清华大学 经济管理学院 国际金融与贸易系 朱宝宪 副教授 1
我们将风险溢价为零时的风险投资称为公平游戏 (fair game),风险厌恶型的投资者不会选择公平游戏或更糟的资产组合,
他们只愿意进行无风险投资或投机性投资 。
当他们准备进行风险投资时,他们会要求有相应的风险报酬,即要求获得相应的超额收益或风险溢价 。 投资者为什么不接受公平游戏呢？ 公平游戏看上去至少不坏,
因为它的期望收益为 0,而不是为负 。
十八、风险厌恶与公平游戏清华大学 经济管理学院 国际金融与贸易系 朱宝宪 副教授 2
假定有一公平游戏,投资 10万,获利 5万的概率为 50%，
亏 5万的概率为 50%,因此,这一投资的期望收益为 0。
当 10万增到 15万时,利用对数效用函数,效用从
log(100000)=11.51增加到 log(150000)=11.92,效用增加值为 0.41,期望效用增加值为 0.5× 0.41=0.21。
如果由 10万 降 到 5 万,由于 log(100000)-
log(50000)=11.51-10.82=0.69,期望效用的减少值为
0.5× 0.69=0.35,它大于期望效用的增加值十九、边际效用递减举例清华大学 经济管理学院 国际金融与贸易系 朱宝宪 副教授 3
这笔投资的期望效用为
– E[U(W)]=pU(W1)+(1+p)U(W2)=(1/2)log(50
000)+(1/2)log(150 000)=11.37
– 由于 10万的效用值为 11.51,比公平游戏的
11.37要大,
– 风险厌恶型投资者不会进行这一投资 。 即不投资于公平游戏 。
十九、边际效用递减举例清华大学 经济管理学院 国际金融与贸易系 朱宝宪 副教授 4
这里有一个金融界广泛运用的一个投资效用计算公式,资产组合的期望收益为 E(r),其收益方差为?2,其效用值为：
U=E(r)-0.005A?2
其中 A为投资者的风险厌恶指数，风险厌恶程度不同的投资者可以有不同的指数值,A值越大，
即投资者对风险的厌恶程度越强，效用就越小。
在指数值不变的情况下，期望收益越高，效用越大；收益的方差越大，效用越小。
二十、效用公式清华大学 经济管理学院 国际金融与贸易系 朱宝宪 副教授 5
如果股票的期望收益率为 10%,标准差?为 21.21%,国库券的收益率为 4%,尽管股票有 6%的风险溢价,一个厌恶风险的投资者会选择全部购买国库券的投资策略 。
投资者 A=3 时,股 票 效 用 值 为,10-
(0.005× 3× 21.212)=3.25%,比无风险报酬率稍低,在这种情况下,投资者会放弃股票而选择国库券 。
如果投资者的 A为 2,股票效用值为：
10-(0.005× 2× 21.212)=5.5%,高于无风险报酬率,投资者就会接受这个期望收益,愿意投资于股票 。
所以,投资者对风险的厌恶程度十分关键 。
二十一,效用数值应用举例清华大学 经济管理学院 国际金融与贸易系 朱宝宪 副教授 6
– 风险厌恶型的投资者承担风险是要报酬的,
这个风险报酬就是超额收益或风险溢价 。
– 因此对于风险厌恶型的投资者来说,存在着选择资产的均值 -方差准则：当满足下列 (a)、
(b)条件中的任何一个时,投资者将选择资产
A作为投资对象：
– (a) E(RA)≥E(R B) 且 σ 2A<σ 2B
– (b) E(RA)> E(RB) 且 σ 2A≤σ 2B
二十二,均值 -方差准则清华大学 经济管理学院 国际金融与贸易系 朱宝宪 副教授 7
二十二,均值 -方差准则（ 2）
清华大学 经济管理学院 国际金融与贸易系 朱宝宪 副教授 8
因为它的期望收益大于或等于第四象限中的任何资产组合,而它的标准差则等于或小于第四象限中的任何资产组合,即资产组合 P优于在它东南方向的任何资产组合 。 相应地,对投资者来说,所有第一象限的资产组合都比资产组合 P
更受欢迎,因为其期望收益等于或大于资产组合 P,标准差等于或小于资产组合 P,即资产组合 P的西北方向的资产组合更受欢迎 。 那么,通过 P 点 的 投 资 者 效 用 的 无 差 异 曲 线
(indifference curve)一定位于第二和第三象限,即一定是条通过 P点的,跨越第二和第三象限的东南方向的曲线 。
二十二,均值 -方差准则（ 3）
清华大学 经济管理学院 国际金融与贸易系 朱宝宪 副教授 9
一方面,风险厌恶程度不同的投资者有不同的无差异曲线,但它们都通过 P点,因为,这是市场提供的唯一的风险溢价水平决定的 。 一般风险厌恶程度较高的投资者的投资效用无差异曲线较为陡峭,因为风险的增加他要求很高的期望收益的增长；而一般风险厌恶程度较低的投资者的投资效用无差异曲线较为平缓 。
另一方面,每一个投资者一旦确定其风险厌恶程度,其投资效用的无差异曲线的斜率就确定了,除了一条由市场提供的唯一风险溢价水平决定的无差异曲线外,还一定可以有无数条平行它的无差异曲线 。
二十二,均值 -方差准则（ 4）
清华大学 经济管理学院 国际金融与贸易系 朱宝宪 副教授 10
我们首先来看均值,投资的期望值或均值并不是投资收益概率分布的唯一代表值,其他的选择还有中值与众数 。
中值 (median)是所有收益按照高低排序时处于正中位置的收益率,众数 (mode)是最大概率时的分布值或结果值,它代表了最大的可能收益,
但不是平均加权收益,也不是按高低排序后处于正中的收益 。
但投资者和理论界均认为均值最好,代表性最强,实际使用也最广泛 。
二十三、均值的分析清华大学 经济管理学院 国际金融与贸易系 朱宝宪 副教授 11
– 均值本身是期望值的一阶矩差,方差是围绕均值的二阶矩差 。 方差在描述风险时有一定的局限性,如果两个资产组合的均值和方差都相同,但收益率的概率分布不同时 。
– 一阶矩差代表收益水平；二阶矩差表示收益的不确定性程度,并且所有偶数矩差 (方差,
M4,等 )都表明有极端值的可能性,这些矩差的值越大,不确定性越强；三阶矩差 (包括其他奇数矩差,M5,M7等 )表示不确定性的方向,
即收益分布的不对称的情况 。 但是,矩差数越大,其重要性越低 。
二十四、方差的分析清华大学 经济管理学院 国际金融与贸易系 朱宝宪 副教授 12
萨缪尔森有两个重要结论：
① 所有比方差更高的矩差的重要性远远小于期望值与方差,即忽略高于方差的矩差不会影响资产组合的选择 。
② 方差与均值对投资者的效用同等重要 。
得出这个结论的主要假设是股票收益分布具有
,紧凑性,。 所谓紧凑性是说,如果投资者能够及时调整,控制风险,资产组合收益率的分布就是紧凑的 。
二十四、方差的分析（ 2）
第五章 投资组合的选择清华大学 经济管理学院 国际金融与贸易系 朱宝宪 副教授 14
马柯维茨的资产组合理论
马柯维兹 (Harry Markowitz)1952年在 Journal of Finance发表了论文,资产组合的选择,,标志着现代投资理论发展的开端 。
马克维茨 1927年 8月出生于芝加哥一个店主家庭,大学在芝大读经济系 。 在研究生期间,他作为库普曼的助研,参加了计量经济学会的证券市场研究工作 。 他的导师是芝大商学院院长,财务学杂志,主编凯彻姆教授 。 凯要马克维茨去读威廉姆斯的,投资价值理论,一书 。
