第 2章 连续控制系统的数学模型
2.1 控制系统数学模型的概念
定义,根据系统运动过程的物理、化学等规律，所写出
的描述系统运动规律、特性和输出与输入关系的数学
表达式 。
2.1.1 数学模型的类型
1,静态模型与动态模型
描述系统静态 （ 工作状态不变或慢变过程 ） 特性的模
型, 称为静态数学模型 。 静态数学模型一般是以代数
方程表示的, 数学表达式中的变量不依赖于时间, 是
输入输出之间的稳态关系 。
描述系统动态或瞬态特性的模型，称为动态数学模型 。
动态数学模型中的变量依赖于时间，一般是微分方程
等形式。静态数学模型可以看成是动态数学模型的特
殊情况。
3,连续时间模型与离散时间模型
根据数学模型所描述的系统中的信号是否存在离散信
号，数学模型分为 连续时间模型 和 离散时间模型,简
称连续模型和离散模型。连续数学模型有微分方程、
传递函数、状态空间表达式等。离散数学模型有差分
方程,Z传递函数、离散状态空间表达式等。
4,参数模型与非参数模型
从描述方式上看，数学模型分为 参数模型 和 非参数模
型 两大类。参数模型是用数学表达式表示的数学模型，
如传递函数、差分方程、状态方程等。
非参数模型是直接或间接从物理系统的试验分析中得
到的响应曲线表示的数学模型，如脉冲响应、阶跃响
应、频率特性曲线等。
数学模型虽然有不同的表示形式，但它们之间可以互
相转换，可以由一种形式的模型转换为另一种形式的
模型 。
2.1.2 建立数学模型的方法
建立系统的数学模型简称为建模 。 系统建模有两大类
方法, 或者说有两种不同的途径 。 一类是机理分析建
模方法, 称为分析法, 另一类是实验建模方法, 通常
称为系统辨识 。
2.2 状态空间模型
2.2.1 状态与状态空间的概念
如图 2.1所示弹簧 -阻尼器
系统, 根据物理学定律
可知, 在外作用力 F(t)
已知的情况下, 如果知道
了物体在某一时刻的位移
y(t)及速度 v(t),就能确定系
统未来的动态响应 。
K
Y ( t)
F( t)
f
M
图 2,1 弹簧 -阻尼器系统
如果仅知道物体的位移或速度，就不能确定系统未来
的动态响应。另一方面，物体的位移、速度及加速度
这三个量显然是不独立的，即可以根据其中的两个量
确定另外的一个量，因此这个量对于描述系统的状态
是多余的。我们可以选择物体在某一时刻的位移及速
度作为弹簧 -阻尼器系统在某一时刻的状态 。
即状态对于描述系统特性应该是充分且必要的。因此
状态可以定义如下：
状态是系统中一些信息的集合，在已知未来外部输入
的情况下，这些信息对于确定系统未来的行为是充分
且必要的。
状态变量：能够确定系统各个时刻状态的具有最少个
数变量的一组变量 。
把描述系统状态的 n个状态变量 为一
个向量的 n个分量, 这 n个向量称为状态向量,
记为, 即
? (2.1)
例如，弹簧 -阻尼器系统的状态向量为
其中,为物体的位移,为物体的速度。
),,2,1(),( nitx i ??
)(tx
Tn txtxtxtx ])()()([)( 21 ??
??????? )(
)()(
ty
tytx
?
)(ty )(ty?
以个状态变量作为坐标轴所组成的维空间称为状态空
间。如果 n=2，则状态 空间是一个平面，通常称为相平
面。如果 n=3，则是一般的三维空间。三维以上的空
间就失去了一般空间的意义。
由于把系统的状态看成是一个向量, 状态向量可用状态
空间中的一个点来表示, 因此能够在状态空间中用几
何术语来解释状态变量分析的问题, 即采用, 状态空
间分析, 方法 。
2.2.2 系统的状态空间描述
1,状态方程和输出方程
描述系统状态变量和输入变量之间关系的一阶
微分方程组称为 状态方程 。
系统的输出量完全取决于系统的状态变量和输
入变量, 可以用一个关系式来描述 。 描述系统
输出变量与系统状态变量, 输入变量之间关系
的方程称为 输出方程 。
系统的状态方程和输出方程合称为系统的 状态
空间表达式，或称为动态方程 。
如何根据系统的机理建立系统的状态方程?
建立状态方程的第一步是选择状态变量 。
选择状态变量一般有三条途径：
1） 选择系统中储能元件的输出物理量作为状态变量 ；
2） 选择系统的输出变量及其各阶导数作为状态变量 ；
3） 选择能使状态方程成为某种标准形式的变量作为状
态变量 。
例 2.1 建立如图 2.1所示弹簧 -阻尼器系统的状态空间表
达式 。
解 选取状态变量为 。
因为物体受到的力为外力, 弹簧拉力 和阻尼
器阻力 的合力, 所以根据牛顿定律得
设弹簧和阻尼器是线性的, 根据虎克定律等物理定律得
)(),( 21 tyxtyx ???
)(tF )(tFk
)(tFf
fk FFFdt
ydM ???
2
2
dt
tdy
ftF
tKytF
f
k
)(
)(
)()(
?
?
其中, M为物体的质量； K为弹簧的弹性模量； f为阻尼
器的阻尼系数 。 将上式整理成
上面这个描述弹簧 -阻尼器系统的状态变量 和
输入变量 之间关系的一阶微分方程组就是系统的
状态方程 。 系统的输出方程为
将上面的状态空间表达式写成矩阵形式
? (2.2a)
??
