化工原理
太原理工大学
化学化工学院
Principles of Chemical Engineering
第一章 流体流动
Fluid Flow
--内容提要 --
流体的基本概念
静力学方程及其应用
机械能衡算式及柏努 利方程
流体流动的现象
流动阻力的计算、管路计算
第一章 流体流动,学习要求
1,本章学习目的
通过本章学习, 重点掌握流体流动的 基本原理, 管
内流动的规律, 并运用这些原理和规律去分析和解决流
体流动过程的有关问题, 诸如：
（ 1） 流体输送,流速的选择, 管径的计算, 流体
输送机械选型 。
（ 2） 流动参数的测量, 如压强, 流速的测量等 。
（ 3） 建立最佳条件,选择适宜的流体流动参数,
以建立传热, 传质及化学反应的最佳条件 。
此外, 非均相体系的分离, 搅拌 （ 或混合 ） 都是流
体力学原理的应用 。
2 本章应掌握的内容
（ 1） 流体静力学基本方程式的应用；
（ 2） 连续性方程, 柏努利方程的物理意义, 适用
条件, 解题要点；
（ 3） 两种流型的比较和工程处理方法；
（ 4） 流动阻力的计算；
（ 5） 管路计算 。
3,本章学时安排
授课 14学时，习题课 4学时。
1.1 概述
流体流动规律是本门课程的重要基础, 主要原因有
以下三个方面：
（ 1） 流动阻力及流量计算
（ 2） 流动对传热, 传质及化学反应的影响
（ 3） 流体的混合效果
化工生产中，经常应用流体流动的
基本原理及其流动规律解决关问题。 以
图 1-1为煤气洗涤装置为例来说明,
流体动力学问题：流体（水和煤气）
在泵（或鼓风机）、流量计以及管道中
流动等；
流体静力学问题：压差计中流体、
水封箱中的水 图 1-1 煤气洗涤装置
确定流体输送管路的直径，
计算流动过程产生的阻力和
输送流体所需的动力。
根 据阻力与流量等参数
选择输送设备的类型和型号，
以及测定流体的流量和压强
等。
流体流动将影响过程系
统中的传热、传质过程等，
是其他单元操作的主要基础。
图 1-1 煤气洗涤装置
1.1 概述
1.1.1 流体的分类和特性
气体和流体统称流体。流体有多种分类方法：
（ 1） 按状态分为气体, 液体和 超临界流体等；
（ 2） 按可压缩性分为不可压流体和可压缩流体；
（ 3） 按是否可忽略分子之间作用力分为理想流体与粘
性流 体 （ 或实际流体 ） ；
（ 4） 按 流变特性可分为牛顿型和非牛倾型流体；
流体区别于固体的主要特征是具有流动性, 其形状随容器形状
而变化；受外力作用时内部产生相对运动 。 流动时产生内摩擦从而
构成了流体力学原理研究的复杂内容之一
1.1.2 流体流动的考察方法
流体是由大量的彼此间有一定间隙的单个分子所组成 。 在物
理化学 （ 气体分子运动论 ） 重要考察单个分子的微观运动, 分子的
运动是随机的, 不规则的混乱运动 。 这种考察方法认为流体是不连
续的介质, 所需处理的运动是一种随机的运动, 问题将非常复杂 。
1.1.2.1 连续性假设 (Continuum hypotheses)
在化工原理中 研究流体在静止和流动状态下的规律性时, 常
将流体视为由无数质点组成的连续介质 。
连续性假设,假定流体是有大量质点组成, 彼此间
没有间隙, 完全充满所占空间连续介质, 流体的物性及
运动参数在空间作连续分布, 从而可以使用连续函数的
数学工具加以描述 。
1.1.2.2 流体流动的考察方法
① 拉格朗日法 选定一个流体质点, 对其跟踪观
察, 描述其运动参数 （ 位移, 数度等 ） 与时间的关系 。
可见, 拉格朗日法描述的是同一质点在不同时刻的状
态 。
② 欧拉法 在固定的空间位置上观察 流体质点的
运动情况, 直接描述各有关参数在空间各点的分布情
况合随时间的变化, 例如对速度 u,可作如下描述：
x x y z(,,,),(,,,),(,,,)yzu f x y z t u f x y z t u f x y z t? ? ?
1.1.2 流体流动的考察方法
任取一微元体积流体作为研究对象，进行受力
分析，它受到的力有 质量力（体积力） 和表面力两类。
（ 1）质量力（体积力） 与流体的质量成正比，
质量力对于均质流体也称为体积力 。 如 流体在重力场中所
受到的重力和在离心力场所受到的离心力, 都是质量力。
（ 2）表面力 表面力与作用的表面积成正比。单
位面积上的表面力称之为应力 。
① 垂直于表面的力 p，称为压力（ 法向力） 。
单位面积上所受的压力称为压强 p。
② 平行于表面的力 F,称为剪力 （ 切力 ） 。
单位面积上所受的剪力称为应力 τ。
1.1.3 流体流动中的作用力
1.2.流体静力学基本方程 ( Basic equations of fluid
statics )
? * 本节主要内容
? 流体的密度和压强的概念、单位及换算等；
在重力场中的静止流体内部压强的变化规律及其
工程应用。
? * 本节的重点
? 重点掌握流体静力学基本方程式的适用条件
及工程应用实例。
? * 本节的难点
? 本节点无难点。
1.2 流体静力学基本方程
流体静力学主要研究流体流体静止时其内部压强变
化的规律。 用描述这一规律的数学表达式，称为流体静
力学基本方程式。先介绍有关概念：
1.2.1 流体的密度
单位体积流体所具有的质量称为流体的密度。以 ρ表
示，单位为 kg/m3。
（ 1-1)
式中 ρ---流体的密度,kg/m3 ；
m---流体的质量,kg；
V---流体的体积,m3。
当 ΔV→ 0时,Δm/ΔV 的极限值称为流体内部的某点
密度。
1.2.1.1 液体的密度
液体的密度几乎不随压强而变化,随温度略有改
变，可视为不可压缩流体。
纯 液体的密度可由实验测定或用查找手册计算的方
法获取。
混合液体的密度，在忽略混合体积变化条件下，
可用下式估算（以 1kg混合液为基准），即
（ 1-2）
式中 ρi ---液体混合物中各纯组分的密度,kg/m3；
αi ---液体混合物中各纯组分的质量分率。
1.2.1 流体的密度
1.2.1.2 气体的密度
气体是可压缩的流体，其密度随压强和温度而变化。
气体的密度必须标明其状态。
纯气体的密度一般可从手册中查取或计算得到。当压
强不太高、温度不太低时，可按理想气体来换算：
（ 1-3）
式中 p ── 气体的绝对压强,Pa(或采用其它单位 )
M ── 气体的摩尔质量,kg/kmol；
R ──气体常数,其值为 8.315；
T ──气体的绝对温度,K。
1.2.1 流体的密度
? 对于混合气体，可用平均摩尔质量 Mm代替 M。
? （ 1-4）
? 式中 yi ---各组分的摩尔分率（体积分率或压强分率）。
( "0" 表示
标准状态 )
(1-3a)
1.2.1.2 气体的密度
或
1.2.2 流体的压强及其特性
垂直作用于单位面积上的表面力称为流体的静压强,
简称压强 。 流体的压强具有点特性。 工程上习惯上将压
强称之为压力。
在 SI中，压强的单位是帕斯卡，以 Pa表示。但习惯
上还采用其它单位，它们之间的换算关系为：
（ 2） 压强的基准
压强有不同的计量基准：绝对压强、表压强、真
空度。
1.2.2.1 流体的压强
（ 1） 定义和单位
.
1atm=1.033 kgf/cm2 =760mmHg=10.33mH2O
=1.0133 bar =1.0133× 105Pa
1.2.1.1 流体的压强
绝对压强 以绝对零压作起点计算的压强，是流体
的真实压强。
表压强 压强表上的读数，表示被测流体的绝对压
强比大气压强高出的数值，即,
表压强＝绝对压强－大气压强
真空度 真空表上的读数，表示被测流体的绝对压
强低于大气压强的数值，即,
真空度＝大气压强－绝对压强
绝对压强，表压强，
真空度之间的关系见图 1-2。
图１－２压强的基准和量度
1.2.1.2 流体压强的特性
流体压 强 具有以下两个 重要特性,
① 流体压力处处与它的作用面垂直，并且总是指
向流体的作用面；
② 流体中任一点压力的大小与所选定的作用面在
空间的方位无关。
熟悉压力的各种计量单位与基准及换算关系，对
于以后的学习和实际工程计算是十分重要的。
z
o
1.2.3 流体静力学基本方程
( Basic equations of fluid statics )
?推导过程 使用条件 物理意义 工程应用
1.2.3.1方程式 推导
图 1-3所示的容器中盛有密度为
ρ的 均质, 连续不可压缩静止液体 。
如 流体所受的体积力仅为重力, 并取
z轴方向与重力方向相反 。 若以容器
底为基准水平面, 则液柱的上, 下底
面与基准水平面的垂直距离分别为 Z1、
Z2。 现于液体内部任意划出一底面积
为 A的垂直液柱 。
图 1-3流体静力学
基本方程推导
?
? （ 1） 向上作用于薄层下底的总压力, PA
（ 2） 向下作用于薄层上底的总压力, （ P+dp） A
（ 3） 向下作用的重力,
由于流体处于静止, 其
垂直方向所受到的各力代数
和应等于零, 简化可得：
?
?
?
z
o
gAdz?
zgp dd ???
1.2.3.1方程式 推导
图 1-3 流体静力学基本方程推导
1.2.3.1 流体静力学基本方程式 推导
? 在 图 1-4中的 两个垂直位置 2 和 1 之间对上式作定积分
?
由于 ? 和 g 是常数，故
????? zzpp zgp 1
2
1
2
d-d?
（ 1-5）
（ 1-5a）
若将图 1-4中的点 1移至液面上（压强为 p0），则式 1-5a变为,
上三式统称为流体静力学基本方程式。
图 1-4 静止液体内压力的分布
（ 1-5b）
P
a
J/k
g
1.2.3.2流体静力学基本方程式讨论
(1)适用条件
重力场中静止的，连续的同一种不可压缩流体 (或 压力
变化不大的可压缩流体,密度可近似地取其平均值 ） 。
（ 2）衡算基准
衡算基准不同,方程形式不同。
若将 （ 1-5） 式各项均除以密度，可得
将式 (1-5b)可改写为：
压强或压强差的大小可用某种液体的液柱高度表示,但必须注
明是何种液体 。
m
m
（ 1-5c）
（ 1-5d）
1.2.3.2流体静力学基本方程式讨论
(3) 物理意义
(i) 总势能守恒
重力场中 在同一种静止流体中不同高度上的微元
其静压能和位能各不相同，但其总势能保持不变。
(ii) 等压面
在静止的、连续的同一种液体内，处于同一水平面
上各点的静压强相等 ---等压面 （静压强仅与垂直高度
有关，与水平位置无关）。 要正确确定等压面。
静止液体内任意点处的压强与该点距液面的距离
呈线性关系，也正比于液面上方的压强。
(iii) 传递定律
液面上方的压强大小相等地传遍整个液体。
1.2.4 静力学基本方程式的应用
流体静力学原理的应用很广泛，它是连通器和液柱
压差计工作原理的基础，还用于容器内液柱的测量，液
封装置，不互溶液体的重力分离（倾析器）等。解题的
基本要领是正确确定等压面。本节介绍它在测量液体的
压力和确定液封高度等方面的应用。
1.2.3.1 压力的测量
测量压强的仪表很多，现仅介绍以流体静力学基本
方程式为依据的测压仪器 ---液柱压差计。 液柱压差计可
测量流体中某点的压力，亦可测量两点之间的压力差。
常见的液柱压差计有以下几种。
a) 普通 U 型管压差计
b) 倒 U 型管压差计
c) 倾斜 U 型管压差计
d) 微差压差计
( a )
R
?
0
( b )
a
?
0
( c )
?
R 1
?
0
( d )
?
01
?
02
p
1
p 2
p
1
p 2
p 1 p 2
p
1
p 2
b
a
R
b
a b
a b
图 1-５ 常见 液柱压差计
（ａ）普通 U 型管压差计
p0 p0
?0
p1 2>
R
a b
U 型管内位于同一水平面上
的 a,b 两点在相连通的同一静
止流体内，两点处静压强相等
? ?gRpp ?? ??? 021
?式中 ρ —— 工作介质密度；
ρ0—— 指示剂密度；
R —— U形压差计指示高度,m；
—— 侧端压差,Pa。
若被测流体为气体，其密度较指
示液密度小得多，上式可简化为
gRpp 021 ???
21pp?
（ 1-6）
（ 1-6a）
(b) 倒置 U 型管压差计（ Up-side down manometer）
用于测量液体的压差，指示剂密度
? 0 小于被测液体密度 ?, U 型管内位
于同一水平面上的 a,b 两点在相连通
的同一静止流体内，两点处静压强相等
由指示液高度差 R 计算压差
若 ? >>?0
gRpp ??? 21
?
0
p 1 p 2
a
R
b
? ?gRpp 021 ?? ??? （ 1-7）
（ 1-7a）
(c)微差压差计
在 U形 微差压计 两侧臂的上端装有扩张
室，其直径与 U形管直径之比大于 10。当测
压管中两指示剂分配位置改变时，扩展容器
内指示剂的可维持在同水平面 压差计内装有
密度分别为 ? 01 和 ? 02 的两种指示剂。 上。
有微压差 ?p 存在时，尽管两扩大室液
面高差很小以致可忽略不计，但 U型管内却
可得到一个较大的 R 读数。
对一定的压差 ? p,R 值的大小与所用的指示剂密
度有关，密度差越小,R 值就越大，读数精度也越高。
?
01
?
02
p
1
p 2
a b
? ? gRpp 020121 ?? ??? （ 1-8）
【 例 2-1】
如图所示密闭室内装有测定
室内气压的 U型压差计和监测水
位高度的压强表。指示剂为水银
的 U型压差计读数 R 为 40mm，
压强表读数 p 为 32.5 kPa 。
试求：水位高度 h。
解,根据流体静力学基本原理，
若室外大气压为 pa，则室内气压
po 为
R
h
P
p a
p a
p 0
gRpgRpp gg HagHao ??? ????? )(
ghppgRp OHaHa g 2)( ?? ????
mg gRph
OH
Hg 77.2
81.91 0 0 0
81.91 3 6 0 004.0105.32 3
2
?? ??????? ? ?
例 2-1附图
1.2.3.2 液封高度
液封在化工生产中被广泛应用：通过液封装置的液
柱高度, 控制器内压力不变或者防止气体泄漏。
为了控制器内气体压力不超过给定的数值，常常使
用安全液封装置（或称水封装置）如图 1-6，其目的是确
保设备的安全，若气体压力超过给定值，气体则从液封
装置排出。
图 1-6 安全液封
1.2.3.2 液封高度
液封还可达到防止气体泄漏的目的，而且它的密
封效果极佳，甚至比阀门还要严密。例如煤气柜通常
用水来封住，以防止煤气泄漏。 液封高度可根据静力
学基本方程式进行计算。设器内压力为 p（表压），水
的密度为 ρ,则所需的液封高度 h0 应为
为了保证安全，在实际安装时使管子插入液面下
的深度应比计算值略小些，使超压力及时排放；对于
后者应比计算值略大些，严格保证气体不泄漏 。
（ 1-9）
小结
? ▲ 密度具有点特性，液体的密度基本上不随压强而
变化，随温度略有改变；气体的密度随温度和压强而
变。混合液体和混合液体的密度可由公式估算。
? ▲与位能基准一样，静压强也有基准。工程上常用
绝对压强和表压两种基准。在计算中，应注意用统一
的压强基准。
? ▲压强具有点特性。流体静力学就是研究重力场中，
静止流体内部静压强的分布规律。
? ▲对流体元 (或流体柱 )运用受力平衡原理，可以得
到流体静力学方程。流体静力学方程表明静止流体内
部的压强分布规律或机械能守恒原理。
? ▲ U形测压管或 U形压差计的依据是流体静力学原理。
应用静力学的要点是正确选择等压面。
1.3 流体流动的基本方程 ( Basic equations of
fluid flow ）
* 本节内容提要
主要是研究和学习流体流动的宏观规律及不同形
式的能量的如何转化等问题，其中包括：
（ 1）质量守恒定律 —— 连续性方程式
（ 2）能量守恒守恒定律 —— 柏努利方程式
推导思路、适用条件、物理意义、工程应用。
* 本节学习要求
学会运用两个方程解决流体流动的有关计算问题
方程式子 — 牢记 灵活应用 高位槽安装高度?
物理意义 — 明 确 解决问题 输送设备的功率?
