3．基本环节的分类
就数学意义上而言，线性连续定常系统的传递
函数总是由这几种类型的因子组成的，这些因
子称为基本环节，或者称为典型环节。
放大环节 （ 比例环节 ）, k
积分环节：
微分环节,s
惯性环节：
s
1
1
1
?Ts
一阶微分环节：
二阶微分环节：
滞后环节 （ 纯时滞环节 ）,
上面各环节称为稳定基本环节, 下面几个基本
环节一般称为不稳定基本环节 。
不稳定惯性环节：
不稳定振荡环节：
1?s?
1222 ?? ss ???
se??
11?Ts
12
1
22 ?? TssT ?
1?s?
不稳定一阶微分环节：
不稳定二阶微分环节：
因为不稳定惯性, 振荡环节是不稳定的, 因为
在形式上与惯性, 振荡环节相似, 所以称为不
稳定惯性环节和不稳定振荡环节 。 但不稳定一
阶, 二阶微分环节只是为了与一阶, 二阶微分
环节区别起见, 才称为不稳定一阶微分环节和
不稳定二阶微分环节, 但它们实际上是稳定的 。
1?s?
1222 ?? ss ???
各种基本环节反映了物理系统内在的共同运动
规律, 也是组成系统的基本环节 。 一个系统或
一个元件 （ 线性连续 ） 总可以由一个或几个基
本环节组成 。 有些基本环节在实际中可以单独
存在, 但各种微分环节实际上是不能单独存在
的 。
引进系统的基本环节的概念, 使我们可以引进
结构图, 信号流图等各种能表示系统结构的数
学模型, 对控制系统作更详细的分析 。
2.4.4 多变量系统的传递矩阵
1970年英国的罗森布洛克和罗马尼亚的波波夫
把传递函数的概念引入多变量系统, 建立了与
单变量系统类似的频域分析设计方法 。
对于多变量系统，每个输入和每个输出之间的
关系都用一个传递函数描述，这些传递函数构
成了一个矩阵，称为传递矩阵。
如图 2.11所示线性定常
多输入多输出（ MIMO）
系统，任一个输入 和任
一个输出 间的传递函数
定义为：除第 i个输入外，
设其余输入均为 0，且在零初始条件下，第 j个输
出 的拉氏变换与第个输入 的拉氏变换之
比，定义为第 i个输入和第 j个输出之间的传递
函数,即
图 2,1 1 MIMO 系统
1
u
2
u
r
u
1
y
2
y
m
y
M IM O
系统
iu
iu
jy
)(sYj )(sUi
)(sGji
（ 2.70）
由于线性系统满足叠加原理，所以，系统的各个输出
分别为
)(
)()(
sU
sYsG
i
j
ji ?
)()()()()()()(
)()()()()()()(
22221212
12121111
sUsGsUsGsUsGsY
sUsGsUsGsUsGsY
rr
rr
????
????
?
?
)()()()()()()( 2211 sUsGsUsGsUsGsY rmrmmm ???? ?
?
表示为矩阵形式
?
（ 2.71）
记
则
（ 2.72）
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
)(
)(
)(
)()()(
)()()(
)()()(
)(
)(
)(
2
1
21
22221
11211
2
1
sU
sU
sU
sGsGsG
sGsGsG
sGsGsG
sY
sY
sY
rmrmm
r
r
m ?
???
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
)()()(
)()()(
)()()(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
21
22221
11211
2
1
2
1
sGsGsG
sGsGsG
sGsGsG
sG
sU
sU
sU
sU
sY
sY
sY
sY
mrmm
r
r
rm ?
???
?
?
??
)()()( sUsGsY ?
式中,与单变量系统中的传递函数具有相同
的意义，通常称为传递矩阵。注意到：因为
和 都是向量或矩阵，所以不能表达
为 。
2.4.5 从状态空间表达式求传递矩阵
设多输入多输出 (MIMO)线性定常系统的状态
空间表达式为
)(sG
)(sU
)(sY
)()()( sUsYsG ?
(2.73a)
(2.73b)
式中,A,B,C,D分别
为,,, 维矩阵。对 (2.73)式作拉氏变
换，得
式中,, 分别是 的拉氏变换
式。
BuAxx ???
DuCxy ??
。，,rmn RuRyRx ???
nn? rn? nm? rm?
)()()0()( sBUsAXxssX ???
)()()( sDUsCXsY ??
)(sX )(sU )(sY )()()( tytutx,，
则
(2.74)
由传递矩阵的定义，系统的传递矩阵为
(2.75)
)0()()()( xsBUsXAsI ???
)0()()()()( 11 xAsIsBUAsIsX ?? ????
)0()()()()()( 11 xAsICsDUsBUAsICsY ?? ?????
)0()()(])([ 11 xAsICsUDBAsIC ?? ?????
DBAsICsG ??? ? 1)()(
例 2.14 已知系统状态空间表达式为
试求其传递矩阵。
解
3212
211
23213
2132
121
2
26116
2
xxxy
xxy
uxxxx
uuxx
uxx
???
??
?????
???
??
?
?
?
0,
112
011
,
20
12
01
,
6116
100
010
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
? DCBA
由式 (2.75)得
在上述运算中, 求 是比较麻烦的 。
?
?
?
?
?
?
?
?
?????
?????
???
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
1417352564
43294
6116
1
20
12
01
6116
10
01
112
011
)(
22
22
23
1
ssss
ssss
sss
s
s
s
sG
1)( ?? AsI
求 的 Leverrier--Faddeeva 递推算法。
(2.76a)
记
(2.76b)
(2.76c)
1)( ?? AsI
)d e t (
)()( 1
AsI
AsIa d jAsI
?
??? ?
nnnn asasasAsI ?????? ?? 111)d e t ( ?
nnnn BsBsBsBAsIa d j ?????? ??? 12211)( ?
其中,是常系数,是 维常数矩阵，
可由下面递推公式求取
(2.77)
ia iB nn?
IaABB
IaABB
IaABB
IaABB
IB
nnn
iii
11
11
223
112
1
??
??
??
??
??
??
?
?
?
