2.3.3 由微分方程求状态空间表达式
1．系统的实现问题
系统的实现,根据系统的外部描述构造一个内
部结构，要求既保持外部描述的输入输出关系，
又要将系统的内部结构确定下来 。
这是一个复杂的问题，但也是一个非常重要的
问题。一方面，描述系统输入输出关系的微分
方程或传递函数可以用实验的方法得到，我们
可以从输入输出关系描述建立状态空间描述，
这是建立状态空间描述的一条途径（前面介绍
的是通过机理分析建立状态空间描述）。
这时，一般描述为
(2.42)
buyayayay nnn ????? ?? 01)1(1)( ??
状态变量选为
则
由微分方程有
所以
因此，系统的状态方程为
)1(
2
1
??
?
?
n
n yx
yx
yx
?
?
)(
1
32
21
n
n
nn
yx
xx
xx
xx
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
buyayayay nnn ?????? ?? )1(110)( ??
buxaxaxax nnn ?????? ? 12110 ??
(2.43a)
因此，系统的状态方程为
输出方程为
(2.43b)
由微分方程
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??????
?
?
?
?
?
buxaxaxax
xx
xx
xx
nnn
nn
12110
1
32
21
??
?
?
?
?
1xy ?
表达为矩阵形式
(2.44a)
u
b
x
x
x
aaaa
x
x
x
n
n
n ?
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?
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????
?
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?
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?
?
?
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0
0
0
1000
100
10
2
1
1210
2
1
?
?
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?
??
?
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? ?
?
?
?
?
?
?
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?
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?
nx
x
x
y
?
? 2
1
001
例 2.10 已知系统的微分方程为,求状态
空间表达式。
解 选取状态变量为,,,则由式
(2.44)得状态空间描述为
3．微分方程含有输入的导数项
ryyyy ???? ?????? 23
yx ?1 yx ??2 yx ???3
? ?001,
1
0
0
,
321
100
010
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
? CBA
这时，一般描述为
(2.45)
状态变量的选取：对于这种情况不能选
输出及其各阶导数作为状态变量 。 因为
如果把, …, 作为状态变量,
则状态方程为
ubububyayayay nnnnn 01)(01)1(1)( ???????? ?? ????
y y? )1( ?ny
?,
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??????????
?
?
?
?
??
?
ububububxaxaxax
xx
xx
xx
n
n
n
nnnn
nn
01
)1(
1
)(
12110
1
32
21
????
?
?
?
?
这时, 状态变量中包含了输入信号的导数项,
使得当输入信号出现阶跃时, 状态变量将是不
确定的, 不满足选择状态变量的要求, 因此,
在这种情况下, 不能选择,, … 作为
状态变量 。
（ 1） 方法一
选取系统的状态变量为
y y? )1( ?ny
?(2.46)
其中,, …,是个待定系数。整理上
式可得
(2.47)
uhuhuhuhyuhxx
uhuhuhyuhxx
uhuhuhyuhxx
uhuhyuhxx
uhyx
nn
nnn
nnn
n
nnn
nnn
12
)2(
1
)1(
0
)1(
11
2
)3(
1
)2(
0
)2(
221
210223
10112
01
??
???
??
?
???
???
????????
???????
??????
?????
??
???
??
?
??????
???
0h 1h 1?nh
uhxx
uhxx
uhxx
nnn 11
232
121
?? ??
??
??
?
?
?
?
对式 (2.46)中最后一式求导，得
(2.48)
由微分方程 (2.45)得
(2.49)
uhuhuhyx nnnnn ??? 1)1(1)(0)( ?? ?????
ububububyayayay nnnnnnn 01)1(1)(01)1(1)( ?????????? ???? ????
ububub
uha
uhuha
uhuha
xaxaxa
ubububub
uhxauhuhxa
n
n
n
n
n
n
n
n
nnnn
n
n
n
n
n
n
nn
01
)(
00
2
)2(
02
1
)1(
01
10121
01
)1(
1
)(
0101
)1(
01
)(
)(
)()(
????
?
???
???
?????
?????
????????
?
?
?
?
?
?
???
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
??
??
