样条逼近方法 教学目的及要求： 掌握样条函数及性质、B-样条及性质、三次样条插值。 借助于多项式来逼近，虽然有很多优点，但由于多项式乃幂级数的特例，其在一点附近的性质足以决定它的整体性质。然而自然界较大范围内的许多现象，如物理或生物现象间的关系往往呈现互不关联、互相割裂的本性。亦即在不同区域中，它们的性状可以完全不相关。另一方面，从数学上讲，例如在多项式插值理论中，具有n个插值点的一元插值多项式是一个n-1次的多项式，它可能有n-3个拐点。这对于比较平滑的函数来说就不是那么理想了。 本章介绍的样条（函数）是一种分段多项式，各相邻段上的多项式之间又具有某中连接性质。因而它既保持了多项式的简单性和逼近的可行性，又在各段之间保持了相对独立的局部性质。数十年来的理论和实践表明，样条是一类特别有效的逼近工具。 §1. 样条函数及其基本性质 设给定一组结点  （1.1） 又设分段函数S(x)满足条件： 于每个区间上，S(x)是一个次数不超过n的实系数代数多项式； S(x)于上具有一直到n-1阶的连续导数。 则称为n次样条函数。常把以（1.1）为结点的n次样条函数的总体记为称为样条结点。 一个（奇次）2n-1次样条函数，如果起在区间上的表达式都是n-1次多项式（并不要求该两个n-1次多项式相同），则特别称之为2n-1次的自然样条函数。以（1.1）为结点的2n-1次自然样条函数的总体记为显然  （1.2） 下面来给出样条函数类中任一样条函数的一般表达式。 对于任意给定的以（1.1）为结点的n次样条函数根据定义，其在每个子区间上均为一n次多项式。特别地，于子区间内是一n次多项式。不妨设该多项式为。 今考虑S(x)于上的表达式。由定义，S(x)于上的表达式仍为一个n次多项式。若设该n次多项式为，并考虑下述n次多项式的性质：  按n次样条函数的定义，与于点处的值以及1阶、2阶、一直到n-1阶导数值皆相等：  亦即  是故是含这个因子。由于是一n次多项式，所以存在某常数使得  （1.3） 亦即  （1.4） 它说明S(x)于区间上的表达式恰为其前一区间上的表达式加上的某一常数倍。这样一来，S(x)于上的统一表达式应为  （1.5） 为把（1.5）写成一个统一的表达式，引入记号  （1.6） 则（1.5）所示的S(x)又可紧凑地表示为  继续采用这种分析方法，可得S(x)于整个实轴上的表达式为 （1.7） 此即为下述定理所叙述的事实。 定理 1 任一均可唯一地表现为  （1.8） 其中为实数。 显然，由（1.8）式所给出的任一函数S(x)必然满足n次样条函数的定义，亦即因而定理1可进一步写成 定理 2 为使，必须且只须存在和N个实数，使得（1.8）成立：  定理1和定理2说明函数系  （1.9） 构成n次样条函数类的一组基底。 由（1.2）和定理2可知，任一均可表示为  （1.10） 其中 当然，一函数S(x)只是满足（1.10）还不足以保证它一定是一个自然样条函数。因为它在上是否为一个n-1次的多项式尚不能保证，为保证这点，便须要求S(x)于中的表达式  亦为一n-1次多项式。即要求上述求和号这一项中n次以上的各方幂项之系数为0。但  要求上式中的系数为0，即得  （1.11） 定理 3 为使，必须且只须存在和满足线性约束（1.11）的实数，使得  （1.12） 下面讨论样条函数的积分关系式。先给出 定理 4 设S(x)由（1.8）所给出，其中n=2k-1,且  （1.13） 又设f(x)满足下述三性质： 1． 且于每个开区间内连续； 2. ; 3. ,则  （1.14） 证明 逐次采用分部积分法，有  （1.15） 按条件2，上式右端的求和项等于0。因为是一个阶梯函数，所以（1.15）右端积分可表为下面积分的和：  （1.16） 其中是于中的值（为常数）。将（1.16）右端部分对I求和并重新整理项，给出  （1.17） 按条件3，上式后两项为0。又由（1.8）逐项微分可知  （1.18） 综合（1.15）---（1.18），即得  定理证毕。 推论 1 若在定理4的条件外，再设处皆为0，则  推论 2 设样条结点由（1.13）给出，S(x)为由（1.10）给出的自然样条函数（n>1）,且设于每个区间内连续，则  若还有，则  证明 因为，从而且  对于自然样条函数插值的存在、唯一性，有下面的定理： 定理5 设，则对任意给定的，存在唯一的自然样条函数，使得  （1.19） 证明 由定理3，为证本定理，只须证明线性方程组  （1.20） 对任意给定的皆有唯一解。