)(
1
)(
1
)(
3
1
)(
2
1
)(
33
22
11
nn
ii
ABtr
n
a
ABtr
i
a
ABtra
ABtra
ABtra
??
??
??
??
??
?
?
递推式避免了求逆矩阵的困难，它只是
简单的矩阵代数运算，并且可以借助于
计算机，按照 的
递推次序求得，程序也不复杂。
例 2.15 用上述递推的方法重解例 2.14。
nn aBaABBa ?????? ?2221
解 IB ?
1
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
????
0116
160
016
6112 IAIaABB
6)( 11 ????? t r AABtra
11
1160
0116
160
2
1
)(
2
1
22
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
????
??
tr
ABtra
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
????
060
006
1611
112223 IABIaABB
6
600
060
006
3
1
)(
3
1
33
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
tr
ABtra
代入式 (2.76)得
?
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
???
?? ?
060
006
1611
0116
160
016
6116
1)( 2
23
1 sIs
sss
AsI
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
??
???
???
?
2
2
2
23
6116
66
16116
6116
1
sss
sss
sss
sss
代入式 (2.75)得
? + D
?
?
?
BAsICsG 1)()( ???
B
sss
sss
ss
sss ??
?
?
?
?
?
?
?
?
???
??
???
?
?
?
?
?
?
?
?
???
?
2
2
2
23
6116
66
16116s
112
011
6116
1
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???????
???????
???
?
20
12
01
2181916182
165176
6116
1
222
22
23 ssssss
sssss
sss
??
?
??
?
?????
?????
???? 1417352564
43294
6116
1
32
22
23 ssss
ssss
sss
2.5 结构图
2.5.1 结构图的基本组成
微分方程、传递函数等数学模型，都是用纯数
学表达式来描述系统特性，不能反映系统中各
元部件对整个系统性能的影响，而系统原理图、
职能方框图虽然反映了系统的物理结构，但又
缺少系统中各变量间的定量关系。
结构图或称为方框图, 方块图等, 既能描述
系统中各变量间的定量关系, 又能明显地表示
系统各部件对系统性能的影响 。
1） 信号线：带有箭头的直线, 箭头表示信号传
递方向, 直线上面或者旁边标注所传递信号的
时间函数或象函数, 如图 2.12（ a） 所示 。
2）引出点（测量点）：引出或者测量信号的位
置。从同一信号线上引出的信号在数值和性质
上完全相同，如图 2.12（ b)所示。这里的信号
引出与测量信号一样，不影响原信号，所以也
称为测量点,
3）比较点（综合点）：对两个或者两个以上的
信号进行代数运算，如图 2.12（ c）所示,,+”
表示相加,,-”表示相减,,+”可以省略不写。
比较点可以有多个输入信号，但一般只画一个
输出信号，如图 2.12（ d）所示。若需要几个
输出，通常加引出点，如图 2.12（ e）所示。
)( tu
)()()( sUsGsC ?
)( sG
)( sU
( a)
)( tu )( tu
)( tu
)( sU )( sU
)( sU
( b)
)( tu
)()( tctu ?
?
)( tc
)( sU
)()( tCsU ?
?
)( sC
( c)
)( tu )()()( tytctu ???
?
)( tc
?
( d)
)( ty
?
?
?
?
)()()( sYsCsU ???)( sU
)( sY
)( sC
)( tu
)()( tctu ?
?
)( tc
)( sU
)()( sCsU ?
?
)( sC
( e)
)()( tctu ? )()( sCsU ?
)( sU
( f)
图 2.12 结构图基本单元
4） 方块：表示对输入信号进行的数学变换 。
对 于线性定常系统或元件, 通常在方框中写入
其传递函数或者频率特性 。 系统输出的象函数
等于输入的象函数乘以方框中的传递函数或者
频率特性, 如图 2.12（ f） 所示 。
结构图也可以表示非线性系统和离散系统。
对于非线性系统，方框表示非线性环节，方框
中的内容可以是非线性特性的数学表达式、输
入输出关系图，或者是后面要介绍的描述函数。
对于离散系统，方框中是传递函数，并且结构
图中还包含有采样开关等环节。后面将详细介
绍这些内容。
例 2.16 绘制如图 2.13所示 RC网络的结构图。
解 选取一些中间变量如图中所示 。 根据电路定
律, 得到以下方程
图 2.13 RC 网络
C
1R
2R
ru c
u
i 1i
2i
)()( 2 sIRsU c ?
)()(1 112 sIRsICs ?
)()()( 21 sIsIsI ??
)()()( 11 sUsIRsU cr ??
按照上述方程，可以 分别绘制相应元件的结构
图，如图 2.14(a) ～ (d)所示。然后，根 据相
互关系将这些结构图连接起来，就得到整个系
统的结构图。
1
1
R
)( sU
r
)(
1
sI
)( sU
c
2
R
)( sI )( sU
c
1
R
)(
1
sI
Cs
)(
2
sI
)(
1
sI
)(
2
sI
)( sI
1
1
R
)( sU
r
)(
1
sI
)( sU
c
2
R
)( sU
c
1
R
Cs
)(
2
sI
)(
1
sI
)( sI
( a) ( b)
( c) ( d)
( e)
2.5.2 结构图的变换法则
为了便于系统分析和设计, 常常需要对系统的
结构图作等价变换, 或者通过变换使系统结构
图简化, 求取系统的总传递函数 。 因此, 结构
图变换是控制理论的基本内容 。 表 2.1 列出了
常用的变换法则 。 这些法则很容易从它代表的
数学表达式来证明 。 例如, 并联等价变换法则,
由原结构图可以得到
（ 2.78）
所以, 等价结构图方块中的传递函数为
（ 2.79）
)()()( 22 sRsGsC ?
)())()((
)()()()()()()(
21
2121
sRsGsG
sRsGsRsGsCsCsC
??
????
)()()( 21 sGsGsG ??
?
序
号
原结构图 等效原结构图 等效法则
1 串联等效
2 并联等效
3 反馈等效
)(1 sG )(2 sGR C )(1 sG )(2 sGR C
)()()()( 21 sRsGsGsC ?
)(1 sGR C
?
)(2 sG
)(1 sG )(2 sG?R C
)()](
)([)(
2
1
sRsG
sGsC
??
