产组合,而它的标准差则等于或小于第四象限中的任何资产组合,即资产组合 P优于在它东南方向的任何资产组合 。 相应地,对投资者来说,所有第一象限的资产组合都比资产组合 P
更受欢迎,因为其期望收益等于或大于资产组合 P,标准差等于或小于资产组合 P,即资产组合 P的西北方向的资产组合更受欢迎 。 那么,通过 P 点 的 投 资 者 效 用 的 无 差 异 曲 线
(indifference curve)一定位于第二和第三象限,即一定是条通过 P点的,跨越第二和第三象限的东南方向的曲线 。
二十二,均值 -方差准则（ 3）
一方面,风险厌恶程度不同的投资者有不同的无差异曲线,但它们都通过 P点,因为,这是市场提供的唯一的风险溢价水平决定的 。 一般风险厌恶程度较高的投资者的投资效用无差异曲线较为陡峭,因为风险的增加他要求很高的期望收益的增长；而一般风险厌恶程度较低的投资者的投资效用无差异曲线较为平缓 。
另一方面,每一个投资者一旦确定其风险厌恶程度,其投资效用的无差异曲线的斜率就确定了,除了一条由市场提供的唯一风险溢价水平决定的无差异曲线外,还一定可以有无数条平行它的无差异曲线 。
二十二,均值 -方差准则（ 4）
我们首先来看均值,投资的期望值或均值并不是投资收益概率分布的唯一代表值,其他的选择还有中值与众数 。
中值 (median)是所有收益按照高低排序时处于正中位置的收益率,众数 (mode)是最大概率时的分布值或结果值,它代表了最大的可能收益,
但不是平均加权收益,也不是按高低排序后处于正中的收益 。
但投资者和理论界均认为均值最好,代表性最强,实际使用也最广泛 。
二十三、均值的分析
– 均值本身是期望值的一阶矩差,方差是围绕均值的二阶矩差 。 方差在描述风险时有一定的局限性,如果两个资产组合的均值和方差都相同,但收益率的概率分布不同时 。
– 一阶矩差代表收益水平；二阶矩差表示收益的不确定性程度,并且所有偶数矩差 (方差,
M4,等 )都表明有极端值的可能性,这些矩差的值越大,不确定性越强；三阶矩差 (包括其他奇数矩差,M5,M7等 )表示不确定性的方向,
即收益分布的不对称的情况 。 但是,矩差数越大,其重要性越低 。
二十四、方差的分析
萨缪尔森有两个重要结论：
① 所有比方差更高的矩差的重要性远远小于期望值与方差,即忽略高于方差的矩差不会影响资产组合的选择 。
② 方差与均值对投资者的效用同等重要 。
得出这个结论的主要假设是股票收益分布具有
,紧凑性,。 所谓紧凑性是说,如果投资者能够及时调整,控制风险,资产组合收益率的分布就是紧凑的 。
二十四、方差的分析（ 2）
持有期收益率 拥有金融资产期间所获得的收益率 。
HPR=(投资的期末价值 —期初价值 +此期间所得到的收入 )/期初价值
投资者期初储蓄 5000元,期末获本息 5200元,有
(5200—5000+0)/5000=200/5000=0.04=4%
[(19× 500)-(20× 500)+(4× 500)]/(20× 500)
=0.15=15%
一,单利与复利二、年收益率的折算
不同期限的折合成年收益率,折算的公式为
年收益率 =持有期收益率× [年 (或 365)÷持有期长度 ]
股票投资期限是 5年，而银行储蓄的期限是 17个月
股票投资的年收益率为 15%× [1/5]=3%
银行储蓄的年收益率为 4%× [12/17]=2.82%
三、算术平均收益率
算术平均收益率 R 的计算公式为
R (R1+R2+…… +RN)/N
如果投资者一项投资 4年的收益率分别为 10%，
-5%,0和 23%,年算术平均收益率为
(10%-5%+0+23%)/4=28%/4=7%
几何平均方法是计算复利的方法,几何平均收益率 RG 的计算公式为
RG=[(1+ R1)(1+R2)…… (1+ Rn-1) (1+ Rn)]1/n-1
如果将上例 4期收益的数字代入几何平均收益率的公式,得到的结果为
RG=[(1+ 0.1)(1-0.05)(1+0)(1+0.23)]1/4-1
=1.065-1=0.065=6.5%
四、几何平均收益率
