2.6 信号流图
2.6.1 信号流图的定义及基本性质
信号流图是表达线性代数方程组结构的一种图 。
在信号流图中, 小圆圈表示变量或信号, 称为
节点 。 连接两节点的线段称为支路, 信号只能
由支路的箭头方向传递 。 标在支路旁边的数学
算子称为传递函数或传递增益 。 传递增益可以
是常数, 也可以是复变函数 。 当传递函数为 1
时可以不标 。
用 信 号 流 图 表 示 方 程 组 的 基 本 法 则 为,
1)支路终点信号等于始点信号乘以支路传递函
数 。
例如, 代数方程 x2=ax1可以表示为图 2.24所
示信号流图 。
图 2.24 的信号流图
1x 2xa
信号只能沿支路以箭头方向传送 。 虽然代
数方程 x2=ax1 可以写成, 但在系统
中当 x1作为输入, x2作为输出时, 信号流
图就不能画成
图 2.25 的信号流图
21 1 xax ?
1x 2x
a1
21 1 xax ?
2）节点表示了系统中的信号，而且可以把所有
输入支路的信号叠加，并把和信号等同地送到
所有输出支路。其值均为所有输入信号乘各自
的支路传递函数之和。 如 x4=a1x1+a2x2+a3x3
可以表示成图 2.26所示。
图 2.26 x4=a1x1+a2x2+a3x3 的信号流图
1x
2x
3x
4x
4x
1a
2a
3a
1
1
2.6.2 信号流图的构造
标准作法,
在构作信号流图时，通常将输入节点画在左边
而输出节点画在右边，把, 反馈, 分支画在水
平线下面，其它分支画成水平线或在水平线上
边。自回环按其方向可以画在下面也可以画在
上面。
1 由线性代数方程组构造
构造步骤：
1） 把方程组写成, 因,,, 果, 形式 。 注
意, 每 个变量作为, 果, 只能一次, 其余的
作为, 因, ；
2） 把各变量作为节点, 从左到右按次序画在
图上；
3） 按方程式表达的关系, 分步画出各节点与
其他节点之间的关系；
设线性系统由 n个线性代数方程描述, 若写成
,(2.94)
则称为因果关系形式 。 其中, 写在等式左端的变
量为, 果,, 写在等式右端的变量为, 因, 。
?
?
?
n
i
iijj xax
1
nj,,2,1 ??
对于一个给定的线性方程组, 其信号流图不是
唯一的 。 但这些信号流图尽管形式上不同, 但
求解结果都是一样的, 都描述了同一个系统 。
所以, 这些信号流图是等效的, 称为等效的非
同构图 。
2,由微分方程组构造
信号流图只能表示线性代数方程，当系统是
由线性微分方程描述时，则应首先通过拉氏变
换将它们变换成线性代数方程，再整理成因果
形式，作出系统的信号流图。
? 3,由系统结构图构造
? 即按照结构图与信号流图的对应关系直接画信
号流图 。
? 先分析结构图与信号流图的对应关系：
?
)( sG
( a)
)(
1
sX
( b)
( c)
)(
1
sX
图 2,30 结构图与信号流图的对应关系
)(
1
sX
)(
1
sX
)(
1
sX )(
1
sX
)(
1
sX
)(
3
sX
)(
2
sX
)( sE
)( sE
)(
1
sX
)(
2
sX
)(
3
sX
)( sE
)( sE
-1
)( sE
)(
1
sX )(
2
sX )(
1
sX )(
2
sX)( sG
? 1）结构图中的信号线，方框及传递函数与信
号流图中的节点、支路及传递函数相对应。如
图 2.30a所示。
? 2） 结构图中的引出点, 在信号流图中合到节
点上去了, 信号直接从节点上引出, 这是因为
同一节点输出相等, 如图 2.30b所示 。
? 3）结构图中的, 比较点, 与信号流图中的
,节点, 相对应，如图 2.30c所示 。
?因为结构图中有正反馈和负反馈, 结构图的
比较点计算时有加有减, 而信号流图的节点则
仅是相加, 因此, 结构图中比较点的, －, 号
要放到信号流图中支路传递增益中去 。
?特别注意的是信号流图中的节点，一方面表
示了系统中的信号，另一方面具有将输入支路
信号相加、把和信号等同地送到所有输出支路
的作用。
?2.6.3 信号流图的变换法则与简化
?信号流图通过变换，也可以得到只剩下输入
节点和输出节点的信号流图，从而求出总的传
递函数。
?1,加法 —— 并联支路的简化
?n个同方向的并联支路, 可用一个等效支路代
替, 等效支路的传递函数等于 n个支路传递函
数之和 。
?
?2 乘法 —— 串联支路的简化
?n个同方向串联支路可用一个等效支路
代替, 等效支路的传递函数为所有串联
支路传递函数的乘积 。
?
? 3,支路移动法则 —— 混合节点的消除
? 要消除任一个有 m个输入支路和 n个输出支路
的节点，可将该节点的 m个输入支路分别沿 n个
输出支路作正向移动（即移动它们的未端）或
将它的 n个输出支路分别沿 m个输入支路作反向
移动（即移动它们的始端）。作正向移动的支
路始端不动，其未端移动到对节点来说是输出
支路的另一支路的未端。
?作反向移动的支路的未端不动, 其始端移动
到对该节点来说是输入支路的另一支路的始端 。
支路移动后得出的新支路的 传递函数 为被移动
的支路和沿其移动的支路的支路 传递函数 之积 。
?
