Weierstrass定理与线性算子逼近 教学目的及要求： 要求掌握基本Weierstrass第一定理、Weierstrass第二定理、线性正算子与Korovkin定理 如所知，逼近的目的，是用简单的函数来逼近复杂的函数.本章讲述用多项式序列逼近有界闭区间上连续函数的可行性. §１．Weierstrass第一定理 在实变函数的数学分析中，最重要的函数类实连续函数类与连续的周期函数类. 是定义在某一闭区间上的一切连续函数所成的集合；是定义在整个实轴上的以为周期的连续函数全体所成的整体. 定理1（Weierstrass） 设，那么对于任意给定的，都存在这样的多项式,使得  关于这个著名的定理，现在已有好多个不同的证法，下面介绍Bernstein的构造证法. Bernstein证法：不妨假定函数的定义区间是.事实上,通过如下的线性代换: , 就能将x的区间变换成t的区间.同时,显而易见,x的多项式将变成t的多项式, x的连续函数将变成t的连续函数. 因此只须就连读函数类来证明Weiersrtass 定理就行了, 对于给定的,作如下的一串多项式： ，（1.1） 显然是一个n次多项式. 下面我们要证明极限关系式  换句话说, Weierstrass 定理中提及的,只要取(其中)就可以了. 为了证明上述命题, 需要用到一个初等恒等式:  （1.1） 这个恒等式式容易验证的. 事实上, 由于 , 可知 左端 = =+ =++ =+ =++ =右端. 对于中的每一固定的 及任一固定的正整数, 令 , 上式右端代表当取所有合乎条件  的正整数式所得的最大差数. 根据在上的一致连续性, 可见必存在一串, 使得 <   记 , 其中与分别表示对满足如下条件的一切所取的和： ，； 而 ． 令,则显然有 ， 而且利用已经验证过的恒等式可知 ． 因此， ， ＜＋． 注意上列不等式的右端与无关, 而且随着的无限增大而趋向0.这就证明了多项式序列对于的一致连续性. Weierstrass的第一定理实际上正好解决了如何利用多项式作成的函数项级数来表示连续函数的问题.因此任意取定一个单调下降于0的数列, 则对每个都可以找到一个多项式使得#. 于是令 ，， 可知级数的前n项之和恰好与相合, 因而该级数也就一致的收敛于. 在Bernstein的证明中, 不仅证明了近似多项式序列的存在性, 而且还给出了构造的一个具体方法. 事实上, 便构成了连续函数的一个近似多项式序列.这样的证法通常称之为构造性的证明方法, 它要比一般数学上的纯粹存在性的证明方法更有价值. §２．Weierstrass第二定理 周期连续函数(不妨假定周期为#)的最简单逼近工具式如下三角多项式 ． 如果其中的系数和不全为0,则称为n阶三角多项式. 相应Weierstrass第一定理, 有如下的 定理1 (Weierstrass第二定理) 设, 则对任意给定的,都有三角多项式存在, 使得 （2.1） 这个定理可以从Weierstrass第一定理, 通过诱导函数来证明. 此处直接才用Vallee-Poussin算子  来证明, 其中． 作平移,显然有  再做变换#,可算得上述积分为  ＝＝． 从而  因为,所以一致连续.即对任意给定的,有存在,使得当时, ． 今将分成两部分  +  （2.2） 以下估计和 ． （2.3） 记， ，则     ． 因此存在自然数使得当  （2.4） 综合（2.2），（2.3）和（2.4），即可知Weierstrass 第二定理成立． §３．线性正算子与Korovkin定理 设对集E中每一个, 在区间#上关于都连续, 则积分  （3.1） 对于每一在区间上连续的函数都确定了一个函数. 定义1 设已知函数集F, 如果对于集F中的每一函数, 均有一个函数与之对应,则说在函数集F上定义了算子. 定义2 称算子是线性的,如果随着.与.属于它的存在域, .(其中与为任意的实数)也属于它的存在域且成立如下等式: . 例1 由(3.1)式定义的算子.是线性的. 事实上,由下列等式即可以推出算子.的线性性质:  = =. 例2 设，，．．．为定义于集E上的函数.令 ， 其中.为在实数集，，．．．，上有定义的函数.可以证明算子.是线性的. 事实上 . ＝ ＝． 定义 3 如果对于每一个正函数.及.,线性算子.满足条件: , 则称.为集E上的线性正算子. 显然,对于每一固定的值,线性算子.成为线性泛函数.因此,如果对于集E中每一固定的值,线性泛函数均是正的,则线性算子.在集E上是正的.例如,当.在E上为函数时,算子  为集E上的线性正算子.又如,若.对集E中每一固定的在区间上关于为连续的正函数,则算子  在集E上是正的. 还须指出的是,在线性算子中,变元的变元与不同, ,在计算算子的值时,我们将当作常数(但为集E中任意的),因此等式  成立,这是由于为常数(与无关). 现在我们来研究线性正算子序列.在区间上的一致收敛于函数.的条件.这里的是上的连续函数,并且在整个实轴上有界.如在泛函数情形一样,我们将证明,序列在.上一致收敛于蕴含序列.一致收敛于.(如果.满足上面指出的条件). 下面将引进这一论断的一种证法,它是以闭区间上的连续函数必一致连续这个事实为基础的.先证明一个引理. 引理 1 若函数在区间上连续,在点为右连续,在点为左连续,则对,有,使得当时,恒成立不等式  证明 令.根据函数在区间上的一致连续性可以求出这样的.,使得当时,有不等式  （3.2） 由于函数在点连续(左连续是假定的,而右连续则是依函数在闭区间上的连续性得知),所以对有,使得当时  （3.3） 同理有,使得当时  （3.4） 令取.并证明,当时,有  事实上,若与均属于区间,则后面的不等式由(3.2)推得.若(当然必须属于区间),则.,且由于,所以,现在得到 . 依(3.3)式不等式右边第一项小于;而依(3.2)式第二项也小于.从而  如此已证明当.时引理为真,对于得情况可以同样证明. 现在我们给出线性正算子序列的收敛性定理. 定理 3(korovkin) 设线性正算子序列满足条件: .   其中,,在区间上一致收敛于零;又设函数有界且在区间上连续,于点为右连续,于点为左连续.则在区间上序列一致收敛于函数. 证明 由于函数有界#.,所以对一切与均成立不等式  (3.5) 其次,依引理1,对于有使得,当,时,成立不等式  (3.6) 假定(为区间上的任意一点,且一经取好就固定了),由(3.5)、(3.6)式不难得到 . 由此再依算子的线性性质与单调性(其中为固定的,因而#.为常数) . (3.7) = (3.8) 现在我们可以断定, 在区间一致收敛于零.事实上,由定理的条件与算子的线性性质推出  = = = =; 其中在区间上一致收敛于零. 考虑到这一点及定理中第一个条件,便可断言不等式(3.8)右边在区间上一致收敛于,而左边一致收敛于 据此可以求出这样的序标,使得当,时,成立不等式  最后,依的任意性,序列  在区间上一致收敛于零,从而再依定理中第一各条件便可断言序列在区间上一致收敛于零. 