时间权重收益率也是计算复利的一种收益率,
计算公式为
RTW=[(1+ R1)(1+R2)…… (1+ Rn-1) (1+ Rn)]-1
它与几何平均收益率的计算公式相比较,只缺少对总收入开 1/n次方 。 因此,也可以说,时间权重收益率是投资的考虑复利的总收益率 。
五、时间权重收益率第五章 投资基金六、名义利率与实际利率
实际利率与名义利率的关系有下式：
Rreal =[(1+ Rnom)/(1+h)]-1
Rreal为实际利率,Rnom为名义利率,h是通货膨胀率 。 如果名义利率为 8%,通货膨胀率为 5%,其实际利率就是
[(1+0.08)/(1+0.05)]-1=1.02857-1=0.02857=2.857%
计算实际利率的公式可以近似地写成
Rreal≈R nom—h
七、通货膨胀效应
年通 买 1元物品 20年 1000元 20年 年实际
胀率 后要求的金额 后的购买力 收益率
4% 2.19元 456.39元 7.69%
6% 3.21元 311.80元 5.66%
8% 4.66元 214.55元 3.70%
10% 6.73元 148.64元 1.82%
12% 9.65元 103.67元 0.00%
八、连续复利
复利频率 n 复利水平 (%)
年 1 6.00000
半年 2 6.09000
季 4 6.13636
月 12 6.16778
周 52 6.17998
日 365 6.18313
九、连续复利的计算
连续复利的计算公式为
R EFF=[1+(APR)/n] n –1
这里,APR为利息的年百分率,n为每年计算复利的期数 。 当 n趋近于无穷大时,(1+APR/n)n会趋近于 e APR，
这里,e的值为 2.71828。 在上例中,e 0.06=1.0618365，
因此,我们可以说,利息为 6%的债券的连续复利为每年 6.18365%。
十、净现值的计算
贴现值是未来收益的现值,因此它是终值计算的逆运算 。
譬如 8年后孩子要读大学,家长要考虑在利率为 5%的情况下,现在要存入银行多少钱,8年后才会有 30000元 。
计算现值 PV的公式为
PV=1/(1+i)n
这是利率为 i,持续期为 n时的 1元的现值系数,
PV=[1/(1+0.05)8]× 30000=0.6768× 30000=20305.18
即家长现在需要储蓄 20305.18元,就可以了 。
PV=[1/(1+0.06)8]× 30000=0.6274× 30000=18822.37，
PV=[1/(1+0.04)8]× 30000=0.7307× 30000=21920.71，
利率提高或降低一个百分点,可以节省 (20305.18-
18822.37=)1482.81元,或者多存 (20305.18-
21920.71=)1615.53元 。
十一、年金的计算年金的现值 普通年金每期获得 1元的现值计算公式为
PV=[1-(1+i)-n]/i
PV为普通年金的现值,i为利率,n为年金的期数 。 假定有一每年获得 100元,利率为 6%,可获得 10期的普通年金,有
PV={[1-(1+006)10]/0.06}× 100=736元永久年金 指没有到期日的年金,永久年金的计算公式为永久年金的现值 =C/I
C为定期支付的现金,I为以小数表示的利率 。
十二、不同资产投资收益投资 萧条 繁荣 高通胀 低通胀 四期平均
(长期政府 )债券 17% 4% -1% 8% 7%
商品指数 1 -6 15 -5 1.25%
钻石 (1克拉投资级 ) -4 8 79 15 24.5%
黄金 (金块 ) -8 -9 105 19 26.75%
私人住宅 4 6 6 5 5.25%
实物资产 (商业 ) 9 13 18 6 11.5%
白银 (银块 ) 3 -6 94 4 23.75%
股票 (蓝筹 ) 14 7 -3 21 9.75%
股票 (小型增长公司 )17 14 7 12 12.5%
国库券 (3个月期 ) 6 5 7 3 5.25%
年度 股票收益 国债收益 国库券收益 通胀率
26-97均值 13.0 5.6 3.8 3.2
