第五章 双像解析摄影测量
一 双像解析摄影测量的概念
摄影测量的最终目的是在已知像片上像点坐标的前提
下，推导出像点所对应实际地物点的坐标。
那么，利用单张像片的像点坐标能不能推导出实际地
物点的坐标？
看中心投影的构像条件方程,
即使已知了单张像片的内外所有方位元素，也仍然无
法确定地物点的空间坐标，因为只有两个方程却需要
解三个未知数。
人有了两只眼睛，才能看三维立体景观，故而，如立
体视觉的原理一样，只有从不同摄站对同一物体摄影，
获得具有一定重叠度的像片对，按照构像方程分别对
各像片的同名像点组成条件组，通过解析计算才能求
出相应物点的三维空间坐标。
我们把这种按照立体像对与被摄物体的几何关系，以
数学计算方式，通过计算机解求被摄物体的三维空间
坐标，称之为双像解析摄影测量，它主要研究的内容
是：研究立体像对与被摄物体之间的数学关系，以及
如何计算被摄物体的三维空间位置。
二 立体像对特殊的点、线、面
上图表示一个像对的相关位置,S1和 S2是左像片 P1
和右像片 P2的投影中心。两投影中心的连线 B称为摄
影基线,o1和 o2为左、右像片的像主点,a1和 a2是地
面上任一点 A在左、右像片上的构像，称为同名像点，
射线 AS1a1,AS2a2称为同名射线。
图 1
摄影基线 B延长线与左、右像片的交点 k1,k2称为
核点。通过摄影基线 S1S2与任一地面点 A所作的
平面 WA，称为点 A的核面。核面与像片的交线
称为核线，对于同一核面的左右像片上的核线，
如 k1a1,k2a2称为同名核线。像片上诸核线均会
聚于核点。通过像主点的核面称为主核面。一般
倩况下，通过左右像片主点的两个主核面不重合，
分别称为左主核面和右主核面。
通过像底点的核面，称为垂核面。因为左右像片的底
点与摄影基线 B位于同一铅垂面内，所以一个像对只
有一个垂核面。垂核面与像片面的交线称为垂核线。
三 处理立体相对的常用方法
根据摄得的立体相对的内在几何特性，按照物
点、摄站点与像点构成的几何关系，用数学的
方法求解物点的三维空间坐标的方法有以下三
种,
1：用单张像片的空间后方交会与立体相对的前
方交会公式求解物点的三维空间坐标。
2：用相对定向和绝对定向求解地面点的三维空
间坐标。
3：采用光束法求解地面点的三维空间坐标。
方法一、用单张像片的空间后方交会与立体相对
的前方交会公式求解物点的三维空间坐标。
什么是空间后方交会？
回顾以前所学知识，所谓单张像片的空间后方
交会即是根据已知的地面控制点坐标，按照中
心投影的共线方程求得单张像片的外方位元素。
立体相对的前方交会
思考：空间后方交会得出的是什么？
答案：空间后方交会得出的是图 1的 AS1a1，此时并不
能确定 A点的空间坐标，因为三个未知数，却只有两
个方程。
引申：单张像片不足以确定物点的空间坐标，但是立
体相对却可以，因为，若再能获得图 1中的 AS2a2，由
于 AS1a1和 AS2a2是同名光线，它们二者的交点即是 A
点。可得到 A点的空间坐标。
因为，三个未知数，存在了四个方程。
什么是空间前方交会?