定理4(Korovkin) 设线性正算子序列满足条件: (1) . (2)  (3)  其中,,在区间.上一致收敛与零;又设函数.有界且具有周期,在区间上连续,于点右连续,于点左连续.在上述条件下,序列在上一致收敛于 证明 对于对于函数,定理3的条件满足,由此不等式(3.5)与(3.6)成立,其中第一个适于一切与的值,而第二个为一下条件所约束: ,. 对固定的(),依这些不等式,类似定理3中(3.7)式的证明,可得  (3.9) 其中 ,, 由不等式(3.9)得到  . (3.10) 但是. 于是 .  = 其中于区间上一致收敛于零.依上述等式及定理条件可推出,不等式(3.10)右边在区间上一致收敛于,而左边一致收敛于.因此有,使得当,时,有不等式  由此可以推出. , 其中在区间上一致收敛于零.从而依据定理条件得到  = 其中在区间上一致收敛于零,于是序列在这个区间上一致收敛于函数. 注记 请注意,在定理3与定理4的证明过程中我们已经指明,如果序列在区间上一致收敛于1,而序列 (在定理3中, ;在定理4中, )在这区间上一致收敛于零,那么这些定理是正确的. 验证在所述诸定理中指出的这两个条件,而非三个条件,在多数情形下是较易实现的. 下面研究特殊的算子序列的一致收敛性. 引理2 设函数满足条件: (1) 在区间,上连续, (1) ;当, 时, . 若令固定, 及 则  证明 我们有  ＝ (3.11) 由于函数在区间上连续,可设#..由引理条件(2)推出,同理． 令,则在集和上函数满足不等式  据此有 ． (3.12) 现在来估计依在点#.处的连续性及.,对于有（）.使得,当时,有  由此再依函数.的正性,得到  (3.13) 由(3.11)与(3.12)推出  把这些不等式各部分除以.并注意到不等式(3.13),得到  (3.14) 由于,所以上面的不等式的右边趋于1,由此便证明了引理. 定理5 设函数满足引理2的条件且  又设函数在区间上连续,则算子序列 （） 在区间（）上一致收敛于函数 证明：依定理4的注记，要证明定理只需验证，在区间上序列一致收敛于1,且序列一致收敛于零,此处. 我们有 . 令,则得  我们指出, .,故     由此再依函数的正性有 .  又依引理2,上述最后的不等式的左边趋于1,因此若,,,则有不等式 ， 这就验明了序列在区间上一致收敛于零.剩下的是要验证序列在这一区间上一致收敛于零，其中,我们有   由于,而.且函数#.在区间#上是正的,所以  =  在第一与第二积分号下,而在第三积分号下.因而  依不等式(3.12)得到  (3.14) 现在设及..依引理2,不等式(3.15)右边第二项有极限数而依不等式(3.14),第一项趋于零.因而成立不等式  如果,.从而推得,序列在区间上一致收敛于零,定理得证. 采用Korovkin定理和上述定理,可证明许多算子的收敛性质.例如Bernstein算子,Landau算子,Weierstrass算子,Jackson算子,以及Kontrovitch算子等的相应收敛性均可由它们验证. 第二章 一致逼近 教学目的及要求： 要求掌握一致逼近定理、收敛速度估计、函数的构造性理论、代数多项式逼近理论中的有关结果。会找最佳一致逼近多项式。 第一章所讲述的Weierstrass逼近定理, 指出了有界闭区间上的连续函数均可用多项式序列一致逼近. 换句话说实系数多项式所构成的集合, 在连续函数空间中是处处稠密的. 即设是中任意给定的连续函数, 则对任意指定的,恒存在实系数多项式, 使得 , . 大量的理论问题和实际问题要求人们研究如下的问题: 对于指定的非负整数在次数不超过的实系数多项式集合  中寻求多项式, 使得它与给定函数的偏差  （0.1） 尽可能的小. 称量为与的偏差. 显然有非负.因而当取遍中所有多项式时, 相应的集合必有下确界:  = （0.2） 称为对给定函数的最小偏差或最近逼近. 按的定义, 显然有  再由Weierstrass逼近定理, . 现在的问题是:是否存在,使得 ？ （0.3） 如果这样的存在,它是否唯一? 满足（0.3）式的多项式, 称为于中的最佳逼近多项式. §1．Borel存在定理 Borel存在定理 对任何给定的,总存在, 使得  证明 因为是的下确界, 因而对任何给定的, 必有, 使得  特别取, 存在, 使  （1.1） 所以, 如果能证明或它的某一子序列一致收敛于某, 则上式中令,即可证明  以下集中于从中选取收敛的子序列. 首先, 按的选取方法可知有界  进而可证  中的各系数 ,,,…,皆有界.为此, 在中任意取定个互异点 . 由 # 可推出  其中为多项式在确定点上的值, 从而得有界:   由Bolzano-Weierstrass定理, 可逐一选出个同时收敛得子序列, ,使得  作多项式  （1.2） 显然当时, 多项式在上一致收敛到. 下面证明  由于, 按定义  以下只须证明  由的取法可知  但  令得到  从而  证毕. §2．最佳逼近定理 由Borel 存在性定理, 对任给定的, 均存在多项式, 使得 . （2.1） 这样的多项式称为于中的最佳逼近多项式. 显然, 等价于. 即除外,均取正值. 以下探讨最佳逼近多项式的本质特征. 记  由于, 于是存在, 使得  称这样的为关于的偏离点. 特别的, 如果, 则称为关于的正(或负)偏离点. 如果不是的最佳逼近多项式, 则关于的正,负偏离点未必同时存在(试举例说明!).但如果是的最佳逼近多项式,则它关于的正, 负偏离点必然都存在. 事实上,不妨假定最佳逼近多项式无负偏离点存在.则可证明不是的最佳逼近多项式.按以上反证法假定, 必存在一个足够小的正数, 使得 , . 于是在上, 有  . 矛盾. Vall?e-Poussin定理(最佳逼近误差下界的估计) 设, 且于中的点列  上取异于0的正负相间值 (不妨设诸), 且, 则对任一,均有  （2.2） 证明 假若不然, 设有某, 使  （2.3） 考虑  因为  从而 , 即于点列上交错变号, 由连续函数的介值定理, 于内至少有个零点,但,所以.即此与（2.3）的反证法假设矛盾.定理得证. Tchebyshev 定理 于中的最佳逼近多项式是唯一存在的,且是于中的最佳逼近多项式,必须且只须-在[a,b]上点数不少于n+2的点列  ,  上以正负交错的符号取到的值. 证明 充分性.假定-于[a,b]中点列()上以正负交错的符号取到. 由定理,对任一,均有 . 所以是于中的最佳逼近多项式. 必要性.假定是的正负交错的偏离点数,下面来证不是的最佳逼近多项式.显然 -=-+[-]. 今将[a,b]分成个子区间 ,,…,, 使在上述区间上轮流满足下面两个不等式中的一个 --<- -+<- 其中是某一充分小的正数,引入中的多项式 =… 并作 =+ 则 -=-+ 取足够小的,并选择的正负号,即可使下式成立 . 