? 4,自回环消除规则
? 只经过一个支路又回到该节点的，统称为自回
环。对于一个有个输入支路，个输出支路和自
回环的节点，如将 m个输入支路的每个支路的
传递函数除以（ 1— 自回环的传递函数），个
输出支路的支路传输值不变，则可消除该节点
的自回环。
1 5.反馈环消除规则
类似于结构图反馈回路的简化
2.6.4 梅森增益公式
对于求解比较复杂的多回环系统的传递函数，
具有很大的优越性。它不必进行费时的简化过
程，而是直接观察信号流图便可求得系统的传
递函数。
? 4,自回环消除规则
? 只经过一个支路又回到该节点的，统称为自回
环。对于一个有个输入支路，个输出支路和自
回环的节点，如将 m个输入支路的每个支路的
传递函数除以（ 1— 自回环的传递函数），个
输出支路的支路传输值不变，则可消除该节点
的自回环。
? 与梅森增益公式 有关的几个概念
? 1）通道：凡从某一节点开始，沿着支路的箭
头方向连续经过一些支路而终止在另一节点
（或同一节点）的途径，统称为通道。
? 2）前向通道：从输入节点到输出节点，而且
每个节点只经过一次的通道称为前向通道。前
向通道中各支路的乘积，称为前向通道传递增
益。
? 3）回路（闭通道）：如果通道的终点就是通
道的起点，并且通道中每个节点只经过一次，
则该通道称为回路、闭通道或反馈环。
? 4）不接触回路：如果一些回路没有任何公共
节点，称它们为不接触回路。
?梅森增益公式：信号流图的一个输入节点与
输出节点之间的总增益或总传递函数为
? =1-（所有回环的传递增益之和） +（所有两
个互不接触回环传递增益乘积之和）
? -（ 所有三个互不接触回环传
递增益乘积之和 ） + ……
? +……
?
?
?
?
?
n
k
kkGG
1
1
???? ??????? mm LLLL )1(1 321 ?
?式中,称为信号流图的特征式 。
应用梅森公式求解信号流图的具体步骤是：
1） 观察信号流图, 找出所有的回路, 并写出
它们的回路增益 L1,L2,L3, …… ；
2） 找出所有可能组合的 2个, 3个, …… 互不
接触 （ 无公共节点 ） 回路, 并写出回路增益；
3） 写出信号流图特征式；
4） 观察并写出所有从输入节点到输出节点的
前向通道的增益；
5） 分别写出与第 k条前向通道不接触部分信号
流图的特征式；
6） 代入梅森增益公式 。
2.7 频率特性
2.7.1 频率特性的定义
定义：线性定常系统的输出量的傅氏变换与输入
量的傅氏变换之比, 定义为系统的频率特性,
即
从数学意义上, 频率特性与传递函数存在下列
简单的关系：
)(
)()(
?
??
jR
jYjG ?
?? jssGjG ?? )()(
? 频率特性一般是复变函数，所以可以表示为指
数形式
? 或者幅角形式
?
记, 称为幅频特性,, 称为相
频特性 。 频率特性也可以表示为代数形式
)()()( ??? jGjejGjG ??
)()()( ??? jGjGjG ??
)()( ?? jGA ? )()( ??? jG??
)](Im [)](R e [)( ??? jGjjGjG ??
?记, 称为实频特性；,
称为虚频特性 。 显然, 代数形式和指数形式
（ 或幅角形式 ） 存在下列关系
?
)](Re[)( ?? jGU ? )](Im [)( ?? jGV ?
)()()( 22 ??? VUA ??
)(
)()( 1
?
???
U
Vtg ??
2.7.2 频率特性的物理意义
对于一般线性定常系统, 在正弦输入信号作用下,
系统输出的稳态分量也是一个同频率的正弦信
号 。 据此, 在控制理论中, 可得到更具有明显
物理意义的频率特性定义 。
定义：线性定常系统在正弦输入作用下, 输出
量的稳态分量的复相量与输入正弦信号的复相
量之比, 定义为系统的频率特性, 即
R
YjG
?
??)( ?
? 记,, 则
? 因此
?
2?jYeY ?? 1Re ?jR ??
)( 12
1
2
Re)(
??
?
?? ???? j
j
j e
R
YYe
R
YjG
?
?
R
YjG ?)( ?
12)( ??? ??? jG
? 结论,在正弦输入作用下, 线性定常系统的稳
态输出的正弦信号的幅值, 与输入正弦信号的
幅值之比, 就是系统的幅频特性；稳态输出的
正弦信号的相角, 与正弦输入信号的相角之差,
就是系统的相频特性 。
?
2.7.3 频率特性的几何表示
? 频率法是一种图解方法，主要有奈奎斯特
(Nyquist)图（简称奈氏图）、伯德 (Bode)图和
尼柯尔斯 (Nichols)图（简称尼氏图）等频率特
性图。
? 1,奈氏图
? 奈氏图是在极坐标系中，以 为参变量，
为极径,为极角的频率特性图，也称为幅
相频率特性图。或者等价地，奈氏图是在直角
坐标系中，以 为参变量,为横坐
标,为纵坐标的频率特性图。
)( ?jG
?
?
)( ?jG?
)](Re[)( ?? jGU ?
)](Im [)( ?? jGV ?
?
? 例如, 惯性环节 的奈氏图如图
2.41所示 。 其中,
?
TjjG ?? ?? 1
1)(
图 2,4 1 惯性环节的奈氏图
)( ?jG?
)( ?jG
)( ?U
)(?V
)( ?U
)(?V
?
0??
0
????
????
2)(1
1)(
T
jG
?
?
?
?
)()( 1 TtgjG ?? ????
2)(1
1)(
TU ?? ??
2)(1)( T
TV
?
??
?
??