答：通俗地说就是同名光线相交于地面点的这
一几何概念。具体概念就是,
利用立体相对中两张像片的内、外方位元素和
像点坐标来确定地面点的地面坐标的方法称之
为空间前方交会。
总结 空间前方交会与空间后方交会的不同？
看图
看图
空间前方交会的步骤为,
1：由已知的外方位角元素与像点的在像空间坐标系下
的坐标，根据 a式计算像点的像空辅坐标系下的坐标。
2：由外方位线元素，计算摄影基线分量 Bx,By,Bz。
3：由摄影基线分量，计算投影系数 N1,N2。
4：由下式计算地面点坐标。
空间后方交会与前方交会求解地面点坐标的计算方法
步骤一 像片野外控制测量
在重叠部分四角，找出四个明显地物点，作为四个
控制点。在野外实地找到这四个点，测量出它们的
坐标。
思考：为什么要实测四个点作为控制点？
步骤二、用立体坐标量测像点的坐标
像片在仪器上归心定向后，测出四个控制点的像片
坐标，然后测出所有需要解求的地面点的像点坐
标。
步骤三、空间后方交会计算像片外方位元素
思考：已知条件？要求解什么？
步骤四、立体像对前方交会求解地面点坐标
思考,步骤四又可分为四个步骤，哪四个步骤？
方法二、用相对定向和绝对定向求解地面点的
三维空间坐标
思考：立体像对中两张像片之间的相对关系一定和
它们的绝对位置和姿态有关吗？
法一的实质：恢复了立体像对中两张像片的外方位元
素即恢复了其绝对位置和姿态，重建被摄地面的绝对
立体模型。从而获得了地面点的空间坐标。
法二的思路,首先暂不考虑像片的绝对位置和姿态
而只恢复两张像片之间的相对位置和姿态．这样建立
的立体模型称为相对立体模型，其比例尺和方位均是
任意的；然后在此基础上，将两张像片作为一个整体
进行缩放、平移和旋转，达到绝对位置、这种方法称
为相对定向一绝对定向。
用于描述两张像片相对位置和姿态关系的参数，
称为相对定向元素，用数学计算的方法解求相对
定向元素的过程，称为解析法相对定向。
思考：为了求解相对定向元素，是否需要地面控
制点？
相对定向元素是描述立体像对中两张像片的相对位置
和姿态关系的元素，因此，可以把两张像片各自相对
于选定的同一个像空间辅助坐标系来讨论相对定向元
素。为便于讨论，仿照外方位元素的定义，引入“相
对方位元素’概念将像片在选定的像空间辅助坐标系
中的位置（摄影中心 S的坐标，用 表示,
和姿态（像片的姿态角，用 表示）定义为像
片的相对方位元素．坐标系的选择通常有两种形式：
连续像对相对定向坐标系和单独像对相对定坐标系，
相应的相对定向元素分为连续像对相对定向元素和单
独像对相对定向元素。
SSS ZYX,,
k,,??
1 连续像对相对定向元素
连续像对相对定向是以左方像片为基准，求出右方像
片相对于左方像片的相对方位元素、选定像空间辅助
坐标系 S1— X1Y1 Z1使得左像片在 S1— X1Y1 Z1中的
相对方位元素均为已知值。为简便讨论，以左像片的
像空间坐标系作为像空间辅助坐标系．如下图。此时，
左、右像片的相对方位元素为,
左像片,
右像片,
由于 只影响相对定向后建立的模型大小，而不影
响模型的建立，因此，相对定向需要解求的元素只有
5个，即 称为连续像对相对定向元素。
0,0,0,0,0,0 111111 ?????? kZYX SSS ??
222111,,,,,kbZbYbX zSySxS ?????
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2 单独像对相对定向元素
单独像对相对定向是以摄影基线作为像空间辅助坐标
系的 X轴，以左摄影中心 S1为原点，左像片主光轴与
摄影基线 B组成的主核面为 XZ平面，构成右手直角坐
标系 S1－ X1Y1Z1。此时，左、右像片的相对方位元
素为,
左像片,
右像片,
由于 只影响相对定向后建立的模型大小，而不影
响模型的建立，因此，相对定向需要解求的元素只有
5个，即 称为单独像对相对定向元素。
111111,0,,0,0,0 kZYX SSS ???? ??
222111,,,0,0,kbZbYbX zSySxS ???????
xb
22211,,,,k????