马想为什么投资者并不简单地选内在价值最大的股票,他终于明白,
投资者不仅要考虑收益,还担心风险,分散投资是为了分散风险 。 同时考虑投资的收益和风险,马是第一人 。 当时主流意见是集中投资 。
马克维茨运用线性规划来处理收益与风险的权衡问题,给出了选择最佳资产组合的方法,完成了论文,1959年出版了专著,不仅分析了分散投资的重要性,还给出了如何进行正确的分散方法 。
马的贡献是开创了在不确定性条件下理性投资者进行资产组合投资的理论和方法,第一次采用定量的方法证明了分散投资的优点 。 他用数学中的均值方差,使人们按照自己的偏好,精确地选择一个确定风险下能提供最大收益的资产组合 。 获 1990年诺贝尔经济学奖 。
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托宾的收益风险理论
托宾 (James Tobin)是著名的经济学家,他在 1958年 2月 The Review of
Economic Studies发表文章,阐述了他对风险收益关系的理解 。
凯的流动偏好有两个以后被证明不真实的假设,一个假设是利率水平稳定不变,二是假设投资者或全部持有现金,或全部持有风险资产 。
1955-56年,托宾发现马克维茨假定投资者在构筑资产组合时是在风险资产的范围内选择,没有考虑无风险资产和现金,实际上投资者会在持有风险资产的同时持有国库券等低风险资产和现金的 。 由于利率是波动的,投资者通常会同时持有流动性资产和风险资产 。
他还指出,投资者并不是简单地在风险资产和无风险资产这两种资产之间进行选择,实际上风险资产有许多种,因此,他得出：各种风险资产在风险资产组合中的比例与风险资产组合占全部投资的比例无关 。 这就是说,投资者的投资决策包括两个决策,资产配置和股票选择 。 而后者应依据马克维茨的模型 。 即无论风险偏好何样的投资者的风险资产组合都应是一样的 。 托宾的理论不仅使凯恩斯理论有了更坚实的基础,也使证券投资的决策分析方法更深入,也更有效率 。
清华大学 经济管理学院 国际金融与贸易系 朱宝宪 副教授 16
雨较多的年份 少雨年份
股市的牛市 股市的熊市 伞需求大减
概率 0.4 0.3 0.3
收益率 30% 12% -20%
E(r伞公司 )=(0.4× 30)+(0.3× 12)+[0.3× (-20)]=9.6%
σ2(伞公司 )=0.4(30-9.6)2+0.3(12-9.6)2+0.3(-20-
9.6)2=431.04
σ=431.041/2=20.76 或 20.76%
一、资产组合的计算清华大学 经济管理学院 国际金融与贸易系 朱宝宪 副教授 17
投资者将其资金的 50%投资于伞公司的股票,其余的
50%投资于收益率为 3%的国库券,因此投资者的整个资产组合的期望收益率为
E(r投资者 )=0.5E(r伞公司 )+0.5r国库券 =(0.5× 9.6%)+(0.5× 3%)=6.3%
资产组合的标准差为
σ 投资者 =0.5σ 伞公司 =0.5× 20.76%=10.38%
二、资产组合的方差清华大学 经济管理学院 国际金融与贸易系 朱宝宪 副教授 18
三、冷饮的收益与风险
雨较多的年份 少雨年份
股市的牛市 股市的熊市 冷饮需求大增
概率 0.4 0.3 0.3
收益率 4% -10% 30%
冷饮公司的期望收益率为 7.6%,方差为 248.64%,标准差为 15.77%。
清华大学 经济管理学院 国际金融与贸易系 朱宝宪 副教授 19
雨较多的年份 少雨年份
股市的牛市 股市的熊市 冷饮需求大增
概率 0.4 0.3 0.3
收益率 17% 1% 5%
新组合的期望收益为 8.6%,标准差为 7.03%。 互补的选择效果比与无风险资产构成的组合还好 。
资产组合 期望收益 标准差
全部投资于伞公司股票 9.6% 20.76%
一半伞股票一半国库券 6.3% 10.38%
一半伞股票一半冷饮股票 8.6% 7.03%
四、互补组合的收益与风险清华大学 经济管理学院 国际金融与贸易系 朱宝宪 副教授 20
五、斜方差的计算
测度两种资产互补程度的指标是协方差 (covariance)，
它测度的是两个风险资产收益相互影响的方向与程度。
正的意味着资产收益同向变动，负的则是反方向变动。
斜方差的计算公式为
Cov(r伞,r冷饮 )=∑ Pr(s)[r伞 (s)-E(r伞 )][r冷饮 (s)-E(r冷饮 )]
Cov(r伞公司,r冷饮公司 )=0.4(30-9.6)(4-7.6)+0.3(12-
9.6)(-10-7.6)+0.3(-20-9.6)(30-7.6)=-240.96
清华大学 经济管理学院 国际金融与贸易系 朱宝宪 副教授 21
相关系数范围在－ 1和 +1之间,与斜方差的关系为：两变量协方差除以两标准差之积等于它们的相关系数 。
(伞,冷饮 )=[Cov(r伞,r冷饮 )]/(?伞?冷饮 )
=-240.96/(20.76?15.77)=-0.736
另一种计算资产组合方差的公式为
P2=w12?12+w22?22+2w1w2Cov(r1,r2)
2=(0.52?20.762)+(0.52?15.772)+
[2?0.5?0.5?(-240.96)]=49.43?＝ 7.03%
这与前面得出的资产组合收益的标准差一样 。
六、相关系数的计算清华大学 经济管理学院 国际金融与贸易系 朱宝宪 副教授 22
投资金额 50万,其中 15万投资国库券,35万投资股票,
15.75万买清华同方,19.25万买清华紫光 。
同方,w1=15.75/35=0.45
紫光,w2=19.25/35=0.55
风险组合 P的权重为 y,无风险组合的权重为 1-y,有
y=35/50=0.7(风险资产 )
1-y=0.3(无风险资产 )
七、风险资产与无风险资产的结构清华大学 经济管理学院 国际金融与贸易系 朱宝宪 副教授 23
投资者希望将所持有的风险资产组合比重从 0.7降为
0.55。 投资者的投资资金的配置则为
投资于股票,y=500 000× 0.55=275 000(元 )
投资于国库券,1-y=500 000× 0.45=225 000(元 )
投资者在股票投资减 7.5万 (35-27.5=7.5),增买 7.5万的国库券 。 由于两种股票的比例不变,因此,有
清华同方,w1=275 000× 0.55=151 250 (元 )
清华紫光,w2=275 000× 0.45=123 750 (元 )
八、风险与无风险资产的结构变化清华大学 经济管理学院 国际金融与贸易系 朱宝宪 副教授 24
假定风险资产的期望收益为 E(rP) =9%,标准差为?P；
=21%,无风险资产组合 F的收益率为 rf =3% 。
风险资产的风险溢价为 E(rP)–rF=9%-3%=6%
令整个资产组合 C的收益率为 rC,有,rc=yrp+(1-y)rf
资产组合 C的期望收益为,3%+y(9%-3%) 3+6y
由于?P=21%,有,σ C=yσ p=21y
九、风险与无风险资产的结构决定清华大学 经济管理学院 国际金融与贸易系 朱宝宪 副教授 25
E(rp)=9% p
(rf)=3% F
0 21%?