此式是的最近逼近多项式的假设相矛盾. 下面证唯一性. 设除外,尚有,亦使 ==. 它们相应的正负交错偏离点组中点数, 不妨假定,并设的正负交错偏离点组为 …< （2.4） 考虑 =-=(-)-(-) 并考虑于点列(2,4)上的符号.注意可能为0,也可能不为0.但若0,则必有 = （2.5） 倘若 ,=…==0,0 （2.6） 因 = 且 = 而-于…<上正负交错变号，即 与 同号.亦即 与 从而 与 若k为偶数,则与同号,所以期间必有偶数的根,但(2.6)中已有k+1(偶数)个根,所以必定还有一个根,及至少有k+2个根. 若k为奇数,则与异号,所以期间必有奇数个根,但(2.6)中已有k+1(偶数)个根,所以必定还有一个根,及至少有k+2个根. 总之,于中根的个数－1n＋1,从而0,此与假设矛盾.证毕. 作为例子,讨论何两种情况. 例1 设,则于中的最佳逼近多项式为 == 例2 设,且>0,求于中的最佳逼近多项式. 由Tchebyshev定理,交错点组点数,设最佳逼近多项式为=.因有3个交错点,所以于开区间(a,b)内至少有一个-的交错点c,且其必为稳定点  所以.由于,所以严格单调递增,从而  在(a,b)内不能再有其他零点.即其他两个交错点必为[a,b]的两个端点.所以的3个交错点为:  从而 -=-[ - ]= - (2.7) 求解由(2.7)所确定的方程组,可得 =,=- 即所求的最佳逼近多项式为 =+- 其中c由下式所决定:  它有明显的几何意义,即在点处的切线,平行于由和两点所决定的直线. Kolmogorov最佳逼近定理 1948年, Kolmogorov给出了另一种形式的最佳逼近定理.以下仅就实多项式情况来叙述这条定理. Kolmogorov定理 是在中的最佳逼近多项式,必须且只须对所有的,均有  (2.8) 其中  条件(2.8)表明,关系式  不能对一切都成立.即-与不能对一切都取相反的符号. 证明 假定是在中的最佳逼近多项式.如果(2.8)不成立,则有多项式存在,使得对某一,有 . 根据f(x)的连续性,存在[a,b]的一个开子集G, ,使得对一切均有  对于充分小的,构造一个新的多项式.若,则  =++ < 其中.若取,则 ,  (2.9) 注意到G的余集是闭集,且 , 因而存在,使得 -, 若取得也使成立,则 + , (2.10) 由(2.9)和(2.10)可知,对充分小的正数,比更好的逼近.从而(2.8)是必要的. 往下证明(2.8)也是充分的.假定(2.8)对任何皆成立.于是对任意制定的,构造,必存在点,使得  注意到点集Ao的定义,可知 = + = 从而.证毕. 注 Kolmogorov定理的原始形式是就更广的复函数和复系数多项式来叙述的.这时条件(2.8)应相应的改变为  此处A是紧致Hausdorff空间,是在A上连续的复函数空间,,…,是给定的A上复连函数组,是所有形如+…+ (诸为复数)的”多项式”类,而Ao表示使  成立的一切点的集合. 虽然迄今已有一些最佳一致逼近多项式的近似计算方法,其中最著名的是Remez方法,Stiefel方法等,但由于这些方法比较复杂,所以实际上人们并不怎么采用它们.从当今的潮流来看,人们更趋近于利用各种方法来获得在某种意义下的最佳逼近多项式,甚至只是具有一定精确度的多项式.在本章#中,我们将会论及它们.在第六章中,我们还将在更广意义上,介绍Remez方法的梗概. §３．Tchebyshev最小零偏差多项式及其应用 在次n多项式类中，寻求如此的多项式，使其在给定的有界闭区间上与零的偏差尽可能的小.这是一个具有重要理论和实际意义的问题，它被称为最小偏差多项式问题. 不失一般性，假定的系数为1，即可表示为 =++…++, 且所讨论的有界闭区间为. 不难看出，寻求最小零偏差多项式的问题，等价于寻求函数的次最佳一致逼近多项式+…++的问题. 当时，在上最佳零次逼近多项式（即常数）显然为0，即1次最小零偏差多项式为. 当时，按Tchebyshev定理，2次最小零偏差多项式为（留作习题） . Tchebyshev发现，此类问题同以下多项式有关： . （3.1） 如此定义的果真是x的多项式吗？试看和的情形： ， . 注意到以下的三角恒等式 ， 从而有 ， （3.2） 所以确实是x的n次多项式. 不难看出与n的奇偶性相同,即随n为奇数或偶数而成为上的奇函数或偶函数. 显然, 的最高次项的系数为,即  =+(x的低次多项式). (3.3) 称为n次Tchebyshev多项式. 今将前六个Tchebyshev多项式在上的图形罗列于下图(图3.1).       (图3.1) 显然 =1 (3.4) 并且在点列 = , =0,1,…,n (3.5) 上,#以正负交错的符号取到它的绝对值的最大值1:  (3.6) 根据Tchebyshev最佳逼近定理,首项(#)系数为1的多项式  为所有系数为1的n次多项式类中唯一的、在上与零偏差最小的多项式.详细证明留给读者去完成. 有一条十分重要的性质,即它的零点全部是落在内部的实单根: ,=1,…,n (3.7) 从几何上看,如果将以原点为圆心,以1为半径的上半圆周分成2n等分,再把圆周上所有奇分点往x轴上投影,则恰好得到点列(3.7).细心读者不难从此发现,Tchebyshev多项式的零点,特别是当n较大时,它们总是在开区间#的两端比较密集,而在该区间中部比较稀疏. 试问: 与能否有公共的实根?此问题的答案留给读者自行给出(留作习题). Tchebyshev多项式有很多的应用,除了在多项式的插值的余项估计中它有直接的应用外,下面还介绍几种应用. 一、逼近多项式的经济化 不妨设所讨论的区间为,假定我们已通过某种途径,例如Taylor展开式,获得了的一个近似多项式,它使得 , 我们希望寻求一个次数低于n的多项式,使得与在上的误差仍不超过事先指定的允许误差: , . 如何来选取这样的? 设 =+,, (3.8) 于是 -=+- =. 根据Tchebyshev多项式的最小零偏差性质,人们应该选取,使得 =, 其中为n次Tchebyshev多项式.即取 =-, (3.9) 则恰为于中的最佳逼近多项式(为什么?请补证之).由(3.8),如用来近似,则在上的误差为.但若用(3.9)中的来近似,则相应误差项为,即其误差不超过. 再用较低次多项式替代余项中的最高次项,…,直到误差不可忽略时为止. 一般可采用以下公式来替换由Taylor展开所得幂级数的: =, (3.10) 其中方括号中的最后一项依赖于k的奇偶性,它为 …+ ,当k为奇数, …+,当k为偶数. 常用的低次幂表达式为 1=, , , , , (3.11) , , , . 例 用6次多项式在区间,逼近=. =的Taylor级数部分和  的逼近误差界为 . 