将式 (2.49)代入式 (2.48)得
(2.50)
uhahahab
uhahahahb
uhahahb
uhahb
uhb
xaxaxaxax
nnnn
nnnnn
n
nnn
n
nn
n
n
nnnnn
)(
)(
)(
)(
)(
0022110
01322111
)2(
021122
)1(
0111
)(
0
1122110
?????
??????
????
???
??
??????
????
?????
?
???
?
??
???
?
??
?
??
选择待定系数，，使中输入信号的各阶导数项
的系数均为零，即
(2.51)
且令 中输入项的系数为,即
(2.52)
?
?
?
?
??
?
?
?
??????
????
???
??
?????
???
??
0
0
0
0
01322111
021122
0111
0
hahahahb
hahahb
hahb
hb
nnnnn
nnn
nn
n
?
?
nx? nh
0022110 hahahabh nnnnn ????? ???? ?
则
(2.53)
联立式 (2.47),(2.53)即为状态方程
(2.54)
矩阵形式为
(2.55a)
uhxaxaxaxax nnnnnn ??????? ??? 1122110 ??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???????
??
??
??
???
??
uhxaxaxaxax
uhxx
uhxx
uhxx
nnnnnn
nnn
1122110
11
232
121
??
?
?
?
?
u
h
h
h
h
x
aaaa
x
n
n
n
?
?
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?
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?
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?
?
?
?
?
?
????
?
?
?
1
2
1
1210
1000
0100
0010
?
?
?
??
?
?
?
输出方程为
(2.55b)
其中,，,由式 (2.51)和式 (2.52)确定，写成如
下便于记忆的矩阵形式
（ 2.56a）
? ? uhxuhxy 001 001 ???? ?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?????
????
???
??
?
????
???
???
??
0112200
112101
221102
1101
0
bhhahaha
bhhaha
bhhaha
bhha
bh
nnnnn
nnn
nnn
nn
n
?
?
?
0h 1hnh
（ 2.56a）
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?????
????
???
??
?
????
???
???
??
0112200
112101
221102
1101
0
bhhahaha
bhhaha
bhhaha
bhha
bh
nnnnn
nnn
nnn
nn
n
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?????
????
???
??
?
????
???
???
??
0112200
112101
221102
1101
0
bhhahaha
bhhaha
bhhaha
bhha
bh
nnnnn
nnn
nnn
nn
n
?
?
?
另一方面，而且是更重要的一个原因，通过实
现可以构造一个与原系统输入输出等价的系统
以便进行状态估计等，从而实现状态反馈控制，
改善系统控制特性。
2．微分方程不含有输入的导数项
则
（ 2.56b） buyayayay nnn ????? ?? 01)1(1)( ??
因此有
（ 2.57）
从式 （ 2.56） 可见, 当, 时可
得,, 代入式 (2.55)可得
式 (2.44),就是前面讨论的微分方程不含有输
入导数项的情况的结果 。
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
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??
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?
0
1
2
1
1
1210
321
12
1
1
2
1
0
1
1
1
1
1
0
b
b
b
b
b
aaaa
aaa
aa
a
h
h
h
h
h
n
n
n
n
nn
n
n
n
?
?
?
???
01 ??? nbb ? bb ?0
010 ??? ?nhh ? bh
n ?
例 2.11 以知系统的微分方程为
求系统的状态空间表达式。
解 由式（ 2.57）得
uuuyyy ????? ????????? 489
?
?
?
?
?
?
?
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?
?
?
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?
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?
?
?
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?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
38
5
1
0
1
4
1
0
19735 8 5
01973
0019
0001
1
4
1
0
1980
0198
0019
0001
1
3
2
1
0
h
h
h
h
取状态变量为
由式 (2.55a)得系统的状态空间表达式描述为
yuhyx ??? 01
uxuhxx
uxuhxx
52223
1112
????
????
??
??
u
x
x
x
x
x
x
?
?
?
?
?
?
?
?
?
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??
?
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?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
38
5
1
980
100
010
3
2
1
3
2
1
?
?
?
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
3
2
1
001
x
x
x
y
（ 2）方法二
这种方法的思路是基于方框图变换，与微分方
程 (2.45)等效的方框图如图（ 2.8a）所示，等效
变换为图（ 2.8b）。
图 2,8 传递函数的串联分解
)( sU
01
1
1
01
1
1
asasas
bsbsbsb
n
n
n
n
n
n
n
????