?
)(1 sG
)(2 sG
R
?
C
)()(1
)(
21
1
sGsG
sG
?
R C )()(1 )()()(
21
1 sGsG sRsGsC ??
?
4 等效单位反馈
5 比较点前移
6 比较点后移
7 引出点前移
)(1 sG
)(2 sG
R C
? )(1 sG)(2 sGR C
)(
1
2 sG )()(1 )()()(1)( )(
21
21
2 sGsG
sGsGsGsR sC ??
)( sGR C
?
Y
)( sG
)(
1
sG
R
?
C
Y
)(])( )()([
)()()()(
sGsG sYsR
sYsGsRsC
???
??
)( sGR C
?
Y
)( sGR
?
C
Y )( sG )()()()(
)()]()([)( sGsYsGsR sGsYsRsC ?? ???
R C
C
)( sG
)( sGR C
)( sG C
)()()( sGsRsC ?
?
8 引出点后移
9 交换和合并比较点
10 交换比较点和引出
点 （ 一般不采用 )
11 负号在支路上移动
R C
R
)( sG
)( sGR
R
)(
1
sG
)(1)()()( sGsGsRsR ?
)()()( sGsRsC ?
?
?
C1R
2R
3R
1E ?
?
C1R
2R
3R
1E ?
?
C1R
2R
3R
)()()()( 321 sRsRsRsC ???
C
C
1R
2R
?
C1R
2R
?
C2
R
?
)()()( 21 sRsRsC ??
R C
?
) ( s G
) ( s H
E( S) R C
) ( s G
) ( s H
E ( S )
- 1
+
)()1()()(
)()()()(
sCsHsR
sCsHsRsE
????
??
例 2.17 简化图 2.15(a)所示系统的结构图。
解 简化步骤如下：
1） 合并图 2.15(a)中的串联和并联方块, 变换为
图 2.15(b)；
2） 消除图 2.15(b)中的内部反馈回路, 变换为图
2.15(c)；
3） 合并图 2.15(c)中的前向通道中的串联方块,
变换为图 2.15(d)；
4） 消除图 2.15(d)中的反馈回路, 从而使整个结构图变为
一个方框, 如图 2.15(e)。
(a)
)(
1
sG
)( sR )( sC
)(
2
sG )(
4
sG
)(
3
sG
)(
2
sH
)(
1
sH
(b)
?
)(1 sG
)( sR )( sC
)(2 sG )()( 43 sGsG ?
)(2 sH
)(1 sH
)()()(1
)()(
221
21
sHsGsG
sGsG
?
)( sR )( sC
)()( 43 sGsG ?
)(1 sH
(d)
(e)
)()()(1
))()()(()(
221
4321
sHsGsG
sGsGsGsG
?
?)( sR )( sC
)(1 sH
)())()()(()()()()(1
))()()(()(
14321221
4321
sHsGsGsGsGsHsGsG
sGsGsGsG
???
?)( sR )( sC
所以, 系统的传递函数为
简化结构图一般可以反复采用合并串联和并联方
块, 消除反馈回路, 然后移动引出点和综合点,
出现新的串联和并联方块, 反馈回路, 再合并
串联和并联方块, 消除反馈回路, 不断重复上
述步骤, 最后简化为一个方框 。
)()]()()[()()()()(1
)]()()[()(
)(
)()(
14321221
4321
sHsGsGsGsGsHsGsG
sGsGsGsG
sR
sCs
???
????
但很多情况下上述步骤不是最佳方法, 可以采
用更简单的方法 。 例如, 下面的例子中, 移动
所有引出点和综合点以后, 将所有反馈回路合
并, 然后消除反馈回路, 从而使整个结构图变
为一个方框 。
例 2.18 简化如图 2.16(a)所示系统的结构图 。
解
(a)
)(1 sG
)( sR )( sC
)(2 sG )(4 sG)(3 sG
)(2 sH
)(1 sH
(b)
(c)
)(
1
sG
)( sR )( sC
)(
2
sG )(
4
sG)(
3
sG
)()(
)(
21
2
sGsG
sH
)()(
)(
41
1
sGsG
sH
)()()()( 4321 sGsGsGsG
)( sR )( sC
)()(
)(
)()(
)(
1
21
2
41
1
sGsG
sH
sGsG
sH
??
(d)
图 2.16例 2.18系统结构图的简化
结构图是线性代数方程组的图形表示，所以，
简化结构图本质是求解线性代数方程组。最直
接的方法是根据结构图写出线性代数方程组，
然后用代数方法消除中间变量。这种方法对简
化环节少、信号传递复杂的结构图是很有效的。
但当系统中有很多环节时，必然有很多中间变
量，求解线性代数方程组是很麻烦的。
)( sR )( sC
)()()()()()()()()()(1
)()()()(
2431324321
4321
sHsGsGsHsGsGsGsGSGsG
sGsGsGsG
???
例 2.19 简化如图 2.17所示结构图 。
图 2.17 例 2.19系统结构图简化
解 由系统结构图所示关系, 得
(2.80a)
(2.80b)
)(1 sG
)( sR )( sC
)(2 sG
)(1 sC
)(2 sC
)( sE
)()()( sCsRsE ??
)]()()[()( 211 sEsCsGsC ??
(2.80c)
(2.80d)
将式 (2.80c)代入式 (2.80b),得
则
)]()()[()( 122 sCsEsGsC ??
)()()( 21 sCsCsC ??
)()()()()()()()()( 1121211 sEsGsCsGsGsEsGsGsC ???
)()()(1 )()()()(
21
1211 sE
sGsG
sGsGsGsC
?
??
代入式 (2.80c),得
将 和 代入式 (2.104d),得
)]()()(1 )()()()()[()(
21
12122 sEsGsG sGsGsGsEsGsC ? ??? )()()(1 )()()(
21
221 sEsGsG sGsGsG ? ??
)()()(1 )()()()()()(1 )()()()(
21
221
21
121 sEsGsG sGsGsGsEsGsG sGsGsGsC ? ??? ??
)]()([)()(1 )()()()(2
21
2121 sCsRsGsG sGsGsGsG ?? ???