???
????
?
FMxMfxMKx
xx
1
212
21
?
?
)(),( 21 txtx
)(tF
1xy ?
F
Mx
x
M
f
M
Kxx
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?????
?
??
? 1010
2
1
2
1
?
?
(2.2b)
或
其中,； ； ； 。
例 2.2 建立如图 2.2所示网络的状 态空间表达式。
? ? ?
?
?
??
??
2
101
x
xy
BFAxx ???
Cxy ?
???????
2
1
x
xx
???
?
???
?
??? MfMKA
10
???
?
???
??
M
B 1
0
? ?01?C
L
R
C u (t) y (t)
解 下面对同一系统选择不同的状态变量，从而得到不同
的状态空间表达式。
(1)选两个独立的储能元件电容上的电荷 和电感中的
电流 为状态变量，即,则
整理得系统的状态方程为
)(tq
)(ti
ixqx ?? 21,
?
?
?
?
?
???
?
uq
Cdt
di
LiR
i
dt
dq
1
??
?
?
?
????
?
u
L
x
L
Rx
LC
x
xx
11
212
21
?
?
解, 下面对同一系统选择不同的状态变量，从而得到不同
的状态空间表达式。
(1)选两个独立的储能元件电容上的电荷 和电感中的
电流 为状态变量，即,则
整理得系统的状态方程为
)(tq
)(ti ixqx ?? 21,
?
?
?
?
?
???
?
uq
Cdt
di
LiR
i
dt
dq
1
?
?
?
?
?
????
?
u
L
i
L
Rq
LCdt
di
i
dt
dq
11
或
写成矩阵形式
? (2.3a)
输出方程为
? (2.3b)
(2)选状态变量为电感中的电流,电容上的电
压,则
??
?
?
?
????
?
u
L
x
L
Rx
LC
x
xx
11
212
21
?
?
u
Lx
x
L
R
LCx
x
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?????
?
??
? 101 10
2
1
2
1
?
?
??
?
??
?
??
?
??
????
2
11 01
x
x
CC
x
C
qy
ix ?1
??? dttiCCqx )(12
??
?
?
?
???
?
uxxLRx
x
C
x
211
12
1
?
?
或
状态空间表达式为
? (2.4a)
?
? (2.4b)
(3) 选状态变量为，
?
?
?
?
?
?
????
12
211
1
11
x
C
x
u
L
x
L
x
L
R
x
?
?
uL
x
x
C
LL
R
x
x
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ??
??
?
?
?
?
?
0
1
0
1
1
2
1
2
1
?
?
? ? ?
?
?
??
???
2
1
2 10 x
xxy
??? i d tRLix 1 ?? id tx 2
对状态变量求导得
而系统的方程为
所以
对状态变量求导得
所以，系统的状态方程为
RidtdiLx ??1?
ui d tCRidtdiL ??? ?1
uxCui d tCx ?????? ? 21 11?
2112
11 x
L
Rx
Li d tL
Rx
Lix ????? ??
?
?
?
?
?
??
???
212
21
1
1
x
L
R
x
L
x
ux
C
x
?
?
系统的输出方程为
状态空间表达式为
? (2.5a)
? (2.5b)
2
11 x
Ci d tCy ?? ?
u
x
x
L
R
L
C
x
x
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
0
1
1
1
0
2
1
2
1
?
?
??
?
??
?
??
?
??
???? ?
2
1
2
1011
x
x
CxCi d tCy
可以看出：
1） 状态变量的选择不唯一，因此状态方程也不
唯一（但在相似意义下是唯一的）；
2）状态变量的个数一定；
3）状态变量可以是有明显物理意义的量，也可
以是没有明显物理意义的量。状态变量可以是
可测的量，也可以是不可测的量。
2.2.3 线性系统的状态空间表达式
1,单输入单输出线性系统的状态空间表达式
对于线性系统，状态方程中各个状态变量的导数与状
态变量和输入变量都是线性关系，输出变量与状态变
量、输入变量也是线性关系。因此，单输入单输出
（ SISO） n阶线性系统状态空间表达式的一般形式为
(2.7a)
(2.7b)
写成矩阵形式
?
?
?
?
?
?
?
?????
?????
?????
ubxaxaxax
ubxaxaxax
ubxaxaxax
nnnnnnn
nn
nn
??
?
??
??
2211
222221212
112121111
duxcxcxcy nn ????? ?2211
(2.8a)
(2.8b)
或表示为
(2.9a)
(2.9b)
其中
为常数, 称为直接传递 。
u
b
b
b
x
aaa
aaa
aaa
x
nnnnn
n
n
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? 2
1
21
22221
11211
? ? duxcccy n ?? ?21
BuAxx ???
duCxy ??
? ?Tnxxxx ?21? nnijaA ?? }{
? ?TnbbbB ?21? ? ?ncccC ?21?
d
2,多输入多输出线性系统的状态空间表达
式
具有个输入 r,m个输出的 n阶多输入多输出
（ MIMO）线性系统的状态方程为
(2.10a)
输出方程为
(2.10b)
r
?
?
?
?
?
?
?
????????
????????
????????
rnrnnnnnnnn
rrnn
rrnn
ubububxaxaxax
ubububxaxaxax
ubububxaxaxax
???
?
???
???
22112211
222212122221212
121211112121111
?
?
?
?
?
?
?