????
?
?
?
?
?
?
)( sY
)( sU
01
1
1
1
asasas
n
n
n
????
?
?
?
)( sZ
01
1
1
bsbsbsb
n
n
n
n
????
?
?
?
)( sY
( a)
( b)
引入中间变量 z，则微分方程 (2.45)可以化成下
面两个方程表示
（ 2.58a）
（ 2.58b）
取状态变量
，,,
则
uzazazaz nnn ????? ?? 01)1(1)( ??
zbzbzbzby nnnn 01)1(1)( ????? ?? ??
zx ?1 zx ??2 zx ???3 )1(,?? nn zx?
uzazazazx nnnn ??????? ?? 01)1(1)( ???
uxaxaxa nn ?????? ? 12110 ?
所以，状态方程为
或
(2.59a)
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??????
?
?
?
?
?
uxaxaxax
xx
xx
xx
nnn
nn
12110
1
32
21
??
?
?
?
?
ux
aaaa
x
n
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
????
?
?
1
0
0
0
1000
100
10
1210
0
?
?
?
???
由式 (2.58)得输出方程为
(2.59b)
一般,则
(2.59c)
这种方案选择的状态变量已不具有明显的物理意义，
但便于记忆。
)( 1211012110 uxaxaxabxbxbxby nnnnn ?????????? ?? ??
? ? ? ? ubxaaabxbbb nnnn ??? ?? 110110 ??
0?nb
? ?xbbby n 110 ?? ?
例 2.12 以知系统的微分方程为
求系统的状态空间描述。
解 由式（ 2.59）得状态空间描述为
由输入输出描述构造状态空间描述，即系统实
现问题的方法还很多，例如由传递函数构造状
态空间表达式。
uuuyyy ????? ????????? 489
uxx
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
1
0
0
980
100
010
?
? ?xy 141?
2.4 传递函数
2.4.1 传递函数与脉冲响应函数的定义
设描述线性定常系统的微分方程为
(2.60)
因为控制理论着重分析系统的结构、参数与系
统的动态性能之间的关系，所以，为简化分析，
设系统的初始条件为零。在零初始条件下，对
式（ 2.60）取拉氏变换
ubububyayayaya mmnnnn 01)(01)1(1)( ???????? ?? ????
01
1
1
01
1
1
)(
)(
asasasa
bsbsbsb
sU
sY
n
n
n
n
m
m
m
m
????
?????
?
?
?
?
?
?
记
（ 2.61）
反映了系统输出与输入之间的关系，描述
了系统的特性，通常称为线性定常系统（环节）
的传递函数。
定义：在零初始条件下，线性定常系统（环节）
输出的拉氏变换与输入的拉氏变换之比，称为
该系统（环节）的传递函数，记为 。
01
1
1
01
1
1
)(
)()(
asasasa
bsbsbsbsG
n
n
n
n
m
m
m
m
SU
SY
????
??????
?
?
?
?
?
?
)(sG
)(sG
显然，在零初始条件下，若线性定常系统的输
入的拉氏变换为，则系统的输出的拉氏变换为
（ 2.62）
系统的输出为 （ 2.63)
由于单位脉冲输入信号的拉氏变换为
所以, 单位脉冲输入信号作用下系统的输出的
拉氏变换为
)()()( sUsGsY ?
)}()({)}({)( 11 sUsGLsYLty ?? ??
1)}({)( ?? tδLsU
)()( sGsY ?
单位脉冲输入信号下系统的输出为 g(t),则
（ 2.64）
可见，系统传递函数的拉氏反变换即为单位脉
冲输入信号下系统的输出。因此，系统的单位
脉冲输入信号下系统的输出完全描述了系统动
态特性，所以也是系统的数学模型，通常称为
脉冲响应函数。
)}({)}({)( 11 sGLsYLtg ?? ??
