第三章 单张航摄像片解析
单张像片的空间后方交会
如果我们有每张像片的六个外方位元素，就
能恢复航摄像片与被摄地面之间的几何关系，
重建地面的立体模型。
我们可以利用一定数量的地面控制点，根据
共线方程，反求像片的外方位元素，这种方
法称之为单张像片的空间后方交会。
一、空间后方交会的基本公式
空间后方交会的数学模型是共线方程，即中心投影的构像方程,
上式是非线性函数，为了便于计算机计算，需要按泰勒级数展开，
舍弃二次项，使之线性化得,
式中,(x),(y)为函数的近似值。
为六个外方位元素的改正数。
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为书写方便，我们令共线方程中的分母、分子用下式表达,
各偏导数是系数，用新的符号表示，则,
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当竖直投影时，角元素都是小角（小于 3度），此时可近似认为
,各个系数的表达式可以得到简化。
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空间后方交会计算中的误差方程和法方程
由于有六个未知数，所以至少需要知道三个
已知的地面控制点，为了能够平差，通常在
像片的四个角选取四个或更多的地面控制点。
计算中，通常将地面控制点的坐标认为是真值，而把相应的像点
坐标认为是观测值，加入相应的改正数,得, 列
出如下的每个点的误差方程式为,
或写成,
其中,
式中,x,y为像点坐标的观测值,(x),(y)为用控制点的物方坐标及
外方位元素的近似值代入中心投影方程求得的像点坐标近似值。
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若有 n个控制点，构成总误差方程式
根据最小二乘原理，得法方程式
由此得未知数的表达式
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由于未知数的近似值往往是粗略的，因此，计
算必须通过逐渐趋近的方法，即用近似值与改
正数的和作为新的近似值，重复计算过程，求
出新的改正数，这样反复趋近，直到改正数小
于某一个限值为止。
空间后方交会的计算过程
1）获取已知数据：从摄影资料中查取像片比例尺，平
均航高，内方位元素；从外业测量成果中，获取控
制点的地面测量坐标并转换为地面摄影测量坐标。
2）量测控制点的坐标：将控制点标刺在像片上，利用
立体坐标量测仪量测控制点的像框标坐标系坐标,
并经像主点坐标改正，得到像点坐标 x,y；
3）确定未知数的初始值：在竖直摄影的情况下，角元
素的初始值为 0,即 ；线元素
中，, 取值可
用四个角上的控制点坐标的平均值，即,
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4) 计算旋转矩阵 R：利用角元素的近似值计算
方向元素，组成旋转矩阵 R。
5）逐点计算像点坐标的近似值：利用未知数
的近似值按照共线方程计算控制点像点坐
标的近似值 (x),(y)；
6) 组成误差方程式
7) 组成法方程式
8）解求外方位元素
9）检查计算是否收敛：将求得外方位元素的
改正数与规定的限差比较，小于限差则计
算终止，否则迭代计算。
四、空间后方交会的精度
求解各未知数的精度可以通过法方程系数矩阵求逆的方
法，解由其相应的权倒数,按照下式计算未知数
的中误差
式中,称为单位权中误差，计算公式为,
这里,n为控制点的总个数。
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单张像片的空间后方交会
如果我们有每张像片的六个外方位元素，就
能恢复航摄像片与被摄地面之间的几何关系，
重建地面的立体模型。
我们可以利用一定数量的地面控制点，根据
共线方程，反求像片的外方位元素，这种方
法称之为单张像片的空间后方交会。
一、空间后方交会的基本公式
空间后方交会的数学模型是共线方程，即中心投影的构像方程,
上式是非线性函数，为了便于计算机计算，需要按泰勒级数展开，
舍弃二次项，使之线性化得,
式中,(x),(y)为函数的近似值。
为六个外方位元素的改正数。
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Y
X
bb
bb
bb
ZZ
YY
XX
cba
cba
cba
Z
Y
X
SA
SA
SA
0
0
0
001
000
100
12
13
23
333
222
111
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按照相仿得方法可得,
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Y
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0
X
Y
Z
Y
X
k
将上述偏导数代入，可以求得其余的系数如下
当竖直投影时，角元素都是小角（小于 3度），此时可近似认为
,各个系数的表达式可以得到简化。
xa
kykx
f
y
kfa
kfkfkykx
f
x
xa
ya
kykx
f
x
kfa
kfkykx
f
x
ya
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26
25
24
16
15
14
c o ss i n(c o s
c o s]s i n)s i ns i nc o s([s i n
)c o ss i n(s i n
c o s]c o s)s i nc o s([s i n
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HZZk SA ??????,0??