? 2,伯德图
? 伯德图由两幅图组成。一幅是对数幅频特性图，
横坐标是频率 ω, 但是以对数分度，纵坐标
是 20lg|G(jω )|幅频特性的分贝值即，表明
了幅频特性与频率的关系。另一幅是对数相频
特性图，横坐标是频率 ω,也是以对数分度，
纵坐标是相角 ∠ G(jω),线性分度，表明了
相频特性与频率的关系。伯德图的坐标系如图
2.42所示。
图 2, 4 2 伯德图坐标
) ( ? L
?
0
) ( ? ?
?
o
0
o
90 ?
（ a ） 对数幅频特性图坐标系
（ b ） 对数相频特性图坐标系
20
40
20 ?
40 ?
o
90
o
180 ?
o
180
1, 0 1 10 100
1, 0 1 10 1 00
01, 0
01, 0
伯德图坐标
图 2,43 对数坐标刻度
21 10 1004 403 30206 60
? 在横坐标的对数分度中, 频率 ω 每变化十倍,
横坐标的间隔距离增加一个单位长度, 称为一
个十倍频程 。
? 例如, 惯性环节的伯德图如图 2.44所示 。
其中
2)(1lg20)(lg20)( TjGL ??? ????
)()()( 1 TtgjG ???? ?????
图 2, 4 4 惯性环节的伯德图
T
1
) ( ? L
?
0
T
1
) ( ? ?
?
o
0
o
90 ?
（ a ） 对数幅频特性图
（ b ） 对数相频特性图
dec db / 20 ?
o
45 ?
? 3,尼柯尔斯图
? 尼柯尔斯图是对数幅相频率特性图，以
频率 ω 作为参变量,横坐标是相角
∠ G(jω),纵坐标是幅频特性的分贝值即
20lg|G(jω )|。
? 2.5.4 典型环节频率特性的伯德图
? 1,放大环节
? G(jω )=K
? 放大环节的频率特性是一个与频率 ω 无关的常
数，其对数幅频特性和对数相频特性都是一条
水平直线，如图 2.45所示。
? 2,微分、积分环节
?, （ 2.107a）
?
? （ 2.107b）
?
ljjG )(
1)(
?? ?
,...2,1 ???l
??? lg20)(lg20)( ???? ljGL
? (2.107c)
? 对数幅频特性是一条直线，斜率为每十倍频程
（ ）分贝，记为 。对数相频特
性与频率无关，是一条水平线。微分、积分环
节的伯德图如图 2.46所示。 当 l=1时，是一个
积分环节，对数幅频特性是一条斜率为
的直线，相频特性是一条的水平线。当 l=-1时，
是一个微分环节,对数幅频特性是一条斜率
为 的直线，相频特性是一条 的水平
线。
2)()(
???? ljG ????
20??l d ecdBl /20??
decdB /20?
decdb /20 090
?
图 2.45 放大环节的伯德图
)( ?L
?
0
)( ??
?
o
0
o
1 8 0?
1?K
Klg20
Klg20
0?K
0?K
1?K
图 2.46 微分、积分环节的伯德图
)( ?L
?
0
d e cdbl /20??
)( ??
?
o
0
o
1 8 0?
2??l
20
0?l
1??l
3??l
1?l
2?l
3?l
1
40
60
20?
40?
60?
0.1
1?l
2?l
1??l
2??l
3??l
3?l
o
90?
o
2 7 0?
o
90
o
1 8 0
o
270
? 3,惯性环节
? 逐点取的值，可以精确地绘制出惯性环节的伯
德图,在用伯德图进行初步分析与设计时，可
以用渐近线代替精确曲线的误差。易知，在转
折频率 处误差最大，最大误差为
TjjG ?? ?? 1
1)(
221lg20)(lg20)( TjGL ??? ????
TtgjG ???? 1)()( ?????
T/1??
? 对于对数相频特性，一般应精确绘制。
? 4,一阶微分环节
? 一阶微分环节的对数幅频特性、相频特性与惯
性环节只差一个负号，因此，两者的伯德图对
称于横轴。
)(3)1(1lg20)( 21 dBT
T
L
T
??????
??
?
TjjG ?? ?? 1)(
221lg20)(lg20)( TjGL ??? ???
TtgjG ???? 1)()( ????
?
图 2.4 7 惯性环节的伯德图
T
1
)( ?L
?
0
T
1
)( ??
?
o
0
o
90?
o
45?
d e cdb /20?
图 2.48 一阶微分环节的伯德图
T
1
)( ?L
?
0
T
1
)( ??
?
o
0
o
90
o
45
+20 db / de c
? 5,振荡环节
? 振荡环节的幅频特性和相频特性不仅与参数 T
有关，而且与阻尼比 ζ 有关 。
1)(2)(
1)(
22 ??? ???? jTjTjG
2222 )2()1(lg20)( TTL ???? ????
22
1
1
2)(
T
Ttg
?
????
?
?? ?
? 初步分析与设计系统时，可以采用渐近
线，必要时再加以修正。
? 当 时，,即振荡环节的对
数幅频特性曲线的低频段的渐近线是 0db
的水平线。当 时，,
即振荡环节的对数幅频特性曲线的高频
段的渐近线是斜率为 -40的直线。两直线
交于 处。
T1??? dbL 0)( ??
T1???
TTL ??? lg40)l g (20)( 2 ????
Tn 1?? ??
? 在中频段即在附近, 用渐近线代替精确
曲线会有误差 。 在转折频率 处,
误差为
? 当
? 最大误差
Tn 1?? ??
?? 2
1lg20)( ?
nL
22m a x 21211 ???? ???? n
T
2m a x 12
1lg20
?? ?
?L
? 且当 时, 才出现峰值 。
? 6,二阶微分环节
? 二阶微分环节的对数幅频特性、相频特性与振
荡环节的对数幅频特性、相频特性只差一个负
号，因此，两者的伯德图也对称于横轴。
7 0 7.0??
maxL
1)(2)()( 22 ??? ???? jTjTjG
2222 )2()1(lg20)( TTL ???? ???