十、资本配置线的形成图清华大学 经济管理学院 国际金融与贸易系 朱宝宪 副教授 26
如果选择将全部投资投向风险资产，期望收益与标准差就是 E(rp)=9%,?P=21%。 如果选择将全部投资投向无风险资产，期望收益与标准差就是 E(rp)=3%,?P=0。
从线上可直观地看到，风险增加，收益也增加。由于直线的斜率为 6/21=0.29，每增 1单位风险，可获 0.29单位收益。即每增 1单位收益，将增 3.5(21/6=3.5)单位风险。
十一、资本配置线的意义清华大学 经济管理学院 国际金融与贸易系 朱宝宪 副教授 27
根据 σ C=yσ p=21y,有 y=?c/?p,将 y代入有
E(rc)=rf +y[E(rp)-rf]
=rf +(σ c/σ p)[E(rp)-rf]=3+(6/21)σ c
从式中可以看到,资产组合的期望收益作为其标准差的函数是一条直线,其截距为 rf,斜率为 6/21。
该斜率也称为酬报与波动性比率 。 一般认为这个值较大为好，因为它越大，资本配置线就越陡，即增加一单位风险可以增加更多的期望收益。
十二、资本配置线的数学表达清华大学 经济管理学院 国际金融与贸易系 朱宝宪 副教授 28
根据前面的公式，我们可以得到以下两式：
E(rc)=rf +y[E(rp)-rf] σ 2C=y2σ 2p
将两式代入效用函数,有
MaxU=E(rc)-0.005A?2C=rf+y[E(rp)-rf]-0.005Ay2σ 2p
(MaxU)’=E(rp)-rf—0.01Ayσ 2p
令导数为 0,有,y*=[E(rp)-rf]/0.01Aσ 2p
最优配置与风险厌恶水平成反比，与风险溢价成正比。
十三、最优资本配置推导清华大学 经济管理学院 国际金融与贸易系 朱宝宪 副教授 29
还用上述例子中的数据 。 还假定风险厌恶系数 A为 3，
求投资者的最优风险资产组合比例 y*的值 。 有
y*=[9%-3%]/(0.01× 3× 212)=45.35%
根据结果,应将资金的 45.35%投资于风险资产,
54.65%投资于无风险资产 。 整个资产组合的
E(rc)=3%+(45.35%?6%)=5.72%
C=45.35%?21%=9.52%
2.72/9.52=0.29 等于前例中的酬报与波动性比率 。
十四、最优资本配置举例清华大学 经济管理学院 国际金融与贸易系 朱宝宪 副教授 30
如果假定投资者的风险厌恶程度 A为 1.5,其结果为
y*=[9%-3%]/ (0.01× 1.5× 212)=90.7%
E(rc)=3%+(90.7%?6%)=8.44%
C=90.7%?21%=19.05%
5.44/19.05=0.29
风险厌恶程度降低一半，投资于风险资产组合的比例上升了一倍，整个资产组合的期望收益也提高到 8.44%，
风险溢价提高到 5.44%，标准差也提高了一倍，达到
19.05%。
最优资本配置举例（ 2）
清华大学 经济管理学院 国际金融与贸易系 朱宝宪 副教授 31
E(rp)=9% p
(rf)=3% F
0 21%?
十五、最优资本配置的几何表达清华大学 经济管理学院 国际金融与贸易系 朱宝宪 副教授 32
消极投资策略的资本配置方案为：短期国库券与股票指数的资产组合。它的资本配置线称资本市场线 (CML)。
假定一资产组合有与指数相同的收益风险,其风险溢价为 10%,标准差为 30%,投资者将投资资金的 50%投向风险资产组合 。 有
y*=[E(rp)-rf]/0.01Aσ 2p=10%/(0.01× A× 302)=0.50
A=10%/(0.01× 0.50× 302)=2.22
当然，这是根据假定的数据计算出来的风险厌恶程度。
实际的值可以通过对市场的实际历史数据回归估计出来，
美国的学者估计美国市场的风险厌恶值在 2-4之间。
十六、资本市场线清华大学 经济管理学院 国际金融与贸易系 朱宝宪 副教授 33
十七、非系统风险与系统风险
美国股票 1960-1970年随机选样的分散化效应表
股数 月均收益率 月均标准差 与市场的相关系数 R
1 0.88% 7.0% 0.54
2 0.69% 5.0% 0.63
3 0.74% 4.8% 0.75
4 0.65% 4.6% 0.77
5 0.71% 4.6% 0.79
10 0.68% 4.2% 0.85
15 0.69% 4.0% 0.88
20 0.67% 3.9% 0.89
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十八、中国股市的分散与风险清华大学 经济管理学院 国际金融与贸易系 朱宝宪 副教授 35
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十八、中国股市的分散与风险清华大学 经济管理学院 国际金融与贸易系 朱宝宪 副教授 37
十八、中国股市的分散与风险清华大学 经济管理学院 国际金融与贸易系 朱宝宪 副教授 38
十八、两种风险资产的资产组合假定投资两种风险资产,一是股票,一是债券 。 投资者会根据期望收益与方差的情况,考虑自己的风险厌恶程度决定两种资产组合的比例 。
假定投资债券的资金为 wD,投资股票的部分为 1-wD记作 wE，
rD为债券收益,rE为股票收益,组合收益 rp为
rp= wDrD+wErE E(rp)=wDE(rp)+wEE(rE)
p2=w2D?D2+w2E?E2+2wDwECOV(rDrE) Cov(rD,rD)=?D2
组合的方差还可以有以下计算公式：
P2=wDwDCov(rD,rD)+wEwECov(rE,rE)+2wDwECov(rD,rE)
清华大学 经济管理学院 国际金融与贸易系 朱宝宪 副教授 39
如两资产斜方差为负,方差将变小 。 有 Cov(rD,rZ)=ρ DE/?D?E
将此式代入方差计算公式有,?P2=wD2?D2+wE2?E2+2wDwE?D?Eρ DE
ρ= 1时,式右可简化为,?P2=(WD?D+WE?E)2 或?P=WD?D+WE?E
组合的标准差恰好等于组合中每一部分证券标准差的加权平均值 。
当 ρ ＜ 1时,组合标准差会小于各部分证券标准差的加权平均值 。
当 ρ= -1时,该式可简化为,?P2=(wD?E―w E?D)2
组合的标准差为,?P=|wD?E―w E?D|。
此时如果两种资产的比例恰当,标准差可以降低到 0，
十九、相关性对资产组合标准差的效应清华大学 经济管理学院 国际金融与贸易系 朱宝宪 副教授 40
标准差可以降低到 0的资产恰当比例为：
由于,wD?D-wE?E=0,所以有
wD =?E /(?D+?E)
wE =?D /(?D+?E)=1- wD
以上的公式表明，当 ρ= 时，标准差最大，为每一种风险资产标准差的加权平均值；如果 ρ ＜ 1，组合的标准差会减小，风险会降低；如果 ρ= -1，在股票的比重为 wD
=?E /(?D+?E),债券的比重为 1- wD时，组合的标准差为 0，即完全无风险。
相关性对资产组合标准差的效应（ 2）
清华大学 经济管理学院 国际金融与贸易系 朱宝宪 副教授 41
股票 E(rp)为 20%,方差为 15%,债券 E(rB)为 10%,方差为 10%。
给定相关性下的资产组合的标准差
投资比重 ρ= -1 ρ= -0.5 ρ=0.5 ρ=1
wD wE 收益 方差 收益 方差 收益 方差 收益 方差
1.00 0.00 10.0 10.0 10.0 10.0 10.0 10.0 10.0 10.0