但若用=的Taylor展开部分和作逼近,并同时用Tchebyshev多项式组来替代中的,则得到一个新的6次多项式,它仍是一个偶多项式,其误差为 . 由此看来,如此一个简单的替换,竟使逼近的精确度提高了50倍之多. 二、按Tchebyshev多项式系展开（Lanczos方法） 如所知，足够光滑的函数可用其Taylor展开的截断来近似表示. 因为在区间上，以权函数直交，即 =0, . 这可用变量替换,将左端积分化为三角函数的积分来证明. 今将函数按直交多项式系展开为 =,  其中 =, n=0,1,… 现在来比较展开式(3.12)的部分和与的Maclaurin级数的部分和  (3.13) 的精度. (3.13)中的系数只依赖于在原点附近的性质.只有当x很小时, 才能较快的收敛,且较好的逼近,而相应的截断误差-当增大时,增长的很快. (3.12)的部分和 = 中的系数依赖于在区间中的一切值.一般说来,当n增大时这些系数减小的很快.所以截断误差-可以用被舍去的第一项 来近似，即  由的最小零偏差性质，很接近最佳逼近多项式，且易于按下式算出来，  例 求 于[-1，1]的逼近多项式. 的5次最佳逼近多项式为  相应偏差为 另一方面，的Tchebyshev展开的前三项部分和 为  相应偏差为  这表明与是相差无几的. §4. 最佳一致逼近得收敛速度估计 Weierstrass定理指出了，对任意给定的，存在多项式，使得  显然  并且，所以单调下降趋于零. 本节讨论收敛于0的速度（即Jackson定理），其逆问题（即Bernstein函数构造论）及相关问题 . 先看例子. 例1 设，研究在上，收敛于0的速度. 按第三章所述多项式插值理论，在上如以n+1次Tchebyshev多项式的零点作为n次插值多项式的结点，则该插值多项式与的误差为  所以  即的速度很快 例２ 说明的速度可以很慢，特别地，可以证明不论的收敛速度如何总可以找到如此的使 证明　取 　　　　　　　　　 作函数级数  因为 所以  即是的控制级数.因为  利用M判别法可知，于上一致收敛，又显然于于连续，所以按（4.1）定义的函数. 下面指出如此找到的即满足. 考虑的部分和 它与的误差为   （4.2）右端第1项中的极值点为  ， 在这些点处，当K  n+1时  因此  注意到交错点组（4.3）的点数由Tchebyshev定理，是的次最佳逼近多项式，所以  从而  从上述例子不难看出，单调下降的速度可以相差很大. 实际上，趋于零的速度与函数的性质密切相关.本节我们将集中讨论此类问题. (一)连续模数及其性质： “连续模数”是一种用来表示函数连续性状态的基本数量.在分析函数的结构性质与多项式逼近速度之间的关系时,它起着很重要的作用. 今后我们用来表示以a,b为端点的一般区间（可以是开的、闭的、或半开半闭的区间，也可以是）.假设是定义在上的一个实函数,数量  称作函数的连续模数,其中δ是任意正数. 连续模数w(δ)实际是刻画了当自变数的两个值之差不大于δ时，函数值之间相差的最大可能值.对于固定的δ，w(δ)是函数振荡特性的度量。下面我们列出有关连续模数的一系列简单性质，它们的验证都是十分容易的（一部分留给读者作习题） 函数w(δ)是单调递增的，亦即当时，有 . 函数在上一致连续的充分必要条件，是  这只须根据一致连续的定义即可看出. 若n是一个正正数，则  事实上，这相当于下列不等式成立  对于任意正整数λ都有不等式  事实上，用表示的λ整数部分，则易见 . 性质在今后的讨论中经常用到. 设表示函数在区间上恒适合如下Lipschitz条件:  其中正常数a (0<a<1)和M分别称为指数和系数.亦可把满足此种条件的所有函数的集合称为Lipschitz函数类.这样，下列两个关系式  便是完全等价的. 事实上如果,则  反之,若,则 . (二)Jackson定理 函数的结构性质(如连续性,可微性,满足Lipschitz条件等属性)究竟对最小偏差趋于0的速度会发生怎样的影响呢?下面我们来论述D.Jackson所得到的一些主要结果. Jackson定理1 设,并且具有周期2π,则一定存在一绝对常数K使得  其中为n阶三角多项式对的最佳逼近(或最小偏差). 这是一个很重要的结果,以后我们就会看到,利用此结果可以完全解决关于函数类C[a,b]与的与究竟以何种速度下降于零的问题. 为证Jackson定理先证下面的引理 引理 若 m为正整数,则分式  必是一个2m-2阶的偶性三角多项式. 证明 事实上,只需验证分式  是一个(m-1)阶三角多项式即可.比较等式  的两边即可得知  于是 . 注意上式右端各项中得分式都可化为cosx 的(m-1)次多项式.因此最后可以肯定(4.5)中的分式能够表示为  引理证毕 Jackson定理1的证明  如果令x+2u=y,并注意到与整个被积函数的周期性(即可将积分区间任意平移).即可将 改写为  依引理,上式右端为x的(2m-2) 阶三角多项式.下面证明三角多项式能以极快的速度收敛于给定的函数. 我们来估计差数.注意亦即有  因此易导出  进一步再来分别估计最后一式中的分子与分母.令与为由下列两积分所定义的常数:   注意且在，内为单凋下降函数.从而  因此分母，分子各有如下估计式，  分别以所得出的下界与上界代入原来分式中，便得到  最后，令n为任意正整数；又令m取为整数部分：（如是，自然有2m-2≤n＜2m.又令改记作则便是一个阶数不大于n的三角多项式.注意因此令时，由（4.6）式便导出不等式（4.4）.着就证明了Jackson定理1 Jackson的基本定理 设.则对于一切正整数n都成立着如下的估计式:  其中K 为绝对常数，表的连续函数 证明 只需证明有n阶三角多项式存在，使得不等式成立即可 显然总能够做出如此的折线函数g(x),使其在下列点组  上和函数的值一致.自然,它本身也一定是一个具有周期的连续函数. 又由于它的图形是由各段直线连成的，各段端点的纵坐标之差显然不会大于因此各段直线的斜率均不超过  如此可见对与上述的M而言，定理1的条件恰能被函数所满足. 依定理1和(4.8)式,自然存在三角多项式,使得 , 其中为绝对常数.另一方面,由于具有同一横坐标x的曲线上的点与折线上的点同它们附近的公共交点的纵坐标值比较起来,其差都不会大过,因此  于是合并起来,并注意,便得到了不等式  其中,因而定理得证,由本定理显然易得如下几条推论: 推论1 Weierstrass的第二定理恒成立. 推论2 若,则  推论3若切存在着有界的导数,而,则  事实上,由于,故推论一显然成立.又由所述连续模数的性质,可知推论2也显然成立.其次若设则由Lagrange 中值定理,, 可知.因此推论3又是推论2的推论 注记Jackson定理1 中出现的积分叫做Jackson奇异积分,它可写作  其中叫作Jackson核,它可以表成  事实上,把三角恒等式  代入原的因子中，可以将的数值精确地计算出来；  具体算法并不困难，此处从略。 