定义 在零初始条件下, 线性定常系统在单位脉
冲输入信号作用下的输出响应, 称为该系统的
脉冲响应函数, 记为 g(t)。
2.4.2 传递函数的表达式
传递函数一般是复变函数, 可以变换为各种
形式 。
1．有理分式形式
传递函数最常用的形式是下列有理分式形式
（ 2.65）
传递函数的分母多项式 D(s)称为系统的特征多
项式, D(s)=0称为系统的特征方程, D(s)=0的
根称为系统的特征根或极点 。
)(
)()(
0111
0111
sD
sN
asasasa
bsbsbsbsG
nnnn
mmmm
????? ????? ?
?
??
?
?
分母多项式的阶次定义为系统的阶次 。 对于实
际的物理系统, 多项式 D(s),N(s)的所有系数
为实数, 且分母多项式的阶次 n高于或等于分
子多项式的阶次 m,即 n≥m 。
2,零极点形式
将传递函数的分子, 分母多项式变为首一多项
式, 然后在复数范围内因式分解, 得
n≥m （ 2.66）
?
?
?
?
?
?
?
n
i
i
m
i
i
ps
zsk
sG
1
1
)(
)(
)(
式中,称为系统的零点；
为系统的极点； k为系统的根轨迹放大系数。
系统零点、极点的分布决定了系统的特性，因
此，可以画出传递函数的零极点图，直接分析
系统特性。在零极点图上，用,, 表示极点
位置，用,, 表示零点
),,2,1( miz i ?? ),,2,1( nip i ??
?
?
状态变量选为 则
位置。
)1(
2
1
?
?
?
?
n
n yx
yx
yx
?
?
)(
1
32
21
n
n
nn
yx
xx
xx
xx
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
buyayayay nnn ?????? ?? )1(110)( ??
buxaxaxax nnn ?????? ? 12110 ??
例如，传递函数
的零极点图如图 2.9所示。
)1)(1)(3(
)2)(1(2
685
422)(
23
2
jsjss
ss
sss
sssG
?????
???
???
???
图 2.9 零极点图
0 1 2-1-2-3-4
1
2
-1
-2
j
3．时间常数形式
将传递函数的分子、分母多项式变为尾一多项
式，然后在复数范围内因式分解，得
（ 2.67）
（ 2.68）
?
?
?
?
?
?
?
?
n
i
i
v
m
i
i
sTs
sK
sG
1
1
)1(
)1(
)(
?
)( nvn ???
??
??
??
??
???
???
?
21
21
1
22
1
1
22
1
)12()1(
)12()1(
)(
n
l
lll
n
j
j
v
m
k
kkk
m
i
i
sTsTsTs
sssK
sG
?
????
K
式中,K为传递系数，通常也为系统的放大系
数； 为系统的时间常数。
2.4.3 线性系统的基本环节
1,问题的提出
不同性质的物理系统常常有相同的数学模型 。
任何线性连续系统的数学模型可以看作一些基
本环节组合而成 。
ii T,?
2．传递函数的一般形式
纯滞后现象,实际系统大多数都有延时效应,
即在输入作用一段时间 τ后, 系统才有输出响
应, 在时间 τ内输入虽然作了变化, 但系统输
出量并不作相应变化 。
输出量的变化落后于输入量变化的时间 τ称为纯
滞后时间 。
例 2.13 图 2.10所示为溶解槽溶解系统, 料斗中
的溶质用皮带输送机送至加料口 。 若在料斗处
加大送料量, 溶解槽中的溶液浓度要等增加的
溶质由料斗送到加料口并落入槽中后才改变,
也就是说, 溶液浓度的变化比加料量的改变落
后输送带输送的时间, 这就是纯滞后现象, 纯
滞后时间为
v
l
??
输送带速度
输送带长度
τ
图 2,10 溶解槽
料斗
稀液
浓液
v
l
下面推导该系统的传递函数。首先不考虑纯滞
后，即假设料斗的溶质直接落入溶解槽，则溶
液浓度与料斗加料量的关系为
传递函数为
当溶质由输送机输送时, 即考虑纯滞后, 其微
分方程应为
)()()( tKxtydt tdyT ??
1)( ?? Ts
KsG
)()()( tKxtydttdyT ???? ??
或
由拉氏变换实位移定理可导出系统的传递函数：
即
)()()( ???? tKxtydt tdyT
)()()( sKXsYesYT s e ss ?? ??