二、解析法相对定向原理
从两个摄站对同一地面摄取一个立体像对时，同名射线
对对相交于地面点，见下图，此时，若保持两张像片之
间相对位置和姿态关系不变．将两张橡片整体移动时，
同名射线对对相交的特性也不发生变化。反过来，若完
成了相对定向，恢复两张像片的相对定向元素，就能实
现同名射线对对相交，建立相对立体模型。因此，同名
射线对对相交是相对定向的理论基础。
1.相对定向的共面条件
如图所示,和 为一对同名射线。其矢量用
和 表示，摄影基线矢量用 表示。同名射线对
对相交，表明射线 位于同一平面内，亦
即三矢量共面。根据矢量代数，三矢量共面，它们的
混合积等于零，即
上式即为共面条件方程，其值为零的条件是完成相
对定向的标准，用于解求相对定向元素。
11aS 22aS
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11aS
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11aS 22aS ?B
0)( 2211 ??? ??? aSaSB
2.连续像对相对定向
连续像对相对定向是以左像片为基准，求出右像片相
对于左像片的 5个定向元素，即
以左像片的像空间坐标系作为像空间辅助坐标系，记
为 S1— X1Y1 Z1，过右摄影中心作另一像空间辅助坐
标系 S2— X2Y2 Z2,两者的相应坐标轴相互平行。此
时,a1,a2在各自的像空间辅助坐标系中的坐标分别为：
（ X1,Y1,Z1 ）和（ X2, Y2, Z2 ）,S2在 S1—
X1Y1 Z1 中的坐标为,则上述 共面条件方程
式可以用坐标表示为；
kbb zy,,,,??
zyx bbb,,
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其中,R是右像片相对于像空间辅助坐标系的三个
角元素的 函数．由于 只涉及模型比例尺，
相对定向中可给予定值，因此，只有 5个相对定向元
素 为未知值。
k,,?? xb
kbb zy,,,,??
由右图可以看出,
进而，共面条件方程变为,
上式是非线性函数，按照泰勒级数展开，取到一次项，
使之线性化。
F0为用未知数的近似值及给定的 bx代入计算出的。
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要求出上式中的偏导数，必须先求得偏导数
因推导过程只考虑一次项，所以坐标变换矩阵可以用旋转矩阵的
小值一次项来表示,
对上式分别对 求导数，得,
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由上式则可以求得各个偏导数,
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将上式展开后，除以 bx，并略去二次项，得
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由前方交会公式的推导可知
如果再近似取,并将上个幻灯片中的 (a)式
左右两侧同乘以 则有
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11
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b
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其中,N1为左投影点 a1的投影系数
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1
20
上两式便是连续像对相对定向的作业公式。在立体像
对中每量测一对同名像点的像点坐标 (X1,Y1)和
(X2,Y2)，就可以列出一个 Q方程式。由于式有 5个未
知数,因此，至少需要量测 5对同名像点、
当有多余观测值时，将 Q视为观测值，由此得到误差
方程式；
利用误差方程式，接最小二乖原理组成法方程，解求
出未知数，即 5个相对定向元素的改正数。
kbb zy,,,,??
QdZYbxb x ddkNXdZYZdNZ YXV Q ???????? ????
2
222
2
2
222
2
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三,相对定向元素解算过程
摄影测量中，相对定向常用 6个标准点位
来解求，点位分布如右图，并按图中位置
命名为 1,2,3,4,5,6点、其中,l,2
点位于像主点 O1,O2邻近的明显点，各点
距边界的距离应大于 1.5cm，而且,1,3,
5三点和 2,4,6三点尽量位于与 O1O2连线
垂直的直线上。
利用 6对相对定向点的像点坐标，可以组成
误差方程式，并解之。
四、模型点坐标的计算
相对定向元素正确求得之后，立
体模型就建立起来了，但此时的
立体模型的方位与大小都是任意
的。
思考：为什么？
计算单个模型中各模型点的坐标
可以按照立体像对前方交会公式
进行,
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112
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221,ZXZX XbZbNZXZX XbZbN zxzx ??????