适用条件 — 注 意
1.3 流体流动的基本方程 （ 流体动力学）1.3 流体流动的基本方程 ( Basic equations offluid flow ）
* 本节重点
? 以连续方程及柏努利方程为重点，掌握这两个
方程式推导思路、适用条件、用柏努利方程解题的
要点及注意事项。通过实例加深对这两个方程式的
理解。
* 本节难点
? 无难点，但在应用柏努利方程式计算流体流动
问题时要特别注意流动的连续性、上、下游截面及
基准水平面选取正确性。正确确定衡算范围（上、
下游截面的选取）是解题的关键。
本节主要是研究流体流动的宏观规律及不同形式
的能量的如何转化等问题,先介绍有关概念：
1.3.1 流量与流速
1.3.1.1 流量
流量有两种计量方法：体积流量、质量流量
体积流量 -----以 Vs表示，单位为 m3/s。
质量流量 -----以 Ws 表示，单位为 kg/s。
体积流量与质量流量的关系为：
（ 1-10）
由于气体的体积与其状态有关, 因此对气体的体积流量,
须说明它的温度 t和压强 p。 通常将其折算到 273.15K,
1.0133× 105 Ｐ a 下的体积流量称之为, 标准体积流量
（ Nm3/h ）, 。
1.3 流体流动的基本方程 ( Basic equations of
fluid flow ）
1.3.1.2 流速
a,平均流速（简称流速） u
流体质点单位时间内在流动方向上所流过的距离，
称为流速，以 u表示，单位为 m/s 。
流体在管截面上的速度分布规律较为复杂，工程上
为计算方便起见，流体的流速通常指整个管截面上的平
均流速，其表达式为：
u=Vs/A （ 1-11）
式中, A—— 垂直于流动方向的管截面积, m2。
故 （ 1-12）
1.3.1 流量与流速
1.3.1.2 流速
b,质量流速 G
单位截面积的管道流过的流体的质量流量，
以 G表示，其单位为 kg/(m2·s)，其表达式为
（ 1-13）
由于气体的体积随温度和压强而变化，在管
截面积不变的情况下，气体的流速也要发生变
化，采用质量流速为计算带来方便。
1.3.2非稳态流动与稳态流动
非稳态流动,各截面上流体的有关参数（如流速、
物性、压强）随位置和时间而变化,T = f(x,y,z,t)。如
图 1-7a所示流动系统。
稳态流动：各截面上流动参数 仅随空间位置的改
变而变化，而 不随时间变化,T = f(x,y,z) 。如图 1-7b
所示流动系统。
化工生产中多属
连续稳态过程。 除开
车和停车外，一般只
在很短时间内为非稳
态操作，多在稳态下
操作。
本章着重讨论稳态流动问题 。 图 1-7 流动系统示意图
1.3.3 连续性方程 （ Equation of continuity ）
（ 1）推导
连续性方程是质量守恒定律的一种表现形式，本
节 通过物料衡算 进行推导。
在稳定 连续 流动系统中，对直径不同的管段作物料
衡算,如图 1-8所示。以管内壁,截面 1-1′ 与 2-2′ 为
衡算范围。 由于把流体视连续为介质，即流体充满管道,并连续
不断地从截面 1-1′ 流入、从截面 2-2′ 流出。
对于连续稳态的一维流动，
如果没有流体的泄漏或补充，
由物料衡算的基本关系：
输入质量流量 =输出质量流量
图 1-8 连续性方程的推导
? 若以１ s为基准，则物料衡算式为,
? ws1=ws2
? 因 ws=uAρ,故上式可写成,
?
(1-14)
? 推广到管路上任何一个截面，即,
? (1-14a)
?
? 式 (1-14),(1-14a)都称为管内稳定流动的连续性
方程式。它反映了在稳定流动系统中，流体流经各截
面的质量流量不变时，管路各截面上流速的变化规律。
此规律与管路的安排以及管路上是否装有管件、阀门
或输送设备等无关。
1.3.3 连续性方程 （ Equation of continuity ）
1.3.3 连续性方程 （ Equation of continuity ）
?（ 2）讨论
? 对于 不可压缩的流体 即,ρ ＝常数，可得到
? (1-15)
? (1-15a)
?
?
? (1-16)
?
对于 在圆管内作稳态流动 的不可压缩流体：
2
2
1
1
2
1
12 ???
?
???
???
d
du
A
Auu
（ 3）适用条件
流体流动的连续性方程式仅适用于稳定流动时
的连续性流体。
1122 uAuA ?
1.3.4 总 能量衡算方程式和柏努利方程式
(Conservation of mechanical energy and Bernoulli equation）
柏努利方程式是流体流动中机械能守恒和转化
原理的体现。
柏努利方程式的推导方法一般有两种
（ 1）理论解析法 比较严格,较繁琐
（ 2）能量衡算法 比较直观,较 简单
本节采用后者。
推导思路：从解决流体输送问题的实际需要出
发，采取逐渐简化的方法，即先 进行流体系统的总
能量衡算（包括热能和内能 ） 流动系统的机械
能衡算（消去热能和内能 ） 不可压缩流体稳态
流动的机械能衡算 — 柏努利方程式 。
1.3.4.1流动系统的总能量衡算 （ 包括热能和内能 ）
在图 1-9所示的系统中，流体从截面 1-1′ 流
入，从截面 2-2′ 流出。 管路上装有对流体作功的
泵 及向流体输入或从流体取出热量的 换热器 。
并假设：
（ a）连续稳定流体；
（ b）两截面间无旁路
流体输入、输出；
（ c）系统热损失 QL=0。
图 1-9 流动系统的总能量衡算
衡算范围,内壁面,1-1′
与 2-2′ 截面间。
衡算基准,1kg流体。
基准水平面,o-o′ 平面。
u1,u2── 流体分别在截面 1-1′ 与 2-2′ 处的流速,m/s
p1,p2 ── 流体分别在截面 1-1′ 与 2-2′ 处的压强,N/m２ ；
Z１, Z２ ── 截面 1-1′ 与 2-2′ 的中心至 o-o′ 的垂直距离,m；
A1,A2 ── 截面 1-1′ 与 2-2′ 的面积,m2；
v1,v2 ── 流体分别在截面 1-1′ 与 2-2′ 处的比容,m3/kg；
ρ 1, ρ 2── 流体分别在截面 1-1′ 与 2-2′ 处的密度,kg/ m3。
1.3.4.1流动系统的总能量衡算 （ 包括热能和内能）
能 量
形 式
意 义 １ kg流体的能量 J/kg
输 入 输 出
内能 物质内部能量的总和 U1 U2
位能 将 1kg的流体自基准水平面
升举到某高度 Z所作的功
gZ1 gZ2
动能 将 1kg的流体从静止加速到
速度 u所作的功
静压能 1kg流体克服截面压力 p所
作的功 （ 注意理解静压能
的概念） p1v1 p2v2
热
换热器向 1 kg流体供应的
或从 1kg流体取出的热量
Qe（ 外界
向系统为正）
外功 1kg流体通过泵 (或其他输
送设备 )所获得的有效能量）
We
表 1-1 1kg 流体进、出系统时输入和输出的能量
2112u 2212u
1.3.4.1流动系统的总能量衡算 （ 包括热能和内能）
根据能量守恒定律，连续稳定流动系统的能量衡算：
可列出以１ kg流体为基准的能量衡算式，即,
（ 1-17）
此式中 所包含的能量有两类,机械能 （位能、动
能、静压能、外功也可归为此类）,此类能量可以相互转
化 ； 内能 Δ U和 热 Qe,它们不属于机械能，不能直接转变
为用于输送流体的机械能 。 为得到适用流体输送系统的机
械能变化关系式，需将 Δ U和 Qe消去。
=??输 入 能 输 出 能
1.3.4.1流动系统的总能量衡算 （ 包括热能和内能 ）
根据热力学第一定律：
（ 1-18）
式中 为 1kg流体从截面 1-1′ 流到截面 2-2′ 体
积膨胀功,J/kg； Qe′ 为 1kg流体在截面 1-1′ 与 2-2′
之间所获得的热,J/kg。
而 Qe′= Qe +∑ hf
其中 Qe为 1 kg流体与环境 (换热器 )所交换的热； ∑ hf
是 1 kg流体在截面 1-1′ 与 2-2′ 间流动时，因克服流动
阻力而损失的部分机械能,常称为 能量损失, 其单位为
J/kg。 （有关问题后面再讲）
2
1
pdv???
2
1
'1 v
vU Q p d v? ? ? ?
1.3.4.2 机械能衡算式（ 消去热能和内能）
又因为
故式（ 1-17）可整理成,
（ 1-19）
式 (1-19)是表示 1 kg流体稳定流动时的机械能衡算
式，对可压缩流体与不可压缩流体均可适用 。式
中 一项对可压缩流体与不可压缩流体积分
结果不同，下面 重点讨论流体为不可压缩流体 的
情况
2
1
p
p dp??
22
11
2
1( ) ( )
vpp v d p v p d v v d p? ? ? ?? ? ?
2
1
2
12
p
fp
ug Z v d p W h? ? ? ? ? ? ??
1.3.4.2 机械能衡算式 （ 消去热能和内能）
（ 1） 不可压缩有粘性 实际流体,有外功输入, 稳态流动
实际流体（粘性流体），流体流动时产生流动阻
力 ；不可压缩流体的比容 v或密度 ρ 为常数，
故有
该式是 研究和解决不可压缩流体流动问题的最基
本方程式,表明流动系统能量守恒，但机械能不守恒。
0fh ??
2
1 21
()pp pd p p p?? ??? ? ??
1.3.4.3不可压缩流体稳态流动的机械能衡算
—— 柏努利方程式
（ 1-20 ）
以单位质量 1kg流体 为衡算基准,式 (1-19)可改
写成,
J/kg
（ 1） 不可压缩有粘性 实际流体,无外功输入, 稳态流动
? 以单位重量 1N流体 为衡算基准。将式 (1-20)各
? 项除以 g,则得,
(1-20a)
式中 为输送设备对流体 1N所提供的有效压头，
是输送机械重要的性能参数之一,为 压头损失，
Z,u2/2g, p/ρ g 分别称为位压头、动压头、静压头。
m
? 以单位体积 1m3流体 为衡算基准。
? 将式 (1-20)各项乘以流体密度 ρ,则：
其中,为输送设备（风机）对流体
1m3所提供的能量（全风压），是选择输送设备的
（风机）重要的性能参数之一。
（ 1-21b）
TeHW??
（ 1） 不可压缩有粘性 实际流体,无外功输入, 稳态流动
Pa
（ 1-20）
（ 2） 不可压缩有粘性 实际流体,无外功输入, 稳态流动
对于不可压缩流体、具粘性的实际流体,因其在流
经管路时产生磨擦阻力，为克服磨擦阻力，流体需要消
耗能量，因此, 两截面处单位质量流体所具有的总机械
能之差值即为单位质量流体流经该截面间克服磨擦阻力
所消耗的能量 。
22
1 1 2 2
12 f
u p u pg Z g Z h
??? ? ? ? ? ? ?
1.3.4.3不可 压缩流体稳态流动的机械能衡算
—— 柏努利方程式
J/k
g
（ 1-21 ）
（ 3） 不可压缩 不具有粘性 的理想流体 （ 或其摩擦
损失小到可以忽略 ）, 无外功输入, 稳态流动
理想流体（ 不具有粘性,假想流体） ∑ hf=0。
若 又没有外功加入 We=0时，式 (1-21)便可简化为：
表明流动系统理想流体总机械能 E（位能、
动能、静压能之和）相等，且可相互转换。
(1-22)
1.3.4.3不可压缩流体稳态流动的机械能衡算
—— 柏努利方程式
J/kg
当流体静止时,u=0； ∑ hf=0；
也无需外功加入，即 We =0，故
可见,流体的静止状态只
不过是流动状态的一种特殊形式
（ 3） 不可压缩流体, 静止流体 —— 静力学基本方程式
J/kg
1.3.4.3不可压缩流体稳态流动的机械能衡算
—— 柏努利方程式
用简单的实验进一步说明 。 当关闭阀时，所有测
压内液柱高度是该测量点的压力头，它们均相等，且与
1-1截面处于同一高度。
当流体流动时，若 ∑ hf=0
（ 流动阻力忽略不计），不同
位置的液面高度有所降低，
下降的高度是动压头的体现。
如图 1-10中 2-2平面所示。
1.3.4.4 柏努利方程式实验演示
图 1-10 理想流体的能量分布
当有流体流动阻力时
流动过程中总压头逐渐下降，
如图 1-11所示。
结论：
不论是理想流体还是
实际流体，静止时，它们的
总压头是完全相同。
流动时，实际流体各点的
液柱高度都比理想流体对应点的低，其差额就是由于阻
力而导致的压头损失。
实际流体流动系统机械能不守恒，但能量守恒。
图 1-11实际流体的能量分布
1.3.4.4 柏努利方程式实验演示
（ 1）适用条件
在衡算范围内是 不可压缩、连续稳态 流
体，同时要注意是 实际流体还是理想流体，
有无外功加入的情况又不同。
（ 2）衡算基准
1.3.4.5 柏努利方程的讨论及应用注意事项
J/kg
Pa
m
1kg
1N
1m3
序
号
适 用
条 件
方 程 形 式
以单位质量
流体为基准
以单位重量
流体为基准
1
① 稳定流动②有
外功输入③不可
压缩、实际流体
2
① 稳定流动②无
外功输入③不可
压缩理想流体
3 ① 不可压缩流体②流体处于静止
状态
2
11
1
2
22
2
2
2
e
f
pugZ W
pugZ h
?
?
? ? ? ?
? ? ? ?
12
12
ppZZ
gg??? ? ?
表 1-1 柏努利方程的常用形式及其适用条件
1.3.4.5 柏努利方程的讨论及应用注意事项
(3)式中各项能量所表示的意义
上式中 gZ,u2/2,p/ρ 是指在某截面上流体本
身所具有的能量； ∑ hf是指流体在两截面之间所消
耗的能量； We是输送设备对单位质量流体所作的有
效功。由 We可计算有效功率 Ne （ J/s或 W）,即
(1-23)
ws为流体的质量流量。
1.3.4.5 柏努利方程的讨论及应用注意事项
若已知输送机械的效率 η,则可计算轴功率，即
(1-24)
(4) 各物理量取值及采用单位制
方程中的压强 p、速度 u是指整个截面的平均值，
对大截面 ；
各物理量必须采用一致的单位制。尤其两截面的
压强不仅要求单位一致，还要求表示方法一致，
即均用绝压、均用表压表或真空度。
0u?
1.3.4.5 柏努利方程的讨论及应用注意事项
eNN ??
(5) 截面的选择
截面的正确选择 对于顺利进行计算至关重要,选
取截面应使：
? （ a） 两截面间流体必须连续
? （ b）两截面与流动方向相垂直（平行流处，不要选
取阀门、弯头等部位）；
? （ c）所求的未知量应在截面上或在两截面之间出现；
? （ d） 截面上已知量较多（ 除所求取的未知量外，都
应是已知的或能计算出来，且两截面上的 u,p,Z与
两截面间的 ∑ hf都应相互对应一致 )。
1.3.4.5 柏努利方程的讨论及应用注意事项
(6) 选取基准水平面
原则上基准水平面可以任意选取,但为了计算方
便，常取确定系统的两个截面中的一个作为基准水平
面。 如衡算系统为水平管道，则基准水平面通过管道
的中心线
若所选计算截面平行于基准面，以两面间的垂直
距离为位头 Z值；若所选计算截面不平行于基准面，
则以截面中心位置到基准面的距离为 Z值 。
Z1,Z2可正可负，但要注意正负。
1.3.4.5 柏努利方程的讨论及应用注意事项
(7)柏努利方程式的推广
（ i）可压缩流体的流动：若所取系统两截面间的
绝对压强变化小于原来绝对压强的 20％ (即 (p1-p2)/
p1<20％ )时，但此时方程中的流体密度 ρ 应近似地以
两截面处流体密度的平均值 ρ m来代替；
（ ii）非稳态流体：非稳态流动系统的任一瞬间,
1.3.4.5 柏努利方程的讨论及应用注意事项
1.2.5 柏努利方程式的应用
? 1.2.5.1 应用柏努利方程式解题要点
? １．作图与确定衡算范围
? 根据题意画出流动系统的示意图，并指明流体的
流动方向。定出上、下游截面，以明确流动系统的衡
算范围；
? ２．正确选取截面；
? ３．选取基准水平面；
? ４．计算截面上的各能量,求解。
1.确定容器的相对位置
2.确定流体流量
由柏努利方程求流速 u(u2或 u1)，流量
3.确定输送设备的有效功率
由柏努利方程求外加功 Ｗ e,有效功率 Ne=We·ws
4.确定流体在某截面处的压强
由柏努利方程求 p(p1或 p2)。
1.2.5 柏努利方程式的应用
? 如图所示, 用泵将水从贮槽送至敞口高位槽, 两槽
液面均恒定不变, 输送管路尺寸为 ?83× 3.5mm,泵的进
出口管道上分别安装有真空表和压力表, 压力表安装位
置离贮槽的水面高度 H2为 5m。 当输水量为 36m3/h时, 进水
管道全部阻力损失为 1.96J/kg,出水管道全部阻力损失
为 4.9J/kg,压力表读数为 2.452× 105Pa,泵的效率为 70%，
水的密度 ?为 1000kg/m3,试求：
? （ 1） 两槽液面的高度差 H为多少？
? （ 2） 泵所需的实际功率为多少 kW？
H
H1
H2
【 例 2-2】
? 解,（ 1） 两槽液面的高度差 H
? 在压力表所在截面 2-2′与高位槽液面 3-3′间列柏
努利方程, 以贮槽液面为基准水平面 0-0′,
? 得：
? 其中,H2=5m,
? u2=Vs/A=2.205m/s,
? p2=2.452× 105Pa，
? u3=0,p3=0,
? 代入上式得：
? ??????? 32,3232222 22 fhpugHpugH ??
? ?? kgJh f /9.432,
mH 74.2981.9 9.481.91 0 0 0 104 5 2.281.92 2 0 5.25 52 ????????