空间后方交会计算中的误差方程和法方程
由于有六个未知数，所以至少需要知道三个
已知的地面控制点，为了能够平差，通常在
像片的四个角选取四个或更多的地面控制点。
计算中，通常将地面控制点的坐标认为是真值，而把相应的像点
坐标认为是观测值，加入相应的改正数,得, 列
出如下的每个点的误差方程式为,
或写成,
其中,
式中,x,y为像点坐标的观测值,(x),(y)为用控制点的物方坐标及
外方位元素的近似值代入中心投影方程求得的像点坐标近似值。
yx VV,yx VyVx ??,
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k
y
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y
d
y
dZ
Z
y
dY
Y
y
dX
X
y
V
xxdk
k
x
d
x
d
x
dZ
Z
x
dY
Y
x
dX
X
x
V
S
S
S
S
S
S
y
S
S
S
S
S
S
x
)(
)(
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???????
ySSSy
xSSSx
ldkadadadZadYadXaV
ldkadadadZadYadXaV
262524232221
161514131211
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?????
?????
????
?????
?????
????
)()()(
)()()(
)(
)()()(
)()()(
)(
333
222
333
111
SASASA
SASASA
y
SASASA
SASASA
x
ZZcYYbXXa
ZZcYYbXXa
fyyyl
ZZcYYbXXa
ZZcYYbXXa
fxxxl
用矩阵形式表示为
式中,
若有 n个控制点，构成总误差方程式
根据最小二乘原理，得法方程式
由此得未知数的表达式
lAXV ??
? ?Tyx VVV ?
??
?
??
??
262524232221
161514131211
aaaaaa
aaaaaaA
? ?dkdddZdYdXX SSS ???
? ?Tyx llV ?
LAXV ??
PLAP A XA TT ?
PLAAAX TT 1)( ??
由于未知数的近似值往往是粗略的，因此，计
算必须通过逐渐趋近的方法，即用近似值与改
正数的和作为新的近似值，重复计算过程，求
出新的改正数，这样反复趋近，直到改正数小
于某一个限值为止。
空间后方交会的计算过程
1）获取已知数据：从摄影资料中查取像片比例尺，平
均航高，内方位元素；从外业测量成果中，获取控
制点的地面测量坐标并转换为地面摄影测量坐标。
2）量测控制点的坐标：将控制点标刺在像片上，利用
立体坐标量测仪量测控制点的像框标坐标系坐标,
并经像主点坐标改正，得到像点坐标 x,y；
3）确定未知数的初始值：在竖直摄影的情况下，角元
素的初始值为 0,即 ；线元素
中，, 取值可
用四个角上的控制点坐标的平均值，即,
0000 ??? k??
mfHZ S ??0 00,SS YX
?
?
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4
1
0 4
1
i
tp iS XX
?
?
?
4
1
0 4
1
i
tp iS YY
4) 计算旋转矩阵 R：利用角元素的近似值计算
方向元素，组成旋转矩阵 R。
5）逐点计算像点坐标的近似值：利用未知数
的近似值按照共线方程计算控制点像点坐
标的近似值 (x),(y)；
6) 组成误差方程式
7) 组成法方程式
8）解求外方位元素
9）检查计算是否收敛：将求得外方位元素的
改正数与规定的限差比较，小于限差则计
算终止，否则迭代计算。
四、空间后方交会的精度
求解各未知数的精度可以通过法方程系数矩阵求逆的方
法，解由其相应的权倒数,按照下式计算未知数
的中误差
式中,称为单位权中误差，计算公式为,
这里,n为控制点的总个数。
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