在函数结构性质的研究中，起着极重要作用的强有力工具是如下所述（三）段中的不等式. （三）Bernstein 不等式 设  是一个n阶的三角多项式，则它的导数有估计式：  这个命题可以改述为如下等价形式：若则  事实上，只要在估计式的两边，除以常数，并将多项式仍记为，便可看出它们之间的等价性来。至于着一事实，那是由所保证的。 我们来证不等式（4.11）.这里所给出的证法是由M.Riesz和Vallee-Poussin彼此独立提出的 利用反证法,假定于是对于任意常数c ,可知函数  在各点上都和有相同的符号;而在这组点上依次取值1和-1.因此也就在该点组所划分出来2n个区间的每一个区间内都至少有一个零点,总之我们至少有这样一批点，而.应用Rolle定理,可知再2n个区间内都有零点存在,亦即在内有的2n个相异根,注意  据假设由连续性必有一点使得.另一方面总可以选择常数c,使得取数值(符号恰与相反),从而保证,再注意到是与的极值位置,因此自然还有.亦即还有由此可见还是的重根.于是连根的重数一并计算在内时, 便至少将有2n+1个零点.然而是n阶三角多项式.当零点的个数超过2n时便只能是.但这是一个矛盾,因是一个时取正值时取负值的函数. 总之,由反证法可知,命题得证 让我们指出，估计式中的系数n 实际是最佳的.例如对而言,就有 Bernstein 第二不等式 设是x 的n次代数多项式,则下列不等式成立:  事实上,令,则应用第一不等式于n 阶三角多项式上,可得  因此第二不等式可作为第一不等式的推论而导出. 推论 设是x 的n次代数多项式,那么如下的估计式成立: 为得到这个结论,只须做线性代换  并将第二不等式应用于y的n次多项式即可.事实上,  而此处不等式的右端恒可以化为x的函数形式,从而即可的出推论中的不等式. §5. 函数的构造性理论 前节已经讨论了函数的构造性质,诸如连续性、可微性等是怎样影响着最佳逼近(或最小偏差) 的递减速度.这一小节讨论反问题,即怎样根据的递减速度去判断定函数的构造性质关于这方面所得到的最重要结果是属于Bernstein的 我们已经知什么叫 Lipschitz函数类,特别是在系数M无关紧要得情形,可以用记号来表示这种函数类.此外,我们在引进这样一个函数类W,它是满足条件  的一切函数所组成的函数类,其中ln 表示自然对数,而A与可变正数δ无关.可以证明,若函数的定义范围限于有限区间,则有下面的包含关系(留给读者验证):  Bernstein定理 设,并设表示用n 阶三角多项式类逼近所得的最小偏差.有设当时恒有  那么当a<1时可以断定;而当a=1是则可断言. 证明 在证明中,为了叙述和记号的简化,我们约定用记号A表示那种与函数变量无关的常数,而它在各次出现时未必代表同一数值(在此中约定下,例如可以写2A=A,等等) 证明的主要内容无非就是去设法寻找关于的估计式,从而再根据与Lipschitz条件的联系以及与W的条件的联系去做出关于所属函数类的结论.在估计的过程中需要用到微分中值定理和Bernstein不等式 对于每个n,由假设可知都有不高于n阶的三角多项式使得.这表明当时是一致地趋于的.若令  则便一致收敛于,亦即  下面来估计其中为任意正数令m 选得如此大,使得.于是  显然关于有如下估计  从而(注意到公式(4.10))  注意到,因此由上述估计可知  以下分别讨论a<1与a=1的情形 .先设a<1.此时由于故得  从而  这表明 又若a=1,则(5.2)变为 . 既然,因此,从而  这表明.证毕 将此处所论证的定理和Jackson定理(推论2)作一比较,即可看出,为使函数(0<a<1)充分且必要条件是.但当a=1时,该条件却只是必要而未必充分.事实上存在这样的函数(例如可取),它虽然满足条件,却未必是. Bernstein还建立了如下的定理 定理2 设,又设  其中p为正整数,而0<a≤1.那么必存在有连续的p阶导数并且当a<1时, ;而当a=1时,  定理3 为使中的函数有任意阶导数的充分必要条件是对于任意p都有 定理3的证明和前面定理的证法十分相似.令的定义同前,则由 出发，同样可得（常数记号A得用法仍按以前的约定）：  对阶多项式连续利用P次Bernstein不等式，可得  于是依Weierstrass的M检验法,可知导数一致收敛到和函数的P级导数  最后只需判定所需的函数类.显然  既然其中是一个阶数不大于的三角多项式,故用表示的最佳逼近时,将有  对每一正整数n>2,总可选m ,使得,因而总有  于是根据Bernstein定理便可作出关于所属函数类的结论. 对于定理3,我们在这里不准备给出它的全部证明,只就定理中所述条件的充分性予以验证.再定理条件下,可知对一切足够大的n(例如),总有  因为有限数,故在诸数  中必可选一最大者,例如记最大者为.于是  便对一切n都成立.如此，根据定理2便得知具有连续的 p阶导数.又由于p的任意性便得知定理为真 我们已经知道,满足条件的以2π为周期的连续函数必属于lip1类.因此,自然产生这样的问题:由条件所界的类究竟是怎样的函数类?这个问题是 A. Zygmund解决的.他发现要寻找的函数类,即下面要讲的Z类. Z类: 类中的元素是以2π为周期的连续函数,并且有这样的常数K使得对一切x及一切h>0 ,都满如下条件:  Zygmund定理 函数属于Z类得充分必要条件是,为某一常数. 证明 所用的工具主要是Bernstein不等式和如下的Jakson奇异积分  仿Jakson定理1的证法,利用核函数的偶性,可得  先证条件的必要性,假设,则  因而仿Jakson定理1的证法,可得估计式(A表示如前约定的常数):  既然是一个阶不高于2n-2 的三角多项式,因此上式表明  注意 , 因此可知不论n为奇数还偶数,都存在常数A,使得,故必要性得证. 在证条件充分性.假设定理中的条件为所满足,仿Bernstein定理的证法引进阶的三角多项式,于是  对于任意正整数m,显然有  这表明,对于任意h>0,都有  利用两次微分中值定理公式可得  其中x-h<η<ζ<ξ<x+h于是再连用两次Bernstein不等式便可得出如下的估计式:  并由逐项相加得  到此为止m都是任意的,而上式左端与m无关 ,因此我们总可适当选择m使得,从而  这表明.充分性得证. 注记 Zygmund定理实质上可以看是对Bernstein定理的补充,或者看是关于a=1 那个情况的精确化.事实上,函数类Z是介于lip1和交集之间的  还可以举例说明Z是交集的一个真子集.进一步讨论留给读者. §6. 代数多项式的逼近理论中的有关结果 本节转而代数多项式情形的Jackson和Bernstein型理论 (一)函数的最佳逼近与诱导函数的最佳逼近之间的关系 要研究非周期函数的结构性质与函数的代数多项式逼近阶之间的联系,最简单的方法就是先通过变数代换法把被逼近的函数转化为三角函数,然后用三角多项式来进行逼近(这时即可应用§4,§5中的理论),最后再把三角多项式变回到代数多项式. 