【 例 2-2】
H
H1
H2
例 2-2 附图
（ 2）泵所需的实际功率
在贮槽液面 0-0′与高位槽液面 3-3′间列柏努利方程，
以贮槽液面为基准水平面，有：
其中 H0=0,H=29.74m,
u2= u3=0,p2= p3=0,
代入方程求得,We=298.64J/kg，
故,
又 η =70%，
? ???????? 30,3230200 22 fe hpugHWpugH ??
? ?? kgJh f /9.8 6 4.630,
wWWN ese 4.2 9 8 6???
kwNN e 27.4?? ?
【 例 2-2】
H
H1
H2
小结
（ 1）推导柏努利方程式所采用的方法是能量守恒法，
流体系统的总能量衡算 流动系统的机械能衡
算 不可压缩流体稳态流动的机械能衡算 — 柏努利
方程式
（ 2）牢记 柏努利 基本 方程式，它是 能量守恒原理和转
化的体现
不可压缩流体流动最基本方程式,表明流动系统能
量守恒，但机械能不守恒；
（ 3）明确柏努利方程各项的物理意义；
（ 4）注意柏努利方程的适用条件及应用注意事项。
第一章 流体流动
Fluid Flow
--内容提要 --
流体的基本概念
静力学方程及其应用
机械能衡算式及柏努 利方程
流体流动的现象
流动阻力的计算、管路计算
? * 本节内容提要
? 简要分析在微观尺度上流体流动的内部结构，为
流动阻力的计算奠定理论基础。以滞流和湍流两种基
本流型的本质区别为主线展开讨论，
? * 本节重点
? （ 1）牛顿粘性定律的表达式、适用条件；粘度的物
理意义及不同单位之间的换算。
? （ 2） 两种流型的判据及本质区别； Re的意义及特点。
? （ 3） 流动边界层概念
1.4 流体流动现象
1.4.1.1 流体的粘性和内摩擦力
? 流体的粘性 流体在运动的状态下,有一种抗拒内
在的向前运动的特性。粘性是流动性的反面。
? 流体的内摩擦力 运动着的流体内部相邻两流体
层间的相互作用力。是流体粘性的表现,又称为粘滞
力或粘性摩擦力。
? 由于粘性存在，流体在管内流动时，管内任一截
面上各点的速度并不相同,如图 1-12所示。
1.4 流体流动现象
1.4.1 流体的粘性与牛顿粘性定律
本节的目的是了解流体流动的内部结构，以便为
阻力损失计算打下基础。
?
? 各层速度不同,速度快的流体层对与之相邻的速度较
慢的流体层发生了一个推动其向运动方向前进的力，而
同时速度慢的流体层对速度
快的流体层也作用着一个大
小相等、方向相反的力，即
流体的内摩力。
? 流体在流动时的内摩擦,
是流动阻力产生的依据,流
体动时必须克服内摩擦力而
作功,从而将流体的一部分
机械能转变为热而损失掉。
图 1-12 流体在圆管
内分层流动示意图
1.4.1.1 流体的粘性和内摩擦力
1.4.1,2 牛顿粘性定律
? 流体流动时的内摩擦力大小与哪些因素有关
图１－１ 3平板间液体速度分布图
（ 1）表达式
实验证明,对于一定的液体,
内摩擦力 F与两流体层的速度差
Δ u成正比；与两层之间的垂直
距离 Δ y成反比,与两层间的接
触面积 S（ F与 S平行）成正比，
即,
单位面积上的内摩擦力称为内摩擦应力或剪应力，
以 τ 表示，于是上式可写成,
当流体在管内流动时，径向速度的变化并不是直
线关系，而是的曲线关系。则式 (1-24)应改写成：
?
(1-24a)
? 式中 ── 速度梯度，即在与流动方向相垂直的
y方向上流体速度的变化率；
1.4.1.2 牛顿粘性定律
(1-24)
式 (1-24)只适用于 u与 y成直线关系的场合。
μ ── 比例系数，其值随流体的不同而异，流体
的粘性愈大，其值愈大，所以称为粘滞系数或动力粘
度,简称为粘度。
? 式 (1-24)或 (1-24a)所显示的关系,称为 牛顿粘性
（ 2）物理意义
? 牛顿粘性定律说明流体在流动过程中流体层间所
产生的剪应力与法向速度梯度成正比，与压力无关。
? 流体的这一规律与固体表面的摩擦力规律不同。
1.4.1,2 牛顿粘性定律
（ 3） 剪应力与 动量传递
? τ实际上反映了动量传递 。
? 注意：理想流体不存在内摩擦力, τ =0，
? =0,μ =0。 引进理想流体的概念, 对解决工程
实际问题具有重要意义
2
2 2 2 2
N K g m /s K g m /s[ ] = = =
m m m s m s?
???
??
动 量
1.4.1,2 牛顿粘性定律
? 1.4.1.2
? （ 1）动力粘度（简称粘度）
? （ a）定义式
?
粘度的物理意义是促使流体流动产生单位速度梯
度的剪应力。粘度总是与速度梯相联系,只有在运动时
才显现出来。
（ b）单位
? 在 SI中,粘度的为单位,
?
?
? 在物理单位制中,粘度的单位为,
?
不同单位之间的换算关系为,
1Pa·s=100P=1000cP
当流体的粘度较小时，单位常用 cP（厘泊）表示。
（ b）单位
? (c) 影响因素
? 液体,μ＝ f（ t），与压强 p无关，温度 t↑,μ ↓。
水（ 20℃ ）,μ ＝ 1.005cP；油的粘度可达几十、到几
百 Cp。
? 气体,压强变化时,液体的粘度基本不变；气体的粘
度随压强增加而增加得很少,在一般工程计算中可予以
忽略,只有在极高或极低的压强下,才需考虑压强对气
体粘度的影响 。 p<40atm时 μ＝ f（ t） 与 p无关, 温度 t↑，
μ↑
? 理想流体 （ 实际不存在）,流体无粘性 μ ＝ 0
? （ d）数据获取
? 粘度是流体物理性质之一,其值由实验测定；
? 某些常用流体的粘度,可以从本教材附录或有关手
册中查得。
? 对混合物的粘度,如缺乏实验数据时,可选用适当
的经验公式进行估算。 对分子不缔合的液体混合物
的粘度 μ m,可采用下式进行计算,即,
?
(1-25)
? 式中 x ── 液体混合物中组分 i
μ ── 与液体混合物同温下组分 i
? 对于常压气体混合物的粘度 μ m,可采用下式即,
? (1-26)
式中 y ── 气体混合物中组分 i的摩尔分率；
μ ── 与气体混合物同温下组分 i的粘度；
Ｍ ── 气体混合物中组分的分子量。
1.4.1.2
（ 2）运动粘度 γ
? (a)定义
? 运动粘度 γ 为粘度 μ 与密度 ρ 的比值
(1-27)
?
? (b)单位
? SI中的运动粘度单位为 m２ /s；在物理制中的单位为
cm2/s,称为斯托克斯,简称为沲,以 St表示。
1St=100 cSt(厘沲 ) =10 m2/s
１,4.2 牛顿型流体与 非牛顿型流体
根据流变特性，流体分为牛顿型与非牛顿型两类。
? （ 1）牛顿型流体
? 服从牛顿粘性定律的流体称为牛顿型流体。其流
变方程式为
? （ 1-24b）
?
? 牛顿型流体的关系曲线 为通过原点的直
线。
? 实验表明，对气体及大多数低摩尔质量液体，属
于牛顿型流体。
?
（ 2）非牛顿型流体
? 凡不遵循牛顿粘性定律的流体，称为非牛顿
型流体。如 血液、牙膏
?
１,4.2 牛顿型流体与 非牛顿型流体
图１－１ 5 流体的流变图图１－１ 4 非牛顿型流体分类 图
（ 2）非牛顿型流体
?
有相当多流体不遵循这一规律，称为非牛顿型流体，用
表观粘度描述。
在牛顿型流体中加入少量 （ ppm级）高分子物质，流
体就可能成为粘弹性流体，使流动的阻力大幅度降低，产
生所谓地减阻现象。
如在水中加入减阻剂可降低消防水龙带中的流体流动
阻力，从而增加喷水距离；石油工业中用长距离管道输送
油品，若添加适当的减阻剂，则可减少输送费用。
本书只研究牛顿型流体。
?
?
流体流动形态有两种截然不同的类型，一种是 滞
流（或层流） ；另一种为 湍流（或紊流） 。两种流型
在内部质点的运动方式，流动速度分布规律和流动阻
力产生的原因都有所不同，但其根本的区别还在于质
点运动方式的不同。
滞流, 流体质点很有秩序地分层顺着轴线平行流
动，不产生流体质点的宏观混合。
? 湍流,流体在管内作湍流流动时，其质点作不规
则的杂乱运动，并相互碰撞，产生大大小小的旋涡。
?
1.4.3流动类型与雷诺准数
1.4.3.1 流体流动类型 —— 层流与湍流 (Laminar
and Turbulent Flow)
? 湍流的特点
构成质点在主运动之外还有附加的脉动。
质点的脉动是湍流运动的最基本特点。
图 1-16所示的为截面上某一点 i
的流体质点的速度脉动曲线。
同样，点 i的流体质点的压强
也是脉动的，可见湍流实际
上是一种不稳定的流动。
1.4.3.1 流体流动类型 —— 层流与湍流 (Laminar
and Turbulent Flow)
图１－１ 6流体质点的速度脉
动曲线示意图
? （ 1）雷诺实验
? 为了直接观察流体
? 流动时内部质点的运动
? 情况及各种因素对流动
? 状况的影响,可安排如
? 图 1-17所示的实验。这
? 个实验称为雷诺实验。
1.4.3.2雷诺实验和雷诺准数 (Reynolds number)
图 1-17 雷诺实验
（ 1）雷诺实验
实验结果：
流体在管内的流动分 滞流, 湍流 两种类型
流体在管内的流动类型，由流体的临界速度 u决定。
临界速度的大小受管径 d、流体的粘度 μ 和密度 ρ
的影响。
(a) (b)
图 1-18两种类型
?
?duRe ?
雷诺准数
的定义
(2)流型判别的依据 —— 雷诺准数 (Reynolds number)
黏性力
动力??
d
u
u
?
? 2
?
流体的流动状况是由多方面因素决定的流速 u能引起
流动状况改变,而且管径 d、流体的粘度 μ 和密度 ρ 也。
通过进一步的分析研究，可以把这些影响因素组合成为
雷诺准数
的 因次
Re准数是一个 无因次数群 。组成此数群的各物理量,必须用一致
的单位表示。因此,无论采用何种单位制,只要数群中各物理量
的单位一致,所算出的 Re值必相等 。
? * 在生产操作条件下，常将 Re＞ 3000的情况按湍
流考虑。
* Re的大小不仅是作为层流与湍流的判据，而且在
很多地方都要用到它。不过使用时要注意单位统
一。另外，还要注意 d，有时是直径，有时是别的
特征长度。
流型的
判别
根据 Re雷诺准数数值来分析判断流型。
对直管内的流动而言：
Re≤ 2000 稳定的 滞流 区
2000 < Re < 4000 过渡区
Re≥ 4000 湍流区
(2)流型判别的依据 —— 雷诺准数 (Reynolds number)
注意
事项
? 流体在管道截面上的速度分布规律因流型而异
(1) 滞流时的速度分布
? 理论分析和实验都已证明，滞流时的速度沿管径
按 抛物线 的规律分布，如图 1-19(a）所示。 截面上各
点速度的平均值等于管中心处最大速度 umax的 0.5倍 。
1.4.4 流体在圆管内的速度分布
图１－１ 9ａ
? (2)湍流时的速度分布
? 湍流时流体质点的运动情况比较复杂，目前还不能
完全采用理论方法得出湍流时的速度分布规律。经实
验测定，湍流时圆管内的速度分布曲线如图 1-19(b）
所示。速度分布比较均匀,速度分布曲线不再是严格
的抛物线 。
1.4.4 流体在圆管内的速度分布
图１－１ 9b
? 1.4.5流体在直管内的流动阻力
? 流体在直管内流动时，由于流型不同，则流动阻
力所遵循的规律亦不相同。
? 滞流时,对牛顿型流体，内摩擦应力的大小服从
牛顿粘性定律。
? 湍流时，流动阻力除来自于流体的粘性而引起的
内摩擦外，还由于流体质点的不规则迁移、脉动和碰
撞，附加阻力 -- 湍流切应力，简称为湍流应力。
? 湍流总的摩擦应力不服从牛顿粘性定律,但可以
仿照牛顿粘性定律写出类似的形式，即,
? 式中的 e称为涡流粘度，其单位与粘度 μ 的单位一致。涡流粘度
不是流体的物理性质，而是与流体流动状况有关的系数
(1-28)
流 型 滞（层）流 湍（紊）流
判 据 Re≤ 2000 Re≥ 4000
质点运动
情况
沿轴向作直线运动，不存在
横向混合和质点碰撞
不规则杂乱运动，质点碰
撞和剧烈混合。脉动是湍
流的基本特点
管内速度
分布
抛物线方程
Ｕ＝１／２ ｕｍａｘ
壁面处 uw=0,管中心 umax
碰撞和混合使速度平均化
壁面处 uw=0,管中心 umax
现 象
方 程
可解析 不可解析
表 2 两种流型的比较
（ 1）平板上的流动边界层发展
1.4.6 流动边界层 (Boundary Layer)及其发展
注意：层流边界层和层流内层的区别
图１－１ 9b
层流边界层
湍流边界层
层流内层
边界层界限
u0
u0u
0
x
y
层流边界层,边界层内的流动类型为层流
湍流边界层,边界层内的流动类型为湍流
层流内层,边界层内近壁面处一薄层，无论边界层内的流型
为层流或湍流，其流动类型均为层流
图１－ 20
内摩擦,一流体层由于粘性的作用使与其相邻的流体层减速
边界层,受内摩擦影响而产生速度梯度的区域（ ?） u=0.99u0
边界层发展,边界层厚度 ? 随流动距离增加而增加
流动充分发展,边界层不再改变，管内流动状态也维持不变
充分发展的管内流型属层流还是湍流取决于汇合点处边界层
内的流动属层流还是湍流
X o
u o
? ? ?
d
进口段
（ 2）圆管入口处的流动边界层发展
图１－ 21
1.4.6 流动边界层 (Boundary Layer)及其发展
（ 3）边界层分离现象
倒流
分离点
u0
D A
C’
CB
x
AB：流道缩小，顺压强梯度，加速减压
BC：流道增加，逆压强梯度，减速增压
CC’以上：分离的边界层
CC’以下：在逆压强梯度的推动下形成倒流，产生大量旋涡
图１－ 22
流体流动现象小结
▲ 牛顿粘性定律是牛顿流体在作层流流动时的过程特
征方程。它虽然是一个简单的实验定律，但在流体流动尤
其是层流解析中具有重要作用。
▲ 流体按其流动状态有层流与湍流两种流型，这是有
本质区别的流动现象。在流体流动、传热及传质过程等工
程计算中，往往必须先确定之。流型判断依据是 Re的数值。
▲ 层流速度分布的描述采用一般物理定律十过程特征
定则的方法，得到完全解析的结果。湍流时，由于过程特
征规律不确定 (涡流粘度 e为流动状态的函数，难以关联 )，
而使问题无法解析，只有采用实验测定的方法。
▲ 流动边界层尤其是湍流边界层中的层流底层，是分
析流体流动、传热及传质现象的重要概念，应对边界层的
形成、发展及分离现象有较清楚的了解。
1.5 流体管内的流动阻力
? * 本节内容提要
? 解决流体在管截面上的速度分布及柏努利方程式
中流动阻力 Σhf的计算问题。
? * 本节重点
? （ 1）流体在管路中的流动阻力的计算问题。管路
阻力又包括包括直管阻力 hf和局部阻力 hf’
? （ 2）流体在直管中的流动阻力因流型不同而采用
不同的工程处理方法。对于层流，通过过程本征方程
（牛顿粘性定律）可用解析方法求解管截面上的速度
分布及流动阻力；而对于湍流，需借助因次分析方法
来规划试验，采用实验研究方法 。
? （ 3）建立“当量”的概念（包括当量直径和当量
长度）。“当量”要具有和原物量在某方面的等效性，
并依赖于经验。
1.5.1 引言
（ 1）流动阻力分类
? 流体在管路中流动的总阻力 由直管阻力 hf与局部
阻力 hf’两部分构成，即
?
? (1-29)J/kg
?（ 2）阻力的表现形式 —— 压强降 用 Δ pf
? 流动阻力消耗了机械能，表现为静压能的降低，
称为压强降,用 Δ pf表示,即：
Δ pf=ρ ∑ hf,是指单位体积流体流动时损失的机械能，
值得强调指出的是,Δ pf 它是一个符号，并不代表
增量。
通常,Δ pf 与 Δp 在数值上并不相等，只有当流体在一段无外
功的水平等径管内流动时，两者在数值上才相等。
1.5.2流体在直管中的流动阻力
? 1.5.2.1 计算圆形直管阻力的通式
? 不可压缩流体，以速度 u在一段一段直径为 d、长
度为 l的水平直管内作稳定流动。如图 1-23所示。
?
?
