2.7.6 由伯德图确定传递函数
1,最小与非最小相位系统的概念
如果系统的传递函数在右半 S平面上没有极点
和零点, 而且不包含滞后环节, 则称为最小相
位系统, 否则, 称为非最小相位系统 。
只包含比例, 积分, 微分, 惯性, 振荡, 一阶
微分和二阶微分环节的系统是最小相位系统 。
而包含不稳定环节或滞后环节的系统则是非最
小相位系统 。
在伯德图上, 若一个最小相位系统和一个非最
小相位系统具有相同的幅频特性, 则最小相位
系统的相角滞后, 总是小于非最小相位系统的
相角滞后 。 例如, 从不稳定典型环节的伯德图
图 2.52和图 2.53上可明显地看出, 它们的相角滞
后都大于所对应的稳定的典型环节的相角滞后 。
最小相位系统的特征,
设一个最小相位系统的传递函数的分子, 分母的最
高次数分别是 n和 m,则当 时, 系统的相频特
性必然趋于 。 而对应的所有非最小相位系
统虽然具有相同的幅频特性, 但 时, 系统的
相频特性不等于 。 在伯德图上, 当系统的
对数相频特性的高频段趋于, 则为最小相
位系统, 否则, 是非最小相位系统 。
???
omn 90)( ??
???
omn 90)( ??
omn 90)( ??
2,由伯德图确定传递函数
对于最小相位系统, 幅频特性和相频特性是单值
对应的, 因此, 根据系统的对数幅频特性就可以
写出系统的传递函数或者频率特性 。
例 2.28 某最小相位系统的对数幅频特性的渐近线
如图 2.57所示, 确定该系统的传递函数 。
图 2.57 最小相位系统的伯德图
)( ?L
?
0
10
1
0.4
0.1
20
40
- 20
- 40
- 20
- 60
4.44 dB
dB
解 由于对数幅频特性的低频段是 -20dB/dec的直线，
所以，系统的传递函数有一积分环节。根据转折点处
对数幅频特性渐近线斜率的变化，容易写出系统的传
递函数为
))
10
(
10
1
21)(
4.0
1
1(
)1(
)(
2ssss
sK
sG
???
?
?
?
由于低频段的延长线与 0db线 （ 横坐标轴 ） 的
交点为, 因此, K=10。
由于在转折频率处对数幅频特性和其渐近线的
误差为 4.44db，由式（ 2.112）得
44.421lg20 ??
3.0??
所以, 系统的传递函数为
)1 0 06)(4.0(
)1(4 0 0
)01.006.01)(5.21(
)1(10)(
22 ???
??
???
??
ssss
s
ssss
ssG
10??
例 2.29 某最小相位系统的对数幅频特性的渐近
线如图 2.58所示, 确定该系统的传递函数 。
图 2.58 最小相位系统的伯德图
)( ?L
?
0
101
0.2
- 20
- 60
- 20
解 由于对数幅频特性的低频段是 -20dB/dec的
直线, 所以, 系统的传递函数有 1个积分环节 。
根据转折点处对数幅频特性渐近线斜率的变化,
容易写出系统的传递函数为
2
2
2
2
)51(
)1.01(
)
2.0
1
1(
)
10
1
1(
)(
ss
sK
ss
sK
sG
?
?
?
?
?
?
在穿越频率 ω=1处 L(1)=0，由此或者
确定 K。
通常在穿越频率 ω=1附近，转折频率在穿越频
率左边的惯性环节的对数幅频特性可以认为是
-20dB/dec的斜线，即可以近似为一个积分环
节。而转折频率在穿越频率右边的惯性环节的
幅频特性可以认为是 0dB的水平线，即可以近
似为 1。
1)( 1 ????jG
一阶微分环节, 二阶微分环节, 振荡环节等可以
进行类似的近似处理, 从而简化计算 。
在本例中, 在穿越频率 ω=1附近, 可以作下列近
似
3222
22
25)5())5(1(
))1.0(1(
?????
? KKK ??
?
?
因为在 ω=1 处, 开环对数幅频特性为 0dB,
或者幅值为 1,即
125 13 ????K
因此得 K=25,所以，系统的传递函数为
2
2
)51(
)1.01(25)(
ss
ssG
?
??