现在我们就根据上述想法来进行具体分析.假设是定义在闭区间[a,b] 上的一个连续函数,通过变数代换  显然就将x的区间变换成t的区间,同时得到t的函数  既然,故又可作变数代换t=cosθ而θ满足这样便得到一个三角函数  由于cosθ是θ的偶性周期函数，故可将按照与而延拓成上的偶性周期函数. 如上得出的称为原始函数的诱导函数,利用此种诱导函数即可讨论代数多项式的最佳逼近和三角多项式的最佳逼近之间的关系 命题1 设是函数的用不高于n次的代数多项式的最佳逼近,而是它的诱导函数用阶数不高于n次的三角多项式的最佳逼近,那么 证明 对而言恒有最小偏差多项式,使得  易见的诱导函数必定是阶数不高于n的三角多项式,因此不等式(6.1)转变为  由此推出 反之对偶函数而言将有最小偏差多项式(偶性三角多项式)使得  显然由可知(6.2)式相当于  最后在根据变数代换,便变成  其中的次数不高于n由此又推出 命题2 设分别表示函数与诱导函数的连续模数,则  证明 由微分中值公式易知因此当时,可得估计式   命题3 设是整个包含在内的闭区间,而表示在上的连续模数,则存在一个只依赖于区间以及的正常数k,使得  证明 注意变数代换等价于  在此变换下被变换成,而  ,  显然整个含于内,亦即  记  于是不等式相当于  因故由微分中值定理可得  其中均在内,而之间从而因而  我们有  这就证明了其中 (二)Jackson定理与Bernstein定理 有了以上内容作准备,我们不难根据三角多项式逼近论中的Jackson定理与Bernstein定理去导出代数多项式逼近论中的相应命题.例如我们有 Jackson定理1设是函数用中的多项式所得的最佳逼近,那么  其中K为一正常数,仅与a,b有关 证明 令表的诱导函数.根据本节命题1及2并利用周期情形的Jackson定理易知  定理得证 推论1 设则  推论2 设有导函数且则  如果用表示p阶导函数的连续模数,那么还有如下一个更一般的结果: Jackson定理2 设在上具有p阶连续导数,那么当n>p时,恒有估计式  其中是一只依赖于a,b与p的正常数 为证上述定理,先证下面的引理. 引理2 若具有连续导数,则的最佳逼近与其导数的最佳逼近之间必存在如下的关系式  证明 令 是的 n-1次最佳逼近多项式那么.令则从而有不等式  如是利用Jackson定理1的推论2便推出  因之,若的最佳逼近多项式,则  注意为中的多项式,故由上式可知引理成立 定理2的证明 相继用引理中的不等式,得出(常数A在各处出现时,不必代表同一值) 再根据上述Jackson第一定理的证明可知有  以此代如不等式(6.3)的最后一项,便证明了定理2中的估计式 进一步,来建立 Bernstein定理1 设函数的最佳逼近满足不等式  令为整个含于内的一个闭区间,那么当a<1时,在该闭区间上恒属于lipa类;当a=1时在该闭区间上属于W类 证明 令表的诱导函数,则  因而由§5中定理2知道,当a<1 时而当a=1时 由本节命题3知道,在区间上恒有..根据连续模数的性质以及W类的定义,可知当a<1时,有  这表明属于具有系数的 lipa类; 当 a=1时,  故属于函数类W Bernstein定理2设p为正整数而并且   那么p阶导数在开区间内处处存在.并且当a<1时, 再包含于内的任何闭区间上恒属于lipa类;而当 a=1时属于W 类 这个定理可用Bernstein第二不等式那条推论来证明. 最后要着重指出,将Bernstein的一系列定理和Jackson 定理联系起来(包括Zygmund定理),可以看出 与中的函数正好能够按照它们的最佳逼近的递减速度来进行分类,例如分成lipa(0<a<1)类,Z类,高阶可微函数类等等,这部分内容也常被称为函数构造论. 来近似，即  由的最小零偏差性质，很接近最佳逼近多项式，且易于按下式算出来，  例 求 于[-1，1]的逼近多项式. 的5次最佳逼近多项式为  相应偏差为 另一方面，的Tchebyshev展开的前三项部分和 为  相应偏差为  这表明与是相差无几的. §4. 最佳一致逼近得收敛速度估计 Weierstrass定理指出了，对任意给定的，存在多项式，使得  显然  并且，所以单调下降趋于零. 本节讨论收敛于0的速度（即Jackson定理），其逆问题（即Bernstein函数构造论）及相关问题 . 先看例子. 例1 设，研究在上，收敛于0的速度. 按第三章所述多项式插值理论，在上如以n+1次Tchebyshev多项式的零点作为n次插值多项式的结点，则该插值多项式与的误差为  所以  即的速度很快 例２ 说明的速度可以很慢，特别地，可以证明不论的收敛速度如何总可以找到如此的使 证明　取 　　　　　　　　　 作函数级数  因为 所以  即是的控制级数.因为  利用M判别法可知，于上一致收敛，又显然于于连续，所以按（4.1）定义的函数. 下面指出如此找到的即满足. 考虑的部分和 它与的误差为   （4.2）右端第1项中的极值点为  ， 在这些点处，当K  n+1时  因此  注意到交错点组（4.3）的点数由Tchebyshev定理，是的次最佳逼近多项式，所以  从而  从上述例子不难看出，单调下降的速度可以相差很大. 实际上，趋于零的速度与函数的性质密切相关.本节我们将集中讨论此类问题. (一)连续模数及其性质： “连续模数”是一种用来表示函数连续性状态的基本数量.在分析函数的结构性质与多项式逼近速度之间的关系时,它起着很重要的作用. 今后我们用来表示以a,b为端点的一般区间（可以是开的、闭的、或半开半闭的区间，也可以是）.假设是定义在上的一个实函数,数量  称作函数的连续模数,其中δ是任意正数. 连续模数w(δ)实际是刻画了当自变数的两个值之差不大于δ时，函数值之间相差的最大可能值.对于固定的δ，w(δ)是函数振荡特性的度量。下面我们列出有关连续模数的一系列简单性质，它们的验证都是十分容易的（一部分留给读者作习题） 函数w(δ)是单调递增的，亦即当时，有 . 函数在上一致连续的充分必要条件，是  这只须根据一致连续的定义即可看出. 若n是一个正正数，则  事实上，这相当于下列不等式成立  对于任意正整数λ都有不等式  事实上，用表示的λ整数部分，则易见 . 性质在今后的讨论中经常用到. 设表示函数在区间上恒适合如下Lipschitz条件:  其中正常数a (0<a<1)和M分别称为指数和系数.亦可把满足此种条件的所有函数的集合称为Lipschitz函数类.这样，下列两个关系式  便是完全等价的. 事实上如果,则  反之,若,则 . (二)Jackson定理 函数的结构性质(如连续性,可微性,满足Lipschitz条件等属性)究竟对最小偏差趋于0的速度会发生怎样的影响呢?