? 1.5.2.1 计算圆形直管阻力的通式
? 对流体进行受力平衡分析，根据 牛顿第二运动定
律, 作用在流体柱上的推动力应与阻力处于平衡的条
件下，流动速度才能维持不变，即达到稳定流动。
? 再结合在 截面 1-1′ 与 2-2′ 间的柏努利方程式,
可得流体在圆形直管内流动时能量损失 hf
? 与摩擦应力 τ 关系式计算
?(1-30)
因为内摩擦应力 τ 所遵循的规律因流体流动类型而异，直
接用 τ 计算 hf有困难，故式 (1-40)直接应用于管路的计算是很
不方便的。下面将式 (1-30)作进一步的变换，以消去式中的内
摩擦应力 τ
?
? 将能量损失 hf表示为动能 的若干倍数的关系。
于是可将式 (1-30)改写成,
? 令
? 则 (1-31)
? 或 (1-31a)
?1.5.2.1 计算 圆形直管阻力 的通式
? 式 (1-41)与 (1-41a)是计算圆形直管阻力所引起
能量损失的通式,称为 范宁 (Fanning)公式, 此式对于
滞流与湍流均适用。
? λ 是无因次的系数。它是雷诺数的函数或
者是雷诺数与相对管壁粗糙度的函数
? 是指绝对粗糙度与管道直径的比值，即
ε /d。 绝对粗糙度是指壁面凸出部分的平均高度，以
ε 表示。
? 应用上两式计算 hf时,关键是要找出 λ 值 。 τ 所遵循的规律
因流型而异，因此 λ 值也随流型而变。所以，对滞流和湍流的摩
擦系数 λ 要分别讨论。
相对粗糙度
摩擦系数
?1.5.2.1 计算圆形直管阻力的通式
? 1.5.2.2 滞流时的摩擦系数（ 理论解析 ）
? 影响滞流摩擦系数 λ 的因素只是雷诺准数 Re，而
与管壁的粗糙度无关。 λ 与 Re的关系式可用理论分析
方法进行推导 。 滞流时内摩擦应力服从牛顿粘性定律。
? 推导
? 设流体在半径为 R的水平直管段内作滞流流动，于
管轴心处取一半径为 r，长度为 l的流体柱作为分析的对
象，如图 1-25所示，作用于流体柱两端面的压强分别
为 p1和 p2，则作用在流体柱上的推动力为,
? (p1-p2)π r2=Δ pfπ r2
? 设距管中心 r处的流体速度为 ur,(r+dr)处的相邻流
体层的速度为 (ur+dur)，则流体速度沿半径方向的变化
率 (即速度梯度 )为,两相邻流体层所产生的内摩擦
应力为 τ r。 滞流时内摩擦应力服从牛顿粘性定律,即,
?
?
? 式中的负号是表示流速 ur沿半径 r增加的方向而减小。
1.5.2.2 滞流时的摩擦系数（ 理论解析 ）
? 作用在流体柱上的阻力为：
?
? 流体作等速运动时，推动力与阻力大小必相等，方
向必相反，故
?
?
积分上式的边界条件,当 r=r时,ur=ur；当 r=R(在管
壁处 )时,ur=0。
1.5.2.2 滞流时的摩擦系数（ 理论解析 ）
? 积分并整理得,
? 式 (1-32)是流体在圆管内作滞流流动时的速度分布
表达式。它表示在某一压强降 Δ pf之下,ur与 r的关系，
? 工程中常以管截面的平均流速来计算流动阻力所引
起的压强降，故须把式 (1-32)变换成 Δ pf与平均速度 u的
关系才便于应用。
(1-32)
式 (1-33)为流体在 圆管内作滞流流动 时的直管阻力
计算式，称为 哈根 -泊谡叶（ Hagon-poiseuille） 公式。
(1-33)
1.5.2.2 滞流时的摩擦系数（ 理论解析 ）
? 由此可以看出，滞流时 Δ pf与 u的一次方成正比。
? 将式 (1-33）与 (1-31a)相比较,:
便知 (1-34)
式 (1-34)为流体在圆管内作滞流流动时 λ 与 Re的关
系式。 若将此式在对数坐标上进行标绘,可得一直线 。
在湍流情况下，所产生的内摩擦内摩擦应力的大
小不能用牛顿粘性定律来表示。由于湍流时流体质点
运动情况复杂，目前还不能完全依靠理论导出一个表
示 e的关系式,因此也就不能象滞流那样，完全用理论
分析法建立求算湍流时摩擦系数 λ 的公式
必须首先应用 化学工程学科的研究方法论 — 因次
分析,确定一具体的函数形式，关联给定函数形式系
数，而获得计算摩擦系数的经验公式。而后采用实验
研究,便可得到具体的函数式。
1.5.2.3湍流时的摩擦系数（因次分析）
（１） 因次分析法
（ a） 因次分析法的理论基础
π 定理 白金汉（ Buckingham）提出的 π
定理指出：任何因次一致的物理方程式都可以
表示成为由若干个无因次数群构成的函数,若物
理量的数目为 n,用来表示这些物理量的基本因
次数目为 m,则特征数的数目 N=n-m
因次一致性的原则 因次分析的理论基础：
物理方程中的各项都具有相同的因次，即因次
一致性原则。这可以用自由落体方程为例说明
确定与研究对象相关的物理量；
构造成一定函数形式 ‘； (如次函数、指数函数等形
式 )；
将函数式表示成相关物量的因次式；
按因次一致性原建立线性基本因次方程组；
给定多余变量，求解因次方程； ’
列出特征数方程。
因次分析过程方法复杂，现通过解决流动阻力这
一复杂的工程问题来介绍这个方法。
（ b） 因次分析法的 基本步骤
? 根据对湍流时流动阻力的性质的理解，以
及所进行的实验研究的综合分析，可以得知为
克服流动阻力所引起的能量损失 Δ pf应与流体
流过的管径 d、管长 l、平均流速 u、流体的密度
ρ 及粘度 μ,管壁的粗糙度 ε 有关。据此可以
写成一般的不定函数形式，即：
?
(1-35)
（ b） 因次分析法的 基本步骤
? 上面的关系也可以用幂函数来表示,即,
?
(1-35a)
? 式中的常数 K和指数 a,b,c… 等均为待定值。
? 式中各物理量的因次是,
（ b） 因次分析法的 基本步骤
? 把各物理量的因次代入式 (1-35a)，则两
端的因次为,
? 即
?
? 根据因次一致性原则，上式等号两侧各基
本量因次的指数必然相等，所以
? 对于因次 Ｍ j+k=1
? 对于因次 θ -c-k=-2
? 对于因次 L a+b+c-3j-k+q=-1
（ b） 因次分析法的 基本步骤
?
? 这里方程式只有 3个，而未知数却有 6个,自
然不能联立解出各未知数的数值。为此,只能
把其中的三个表示为另三个的函数来处理，设
以 b,k,q表示为 a,c 及 j的函数，则联解得,
? a=-b-k-q c=2-k j=1-k
? 将 a,c,j值代入式 (1-50a),得,
?
? 把指数相同的物理量合并在一起，即得,
?
(1-36)
（ b） 因次分析法的 基本步骤
? 上式括号中所示者均为无因次数群,就
是雷诺准数 Re,称为欧拉 (Euler)准数 Eu，
其中包括需要计算的参数 Δ pf 。 及 均为
简单的无因次比值，前者与管子的几何尺寸有
关，后者与管壁的绝对粗糙度 ε
? 把式 (1-36)中的无因次数群作为影响湍流
（ b） 因次分析法的 基本步骤
（ c）因次分析方法的优缺点
优点 因次分析方法在实验研究中，不仅 能避免实
验工作遍及所有变量与 各种规格的圆形直管及各种流体，
而且能正确地规划整理实验结果；
对于涉及多变量的复杂工程问题，若采用因次分析方
法和其他手段使多变量，变换成为由若干个无因次数群 ；
通过组合成特征数,减少变量数,以致大幅度地减少实
验工作量 ； 通过组合特征数使之具有普遍的适用性。
缺点 因次分析方法并不能代替开始的变量数目
的分析。如果一开始就没有列入重要的物理量，或列入
了无关的物理量，将得不出正确的结论。
因次分析方法也不能代替实验，如本例的曲线的具体
形状，只能依靠实验来确定。
目前，湍流流动摩擦系数都是根据实验得到的公式、图表或曲
线进行计算或查取。
(a)光滑管
? (i)柏拉修斯（ Blasius）公式
?
? 适用范围 Re=3× 10３ ～ 1× 10５
? (ii)顾氏公式
(1-38)
?
? 适用范围 Re=3× 10３ ～ 1× 106
(1-37)
（ 2）湍流流动摩擦系数的经验公式
? (b) 粗糙管
? (i)柯尔布鲁克（ Colebrook）公式
?
? 上式适用于
? (ii )尼库拉则（ Nikurades）与卡门（ Karman）公式
?
?
上式适用于
（ 1-39）
（ 1-40）
（ 3）湍流流动 Moody摩擦系数图
? 在工程计算中，一般以 ε /d为参数，标绘 Re与 λ
关系，即 Moody摩擦系数图 （图 1-26）。这样，便可
根据 Re与 ε /d值从图中查得 λ
? 由图 1-26可以看出有四个不同的区域,
? (1) Re≤2000 。 λ 与管壁粗糙度
无关，和 Re准数成直线关系。表达这一直线的
方程即为式 1-45
? (2) Re=2000～ 4000。在此区域
内滞流或湍流的 λ ～ Re曲线都可应用。为安全
起见，对于流动阻力的计算，一般将湍流时的
曲线延伸，以查取 λ
? (3) Re≥4000 及虚线以下的区域。
这个区的特点是摩擦系数 λ 与 Re准数及相对粗
糙度 ε /d都有关，当 ε /d一定时,λ 随 Re数的
增大而减小,Re值增至某一数值后 λ 值下降缓
慢；当 Re值一定时,λ 随 ε /d的增加而增大。
?(4) 完全湍流区 图中虚线以上的区域。
此区内的各 λ ～ Re曲线，趋近于水平线，
即摩擦系数 λ 只与 ε /d有关，而与 Re准
数无关。直管流动阻力通式 1-41为 =,
当 ε /d=常数时，则此区内 λ =常数；若
l/d为一定值时，则流动阻力所引起的能
量损失 hf与 u2成比例，所以此区又称为阻
力平方区。对于相对粗糙度 ε /d愈大的管
道，达到阻力平方区的 Re
? 在化工生产中，还会遇到非圆形管道或设备，例
如有些气体管道是方形的，有时流体也会在两根成同
心圆的套管之间的环形通道内流过。
? 实验证明,在湍流情况下，对于非圆形管截面的通
道可以 用一个与圆形管直径 d相当的, 直径, 来代替,
称作 当量直径,用 de表示。 当量直径等于 4倍水力半
径 rH。
? (1-41)
?
? 水力半径 rH定义为流体在流道里的流通截面 A与润
湿周边 Л 之比,即
? (1-42)
1.5.2.3 非圆形管的当量直径
? 流体在非圆形管内作湍流流动时，在计算 hf及 Re
的有关表达式中，均可用 de代替 d。但需注意：
? （ 1）不能用 de来计算流体通道的截面积，流速和
流量。
? （ 2）滞流时,λ 的计算式须修正,λ =C/Re
? C值随流通形状而变。
1.5.2.3 非圆形管的当量直径
1.5.3 局都阻力
将流体在管径流动受到阀门管体阻碍，以及进出突然
扩大或缩小等，在局部受到的阻力，称局部阻力。其计
算方法有局部阻力系数法和当量长度法：
1.5.3.1 阻力系数法
? 克服局部阻力所引起的能量损失，也可以表示成动
能 一个倍数，即：
? (1-43）
?或
? (1-43a)
式中 ζ 称为局部阻力系数，一般由实验测定。因局部阻
力的形式很多，为明确起见，常对 ζ 加注相应的下
1.5.3.1 阻力系数法
?
? 流体自容器进入管内,进口阻力系数系数
ζ c=0.5。
? 若管口圆滑或成喇叭状，则局部阻力系数
相应减小，约为 0.25～ 0.05。
? 流体自管子进入容器或从管子直接排放到
管外空间,出口阻力系数 ζ e=1
? 突然扩大，缩小及管件阀门的 ξ值可查有关
资料。
? 1.5.3.2 当量长度法
? 为了便于管路计算，把局部阻力折算成一定长度
直管的阻力：
? 或 (1-60)
? 式中 le称为管件或阀门的当量长度，其单位为 m，表示
流体流过某一管件或阀门的局部阻力，相当于流过一
段与其具有相同直径、长度为 le
? 各种管件阀门的 le 值可查有关资料。
? 管路总能量损失又常称为总阻力损失，是管路上
全部直管阻力与局部阻力之和。对于流体流经直径不
变的管路时，如果把局部阻力都按当量长度的概念来
表示，则管路的总能量损失为：
?
? (1-61)
? 式中 ∑ hf ── 管路的总能量损失,J/kg；
? l ── 管路上各段直管的总长度,m；
? ∑ le ── 管路上全部管件与阀门等的当量长度
之和,m；
? u ── 流体流经管路的流速,m/s。
1.5.4管路总能量损失
流动阻力小结
▲ 流体在管中的流动阻力损失包括直管摩擦阻力损
失和局部阻力损失，这是两种有本质区别的阻力损失。
前者主要是表面摩擦，而后者主要是涡流造成的形体阻
力损失。
▲ 直管中摩擦阻力损失公式可以用基本物理定律
十辅助定则的方法获得，其最终表达形式取决于辅助定
则，即与过程持征有关。层流可以解析，湍流时不得不
借助实验。
▲ 因次分析法是一种化工中常用的实验规划方法，
它可以减少实验工作量，做到“由小见大，由此及被”。
其依据是因次一致性原则。应注意的是，此法必须与经
验 (或初步实验）相结合，在确定过程影响因素时，不
能遗漏必要的变量。
流动阻力小结
▲ 局部阻力是 — 种极复杂的流动现象，一
般只能以实验测得某些参数 (如阻力系数）来
进行估算。
▲ 工程上常采用“当量”的方法去处理一
些目前尚不清楚或无法测定的量。即用一个量
去代替原有量，而该量容易测得，见其效果与
原有量在某方面等效。在非圆形管阻力计算中
采用定义“当量直径”的方法以及局部阻力计
算中的“当量长度法”就是实例。它依赖于经
验，并无可靠的理论根据。
1.6 管路计算
? * 本节的学习目的
? 掌握不同结构管路（简单管路，并联管路及分支管
路）的特点，设计型和操作型管路计算方法和步骤，
以达到合理确定流量、管径和能量之间的关系。
? * 本节重点
? 重点为不同结构管路的特点,如 简单管路能量损失
具有加和性 ； 并联管路中各支管中的压强降（或能量
损失）相等；分支管路中单位质量流体流动终了时的
总机械能和沿程能量损失之和相等，并且在数值上等
于在分叉点每 kg流体具有的总机械能 。能够根据复杂
管路的特点，分配各支管中流体的流量。
1.6.1管路计算基本关系式和内容
连续性方程式、柏努利方程式
静力学方程、能量损失计算式
基 本
关系式
计 算
内 容
（ 1）对于已有管路系统，规定流量，求能
量损失或 We；
（ 2）对于已有管路系统，规定允许的能量
损失或推动力，求流体的输送量；
（ 3）规定输送任务和推动力，选择适宜的
管径。
计 算
类 型
? 操作型问题,已知输入和管径系统，求
解或测试管路系统的输送能力。
设计型问题,将给定输入任务和要求，
寻求完成给定输送任务和要求的输送管程系
统的间接设计类型
? 1.6.1 简单管路
? 定义,由等径或异径管段串联而成的无分支管路系统
称为简单管路。
特点 （ 1） 全管路的总阻力等于各段简单管路阻力之和；
（ 2）各段内的质量流量均等于总质量流量。
? 计算类型,
? （ 1）操作型计算 对一定的流体输送管路系统，
核 算在给定条件下的输送量或能量损失。
? （ 2）设计型计算 需试差法，试差起点一般是先选
流速 u，然后计算 d和 We。由于不同的 u对应一组 d与 We，
需要选择一组最经济合理的数据 — 优化设计。
1.6 管路计算
1.6.2 并联管路
几条简单管路或串联管路的入口端与出口端都是
汇合在一起的,称为并联管路。
? 特征：
（ 1）各条分支管路中的阻力相等
（ 2）各分支管路中的质量流量之和
? 等于总管路中的质量流量。
1.6.2 分支管路
? 特征：
? 主管总流量等于各支管流
量之和，即 V=V1+V2
? 单位质量流体在各支管流
动终了时的总机械能与能量
损失之和相等
管路计算小结
▲ 管路计算的依据是：连续性方程、机械能街算方程
和摩擦因数关联式 (或关联图 )。
▲ 据上述方程组中众多变量的不同组合，把管路计算
问题分成设计型计算 (根据工艺要求，设计经济上合理的管
路 )和操作型计算 (对已有的管路，据某些已知条件去核算其
他有关参数 )。
▲ 设计型计算为非定解问题，设计者面临最佳参数的
选择，即存在参数最优化问题操作型计算为定解问题，但
由于某些变量间的较复杂的非线性关系，使得这类问题常
需要通过试差或迭代方法求解。
▲ 简单管路阻力损失具有相加性；并联管路各支路阻
力损失 (或压降 )为一常数。
▲ 复杂管路系统为一有机整体 (通过该系统的方程组
联系 )，任一处参数的变化，都将引起其他处的参数变化及
流量的重新分配。
太原理工大学
化学化工学院
Principles of Chemical Engineering
第一章 流体流动
Fluid Flow
--内容提要 --
流体的基本概念
静力学方程及其应用
机械能衡算式及柏努 利方程
流体流动的现象
流动阻力的计算、管路计算
第一章 流体流动,学习要求
1,本章学习目的
通过本章学习, 重点掌握流体流动的 基本原理, 管
内流动的规律, 并运用这些原理和规律去分析和解决流
体流动过程的有关问题, 诸如：
（ 1） 流体输送,流速的选择, 管径的计算, 流体
输送机械选型 。
（ 2） 流动参数的测量, 如压强, 流速的测量等 。
（ 3） 建立最佳条件,选择适宜的流体流动参数,
以建立传热, 传质及化学反应的最佳条件 。
此外, 非均相体系的分离, 搅拌 （ 或混合 ） 都是流
体力学原理的应用 。
2 本章应掌握的内容
（ 1） 流体静力学基本方程式的应用；
（ 2） 连续性方程, 柏努利方程的物理意义, 适用
条件, 解题要点；
（ 3） 两种流型的比较和工程处理方法；
（ 4） 流动阻力的计算；
（ 5） 管路计算 。
3,本章学时安排
授课 14学时，习题课 4学时。
1.1 概述
流体流动规律是本门课程的重要基础, 主要原因有
以下三个方面：
（ 1） 流动阻力及流量计算
（ 2） 流动对传热, 传质及化学反应的影响
（ 3） 流体的混合效果
化工生产中，经常应用流体流动的
基本原理及其流动规律解决关问题。 以
图 1-1为煤气洗涤装置为例来说明,
流体动力学问题：流体（水和煤气）
在泵（或鼓风机）、流量计以及管道中
流动等；
流体静力学问题：压差计中流体、
水封箱中的水 图 1-1 煤气洗涤装置
确定流体输送管路的直径，
计算流动过程产生的阻力和
输送流体所需的动力。
根 据阻力与流量等参数
选择输送设备的类型和型号，
以及测定流体的流量和压强
等。
流体流动将影响过程系
统中的传热、传质过程等，
是其他单元操作的主要基础。
图 1-1 煤气洗涤装置
1.1 概述
1.1.1 流体的分类和特性
气体和流体统称流体。流体有多种分类方法：
（ 1） 按状态分为气体, 液体和 超临界流体等；
（ 2） 按可压缩性分为不可压流体和可压缩流体；
（ 3） 按是否可忽略分子之间作用力分为理想流体与粘
性流 体 （ 或实际流体 ） ；
（ 4） 按 流变特性可分为牛顿型和非牛倾型流体；
流体区别于固体的主要特征是具有流动性, 其形状随容器形状
而变化；受外力作用时内部产生相对运动 。 流动时产生内摩擦从而
构成了流体力学原理研究的复杂内容之一
1.1.2 流体流动的考察方法
流体是由大量的彼此间有一定间隙的单个分子所组成 。 在物
理化学 （ 气体分子运动论 ） 重要考察单个分子的微观运动, 分子的
运动是随机的, 不规则的混乱运动 。 这种考察方法认为流体是不连
续的介质, 所需处理的运动是一种随机的运动, 问题将非常复杂 。
1.1.2.1 连续性假设 (Continuum hypotheses)
在化工原理中 研究流体在静止和流动状态下的规律性时, 常
将流体视为由无数质点组成的连续介质 。
连续性假设,假定流体是有大量质点组成, 彼此间
没有间隙, 完全充满所占空间连续介质, 流体的物性及
运动参数在空间作连续分布, 从而可以使用连续函数的
数学工具加以描述 。
1.1.2.2 流体流动的考察方法
① 拉格朗日法 选定一个流体质点, 对其跟踪观
察, 描述其运动参数 （ 位移, 数度等 ） 与时间的关系 。
可见, 拉格朗日法描述的是同一质点在不同时刻的状
态 。
② 欧拉法 在固定的空间位置上观察 流体质点的
运动情况, 直接描述各有关参数在空间各点的分布情
况合随时间的变化, 例如对速度 u,可作如下描述：
x x y z(,,,),(,,,),(,,,)yzu f x y z t u f x y z t u f x y z t? ? ?