由线性代数理论，只须证明与（1.20）相应的齐次线性方程只有零解即可。设  且满足  （1.21） 即设相应表达式（见（1.12））系数满足与（1.20）相对应的齐次方程。考虑  其中满足（1.13）式。于推论2中，取，并利用（1.21）可知  于是  由此可知是一个次数不超过n-1的多项式。 又由（1.21），竟然于个互异点处为0，是故  定理证毕。 定理5从理论上指明了自然样条函数插值的存在唯一性。这不仅有重大的理论意义，而且在实际计算中有一定的知道意义。 下面介绍自然样条函数插值的所谓最光滑性质，它是首先由J。C。Holladay于1957年给出的。 定理6 设，且又设是满足插值条件  （1.22） 的自然样条函数，则对任何满足（1.22）的函数：  必有  （1.23） 且等号仅当时才成立。 证明 根据自然样条函数的定义，  为证（1.23），只须证明  显然  对上述右端第三个积分作分部积分，得  按自然样条函数的定义，于每个区间内为常数，而按插值条件，又在该区间的两端处为0。所以上述积分为0，即  （1.24） 从而不等式（1.23）成立。 最后，若设（1.23）中的等号成立，则（1.24）可知  从而为一n-1次多项式。又由所满足的插值条件，这个n-1次多项式于个互异点处为0，于是其必恒为0，即定理6证毕。 若于定理6中取n=2，则（1.23）成为  （1.25） 我们知道，一个函数当其一阶导数较小时，其二阶导数与其曲率值是很接近的  而曲率小，在几何上理解为“平滑”当然是很自然的，因此常称自然样条函插值是最光滑曲线插值。 下面给出在理论和应用中都十分有用的Peano定理。 设L表示对任意定义的线性算子  （1.26） 其中 是有界变差函数。 定理7（Peano） 设对一切n次多项式，均有，则对所有，恒可表现为  （1.27） 其中，  表示视其中为x的函数而被L作用后得到的结果。 证明 按带余项的Taylor公式  （1.28） 因为  又根据，，若以L作用于（1.28）等式两边，可得到  按定理假设条件，上述积分可以换序而成为  定理证毕。 函数称为泛函L的Peano核。 推论3 除定理7的假设外，若核不变号，则对一切，均有  （1.29） 事实上，对（1.27）右端应用第一积分中值定理，则有  （1.30） 特别地，若对于上式中取，可知  将之代入（1.30）即得（1.29）。 下面讨论样条函数的插值问题：给定点列 ， （1.31） 试问对于任意给定的一组实数，是否存在唯一的一个n次样条函数,使得  （1.32） 定理8 对于，行列式 ， （1.33） 必须且只须下述不等式均满足：  （1.34） 证明 对k进行归纳。当k=1时，按截断多项式的定义和行列式的运算规律即可知（1.33）和（1.34）的等价性。 今假定定理8对行列式已经建立，而来证明对也成立。这必须用到恒等式  （1.35） 显然为使为正的，当且仅当与具正测度的空间区域内同取正值才可能。而由归纳法假定，为使这两行列式是正的，仅当下式成立：  即  由归纳法即知定理8成立。 定理8是一条十分有用的定理。利用它，就不难解决一般样条函数的插值问题（1.32）了。 定理9 对任意给定的，插值问题（1.32）均有解，必须且只须  （1.36） 并且在这种情况下（1.32）的解还是唯一的。 由定理8并注意在区间内，S(x)可表示为 ， 此处。因为插值问题（1.32）是一个线性代数方程组，它对任意都有唯一解，必须且只须其相应系数行列式不等于0。于是由定理8可知，为使对任意给定的一组，插值问题（1.32）均有解，必须且只须（1.34）形不等式成立。再由等关系式，可知此时必须且只须（1.36）成立。定理9得证。 定理9从理论上完全解决了n次样条函数的插值问题解的存在性与唯一性问题。无论在理论或实际应用上，它都有重要的指导意义。 推论4 给定插值结点考虑具有N个样条结点的n=m-N-1次样条函数，其N个样条结点取自之内。则对任何一组插值问题（1.32）皆有唯一解。 事实上，在上述推论的前提下，条件（1.36）是自然满足的。 §2. B—样条及其性质 设 （2.1） ，n为整数。 定义  （2.2） 视其中x为参数，把作为y的函数，考虑其于处的n阶差商：  （2.3） 其中 显然是一个以为结点的n-1次样条函数。