????????
????????
????????
rmrmmnmnmmm
rrnn
rrnn
udududxcxcxcy
udududxcxcxcy
udududxcxcxcy
??
?
??
??
22112211
222212122221212
121211112121111
写成矩阵形式为
(2.11a)
(2.11b)
或
(2.12a)
(2.12b)
u
bbb
bbb
bbb
x
aaa
aaa
aaa
x
nrnn
r
r
nnnn
n
n
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
21
22221
11211
21
22221
11211
u
ddd
ddd
ddd
x
ccc
ccc
ccc
y
mrmm
r
r
mnmm
n
n
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
21
22221
11211
21
22221
11211
BuAxx ???
DuCxy ??
其中,为 维状态向量；
为 维控制向量；
为 维输出向量； A为 维系统矩阵，表示系统
内部各状态变量之间的关系； B为 维输入矩阵，表
示输入对每个状态变量的作用情况； C为 维输出
矩阵，表示输出与状态变量的组成关系； D为 维
前馈矩阵,表示输入对输出的直接传递关系。
? ?Tnxxxx ?21?
? ?Truuuu ?21?
1?n
? ?Tmyyyy ?21?
nn?1?r
rn?
nm?
rm?
1?m
若不考虑直接传输, 则一般表达为
(2.13)
若系统是线性定常系统, 则 A,B,C,D均为常数矩
阵 。 若系统是时变系统, 则 A,B,C,D的元素有
些或全部是时间的函数 。
多输入多输出系统可以用如图 2.4所示的矩阵方
框图表示, 其中积分方框由 n个积分器组成 。
?
?
?
?
??
Cxy
BuAxx?
? A
B
y
?
C
x?
u
D
x
图 2,4 线性系统的一般结构
2.2.4 状态方程的线性变换
状态变量的选择是不唯一的，因此状态方程也不唯一，
但这些状态方程都描述了同一个系统，因此这些状态
方程本质上是相同的。事实上，它们之间都可以通过
线性变换得到，因此状态方程在相似意义下是唯一的。
利用这一点 使很多系统的分析与设计得以简化 。
设状态变量取为时, 线性连续时变系统或定常
系统的状态空间表达式为
?2.14a?
(2.14b)
取线性变换
?2.15?
其中,P为常量矩阵。由于式（ 2.15）中 x与
之间是线性关系，所以称为线性变换。
)()()( tButAxtx ???
)()( tCxty ?
)()( txPtx ?
x
由状态的定义可知, 虽然状态变量的选取不同,
但状态变量的个数都是 n,因此, P应该是非奇
异阵, 即存在, 使
?2.16?
上述变换称为非奇异线性变换或等价变换 。 通过
非奇异线性变换, 系统的状态空间表达式变换
为
?2.17a?
(2.17b)
1?P
)()( 1 txPtx ??
)()()( tuBtxAtx ???
xCy ?
面推导 A,B,C与 之间的关系 。 将式 （ 2.15）
代入式 （ 2.14） 得
由于存在, 所以有
（ 2.18）
将式 （ 2.18） 与式 （ 2.17） 比较, 得
（ 2.19）
或
(2.20)
CBA,,
??
?
?
??
xCPy
BuxAPxP ?
1?P
??
???
?
?? ??
xCPy
BuPxAPPx 11?
CPCBPBAPPA ??? ??,,11
11,,?? ??? PCCBPBPAPA
由式 （ 2.19） 或式 （ 2.20） 可对状态空间表达式
进行非奇异线性变换 。 下面考察经非奇异线性
变换后, 矩阵 A与 的特征值的变化情况 。
=
A
|||||| 111 APPPPAPPIAI ??? ????? ???
|)(||| 111 PAIPAPPIPP ??? ??? ??
||||||
||||||||||||
1
11
AIAIPP
AIPPPAIP
????
????
?
??
??
??
可见，和具有相同的特征多项式，因此具有相
同的特征值。因此，经非奇异线性变换后，虽
然状态变量变了，状态方程的参数也变了，但
状态方程的特征值不变，所以，一般称特征值
是系统的不变量。
例 2.4 已知系统的状态方程为
A
u
x
x
x
x
x
x
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
1
0
0
6116
100
010
3
2
1
3
2
1
?
?
?
取线性变换为
求变换后的系统的状态方程 。
解,P=, =
由式 (2.19)得
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
????
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
3
2
1
3
2
1
941
321
111
x
x
x
x
x
x
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
941
321
111
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
5.05.11
143
5.05.23
1?P
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
????
?
?
?
?
?
?
?
?
?
????? ?
941
321
111
6116
100
010
5.05.11
143
5.05.23
1 APPA
=
所以, 变换后的状态方程为
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
???
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
300
020
001
2781
941
321
5.05.11
143
5.05.23
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
????? ?
5.0
1
5.0
1
0
0
5.05.11
143
5.05.23
1 BPB
uxx
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
5.0
1
5.0
300
020
001
?