0.80 0.20 12.0 3.08 12.0 5.04 12.0 8.96 12.0 10.92
0.60 0.40 14.0 0.12 14.0 3.06 14.0 8.94 14.0 11.88
0.40 0.60 16.0 1.12 16.0 4.06 16.0 9.94 16.0 12.88
0.20 0.80 18.0 6.08 18.0 8.04 18.0 11.96 18.0 13.92
0.00 1.00 20.0 15.0 20.0 15.0 20.0 15.0 20.0 15.0
最小方差的资产组合 (根据表中的数据,不再细分 )
wD 0.55 0.55 0.70 1.00
wE 0.45 0.45 0.30 0.00
E(rP) 14.5 14.5 13.0 10.0
2P 0.00 3.03 8.82 10.0
二十、相关性效应举例清华大学 经济管理学院 国际金融与贸易系 朱宝宪 副教授 42
假定投资可细分,股票与债券的 ρ= -0.5。
计算组合方差的公式为：
p2=w2D?D2+ w2E?E2+2wDwECOV(rD,rE)，
用 (1-wD)来替代 wE,有：
p2=w2D?D2+(1-wD)2?E2+2wD(1-wD)COV(rD,rE)
求出 wD系数,令其等于 0,有
wmin(D)=[?E2- Cov(rD,rE)]/[?D2+?E2-2 Cov(rD,rE)]
将前面的数据代入,
由于有,Cov(rD,rZ)=ρ DE?D?E，
相关性效应举例 （ 2）
清华大学 经济管理学院 国际金融与贸易系 朱宝宪 副教授 43
将?2D=10,?2E=15代入此式,
有 Cov(rD,rZ)=-0.5(3.162)(3.873)=-6.123
将此值代入,有
wmin(D)=[15-(-6.123)]/[10+15-2(-6.123)]
=(21.123)/(37.246)=0.567
wmin(E)=1-0.679=0.433
这个最小化方差的资产组合的方差为
2min=(0.5672?10)+(0.4332?15)
+(2?0.567?0.433?-6.123)=3.02
该组合为相关系数确定下的最小方差的资产组合 。
这一组合的期望收益为：
E(rp)= 0.567?10%+0.433?20%=14.33%
相关性效应举例 （ 3）
清华大学 经济管理学院 国际金融与贸易系 朱宝宪 副教授 44
资产组合机会集合线
E(rp) 20 B
ρ= -1
ρ= 0.5
ρ= -0.5
ρ= 1
10
A
0 3.16 3.87?
二十一、不同 ρ 下标准差的几何表达清华大学 经济管理学院 国际金融与贸易系 朱宝宪 副教授 45
资产配置线 B
E(rp)
15% B 资产配置线 A
14.33% A
机会集合线
6.5% 1.74% 1.79%?
二十二、三种资产的资产组合清华大学 经济管理学院 国际金融与贸易系 朱宝宪 副教授 46
两条 CAL以 rf=6.5%为起点,通过 A,B两点 。
A点代表了在股票与债券的 ρ= -0.5时具有最小方差组合 A,该组合债券比例为 56.7%,股票比例为 43.3%。 它的 E(r)为 14.33%(风险溢价为 7.88%),?为 1.74%。
由于 TB利率为 6.5%,酬报与波动性比率,即资本配置线的斜率为,SA=[E(rA)-rf]/?A=(14.33-6.5)/1.74=4.5
B点,ρ= -0.5,债券股票各 50%,E(r)=15%(风险溢价为
8.5%),?=1.79%。 斜率为：
SB=[E(rB)-rf]/?B=(15-6.5)/1.79=4.75
由于 B的斜率大于 A,B更优 。 相同方差更高收益 。
我们知道,两条线切点所对应的组合 P最优 。
二十三、上图的说明清华大学 经济管理学院 国际金融与贸易系 朱宝宪 副教授 47
资产配置线
E(rp)
6.5%
机会集合线
0?
二十四、最优组合的几何表达清华大学 经济管理学院 国际金融与贸易系 朱宝宪 副教授 48
目的是找出 wD,wE值,以获得斜率最大的资本配置线 。 因此,目标函数就是斜率,即 SP，
有,Sp=[E(rp)-rf]/σ p
只要满足权重和 =1,就可以求斜率的最大值,有
Max Sp=[E(rp)-rf]/σ p
因为 ∑ wI=1,将 [E(rp)= wDE(rp)+ wEE(rE)]代入,有
Max Sp=[ wDE(rp)+ wEE(rE)-rf]/σ p
将?P2= wD2?D2+ wE2?E2+2 wDwE?D?Eρ E代入上式,有
MaxSp=[wDE(rp)+wEE(rE)-rf]/[wD2?D2+wE2?E2+2wDwE?D?Eρ E]
用 1-wD代替 wE,有,MaxSp=
[wDE(rp)+(1-wD)E(rE)-rf]/wD2?D2+(1-wD)2?E2+2wD(1-wD)?D?Eρ E
用 wD 对 Sp 求导,令导数为零,有
wD={[E(rD)-rf]?E2-[E(rE)-rf]Cov(rD,rE)}/[E(rD)-rf]?E2+[E(rE)-
rf]?D2-[E(rD)-rf+E(rE)-rf]Cov(rD,rE)}
wE=1-wD
二十五、最优值的计算清华大学 经济管理学院 国际金融与贸易系 朱宝宪 副教授 49
把上例中的数据代入,得到的解为
wD={[10-6.5]15-[20-6.5](-6.123)}/[10-6.5]15+[20-6.5]10-
[10-6.5+20-6.5](-6.123)}= 46.7%
wE =1-0.46.7=53.3%
这一最优风险资产组合的期望收益与标准差分别为
E(rP)=(0.467× 10)+(0.533× 20)=15.33%
2min=(0.4672× 10)+(0.5332× 15)+(2?0.467?0.533?-6.123)
=3.39%
这个最优资产组合的资本配置线的斜率为
SP=[E(rB)-rf]/?B=(15.33-6.5)/1.84=4.80
这也是资产组合 P的酬报与波动性比率,这是资产组合 P可以得到的最大的斜率,因此也是投资者可以得到的最优资本配置线的斜率 。
最优值的计算（ 2）
清华大学 经济管理学院 国际金融与贸易系 朱宝宪 副教授 50
风险资产与无风险资产的比率为,y*=[E(rp)-rf]/ 0.01Aσ 2p，
假定 A=4,投资者投资于风险资产组合的投资比例为
y=[E(rp)-rf]/ 0.01Aσ 2p= (15.33-6.5)/(0.01× 4× 3.39)=65.12
由于风险太小,应将其资产的 100%全投向风险资产 。 只有 A大于
261的时候,投资者才愿意同时投资于风险资产和无风险资产 。 假定 A=300,有
y=(15.33-6.5)/(0.01× 300× 3.39)=86.82% 1-y=13.12%
即投资者只有在如此厌恶风险的情况下，才会将其投资资金的
86.82%投向股票与债券,13.12%投向国库券。由于债券在风险资产中的比例为 46.7%，股票在风险资产中的比例为 53.3%，因此，
在全部投资资金中应有 (46.7%× 86.82%=)40.55%投资于债券，
(53.3%× 86.82%=)46.28%投资于股票，剩下的 13.12%投向国库券。
最优值的计算（ 3）
清华大学 经济管理学院 国际金融与贸易系 朱宝宪 副教授 51
E(rp) 资产配置线
全部资产最优组合
P
最优风险资产组合
C
6.5%
机会集合线
0?