于是，模型内各模型点的坐标为,
左摄站点坐标,
右摄站点坐标,
一般模型点坐标,
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Sm
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存在，取均值之后可消除残差的影响。
另外，由于相对定向中使用的基线分量
由此计算出的 也均为实际摄影基线分量
缩小 m倍的数值，所以将上式中乘以像片比例尺分母
m，将模型点改到地面。
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第八节 解析法绝对定向
相对定向建立的立体模型，是一个以相对定向中选定
的像空间辅助坐标系为基准的模型，比例尺也是未知
的。要确定立体模型在地面测量坐标系中的正确位置，
则需要把模型点的摄影测量坐标转化为地面测量坐标、
这一工作需要借助于地面测量坐标为已知值的地面控
制点来进行，称为立体模型的绝对定向、所以，解析
法绝对定向的目的就是将相对定向后求出的摄影测量
坐标变换为地面测量坐标。
由于地面测量坐标系为左手直角坐标系，而摄影测量
坐标系为右手直角坐标系，因此，应首先将地面测量
坐标系转换为地面摄影测量坐标系。
我们知道，一个像对的两张像片有十二个外方位元素，
相对定向求得五个元素后，要恢复像对的绝对位置，还
要解求七个绝对定向元素，包括模型的旋转、平移和缩
放。它需要地面控制点来解求，这种坐标变换，在数学
上为一个不同原点的三维空问相似变换，其公式为,
为模型点的地面摄影测量坐标,
为同一模型点的摄影测量坐标,为模型缩放比例因子
为坐标原点的平移量。
)(,
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321
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ZYX,,
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ZYX ???,,
一、绝对定向基本公式
上式中地面摄影测量坐标为已知值，摄影测量坐标为
经相对定向后计算出的值，由于上式是一个非线性函
数，为便于计算，首先将其线性化。为此,引入七
个绝对定向元素的初始值及改正数,
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将 (a)式按照泰勒级数展开
式中,F0为用绝对定向元素近似值代入得到的近似值，考虑小角
度的情况，则旋转矩阵的近似表达式为
对上式求微分，代入 (a)式，取小值一次项，经整理得,
ZdZFYdYFXdXFdKKFdFdFdFFF ?????????????????????????????? ????0
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上式中有 7个未知数，至少需列 7个方程，则至少需
要两个平高控制点和一个高程控制点，而且三个控
制点不能在同一条直线上。
为计算方便，常写成如下形式
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将 写成,而 则写成
于是，上式为计算方便，常写成如下形式
式中,
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实际绝对定向计算中，为了简便计算，常选模型的重心
为坐标系的原点，用 g表示，以重心为原点的坐标称
为重心化坐标。
相应的重心化坐标为,
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Z
Z
n
Y
Y
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X
X
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pgPP
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XXX
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同理，控制点的地面重心坐标为,
重心化的地面摄影测量坐标为
重心化坐标代入绝对定向的基本公式
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Z