)()()1( sKXsYeTs s ?? ?
seTs KsG ???? 1)(
1．系统的实现问题
系统的实现,根据系统的外部描述构造一个内
部结构，要求既保持外部描述的输入输出关系，
又要将系统的内部结构确定下来 。
这是一个复杂的问题，但也是一个非常重要的
问题。一方面，描述系统输入输出关系的微分
方程或传递函数可以用实验的方法得到，我们
可以从输入输出关系描述建立状态空间描述，
这是建立状态空间描述的一条途径（前面介绍
的是通过机理分析建立状态空间描述）。
这时，一般描述为
(2.42)
buyayayay nnn ????? ?? 01)1(1)( ??
状态变量选为
则
由微分方程有
所以
因此，系统的状态方程为
)1(
2
1
??
?
?
n
n yx
yx
yx
?
?
)(
1
32
21
n
n
nn
yx
xx
xx
xx
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
buyayayay nnn ?????? ?? )1(110)( ??
buxaxaxax nnn ?????? ? 12110 ??
(2.43a)
因此，系统的状态方程为
输出方程为
(2.43b)
由微分方程
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??????
?
?
?
?
?
buxaxaxax
xx
xx
xx
nnn
nn
12110
1
32
21
??
?
?
?
?
1xy ?
表达为矩阵形式
(2.44a)
u
b
x
x
x
aaaa
x
x
x
n
n
n ?
?
?
?
?
?
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?
?
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?
????
?
?
?
?
?
?
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?
?
?
?
?
?
0
0
0
1000
100
10
2
1
1210
2
1
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
nx
x
x
y
?
? 2
1
001
例 2.10 已知系统的微分方程为,求状态
空间表达式。
解 选取状态变量为,,,则由式
(2.44)得状态空间描述为
3．微分方程含有输入的导数项
ryyyy ???? ?????? 23
yx ?1 yx ??2 yx ???3
? ?001,
1
0
0
,
321
100
010
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
? CBA
这时，一般描述为
(2.45)
状态变量的选取：对于这种情况不能选
输出及其各阶导数作为状态变量 。 因为
如果把, …, 作为状态变量,
则状态方程为
ubububyayayay nnnnn 01)(01)1(1)( ???????? ?? ????
y y? )1( ?ny
?,
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??????????
?
?
?
?
??
?
ububububxaxaxax
xx
xx
xx
n
n
n
nnnn
nn
01
)1(
1
)(
12110
1
32
21
????
?
?
?
?
这时, 状态变量中包含了输入信号的导数项,
使得当输入信号出现阶跃时, 状态变量将是不
确定的, 不满足选择状态变量的要求, 因此,
在这种情况下, 不能选择,, … 作为
状态变量 。
（ 1） 方法一
选取系统的状态变量为
y y? )1( ?ny
?(2.46)
其中,, …,是个待定系数。整理上
式可得
(2.47)
uhuhuhuhyuhxx
uhuhuhyuhxx
uhuhuhyuhxx
uhuhyuhxx
uhyx
nn
nnn
nnn
n
nnn
nnn
12
)2(
1
)1(
0
)1(
11
2
)3(
1
)2(
0
)2(
221
210223
10112
01
??
???
??
?
???
???
????????
???????
??????
?????
??
???
??
?
??????
???
0h 1h 1?nh
uhxx
uhxx
uhxx
nnn 11
232
121
?? ??
??
??
?
?
?
?
对式 (2.46)中最后一式求导，得
(2.48)
由微分方程 (2.45)得
(2.49)
uhuhuhyx nnnnn ??? 1)1(1)(0)( ?? ?????
ububububyayayay nnnnnnn 01)1(1)(01)1(1)( ?????????? ???? ????
ububub
uha
uhuha
uhuha
xaxaxa
ubububub
uhxauhuhxa
n
n
n
n
n
n
n
n
nnnn
n
n
n
n
n
n
nn
01
)(
00
2
)2(
02
1
)1(
01
10121
01
)1(
1
)(
0101
)1(
01
)(
)(
)()(
????
?
???
???
?????
?????
????????
?
?
?
?
?
?
???
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
??
??