3,频率特性的实验确定法
稳定的线性系统频率特性的实验确定法,
采用正弦波发生器产生频率可调的正弦波, 作
用于被测系统, 测量系统稳态输出的正弦波的
幅值和相角 。 在尽可能宽的频率范围内不断改
变输入正弦波的频率, 可以测得一组实验数据,
然后根据实验数据绘制伯德图 。 最后在对数幅
频特性图上, 用一组斜率为 –20ndb/dec（ n=0,
± 1,± 2,… ） 的直线逼近系统的对数幅频特性
曲线, 作为系统对数幅频特性的渐近线 。
所选择的逼近对数幅频特性曲线的直线不是唯
一的 。 应该在满足建模精度的前提下, 选择较
低阶的模型 。
假设系统是最小相位的, 则根据所选择的对数
幅频特性的渐近线, 可以写出系统的传递函数 。
例如, 某系统的实验数据如表 2.4所示, 其伯
德图如图 2.59所示 。
表 2.4 某系统的实验数据
?
RY/
12 ?? ?
0.1 0.2 0.4 1 2 4 10 20 40
99.6 49.3 23.7 7.96 3.26 1.5 0.37 0.043 0.003
-94.7 -99.3 -108 -127 -146 -182 -325 -476 -835
在图中, 虚折线为所选择的对数频特性的渐近
线, 根据图中 3个转折频率 ω 1= 1,ω 2=2,ω 3=8
和 ω 3=8附近的幅值, 可以写出系统的传递函
数为
))
8
(
8
1
1)(1(
)
2
1
1(10
)(
2ssss
s
sG
???
?
?
注意,这个传递函数仅仅是根据系统的对数幅频
特性实验曲线得到的, 没有考虑系统对数相频
特性实验曲线, 所以, 这个传递函数是试探性
的 。 如果根据选择的模型绘制的曲线与实验得
到的曲线基本吻合, 则所选择的系统传递函数
模型是合适的 。 如果误差太大, 则要考虑模型
中某些环节是不稳定环节, 或者包含滞后环节 。
如果高频段的相角符合 -(n-m)90。 的关系, 则
是最小相位系统, 否则是非最小相位系统 。 如
果高频段的相角有无限增大的趋势, 则可能包
含滞后环节 。
根据上面初步得到的传递函数, 绘制其对数相
频特性曲线, 如图 2.59中虚线所示 。 可见, 与
实验曲线是不吻合的 。 当 ω=10时, 实验曲线
与 之差为 -115。, 而当 ω=20 时, 实验曲
线与 之差为 -240。, 这基本上和滞后环节
的相频特性 -0.2ω 相符, 所以系统的传递函数
应为
)(??
)(??
se
ssss
s
sG 2.0
2 ))
8
(
8
11)(1(
)
2
11(10
)( ?
???
?
?
系统建模是一个实践性很强的工作, 应该尽可能了解系统
的信息, 提出合适的系统模型 。
1,最小与非最小相位系统的概念
如果系统的传递函数在右半 S平面上没有极点
和零点, 而且不包含滞后环节, 则称为最小相
位系统, 否则, 称为非最小相位系统 。
只包含比例, 积分, 微分, 惯性, 振荡, 一阶
微分和二阶微分环节的系统是最小相位系统 。
而包含不稳定环节或滞后环节的系统则是非最
小相位系统 。
在伯德图上, 若一个最小相位系统和一个非最
小相位系统具有相同的幅频特性, 则最小相位
系统的相角滞后, 总是小于非最小相位系统的
相角滞后 。 例如, 从不稳定典型环节的伯德图
图 2.52和图 2.53上可明显地看出, 它们的相角滞
后都大于所对应的稳定的典型环节的相角滞后 。
最小相位系统的特征,
设一个最小相位系统的传递函数的分子, 分母的最
高次数分别是 n和 m,则当 时, 系统的相频特
性必然趋于 。 而对应的所有非最小相位系
统虽然具有相同的幅频特性, 但 时, 系统的
相频特性不等于 。 在伯德图上, 当系统的
对数相频特性的高频段趋于, 则为最小相
位系统, 否则, 是非最小相位系统 。
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2,由伯德图确定传递函数
对于最小相位系统, 幅频特性和相频特性是单值
对应的, 因此, 根据系统的对数幅频特性就可以
写出系统的传递函数或者频率特性 。
例 2.28 某最小相位系统的对数幅频特性的渐近线
如图 2.57所示, 确定该系统的传递函数 。
图 2.57 最小相位系统的伯德图
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40
- 20
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dB
解 由于对数幅频特性的低频段是 -20dB/dec的直线，
所以，系统的传递函数有一积分环节。根据转折点处
对数幅频特性渐近线斜率的变化，容易写出系统的传
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10
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由于低频段的延长线与 0db线 （ 横坐标轴 ） 的
交点为, 因此, K=10。
由于在转折频率处对数幅频特性和其渐近线的
误差为 4.44db，由式（ 2.112）得
44.421lg20 ??