1.1.2 流体流动的考察方法
任取一微元体积流体作为研究对象，进行受力
分析，它受到的力有 质量力（体积力） 和表面力两类。
（ 1）质量力（体积力） 与流体的质量成正比，
质量力对于均质流体也称为体积力 。 如 流体在重力场中所
受到的重力和在离心力场所受到的离心力, 都是质量力。
（ 2）表面力 表面力与作用的表面积成正比。单
位面积上的表面力称之为应力 。
① 垂直于表面的力 p，称为压力（ 法向力） 。
单位面积上所受的压力称为压强 p。
② 平行于表面的力 F,称为剪力 （ 切力 ） 。
单位面积上所受的剪力称为应力 τ。
1.1.3 流体流动中的作用力
1.2.流体静力学基本方程 ( Basic equations of fluid
statics )
? * 本节主要内容
? 流体的密度和压强的概念、单位及换算等；
在重力场中的静止流体内部压强的变化规律及其
工程应用。
? * 本节的重点
? 重点掌握流体静力学基本方程式的适用条件
及工程应用实例。
? * 本节的难点
? 本节点无难点。
1.2 流体静力学基本方程
流体静力学主要研究流体流体静止时其内部压强变
化的规律。 用描述这一规律的数学表达式，称为流体静
力学基本方程式。先介绍有关概念：
1.2.1 流体的密度
单位体积流体所具有的质量称为流体的密度。以 ρ表
示，单位为 kg/m3。
（ 1-1)
式中 ρ---流体的密度,kg/m3 ；
m---流体的质量,kg；
V---流体的体积,m3。
当 ΔV→ 0时,Δm/ΔV 的极限值称为流体内部的某点
密度。
1.2.1.1 液体的密度
液体的密度几乎不随压强而变化,随温度略有改
变，可视为不可压缩流体。
纯 液体的密度可由实验测定或用查找手册计算的方
法获取。
混合液体的密度，在忽略混合体积变化条件下，
可用下式估算（以 1kg混合液为基准），即
（ 1-2）
式中 ρi ---液体混合物中各纯组分的密度,kg/m3；
αi ---液体混合物中各纯组分的质量分率。
1.2.1 流体的密度
1.2.1.2 气体的密度
气体是可压缩的流体，其密度随压强和温度而变化。
气体的密度必须标明其状态。
纯气体的密度一般可从手册中查取或计算得到。当压
强不太高、温度不太低时，可按理想气体来换算：
（ 1-3）
式中 p ── 气体的绝对压强,Pa(或采用其它单位 )
M ── 气体的摩尔质量,kg/kmol；
R ──气体常数,其值为 8.315；
T ──气体的绝对温度,K。
1.2.1 流体的密度
? 对于混合气体，可用平均摩尔质量 Mm代替 M。
? （ 1-4）
? 式中 yi ---各组分的摩尔分率（体积分率或压强分率）。
( "0" 表示
标准状态 )
(1-3a)
1.2.1.2 气体的密度
或
1.2.2 流体的压强及其特性
垂直作用于单位面积上的表面力称为流体的静压强,
简称压强 。 流体的压强具有点特性。 工程上习惯上将压
强称之为压力。
在 SI中，压强的单位是帕斯卡，以 Pa表示。但习惯
上还采用其它单位，它们之间的换算关系为：
（ 2） 压强的基准
压强有不同的计量基准：绝对压强、表压强、真
空度。
1.2.2.1 流体的压强
（ 1） 定义和单位
.
1atm=1.033 kgf/cm2 =760mmHg=10.33mH2O
=1.0133 bar =1.0133× 105Pa
1.2.1.1 流体的压强
绝对压强 以绝对零压作起点计算的压强，是流体
的真实压强。
表压强 压强表上的读数，表示被测流体的绝对压
强比大气压强高出的数值，即,
表压强＝绝对压强－大气压强
真空度 真空表上的读数，表示被测流体的绝对压
强低于大气压强的数值，即,
真空度＝大气压强－绝对压强
绝对压强，表压强，
真空度之间的关系见图 1-2。
图１－２压强的基准和量度
1.2.1.2 流体压强的特性
流体压 强 具有以下两个 重要特性,
① 流体压力处处与它的作用面垂直，并且总是指
向流体的作用面；
② 流体中任一点压力的大小与所选定的作用面在
空间的方位无关。
熟悉压力的各种计量单位与基准及换算关系，对
于以后的学习和实际工程计算是十分重要的。
z
o
1.2.3 流体静力学基本方程
( Basic equations of fluid statics )
?推导过程 使用条件 物理意义 工程应用
1.2.3.1方程式 推导
图 1-3所示的容器中盛有密度为
ρ的 均质, 连续不可压缩静止液体 。
如 流体所受的体积力仅为重力, 并取
z轴方向与重力方向相反 。 若以容器
底为基准水平面, 则液柱的上, 下底
面与基准水平面的垂直距离分别为 Z1、
Z2。 现于液体内部任意划出一底面积
为 A的垂直液柱 。
图 1-3流体静力学
基本方程推导
?
? （ 1） 向上作用于薄层下底的总压力, PA
（ 2） 向下作用于薄层上底的总压力, （ P+dp） A
（ 3） 向下作用的重力,
由于流体处于静止, 其
垂直方向所受到的各力代数
和应等于零, 简化可得：
?
?
?
z
o
gAdz?
zgp dd ???
1.2.3.1方程式 推导
图 1-3 流体静力学基本方程推导
1.2.3.1 流体静力学基本方程式 推导
? 在 图 1-4中的 两个垂直位置 2 和 1 之间对上式作定积分
?
由于 ? 和 g 是常数，故
????? zzpp zgp 1
2
1
2
d-d?
（ 1-5）
（ 1-5a）
若将图 1-4中的点 1移至液面上（压强为 p0），则式 1-5a变为,
上三式统称为流体静力学基本方程式。
图 1-4 静止液体内压力的分布
（ 1-5b）
P
a
J/k
g
1.2.3.2流体静力学基本方程式讨论
(1)适用条件
重力场中静止的，连续的同一种不可压缩流体 (或 压力
变化不大的可压缩流体,密度可近似地取其平均值 ） 。
（ 2）衡算基准
衡算基准不同,方程形式不同。
若将 （ 1-5） 式各项均除以密度，可得
将式 (1-5b)可改写为：
压强或压强差的大小可用某种液体的液柱高度表示,但必须注
明是何种液体 。
m
m
（ 1-5c）
（ 1-5d）
1.2.3.2流体静力学基本方程式讨论
(3) 物理意义
(i) 总势能守恒
重力场中 在同一种静止流体中不同高度上的微元
其静压能和位能各不相同，但其总势能保持不变。
(ii) 等压面
在静止的、连续的同一种液体内，处于同一水平面
上各点的静压强相等 ---等压面 （静压强仅与垂直高度
有关，与水平位置无关）。 要正确确定等压面。
静止液体内任意点处的压强与该点距液面的距离
呈线性关系，也正比于液面上方的压强。
(iii) 传递定律
液面上方的压强大小相等地传遍整个液体。
1.2.4 静力学基本方程式的应用
流体静力学原理的应用很广泛，它是连通器和液柱
压差计工作原理的基础，还用于容器内液柱的测量，液
封装置，不互溶液体的重力分离（倾析器）等。解题的
基本要领是正确确定等压面。本节介绍它在测量液体的
压力和确定液封高度等方面的应用。
1.2.3.1 压力的测量
测量压强的仪表很多，现仅介绍以流体静力学基本
方程式为依据的测压仪器 ---液柱压差计。 液柱压差计可
测量流体中某点的压力，亦可测量两点之间的压力差。
常见的液柱压差计有以下几种。
a) 普通 U 型管压差计
b) 倒 U 型管压差计
c) 倾斜 U 型管压差计
d) 微差压差计
( a )
R
?
0
( b )
a
?
0
( c )
?
R 1
?
0
( d )
?
01
?
02
p
1
p 2
p
1
p 2
p 1 p 2
p
1
p 2
b
a
R
b
a b
a b
图 1-５ 常见 液柱压差计
（ａ）普通 U 型管压差计
p0 p0
?0
p1 2>
R
a b
U 型管内位于同一水平面上
的 a,b 两点在相连通的同一静
止流体内，两点处静压强相等
? ?gRpp ?? ??? 021
?式中 ρ —— 工作介质密度；
ρ0—— 指示剂密度；
R —— U形压差计指示高度,m；
—— 侧端压差,Pa。
若被测流体为气体，其密度较指
示液密度小得多，上式可简化为
gRpp 021 ???
21pp?
（ 1-6）
（ 1-6a）
(b) 倒置 U 型管压差计（ Up-side down manometer）
用于测量液体的压差，指示剂密度
? 0 小于被测液体密度 ?, U 型管内位
于同一水平面上的 a,b 两点在相连通
的同一静止流体内，两点处静压强相等
由指示液高度差 R 计算压差
若 ? >>?0
gRpp ??? 21
?
0
p 1 p 2
a
R
b
? ?gRpp 021 ?? ??? （ 1-7）
（ 1-7a）
(c)微差压差计
在 U形 微差压计 两侧臂的上端装有扩张
室，其直径与 U形管直径之比大于 10。当测
压管中两指示剂分配位置改变时，扩展容器
内指示剂的可维持在同水平面 压差计内装有
密度分别为 ? 01 和 ? 02 的两种指示剂。 上。
有微压差 ?p 存在时，尽管两扩大室液
面高差很小以致可忽略不计，但 U型管内却
可得到一个较大的 R 读数。
对一定的压差 ? p,R 值的大小与所用的指示剂密
度有关，密度差越小,R 值就越大，读数精度也越高。
?
01
?
02
p
1
p 2
a b
? ? gRpp 020121 ?? ??? （ 1-8）
【 例 2-1】
如图所示密闭室内装有测定
室内气压的 U型压差计和监测水
位高度的压强表。指示剂为水银
的 U型压差计读数 R 为 40mm，
压强表读数 p 为 32.5 kPa 。
试求：水位高度 h。
解,根据流体静力学基本原理，
若室外大气压为 pa，则室内气压
po 为
R
h
P
p a
p a
p 0
gRpgRpp gg HagHao ??? ????? )(
ghppgRp OHaHa g 2)( ?? ????
mg gRph
OH
Hg 77.2
81.91 0 0 0
81.91 3 6 0 004.0105.32 3
2
?? ??????? ? ?
例 2-1附图
1.2.3.2 液封高度
液封在化工生产中被广泛应用：通过液封装置的液
柱高度, 控制器内压力不变或者防止气体泄漏。
为了控制器内气体压力不超过给定的数值，常常使
用安全液封装置（或称水封装置）如图 1-6，其目的是确
保设备的安全，若气体压力超过给定值，气体则从液封
装置排出。
图 1-6 安全液封
1.2.3.2 液封高度
液封还可达到防止气体泄漏的目的，而且它的密
封效果极佳，甚至比阀门还要严密。例如煤气柜通常
用水来封住，以防止煤气泄漏。 液封高度可根据静力
学基本方程式进行计算。设器内压力为 p（表压），水
的密度为 ρ,则所需的液封高度 h0 应为
为了保证安全，在实际安装时使管子插入液面下
的深度应比计算值略小些，使超压力及时排放；对于
后者应比计算值略大些，严格保证气体不泄漏 。
（ 1-9）
小结
? ▲ 密度具有点特性，液体的密度基本上不随压强而
变化，随温度略有改变；气体的密度随温度和压强而
变。混合液体和混合液体的密度可由公式估算。
? ▲与位能基准一样，静压强也有基准。工程上常用
绝对压强和表压两种基准。在计算中，应注意用统一
的压强基准。
? ▲压强具有点特性。流体静力学就是研究重力场中，
静止流体内部静压强的分布规律。
? ▲对流体元 (或流体柱 )运用受力平衡原理，可以得
到流体静力学方程。流体静力学方程表明静止流体内
部的压强分布规律或机械能守恒原理。
? ▲ U形测压管或 U形压差计的依据是流体静力学原理。
应用静力学的要点是正确选择等压面。
1.3 流体流动的基本方程 ( Basic equations of
fluid flow ）
* 本节内容提要
主要是研究和学习流体流动的宏观规律及不同形
式的能量的如何转化等问题，其中包括：
（ 1）质量守恒定律 —— 连续性方程式
（ 2）能量守恒守恒定律 —— 柏努利方程式
推导思路、适用条件、物理意义、工程应用。
* 本节学习要求
学会运用两个方程解决流体流动的有关计算问题
方程式子 — 牢记 灵活应用 高位槽安装高度?
物理意义 — 明 确 解决问题 输送设备的功率?