2.3 微分方程描述
2.3.1 列写系统微分方程的一般步骤
根据系统的机理分析, 列写系统微分方程的一
般步骤为
（ 1） 确定系统的输入, 输出变量；
（ 2） 从输入端开始, 按照信号的传递顺序,
依据各变量所遵循的物理, 化学等定律, 列写
各变量之间的动态方程, 一般为微分方程组；
（ 3） 消去中间变量, 得到输入, 输出变量的
微分方程；
（ 4） 标准化：将与输入有关的各项放在等号
右边, 与输出有关的各项放在等号左边, 并且
分别按降幂排列, 最后将系数归化为反映系统
动态特性的参数, 如时间常数等 。
注意：由于实际系统的结构一般比较复杂, 我
们甚至不清楚内部机理, 所以, 列写实际工程
系统的微分方程是很困难的 。
例 2.5 列写如图 2.5所示 RC网络的微分方程 。
给定输入电压 为系统的输入量, 电容上的电
压 为系统的输出量 。
解 设回路电流为 i,由
电路理论可知, 电阻上的
电压为
电容上的电压与电
流的关系为
由基尔霍夫电压定律, 列写回路方程式
ru
cu
R
C
图 2,5 RC 网络
u
r
( t) u
c
( t)
iRu ?1
dt
duCi c?
rc uuu ??1
消去中间变量, i得
(2.21)
令 为电路时间常数, 则
(2.22)
式 (2.22)即为 RC网络的微分方程, 它是一阶常
系数线性微分方程 。
1u
rcc uudt
duRC ??
rcc uudt
duT ??
RCT ?
例 2.6 列写如图 2.6所示 RC网络的微分方程 。
给定输入电压 为系统的输入量, 电容 上的
电压 为系统的输出量 。
解 由基尔霍夫电压
定律, 列写回路方程
(2.23)
(2.24)
ru 2C
cu
R
1
C
1
图 2,6 RC 网络
u
r
( t) u
c
( t)
R
2
C
2
rc uuRi ?? 111
122 cc uuRi ??
由基尔霍夫电流定律，电容 中的电流为,
电容 中的电流为,所以
(2.25)
(2.26)
下面消去中间变量,, 。 将式 (2.26)代
入式 (2.25)得
(2.27)
1C )( 21 ii ?
2C 2i
dt
duCii c1
121 ??
dt
duCi c
22 ?
1cu 1
i 2i
rc
cc uu
dt
duCR
dt
duCR ???
1
1
2111
(2.29)
将式 (2.29)代入式 (2.28)得
(2.30)
标准化得
(2.31)
122 cc
c uu
dt
duCR ??
rccccc uudt
duCR
dt
duCR
dt
duCR
dt
udCRCR ?????
2221112
2
2211
rc
cc uu
dt
duCRCRCR
dt
udCRCR ????? )(
2221112
2
2211
rccc uudt
duTTT
dt
udTT ????? )(
22112
2
21
其中,,,为电路的时
间常数。
注意, 图 2.6所示 RC网络虽然是两个图 2.5所示
RC网络的串联, 但应该注意到前面一个 RC网络
不是开路, 后面一个 RC网络是前面一个 RC网络
的负载, 式 (2.31)中 的这一项就反映了
这一负载效应 。
111 CRT ? 222 CRT ? 2112 CRT ?
dt
duT c
21
一般的连续时间系统都可以用微分方程描述, 线
性系统可以用线性微分方程描述, 而非线性系
统则要用非线性微分方程描述 。 描述非线性系
统的微分方程一般可表示为
（ 2.35a）
将线性部分与非线性部分分开, 可以写成下列形
式
（ 2.35b）
0),,,,,,,,,( )1()()1()( ??? rrrryyyyF mmnn ????
)(),,,( 1101111 trdt yddtdyyfyadtdyadt ydadt yda nnnnnnnn ?????? ????? ?? ?
式中,y为系统输出,r为系统输
入，, …,, 为常数,为非
线性函数。
对于一般阶线性系统的微分方程可以表达为
(2.36)
系统的微分方程描述了系统的特性，因此，微
分方程的类型与系统的特性有关 。
na0a ?
),,,( 11??nndt yddtdyyf ?
rbrbrbyayayay mmnnn 01)(01)1(1)( ???????? ?? ????
如果系统是非线性系统，则用非线性微分方程
(2.35)描述；如果系统是线性系统，则用线性
微分方程 (2.36)描述；如果系统是线性时变系
统，则式 (2.36)中的系数, 是时间的函数。
如果系统是线性时不变系统，或者称为线性定
常系统，则式 (2.36)中的系数, 与时间无关。
ia ib
ia ib
2.3.2 由状态空间表达式求微分方程
如果已经得到了系统的状态空间表达式，那么，只要
消除状态空间表达式中的状态变量，即可得到系统输
出变量与输入变量之间的关系，就得到系统的微分方
程描述。
例 2.8 例 2.1所示的弹簧 -阻尼器系统的状态空间表达式
为
(2.37a)
(2.37b)
(2.37c)
将式 (2.37a)代入 (2.37b)得
(2.38)
将式 (2.37c)代入式 (2.38)并整理，就得到系
统的微分方程
(2.39)
21 xx ??
FMxMfxMKx 1212 ?????
FMxMfxMKx 1111 ???? ???
1xy ?
FMyMKyMfy 1??? ???
例 2.9 对于例 2.2所示的 RLC网络，若选状态变
量为电感中的电流 和电容上的电
压,则状态空间表达式
(2.40a)
(2.40b)
(2.40c)
将式（ 2.40b），（ 2.40c）代入式（ 2.4a）得系
统的微分方程
x i1?
??? dttiCCqx )(12
uLxLxLRx 12111 ?????
12 1 xCx ??
2xy?
uLyLyLRCyC 11 ???? ???
整理得
将系统的时间常数记为,,则
微分方程
(2.41)
uyyRCyLC ??? ???
RC?1? RL?2?
uyyy ??? ??? 121 ???