下面我们来论述D.Jackson所得到的一些主要结果. Jackson定理1 设,并且具有周期2π,则一定存在一绝对常数K使得  其中为n阶三角多项式对的最佳逼近(或最小偏差). 这是一个很重要的结果,以后我们就会看到,利用此结果可以完全解决关于函数类C[a,b]与的与究竟以何种速度下降于零的问题. 为证Jackson定理先证下面的引理 引理 若 m为正整数,则分式  必是一个2m-2阶的偶性三角多项式. 证明 事实上,只需验证分式  是一个(m-1)阶三角多项式即可.比较等式  的两边即可得知  于是 . 注意上式右端各项中得分式都可化为cosx 的(m-1)次多项式.因此最后可以肯定(4.5)中的分式能够表示为  引理证毕 Jackson定理1的证明  如果令x+2u=y,并注意到与整个被积函数的周期性(即可将积分区间任意平移).即可将 改写为  依引理,上式右端为x的(2m-2) 阶三角多项式.下面证明三角多项式能以极快的速度收敛于给定的函数. 我们来估计差数.注意亦即有  因此易导出  进一步再来分别估计最后一式中的分子与分母.令与为由下列两积分所定义的常数:   注意且在，内为单凋下降函数.从而  因此分母，分子各有如下估计式，  分别以所得出的下界与上界代入原来分式中，便得到  最后，令n为任意正整数；又令m取为整数部分：（如是，自然有2m-2≤n＜2m.又令改记作则便是一个阶数不大于n的三角多项式.注意因此令时，由（4.6）式便导出不等式（4.4）.着就证明了Jackson定理1 Jackson的基本定理 设.则对于一切正整数n都成立着如下的估计式:  其中K 为绝对常数，表的连续函数 证明 只需证明有n阶三角多项式存在，使得不等式成立即可 显然总能够做出如此的折线函数g(x),使其在下列点组  上和函数的值一致.自然,它本身也一定是一个具有周期的连续函数. 又由于它的图形是由各段直线连成的，各段端点的纵坐标之差显然不会大于因此各段直线的斜率均不超过  如此可见对与上述的M而言，定理1的条件恰能被函数所满足. 依定理1和(4.8)式,自然存在三角多项式,使得 , 其中为绝对常数.另一方面,由于具有同一横坐标x的曲线上的点与折线上的点同它们附近的公共交点的纵坐标值比较起来,其差都不会大过,因此  于是合并起来,并注意,便得到了不等式  其中,因而定理得证,由本定理显然易得如下几条推论: 推论1 Weierstrass的第二定理恒成立. 推论2 若,则  推论3若切存在着有界的导数,而,则  事实上,由于,故推论一显然成立.又由所述连续模数的性质,可知推论2也显然成立.其次若设则由Lagrange 中值定理,, 可知.因此推论3又是推论2的推论 注记Jackson定理1 中出现的积分叫做Jackson奇异积分,它可写作  其中叫作Jackson核,它可以表成  事实上,把三角恒等式  代入原的因子中，可以将的数值精确地计算出来；  具体算法并不困难，此处从略。 在函数结构性质的研究中，起着极重要作用的强有力工具是如下所述（三）段中的不等式. （三）Bernstein 不等式 设  是一个n阶的三角多项式，则它的导数有估计式：  这个命题可以改述为如下等价形式：若则  事实上，只要在估计式的两边，除以常数，并将多项式仍记为，便可看出它们之间的等价性来。至于着一事实，那是由所保证的。 我们来证不等式（4.11）.这里所给出的证法是由M.Riesz和Vallee-Poussin彼此独立提出的 利用反证法,假定于是对于任意常数c ,可知函数  在各点上都和有相同的符号;而在这组点上依次取值1和-1.因此也就在该点组所划分出来2n个区间的每一个区间内都至少有一个零点,总之我们至少有这样一批点，而.应用Rolle定理,可知再2n个区间内都有零点存在,亦即在内有的2n个相异根,注意  据假设由连续性必有一点使得.另一方面总可以选择常数c,使得取数值(符号恰与相反),从而保证,再注意到是与的极值位置,因此自然还有.亦即还有由此可见还是的重根.于是连根的重数一并计算在内时, 便至少将有2n+1个零点.然而是n阶三角多项式.当零点的个数超过2n时便只能是.但这是一个矛盾,因是一个时取正值时取负值的函数. 总之,由反证法可知,命题得证 让我们指出，估计式中的系数n 实际是最佳的.例如对而言,就有 Bernstein 第二不等式 设是x 的n次代数多项式,则下列不等式成立:  事实上,令,则应用第一不等式于n 阶三角多项式上,可得  因此第二不等式可作为第一不等式的推论而导出. 推论 设是x 的n次代数多项式,那么如下的估计式成立: 为得到这个结论,只须做线性代换  并将第二不等式应用于y的n次多项式即可.事实上,  而此处不等式的右端恒可以化为x的函数形式,从而即可的出推论中的不等式. §5. 函数的构造性理论 前节已经讨论了函数的构造性质,诸如连续性、可微性等是怎样影响着最佳逼近(或最小偏差) 的递减速度.这一小节讨论反问题,即怎样根据的递减速度去判断定函数的构造性质关于这方面所得到的最重要结果是属于Bernstein的 我们已经知什么叫 Lipschitz函数类,特别是在系数M无关紧要得情形,可以用记号来表示这种函数类.此外,我们在引进这样一个函数类W,它是满足条件  的一切函数所组成的函数类,其中ln 表示自然对数,而A与可变正数δ无关.可以证明,若函数的定义范围限于有限区间,则有下面的包含关系(留给读者验证):  Bernstein定理 设,并设表示用n 阶三角多项式类逼近所得的最小偏差.有设当时恒有  那么当a<1时可以断定;而当a=1是则可断言. 证明 在证明中,为了叙述和记号的简化,我们约定用记号A表示那种与函数变量无关的常数,而它在各次出现时未必代表同一数值(在此中约定下,例如可以写2A=A,等等) 证明的主要内容无非就是去设法寻找关于的估计式,从而再根据与Lipschitz条件的联系以及与W的条件的联系去做出关于所属函数类的结论.在估计的过程中需要用到微分中值定理和Bernstein不等式 对于每个n,由假设可知都有不高于n阶的三角多项式使得.这表明当时是一致地趋于的.若令  则便一致收敛于,亦即  下面来估计其中为任意正数令m 选得如此大,使得.于是  显然关于有如下估计  从而(注意到公式(4.10))  注意到,因此由上述估计可知  以下分别讨论a<1与a=1的情形 .先设a<1.此时由于故得  从而  这表明 又若a=1,则(5.2)变为 . 既然,因此,从而  这表明.证毕 将此处所论证的定理和Jackson定理(推论2)作一比较,即可看出,为使函数(0<a<1)充分且必要条件是.但当a=1时,该条件却只是必要而未必充分.事实上存在这样的函数(例如可取),它虽然满足条件,却未必是. Bernstein还建立了如下的定理 定理2 设,又设  其中p为正整数,而0<a≤1.