将式 (2.49)代入式 (2.48)得
(2.50)
uhahahab
uhahahahb
uhahahb
uhahb
uhb
xaxaxaxax
nnnn
nnnnn
n
nnn
n
nn
n
n
nnnnn
)(
)(
)(
)(
)(
0022110
01322111
)2(
021122
)1(
0111
)(
0
1122110
?????
??????
????
???
??
??????
????
?????
?
???
?
??
???
?
??
?
??
选择待定系数，，使中输入信号的各阶导数项
的系数均为零，即
(2.51)
且令 中输入项的系数为,即
(2.52)
?
?
?
?
??
?
?
?
??????
????
???
??
?????
???
??
0
0
0
0
01322111
021122
0111
0
hahahahb
hahahb
hahb
hb
nnnnn
nnn
nn
n
?
?
nx? nh
0022110 hahahabh nnnnn ????? ???? ?
则
(2.53)
联立式 (2.47),(2.53)即为状态方程
(2.54)
矩阵形式为
(2.55a)
uhxaxaxaxax nnnnnn ??????? ??? 1122110 ??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???????
??
??
??
???
??
uhxaxaxaxax
uhxx
uhxx
uhxx
nnnnnn
nnn
1122110
11
232
121
??
?
?
?
?
u
h
h
h
h
x
aaaa
x
n
n
n
?
?
?
?
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?
?
?
?
?
?
?
?
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?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
????
?
?
?
1
2
1
1210
1000
0100
0010
?
?
?
??
?
?
?
输出方程为
(2.55b)
其中,，,由式 (2.51)和式 (2.52)确定，写成如
下便于记忆的矩阵形式
（ 2.56a）
? ? uhxuhxy 001 001 ???? ?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?????
????
???
??
?
????
???
???
??
0112200
112101
221102
1101
0
bhhahaha
bhhaha
bhhaha
bhha
bh
nnnnn
nnn
nnn
nn
n
?
?
?
0h 1hnh
（ 2.56a）
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?????
????
???
??
?
????
???
???
??
0112200
112101
221102
1101
0
bhhahaha
bhhaha
bhhaha
bhha
bh
nnnnn
nnn
nnn
nn
n
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?????
????
???
??
?
????
???
???
??
0112200
112101
221102
1101
0
bhhahaha
bhhaha
bhhaha
bhha
bh
nnnnn
nnn
nnn
nn
n
?
?
?
另一方面，而且是更重要的一个原因，通过实
现可以构造一个与原系统输入输出等价的系统
以便进行状态估计等，从而实现状态反馈控制，
改善系统控制特性。
2．微分方程不含有输入的导数项
则
（ 2.56b） buyayayay nnn ????? ?? 01)1(1)( ??
因此有
（ 2.57）
从式 （ 2.56） 可见, 当, 时可
得,, 代入式 (2.55)可得
式 (2.44),就是前面讨论的微分方程不含有输
入导数项的情况的结果 。
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
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?
?
?
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?
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??
?
?
0
1
2
1
1
1210
321
12
1
1
2
1
0
1
1
1
1
1
0
b
b
b
b
b
aaaa
aaa
aa
a
h
h
h
h
h
n
n
n
n
nn
n
n
n
?
?
?
???
01 ??? nbb ? bb ?0
010 ??? ?nhh ? bh
n ?
例 2.11 以知系统的微分方程为
求系统的状态空间表达式。
解 由式（ 2.57）得
uuuyyy ????? ????????? 489
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
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?
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?
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?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
38
5
1
0
1
4
1
0
19735 8 5
01973
0019
0001
1
4
1
0
1980
0198
0019
0001
1
3
2
1
0
h
h
h
h
取状态变量为
由式 (2.55a)得系统的状态空间表达式描述为
yuhyx ??? 01
uxuhxx
uxuhxx
52223
1112
????
????
??
??
u
x
x
x
x
x
x
?
?
?
?
?
?
?
?
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??
?
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?
?
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?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
38
5
1
980
100
010
3
2
1
3
2
1
?
?
?
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
3
2
1
001
x
x
x
y
（ 2）方法二
这种方法的思路是基于方框图变换，与微分方
程 (2.45)等效的方框图如图（ 2.8a）所示，等效
变换为图（ 2.8b）。
图 2,8 传递函数的串联分解
)( sU
01
1
1
01
1
1
asasas
bsbsbsb
n
n
n
n
n
n
n
????