2.1 控制系统数学模型的概念
定义,根据系统运动过程的物理、化学等规律，所写出
的描述系统运动规律、特性和输出与输入关系的数学
表达式 。
2.1.1 数学模型的类型
1,静态模型与动态模型
描述系统静态 （ 工作状态不变或慢变过程 ） 特性的模
型, 称为静态数学模型 。 静态数学模型一般是以代数
方程表示的, 数学表达式中的变量不依赖于时间, 是
输入输出之间的稳态关系 。
描述系统动态或瞬态特性的模型，称为动态数学模型 。
动态数学模型中的变量依赖于时间，一般是微分方程
等形式。静态数学模型可以看成是动态数学模型的特
殊情况。
3,连续时间模型与离散时间模型
根据数学模型所描述的系统中的信号是否存在离散信
号，数学模型分为 连续时间模型 和 离散时间模型,简
称连续模型和离散模型。连续数学模型有微分方程、
传递函数、状态空间表达式等。离散数学模型有差分
方程,Z传递函数、离散状态空间表达式等。
4,参数模型与非参数模型
从描述方式上看，数学模型分为 参数模型 和 非参数模
型 两大类。参数模型是用数学表达式表示的数学模型，
如传递函数、差分方程、状态方程等。
非参数模型是直接或间接从物理系统的试验分析中得
到的响应曲线表示的数学模型，如脉冲响应、阶跃响
应、频率特性曲线等。
数学模型虽然有不同的表示形式，但它们之间可以互
相转换，可以由一种形式的模型转换为另一种形式的
模型 。
2.1.2 建立数学模型的方法
建立系统的数学模型简称为建模 。 系统建模有两大类
方法, 或者说有两种不同的途径 。 一类是机理分析建
模方法, 称为分析法, 另一类是实验建模方法, 通常
称为系统辨识 。
2.2 状态空间模型
2.2.1 状态与状态空间的概念
如图 2.1所示弹簧 -阻尼器
系统, 根据物理学定律
可知, 在外作用力 F(t)
已知的情况下, 如果知道
了物体在某一时刻的位移
y(t)及速度 v(t),就能确定系
统未来的动态响应 。
K
Y ( t)
F( t)
f
M
图 2,1 弹簧 -阻尼器系统
如果仅知道物体的位移或速度，就不能确定系统未来
的动态响应。另一方面，物体的位移、速度及加速度
这三个量显然是不独立的，即可以根据其中的两个量
确定另外的一个量，因此这个量对于描述系统的状态
是多余的。我们可以选择物体在某一时刻的位移及速
度作为弹簧 -阻尼器系统在某一时刻的状态 。
即状态对于描述系统特性应该是充分且必要的。因此
状态可以定义如下：
状态是系统中一些信息的集合，在已知未来外部输入
的情况下，这些信息对于确定系统未来的行为是充分
且必要的。
状态变量：能够确定系统各个时刻状态的具有最少个
数变量的一组变量 。
把描述系统状态的 n个状态变量 为一
个向量的 n个分量, 这 n个向量称为状态向量,
记为, 即
? (2.1)
例如，弹簧 -阻尼器系统的状态向量为
其中,为物体的位移,为物体的速度。
),,2,1(),( nitx i ??
)(tx
Tn txtxtxtx ])()()([)( 21 ??
??????? )(
)()(
ty
tytx
?
)(ty )(ty?
以个状态变量作为坐标轴所组成的维空间称为状态空
间。如果 n=2，则状态 空间是一个平面，通常称为相平
面。如果 n=3，则是一般的三维空间。三维以上的空
间就失去了一般空间的意义。
由于把系统的状态看成是一个向量, 状态向量可用状态
空间中的一个点来表示, 因此能够在状态空间中用几
何术语来解释状态变量分析的问题, 即采用, 状态空
间分析, 方法 。
2.2.2 系统的状态空间描述
1,状态方程和输出方程
描述系统状态变量和输入变量之间关系的一阶
微分方程组称为 状态方程 。
系统的输出量完全取决于系统的状态变量和输
入变量, 可以用一个关系式来描述 。 描述系统
输出变量与系统状态变量, 输入变量之间关系
的方程称为 输出方程 。
系统的状态方程和输出方程合称为系统的 状态
空间表达式，或称为动态方程 。
如何根据系统的机理建立系统的状态方程?
建立状态方程的第一步是选择状态变量 。
选择状态变量一般有三条途径：
1） 选择系统中储能元件的输出物理量作为状态变量 ；
2） 选择系统的输出变量及其各阶导数作为状态变量 ；
3） 选择能使状态方程成为某种标准形式的变量作为状
态变量 。
例 2.1 建立如图 2.1所示弹簧 -阻尼器系统的状态空间表
达式 。
解 选取状态变量为 。
因为物体受到的力为外力, 弹簧拉力 和阻尼
器阻力 的合力, 所以根据牛顿定律得
设弹簧和阻尼器是线性的, 根据虎克定律等物理定律得
)(),( 21 tyxtyx ???
)(tF )(tFk
)(tFf
fk FFFdt
ydM ???
2
2
dt
tdy
ftF
tKytF
f
k
)(
)(
)()(
?
?
其中, M为物体的质量； K为弹簧的弹性模量； f为阻尼
器的阻尼系数 。 将上式整理成
上面这个描述弹簧 -阻尼器系统的状态变量 和
输入变量 之间关系的一阶微分方程组就是系统的
状态方程 。 系统的输出方程为
将上面的状态空间表达式写成矩阵形式
? (2.2a)
??