)(1sC )(2 sC
因此, 系统的传递函数为
简化结构图的一个更简单的方法是先画出
结构图对应的信号流图, 然后应用梅森
公式得到简化结果 。
)()()()()(31 )()()()(2)(
2121
2121 sR
sGsGsGsG
sGsGsGsGsC
???
???
)()()()(31
)()()()(2
)(
)()(
2121
2121
sGsGsGsG
sGsGsGsG
sR
sCs
???
?????
2.5.4 反馈控制系统的传递函数
自动控制系统在工作过程中受到参考输入和扰
动输入这两类输入的作用, 参考输入通常作用
在控制装置的输入端, 而干扰输入一般作用在
受控对象上, 但也可能出现在其它元部件上,
甚至在输入信号中 。 反馈控制系统一般如图
2.18所示 。
图 2, 1 8 反馈控制系统
)( sE
)(
1
sG
)( sR
)( sN
)( sC
)(
2
sG
)( sH
?
图中, 当, 则表示存在测量干扰；当,
则表示干扰输入在输入信号中；一般 为控制
器, 为受控对象 。
从输入端沿信号传递方向到输出端的通道称为
前向通道, 前向通道传递函数为 。 从输
出端沿信号传递方向到输入端的通道称为反馈
通道, 反馈通道传递函数为 。
当主反馈通道断开时, 反馈信号对于参考输入
信号的传递函数称为开环传递函数 。 由图 2.18
知, 闭环系统的开环传递函数为
(2.81)
1)(2 ?sG 1)(1 ?sG
)(1 sG
)(2 sG
)(sH
)()( 21 sGsG
)()()()( 21 sHsGsGsW ?
开环传递函数为前向通道传递函数
与反馈通道传递函数 的乘积 。
闭环系统的输出信号对于参考输入信号的传递
函数称为闭环传递函数。 为了求取系统闭环传
递函数，令,即
则系统结构图变为图 2.19。
)()( 21 sGsG
)(sH
0)( ?tn 0)( ?sN
图 2.19 参考输入作用下的结构图
由结构图简化规则, 系统的闭环传递函数为
(2.82)
可见，系统的闭环传递函数的分子是前向通道
传递函数，分母是开环传递函数与 1之和。
)(1 sG
)( sR )( sC
)(2 sG
)( sH
)()()(1
)()(
)(
)()(
21
21 sHsGsG sGsGsR sCsn ????
开环传递函数为前向通道传递函数
与反馈通道传递函数 的乘积 。
闭环系统的输出信号对于参考输入信号的传递
函数称为闭环传递函数。 为了求取系统闭环传
递函数，令,即
则系统结构图变为图 2.19。
)()( 21 sGsG
)(sH
0)( ?tn 0)( ?sN
就是系统的闭环特征方程 。
为了求取扰动作用下的闭环传递函数,
令 r(t)=0,即 R(s) =0,则结构图变为图
2.20所示 。 由结构图简化规则, 系统在扰
动作用下的闭环传递函数为
0)()()(1 21 ?? sHsGsG
0)( ?sR
)()()(1
)(
)(
)()(
21
2
sHsGsG
sG
sN
sCs
N ????
图 2.20 扰动作用下的结构图
可见, 系统在扰动作用下的闭环传递函数的分
子是从扰动作用点到输出端之间的传递函数,
分母仍然是开环传递函数与 1之和 。 从上式可
见, 扰动作用点不同, 对系统的影响也不同 。
根据传递函数的定义, 在零初始条件下, 系统
在输入和扰动单独作用下的输出信号分别为
(2.84)
)(1 sG
)( sN )( sC
)(2 sG
)( sH
)()()()(1 )()()()()(
21
21 sR
sHsGsG
sGsGsRssC
r ????
? (2.85)
? 因为系统是线性的, 满足叠加原理, 所
以, 在输入和扰动共同作用下, 系统的
输出为
? (2.86)
)()()()(1 )()()()(
21
2 sNsHsGsG sGsNssC nn ????
)()()()(1 )()()()()(1 )()(
)()()()()()()(
21
2
21
21 sN
sHsGsG
sGsR
sHsGsG
sGsG
sNssRssCsCsC nnr
????
??????
? 图 2.18中的 是分析系统稳态性能的一
个重要变量,称为误差信号。以误差
信号为输出量的传递函数称为误差传递
函数。
? 为了求取系统参考输入下的误差传递函
数，令,即,则系统结构图变为
图 2.21。
)(sE
)(sE
)(1 sG
)( sE)( sR
)(2 sG)( sH
图 2.21 参考输入作用下的误差传递函数
0)( ?tn 0)( ?sN
? (2.87)
?由系统的结构图可以得到输入作用下的误差
传递函数为
?为了求取扰动作用下的误差传递函数, 令,
即, 则结构图变为图 2.22所示 。
?由系统的结构图可以得到扰动作用下的误差
传递函数为
? (2.88)
)()()(1
1
)(
)()(
21 sHsGsGsR
sEse
????
0)( ?tr
0)( ?sR
)()()(1
)()(
)(
)()(
21
2 sHsGsG sHsGsN sEsen ? ????
?所以, 系统在参考输入和扰动输入作用
下的误差信号为
? (2.89) )(
)()()(1
)()()(
)()()(1
1)(
21
2
21
sNsHsGsG sHsGsRsHsGsGsE ? ????
)(
1
sG
)( sN )( sE
)(
2
sG )( sH
图 2, 2 2 扰动作用下的误差传递函数
1?
?
? 图 2.18所示控制系统实际上是一个 MIMO
系统, 有两个输入：参考输入 R(s)和扰动
输入 N(s)。 如果取 C(s)和 E(s)为输出量,
则可以建立该系统的传递矩阵 。
? 由上面的结果得
)()()()()( sNssRssC n????
)()()()()( sNssRssE ener ????
表达为矩阵形式
(2.90)
则多输入多输出系统的传递矩阵为
(2.91)
??
?
??
?
??
?
??
?
??
???
??
?
??
?
)(
)(
)()(
)()(
)(
)(
sN
sR
ss
ss
sE
sC
ene
n
??
?
??
?
??
???