22
1
1
2)(
T
Ttg
?
????
??
?
?
图 2, 4 9 振荡环节的伯德图
n
?
)(?L
?
0
)( ??
?
o
0
o
90?
o
1 8 0?
m a x
?
m a x
L
)(
n
L ?
n
?
- 40 db / d e c
图 2,5 0 二阶微分环节的伯德图
T
1
)( ?L
?
0
T
1
)( ??
?
o
0
o
90
o
1 8 0
+40 db / d e c
max
?
n
?
m a x
L?
)(
n
L ??
? 7,滞后环节
? 对数幅频特性是 0db的水平线。 对数相频特性
是一条指数函数曲线 。
??? jejG ??)(
01lg20)(lg20)( ??? ?? jGL
????? ???? )()( jG
? 8,不稳定环节
? 不稳定的惯性, 振荡, 一阶微分和二阶微分
环节, 分别和惯性, 振荡, 一阶微分和二阶微
分环节具有相同的幅频特性, 所以, 对数幅频
特性曲线形状分别相同 。 它们的相频特性曲线
也有密切的关系 。 例如, 对于不稳定惯性环节
1
1)(
?? TjjG ??
221lg20)(lg20)( TjGL ??? ????
)1 8 0()()( 10 TtgjG ???? ??????
?不稳定惯性环节与惯性环节具有相同的对数
幅频特性，而对数相频特性对称于的水平线 。
? 2.7.5 开环频率特性的伯德图
?控制系统的开环频率特性的伯德图是在频域
分析、设计系统的基础。
?设控制系统的开环传递函数由个典型环节组
成, 即
090?
?
?
?
l
i
i sGsHsG
1
)()()(
? 则
? 可见，开环频率特性的对数幅频特性、相频特
性分别为其组成环节的对数幅频特性、相频特
性之和。在伯德图上就是各个环节的对数幅频
特性、相频特性曲线的叠加。因此，画出各个
环节的对数幅频特性和相频特性曲线，然后进
行叠加，即可得到开环频率特性的对数幅频特
性、相频特性曲线。
???
???
???
l
i
i
l
i
i
l
i
i LjGjGL
111
)()(lg20)(lg20)( ????
??
??
???
l
i
i
l
i
i jG
11
)()()( ?????
? 对数幅频特性曲线常用其渐近线表示，对数幅
频特性曲线渐近线可直接画出。
? 开环对数幅频特性在第一个转折频率以前的部
分称为低频段。对数幅频特性在和 0db/dec交
点处的频率附近的频段称为中频段，交点频率
称为开环截止频率，或者穿越频率。在最后一
个转折频率以后的频段称为高频段 。
?若系统的开环传递函数有 个积分环节, 则称
为 型系统 。 型系统的对数幅频特性的低频段
近似为
?对于 0型系统，作一条高度为的 0db/dec的直
线（水平线）；对于 1型系统,过
ω=1,L(1)=20lgK这一点，作一条斜率为 -
20db/dec的直线；对于 2型系统，过
ω,L(1)=20lgK这一点，作一条斜率为 -
40db/dec的直线。上面作出的直线上在第一个
转折频率之前的那一部分即为对数幅频特性的
低频段。
v
v v
v
KL
?? lg20)( ?
? 例 2.26 系统的开环传递函数为
?
? 解 1） 将传递函数写成标准形式
)1 0 04)(2(
)5(2 0 0 0)()(
2 ???
??
ssss
ssHsG
))
10
(
10
2.021)(
2
11(
)
5
11(50
)()(
2ssss
s
sHsG
???
?
?
? 系统的开环频率特性为
? 则开环传递系数为 K=50,转折频率为,
?, 。
? 2） 绘制对数坐标, 并将各个转折频率标注在
坐标轴上 。
))
10
(
10
2.0
21)(
2
1
1(
)
5
1
1(50
)()(
2????
?
??
jjjj
j
jHjG
???
?
?
21 ??
52 ?? 103 ??
? 3）确定低频段：
? 因为系统是 1型系统,K=50，
20lgK=20lg50=34db,所以,可以过 ω=1,
这一点，作一条 -20db/dec的斜线，得到对数
幅频特性低频段 。
? 4）绘制开环对数幅频特性的渐近线：将低频
段延伸到第一个转折频率 。
dbL 34)( ??
21 ??
?因为第一个转折频率是惯性环节的转折频率,
所以, 开 环 对 数 幅 频 特 性 的 渐 近 线 下 降
20db/dec,再延伸到第二个转折频率, 因为是
一阶微分环节, 所以增加 20db/dec,再延伸到
第三个转折频率, 因为是振荡环节, 所以减少
40db/dec。
?5） 绘制相频特性：绘制各个环节的对数相频
特性曲线, 然后逐点叠加 。
? 6)在转折频率处进行适当修正，可以得到较为
准确的对数幅频特性：对于惯性环节，在转折
频率处减少 3dB。对于一阶微分环节，在转折
频率处增加 3分贝。 对于振荡环节，转折频
率 处的误差值为103 ??
)(82.02 1lg202 1lg20)( 3 dbwL ???? ?
? 求出最大误差值为
? 根据这两个值, 对渐近线进行修正, 如图中实
线所示 。
6.921 2m a x ??? ??? n
)(1.8
12
1lg20
2m a x
dbL ?
?
?
??
?