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得到用重心化坐标表示的误差方程式,
其中,
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x
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求出绝对定向元素以后，将未知点的重心化摄影
测量坐标，求出相应的重心化的地面摄影测量坐
标，然后反求出地面摄影测量坐标，最后将地面
摄影测量坐标转回到地面测量坐标，提交成果。
前两种方法都是分成两步进行
思考：第一种方法分为哪两步？
第二种方法分为哪两步？
光束法将求解外方位元素和待求点的地面坐标合到一步完成，该
法理论较为严密。 又称一步定向法。
光束法是以共线方程为基础的
上式中除了外方位元素为未知数外，待求点的坐标也是未知数。
将上式线性化后得下式（ 1）,
思考：为什么要线性化？
在保证共线条件下，有如下关系式（ 2）成立,
将上个关系式（ 2）带入式（ 1）得下面一般式（ 3）
对于立体像对而言，同名点应能列出两组共线方程，假设上式
（ 3）表示左像片像点的误差方程，下式（ 4）代表右像片同名
像点的误差方程：有下式（ 4）：用撇号表示
思考：对于 n个待求点和 m个地面控制点，共多少个未知数，能列
出多少个方程？
将上式（ 3）和式（ 4）用矩阵可以表示为下页的式（ 5）
思考：未知数的初始值如何确定？
思考：为什么光束法的精度高？
返回
一 双像解析摄影测量的概念
摄影测量的最终目的是在已知像片上像点坐标的前提
下，推导出像点所对应实际地物点的坐标。
那么，利用单张像片的像点坐标能不能推导出实际地
物点的坐标？
看中心投影的构像条件方程,
即使已知了单张像片的内外所有方位元素，也仍然无
法确定地物点的空间坐标，因为只有两个方程却需要
解三个未知数。
人有了两只眼睛，才能看三维立体景观，故而，如立
体视觉的原理一样，只有从不同摄站对同一物体摄影，
获得具有一定重叠度的像片对，按照构像方程分别对
各像片的同名像点组成条件组，通过解析计算才能求
出相应物点的三维空间坐标。
我们把这种按照立体像对与被摄物体的几何关系，以
数学计算方式，通过计算机解求被摄物体的三维空间
坐标，称之为双像解析摄影测量，它主要研究的内容
是：研究立体像对与被摄物体之间的数学关系，以及
如何计算被摄物体的三维空间位置。
二 立体像对特殊的点、线、面
上图表示一个像对的相关位置,S1和 S2是左像片 P1
和右像片 P2的投影中心。两投影中心的连线 B称为摄
影基线,o1和 o2为左、右像片的像主点,a1和 a2是地
面上任一点 A在左、右像片上的构像，称为同名像点，
射线 AS1a1,AS2a2称为同名射线。
图 1
摄影基线 B延长线与左、右像片的交点 k1,k2称为
核点。通过摄影基线 S1S2与任一地面点 A所作的
平面 WA，称为点 A的核面。核面与像片的交线
称为核线，对于同一核面的左右像片上的核线，
如 k1a1,k2a2称为同名核线。像片上诸核线均会
聚于核点。通过像主点的核面称为主核面。一般
倩况下，通过左右像片主点的两个主核面不重合，
分别称为左主核面和右主核面。
通过像底点的核面，称为垂核面。因为左右像片的底
点与摄影基线 B位于同一铅垂面内，所以一个像对只
有一个垂核面。垂核面与像片面的交线称为垂核线。
三 处理立体相对的常用方法
根据摄得的立体相对的内在几何特性，按照物
点、摄站点与像点构成的几何关系，用数学的
方法求解物点的三维空间坐标的方法有以下三
种,
1：用单张像片的空间后方交会与立体相对的前
方交会公式求解物点的三维空间坐标。
2：用相对定向和绝对定向求解地面点的三维空
间坐标。
3：采用光束法求解地面点的三维空间坐标。
方法一、用单张像片的空间后方交会与立体相对
的前方交会公式求解物点的三维空间坐标。
什么是空间后方交会？
回顾以前所学知识，所谓单张像片的空间后方
交会即是根据已知的地面控制点坐标，按照中
心投影的共线方程求得单张像片的外方位元素。
立体相对的前方交会
思考：空间后方交会得出的是什么？
答案：空间后方交会得出的是图 1的 AS1a1，此时并不
能确定 A点的空间坐标，因为三个未知数，却只有两
个方程。
引申：单张像片不足以确定物点的空间坐标，但是立
体相对却可以，因为，若再能获得图 1中的 AS2a2，由
于 AS1a1和 AS2a2是同名光线，它们二者的交点即是 A
点。可得到 A点的空间坐标。
因为，三个未知数，存在了四个方程。
什么是空间前方交会?