3.0??
所以, 系统的传递函数为
)1 0 06)(4.0(
)1(4 0 0
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)1(10)(
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例 2.29 某最小相位系统的对数幅频特性的渐近
线如图 2.58所示, 确定该系统的传递函数 。
图 2.58 最小相位系统的伯德图
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0
101
0.2
- 20
- 60
- 20
解 由于对数幅频特性的低频段是 -20dB/dec的
直线, 所以, 系统的传递函数有 1个积分环节 。
根据转折点处对数幅频特性渐近线斜率的变化,
容易写出系统的传递函数为
2
2
2
2
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在穿越频率 ω=1处 L(1)=0，由此或者
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通常在穿越频率 ω=1附近，转折频率在穿越频
率左边的惯性环节的对数幅频特性可以认为是
-20dB/dec的斜线，即可以近似为一个积分环
节。而转折频率在穿越频率右边的惯性环节的
幅频特性可以认为是 0dB的水平线，即可以近
似为 1。
1)( 1 ????jG
一阶微分环节, 二阶微分环节, 振荡环节等可以
进行类似的近似处理, 从而简化计算 。
在本例中, 在穿越频率 ω=1附近, 可以作下列近
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因为在 ω=1 处, 开环对数幅频特性为 0dB,
或者幅值为 1,即
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因此得 K=25,所以，系统的传递函数为
2
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3,频率特性的实验确定法
稳定的线性系统频率特性的实验确定法,
采用正弦波发生器产生频率可调的正弦波, 作
用于被测系统, 测量系统稳态输出的正弦波的
幅值和相角 。 在尽可能宽的频率范围内不断改
变输入正弦波的频率, 可以测得一组实验数据,
然后根据实验数据绘制伯德图 。 最后在对数幅
频特性图上, 用一组斜率为 –20ndb/dec（ n=0,
± 1,± 2,… ） 的直线逼近系统的对数幅频特性
曲线, 作为系统对数幅频特性的渐近线 。
所选择的逼近对数幅频特性曲线的直线不是唯
一的 。 应该在满足建模精度的前提下, 选择较
低阶的模型 。
假设系统是最小相位的, 则根据所选择的对数
幅频特性的渐近线, 可以写出系统的传递函数 。
例如, 某系统的实验数据如表 2.4所示, 其伯
德图如图 2.59所示 。
表 2.4 某系统的实验数据
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0.1 0.2 0.4 1 2 4 10 20 40
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-94.7 -99.3 -108 -127 -146 -182 -325 -476 -835
在图中, 虚折线为所选择的对数频特性的渐近
线, 根据图中 3个转折频率 ω 1= 1,ω 2=2,ω 3=8
和 ω 3=8附近的幅值, 可以写出系统的传递函
数为
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注意,这个传递函数仅仅是根据系统的对数幅频
特性实验曲线得到的, 没有考虑系统对数相频
特性实验曲线, 所以, 这个传递函数是试探性
的 。 如果根据选择的模型绘制的曲线与实验得
到的曲线基本吻合, 则所选择的系统传递函数
模型是合适的 。 如果误差太大, 则要考虑模型
中某些环节是不稳定环节, 或者包含滞后环节 。
如果高频段的相角符合 -(n-m)90。 的关系, 则
是最小相位系统, 否则是非最小相位系统 。 如
果高频段的相角有无限增大的趋势, 则可能包
含滞后环节 。
根据上面初步得到的传递函数, 绘制其对数相
频特性曲线, 如图 2.59中虚线所示 。 可见, 与
实验曲线是不吻合的 。 当 ω=10时, 实验曲线
与 之差为 -115。, 而当 ω=20 时, 实验曲
线与 之差为 -240。, 这基本上和滞后环节
的相频特性 -0.2ω 相符, 所以系统的传递函数
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系统建模是一个实践性很强的工作, 应该尽可能了解系统
的信息, 提出合适的系统模型 。