适用条件 — 注 意
1.3 流体流动的基本方程 （ 流体动力学）1.3 流体流动的基本方程 ( Basic equations offluid flow ）
* 本节重点
? 以连续方程及柏努利方程为重点，掌握这两个
方程式推导思路、适用条件、用柏努利方程解题的
要点及注意事项。通过实例加深对这两个方程式的
理解。
* 本节难点
? 无难点，但在应用柏努利方程式计算流体流动
问题时要特别注意流动的连续性、上、下游截面及
基准水平面选取正确性。正确确定衡算范围（上、
下游截面的选取）是解题的关键。
本节主要是研究流体流动的宏观规律及不同形式
的能量的如何转化等问题,先介绍有关概念：
1.3.1 流量与流速
1.3.1.1 流量
流量有两种计量方法：体积流量、质量流量
体积流量 -----以 Vs表示，单位为 m3/s。
质量流量 -----以 Ws 表示，单位为 kg/s。
体积流量与质量流量的关系为：
（ 1-10）
由于气体的体积与其状态有关, 因此对气体的体积流量,
须说明它的温度 t和压强 p。 通常将其折算到 273.15K,
1.0133× 105 Ｐ a 下的体积流量称之为, 标准体积流量
（ Nm3/h ）, 。
1.3 流体流动的基本方程 ( Basic equations of
fluid flow ）
1.3.1.2 流速
a,平均流速（简称流速） u
流体质点单位时间内在流动方向上所流过的距离，
称为流速，以 u表示，单位为 m/s 。
流体在管截面上的速度分布规律较为复杂，工程上
为计算方便起见，流体的流速通常指整个管截面上的平
均流速，其表达式为：
u=Vs/A （ 1-11）
式中, A—— 垂直于流动方向的管截面积, m2。
故 （ 1-12）
1.3.1 流量与流速
1.3.1.2 流速
b,质量流速 G
单位截面积的管道流过的流体的质量流量，
以 G表示，其单位为 kg/(m2·s)，其表达式为
（ 1-13）
由于气体的体积随温度和压强而变化，在管
截面积不变的情况下，气体的流速也要发生变
化，采用质量流速为计算带来方便。
1.3.2非稳态流动与稳态流动
非稳态流动,各截面上流体的有关参数（如流速、
物性、压强）随位置和时间而变化,T = f(x,y,z,t)。如
图 1-7a所示流动系统。
稳态流动：各截面上流动参数 仅随空间位置的改
变而变化，而 不随时间变化,T = f(x,y,z) 。如图 1-7b
所示流动系统。
化工生产中多属
连续稳态过程。 除开
车和停车外，一般只
在很短时间内为非稳
态操作，多在稳态下
操作。
本章着重讨论稳态流动问题 。 图 1-7 流动系统示意图
1.3.3 连续性方程 （ Equation of continuity ）
（ 1）推导
连续性方程是质量守恒定律的一种表现形式，本
节 通过物料衡算 进行推导。
在稳定 连续 流动系统中，对直径不同的管段作物料
衡算,如图 1-8所示。以管内壁,截面 1-1′ 与 2-2′ 为
衡算范围。 由于把流体视连续为介质，即流体充满管道,并连续
不断地从截面 1-1′ 流入、从截面 2-2′ 流出。
对于连续稳态的一维流动，
如果没有流体的泄漏或补充，
由物料衡算的基本关系：
输入质量流量 =输出质量流量
图 1-8 连续性方程的推导
? 若以１ s为基准，则物料衡算式为,
? ws1=ws2
? 因 ws=uAρ,故上式可写成,
?
(1-14)
? 推广到管路上任何一个截面，即,
? (1-14a)
?
? 式 (1-14),(1-14a)都称为管内稳定流动的连续性
方程式。它反映了在稳定流动系统中，流体流经各截
面的质量流量不变时，管路各截面上流速的变化规律。
此规律与管路的安排以及管路上是否装有管件、阀门
或输送设备等无关。
1.3.3 连续性方程 （ Equation of continuity ）
1.3.3 连续性方程 （ Equation of continuity ）
?（ 2）讨论
? 对于 不可压缩的流体 即,ρ ＝常数，可得到
? (1-15)
? (1-15a)
?
?
? (1-16)
?
对于 在圆管内作稳态流动 的不可压缩流体：
2
2
1
1
2
1
12 ???
?
???
???
d
du
A
Auu
（ 3）适用条件
流体流动的连续性方程式仅适用于稳定流动时
的连续性流体。
1122 uAuA ?
1.3.4 总 能量衡算方程式和柏努利方程式
(Conservation of mechanical energy and Bernoulli equation）
柏努利方程式是流体流动中机械能守恒和转化
原理的体现。
柏努利方程式的推导方法一般有两种
（ 1）理论解析法 比较严格,较繁琐
（ 2）能量衡算法 比较直观,较 简单
本节采用后者。
推导思路：从解决流体输送问题的实际需要出
发，采取逐渐简化的方法，即先 进行流体系统的总
能量衡算（包括热能和内能 ） 流动系统的机械
能衡算（消去热能和内能 ） 不可压缩流体稳态
流动的机械能衡算 — 柏努利方程式 。
1.3.4.1流动系统的总能量衡算 （ 包括热能和内能 ）
在图 1-9所示的系统中，流体从截面 1-1′ 流
入，从截面 2-2′ 流出。 管路上装有对流体作功的
泵 及向流体输入或从流体取出热量的 换热器 。
并假设：
（ a）连续稳定流体；
（ b）两截面间无旁路
流体输入、输出；
（ c）系统热损失 QL=0。
图 1-9 流动系统的总能量衡算
衡算范围,内壁面,1-1′
与 2-2′ 截面间。
衡算基准,1kg流体。
基准水平面,o-o′ 平面。
u1,u2── 流体分别在截面 1-1′ 与 2-2′ 处的流速,m/s
p1,p2 ── 流体分别在截面 1-1′ 与 2-2′ 处的压强,N/m２ ；
Z１, Z２ ── 截面 1-1′ 与 2-2′ 的中心至 o-o′ 的垂直距离,m；
A1,A2 ── 截面 1-1′ 与 2-2′ 的面积,m2；
v1,v2 ── 流体分别在截面 1-1′ 与 2-2′ 处的比容,m3/kg；
ρ 1, ρ 2── 流体分别在截面 1-1′ 与 2-2′ 处的密度,kg/ m3。
1.3.4.1流动系统的总能量衡算 （ 包括热能和内能）
能 量
形 式
意 义 １ kg流体的能量 J/kg
输 入 输 出
内能 物质内部能量的总和 U1 U2
位能 将 1kg的流体自基准水平面
升举到某高度 Z所作的功
gZ1 gZ2
动能 将 1kg的流体从静止加速到
速度 u所作的功
静压能 1kg流体克服截面压力 p所
作的功 （ 注意理解静压能
的概念） p1v1 p2v2
热
换热器向 1 kg流体供应的
或从 1kg流体取出的热量
Qe（ 外界
向系统为正）
外功 1kg流体通过泵 (或其他输
送设备 )所获得的有效能量）
We
表 1-1 1kg 流体进、出系统时输入和输出的能量
2112u 2212u
1.3.4.1流动系统的总能量衡算 （ 包括热能和内能）
根据能量守恒定律，连续稳定流动系统的能量衡算：
可列出以１ kg流体为基准的能量衡算式，即,
（ 1-17）
此式中 所包含的能量有两类,机械能 （位能、动
能、静压能、外功也可归为此类）,此类能量可以相互转
化 ； 内能 Δ U和 热 Qe,它们不属于机械能，不能直接转变
为用于输送流体的机械能 。 为得到适用流体输送系统的机
械能变化关系式，需将 Δ U和 Qe消去。
=??输 入 能 输 出 能
1.3.4.1流动系统的总能量衡算 （ 包括热能和内能 ）
根据热力学第一定律：
（ 1-18）
式中 为 1kg流体从截面 1-1′ 流到截面 2-2′ 体
积膨胀功,J/kg； Qe′ 为 1kg流体在截面 1-1′ 与 2-2′
之间所获得的热,J/kg。
而 Qe′= Qe +∑ hf
其中 Qe为 1 kg流体与环境 (换热器 )所交换的热； ∑ hf
是 1 kg流体在截面 1-1′ 与 2-2′ 间流动时，因克服流动
阻力而损失的部分机械能,常称为 能量损失, 其单位为
J/kg。 （有关问题后面再讲）
2
1
pdv???
2
1
'1 v
vU Q p d v? ? ? ?
1.3.4.2 机械能衡算式（ 消去热能和内能）
又因为
故式（ 1-17）可整理成,
（ 1-19）
式 (1-19)是表示 1 kg流体稳定流动时的机械能衡算
式，对可压缩流体与不可压缩流体均可适用 。式
中 一项对可压缩流体与不可压缩流体积分
结果不同，下面 重点讨论流体为不可压缩流体 的
情况
2
1
p
p dp??
22
11
2
1( ) ( )
vpp v d p v p d v v d p? ? ? ?? ? ?
2
1
2
12
p
fp
ug Z v d p W h? ? ? ? ? ? ??
1.3.4.2 机械能衡算式 （ 消去热能和内能）
（ 1） 不可压缩有粘性 实际流体,有外功输入, 稳态流动
实际流体（粘性流体），流体流动时产生流动阻
力 ；不可压缩流体的比容 v或密度 ρ 为常数，
故有
该式是 研究和解决不可压缩流体流动问题的最基
本方程式,表明流动系统能量守恒，但机械能不守恒。
0fh ??
2
1 21
()pp pd p p p?? ??? ? ??
1.3.4.3不可压缩流体稳态流动的机械能衡算
—— 柏努利方程式
（ 1-20 ）
以单位质量 1kg流体 为衡算基准,式 (1-19)可改
写成,
J/kg
（ 1） 不可压缩有粘性 实际流体,无外功输入, 稳态流动
? 以单位重量 1N流体 为衡算基准。将式 (1-20)各
? 项除以 g,则得,
(1-20a)
式中 为输送设备对流体 1N所提供的有效压头，
是输送机械重要的性能参数之一,为 压头损失，
Z,u2/2g, p/ρ g 分别称为位压头、动压头、静压头。
m
? 以单位体积 1m3流体 为衡算基准。
? 将式 (1-20)各项乘以流体密度 ρ,则：
其中,为输送设备（风机）对流体
1m3所提供的能量（全风压），是选择输送设备的
（风机）重要的性能参数之一。
（ 1-21b）
TeHW??
（ 1） 不可压缩有粘性 实际流体,无外功输入, 稳态流动
Pa
（ 1-20）
（ 2） 不可压缩有粘性 实际流体,无外功输入, 稳态流动
对于不可压缩流体、具粘性的实际流体,因其在流
经管路时产生磨擦阻力，为克服磨擦阻力，流体需要消
耗能量，因此, 两截面处单位质量流体所具有的总机械
能之差值即为单位质量流体流经该截面间克服磨擦阻力
所消耗的能量 。
22
1 1 2 2
12 f
u p u pg Z g Z h
??? ? ? ? ? ? ?
1.3.4.3不可 压缩流体稳态流动的机械能衡算
—— 柏努利方程式
J/k
g
（ 1-21 ）
（ 3） 不可压缩 不具有粘性 的理想流体 （ 或其摩擦
损失小到可以忽略 ）, 无外功输入, 稳态流动
理想流体（ 不具有粘性,假想流体） ∑ hf=0。
若 又没有外功加入 We=0时，式 (1-21)便可简化为：
表明流动系统理想流体总机械能 E（位能、
动能、静压能之和）相等，且可相互转换。
(1-22)
1.3.4.3不可压缩流体稳态流动的机械能衡算
—— 柏努利方程式
J/kg
当流体静止时,u=0； ∑ hf=0；
也无需外功加入，即 We =0，故
可见,流体的静止状态只
不过是流动状态的一种特殊形式
（ 3） 不可压缩流体, 静止流体 —— 静力学基本方程式
J/kg
1.3.4.3不可压缩流体稳态流动的机械能衡算
—— 柏努利方程式
用简单的实验进一步说明 。 当关闭阀时，所有测
压内液柱高度是该测量点的压力头，它们均相等，且与
1-1截面处于同一高度。
当流体流动时，若 ∑ hf=0
（ 流动阻力忽略不计），不同
位置的液面高度有所降低，
下降的高度是动压头的体现。
如图 1-10中 2-2平面所示。
1.3.4.4 柏努利方程式实验演示
图 1-10 理想流体的能量分布
当有流体流动阻力时
流动过程中总压头逐渐下降，
如图 1-11所示。
结论：
不论是理想流体还是
实际流体，静止时，它们的
总压头是完全相同。
流动时，实际流体各点的
液柱高度都比理想流体对应点的低，其差额就是由于阻
力而导致的压头损失。
实际流体流动系统机械能不守恒，但能量守恒。
图 1-11实际流体的能量分布
1.3.4.4 柏努利方程式实验演示
（ 1）适用条件
在衡算范围内是 不可压缩、连续稳态 流
体，同时要注意是 实际流体还是理想流体，
有无外功加入的情况又不同。
（ 2）衡算基准
1.3.4.5 柏努利方程的讨论及应用注意事项
J/kg
Pa
m
1kg
1N
1m3
序
号
适 用
条 件
方 程 形 式
以单位质量
流体为基准
以单位重量
流体为基准
1
① 稳定流动②有
外功输入③不可
压缩、实际流体
2
① 稳定流动②无
外功输入③不可
压缩理想流体
3 ① 不可压缩流体②流体处于静止
状态
2
11
1
2
22
2
2
2
e
f
pugZ W
pugZ h
?
?
? ? ? ?
? ? ? ?
12
12
ppZZ
gg??? ? ?
表 1-1 柏努利方程的常用形式及其适用条件
1.3.4.5 柏努利方程的讨论及应用注意事项
(3)式中各项能量所表示的意义
上式中 gZ,u2/2,p/ρ 是指在某截面上流体本
身所具有的能量； ∑ hf是指流体在两截面之间所消
耗的能量； We是输送设备对单位质量流体所作的有
效功。由 We可计算有效功率 Ne （ J/s或 W）,即
(1-23)
ws为流体的质量流量。
1.3.4.5 柏努利方程的讨论及应用注意事项
若已知输送机械的效率 η,则可计算轴功率，即
(1-24)
(4) 各物理量取值及采用单位制
方程中的压强 p、速度 u是指整个截面的平均值，
对大截面 ；
各物理量必须采用一致的单位制。尤其两截面的
压强不仅要求单位一致，还要求表示方法一致，
即均用绝压、均用表压表或真空度。
0u?
1.3.4.5 柏努利方程的讨论及应用注意事项
eNN ??
(5) 截面的选择
截面的正确选择 对于顺利进行计算至关重要,选
取截面应使：
? （ a） 两截面间流体必须连续
? （ b）两截面与流动方向相垂直（平行流处，不要选
取阀门、弯头等部位）；
? （ c）所求的未知量应在截面上或在两截面之间出现；
? （ d） 截面上已知量较多（ 除所求取的未知量外，都
应是已知的或能计算出来，且两截面上的 u,p,Z与
两截面间的 ∑ hf都应相互对应一致 )。
1.3.4.5 柏努利方程的讨论及应用注意事项
(6) 选取基准水平面
原则上基准水平面可以任意选取,但为了计算方
便，常取确定系统的两个截面中的一个作为基准水平
面。 如衡算系统为水平管道，则基准水平面通过管道
的中心线
若所选计算截面平行于基准面，以两面间的垂直
距离为位头 Z值；若所选计算截面不平行于基准面，
则以截面中心位置到基准面的距离为 Z值 。
Z1,Z2可正可负，但要注意正负。
1.3.4.5 柏努利方程的讨论及应用注意事项
(7)柏努利方程式的推广
（ i）可压缩流体的流动：若所取系统两截面间的
绝对压强变化小于原来绝对压强的 20％ (即 (p1-p2)/
p1<20％ )时，但此时方程中的流体密度 ρ 应近似地以
两截面处流体密度的平均值 ρ m来代替；
（ ii）非稳态流体：非稳态流动系统的任一瞬间,
1.3.4.5 柏努利方程的讨论及应用注意事项
1.2.5 柏努利方程式的应用
? 1.2.5.1 应用柏努利方程式解题要点
? １．作图与确定衡算范围
? 根据题意画出流动系统的示意图，并指明流体的
流动方向。定出上、下游截面，以明确流动系统的衡
算范围；
? ２．正确选取截面；
? ３．选取基准水平面；
? ４．计算截面上的各能量,求解。
1.确定容器的相对位置
2.确定流体流量
由柏努利方程求流速 u(u2或 u1)，流量
3.确定输送设备的有效功率
由柏努利方程求外加功 Ｗ e,有效功率 Ne=We·ws
4.确定流体在某截面处的压强
由柏努利方程求 p(p1或 p2)。
1.2.5 柏努利方程式的应用
? 如图所示, 用泵将水从贮槽送至敞口高位槽, 两槽
液面均恒定不变, 输送管路尺寸为 ?83× 3.5mm,泵的进
出口管道上分别安装有真空表和压力表, 压力表安装位
置离贮槽的水面高度 H2为 5m。 当输水量为 36m3/h时, 进水
管道全部阻力损失为 1.96J/kg,出水管道全部阻力损失
为 4.9J/kg,压力表读数为 2.452× 105Pa,泵的效率为 70%，
水的密度 ?为 1000kg/m3,试求：
? （ 1） 两槽液面的高度差 H为多少？
? （ 2） 泵所需的实际功率为多少 kW？
H
H1
H2
【 例 2-2】
? 解,（ 1） 两槽液面的高度差 H
? 在压力表所在截面 2-2′与高位槽液面 3-3′间列柏
努利方程, 以贮槽液面为基准水平面 0-0′,
? 得：
? 其中,H2=5m,
? u2=Vs/A=2.205m/s,
? p2=2.452× 105Pa，
? u3=0,p3=0,
? 代入上式得：
? ??????? 32,3232222 22 fhpugHpugH ??
? ?? kgJh f /9.432,
mH 74.2981.9 9.481.91 0 0 0 104 5 2.281.92 2 0 5.25 52 ????????