????
?
?
?
?
?
?
)( sY
)( sU
01
1
1
1
asasas
n
n
n
????
?
?
?
)( sZ
01
1
1
bsbsbsb
n
n
n
n
????
?
?
?
)( sY
( a)
( b)
引入中间变量 z，则微分方程 (2.45)可以化成下
面两个方程表示
（ 2.58a）
（ 2.58b）
取状态变量
，,,
则
uzazazaz nnn ????? ?? 01)1(1)( ??
zbzbzbzby nnnn 01)1(1)( ????? ?? ??
zx ?1 zx ??2 zx ???3 )1(,?? nn zx?
uzazazazx nnnn ??????? ?? 01)1(1)( ???
uxaxaxa nn ?????? ? 12110 ?
所以，状态方程为
或
(2.59a)
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??????
?
?
?
?
?
uxaxaxax
xx
xx
xx
nnn
nn
12110
1
32
21
??
?
?
?
?
ux
aaaa
x
n
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
????
?
?
1
0
0
0
1000
100
10
1210
0
?
?
?
???
由式 (2.58)得输出方程为
(2.59b)
一般,则
(2.59c)
这种方案选择的状态变量已不具有明显的物理意义，
但便于记忆。
)( 1211012110 uxaxaxabxbxbxby nnnnn ?????????? ?? ??
? ? ? ? ubxaaabxbbb nnnn ??? ?? 110110 ??
0?nb
? ?xbbby n 110 ?? ?
例 2.12 以知系统的微分方程为
求系统的状态空间描述。
解 由式（ 2.59）得状态空间描述为
由输入输出描述构造状态空间描述，即系统实
现问题的方法还很多，例如由传递函数构造状
态空间表达式。
uuuyyy ????? ????????? 489
uxx
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
1
0
0
980
100
010
?
? ?xy 141?
2.4 传递函数
2.4.1 传递函数与脉冲响应函数的定义
设描述线性定常系统的微分方程为
(2.60)
因为控制理论着重分析系统的结构、参数与系
统的动态性能之间的关系，所以，为简化分析，
设系统的初始条件为零。在零初始条件下，对
式（ 2.60）取拉氏变换
ubububyayayaya mmnnnn 01)(01)1(1)( ???????? ?? ????
01
1
1
01
1
1
)(
)(
asasasa
bsbsbsb
sU
sY
n
n
n
n
m
m
m
m
????
?????
?
?
?
?
?
?
记
（ 2.61）
反映了系统输出与输入之间的关系，描述
了系统的特性，通常称为线性定常系统（环节）
的传递函数。
定义：在零初始条件下，线性定常系统（环节）
输出的拉氏变换与输入的拉氏变换之比，称为
该系统（环节）的传递函数，记为 。
01
1
1
01
1
1
)(
)()(
asasasa
bsbsbsbsG
n
n
n
n
m
m
m
m
SU
SY
????
??????
?
?
?
?
?
?
)(sG
)(sG
显然，在零初始条件下，若线性定常系统的输
入的拉氏变换为，则系统的输出的拉氏变换为
（ 2.62）
系统的输出为 （ 2.63)
由于单位脉冲输入信号的拉氏变换为
所以, 单位脉冲输入信号作用下系统的输出的
拉氏变换为
)()()( sUsGsY ?
)}()({)}({)( 11 sUsGLsYLty ?? ??
1)}({)( ?? tδLsU
)()( sGsY ?
单位脉冲输入信号下系统的输出为 g(t),则
（ 2.64）
可见，系统传递函数的拉氏反变换即为单位脉
冲输入信号下系统的输出。因此，系统的单位
脉冲输入信号下系统的输出完全描述了系统动
态特性，所以也是系统的数学模型，通常称为
脉冲响应函数。
)}({)}({)( 11 sGLsYLtg ?? ??