???
????
?
FMxMfxMKx
xx
1
212
21
?
?
)(),( 21 txtx
)(tF
1xy ?
F
Mx
x
M
f
M
Kxx
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?????
?
??
? 1010
2
1
2
1
?
?
(2.2b)
或
其中,； ； ； 。
例 2.2 建立如图 2.2所示网络的状 态空间表达式。
? ? ?
?
?
??
??
2
101
x
xy
BFAxx ???
Cxy ?
???????
2
1
x
xx
???
?
???
?
??? MfMKA
10
???
?
???
??
M
B 1
0
? ?01?C
L
R
C u (t) y (t)
解 下面对同一系统选择不同的状态变量，从而得到不同
的状态空间表达式。
(1)选两个独立的储能元件电容上的电荷 和电感中的
电流 为状态变量，即,则
整理得系统的状态方程为
)(tq
)(ti
ixqx ?? 21,
?
?
?
?
?
???
?
uq
Cdt
di
LiR
i
dt
dq
1
??
?
?
?
????
?
u
L
x
L
Rx
LC
x
xx
11
212
21
?
?
解, 下面对同一系统选择不同的状态变量，从而得到不同
的状态空间表达式。
(1)选两个独立的储能元件电容上的电荷 和电感中的
电流 为状态变量，即,则
整理得系统的状态方程为
)(tq
)(ti ixqx ?? 21,
?
?
?
?
?
???
?
uq
Cdt
di
LiR
i
dt
dq
1
?
?
?
?
?
????
?
u
L
i
L
Rq
LCdt
di
i
dt
dq
11
或
写成矩阵形式
? (2.3a)
输出方程为
? (2.3b)
(2)选状态变量为电感中的电流,电容上的电
压,则
??
?
?
?
????
?
u
L
x
L
Rx
LC
x
xx
11
212
21
?
?
u
Lx
x
L
R
LCx
x
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?????
?
??
? 101 10
2
1
2
1
?
?
??
?
??
?
??
?
??
????
2
11 01
x
x
CC
x
C
qy
ix ?1
??? dttiCCqx )(12
??
?
?
?
???
?
uxxLRx
x
C
x
211
12
1
?
?
或
状态空间表达式为
? (2.4a)
?
? (2.4b)
(3) 选状态变量为，
?
?
?
?
?
?
????
12
211
1
11
x
C
x
u
L
x
L
x
L
R
x
?
?
uL
x
x
C
LL
R
x
x
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ??
??
?
?
?
?
?
0
1
0
1
1
2
1
2
1
?
?
? ? ?
?
?
??
???
2
1
2 10 x
xxy
??? i d tRLix 1 ?? id tx 2
对状态变量求导得
而系统的方程为
所以
对状态变量求导得
所以，系统的状态方程为
RidtdiLx ??1?
ui d tCRidtdiL ??? ?1
uxCui d tCx ?????? ? 21 11?
2112
11 x
L
Rx
Li d tL
Rx
Lix ????? ??
?
?
?
?
?
??
???
212
21
1
1
x
L
R
x
L
x
ux
C
x
?
?
系统的输出方程为
状态空间表达式为
? (2.5a)
? (2.5b)
2
11 x
Ci d tCy ?? ?
u
x
x
L
R
L
C
x
x
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
0
1
1
1
0
2
1
2
1
?
?
??
?
??
?
??
?
??
???? ?
2
1
2
1011
x
x
CxCi d tCy
可以看出：
1） 状态变量的选择不唯一，因此状态方程也不
唯一（但在相似意义下是唯一的）；
2）状态变量的个数一定；
3）状态变量可以是有明显物理意义的量，也可
以是没有明显物理意义的量。状态变量可以是
可测的量，也可以是不可测的量。
2.2.3 线性系统的状态空间表达式
1,单输入单输出线性系统的状态空间表达式
对于线性系统，状态方程中各个状态变量的导数与状
态变量和输入变量都是线性关系，输出变量与状态变
量、输入变量也是线性关系。因此，单输入单输出
（ SISO） n阶线性系统状态空间表达式的一般形式为
(2.7a)
(2.7b)
写成矩阵形式
?
?
?
?
?
?
?
?????
?????
?????
ubxaxaxax
ubxaxaxax
ubxaxaxax
nnnnnnn
nn
nn
??
?
??
??
2211
222221212
112121111
duxcxcxcy nn ????? ?2211
(2.8a)
(2.8b)
或表示为
(2.9a)
(2.9b)
其中
为常数, 称为直接传递 。
u
b
b
b
x
aaa
aaa
aaa
x
nnnnn
n
n
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? 2
1
21
22221
11211
? ? duxcccy n ?? ?21
BuAxx ???
duCxy ??
? ?Tnxxxx ?21? nnijaA ?? }{
? ?TnbbbB ?21? ? ?ncccC ?21?
d
2,多输入多输出线性系统的状态空间表达
式
具有个输入 r,m个输出的 n阶多输入多输出
（ MIMO）线性系统的状态方程为
(2.10a)
输出方程为
(2.10b)
r
?
?
?
?
?
?
?
????????
????????
????????
rnrnnnnnnnn
rrnn
rrnn
ubububxaxaxax
ubububxaxaxax
ubububxaxaxax
???
?
???
???
22112211
222212122221212
121211112121111
?
?
?
?
?
?
?
????????
????????