Fr e q u e n c y ( r a d / s e c )
P
h
a
s
e
(
d
e
g
);
M
a
g
n
i
t
u
d
e
(
d
B
)
B o d e D i a g r a m s
- 1 0 0
- 5 0
0
50
100
10
-2
10
-1
10
0
10
1
10
2
- 3 0 0
- 2 0 0
- 1 0 0
0
2.6.1 信号流图的定义及基本性质
信号流图是表达线性代数方程组结构的一种图 。
在信号流图中, 小圆圈表示变量或信号, 称为
节点 。 连接两节点的线段称为支路, 信号只能
由支路的箭头方向传递 。 标在支路旁边的数学
算子称为传递函数或传递增益 。 传递增益可以
是常数, 也可以是复变函数 。 当传递函数为 1
时可以不标 。
用 信 号 流 图 表 示 方 程 组 的 基 本 法 则 为,
1)支路终点信号等于始点信号乘以支路传递函
数 。
例如, 代数方程 x2=ax1可以表示为图 2.24所
示信号流图 。
图 2.24 的信号流图
1x 2xa
信号只能沿支路以箭头方向传送 。 虽然代
数方程 x2=ax1 可以写成, 但在系统
中当 x1作为输入, x2作为输出时, 信号流
图就不能画成
图 2.25 的信号流图
21 1 xax ?
1x 2x
a1
21 1 xax ?
2）节点表示了系统中的信号，而且可以把所有
输入支路的信号叠加，并把和信号等同地送到
所有输出支路。其值均为所有输入信号乘各自
的支路传递函数之和。 如 x4=a1x1+a2x2+a3x3
可以表示成图 2.26所示。
图 2.26 x4=a1x1+a2x2+a3x3 的信号流图
1x
2x
3x
4x
4x
1a
2a
3a
1
1
2.6.2 信号流图的构造
标准作法,
在构作信号流图时，通常将输入节点画在左边
而输出节点画在右边，把, 反馈, 分支画在水
平线下面，其它分支画成水平线或在水平线上
边。自回环按其方向可以画在下面也可以画在
上面。
1 由线性代数方程组构造
构造步骤：
1） 把方程组写成, 因,,, 果, 形式 。 注
意, 每 个变量作为, 果, 只能一次, 其余的
作为, 因, ；
2） 把各变量作为节点, 从左到右按次序画在
图上；
3） 按方程式表达的关系, 分步画出各节点与
其他节点之间的关系；
设线性系统由 n个线性代数方程描述, 若写成
,(2.94)
则称为因果关系形式 。 其中, 写在等式左端的变
量为, 果,, 写在等式右端的变量为, 因, 。
?
?
?
n
i
iijj xax
1
nj,,2,1 ??
对于一个给定的线性方程组, 其信号流图不是
唯一的 。 但这些信号流图尽管形式上不同, 但
求解结果都是一样的, 都描述了同一个系统 。
所以, 这些信号流图是等效的, 称为等效的非
同构图 。
2,由微分方程组构造
信号流图只能表示线性代数方程，当系统是
由线性微分方程描述时，则应首先通过拉氏变
换将它们变换成线性代数方程，再整理成因果
形式，作出系统的信号流图。
? 3,由系统结构图构造
? 即按照结构图与信号流图的对应关系直接画信
号流图 。
? 先分析结构图与信号流图的对应关系：
?
)( sG
( a)
)(
1
sX
( b)
( c)
)(
1
sX
图 2,30 结构图与信号流图的对应关系
)(
1
sX
)(
1
sX
)(
1
sX )(
1
sX
)(
1
sX
)(
3
sX
)(
2
sX
)( sE
)( sE
)(
1
sX
)(
2
sX
)(
3
sX
)( sE
)( sE
-1
)( sE
)(
1
sX )(
2
sX )(
1
sX )(
2
sX)( sG
? 1）结构图中的信号线，方框及传递函数与信
号流图中的节点、支路及传递函数相对应。如
图 2.30a所示。
? 2） 结构图中的引出点, 在信号流图中合到节
点上去了, 信号直接从节点上引出, 这是因为
同一节点输出相等, 如图 2.30b所示 。
? 3）结构图中的, 比较点, 与信号流图中的
,节点, 相对应，如图 2.30c所示 。
?因为结构图中有正反馈和负反馈, 结构图的
比较点计算时有加有减, 而信号流图的节点则
仅是相加, 因此, 结构图中比较点的, －, 号
要放到信号流图中支路传递增益中去 。
?特别注意的是信号流图中的节点，一方面表
示了系统中的信号，另一方面具有将输入支路
信号相加、把和信号等同地送到所有输出支路
的作用。
?2.6.3 信号流图的变换法则与简化
?信号流图通过变换，也可以得到只剩下输入
节点和输出节点的信号流图，从而求出总的传
递函数。
?1,加法 —— 并联支路的简化
?n个同方向的并联支路, 可用一个等效支路代
替, 等效支路的传递函数等于 n个支路传递函
数之和 。
?
?2 乘法 —— 串联支路的简化
?n个同方向串联支路可用一个等效支路
代替, 等效支路的传递函数为所有串联
支路传递函数的乘积 。
?
? 3,支路移动法则 —— 混合节点的消除
? 要消除任一个有 m个输入支路和 n个输出支路
的节点，可将该节点的 m个输入支路分别沿 n个
输出支路作正向移动（即移动它们的未端）或
将它的 n个输出支路分别沿 m个输入支路作反向
移动（即移动它们的始端）。作正向移动的支
路始端不动，其未端移动到对节点来说是输出
支路的另一支路的未端。
?作反向移动的支路的未端不动, 其始端移动
到对该节点来说是输入支路的另一支路的始端 。
支路移动后得出的新支路的 传递函数 为被移动
的支路和沿其移动的支路的支路 传递函数 之积 。
?