答：通俗地说就是同名光线相交于地面点的这
一几何概念。具体概念就是,
利用立体相对中两张像片的内、外方位元素和
像点坐标来确定地面点的地面坐标的方法称之
为空间前方交会。
总结 空间前方交会与空间后方交会的不同？
看图
看图
空间前方交会的步骤为,
1：由已知的外方位角元素与像点的在像空间坐标系下
的坐标，根据 a式计算像点的像空辅坐标系下的坐标。
2：由外方位线元素，计算摄影基线分量 Bx,By,Bz。
3：由摄影基线分量，计算投影系数 N1,N2。
4：由下式计算地面点坐标。
空间后方交会与前方交会求解地面点坐标的计算方法
步骤一 像片野外控制测量
在重叠部分四角，找出四个明显地物点，作为四个
控制点。在野外实地找到这四个点，测量出它们的
坐标。
思考：为什么要实测四个点作为控制点？
步骤二、用立体坐标量测像点的坐标
像片在仪器上归心定向后，测出四个控制点的像片
坐标，然后测出所有需要解求的地面点的像点坐
标。
步骤三、空间后方交会计算像片外方位元素
思考：已知条件？要求解什么？
步骤四、立体像对前方交会求解地面点坐标
思考,步骤四又可分为四个步骤，哪四个步骤？
方法二、用相对定向和绝对定向求解地面点的
三维空间坐标
思考：立体像对中两张像片之间的相对关系一定和
它们的绝对位置和姿态有关吗？
法一的实质：恢复了立体像对中两张像片的外方位元
素即恢复了其绝对位置和姿态，重建被摄地面的绝对
立体模型。从而获得了地面点的空间坐标。
法二的思路,首先暂不考虑像片的绝对位置和姿态
而只恢复两张像片之间的相对位置和姿态．这样建立
的立体模型称为相对立体模型，其比例尺和方位均是
任意的；然后在此基础上，将两张像片作为一个整体
进行缩放、平移和旋转，达到绝对位置、这种方法称
为相对定向一绝对定向。
用于描述两张像片相对位置和姿态关系的参数，
称为相对定向元素，用数学计算的方法解求相对
定向元素的过程，称为解析法相对定向。
思考：为了求解相对定向元素，是否需要地面控
制点？
相对定向元素是描述立体像对中两张像片的相对位置
和姿态关系的元素，因此，可以把两张像片各自相对
于选定的同一个像空间辅助坐标系来讨论相对定向元
素。为便于讨论，仿照外方位元素的定义，引入“相
对方位元素’概念将像片在选定的像空间辅助坐标系
中的位置（摄影中心 S的坐标，用 表示,
和姿态（像片的姿态角，用 表示）定义为像
片的相对方位元素．坐标系的选择通常有两种形式：
连续像对相对定向坐标系和单独像对相对定坐标系，
相应的相对定向元素分为连续像对相对定向元素和单
独像对相对定向元素。
SSS ZYX,,
k,,??
1 连续像对相对定向元素
连续像对相对定向是以左方像片为基准，求出右方像
片相对于左方像片的相对方位元素、选定像空间辅助
坐标系 S1— X1Y1 Z1使得左像片在 S1— X1Y1 Z1中的
相对方位元素均为已知值。为简便讨论，以左像片的
像空间坐标系作为像空间辅助坐标系．如下图。此时，
左、右像片的相对方位元素为,
左像片,
右像片,
由于 只影响相对定向后建立的模型大小，而不影
响模型的建立，因此，相对定向需要解求的元素只有
5个，即 称为连续像对相对定向元素。
0,0,0,0,0,0 111111 ?????? kZYX SSS ??
222111,,,,,kbZbYbX zSySxS ?????
xb
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2 单独像对相对定向元素
单独像对相对定向是以摄影基线作为像空间辅助坐标
系的 X轴，以左摄影中心 S1为原点，左像片主光轴与
摄影基线 B组成的主核面为 XZ平面，构成右手直角坐
标系 S1－ X1Y1Z1。此时，左、右像片的相对方位元
素为,
左像片,
右像片,
由于 只影响相对定向后建立的模型大小，而不影
响模型的建立，因此，相对定向需要解求的元素只有
5个，即 称为单独像对相对定向元素。
111111,0,,0,0,0 kZYX SSS ???? ??
222111,,,0,0,kbZbYbX zSySxS ???????
xb
22211,,,,k????
二、解析法相对定向原理
从两个摄站对同一地面摄取一个立体像对时，同名射线
对对相交于地面点，见下图，此时，若保持两张像片之
间相对位置和姿态关系不变．将两张橡片整体移动时，
同名射线对对相交的特性也不发生变化。反过来，若完
成了相对定向，恢复两张像片的相对定向元素，就能实
现同名射线对对相交，建立相对立体模型。因此，同名
射线对对相交是相对定向的理论基础。
1.相对定向的共面条件
如图所示,和 为一对同名射线。其矢量用
和 表示，摄影基线矢量用 表示。同名射线对
对相交，表明射线 位于同一平面内，亦
即三矢量共面。根据矢量代数，三矢量共面，它们的
混合积等于零，即
上式即为共面条件方程，其值为零的条件是完成相
对定向的标准，用于解求相对定向元素。
11aS 22aS
?