十三、长期投资的效果
风险 (risk)是指未来收益的不确定性，不确定性的程度越高，风险就越大。
形势 概率 期末总价 总收益率
繁荣 0.25 13000元 30%
正常增长 0.50 11000元 10
萧条 0.25 9000元 -10
十四、风险及测度十五、期望收益与方差
E( r )=∑p(s)r(s)
E( r )=(0.25× 0.30)+(0.50× 0.10)+[0.25
× (-0.10)]=0.075+0.05-.025=0.10=10%
σ2=∑p(s)[r(s)-E(r)]2
σ2=∑0.25× (30-10)2+0.50× (10-10)2+
0.25(-10-10)2=200 或 14.14%
十六,26-99年美国大股票 长期国债 中期国债 国库券 通货膨胀率收益 12.50 5.31 5.16 3.76 3.22
风险 20.39 7.96 6.47 3.35 4.54
十七、彼得堡悖论
数学家丹尼尔 ·贝诺里 1725-1733年在圣彼得堡做研究时研究了这样一个问题：这是一个掷硬币的游戏,参加者先付门票,然后开始掷硬币,直至第一个正面出现时为止 。 在此之前出现的反面的次数决定参加者的报酬,计算报酬 R的公式为
R(n)=2n
公式中的 n为参加者掷硬币出现反面的次数,参加者可能获得的报酬取决于他掷硬币时,在掷出第一个正面前可以掷出多少个反面 。 参加者可能遇到的各种情况的概率及报酬见表 。
参加者可能遇到的各种情况的概率及报酬表
反面 概率 报酬 概率 × 报酬
0 1/2 1 1/2
1 1/4 2 1/2
2 1/8 4 1/2
3 1/16 8 1/2
,,,,
n (1/2)n+1 2n 1/2
十七、彼得堡悖论
如果 n为 0,他可以得到的报酬为 20=1元,期望报酬为
1/2；如果 n为 1,他可以得到的报酬为 21=2元,期望报酬仍为 1/2；余此类推,如果 n为 n,他可以得到的全部期望报酬为
E(R)=∑Pr(n)R(n)=1/2+1/2+…… =∞。
由于门票的价格是有限的,而期望报酬却是无穷大的,
这就成为了一个悖论 。 贝诺里运用边际效用递减的道理解决了这个问题 。 他指出,参加者赋予所有报酬的每一元不同的价值,随着报酬的增加,每新获得的 1元价值是递减的 。 因此,函数 log(R)给报酬为 R元的参加者一个主观价值,报酬越高,每一元的价值就越小 。
最后,他计算出风险报酬应为 2元,这是参加者愿付的最高价 。
十七、彼得堡悖论
我们将风险溢价为零时的风险投资称为公平游戏 (fair game),风险厌恶型的投资者不会选择公平游戏或更糟的资产组合,
他们只愿意进行无风险投资或投机性投资 。
当他们准备进行风险投资时,他们会要求有相应的风险报酬,即要求获得相应的超额收益或风险溢价 。 投资者为什么不接受公平游戏呢？ 公平游戏看上去至少不坏,
因为它的期望收益为 0,而不是为负 。
十八、风险厌恶与公平游戏
假定有一公平游戏,投资 10万,获利 5万的概率为 50%，
亏 5万的概率为 50%,因此,这一投资的期望收益为 0。
当 10万增到 15万时,利用对数效用函数,效用从
log(100000)=11.51增加到 log(150000)=11.92,效用增加值为 0.41,期望效用增加值为 0.5× 0.41=0.21。
如果由 10万 降 到 5 万,由于 log(100000)-
log(50000)=11.51-10.82=0.69,期望效用的减少值为
0.5× 0.69=0.35,它大于期望效用的增加值十九、边际效用递减举例
这笔投资的期望效用为
– E[U(W)]=pU(W1)+(1+p)U(W2)=(1/2)log(50
000)+(1/2)log(150 000)=11.37
– 由于 10万的效用值为 11.51,比公平游戏的
11.37要大,
– 风险厌恶型投资者不会进行这一投资 。 即不投资于公平游戏 。
十九、边际效用递减举例
这里有一个金融界广泛运用的一个投资效用计算公式,资产组合的期望收益为 E(r),其收益方差为?2,其效用值为：