【 例 2-2】
H
H1
H2
例 2-2 附图
（ 2）泵所需的实际功率
在贮槽液面 0-0′与高位槽液面 3-3′间列柏努利方程，
以贮槽液面为基准水平面，有：
其中 H0=0,H=29.74m,
u2= u3=0,p2= p3=0,
代入方程求得,We=298.64J/kg，
故,
又 η =70%，
? ???????? 30,3230200 22 fe hpugHWpugH ??
? ?? kgJh f /9.8 6 4.630,
wWWN ese 4.2 9 8 6???
kwNN e 27.4?? ?
【 例 2-2】
H
H1
H2
小结
（ 1）推导柏努利方程式所采用的方法是能量守恒法，
流体系统的总能量衡算 流动系统的机械能衡
算 不可压缩流体稳态流动的机械能衡算 — 柏努利
方程式
（ 2）牢记 柏努利 基本 方程式，它是 能量守恒原理和转
化的体现
不可压缩流体流动最基本方程式,表明流动系统能
量守恒，但机械能不守恒；
（ 3）明确柏努利方程各项的物理意义；
（ 4）注意柏努利方程的适用条件及应用注意事项。
第一章 流体流动
Fluid Flow
--内容提要 --
流体的基本概念
静力学方程及其应用
机械能衡算式及柏努 利方程
流体流动的现象
流动阻力的计算、管路计算
? * 本节内容提要
? 简要分析在微观尺度上流体流动的内部结构，为
流动阻力的计算奠定理论基础。以滞流和湍流两种基
本流型的本质区别为主线展开讨论，
? * 本节重点
? （ 1）牛顿粘性定律的表达式、适用条件；粘度的物
理意义及不同单位之间的换算。
? （ 2） 两种流型的判据及本质区别； Re的意义及特点。
? （ 3） 流动边界层概念
1.4 流体流动现象
1.4.1.1 流体的粘性和内摩擦力
? 流体的粘性 流体在运动的状态下,有一种抗拒内
在的向前运动的特性。粘性是流动性的反面。
? 流体的内摩擦力 运动着的流体内部相邻两流体
层间的相互作用力。是流体粘性的表现,又称为粘滞
力或粘性摩擦力。
? 由于粘性存在，流体在管内流动时，管内任一截
面上各点的速度并不相同,如图 1-12所示。
1.4 流体流动现象
1.4.1 流体的粘性与牛顿粘性定律
本节的目的是了解流体流动的内部结构，以便为
阻力损失计算打下基础。
?
? 各层速度不同,速度快的流体层对与之相邻的速度较
慢的流体层发生了一个推动其向运动方向前进的力，而
同时速度慢的流体层对速度
快的流体层也作用着一个大
小相等、方向相反的力，即
流体的内摩力。
? 流体在流动时的内摩擦,
是流动阻力产生的依据,流
体动时必须克服内摩擦力而
作功,从而将流体的一部分
机械能转变为热而损失掉。
图 1-12 流体在圆管
内分层流动示意图
1.4.1.1 流体的粘性和内摩擦力
1.4.1,2 牛顿粘性定律
? 流体流动时的内摩擦力大小与哪些因素有关
图１－１ 3平板间液体速度分布图
（ 1）表达式
实验证明,对于一定的液体,
内摩擦力 F与两流体层的速度差
Δ u成正比；与两层之间的垂直
距离 Δ y成反比,与两层间的接
触面积 S（ F与 S平行）成正比，
即,
单位面积上的内摩擦力称为内摩擦应力或剪应力，
以 τ 表示，于是上式可写成,
当流体在管内流动时，径向速度的变化并不是直
线关系，而是的曲线关系。则式 (1-24)应改写成：
?
(1-24a)
? 式中 ── 速度梯度，即在与流动方向相垂直的
y方向上流体速度的变化率；
1.4.1.2 牛顿粘性定律
(1-24)
式 (1-24)只适用于 u与 y成直线关系的场合。
μ ── 比例系数，其值随流体的不同而异，流体
的粘性愈大，其值愈大，所以称为粘滞系数或动力粘
度,简称为粘度。
? 式 (1-24)或 (1-24a)所显示的关系,称为 牛顿粘性
（ 2）物理意义
? 牛顿粘性定律说明流体在流动过程中流体层间所
产生的剪应力与法向速度梯度成正比，与压力无关。
? 流体的这一规律与固体表面的摩擦力规律不同。
1.4.1,2 牛顿粘性定律
（ 3） 剪应力与 动量传递
? τ实际上反映了动量传递 。
? 注意：理想流体不存在内摩擦力, τ =0，
? =0,μ =0。 引进理想流体的概念, 对解决工程
实际问题具有重要意义
2
2 2 2 2
N K g m /s K g m /s[ ] = = =
m m m s m s?
???
??
动 量
1.4.1,2 牛顿粘性定律
? 1.4.1.2
? （ 1）动力粘度（简称粘度）
? （ a）定义式
?
粘度的物理意义是促使流体流动产生单位速度梯
度的剪应力。粘度总是与速度梯相联系,只有在运动时
才显现出来。
（ b）单位
? 在 SI中,粘度的为单位,
?
?
? 在物理单位制中,粘度的单位为,
?
不同单位之间的换算关系为,
1Pa·s=100P=1000cP
当流体的粘度较小时，单位常用 cP（厘泊）表示。
（ b）单位
? (c) 影响因素
? 液体,μ＝ f（ t），与压强 p无关，温度 t↑,μ ↓。
水（ 20℃ ）,μ ＝ 1.005cP；油的粘度可达几十、到几
百 Cp。
? 气体,压强变化时,液体的粘度基本不变；气体的粘
度随压强增加而增加得很少,在一般工程计算中可予以
忽略,只有在极高或极低的压强下,才需考虑压强对气
体粘度的影响 。 p<40atm时 μ＝ f（ t） 与 p无关, 温度 t↑，
μ↑
? 理想流体 （ 实际不存在）,流体无粘性 μ ＝ 0
? （ d）数据获取
? 粘度是流体物理性质之一,其值由实验测定；
? 某些常用流体的粘度,可以从本教材附录或有关手
册中查得。
? 对混合物的粘度,如缺乏实验数据时,可选用适当
的经验公式进行估算。 对分子不缔合的液体混合物
的粘度 μ m,可采用下式进行计算,即,
?
(1-25)
? 式中 x ── 液体混合物中组分 i
μ ── 与液体混合物同温下组分 i
? 对于常压气体混合物的粘度 μ m,可采用下式即,
? (1-26)
式中 y ── 气体混合物中组分 i的摩尔分率；
μ ── 与气体混合物同温下组分 i的粘度；
Ｍ ── 气体混合物中组分的分子量。
1.4.1.2
（ 2）运动粘度 γ
? (a)定义
? 运动粘度 γ 为粘度 μ 与密度 ρ 的比值
(1-27)
?
? (b)单位
? SI中的运动粘度单位为 m２ /s；在物理制中的单位为
cm2/s,称为斯托克斯,简称为沲,以 St表示。
1St=100 cSt(厘沲 ) =10 m2/s
１,4.2 牛顿型流体与 非牛顿型流体
根据流变特性，流体分为牛顿型与非牛顿型两类。
? （ 1）牛顿型流体
? 服从牛顿粘性定律的流体称为牛顿型流体。其流
变方程式为
? （ 1-24b）
?
? 牛顿型流体的关系曲线 为通过原点的直
线。
? 实验表明，对气体及大多数低摩尔质量液体，属
于牛顿型流体。
?
（ 2）非牛顿型流体
? 凡不遵循牛顿粘性定律的流体，称为非牛顿
型流体。如 血液、牙膏
?
１,4.2 牛顿型流体与 非牛顿型流体
图１－１ 5 流体的流变图图１－１ 4 非牛顿型流体分类 图
（ 2）非牛顿型流体
?
有相当多流体不遵循这一规律，称为非牛顿型流体，用
表观粘度描述。
在牛顿型流体中加入少量 （ ppm级）高分子物质，流
体就可能成为粘弹性流体，使流动的阻力大幅度降低，产
生所谓地减阻现象。
如在水中加入减阻剂可降低消防水龙带中的流体流动
阻力，从而增加喷水距离；石油工业中用长距离管道输送
油品，若添加适当的减阻剂，则可减少输送费用。
本书只研究牛顿型流体。
?
?
流体流动形态有两种截然不同的类型，一种是 滞
流（或层流） ；另一种为 湍流（或紊流） 。两种流型
在内部质点的运动方式，流动速度分布规律和流动阻
力产生的原因都有所不同，但其根本的区别还在于质
点运动方式的不同。
滞流, 流体质点很有秩序地分层顺着轴线平行流
动，不产生流体质点的宏观混合。
? 湍流,流体在管内作湍流流动时，其质点作不规
则的杂乱运动，并相互碰撞，产生大大小小的旋涡。
?
1.4.3流动类型与雷诺准数
1.4.3.1 流体流动类型 —— 层流与湍流 (Laminar
and Turbulent Flow)
? 湍流的特点
构成质点在主运动之外还有附加的脉动。
质点的脉动是湍流运动的最基本特点。
图 1-16所示的为截面上某一点 i
的流体质点的速度脉动曲线。
同样，点 i的流体质点的压强
也是脉动的，可见湍流实际
上是一种不稳定的流动。
1.4.3.1 流体流动类型 —— 层流与湍流 (Laminar
and Turbulent Flow)
图１－１ 6流体质点的速度脉
动曲线示意图
? （ 1）雷诺实验
? 为了直接观察流体
? 流动时内部质点的运动
? 情况及各种因素对流动
? 状况的影响,可安排如
? 图 1-17所示的实验。这
? 个实验称为雷诺实验。
1.4.3.2雷诺实验和雷诺准数 (Reynolds number)
图 1-17 雷诺实验
（ 1）雷诺实验
实验结果：
流体在管内的流动分 滞流, 湍流 两种类型
流体在管内的流动类型，由流体的临界速度 u决定。
临界速度的大小受管径 d、流体的粘度 μ 和密度 ρ
的影响。
(a) (b)
图 1-18两种类型
?
?duRe ?
雷诺准数
的定义
(2)流型判别的依据 —— 雷诺准数 (Reynolds number)
黏性力
动力??
d
u
u
?
? 2
?
流体的流动状况是由多方面因素决定的流速 u能引起
流动状况改变,而且管径 d、流体的粘度 μ 和密度 ρ 也。
通过进一步的分析研究，可以把这些影响因素组合成为
雷诺准数
的 因次
Re准数是一个 无因次数群 。组成此数群的各物理量,必须用一致
的单位表示。因此,无论采用何种单位制,只要数群中各物理量
的单位一致,所算出的 Re值必相等 。
? * 在生产操作条件下，常将 Re＞ 3000的情况按湍
流考虑。
* Re的大小不仅是作为层流与湍流的判据，而且在
很多地方都要用到它。不过使用时要注意单位统
一。另外，还要注意 d，有时是直径，有时是别的
特征长度。
流型的
判别
根据 Re雷诺准数数值来分析判断流型。
对直管内的流动而言：
Re≤ 2000 稳定的 滞流 区
2000 < Re < 4000 过渡区
Re≥ 4000 湍流区
(2)流型判别的依据 —— 雷诺准数 (Reynolds number)
注意
事项
? 流体在管道截面上的速度分布规律因流型而异
(1) 滞流时的速度分布
? 理论分析和实验都已证明，滞流时的速度沿管径
按 抛物线 的规律分布，如图 1-19(a）所示。 截面上各
点速度的平均值等于管中心处最大速度 umax的 0.5倍 。
1.4.4 流体在圆管内的速度分布
图１－１ 9ａ
? (2)湍流时的速度分布
? 湍流时流体质点的运动情况比较复杂，目前还不能
完全采用理论方法得出湍流时的速度分布规律。经实
验测定，湍流时圆管内的速度分布曲线如图 1-19(b）
所示。速度分布比较均匀,速度分布曲线不再是严格
的抛物线 。
1.4.4 流体在圆管内的速度分布
图１－１ 9b
? 1.4.5流体在直管内的流动阻力
? 流体在直管内流动时，由于流型不同，则流动阻
力所遵循的规律亦不相同。
? 滞流时,对牛顿型流体，内摩擦应力的大小服从
牛顿粘性定律。
? 湍流时，流动阻力除来自于流体的粘性而引起的
内摩擦外，还由于流体质点的不规则迁移、脉动和碰
撞，附加阻力 -- 湍流切应力，简称为湍流应力。
? 湍流总的摩擦应力不服从牛顿粘性定律,但可以
仿照牛顿粘性定律写出类似的形式，即,
? 式中的 e称为涡流粘度，其单位与粘度 μ 的单位一致。涡流粘度
不是流体的物理性质，而是与流体流动状况有关的系数
(1-28)
流 型 滞（层）流 湍（紊）流
判 据 Re≤ 2000 Re≥ 4000
质点运动
情况
沿轴向作直线运动，不存在
横向混合和质点碰撞
不规则杂乱运动，质点碰
撞和剧烈混合。脉动是湍
流的基本特点
管内速度
分布
抛物线方程
Ｕ＝１／２ ｕｍａｘ
壁面处 uw=0,管中心 umax
碰撞和混合使速度平均化
壁面处 uw=0,管中心 umax
现 象
方 程
可解析 不可解析
表 2 两种流型的比较
（ 1）平板上的流动边界层发展
1.4.6 流动边界层 (Boundary Layer)及其发展
注意：层流边界层和层流内层的区别
图１－１ 9b
层流边界层
湍流边界层
层流内层
边界层界限
u0
u0u
0
x
y
层流边界层,边界层内的流动类型为层流
湍流边界层,边界层内的流动类型为湍流
层流内层,边界层内近壁面处一薄层，无论边界层内的流型
为层流或湍流，其流动类型均为层流
图１－ 20
内摩擦,一流体层由于粘性的作用使与其相邻的流体层减速
边界层,受内摩擦影响而产生速度梯度的区域（ ?） u=0.99u0
边界层发展,边界层厚度 ? 随流动距离增加而增加
流动充分发展,边界层不再改变，管内流动状态也维持不变
充分发展的管内流型属层流还是湍流取决于汇合点处边界层
内的流动属层流还是湍流
X o
u o
? ? ?
d
进口段
（ 2）圆管入口处的流动边界层发展
图１－ 21
1.4.6 流动边界层 (Boundary Layer)及其发展
（ 3）边界层分离现象
倒流
分离点
u0
D A
C’
CB
x
AB：流道缩小，顺压强梯度，加速减压
BC：流道增加，逆压强梯度，减速增压
CC’以上：分离的边界层
CC’以下：在逆压强梯度的推动下形成倒流，产生大量旋涡
图１－ 22
流体流动现象小结
▲ 牛顿粘性定律是牛顿流体在作层流流动时的过程特
征方程。它虽然是一个简单的实验定律，但在流体流动尤
其是层流解析中具有重要作用。
▲ 流体按其流动状态有层流与湍流两种流型，这是有
本质区别的流动现象。在流体流动、传热及传质过程等工
程计算中，往往必须先确定之。流型判断依据是 Re的数值。
▲ 层流速度分布的描述采用一般物理定律十过程特征
定则的方法，得到完全解析的结果。湍流时，由于过程特
征规律不确定 (涡流粘度 e为流动状态的函数，难以关联 )，
而使问题无法解析，只有采用实验测定的方法。
▲ 流动边界层尤其是湍流边界层中的层流底层，是分
析流体流动、传热及传质现象的重要概念，应对边界层的
形成、发展及分离现象有较清楚的了解。
1.5 流体管内的流动阻力
? * 本节内容提要
? 解决流体在管截面上的速度分布及柏努利方程式
中流动阻力 Σhf的计算问题。
? * 本节重点
? （ 1）流体在管路中的流动阻力的计算问题。管路
阻力又包括包括直管阻力 hf和局部阻力 hf’
? （ 2）流体在直管中的流动阻力因流型不同而采用
不同的工程处理方法。对于层流，通过过程本征方程
（牛顿粘性定律）可用解析方法求解管截面上的速度
分布及流动阻力；而对于湍流，需借助因次分析方法
来规划试验，采用实验研究方法 。
? （ 3）建立“当量”的概念（包括当量直径和当量
长度）。“当量”要具有和原物量在某方面的等效性，
并依赖于经验。
1.5.1 引言
（ 1）流动阻力分类
? 流体在管路中流动的总阻力 由直管阻力 hf与局部
阻力 hf’两部分构成，即
?
? (1-29)J/kg
?（ 2）阻力的表现形式 —— 压强降 用 Δ pf
? 流动阻力消耗了机械能，表现为静压能的降低，
称为压强降,用 Δ pf表示,即：
Δ pf=ρ ∑ hf,是指单位体积流体流动时损失的机械能，
值得强调指出的是,Δ pf 它是一个符号，并不代表
增量。
通常,Δ pf 与 Δp 在数值上并不相等，只有当流体在一段无外
功的水平等径管内流动时，两者在数值上才相等。
1.5.2流体在直管中的流动阻力
? 1.5.2.1 计算圆形直管阻力的通式
? 不可压缩流体，以速度 u在一段一段直径为 d、长
度为 l的水平直管内作稳定流动。如图 1-23所示。
?
?