定义 在零初始条件下, 线性定常系统在单位脉
冲输入信号作用下的输出响应, 称为该系统的
脉冲响应函数, 记为 g(t)。
2.4.2 传递函数的表达式
传递函数一般是复变函数, 可以变换为各种
形式 。
1．有理分式形式
传递函数最常用的形式是下列有理分式形式
（ 2.65）
传递函数的分母多项式 D(s)称为系统的特征多
项式, D(s)=0称为系统的特征方程, D(s)=0的
根称为系统的特征根或极点 。
)(
)()(
0111
0111
sD
sN
asasasa
bsbsbsbsG
nnnn
mmmm
????? ????? ?
?
??
?
?
分母多项式的阶次定义为系统的阶次 。 对于实
际的物理系统, 多项式 D(s),N(s)的所有系数
为实数, 且分母多项式的阶次 n高于或等于分
子多项式的阶次 m,即 n≥m 。
2,零极点形式
将传递函数的分子, 分母多项式变为首一多项
式, 然后在复数范围内因式分解, 得
n≥m （ 2.66）
?
?
?
?
?
?
?
n
i
i
m
i
i
ps
zsk
sG
1
1
)(
)(
)(
式中,称为系统的零点；
为系统的极点； k为系统的根轨迹放大系数。
系统零点、极点的分布决定了系统的特性，因
此，可以画出传递函数的零极点图，直接分析
系统特性。在零极点图上，用,, 表示极点
位置，用,, 表示零点
),,2,1( miz i ?? ),,2,1( nip i ??
?
?
状态变量选为 则
位置。
)1(
2
1
?
?
?
?
n
n yx
yx
yx
?
?
)(
1
32
21
n
n
nn
yx
xx
xx
xx
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
buyayayay nnn ?????? ?? )1(110)( ??
buxaxaxax nnn ?????? ? 12110 ??
例如，传递函数
的零极点图如图 2.9所示。
)1)(1)(3(
)2)(1(2
685
422)(
23
2
jsjss
ss
sss
sssG
?????
???
???
???
图 2.9 零极点图
0 1 2-1-2-3-4
1
2
-1
-2
j
3．时间常数形式
将传递函数的分子、分母多项式变为尾一多项
式，然后在复数范围内因式分解，得
（ 2.67）
（ 2.68）
?
?
?
?
?
?
?
?
n
i
i
v
m
i
i
sTs
sK
sG
1
1
)1(
)1(
)(
?
)( nvn ???
??
??
??
??
???
???
?
21
21
1
22
1
1
22
1
)12()1(
)12()1(
)(
n
l
lll
n
j
j
v
m
k
kkk
m
i
i
sTsTsTs
sssK
sG
?
????
K
式中,K为传递系数，通常也为系统的放大系
数； 为系统的时间常数。
2.4.3 线性系统的基本环节
1,问题的提出
不同性质的物理系统常常有相同的数学模型 。
任何线性连续系统的数学模型可以看作一些基
本环节组合而成 。
ii T,?
2．传递函数的一般形式
纯滞后现象,实际系统大多数都有延时效应,
即在输入作用一段时间 τ后, 系统才有输出响
应, 在时间 τ内输入虽然作了变化, 但系统输
出量并不作相应变化 。
输出量的变化落后于输入量变化的时间 τ称为纯
滞后时间 。
例 2.13 图 2.10所示为溶解槽溶解系统, 料斗中
的溶质用皮带输送机送至加料口 。 若在料斗处
加大送料量, 溶解槽中的溶液浓度要等增加的
溶质由料斗送到加料口并落入槽中后才改变,
也就是说, 溶液浓度的变化比加料量的改变落
后输送带输送的时间, 这就是纯滞后现象, 纯
滞后时间为
v
l
??
输送带速度
输送带长度
τ
图 2,10 溶解槽
料斗
稀液
浓液
v
l
下面推导该系统的传递函数。首先不考虑纯滞
后，即假设料斗的溶质直接落入溶解槽，则溶
液浓度与料斗加料量的关系为
传递函数为
当溶质由输送机输送时, 即考虑纯滞后, 其微
分方程应为
)()()( tKxtydt tdyT ??
1)( ?? Ts
KsG
)()()( tKxtydttdyT ???? ??
或
由拉氏变换实位移定理可导出系统的传递函数：
即
)()()( ???? tKxtydt tdyT
)()()( sKXsYesYT s e ss ?? ??
)()()1( sKXsYeTs s ?? ?
seTs KsG ???? 1)(