????????
rmrmmnmnmmm
rrnn
rrnn
udududxcxcxcy
udududxcxcxcy
udududxcxcxcy
??
?
??
??
22112211
222212122221212
121211112121111
写成矩阵形式为
(2.11a)
(2.11b)
或
(2.12a)
(2.12b)
u
bbb
bbb
bbb
x
aaa
aaa
aaa
x
nrnn
r
r
nnnn
n
n
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
21
22221
11211
21
22221
11211
u
ddd
ddd
ddd
x
ccc
ccc
ccc
y
mrmm
r
r
mnmm
n
n
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
21
22221
11211
21
22221
11211
BuAxx ???
DuCxy ??
其中,为 维状态向量；
为 维控制向量；
为 维输出向量； A为 维系统矩阵，表示系统
内部各状态变量之间的关系； B为 维输入矩阵，表
示输入对每个状态变量的作用情况； C为 维输出
矩阵，表示输出与状态变量的组成关系； D为 维
前馈矩阵,表示输入对输出的直接传递关系。
? ?Tnxxxx ?21?
? ?Truuuu ?21?
1?n
? ?Tmyyyy ?21?
nn?1?r
rn?
nm?
rm?
1?m
若不考虑直接传输, 则一般表达为
(2.13)
若系统是线性定常系统, 则 A,B,C,D均为常数矩
阵 。 若系统是时变系统, 则 A,B,C,D的元素有
些或全部是时间的函数 。
多输入多输出系统可以用如图 2.4所示的矩阵方
框图表示, 其中积分方框由 n个积分器组成 。
?
?
?
?
??
Cxy
BuAxx?
? A
B
y
?
C
x?
u
D
x
图 2,4 线性系统的一般结构
2.2.4 状态方程的线性变换
状态变量的选择是不唯一的，因此状态方程也不唯一，
但这些状态方程都描述了同一个系统，因此这些状态
方程本质上是相同的。事实上，它们之间都可以通过
线性变换得到，因此状态方程在相似意义下是唯一的。
利用这一点 使很多系统的分析与设计得以简化 。
设状态变量取为时, 线性连续时变系统或定常
系统的状态空间表达式为
?2.14a?
(2.14b)
取线性变换
?2.15?
其中,P为常量矩阵。由于式（ 2.15）中 x与
之间是线性关系，所以称为线性变换。
)()()( tButAxtx ???
)()( tCxty ?
)()( txPtx ?
x
由状态的定义可知, 虽然状态变量的选取不同,
但状态变量的个数都是 n,因此, P应该是非奇
异阵, 即存在, 使
?2.16?
上述变换称为非奇异线性变换或等价变换 。 通过
非奇异线性变换, 系统的状态空间表达式变换
为
?2.17a?
(2.17b)
1?P
)()( 1 txPtx ??
)()()( tuBtxAtx ???
xCy ?
面推导 A,B,C与 之间的关系 。 将式 （ 2.15）
代入式 （ 2.14） 得
由于存在, 所以有
（ 2.18）
将式 （ 2.18） 与式 （ 2.17） 比较, 得
（ 2.19）
或
(2.20)
CBA,,
??
?
?
??
xCPy
BuxAPxP ?
1?P
??
???
?
?? ??
xCPy
BuPxAPPx 11?
CPCBPBAPPA ??? ??,,11
11,,?? ??? PCCBPBPAPA
由式 （ 2.19） 或式 （ 2.20） 可对状态空间表达式
进行非奇异线性变换 。 下面考察经非奇异线性
变换后, 矩阵 A与 的特征值的变化情况 。
=
A
|||||| 111 APPPPAPPIAI ??? ????? ???
|)(||| 111 PAIPAPPIPP ??? ??? ??
||||||
||||||||||||
1
11
AIAIPP
AIPPPAIP
????
????
?
??
??
??
可见，和具有相同的特征多项式，因此具有相
同的特征值。因此，经非奇异线性变换后，虽
然状态变量变了，状态方程的参数也变了，但
状态方程的特征值不变，所以，一般称特征值
是系统的不变量。
例 2.4 已知系统的状态方程为
A
u
x
x
x
x
x
x
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
1
0
0
6116
100
010
3
2
1
3
2
1
?
?
?
取线性变换为
求变换后的系统的状态方程 。
解,P=, =
由式 (2.19)得
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
????
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
3
2
1
3
2
1
941
321
111
x
x
x
x
x
x
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
941
321
111
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
5.05.11
143
5.05.23
1?P
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
????
?
?
?
?
?
?
?
?
?
????? ?
941
321
111
6116
100
010
5.05.11
143
5.05.23
1 APPA
=
所以, 变换后的状态方程为
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
???
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
300
020
001
2781
941
321
5.05.11
143
5.05.23
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
????? ?
5.0
1
5.0
1
0
0
5.05.11
143
5.05.23
1 BPB
uxx
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
5.0
1
5.0
300
020
001
?