11aS
?22aS ?B
11aS 22aS ?B
0)( 2211 ??? ??? aSaSB
2.连续像对相对定向
连续像对相对定向是以左像片为基准，求出右像片相
对于左像片的 5个定向元素，即
以左像片的像空间坐标系作为像空间辅助坐标系，记
为 S1— X1Y1 Z1，过右摄影中心作另一像空间辅助坐
标系 S2— X2Y2 Z2,两者的相应坐标轴相互平行。此
时,a1,a2在各自的像空间辅助坐标系中的坐标分别为：
（ X1,Y1,Z1 ）和（ X2, Y2, Z2 ）,S2在 S1—
X1Y1 Z1 中的坐标为,则上述 共面条件方程
式可以用坐标表示为；
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其中,R是右像片相对于像空间辅助坐标系的三个
角元素的 函数．由于 只涉及模型比例尺，
相对定向中可给予定值，因此，只有 5个相对定向元
素 为未知值。
k,,?? xb
kbb zy,,,,??
由右图可以看出,
进而，共面条件方程变为,
上式是非线性函数，按照泰勒级数展开，取到一次项，
使之线性化。
F0为用未知数的近似值及给定的 bx代入计算出的。
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00 ????????????????? dkkFdFdFdFdFFF ????????
要求出上式中的偏导数，必须先求得偏导数
因推导过程只考虑一次项，所以坐标变换矩阵可以用旋转矩阵的
小值一次项来表示,
对上式分别对 求导数，得,
k
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将上式展开后，除以 bx，并略去二次项，得
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由前方交会公式的推导可知
如果再近似取,并将上个幻灯片中的 (a)式
左右两侧同乘以 则有
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其中,N1为左投影点 a1的投影系数
???? dZYbxb x ddkNXdZYZdNZ YXb x ZNFQ
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1
20
上两式便是连续像对相对定向的作业公式。在立体像
对中每量测一对同名像点的像点坐标 (X1,Y1)和
(X2,Y2)，就可以列出一个 Q方程式。由于式有 5个未
知数,因此，至少需要量测 5对同名像点、
当有多余观测值时，将 Q视为观测值，由此得到误差
方程式；
利用误差方程式，接最小二乖原理组成法方程，解求
出未知数，即 5个相对定向元素的改正数。
kbb zy,,,,??
QdZYbxb x ddkNXdZYZdNZ YXV Q ???????? ????
2
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2
2
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2
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三,相对定向元素解算过程
摄影测量中，相对定向常用 6个标准点位
来解求，点位分布如右图，并按图中位置
命名为 1,2,3,4,5,6点、其中,l,2
点位于像主点 O1,O2邻近的明显点，各点
距边界的距离应大于 1.5cm，而且,1,3,
5三点和 2,4,6三点尽量位于与 O1O2连线
垂直的直线上。
利用 6对相对定向点的像点坐标，可以组成
误差方程式，并解之。
四、模型点坐标的计算
相对定向元素正确求得之后，立
体模型就建立起来了，但此时的
立体模型的方位与大小都是任意
的。
思考：为什么？
计算单个模型中各模型点的坐标
可以按照立体像对前方交会公式
进行,
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112
1221
221,ZXZX XbZbNZXZX XbZbN zxzx ??????