二十六、三资产最优组合的几何表达
我们将风险溢价为零时的风险投资称为公平游戏 (fair game),风险厌恶型的投资者不会选择公平游戏或更糟的资产组合,
他们只愿意进行无风险投资或投机性投资 。
当他们准备进行风险投资时,他们会要求有相应的风险报酬,即要求获得相应的超额收益或风险溢价 。 投资者为什么不接受公平游戏呢？ 公平游戏看上去至少不坏,
因为它的期望收益为 0,而不是为负 。
十八、风险厌恶与公平游戏清华大学 经济管理学院 国际金融与贸易系 朱宝宪 副教授 2
假定有一公平游戏,投资 10万,获利 5万的概率为 50%，
亏 5万的概率为 50%,因此,这一投资的期望收益为 0。
当 10万增到 15万时,利用对数效用函数,效用从
log(100000)=11.51增加到 log(150000)=11.92,效用增加值为 0.41,期望效用增加值为 0.5× 0.41=0.21。
如果由 10万 降 到 5 万,由于 log(100000)-
log(50000)=11.51-10.82=0.69,期望效用的减少值为
0.5× 0.69=0.35,它大于期望效用的增加值十九、边际效用递减举例清华大学 经济管理学院 国际金融与贸易系 朱宝宪 副教授 3
这笔投资的期望效用为
– E[U(W)]=pU(W1)+(1+p)U(W2)=(1/2)log(50
000)+(1/2)log(150 000)=11.37
– 由于 10万的效用值为 11.51,比公平游戏的
11.37要大,
– 风险厌恶型投资者不会进行这一投资 。 即不投资于公平游戏 。
十九、边际效用递减举例清华大学 经济管理学院 国际金融与贸易系 朱宝宪 副教授 4
这里有一个金融界广泛运用的一个投资效用计算公式,资产组合的期望收益为 E(r),其收益方差为?2,其效用值为：
U=E(r)-0.005A?2
其中 A为投资者的风险厌恶指数，风险厌恶程度不同的投资者可以有不同的指数值,A值越大，
即投资者对风险的厌恶程度越强，效用就越小。
在指数值不变的情况下，期望收益越高，效用越大；收益的方差越大，效用越小。
二十、效用公式清华大学 经济管理学院 国际金融与贸易系 朱宝宪 副教授 5
如果股票的期望收益率为 10%,标准差?为 21.21%,国库券的收益率为 4%,尽管股票有 6%的风险溢价,一个厌恶风险的投资者会选择全部购买国库券的投资策略 。
投资者 A=3 时,股 票 效 用 值 为,10-
(0.005× 3× 21.212)=3.25%,比无风险报酬率稍低,在这种情况下,投资者会放弃股票而选择国库券 。
如果投资者的 A为 2,股票效用值为：
10-(0.005× 2× 21.212)=5.5%,高于无风险报酬率,投资者就会接受这个期望收益,愿意投资于股票 。
所以,投资者对风险的厌恶程度十分关键 。
二十一,效用数值应用举例清华大学 经济管理学院 国际金融与贸易系 朱宝宪 副教授 6
– 风险厌恶型的投资者承担风险是要报酬的,
这个风险报酬就是超额收益或风险溢价 。
– 因此对于风险厌恶型的投资者来说,存在着选择资产的均值 -方差准则：当满足下列 (a)、
(b)条件中的任何一个时,投资者将选择资产
A作为投资对象：
– (a) E(RA)≥E(R B) 且 σ 2A<σ 2B
– (b) E(RA)> E(RB) 且 σ 2A≤σ 2B
二十二,均值 -方差准则清华大学 经济管理学院 国际金融与贸易系 朱宝宪 副教授 7
二十二,均值 -方差准则（ 2）
清华大学 经济管理学院 国际金融与贸易系 朱宝宪 副教授 8
因为它的期望收益大于或等于第四象限中的任何资产组合,而它的标准差则等于或小于第四象限中的任何资产组合,即资产组合 P优于在它东南方向的任何资产组合 。 相应地,对投资者来说,所有第一象限的资产组合都比资产组合 P
更受欢迎,因为其期望收益等于或大于资产组合 P,标准差等于或小于资产组合 P,即资产组合 P的西北方向的资产组合更受欢迎 。 那么,通过 P 点 的 投 资 者 效 用 的 无 差 异 曲 线
(indifference curve)一定位于第二和第三象限,即一定是条通过 P点的,跨越第二和第三象限的东南方向的曲线 。
二十二,均值 -方差准则（ 3）
清华大学 经济管理学院 国际金融与贸易系 朱宝宪 副教授 9
一方面,风险厌恶程度不同的投资者有不同的无差异曲线,但它们都通过 P点,因为,这是市场提供的唯一的风险溢价水平决定的 。 一般风险厌恶程度较高的投资者的投资效用无差异曲线较为陡峭,因为风险的增加他要求很高的期望收益的增长；而一般风险厌恶程度较低的投资者的投资效用无差异曲线较为平缓 。
另一方面,每一个投资者一旦确定其风险厌恶程度,其投资效用的无差异曲线的斜率就确定了,除了一条由市场提供的唯一风险溢价水平决定的无差异曲线外,还一定可以有无数条平行它的无差异曲线 。
二十二,均值 -方差准则（ 4）
清华大学 经济管理学院 国际金融与贸易系 朱宝宪 副教授 10
我们首先来看均值,投资的期望值或均值并不是投资收益概率分布的唯一代表值,其他的选择还有中值与众数 。
中值 (median)是所有收益按照高低排序时处于正中位置的收益率,众数 (mode)是最大概率时的分布值或结果值,它代表了最大的可能收益,
但不是平均加权收益,也不是按高低排序后处于正中的收益 。
但投资者和理论界均认为均值最好,代表性最强,实际使用也最广泛 。
二十三、均值的分析清华大学 经济管理学院 国际金融与贸易系 朱宝宪 副教授 11
– 均值本身是期望值的一阶矩差,方差是围绕均值的二阶矩差 。 方差在描述风险时有一定的局限性,如果两个资产组合的均值和方差都相同,但收益率的概率分布不同时 。
– 一阶矩差代表收益水平；二阶矩差表示收益的不确定性程度,并且所有偶数矩差 (方差,
M4,等 )都表明有极端值的可能性,这些矩差的值越大,不确定性越强；三阶矩差 (包括其他奇数矩差,M5,M7等 )表示不确定性的方向,
即收益分布的不对称的情况 。 但是,矩差数越大,其重要性越低 。
二十四、方差的分析清华大学 经济管理学院 国际金融与贸易系 朱宝宪 副教授 12
萨缪尔森有两个重要结论：
① 所有比方差更高的矩差的重要性远远小于期望值与方差,即忽略高于方差的矩差不会影响资产组合的选择 。
② 方差与均值对投资者的效用同等重要 。
得出这个结论的主要假设是股票收益分布具有
,紧凑性,。 所谓紧凑性是说,如果投资者能够及时调整,控制风险,资产组合收益率的分布就是紧凑的 。
二十四、方差的分析（ 2）
第五章 投资组合的选择清华大学 经济管理学院 国际金融与贸易系 朱宝宪 副教授 14
马柯维茨的资产组合理论
马柯维兹 (Harry Markowitz)1952年在 Journal of Finance发表了论文,资产组合的选择,,标志着现代投资理论发展的开端 。
马克维茨 1927年 8月出生于芝加哥一个店主家庭,大学在芝大读经济系 。 在研究生期间,他作为库普曼的助研,参加了计量经济学会的证券市场研究工作 。 他的导师是芝大商学院院长,财务学杂志,主编凯彻姆教授 。 凯要马克维茨去读威廉姆斯的,投资价值理论,一书 。