? 4,自回环消除规则
? 只经过一个支路又回到该节点的，统称为自回
环。对于一个有个输入支路，个输出支路和自
回环的节点，如将 m个输入支路的每个支路的
传递函数除以（ 1— 自回环的传递函数），个
输出支路的支路传输值不变，则可消除该节点
的自回环。
1 5.反馈环消除规则
类似于结构图反馈回路的简化
2.6.4 梅森增益公式
对于求解比较复杂的多回环系统的传递函数，
具有很大的优越性。它不必进行费时的简化过
程，而是直接观察信号流图便可求得系统的传
递函数。
? 4,自回环消除规则
? 只经过一个支路又回到该节点的，统称为自回
环。对于一个有个输入支路，个输出支路和自
回环的节点，如将 m个输入支路的每个支路的
传递函数除以（ 1— 自回环的传递函数），个
输出支路的支路传输值不变，则可消除该节点
的自回环。
? 与梅森增益公式 有关的几个概念
? 1）通道：凡从某一节点开始，沿着支路的箭
头方向连续经过一些支路而终止在另一节点
（或同一节点）的途径，统称为通道。
? 2）前向通道：从输入节点到输出节点，而且
每个节点只经过一次的通道称为前向通道。前
向通道中各支路的乘积，称为前向通道传递增
益。
? 3）回路（闭通道）：如果通道的终点就是通
道的起点，并且通道中每个节点只经过一次，
则该通道称为回路、闭通道或反馈环。
? 4）不接触回路：如果一些回路没有任何公共
节点，称它们为不接触回路。
?梅森增益公式：信号流图的一个输入节点与
输出节点之间的总增益或总传递函数为
? =1-（所有回环的传递增益之和） +（所有两
个互不接触回环传递增益乘积之和）
? -（ 所有三个互不接触回环传
递增益乘积之和 ） + ……
? +……
?
?
?
?
?
n
k
kkGG
1
1
???? ??????? mm LLLL )1(1 321 ?
?式中,称为信号流图的特征式 。
应用梅森公式求解信号流图的具体步骤是：
1） 观察信号流图, 找出所有的回路, 并写出
它们的回路增益 L1,L2,L3, …… ；
2） 找出所有可能组合的 2个, 3个, …… 互不
接触 （ 无公共节点 ） 回路, 并写出回路增益；
3） 写出信号流图特征式；
4） 观察并写出所有从输入节点到输出节点的
前向通道的增益；
5） 分别写出与第 k条前向通道不接触部分信号
流图的特征式；
6） 代入梅森增益公式 。
2.7 频率特性
2.7.1 频率特性的定义
定义：线性定常系统的输出量的傅氏变换与输入
量的傅氏变换之比, 定义为系统的频率特性,
即
从数学意义上, 频率特性与传递函数存在下列
简单的关系：
)(
)()(
?
??
jR
jYjG ?
?? jssGjG ?? )()(
? 频率特性一般是复变函数，所以可以表示为指
数形式
? 或者幅角形式
?
记, 称为幅频特性,, 称为相
频特性 。 频率特性也可以表示为代数形式
)()()( ??? jGjejGjG ??
)()()( ??? jGjGjG ??
)()( ?? jGA ? )()( ??? jG??
)](Im [)](R e [)( ??? jGjjGjG ??
?记, 称为实频特性；,
称为虚频特性 。 显然, 代数形式和指数形式
（ 或幅角形式 ） 存在下列关系
?
)](Re[)( ?? jGU ? )](Im [)( ?? jGV ?
)()()( 22 ??? VUA ??
)(
)()( 1
?
???
U
Vtg ??
2.7.2 频率特性的物理意义
对于一般线性定常系统, 在正弦输入信号作用下,
系统输出的稳态分量也是一个同频率的正弦信
号 。 据此, 在控制理论中, 可得到更具有明显
物理意义的频率特性定义 。
定义：线性定常系统在正弦输入作用下, 输出
量的稳态分量的复相量与输入正弦信号的复相
量之比, 定义为系统的频率特性, 即
R
YjG
?
??)( ?
? 记,, 则
? 因此
?
2?jYeY ?? 1Re ?jR ??
)( 12
1
2
Re)(
??
?
?? ???? j
j
j e
R
YYe
R
YjG
?
?
R
YjG ?)( ?
12)( ??? ??? jG
? 结论,在正弦输入作用下, 线性定常系统的稳
态输出的正弦信号的幅值, 与输入正弦信号的
幅值之比, 就是系统的幅频特性；稳态输出的
正弦信号的相角, 与正弦输入信号的相角之差,
就是系统的相频特性 。
?
2.7.3 频率特性的几何表示
? 频率法是一种图解方法，主要有奈奎斯特
(Nyquist)图（简称奈氏图）、伯德 (Bode)图和
尼柯尔斯 (Nichols)图（简称尼氏图）等频率特
性图。
? 1,奈氏图
? 奈氏图是在极坐标系中，以 为参变量，
为极径,为极角的频率特性图，也称为幅
相频率特性图。或者等价地，奈氏图是在直角
坐标系中，以 为参变量,为横坐
标,为纵坐标的频率特性图。
)( ?jG
?
?
)( ?jG?
)](Re[)( ?? jGU ?
)](Im [)( ?? jGV ?
?
? 例如, 惯性环节 的奈氏图如图
2.41所示 。 其中,
?
TjjG ?? ?? 1
1)(
图 2,4 1 惯性环节的奈氏图
)( ?jG?
)( ?jG
)( ?U
)(?V
)( ?U
)(?V
?
0??
0
????
????
2)(1
1)(
T
jG
?
?
?
?
)()( 1 TtgjG ?? ????
2)(1
1)(
TU ?? ??
2)(1)( T
TV
?
??
?
??