)()(
)()()(
ss
sssW
ener
n
就数学意义上而言，线性连续定常系统的传递
函数总是由这几种类型的因子组成的，这些因
子称为基本环节，或者称为典型环节。
放大环节 （ 比例环节 ）, k
积分环节：
微分环节,s
惯性环节：
s
1
1
1
?Ts
一阶微分环节：
二阶微分环节：
滞后环节 （ 纯时滞环节 ）,
上面各环节称为稳定基本环节, 下面几个基本
环节一般称为不稳定基本环节 。
不稳定惯性环节：
不稳定振荡环节：
1?s?
1222 ?? ss ???
se??
11?Ts
12
1
22 ?? TssT ?
1?s?
不稳定一阶微分环节：
不稳定二阶微分环节：
因为不稳定惯性, 振荡环节是不稳定的, 因为
在形式上与惯性, 振荡环节相似, 所以称为不
稳定惯性环节和不稳定振荡环节 。 但不稳定一
阶, 二阶微分环节只是为了与一阶, 二阶微分
环节区别起见, 才称为不稳定一阶微分环节和
不稳定二阶微分环节, 但它们实际上是稳定的 。
1?s?
1222 ?? ss ???
各种基本环节反映了物理系统内在的共同运动
规律, 也是组成系统的基本环节 。 一个系统或
一个元件 （ 线性连续 ） 总可以由一个或几个基
本环节组成 。 有些基本环节在实际中可以单独
存在, 但各种微分环节实际上是不能单独存在
的 。
引进系统的基本环节的概念, 使我们可以引进
结构图, 信号流图等各种能表示系统结构的数
学模型, 对控制系统作更详细的分析 。
2.4.4 多变量系统的传递矩阵
1970年英国的罗森布洛克和罗马尼亚的波波夫
把传递函数的概念引入多变量系统, 建立了与
单变量系统类似的频域分析设计方法 。
对于多变量系统，每个输入和每个输出之间的
关系都用一个传递函数描述，这些传递函数构
成了一个矩阵，称为传递矩阵。
如图 2.11所示线性定常
多输入多输出（ MIMO）
系统，任一个输入 和任
一个输出 间的传递函数
定义为：除第 i个输入外，
设其余输入均为 0，且在零初始条件下，第 j个输
出 的拉氏变换与第个输入 的拉氏变换之
比，定义为第 i个输入和第 j个输出之间的传递
函数,即
图 2,1 1 MIMO 系统
1
u
2
u
r
u
1
y
2
y
m
y
M IM O
系统
iu
iu
jy
)(sYj )(sUi
)(sGji
（ 2.70）
由于线性系统满足叠加原理，所以，系统的各个输出
分别为
)(
)()(
sU
sYsG
i
j
ji ?
)()()()()()()(
)()()()()()()(
22221212
12121111
sUsGsUsGsUsGsY
sUsGsUsGsUsGsY
rr
rr
????
????
?
?
)()()()()()()( 2211 sUsGsUsGsUsGsY rmrmmm ???? ?
?
表示为矩阵形式
?
（ 2.71）
记
则
（ 2.72）
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
)(
)(
)(
)()()(
)()()(
)()()(
)(
)(
)(
2
1
21
22221
11211
2
1
sU
sU
sU
sGsGsG
sGsGsG
sGsGsG
sY
sY
sY
rmrmm
r
r
m ?
???
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
)()()(
)()()(
)()()(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
21
22221
11211
2
1
2
1
sGsGsG
sGsGsG
sGsGsG
sG
sU
sU
sU
sU
sY
sY
sY
sY
mrmm
r
r
rm ?
???
?
?
??
)()()( sUsGsY ?
式中,与单变量系统中的传递函数具有相同
的意义，通常称为传递矩阵。注意到：因为
和 都是向量或矩阵，所以不能表达
为 。
2.4.5 从状态空间表达式求传递矩阵
设多输入多输出 (MIMO)线性定常系统的状态
空间表达式为
)(sG
)(sU
)(sY
)()()( sUsYsG ?
(2.73a)
(2.73b)
式中,A,B,C,D分别
为,,, 维矩阵。对 (2.73)式作拉氏变
换，得
式中,, 分别是 的拉氏变换
式。
BuAxx ???
DuCxy ??
。，,rmn RuRyRx ???
nn? rn? nm? rm?
)()()0()( sBUsAXxssX ???
)()()( sDUsCXsY ??
)(sX )(sU )(sY )()()( tytutx,，
则
(2.74)
由传递矩阵的定义，系统的传递矩阵为
(2.75)
)0()()()( xsBUsXAsI ???
)0()()()()( 11 xAsIsBUAsIsX ?? ????
)0()()()()()( 11 xAsICsDUsBUAsICsY ?? ?????
)0()()(])([ 11 xAsICsUDBAsIC ?? ?????
DBAsICsG ??? ? 1)()(
例 2.14 已知系统状态空间表达式为
试求其传递矩阵。
解
3212
211
23213
2132
121
2
26116
2
xxxy
xxy
uxxxx
uuxx
uxx
???
??
?????
???
??
?
?
?
0,
112
011
,
20
12
01
,
6116
100
010
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
? DCBA
由式 (2.75)得
在上述运算中, 求 是比较麻烦的 。
?
?
?
?
?
?
?
?
?????
?????
???
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
1417352564
43294
6116
1
20
12
01
6116
10
01
112
011
)(
22
22
23
1
ssss
ssss
sss
s
s
s
sG
1)( ?? AsI
求 的 Leverrier--Faddeeva 递推算法。
(2.76a)
记
(2.76b)
(2.76c)
1)( ?? AsI
)d e t (
)()( 1
AsI
AsIa d jAsI
?
??? ?
nnnn asasasAsI ?????? ?? 111)d e t ( ?
nnnn BsBsBsBAsIa d j ?????? ??? 12211)( ?
其中,是常系数,是 维常数矩阵，
可由下面递推公式求取
(2.77)
ia iB nn?
IaABB
IaABB
IaABB
IaABB
IB
nnn
iii
11
11
223
112
1
??
??
??
??
??
??
?
?
?