马想为什么投资者并不简单地选内在价值最大的股票,他终于明白,
投资者不仅要考虑收益,还担心风险,分散投资是为了分散风险 。 同时考虑投资的收益和风险,马是第一人 。 当时主流意见是集中投资 。
马克维茨运用线性规划来处理收益与风险的权衡问题,给出了选择最佳资产组合的方法,完成了论文,1959年出版了专著,不仅分析了分散投资的重要性,还给出了如何进行正确的分散方法 。
马的贡献是开创了在不确定性条件下理性投资者进行资产组合投资的理论和方法,第一次采用定量的方法证明了分散投资的优点 。 他用数学中的均值方差,使人们按照自己的偏好,精确地选择一个确定风险下能提供最大收益的资产组合 。 获 1990年诺贝尔经济学奖 。
清华大学 经济管理学院 国际金融与贸易系 朱宝宪 副教授 15
托宾的收益风险理论
托宾 (James Tobin)是著名的经济学家,他在 1958年 2月 The Review of
Economic Studies发表文章,阐述了他对风险收益关系的理解 。
凯的流动偏好有两个以后被证明不真实的假设,一个假设是利率水平稳定不变,二是假设投资者或全部持有现金,或全部持有风险资产 。
1955-56年,托宾发现马克维茨假定投资者在构筑资产组合时是在风险资产的范围内选择,没有考虑无风险资产和现金,实际上投资者会在持有风险资产的同时持有国库券等低风险资产和现金的 。 由于利率是波动的,投资者通常会同时持有流动性资产和风险资产 。
他还指出,投资者并不是简单地在风险资产和无风险资产这两种资产之间进行选择,实际上风险资产有许多种,因此,他得出：各种风险资产在风险资产组合中的比例与风险资产组合占全部投资的比例无关 。 这就是说,投资者的投资决策包括两个决策,资产配置和股票选择 。 而后者应依据马克维茨的模型 。 即无论风险偏好何样的投资者的风险资产组合都应是一样的 。 托宾的理论不仅使凯恩斯理论有了更坚实的基础,也使证券投资的决策分析方法更深入,也更有效率 。
清华大学 经济管理学院 国际金融与贸易系 朱宝宪 副教授 16
雨较多的年份 少雨年份
股市的牛市 股市的熊市 伞需求大减
概率 0.4 0.3 0.3
收益率 30% 12% -20%
E(r伞公司 )=(0.4× 30)+(0.3× 12)+[0.3× (-20)]=9.6%
σ2(伞公司 )=0.4(30-9.6)2+0.3(12-9.6)2+0.3(-20-
9.6)2=431.04
σ=431.041/2=20.76 或 20.76%
一、资产组合的计算清华大学 经济管理学院 国际金融与贸易系 朱宝宪 副教授 17
投资者将其资金的 50%投资于伞公司的股票,其余的
50%投资于收益率为 3%的国库券,因此投资者的整个资产组合的期望收益率为
E(r投资者 )=0.5E(r伞公司 )+0.5r国库券 =(0.5× 9.6%)+(0.5× 3%)=6.3%
资产组合的标准差为
σ 投资者 =0.5σ 伞公司 =0.5× 20.76%=10.38%
二、资产组合的方差清华大学 经济管理学院 国际金融与贸易系 朱宝宪 副教授 18
三、冷饮的收益与风险
雨较多的年份 少雨年份
股市的牛市 股市的熊市 冷饮需求大增
概率 0.4 0.3 0.3
收益率 4% -10% 30%
冷饮公司的期望收益率为 7.6%,方差为 248.64%,标准差为 15.77%。
清华大学 经济管理学院 国际金融与贸易系 朱宝宪 副教授 19
雨较多的年份 少雨年份
股市的牛市 股市的熊市 冷饮需求大增
概率 0.4 0.3 0.3
收益率 17% 1% 5%
新组合的期望收益为 8.6%,标准差为 7.03%。 互补的选择效果比与无风险资产构成的组合还好 。
资产组合 期望收益 标准差
全部投资于伞公司股票 9.6% 20.76%
一半伞股票一半国库券 6.3% 10.38%
一半伞股票一半冷饮股票 8.6% 7.03%
四、互补组合的收益与风险清华大学 经济管理学院 国际金融与贸易系 朱宝宪 副教授 20
五、斜方差的计算
测度两种资产互补程度的指标是协方差 (covariance)，
它测度的是两个风险资产收益相互影响的方向与程度。
正的意味着资产收益同向变动，负的则是反方向变动。
斜方差的计算公式为
Cov(r伞,r冷饮 )=∑ Pr(s)[r伞 (s)-E(r伞 )][r冷饮 (s)-E(r冷饮 )]
Cov(r伞公司,r冷饮公司 )=0.4(30-9.6)(4-7.6)+0.3(12-
9.6)(-10-7.6)+0.3(-20-9.6)(30-7.6)=-240.96
清华大学 经济管理学院 国际金融与贸易系 朱宝宪 副教授 21
相关系数范围在－ 1和 +1之间,与斜方差的关系为：两变量协方差除以两标准差之积等于它们的相关系数 。
(伞,冷饮 )=[Cov(r伞,r冷饮 )]/(?伞?冷饮 )
=-240.96/(20.76?15.77)=-0.736
另一种计算资产组合方差的公式为
P2=w12?12+w22?22+2w1w2Cov(r1,r2)
2=(0.52?20.762)+(0.52?15.772)+
[2?0.5?0.5?(-240.96)]=49.43?＝ 7.03%
这与前面得出的资产组合收益的标准差一样 。
六、相关系数的计算清华大学 经济管理学院 国际金融与贸易系 朱宝宪 副教授 22
投资金额 50万,其中 15万投资国库券,35万投资股票,
15.75万买清华同方,19.25万买清华紫光 。
同方,w1=15.75/35=0.45
紫光,w2=19.25/35=0.55
风险组合 P的权重为 y,无风险组合的权重为 1-y,有
y=35/50=0.7(风险资产 )
1-y=0.3(无风险资产 )
七、风险资产与无风险资产的结构清华大学 经济管理学院 国际金融与贸易系 朱宝宪 副教授 23
投资者希望将所持有的风险资产组合比重从 0.7降为
0.55。 投资者的投资资金的配置则为
投资于股票,y=500 000× 0.55=275 000(元 )
投资于国库券,1-y=500 000× 0.45=225 000(元 )
投资者在股票投资减 7.5万 (35-27.5=7.5),增买 7.5万的国库券 。 由于两种股票的比例不变,因此,有
清华同方,w1=275 000× 0.55=151 250 (元 )
清华紫光,w2=275 000× 0.45=123 750 (元 )
八、风险与无风险资产的结构变化清华大学 经济管理学院 国际金融与贸易系 朱宝宪 副教授 24
假定风险资产的期望收益为 E(rP) =9%,标准差为?P；
=21%,无风险资产组合 F的收益率为 rf =3% 。
风险资产的风险溢价为 E(rP)–rF=9%-3%=6%
令整个资产组合 C的收益率为 rC,有,rc=yrp+(1-y)rf
资产组合 C的期望收益为,3%+y(9%-3%) 3+6y
由于?P=21%,有,σ C=yσ p=21y
九、风险与无风险资产的结构决定清华大学 经济管理学院 国际金融与贸易系 朱宝宪 副教授 25
E(rp)=9% p
(rf)=3% F
0 21%?