? 2,伯德图
? 伯德图由两幅图组成。一幅是对数幅频特性图，
横坐标是频率 ω, 但是以对数分度，纵坐标
是 20lg|G(jω )|幅频特性的分贝值即，表明
了幅频特性与频率的关系。另一幅是对数相频
特性图，横坐标是频率 ω,也是以对数分度，
纵坐标是相角 ∠ G(jω),线性分度，表明了
相频特性与频率的关系。伯德图的坐标系如图
2.42所示。
图 2, 4 2 伯德图坐标
) ( ? L
?
0
) ( ? ?
?
o
0
o
90 ?
（ a ） 对数幅频特性图坐标系
（ b ） 对数相频特性图坐标系
20
40
20 ?
40 ?
o
90
o
180 ?
o
180
1, 0 1 10 100
1, 0 1 10 1 00
01, 0
01, 0
伯德图坐标
图 2,43 对数坐标刻度
21 10 1004 403 30206 60
? 在横坐标的对数分度中, 频率 ω 每变化十倍,
横坐标的间隔距离增加一个单位长度, 称为一
个十倍频程 。
? 例如, 惯性环节的伯德图如图 2.44所示 。
其中
2)(1lg20)(lg20)( TjGL ??? ????
)()()( 1 TtgjG ???? ?????
图 2, 4 4 惯性环节的伯德图
T
1
) ( ? L
?
0
T
1
) ( ? ?
?
o
0
o
90 ?
（ a ） 对数幅频特性图
（ b ） 对数相频特性图
dec db / 20 ?
o
45 ?
? 3,尼柯尔斯图
? 尼柯尔斯图是对数幅相频率特性图，以
频率 ω 作为参变量,横坐标是相角
∠ G(jω),纵坐标是幅频特性的分贝值即
20lg|G(jω )|。
? 2.5.4 典型环节频率特性的伯德图
? 1,放大环节
? G(jω )=K
? 放大环节的频率特性是一个与频率 ω 无关的常
数，其对数幅频特性和对数相频特性都是一条
水平直线，如图 2.45所示。
? 2,微分、积分环节
?, （ 2.107a）
?
? （ 2.107b）
?
ljjG )(
1)(
?? ?
,...2,1 ???l
??? lg20)(lg20)( ???? ljGL
? (2.107c)
? 对数幅频特性是一条直线，斜率为每十倍频程
（ ）分贝，记为 。对数相频特
性与频率无关，是一条水平线。微分、积分环
节的伯德图如图 2.46所示。 当 l=1时，是一个
积分环节，对数幅频特性是一条斜率为
的直线，相频特性是一条的水平线。当 l=-1时，
是一个微分环节,对数幅频特性是一条斜率
为 的直线，相频特性是一条 的水平
线。
2)()(
???? ljG ????
20??l d ecdBl /20??
decdB /20?
decdb /20 090
?
图 2.45 放大环节的伯德图
)( ?L
?
0
)( ??
?
o
0
o
1 8 0?
1?K
Klg20
Klg20
0?K
0?K
1?K
图 2.46 微分、积分环节的伯德图
)( ?L
?
0
d e cdbl /20??
)( ??
?
o
0
o
1 8 0?
2??l
20
0?l
1??l
3??l
1?l
2?l
3?l
1
40
60
20?
40?
60?
0.1
1?l
2?l
1??l
2??l
3??l
3?l
o
90?
o
2 7 0?
o
90
o
1 8 0
o
270
? 3,惯性环节
? 逐点取的值，可以精确地绘制出惯性环节的伯
德图,在用伯德图进行初步分析与设计时，可
以用渐近线代替精确曲线的误差。易知，在转
折频率 处误差最大，最大误差为
TjjG ?? ?? 1
1)(
221lg20)(lg20)( TjGL ??? ????
TtgjG ???? 1)()( ?????
T/1??
? 对于对数相频特性，一般应精确绘制。
? 4,一阶微分环节
? 一阶微分环节的对数幅频特性、相频特性与惯
性环节只差一个负号，因此，两者的伯德图对
称于横轴。
)(3)1(1lg20)( 21 dBT
T
L
T
??????
??
?
TjjG ?? ?? 1)(
221lg20)(lg20)( TjGL ??? ???
TtgjG ???? 1)()( ????
?
图 2.4 7 惯性环节的伯德图
T
1
)( ?L
?
0
T
1
)( ??
?
o
0
o
90?
o
45?
d e cdb /20?
图 2.48 一阶微分环节的伯德图
T
1
)( ?L
?
0
T
1
)( ??
?
o
0
o
90
o
45
+20 db / de c
? 5,振荡环节
? 振荡环节的幅频特性和相频特性不仅与参数 T
有关，而且与阻尼比 ζ 有关 。
1)(2)(
1)(
22 ??? ???? jTjTjG
2222 )2()1(lg20)( TTL ???? ????
22
1
1
2)(
T
Ttg
?
????
?
?? ?
? 初步分析与设计系统时，可以采用渐近
线，必要时再加以修正。
? 当 时，,即振荡环节的对
数幅频特性曲线的低频段的渐近线是 0db
的水平线。当 时，,
即振荡环节的对数幅频特性曲线的高频
段的渐近线是斜率为 -40的直线。两直线
交于 处。
T1??? dbL 0)( ??
T1???
TTL ??? lg40)l g (20)( 2 ????
Tn 1?? ??
? 在中频段即在附近, 用渐近线代替精确
曲线会有误差 。 在转折频率 处,
误差为
? 当
? 最大误差
Tn 1?? ??
?? 2
1lg20)( ?
nL
22m a x 21211 ???? ???? n
T
2m a x 12
1lg20
?? ?