2.3 微分方程描述
2.3.1 列写系统微分方程的一般步骤
根据系统的机理分析, 列写系统微分方程的一
般步骤为
（ 1） 确定系统的输入, 输出变量；
（ 2） 从输入端开始, 按照信号的传递顺序,
依据各变量所遵循的物理, 化学等定律, 列写
各变量之间的动态方程, 一般为微分方程组；
（ 3） 消去中间变量, 得到输入, 输出变量的
微分方程；
（ 4） 标准化：将与输入有关的各项放在等号
右边, 与输出有关的各项放在等号左边, 并且
分别按降幂排列, 最后将系数归化为反映系统
动态特性的参数, 如时间常数等 。
注意：由于实际系统的结构一般比较复杂, 我
们甚至不清楚内部机理, 所以, 列写实际工程
系统的微分方程是很困难的 。
例 2.5 列写如图 2.5所示 RC网络的微分方程 。
给定输入电压 为系统的输入量, 电容上的电
压 为系统的输出量 。
解 设回路电流为 i,由
电路理论可知, 电阻上的
电压为
电容上的电压与电
流的关系为
由基尔霍夫电压定律, 列写回路方程式
ru
cu
R
C
图 2,5 RC 网络
u
r
( t) u
c
( t)
iRu ?1
dt
duCi c?
rc uuu ??1
消去中间变量, i得
(2.21)
令 为电路时间常数, 则
(2.22)
式 (2.22)即为 RC网络的微分方程, 它是一阶常
系数线性微分方程 。
1u
rcc uudt
duRC ??
rcc uudt
duT ??
RCT ?
例 2.6 列写如图 2.6所示 RC网络的微分方程 。
给定输入电压 为系统的输入量, 电容 上的
电压 为系统的输出量 。
解 由基尔霍夫电压
定律, 列写回路方程
(2.23)
(2.24)
ru 2C
cu
R
1
C
1
图 2,6 RC 网络
u
r
( t) u
c
( t)
R
2
C
2
rc uuRi ?? 111
122 cc uuRi ??
由基尔霍夫电流定律，电容 中的电流为,
电容 中的电流为,所以
(2.25)
(2.26)
下面消去中间变量,, 。 将式 (2.26)代
入式 (2.25)得
(2.27)
1C )( 21 ii ?
2C 2i
dt
duCii c1
121 ??
dt
duCi c
22 ?
1cu 1
i 2i
rc
cc uu
dt
duCR
dt
duCR ???
1
1
2111
(2.29)
将式 (2.29)代入式 (2.28)得
(2.30)
标准化得
(2.31)
122 cc
c uu
dt
duCR ??
rccccc uudt
duCR
dt
duCR
dt
duCR
dt
udCRCR ?????
2221112
2
2211
rc
cc uu
dt
duCRCRCR
dt
udCRCR ????? )(
2221112
2
2211
rccc uudt
duTTT
dt
udTT ????? )(
22112
2
21
其中,,,为电路的时
间常数。
注意, 图 2.6所示 RC网络虽然是两个图 2.5所示
RC网络的串联, 但应该注意到前面一个 RC网络
不是开路, 后面一个 RC网络是前面一个 RC网络
的负载, 式 (2.31)中 的这一项就反映了
这一负载效应 。
111 CRT ? 222 CRT ? 2112 CRT ?
dt
duT c
21
一般的连续时间系统都可以用微分方程描述, 线
性系统可以用线性微分方程描述, 而非线性系
统则要用非线性微分方程描述 。 描述非线性系
统的微分方程一般可表示为
（ 2.35a）
将线性部分与非线性部分分开, 可以写成下列形
式
（ 2.35b）
0),,,,,,,,,( )1()()1()( ??? rrrryyyyF mmnn ????
)(),,,( 1101111 trdt yddtdyyfyadtdyadt ydadt yda nnnnnnnn ?????? ????? ?? ?
式中,y为系统输出,r为系统输
入，, …,, 为常数,为非
线性函数。
对于一般阶线性系统的微分方程可以表达为
(2.36)
系统的微分方程描述了系统的特性，因此，微
分方程的类型与系统的特性有关 。
na0a ?
),,,( 11??nndt yddtdyyf ?
rbrbrbyayayay mmnnn 01)(01)1(1)( ???????? ?? ????
如果系统是非线性系统，则用非线性微分方程
(2.35)描述；如果系统是线性系统，则用线性
微分方程 (2.36)描述；如果系统是线性时变系
统，则式 (2.36)中的系数, 是时间的函数。
如果系统是线性时不变系统，或者称为线性定
常系统，则式 (2.36)中的系数, 与时间无关。
ia ib
ia ib
2.3.2 由状态空间表达式求微分方程
如果已经得到了系统的状态空间表达式，那么，只要
消除状态空间表达式中的状态变量，即可得到系统输
出变量与输入变量之间的关系，就得到系统的微分方
程描述。
例 2.8 例 2.1所示的弹簧 -阻尼器系统的状态空间表达式
为
(2.37a)
(2.37b)
(2.37c)
将式 (2.37a)代入 (2.37b)得
(2.38)
将式 (2.37c)代入式 (2.38)并整理，就得到系
统的微分方程
(2.39)
21 xx ??
FMxMfxMKx 1212 ?????
FMxMfxMKx 1111 ???? ???
1xy ?
FMyMKyMfy 1??? ???
例 2.9 对于例 2.2所示的 RLC网络，若选状态变
量为电感中的电流 和电容上的电
压,则状态空间表达式
(2.40a)
(2.40b)
(2.40c)
将式（ 2.40b），（ 2.40c）代入式（ 2.4a）得系
统的微分方程
x i1?
??? dttiCCqx )(12
uLxLxLRx 12111 ?????
12 1 xCx ??
2xy?
uLyLyLRCyC 11 ???? ???
整理得
将系统的时间常数记为,,则
微分方程
(2.41)
uyyRCyLC ??? ???
RC?1? RL?2?
uyyy ??? ??? 121 ???