十、资本配置线的形成图清华大学 经济管理学院 国际金融与贸易系 朱宝宪 副教授 26
如果选择将全部投资投向风险资产，期望收益与标准差就是 E(rp)=9%,?P=21%。 如果选择将全部投资投向无风险资产，期望收益与标准差就是 E(rp)=3%,?P=0。
从线上可直观地看到，风险增加，收益也增加。由于直线的斜率为 6/21=0.29，每增 1单位风险，可获 0.29单位收益。即每增 1单位收益，将增 3.5(21/6=3.5)单位风险。
十一、资本配置线的意义清华大学 经济管理学院 国际金融与贸易系 朱宝宪 副教授 27
根据 σ C=yσ p=21y,有 y=?c/?p,将 y代入有
E(rc)=rf +y[E(rp)-rf]
=rf +(σ c/σ p)[E(rp)-rf]=3+(6/21)σ c
从式中可以看到,资产组合的期望收益作为其标准差的函数是一条直线,其截距为 rf,斜率为 6/21。
该斜率也称为酬报与波动性比率 。 一般认为这个值较大为好，因为它越大，资本配置线就越陡，即增加一单位风险可以增加更多的期望收益。
十二、资本配置线的数学表达清华大学 经济管理学院 国际金融与贸易系 朱宝宪 副教授 28
根据前面的公式，我们可以得到以下两式：
E(rc)=rf +y[E(rp)-rf] σ 2C=y2σ 2p
将两式代入效用函数,有
MaxU=E(rc)-0.005A?2C=rf+y[E(rp)-rf]-0.005Ay2σ 2p
(MaxU)’=E(rp)-rf—0.01Ayσ 2p
令导数为 0,有,y*=[E(rp)-rf]/0.01Aσ 2p
最优配置与风险厌恶水平成反比，与风险溢价成正比。
十三、最优资本配置推导清华大学 经济管理学院 国际金融与贸易系 朱宝宪 副教授 29
还用上述例子中的数据 。 还假定风险厌恶系数 A为 3，
求投资者的最优风险资产组合比例 y*的值 。 有
y*=[9%-3%]/(0.01× 3× 212)=45.35%
根据结果,应将资金的 45.35%投资于风险资产,
54.65%投资于无风险资产 。 整个资产组合的
E(rc)=3%+(45.35%?6%)=5.72%
C=45.35%?21%=9.52%
2.72/9.52=0.29 等于前例中的酬报与波动性比率 。
十四、最优资本配置举例清华大学 经济管理学院 国际金融与贸易系 朱宝宪 副教授 30
如果假定投资者的风险厌恶程度 A为 1.5,其结果为
y*=[9%-3%]/ (0.01× 1.5× 212)=90.7%
E(rc)=3%+(90.7%?6%)=8.44%
C=90.7%?21%=19.05%
5.44/19.05=0.29
风险厌恶程度降低一半，投资于风险资产组合的比例上升了一倍，整个资产组合的期望收益也提高到 8.44%，
风险溢价提高到 5.44%，标准差也提高了一倍，达到
19.05%。
最优资本配置举例（ 2）
清华大学 经济管理学院 国际金融与贸易系 朱宝宪 副教授 31
E(rp)=9% p
(rf)=3% F
0 21%?
十五、最优资本配置的几何表达清华大学 经济管理学院 国际金融与贸易系 朱宝宪 副教授 32
消极投资策略的资本配置方案为：短期国库券与股票指数的资产组合。它的资本配置线称资本市场线 (CML)。
假定一资产组合有与指数相同的收益风险,其风险溢价为 10%,标准差为 30%,投资者将投资资金的 50%投向风险资产组合 。 有
y*=[E(rp)-rf]/0.01Aσ 2p=10%/(0.01× A× 302)=0.50
A=10%/(0.01× 0.50× 302)=2.22
当然，这是根据假定的数据计算出来的风险厌恶程度。
实际的值可以通过对市场的实际历史数据回归估计出来，
美国的学者估计美国市场的风险厌恶值在 2-4之间。
十六、资本市场线清华大学 经济管理学院 国际金融与贸易系 朱宝宪 副教授 33
十七、非系统风险与系统风险
美国股票 1960-1970年随机选样的分散化效应表
股数 月均收益率 月均标准差 与市场的相关系数 R
1 0.88% 7.0% 0.54
2 0.69% 5.0% 0.63
3 0.74% 4.8% 0.75
4 0.65% 4.6% 0.77
5 0.71% 4.6% 0.79
10 0.68% 4.2% 0.85
15 0.69% 4.0% 0.88
20 0.67% 3.9% 0.89
清华大学 经济管理学院 国际金融与贸易系 朱宝宪 副教授 34
十八、中国股市的分散与风险清华大学 经济管理学院 国际金融与贸易系 朱宝宪 副教授 35
清华大学 经济管理学院 国际金融与贸易系 朱宝宪 副教授 36
十八、中国股市的分散与风险清华大学 经济管理学院 国际金融与贸易系 朱宝宪 副教授 37
十八、中国股市的分散与风险清华大学 经济管理学院 国际金融与贸易系 朱宝宪 副教授 38
十八、两种风险资产的资产组合假定投资两种风险资产,一是股票,一是债券 。 投资者会根据期望收益与方差的情况,考虑自己的风险厌恶程度决定两种资产组合的比例 。
假定投资债券的资金为 wD,投资股票的部分为 1-wD记作 wE，
rD为债券收益,rE为股票收益,组合收益 rp为
rp= wDrD+wErE E(rp)=wDE(rp)+wEE(rE)
p2=w2D?D2+w2E?E2+2wDwECOV(rDrE) Cov(rD,rD)=?D2
组合的方差还可以有以下计算公式：
P2=wDwDCov(rD,rD)+wEwECov(rE,rE)+2wDwECov(rD,rE)
清华大学 经济管理学院 国际金融与贸易系 朱宝宪 副教授 39
如两资产斜方差为负,方差将变小 。 有 Cov(rD,rZ)=ρ DE/?D?E
将此式代入方差计算公式有,?P2=wD2?D2+wE2?E2+2wDwE?D?Eρ DE
ρ= 1时,式右可简化为,?P2=(WD?D+WE?E)2 或?P=WD?D+WE?E
组合的标准差恰好等于组合中每一部分证券标准差的加权平均值 。
当 ρ ＜ 1时,组合标准差会小于各部分证券标准差的加权平均值 。
当 ρ= -1时,该式可简化为,?P2=(wD?E―w E?D)2
组合的标准差为,?P=|wD?E―w E?D|。
此时如果两种资产的比例恰当,标准差可以降低到 0，
十九、相关性对资产组合标准差的效应清华大学 经济管理学院 国际金融与贸易系 朱宝宪 副教授 40
标准差可以降低到 0的资产恰当比例为：
由于,wD?D-wE?E=0,所以有
wD =?E /(?D+?E)
wE =?D /(?D+?E)=1- wD
以上的公式表明，当 ρ= 时，标准差最大，为每一种风险资产标准差的加权平均值；如果 ρ ＜ 1，组合的标准差会减小，风险会降低；如果 ρ= -1，在股票的比重为 wD
=?E /(?D+?E),债券的比重为 1- wD时，组合的标准差为 0，即完全无风险。
相关性对资产组合标准差的效应（ 2）
清华大学 经济管理学院 国际金融与贸易系 朱宝宪 副教授 41
股票 E(rp)为 20%,方差为 15%,债券 E(rB)为 10%,方差为 10%。
给定相关性下的资产组合的标准差
投资比重 ρ= -1 ρ= -0.5 ρ=0.5 ρ=1
wD wE 收益 方差 收益 方差 收益 方差 收益 方差
1.00 0.00 10.0 10.0 10.0 10.0 10.0 10.0 10.0 10.0
0.80 0.20 12.0 3.08 12.0 5.04 12.0 8.96 12.0 10.92