?L
? 且当 时, 才出现峰值 。
? 6,二阶微分环节
? 二阶微分环节的对数幅频特性、相频特性与振
荡环节的对数幅频特性、相频特性只差一个负
号，因此，两者的伯德图也对称于横轴。
7 0 7.0??
maxL
1)(2)()( 22 ??? ???? jTjTjG
2222 )2()1(lg20)( TTL ???? ???
22
1
1
2)(
T
Ttg
?
????
??
?
?
图 2, 4 9 振荡环节的伯德图
n
?
)(?L
?
0
)( ??
?
o
0
o
90?
o
1 8 0?
m a x
?
m a x
L
)(
n
L ?
n
?
- 40 db / d e c
图 2,5 0 二阶微分环节的伯德图
T
1
)( ?L
?
0
T
1
)( ??
?
o
0
o
90
o
1 8 0
+40 db / d e c
max
?
n
?
m a x
L?
)(
n
L ??
? 7,滞后环节
? 对数幅频特性是 0db的水平线。 对数相频特性
是一条指数函数曲线 。
??? jejG ??)(
01lg20)(lg20)( ??? ?? jGL
????? ???? )()( jG
? 8,不稳定环节
? 不稳定的惯性, 振荡, 一阶微分和二阶微分
环节, 分别和惯性, 振荡, 一阶微分和二阶微
分环节具有相同的幅频特性, 所以, 对数幅频
特性曲线形状分别相同 。 它们的相频特性曲线
也有密切的关系 。 例如, 对于不稳定惯性环节
1
1)(
?? TjjG ??
221lg20)(lg20)( TjGL ??? ????
)1 8 0()()( 10 TtgjG ???? ??????
?不稳定惯性环节与惯性环节具有相同的对数
幅频特性，而对数相频特性对称于的水平线 。
? 2.7.5 开环频率特性的伯德图
?控制系统的开环频率特性的伯德图是在频域
分析、设计系统的基础。
?设控制系统的开环传递函数由个典型环节组
成, 即
090?
?
?
?
l
i
i sGsHsG
1
)()()(
? 则
? 可见，开环频率特性的对数幅频特性、相频特
性分别为其组成环节的对数幅频特性、相频特
性之和。在伯德图上就是各个环节的对数幅频
特性、相频特性曲线的叠加。因此，画出各个
环节的对数幅频特性和相频特性曲线，然后进
行叠加，即可得到开环频率特性的对数幅频特
性、相频特性曲线。
???
???
???
l
i
i
l
i
i
l
i
i LjGjGL
111
)()(lg20)(lg20)( ????
??
??
???
l
i
i
l
i
i jG
11
)()()( ?????
? 对数幅频特性曲线常用其渐近线表示，对数幅
频特性曲线渐近线可直接画出。
? 开环对数幅频特性在第一个转折频率以前的部
分称为低频段。对数幅频特性在和 0db/dec交
点处的频率附近的频段称为中频段，交点频率
称为开环截止频率，或者穿越频率。在最后一
个转折频率以后的频段称为高频段 。
?若系统的开环传递函数有 个积分环节, 则称
为 型系统 。 型系统的对数幅频特性的低频段
近似为
?对于 0型系统，作一条高度为的 0db/dec的直
线（水平线）；对于 1型系统,过
ω=1,L(1)=20lgK这一点，作一条斜率为 -
20db/dec的直线；对于 2型系统，过
ω,L(1)=20lgK这一点，作一条斜率为 -
40db/dec的直线。上面作出的直线上在第一个
转折频率之前的那一部分即为对数幅频特性的
低频段。
v
v v
v
KL
?? lg20)( ?
? 例 2.26 系统的开环传递函数为
?
? 解 1） 将传递函数写成标准形式
)1 0 04)(2(
)5(2 0 0 0)()(
2 ???
??
ssss
ssHsG
))
10
(
10
2.021)(
2
11(
)
5
11(50
)()(
2ssss
s
sHsG
???
?
?
? 系统的开环频率特性为
? 则开环传递系数为 K=50,转折频率为,
?, 。
? 2） 绘制对数坐标, 并将各个转折频率标注在
坐标轴上 。
))
10
(
10
2.0
21)(
2
1
1(
)
5
1
1(50
)()(
2????
?
??
jjjj
j
jHjG
???
?
?
21 ??
52 ?? 103 ??
? 3）确定低频段：
? 因为系统是 1型系统,K=50，
20lgK=20lg50=34db,所以,可以过 ω=1,
这一点，作一条 -20db/dec的斜线，得到对数
幅频特性低频段 。
? 4）绘制开环对数幅频特性的渐近线：将低频
段延伸到第一个转折频率 。
dbL 34)( ??
21 ??
?因为第一个转折频率是惯性环节的转折频率,
所以, 开 环 对 数 幅 频 特 性 的 渐 近 线 下 降
20db/dec,再延伸到第二个转折频率, 因为是
一阶微分环节, 所以增加 20db/dec,再延伸到
第三个转折频率, 因为是振荡环节, 所以减少
40db/dec。
?5） 绘制相频特性：绘制各个环节的对数相频
特性曲线, 然后逐点叠加 。
? 6)在转折频率处进行适当修正，可以得到较为
准确的对数幅频特性：对于惯性环节，在转折
频率处减少 3dB。对于一阶微分环节，在转折
频率处增加 3分贝。 对于振荡环节，转折频
率 处的误差值为103 ??
)(82.02 1lg202 1lg20)( 3 dbwL ???? ?
? 求出最大误差值为
? 根据这两个值, 对渐近线进行修正, 如图中实
线所示 。
6.921 2m a x ??? ??? n
)(1.8
12
1lg20
2m a x
dbL ?
?
?
??
?
Fr e q u e n c y ( r a d / s e c )
P
h
a
s
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