)(
1
)(
1
)(
3
1
)(
2
1
)(
33
22
11
nn
ii
ABtr
n
a
ABtr
i
a
ABtra
ABtra
ABtra
??
??
??
??
??
?
?
递推式避免了求逆矩阵的困难，它只是
简单的矩阵代数运算，并且可以借助于
计算机，按照 的
递推次序求得，程序也不复杂。
例 2.15 用上述递推的方法重解例 2.14。
nn aBaABBa ?????? ?2221
解 IB ?
1
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
????
0116
160
016
6112 IAIaABB
6)( 11 ????? t r AABtra
11
1160
0116
160
2
1
)(
2
1
22
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
????
??
tr
ABtra
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
????
060
006
1611
112223 IABIaABB
6
600
060
006
3
1
)(
3
1
33
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
tr
ABtra
代入式 (2.76)得
?
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
???
?? ?
060
006
1611
0116
160
016
6116
1)( 2
23
1 sIs
sss
AsI
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
??
???
???
?
2
2
2
23
6116
66
16116
6116
1
sss
sss
sss
sss
代入式 (2.75)得
? + D
?
?
?
BAsICsG 1)()( ???
B
sss
sss
ss
sss ??
?
?
?
?
?
?
?
?
???
??
???
?
?
?
?
?
?
?
?
???
?
2
2
2
23
6116
66
16116s
112
011
6116
1
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???????
???????
???
?
20
12
01
2181916182
165176
6116
1
222
22
23 ssssss
sssss
sss
??
?
??
?
?????
?????
???? 1417352564
43294
6116
1
32
22
23 ssss
ssss
sss
2.5 结构图
2.5.1 结构图的基本组成
微分方程、传递函数等数学模型，都是用纯数
学表达式来描述系统特性，不能反映系统中各
元部件对整个系统性能的影响，而系统原理图、
职能方框图虽然反映了系统的物理结构，但又
缺少系统中各变量间的定量关系。
结构图或称为方框图, 方块图等, 既能描述
系统中各变量间的定量关系, 又能明显地表示
系统各部件对系统性能的影响 。
1） 信号线：带有箭头的直线, 箭头表示信号传
递方向, 直线上面或者旁边标注所传递信号的
时间函数或象函数, 如图 2.12（ a） 所示 。
2）引出点（测量点）：引出或者测量信号的位
置。从同一信号线上引出的信号在数值和性质
上完全相同，如图 2.12（ b)所示。这里的信号
引出与测量信号一样，不影响原信号，所以也
称为测量点,
3）比较点（综合点）：对两个或者两个以上的
信号进行代数运算，如图 2.12（ c）所示,,+”
表示相加,,-”表示相减,,+”可以省略不写。
比较点可以有多个输入信号，但一般只画一个
输出信号，如图 2.12（ d）所示。若需要几个
输出，通常加引出点，如图 2.12（ e）所示。
)( tu
)()()( sUsGsC ?
)( sG
)( sU
( a)
)( tu )( tu
)( tu
)( sU )( sU
)( sU
( b)
)( tu
)()( tctu ?
?
)( tc
)( sU
)()( tCsU ?
?
)( sC
( c)
)( tu )()()( tytctu ???
?
)( tc
?
( d)
)( ty
?
?
?
?
)()()( sYsCsU ???)( sU
)( sY
)( sC
)( tu
)()( tctu ?
?
)( tc
)( sU
)()( sCsU ?
?
)( sC
( e)
)()( tctu ? )()( sCsU ?
)( sU
( f)
图 2.12 结构图基本单元
4） 方块：表示对输入信号进行的数学变换 。
对 于线性定常系统或元件, 通常在方框中写入
其传递函数或者频率特性 。 系统输出的象函数
等于输入的象函数乘以方框中的传递函数或者
频率特性, 如图 2.12（ f） 所示 。
结构图也可以表示非线性系统和离散系统。
对于非线性系统，方框表示非线性环节，方框
中的内容可以是非线性特性的数学表达式、输
入输出关系图，或者是后面要介绍的描述函数。
对于离散系统，方框中是传递函数，并且结构
图中还包含有采样开关等环节。后面将详细介
绍这些内容。
例 2.16 绘制如图 2.13所示 RC网络的结构图。
解 选取一些中间变量如图中所示 。 根据电路定
律, 得到以下方程
图 2.13 RC 网络
C
1R
2R
ru c
u
i 1i
2i
)()( 2 sIRsU c ?
)()(1 112 sIRsICs ?
)()()( 21 sIsIsI ??
)()()( 11 sUsIRsU cr ??
按照上述方程，可以 分别绘制相应元件的结构
图，如图 2.14(a) ～ (d)所示。然后，根 据相
互关系将这些结构图连接起来，就得到整个系
统的结构图。
1
1
R
)( sU
r
)(
1
sI
)( sU
c
2
R
)( sI )( sU
c
1
R
)(
1
sI
Cs
)(
2
sI
)(
1
sI
)(
2
sI
)( sI
1
1
R
)( sU
r
)(
1
sI
)( sU
c
2
R
)( sU
c
1
R
Cs
)(
2
sI
)(
1
sI
)( sI
( a) ( b)
( c) ( d)
( e)
2.5.2 结构图的变换法则
为了便于系统分析和设计, 常常需要对系统的
结构图作等价变换, 或者通过变换使系统结构
图简化, 求取系统的总传递函数 。 因此, 结构
图变换是控制理论的基本内容 。 表 2.1 列出了
常用的变换法则 。 这些法则很容易从它代表的
数学表达式来证明 。 例如, 并联等价变换法则,
由原结构图可以得到
（ 2.78）
所以, 等价结构图方块中的传递函数为
（ 2.79）
)()()( 22 sRsGsC ?
)())()((
)()()()()()()(
21
2121
sRsGsG
sRsGsRsGsCsCsC
??
????
)()()( 21 sGsGsG ??
?
序
号
原结构图 等效原结构图 等效法则
1 串联等效
2 并联等效
3 反馈等效
)(1 sG )(2 sGR C )(1 sG )(2 sGR C
)()()()( 21 sRsGsGsC ?
)(1 sGR C
?
)(2 sG
)(1 sG )(2 sG?R C
)()](
)([)(
2
1
sRsG
sGsC
??