于是，模型内各模型点的坐标为,
左摄站点坐标,
右摄站点坐标,
一般模型点坐标,
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S
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XNXX
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ym
Sm
Ym 坐标取平均是考虑相对定向中残余上下差视差的
存在，取均值之后可消除残差的影响。
另外，由于相对定向中使用的基线分量
由此计算出的 也均为实际摄影基线分量
缩小 m倍的数值，所以将上式中乘以像片比例尺分母
m，将模型点改到地面。
m
Bxxb X
x ??? )( 21
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BB,
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11
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m
m
m
第八节 解析法绝对定向
相对定向建立的立体模型，是一个以相对定向中选定
的像空间辅助坐标系为基准的模型，比例尺也是未知
的。要确定立体模型在地面测量坐标系中的正确位置，
则需要把模型点的摄影测量坐标转化为地面测量坐标、
这一工作需要借助于地面测量坐标为已知值的地面控
制点来进行，称为立体模型的绝对定向、所以，解析
法绝对定向的目的就是将相对定向后求出的摄影测量
坐标变换为地面测量坐标。
由于地面测量坐标系为左手直角坐标系，而摄影测量
坐标系为右手直角坐标系，因此，应首先将地面测量
坐标系转换为地面摄影测量坐标系。
我们知道，一个像对的两张像片有十二个外方位元素，
相对定向求得五个元素后，要恢复像对的绝对位置，还
要解求七个绝对定向元素，包括模型的旋转、平移和缩
放。它需要地面控制点来解求，这种坐标变换，在数学
上为一个不同原点的三维空问相似变换，其公式为,
为模型点的地面摄影测量坐标,
为同一模型点的摄影测量坐标,为模型缩放比例因子
为坐标原点的平移量。
)(,
321
321
321
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X
Z
Y
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bbb
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ZYX,,
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一、绝对定向基本公式
上式中地面摄影测量坐标为已知值，摄影测量坐标为
经相对定向后计算出的值，由于上式是一个非线性函
数，为便于计算，首先将其线性化。为此,引入七
个绝对定向元素的初始值及改正数,
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0
0
将 (a)式按照泰勒级数展开
式中,F0为用绝对定向元素近似值代入得到的近似值，考虑小角
度的情况，则旋转矩阵的近似表达式为
对上式求微分，代入 (a)式，取小值一次项，经整理得,
ZdZFYdYFXdXFdKKFdFdFdFFF ?????????????????????????????? ????0
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tp
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0
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0
00
上式中有 7个未知数，至少需列 7个方程，则至少需
要两个平高控制点和一个高程控制点，而且三个控
制点不能在同一条直线上。
为计算方便，常写成如下形式
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V
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将 写成,而 则写成
于是，上式为计算方便，常写成如下形式
式中,
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实际绝对定向计算中，为了简便计算，常选模型的重心
为坐标系的原点，用 g表示，以重心为原点的坐标称
为重心化坐标。
相应的重心化坐标为,
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Z
Z
n
Y
Y
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X
X
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pg
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同理，控制点的地面重心坐标为,
重心化的地面摄影测量坐标为
重心化坐标代入绝对定向的基本公式
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Z
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得到用重心化坐标表示的误差方程式,
其中,
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求出绝对定向元素以后，将未知点的重心化摄影
测量坐标，求出相应的重心化的地面摄影测量坐
标，然后反求出地面摄影测量坐标，最后将地面
摄影测量坐标转回到地面测量坐标，提交成果。
前两种方法都是分成两步进行
思考：第一种方法分为哪两步？
第二种方法分为哪两步？
光束法将求解外方位元素和待求点的地面坐标合到一步完成，该
法理论较为严密。 又称一步定向法。
光束法是以共线方程为基础的
上式中除了外方位元素为未知数外，待求点的坐标也是未知数。
将上式线性化后得下式（ 1）,
思考：为什么要线性化？
在保证共线条件下，有如下关系式（ 2）成立,
将上个关系式（ 2）带入式（ 1）得下面一般式（ 3）
对于立体像对而言，同名点应能列出两组共线方程，假设上式
（ 3）表示左像片像点的误差方程，下式（ 4）代表右像片同名
像点的误差方程：有下式（ 4）：用撇号表示
思考：对于 n个待求点和 m个地面控制点，共多少个未知数，能列
出多少个方程？
将上式（ 3）和式（ 4）用矩阵可以表示为下页的式（ 5）
思考：未知数的初始值如何确定？
思考：为什么光束法的精度高？
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