? 1.5.2.1 计算圆形直管阻力的通式
? 对流体进行受力平衡分析，根据 牛顿第二运动定
律, 作用在流体柱上的推动力应与阻力处于平衡的条
件下，流动速度才能维持不变，即达到稳定流动。
? 再结合在 截面 1-1′ 与 2-2′ 间的柏努利方程式,
可得流体在圆形直管内流动时能量损失 hf
? 与摩擦应力 τ 关系式计算
?(1-30)
因为内摩擦应力 τ 所遵循的规律因流体流动类型而异，直
接用 τ 计算 hf有困难，故式 (1-40)直接应用于管路的计算是很
不方便的。下面将式 (1-30)作进一步的变换，以消去式中的内
摩擦应力 τ
?
? 将能量损失 hf表示为动能 的若干倍数的关系。
于是可将式 (1-30)改写成,
? 令
? 则 (1-31)
? 或 (1-31a)
?1.5.2.1 计算 圆形直管阻力 的通式
? 式 (1-41)与 (1-41a)是计算圆形直管阻力所引起
能量损失的通式,称为 范宁 (Fanning)公式, 此式对于
滞流与湍流均适用。
? λ 是无因次的系数。它是雷诺数的函数或
者是雷诺数与相对管壁粗糙度的函数
? 是指绝对粗糙度与管道直径的比值，即
ε /d。 绝对粗糙度是指壁面凸出部分的平均高度，以
ε 表示。
? 应用上两式计算 hf时,关键是要找出 λ 值 。 τ 所遵循的规律
因流型而异，因此 λ 值也随流型而变。所以，对滞流和湍流的摩
擦系数 λ 要分别讨论。
相对粗糙度
摩擦系数
?1.5.2.1 计算圆形直管阻力的通式
? 1.5.2.2 滞流时的摩擦系数（ 理论解析 ）
? 影响滞流摩擦系数 λ 的因素只是雷诺准数 Re，而
与管壁的粗糙度无关。 λ 与 Re的关系式可用理论分析
方法进行推导 。 滞流时内摩擦应力服从牛顿粘性定律。
? 推导
? 设流体在半径为 R的水平直管段内作滞流流动，于
管轴心处取一半径为 r，长度为 l的流体柱作为分析的对
象，如图 1-25所示，作用于流体柱两端面的压强分别
为 p1和 p2，则作用在流体柱上的推动力为,
? (p1-p2)π r2=Δ pfπ r2
? 设距管中心 r处的流体速度为 ur,(r+dr)处的相邻流
体层的速度为 (ur+dur)，则流体速度沿半径方向的变化
率 (即速度梯度 )为,两相邻流体层所产生的内摩擦
应力为 τ r。 滞流时内摩擦应力服从牛顿粘性定律,即,
?
?
? 式中的负号是表示流速 ur沿半径 r增加的方向而减小。
1.5.2.2 滞流时的摩擦系数（ 理论解析 ）
? 作用在流体柱上的阻力为：
?
? 流体作等速运动时，推动力与阻力大小必相等，方
向必相反，故
?
?
积分上式的边界条件,当 r=r时,ur=ur；当 r=R(在管
壁处 )时,ur=0。
1.5.2.2 滞流时的摩擦系数（ 理论解析 ）
? 积分并整理得,
? 式 (1-32)是流体在圆管内作滞流流动时的速度分布
表达式。它表示在某一压强降 Δ pf之下,ur与 r的关系，
? 工程中常以管截面的平均流速来计算流动阻力所引
起的压强降，故须把式 (1-32)变换成 Δ pf与平均速度 u的
关系才便于应用。
(1-32)
式 (1-33)为流体在 圆管内作滞流流动 时的直管阻力
计算式，称为 哈根 -泊谡叶（ Hagon-poiseuille） 公式。
(1-33)
1.5.2.2 滞流时的摩擦系数（ 理论解析 ）
? 由此可以看出，滞流时 Δ pf与 u的一次方成正比。
? 将式 (1-33）与 (1-31a)相比较,:
便知 (1-34)
式 (1-34)为流体在圆管内作滞流流动时 λ 与 Re的关
系式。 若将此式在对数坐标上进行标绘,可得一直线 。
在湍流情况下，所产生的内摩擦内摩擦应力的大
小不能用牛顿粘性定律来表示。由于湍流时流体质点
运动情况复杂，目前还不能完全依靠理论导出一个表
示 e的关系式,因此也就不能象滞流那样，完全用理论
分析法建立求算湍流时摩擦系数 λ 的公式
必须首先应用 化学工程学科的研究方法论 — 因次
分析,确定一具体的函数形式，关联给定函数形式系
数，而获得计算摩擦系数的经验公式。而后采用实验
研究,便可得到具体的函数式。
1.5.2.3湍流时的摩擦系数（因次分析）
（１） 因次分析法
（ a） 因次分析法的理论基础
π 定理 白金汉（ Buckingham）提出的 π
定理指出：任何因次一致的物理方程式都可以
表示成为由若干个无因次数群构成的函数,若物
理量的数目为 n,用来表示这些物理量的基本因
次数目为 m,则特征数的数目 N=n-m
因次一致性的原则 因次分析的理论基础：
物理方程中的各项都具有相同的因次，即因次
一致性原则。这可以用自由落体方程为例说明
确定与研究对象相关的物理量；
构造成一定函数形式 ‘； (如次函数、指数函数等形
式 )；
将函数式表示成相关物量的因次式；
按因次一致性原建立线性基本因次方程组；
给定多余变量，求解因次方程； ’
列出特征数方程。
因次分析过程方法复杂，现通过解决流动阻力这
一复杂的工程问题来介绍这个方法。
（ b） 因次分析法的 基本步骤
? 根据对湍流时流动阻力的性质的理解，以
及所进行的实验研究的综合分析，可以得知为
克服流动阻力所引起的能量损失 Δ pf应与流体
流过的管径 d、管长 l、平均流速 u、流体的密度
ρ 及粘度 μ,管壁的粗糙度 ε 有关。据此可以
写成一般的不定函数形式，即：
?
(1-35)
（ b） 因次分析法的 基本步骤
? 上面的关系也可以用幂函数来表示,即,
?
(1-35a)
? 式中的常数 K和指数 a,b,c… 等均为待定值。
? 式中各物理量的因次是,
（ b） 因次分析法的 基本步骤
? 把各物理量的因次代入式 (1-35a)，则两
端的因次为,
? 即
?
? 根据因次一致性原则，上式等号两侧各基
本量因次的指数必然相等，所以
? 对于因次 Ｍ j+k=1
? 对于因次 θ -c-k=-2
? 对于因次 L a+b+c-3j-k+q=-1
（ b） 因次分析法的 基本步骤
?
? 这里方程式只有 3个，而未知数却有 6个,自
然不能联立解出各未知数的数值。为此,只能
把其中的三个表示为另三个的函数来处理，设
以 b,k,q表示为 a,c 及 j的函数，则联解得,
? a=-b-k-q c=2-k j=1-k
? 将 a,c,j值代入式 (1-50a),得,
?
? 把指数相同的物理量合并在一起，即得,
?
(1-36)
（ b） 因次分析法的 基本步骤
? 上式括号中所示者均为无因次数群,就
是雷诺准数 Re,称为欧拉 (Euler)准数 Eu，
其中包括需要计算的参数 Δ pf 。 及 均为
简单的无因次比值，前者与管子的几何尺寸有
关，后者与管壁的绝对粗糙度 ε
? 把式 (1-36)中的无因次数群作为影响湍流
（ b） 因次分析法的 基本步骤
（ c）因次分析方法的优缺点
优点 因次分析方法在实验研究中，不仅 能避免实
验工作遍及所有变量与 各种规格的圆形直管及各种流体，
而且能正确地规划整理实验结果；
对于涉及多变量的复杂工程问题，若采用因次分析方
法和其他手段使多变量，变换成为由若干个无因次数群 ；
通过组合成特征数,减少变量数,以致大幅度地减少实
验工作量 ； 通过组合特征数使之具有普遍的适用性。
缺点 因次分析方法并不能代替开始的变量数目
的分析。如果一开始就没有列入重要的物理量，或列入
了无关的物理量，将得不出正确的结论。
因次分析方法也不能代替实验，如本例的曲线的具体
形状，只能依靠实验来确定。
目前，湍流流动摩擦系数都是根据实验得到的公式、图表或曲
线进行计算或查取。
(a)光滑管
? (i)柏拉修斯（ Blasius）公式
?
? 适用范围 Re=3× 10３ ～ 1× 10５
? (ii)顾氏公式
(1-38)
?
? 适用范围 Re=3× 10３ ～ 1× 106
(1-37)
（ 2）湍流流动摩擦系数的经验公式
? (b) 粗糙管
? (i)柯尔布鲁克（ Colebrook）公式
?
? 上式适用于
? (ii )尼库拉则（ Nikurades）与卡门（ Karman）公式
?
?
上式适用于
（ 1-39）
（ 1-40）
（ 3）湍流流动 Moody摩擦系数图
? 在工程计算中，一般以 ε /d为参数，标绘 Re与 λ
关系，即 Moody摩擦系数图 （图 1-26）。这样，便可
根据 Re与 ε /d值从图中查得 λ
? 由图 1-26可以看出有四个不同的区域,
? (1) Re≤2000 。 λ 与管壁粗糙度
无关，和 Re准数成直线关系。表达这一直线的
方程即为式 1-45
? (2) Re=2000～ 4000。在此区域
内滞流或湍流的 λ ～ Re曲线都可应用。为安全
起见，对于流动阻力的计算，一般将湍流时的
曲线延伸，以查取 λ
? (3) Re≥4000 及虚线以下的区域。
这个区的特点是摩擦系数 λ 与 Re准数及相对粗
糙度 ε /d都有关，当 ε /d一定时,λ 随 Re数的
增大而减小,Re值增至某一数值后 λ 值下降缓
慢；当 Re值一定时,λ 随 ε /d的增加而增大。
?(4) 完全湍流区 图中虚线以上的区域。
此区内的各 λ ～ Re曲线，趋近于水平线，
即摩擦系数 λ 只与 ε /d有关，而与 Re准
数无关。直管流动阻力通式 1-41为 =,
当 ε /d=常数时，则此区内 λ =常数；若
l/d为一定值时，则流动阻力所引起的能
量损失 hf与 u2成比例，所以此区又称为阻
力平方区。对于相对粗糙度 ε /d愈大的管
道，达到阻力平方区的 Re
? 在化工生产中，还会遇到非圆形管道或设备，例
如有些气体管道是方形的，有时流体也会在两根成同
心圆的套管之间的环形通道内流过。
? 实验证明,在湍流情况下，对于非圆形管截面的通
道可以 用一个与圆形管直径 d相当的, 直径, 来代替,
称作 当量直径,用 de表示。 当量直径等于 4倍水力半
径 rH。
? (1-41)
?
? 水力半径 rH定义为流体在流道里的流通截面 A与润
湿周边 Л 之比,即
? (1-42)
1.5.2.3 非圆形管的当量直径
? 流体在非圆形管内作湍流流动时，在计算 hf及 Re
的有关表达式中，均可用 de代替 d。但需注意：
? （ 1）不能用 de来计算流体通道的截面积，流速和
流量。
? （ 2）滞流时,λ 的计算式须修正,λ =C/Re
? C值随流通形状而变。
1.5.2.3 非圆形管的当量直径
1.5.3 局都阻力
将流体在管径流动受到阀门管体阻碍，以及进出突然
扩大或缩小等，在局部受到的阻力，称局部阻力。其计
算方法有局部阻力系数法和当量长度法：
1.5.3.1 阻力系数法
? 克服局部阻力所引起的能量损失，也可以表示成动
能 一个倍数，即：
? (1-43）
?或
? (1-43a)
式中 ζ 称为局部阻力系数，一般由实验测定。因局部阻
力的形式很多，为明确起见，常对 ζ 加注相应的下
1.5.3.1 阻力系数法
?
? 流体自容器进入管内,进口阻力系数系数
ζ c=0.5。
? 若管口圆滑或成喇叭状，则局部阻力系数
相应减小，约为 0.25～ 0.05。
? 流体自管子进入容器或从管子直接排放到
管外空间,出口阻力系数 ζ e=1
? 突然扩大，缩小及管件阀门的 ξ值可查有关
资料。
? 1.5.3.2 当量长度法
? 为了便于管路计算，把局部阻力折算成一定长度
直管的阻力：
? 或 (1-60)
? 式中 le称为管件或阀门的当量长度，其单位为 m，表示
流体流过某一管件或阀门的局部阻力，相当于流过一
段与其具有相同直径、长度为 le
? 各种管件阀门的 le 值可查有关资料。
? 管路总能量损失又常称为总阻力损失，是管路上
全部直管阻力与局部阻力之和。对于流体流经直径不
变的管路时，如果把局部阻力都按当量长度的概念来
表示，则管路的总能量损失为：
?
? (1-61)
? 式中 ∑ hf ── 管路的总能量损失,J/kg；
? l ── 管路上各段直管的总长度,m；
? ∑ le ── 管路上全部管件与阀门等的当量长度
之和,m；
? u ── 流体流经管路的流速,m/s。
1.5.4管路总能量损失
流动阻力小结
▲ 流体在管中的流动阻力损失包括直管摩擦阻力损
失和局部阻力损失，这是两种有本质区别的阻力损失。
前者主要是表面摩擦，而后者主要是涡流造成的形体阻
力损失。
▲ 直管中摩擦阻力损失公式可以用基本物理定律
十辅助定则的方法获得，其最终表达形式取决于辅助定
则，即与过程持征有关。层流可以解析，湍流时不得不
借助实验。
▲ 因次分析法是一种化工中常用的实验规划方法，
它可以减少实验工作量，做到“由小见大，由此及被”。
其依据是因次一致性原则。应注意的是，此法必须与经
验 (或初步实验）相结合，在确定过程影响因素时，不
能遗漏必要的变量。
流动阻力小结
▲ 局部阻力是 — 种极复杂的流动现象，一
般只能以实验测得某些参数 (如阻力系数）来
进行估算。
▲ 工程上常采用“当量”的方法去处理一
些目前尚不清楚或无法测定的量。即用一个量
去代替原有量，而该量容易测得，见其效果与
原有量在某方面等效。在非圆形管阻力计算中
采用定义“当量直径”的方法以及局部阻力计
算中的“当量长度法”就是实例。它依赖于经
验，并无可靠的理论根据。
1.6 管路计算
? * 本节的学习目的
? 掌握不同结构管路（简单管路，并联管路及分支管
路）的特点，设计型和操作型管路计算方法和步骤，
以达到合理确定流量、管径和能量之间的关系。
? * 本节重点
? 重点为不同结构管路的特点,如 简单管路能量损失
具有加和性 ； 并联管路中各支管中的压强降（或能量
损失）相等；分支管路中单位质量流体流动终了时的
总机械能和沿程能量损失之和相等，并且在数值上等
于在分叉点每 kg流体具有的总机械能 。能够根据复杂
管路的特点，分配各支管中流体的流量。
1.6.1管路计算基本关系式和内容
连续性方程式、柏努利方程式
静力学方程、能量损失计算式
基 本
关系式
计 算
内 容
（ 1）对于已有管路系统，规定流量，求能
量损失或 We；
（ 2）对于已有管路系统，规定允许的能量
损失或推动力，求流体的输送量；
（ 3）规定输送任务和推动力，选择适宜的
管径。
计 算
类 型
? 操作型问题,已知输入和管径系统，求
解或测试管路系统的输送能力。
设计型问题,将给定输入任务和要求，
寻求完成给定输送任务和要求的输送管程系
统的间接设计类型
? 1.6.1 简单管路
? 定义,由等径或异径管段串联而成的无分支管路系统
称为简单管路。
特点 （ 1） 全管路的总阻力等于各段简单管路阻力之和；
（ 2）各段内的质量流量均等于总质量流量。
? 计算类型,
? （ 1）操作型计算 对一定的流体输送管路系统，
核 算在给定条件下的输送量或能量损失。
? （ 2）设计型计算 需试差法，试差起点一般是先选
流速 u，然后计算 d和 We。由于不同的 u对应一组 d与 We，
需要选择一组最经济合理的数据 — 优化设计。
1.6 管路计算
1.6.2 并联管路
几条简单管路或串联管路的入口端与出口端都是
汇合在一起的,称为并联管路。
? 特征：
（ 1）各条分支管路中的阻力相等
（ 2）各分支管路中的质量流量之和
? 等于总管路中的质量流量。
1.6.2 分支管路
? 特征：
? 主管总流量等于各支管流
量之和，即 V=V1+V2
? 单位质量流体在各支管流
动终了时的总机械能与能量
损失之和相等
管路计算小结
▲ 管路计算的依据是：连续性方程、机械能街算方程
和摩擦因数关联式 (或关联图 )。
▲ 据上述方程组中众多变量的不同组合，把管路计算
问题分成设计型计算 (根据工艺要求，设计经济上合理的管
路 )和操作型计算 (对已有的管路，据某些已知条件去核算其
他有关参数 )。
▲ 设计型计算为非定解问题，设计者面临最佳参数的
选择，即存在参数最优化问题操作型计算为定解问题，但
由于某些变量间的较复杂的非线性关系，使得这类问题常
需要通过试差或迭代方法求解。
▲ 简单管路阻力损失具有相加性；并联管路各支路阻
力损失 (或压降 )为一常数。
▲ 复杂管路系统为一有机整体 (通过该系统的方程组
联系 )，任一处参数的变化，都将引起其他处的参数变化及
流量的重新分配。