那么必存在有连续的p阶导数并且当a<1时, ;而当a=1时,  定理3 为使中的函数有任意阶导数的充分必要条件是对于任意p都有 定理3的证明和前面定理的证法十分相似.令的定义同前,则由 出发，同样可得（常数记号A得用法仍按以前的约定）：  对阶多项式连续利用P次Bernstein不等式，可得  于是依Weierstrass的M检验法,可知导数一致收敛到和函数的P级导数  最后只需判定所需的函数类.显然  既然其中是一个阶数不大于的三角多项式,故用表示的最佳逼近时,将有  对每一正整数n>2,总可选m ,使得,因而总有  于是根据Bernstein定理便可作出关于所属函数类的结论. 对于定理3,我们在这里不准备给出它的全部证明,只就定理中所述条件的充分性予以验证.再定理条件下,可知对一切足够大的n(例如),总有  因为有限数,故在诸数  中必可选一最大者,例如记最大者为.于是  便对一切n都成立.如此，根据定理2便得知具有连续的 p阶导数.又由于p的任意性便得知定理为真 我们已经知道,满足条件的以2π为周期的连续函数必属于lip1类.因此,自然产生这样的问题:由条件所界的类究竟是怎样的函数类?这个问题是 A. Zygmund解决的.他发现要寻找的函数类,即下面要讲的Z类. Z类: 类中的元素是以2π为周期的连续函数,并且有这样的常数K使得对一切x及一切h>0 ,都满如下条件:  Zygmund定理 函数属于Z类得充分必要条件是,为某一常数. 证明 所用的工具主要是Bernstein不等式和如下的Jakson奇异积分  仿Jakson定理1的证法,利用核函数的偶性,可得  先证条件的必要性,假设,则  因而仿Jakson定理1的证法,可得估计式(A表示如前约定的常数):  既然是一个阶不高于2n-2 的三角多项式,因此上式表明  注意 , 因此可知不论n为奇数还偶数,都存在常数A,使得,故必要性得证. 在证条件充分性.假设定理中的条件为所满足,仿Bernstein定理的证法引进阶的三角多项式,于是  对于任意正整数m,显然有  这表明,对于任意h>0,都有  利用两次微分中值定理公式可得  其中x-h<η<ζ<ξ<x+h于是再连用两次Bernstein不等式便可得出如下的估计式:  并由逐项相加得  到此为止m都是任意的,而上式左端与m无关 ,因此我们总可适当选择m使得,从而  这表明.充分性得证. 注记 Zygmund定理实质上可以看是对Bernstein定理的补充,或者看是关于a=1 那个情况的精确化.事实上,函数类Z是介于lip1和交集之间的  还可以举例说明Z是交集的一个真子集.进一步讨论留给读者. §6. 代数多项式的逼近理论中的有关结果 本节转而代数多项式情形的Jackson和Bernstein型理论 (一)函数的最佳逼近与诱导函数的最佳逼近之间的关系 要研究非周期函数的结构性质与函数的代数多项式逼近阶之间的联系,最简单的方法就是先通过变数代换法把被逼近的函数转化为三角函数,然后用三角多项式来进行逼近(这时即可应用§4,§5中的理论),最后再把三角多项式变回到代数多项式. 现在我们就根据上述想法来进行具体分析.假设是定义在闭区间[a,b] 上的一个连续函数,通过变数代换  显然就将x的区间变换成t的区间,同时得到t的函数  既然,故又可作变数代换t=cosθ而θ满足这样便得到一个三角函数  由于cosθ是θ的偶性周期函数，故可将按照与而延拓成上的偶性周期函数. 如上得出的称为原始函数的诱导函数,利用此种诱导函数即可讨论代数多项式的最佳逼近和三角多项式的最佳逼近之间的关系 命题1 设是函数的用不高于n次的代数多项式的最佳逼近,而是它的诱导函数用阶数不高于n次的三角多项式的最佳逼近,那么 证明 对而言恒有最小偏差多项式,使得  易见的诱导函数必定是阶数不高于n的三角多项式,因此不等式(6.1)转变为  由此推出 反之对偶函数而言将有最小偏差多项式(偶性三角多项式)使得  显然由可知(6.2)式相当于  最后在根据变数代换,便变成  其中的次数不高于n由此又推出 命题2 设分别表示函数与诱导函数的连续模数,则  证明 由微分中值公式易知因此当时,可得估计式   命题3 设是整个包含在内的闭区间,而表示在上的连续模数,则存在一个只依赖于区间以及的正常数k,使得  证明 注意变数代换等价于  在此变换下被变换成,而  ,  显然整个含于内,亦即  记  于是不等式相当于  因故由微分中值定理可得  其中均在内,而之间从而因而  我们有  这就证明了其中 (二)Jackson定理与Bernstein定理 有了以上内容作准备,我们不难根据三角多项式逼近论中的Jackson定理与Bernstein定理去导出代数多项式逼近论中的相应命题.例如我们有 Jackson定理1设是函数用中的多项式所得的最佳逼近,那么  其中K为一正常数,仅与a,b有关 证明 令表的诱导函数.根据本节命题1及2并利用周期情形的Jackson定理易知  定理得证 推论1 设则  推论2 设有导函数且则  如果用表示p阶导函数的连续模数,那么还有如下一个更一般的结果: Jackson定理2 设在上具有p阶连续导数,那么当n>p时,恒有估计式  其中是一只依赖于a,b与p的正常数 为证上述定理,先证下面的引理. 引理2 若具有连续导数,则的最佳逼近与其导数的最佳逼近之间必存在如下的关系式  证明 令 是的 n-1次最佳逼近多项式那么.令则从而有不等式  如是利用Jackson定理1的推论2便推出  因之,若的最佳逼近多项式,则  注意为中的多项式,故由上式可知引理成立 定理2的证明 相继用引理中的不等式,得出(常数A在各处出现时,不必代表同一值) 再根据上述Jackson第一定理的证明可知有  以此代如不等式(6.3)的最后一项,便证明了定理2中的估计式 进一步,来建立 Bernstein定理1 设函数的最佳逼近满足不等式  令为整个含于内的一个闭区间,那么当a<1时,在该闭区间上恒属于lipa类;当a=1时在该闭区间上属于W类 证明 令表的诱导函数,则  因而由§5中定理2知道,当a<1 时而当a=1时 由本节命题3知道,在区间上恒有..根据连续模数的性质以及W类的定义,可知当a<1时,有  这表明属于具有系数的 lipa类; 当 a=1时,  故属于函数类W Bernstein定理2设p为正整数而并且   那么p阶导数在开区间内处处存在.并且当a<1时, 再包含于内的任何闭区间上恒属于lipa类;而当 a=1时属于W 类 这个定理可用Bernstein第二不等式那条推论来证明. 最后要着重指出,将Bernstein的一系列定理和Jackson 定理联系起来(包括Zygmund定理),可以看出 与中的函数正好能够按照它们的最佳逼近的递减速度来进行分类,例如分成lipa(0<a<1)类,Z类,高阶可微函数类等等,这部分内容也常被称为函数构造论.