?
)(1 sG
)(2 sG
R
?
C
)()(1
)(
21
1
sGsG
sG
?
R C )()(1 )()()(
21
1 sGsG sRsGsC ??
?
4 等效单位反馈
5 比较点前移
6 比较点后移
7 引出点前移
)(1 sG
)(2 sG
R C
? )(1 sG)(2 sGR C
)(
1
2 sG )()(1 )()()(1)( )(
21
21
2 sGsG
sGsGsGsR sC ??
)( sGR C
?
Y
)( sG
)(
1
sG
R
?
C
Y
)(])( )()([
)()()()(
sGsG sYsR
sYsGsRsC
???
??
)( sGR C
?
Y
)( sGR
?
C
Y )( sG )()()()(
)()]()([)( sGsYsGsR sGsYsRsC ?? ???
R C
C
)( sG
)( sGR C
)( sG C
)()()( sGsRsC ?
?
8 引出点后移
9 交换和合并比较点
10 交换比较点和引出
点 （ 一般不采用 )
11 负号在支路上移动
R C
R
)( sG
)( sGR
R
)(
1
sG
)(1)()()( sGsGsRsR ?
)()()( sGsRsC ?
?
?
C1R
2R
3R
1E ?
?
C1R
2R
3R
1E ?
?
C1R
2R
3R
)()()()( 321 sRsRsRsC ???
C
C
1R
2R
?
C1R
2R
?
C2
R
?
)()()( 21 sRsRsC ??
R C
?
) ( s G
) ( s H
E( S) R C
) ( s G
) ( s H
E ( S )
- 1
+
)()1()()(
)()()()(
sCsHsR
sCsHsRsE
????
??
例 2.17 简化图 2.15(a)所示系统的结构图。
解 简化步骤如下：
1） 合并图 2.15(a)中的串联和并联方块, 变换为
图 2.15(b)；
2） 消除图 2.15(b)中的内部反馈回路, 变换为图
2.15(c)；
3） 合并图 2.15(c)中的前向通道中的串联方块,
变换为图 2.15(d)；
4） 消除图 2.15(d)中的反馈回路, 从而使整个结构图变为
一个方框, 如图 2.15(e)。
(a)
)(
1
sG
)( sR )( sC
)(
2
sG )(
4
sG
)(
3
sG
)(
2
sH
)(
1
sH
(b)
?
)(1 sG
)( sR )( sC
)(2 sG )()( 43 sGsG ?
)(2 sH
)(1 sH
)()()(1
)()(
221
21
sHsGsG
sGsG
?
)( sR )( sC
)()( 43 sGsG ?
)(1 sH
(d)
(e)
)()()(1
))()()(()(
221
4321
sHsGsG
sGsGsGsG
?
?)( sR )( sC
)(1 sH
)())()()(()()()()(1
))()()(()(
14321221
4321
sHsGsGsGsGsHsGsG
sGsGsGsG
???
?)( sR )( sC
所以, 系统的传递函数为
简化结构图一般可以反复采用合并串联和并联方
块, 消除反馈回路, 然后移动引出点和综合点,
出现新的串联和并联方块, 反馈回路, 再合并
串联和并联方块, 消除反馈回路, 不断重复上
述步骤, 最后简化为一个方框 。
)()]()()[()()()()(1
)]()()[()(
)(
)()(
14321221
4321
sHsGsGsGsGsHsGsG
sGsGsGsG
sR
sCs
???
????
但很多情况下上述步骤不是最佳方法, 可以采
用更简单的方法 。 例如, 下面的例子中, 移动
所有引出点和综合点以后, 将所有反馈回路合
并, 然后消除反馈回路, 从而使整个结构图变
为一个方框 。
例 2.18 简化如图 2.16(a)所示系统的结构图 。
解
(a)
)(1 sG
)( sR )( sC
)(2 sG )(4 sG)(3 sG
)(2 sH
)(1 sH
(b)
(c)
)(
1
sG
)( sR )( sC
)(
2
sG )(
4
sG)(
3
sG
)()(
)(
21
2
sGsG
sH
)()(
)(
41
1
sGsG
sH
)()()()( 4321 sGsGsGsG
)( sR )( sC
)()(
)(
)()(
)(
1
21
2
41
1
sGsG
sH
sGsG
sH
??
(d)
图 2.16例 2.18系统结构图的简化
结构图是线性代数方程组的图形表示，所以，
简化结构图本质是求解线性代数方程组。最直
接的方法是根据结构图写出线性代数方程组，
然后用代数方法消除中间变量。这种方法对简
化环节少、信号传递复杂的结构图是很有效的。
但当系统中有很多环节时，必然有很多中间变
量，求解线性代数方程组是很麻烦的。
)( sR )( sC
)()()()()()()()()()(1
)()()()(
2431324321
4321
sHsGsGsHsGsGsGsGSGsG
sGsGsGsG
???
例 2.19 简化如图 2.17所示结构图 。
图 2.17 例 2.19系统结构图简化
解 由系统结构图所示关系, 得
(2.80a)
(2.80b)
)(1 sG
)( sR )( sC
)(2 sG
)(1 sC
)(2 sC
)( sE
)()()( sCsRsE ??
)]()()[()( 211 sEsCsGsC ??
(2.80c)
(2.80d)
将式 (2.80c)代入式 (2.80b),得
则
)]()()[()( 122 sCsEsGsC ??
)()()( 21 sCsCsC ??
)()()()()()()()()( 1121211 sEsGsCsGsGsEsGsGsC ???
)()()(1 )()()()(
21
1211 sE
sGsG
sGsGsGsC
?
??
代入式 (2.80c),得
将 和 代入式 (2.104d),得
)]()()(1 )()()()()[()(
21
12122 sEsGsG sGsGsGsEsGsC ? ??? )()()(1 )()()(
21
221 sEsGsG sGsGsG ? ??
)()()(1 )()()()()()(1 )()()()(
21
221
21
121 sEsGsG sGsGsGsEsGsG sGsGsGsC ? ??? ??
)]()([)()(1 )()()()(2
21
2121 sCsRsGsG sGsGsGsG ?? ???