U=E(r)-0.005A?2
其中 A为投资者的风险厌恶指数，风险厌恶程度不同的投资者可以有不同的指数值,A值越大，
即投资者对风险的厌恶程度越强，效用就越小。
在指数值不变的情况下，期望收益越高，效用越大；收益的方差越大，效用越小。
二十、效用公式
如果股票的期望收益率为 10%,标准差?为 21.21%,国库券的收益率为 4%,尽管股票有 6%的风险溢价,一个厌恶风险的投资者会选择全部购买国库券的投资策略 。
投资者 A=3 时,股 票 效 用 值 为,10-
(0.005× 3× 21.212)=3.25%,比无风险报酬率稍低,在这种情况下,投资者会放弃股票而选择国库券 。
如果投资者的 A为 2,股票效用值为：
10-(0.005× 2× 21.212)=5.5%,高于无风险报酬率,投资者就会接受这个期望收益,愿意投资于股票 。
所以,投资者对风险的厌恶程度十分关键 。
二十一,效用数值应用举例
– 风险厌恶型的投资者承担风险是要报酬的,
这个风险报酬就是超额收益或风险溢价 。
– 因此对于风险厌恶型的投资者来说,存在着选择资产的均值 -方差准则：当满足下列 (a)、
(b)条件中的任何一个时,投资者将选择资产
A作为投资对象：
– (a) E(RA)≥E(R B) 且 σ 2A<σ 2B
– (b) E(RA)> E(RB) 且 σ 2A≤σ 2B
二十二,均值 -方差准则二十二,均值 -方差准则（ 2）
因为它的期望收益大于或等于第四象限中的任何资产组合,而它的标准差则等于或小于第四象限中的任何资产组合,即资产组合 P优于在它东南方向的任何资产组合 。 相应地,对投资者来说,所有第一象限的资产组合都比资产组合 P
更受欢迎,因为其期望收益等于或大于资产组合 P,标准差等于或小于资产组合 P,即资产组合 P的西北方向的资产组合更受欢迎 。 那么,通过 P 点 的 投 资 者 效 用 的 无 差 异 曲 线
(indifference curve)一定位于第二和第三象限,即一定是条通过 P点的,跨越第二和第三象限的东南方向的曲线 。
二十二,均值 -方差准则（ 3）
一方面,风险厌恶程度不同的投资者有不同的无差异曲线,但它们都通过 P点,因为,这是市场提供的唯一的风险溢价水平决定的 。 一般风险厌恶程度较高的投资者的投资效用无差异曲线较为陡峭,因为风险的增加他要求很高的期望收益的增长；而一般风险厌恶程度较低的投资者的投资效用无差异曲线较为平缓 。
另一方面,每一个投资者一旦确定其风险厌恶程度,其投资效用的无差异曲线的斜率就确定了,除了一条由市场提供的唯一风险溢价水平决定的无差异曲线外,还一定可以有无数条平行它的无差异曲线 。
二十二,均值 -方差准则（ 4）
我们首先来看均值,投资的期望值或均值并不是投资收益概率分布的唯一代表值,其他的选择还有中值与众数 。
中值 (median)是所有收益按照高低排序时处于正中位置的收益率,众数 (mode)是最大概率时的分布值或结果值,它代表了最大的可能收益,
但不是平均加权收益,也不是按高低排序后处于正中的收益 。
但投资者和理论界均认为均值最好,代表性最强,实际使用也最广泛 。
二十三、均值的分析
– 均值本身是期望值的一阶矩差,方差是围绕均值的二阶矩差 。 方差在描述风险时有一定的局限性,如果两个资产组合的均值和方差都相同,但收益率的概率分布不同时 。
– 一阶矩差代表收益水平；二阶矩差表示收益的不确定性程度,并且所有偶数矩差 (方差,
M4,等 )都表明有极端值的可能性,这些矩差的值越大,不确定性越强；三阶矩差 (包括其他奇数矩差,M5,M7等 )表示不确定性的方向,
即收益分布的不对称的情况 。 但是,矩差数越大,其重要性越低 。
二十四、方差的分析
萨缪尔森有两个重要结论：
① 所有比方差更高的矩差的重要性远远小于期望值与方差,即忽略高于方差的矩差不会影响资产组合的选择 。
② 方差与均值对投资者的效用同等重要 。
得出这个结论的主要假设是股票收益分布具有
,紧凑性,。 所谓紧凑性是说,如果投资者能够及时调整,控制风险,资产组合收益率的分布就是紧凑的 。
二十四、方差的分析（ 2）