0.60 0.40 14.0 0.12 14.0 3.06 14.0 8.94 14.0 11.88
0.40 0.60 16.0 1.12 16.0 4.06 16.0 9.94 16.0 12.88
0.20 0.80 18.0 6.08 18.0 8.04 18.0 11.96 18.0 13.92
0.00 1.00 20.0 15.0 20.0 15.0 20.0 15.0 20.0 15.0
最小方差的资产组合 (根据表中的数据,不再细分 )
wD 0.55 0.55 0.70 1.00
wE 0.45 0.45 0.30 0.00
E(rP) 14.5 14.5 13.0 10.0
2P 0.00 3.03 8.82 10.0
二十、相关性效应举例清华大学 经济管理学院 国际金融与贸易系 朱宝宪 副教授 42
假定投资可细分,股票与债券的 ρ= -0.5。
计算组合方差的公式为：
p2=w2D?D2+ w2E?E2+2wDwECOV(rD,rE)，
用 (1-wD)来替代 wE,有：
p2=w2D?D2+(1-wD)2?E2+2wD(1-wD)COV(rD,rE)
求出 wD系数,令其等于 0,有
wmin(D)=[?E2- Cov(rD,rE)]/[?D2+?E2-2 Cov(rD,rE)]
将前面的数据代入,
由于有,Cov(rD,rZ)=ρ DE?D?E，
相关性效应举例 （ 2）
清华大学 经济管理学院 国际金融与贸易系 朱宝宪 副教授 43
将?2D=10,?2E=15代入此式,
有 Cov(rD,rZ)=-0.5(3.162)(3.873)=-6.123
将此值代入,有
wmin(D)=[15-(-6.123)]/[10+15-2(-6.123)]
=(21.123)/(37.246)=0.567
wmin(E)=1-0.679=0.433
这个最小化方差的资产组合的方差为
2min=(0.5672?10)+(0.4332?15)
+(2?0.567?0.433?-6.123)=3.02
该组合为相关系数确定下的最小方差的资产组合 。
这一组合的期望收益为：
E(rp)= 0.567?10%+0.433?20%=14.33%
相关性效应举例 （ 3）
清华大学 经济管理学院 国际金融与贸易系 朱宝宪 副教授 44
资产组合机会集合线
E(rp) 20 B
ρ= -1
ρ= 0.5
ρ= -0.5
ρ= 1
10
A
0 3.16 3.87?
二十一、不同 ρ 下标准差的几何表达清华大学 经济管理学院 国际金融与贸易系 朱宝宪 副教授 45
资产配置线 B
E(rp)
15% B 资产配置线 A
14.33% A
机会集合线
6.5% 1.74% 1.79%?
二十二、三种资产的资产组合清华大学 经济管理学院 国际金融与贸易系 朱宝宪 副教授 46
两条 CAL以 rf=6.5%为起点,通过 A,B两点 。
A点代表了在股票与债券的 ρ= -0.5时具有最小方差组合 A,该组合债券比例为 56.7%,股票比例为 43.3%。 它的 E(r)为 14.33%(风险溢价为 7.88%),?为 1.74%。
由于 TB利率为 6.5%,酬报与波动性比率,即资本配置线的斜率为,SA=[E(rA)-rf]/?A=(14.33-6.5)/1.74=4.5
B点,ρ= -0.5,债券股票各 50%,E(r)=15%(风险溢价为
8.5%),?=1.79%。 斜率为：
SB=[E(rB)-rf]/?B=(15-6.5)/1.79=4.75
由于 B的斜率大于 A,B更优 。 相同方差更高收益 。
我们知道,两条线切点所对应的组合 P最优 。
二十三、上图的说明清华大学 经济管理学院 国际金融与贸易系 朱宝宪 副教授 47
资产配置线
E(rp)
6.5%
机会集合线
0?
二十四、最优组合的几何表达清华大学 经济管理学院 国际金融与贸易系 朱宝宪 副教授 48
目的是找出 wD,wE值,以获得斜率最大的资本配置线 。 因此,目标函数就是斜率,即 SP，
有,Sp=[E(rp)-rf]/σ p
只要满足权重和 =1,就可以求斜率的最大值,有
Max Sp=[E(rp)-rf]/σ p
因为 ∑ wI=1,将 [E(rp)= wDE(rp)+ wEE(rE)]代入,有
Max Sp=[ wDE(rp)+ wEE(rE)-rf]/σ p
将?P2= wD2?D2+ wE2?E2+2 wDwE?D?Eρ E代入上式,有
MaxSp=[wDE(rp)+wEE(rE)-rf]/[wD2?D2+wE2?E2+2wDwE?D?Eρ E]
用 1-wD代替 wE,有,MaxSp=
[wDE(rp)+(1-wD)E(rE)-rf]/wD2?D2+(1-wD)2?E2+2wD(1-wD)?D?Eρ E
用 wD 对 Sp 求导,令导数为零,有
wD={[E(rD)-rf]?E2-[E(rE)-rf]Cov(rD,rE)}/[E(rD)-rf]?E2+[E(rE)-
rf]?D2-[E(rD)-rf+E(rE)-rf]Cov(rD,rE)}
wE=1-wD
二十五、最优值的计算清华大学 经济管理学院 国际金融与贸易系 朱宝宪 副教授 49
把上例中的数据代入,得到的解为
wD={[10-6.5]15-[20-6.5](-6.123)}/[10-6.5]15+[20-6.5]10-
[10-6.5+20-6.5](-6.123)}= 46.7%
wE =1-0.46.7=53.3%
这一最优风险资产组合的期望收益与标准差分别为
E(rP)=(0.467× 10)+(0.533× 20)=15.33%
2min=(0.4672× 10)+(0.5332× 15)+(2?0.467?0.533?-6.123)
=3.39%
这个最优资产组合的资本配置线的斜率为
SP=[E(rB)-rf]/?B=(15.33-6.5)/1.84=4.80
这也是资产组合 P的酬报与波动性比率,这是资产组合 P可以得到的最大的斜率,因此也是投资者可以得到的最优资本配置线的斜率 。
最优值的计算（ 2）
清华大学 经济管理学院 国际金融与贸易系 朱宝宪 副教授 50
风险资产与无风险资产的比率为,y*=[E(rp)-rf]/ 0.01Aσ 2p，
假定 A=4,投资者投资于风险资产组合的投资比例为
y=[E(rp)-rf]/ 0.01Aσ 2p= (15.33-6.5)/(0.01× 4× 3.39)=65.12
由于风险太小,应将其资产的 100%全投向风险资产 。 只有 A大于
261的时候,投资者才愿意同时投资于风险资产和无风险资产 。 假定 A=300,有
y=(15.33-6.5)/(0.01× 300× 3.39)=86.82% 1-y=13.12%
即投资者只有在如此厌恶风险的情况下，才会将其投资资金的
86.82%投向股票与债券,13.12%投向国库券。由于债券在风险资产中的比例为 46.7%，股票在风险资产中的比例为 53.3%，因此，
在全部投资资金中应有 (46.7%× 86.82%=)40.55%投资于债券，
(53.3%× 86.82%=)46.28%投资于股票，剩下的 13.12%投向国库券。
最优值的计算（ 3）
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E(rp) 资产配置线
全部资产最优组合
P
最优风险资产组合
C
6.5%
机会集合线
0?
二十六、三资产最优组合的几何表达