)(1sC )(2 sC
因此, 系统的传递函数为
简化结构图的一个更简单的方法是先画出
结构图对应的信号流图, 然后应用梅森
公式得到简化结果 。
)()()()()(31 )()()()(2)(
2121
2121 sR
sGsGsGsG
sGsGsGsGsC
???
???
)()()()(31
)()()()(2
)(
)()(
2121
2121
sGsGsGsG
sGsGsGsG
sR
sCs
???
?????
2.5.4 反馈控制系统的传递函数
自动控制系统在工作过程中受到参考输入和扰
动输入这两类输入的作用, 参考输入通常作用
在控制装置的输入端, 而干扰输入一般作用在
受控对象上, 但也可能出现在其它元部件上,
甚至在输入信号中 。 反馈控制系统一般如图
2.18所示 。
图 2, 1 8 反馈控制系统
)( sE
)(
1
sG
)( sR
)( sN
)( sC
)(
2
sG
)( sH
?
图中, 当, 则表示存在测量干扰；当,
则表示干扰输入在输入信号中；一般 为控制
器, 为受控对象 。
从输入端沿信号传递方向到输出端的通道称为
前向通道, 前向通道传递函数为 。 从输
出端沿信号传递方向到输入端的通道称为反馈
通道, 反馈通道传递函数为 。
当主反馈通道断开时, 反馈信号对于参考输入
信号的传递函数称为开环传递函数 。 由图 2.18
知, 闭环系统的开环传递函数为
(2.81)
1)(2 ?sG 1)(1 ?sG
)(1 sG
)(2 sG
)(sH
)()( 21 sGsG
)()()()( 21 sHsGsGsW ?
开环传递函数为前向通道传递函数
与反馈通道传递函数 的乘积 。
闭环系统的输出信号对于参考输入信号的传递
函数称为闭环传递函数。 为了求取系统闭环传
递函数，令,即
则系统结构图变为图 2.19。
)()( 21 sGsG
)(sH
0)( ?tn 0)( ?sN
图 2.19 参考输入作用下的结构图
由结构图简化规则, 系统的闭环传递函数为
(2.82)
可见，系统的闭环传递函数的分子是前向通道
传递函数，分母是开环传递函数与 1之和。
)(1 sG
)( sR )( sC
)(2 sG
)( sH
)()()(1
)()(
)(
)()(
21
21 sHsGsG sGsGsR sCsn ????
开环传递函数为前向通道传递函数
与反馈通道传递函数 的乘积 。
闭环系统的输出信号对于参考输入信号的传递
函数称为闭环传递函数。 为了求取系统闭环传
递函数，令,即
则系统结构图变为图 2.19。
)()( 21 sGsG
)(sH
0)( ?tn 0)( ?sN
就是系统的闭环特征方程 。
为了求取扰动作用下的闭环传递函数,
令 r(t)=0,即 R(s) =0,则结构图变为图
2.20所示 。 由结构图简化规则, 系统在扰
动作用下的闭环传递函数为
0)()()(1 21 ?? sHsGsG
0)( ?sR
)()()(1
)(
)(
)()(
21
2
sHsGsG
sG
sN
sCs
N ????
图 2.20 扰动作用下的结构图
可见, 系统在扰动作用下的闭环传递函数的分
子是从扰动作用点到输出端之间的传递函数,
分母仍然是开环传递函数与 1之和 。 从上式可
见, 扰动作用点不同, 对系统的影响也不同 。
根据传递函数的定义, 在零初始条件下, 系统
在输入和扰动单独作用下的输出信号分别为
(2.84)
)(1 sG
)( sN )( sC
)(2 sG
)( sH
)()()()(1 )()()()()(
21
21 sR
sHsGsG
sGsGsRssC
r ????
? (2.85)
? 因为系统是线性的, 满足叠加原理, 所
以, 在输入和扰动共同作用下, 系统的
输出为
? (2.86)
)()()()(1 )()()()(
21
2 sNsHsGsG sGsNssC nn ????
)()()()(1 )()()()()(1 )()(
)()()()()()()(
21
2
21
21 sN
sHsGsG
sGsR
sHsGsG
sGsG
sNssRssCsCsC nnr
????
??????
? 图 2.18中的 是分析系统稳态性能的一
个重要变量,称为误差信号。以误差
信号为输出量的传递函数称为误差传递
函数。
? 为了求取系统参考输入下的误差传递函
数，令,即,则系统结构图变为
图 2.21。
)(sE
)(sE
)(1 sG
)( sE)( sR
)(2 sG)( sH
图 2.21 参考输入作用下的误差传递函数
0)( ?tn 0)( ?sN
? (2.87)
?由系统的结构图可以得到输入作用下的误差
传递函数为
?为了求取扰动作用下的误差传递函数, 令,
即, 则结构图变为图 2.22所示 。
?由系统的结构图可以得到扰动作用下的误差
传递函数为
? (2.88)
)()()(1
1
)(
)()(
21 sHsGsGsR
sEse
????
0)( ?tr
0)( ?sR
)()()(1
)()(
)(
)()(
21
2 sHsGsG sHsGsN sEsen ? ????
?所以, 系统在参考输入和扰动输入作用
下的误差信号为
? (2.89) )(
)()()(1
)()()(
)()()(1
1)(
21
2
21
sNsHsGsG sHsGsRsHsGsGsE ? ????
)(
1
sG
)( sN )( sE
)(
2
sG )( sH
图 2, 2 2 扰动作用下的误差传递函数
1?
?
? 图 2.18所示控制系统实际上是一个 MIMO
系统, 有两个输入：参考输入 R(s)和扰动
输入 N(s)。 如果取 C(s)和 E(s)为输出量,
则可以建立该系统的传递矩阵 。
? 由上面的结果得
)()()()()( sNssRssC n????
)()()()()( sNssRssE ener ????
表达为矩阵形式
(2.90)
则多输入多输出系统的传递矩阵为
(2.91)
??
?
??
?
??
?
??
?
??
???
??
?
??
?
)(
)(
)()(
)()(
)(
)(
sN
sR
ss
ss
sE
sC
ene
n
??
?
??
?
??
???
)()(
)()()(
ss
sssW
ener
n