并且按截断多项式的定义，当时，；又当时，（2.3）式右端中的截断号“+”可以去掉，而使是一个n-1次多项式的n阶差商。于是由差商的性质可知，此时也有。总之  （2.4） 由Peano定理，若 ，则  （2.5） 特别地，若取，则可由上式推知  （2.6） 定理10 于内恰有个不同的零点。特别的，有  因而于区间内，。从而可以找到三个点，使于其上的符号依次为；由中值定理，又可以找到四个点，使于其上的符号依次为（变号一次）；……最后，我们可以找到n+1个点，使于其上的符号依次为（变号n-2次）。另一方面，由（2.3）式  是一条以为顶点横坐标的折线。该折线在两端点处y=0。而且不等于0且交错。从而恰好于内有n-2个单根。 因为于内至少有个互异的根，若它的根多于n个（重数计算在内），则按Rolle定理可知的根多于n-2个（包括重数）。但这是不可能的，定理证毕。 由（2.3）给出的称为B—样条函数。 对于等距离结点情况，Schoenberg(1946)还给出了B—样条函数的差分表达式。对于以1为步长的等距离结点情况，他给出  （2.7） 其中表示n阶中心差分。 的显示表达式为  特别地，  此处还须加上的要求。    它们的图形如下（图2.1）：     图2.1 下面来讨论n-1次样条函数类的基函数问题。由定理1，有下述一组基函数：  (2..9) 它们是由N+n个函数组成的。 由于实际计算问题的需要，下面来指出B—样条的一个十分重要的性质，即它们构成了的更为方便的基底。 引理 设其中则于区间中为一最高次项系数不为零的n-r次多项式；于区间中为一个最高次项系数不为零的n-r次多项式，并且  (2..10) 证明 按定义和差商公式，  (2..11) 其中  由截断多项式定义，当时(2..10)中的第一式成立。而当时，(2..11)中的截断号“+”可以去掉，因而此时实为x的一个多项式，其中的系数是  不难发现，恰为的r-1阶差商。从而当时，它们皆为0。但当j=r-1时，它不为0。所以当时，是一最高次项系数不为0的n-r次多项式。 同样，只须注意到  则可推知引理的其它结论成立。证毕。 定理11 设，且 下述N+n个样条函数构成的一组基函数：  (2.12) 证明 因为n-1次样条函数类中任意两个样条函数的随意线性组合都仍然属于，所以它是一个线性空间。由于都含于中，所以由(2.12)所示的N+n个函数也都是类中的函数，因为它们均由组合而成。 定理1已指明是N+n维的线性空间。因此，为证定理11，只须证明由(2.12) 所示的N+n个函数线性无关就够了。 设有常数，使  (2.13) 成立。我们来证  (2.14) 按(2.4)，(2.10)和(2.12)，于上考虑(2.13)式可知  (2.15) 由引理，分别为最高次项系数不为0的n-1次，n-2次，…，0次多项式。因此，由代数基本定理，可推知  (2.16) 同理，由(2.4)，(2.10)，(2.12)和(2.13)，可知  再根据引理以及代数基本定理，也有  (2.17) 综合(2.13)，(2.16)和(2.17)，得到  (2.18) 又由(2.4)式可知的跨度（即取非零值的区间长度）有限，所以当时，(2.18)式成为  (2.19) 根据定义  其中特别的，  于是由(2.19)可推知  这样一来，(2.18)简化为  (2.20) 与前面完全相同地，考虑区间上的(2.20)式，则可推知。依此类推，即可最后得到  (2.21) 综合(2.16)，(2.17)和(2.21)可知线性无关。 于是由线性空间理论，构成空间的一组基底。定理证毕。 推论5 设，且 ， 则B—样条函数  线性无关。于是满足  的任一，均可唯一地表现为  (2.22) 对于自然样条函数类，我们也可以引进新的基函数组。设  与定理11完全类似地，有如下定理： 定理12 设则下述N个自然样条函数构成自然样条函数类的一组基函数：  (2.23) 定理13 若且多项式是2k-N-1次多项式类的一组基底。则下述N个自然样条函数构成的一组基函数：  (2.24) 定理12与定理13请读者自行证明，此处不拟列出。 定理9指出了样条函数插值问题(1.32)解存在并且唯一的充分必要条件：插值结点(1.31)与样条结点之间，必须满足位置分配关系(1.36)，即  (2.25) 然而，当(2.25)满足时，为了求得满足插值条件(1.32)的样条函数，必须求解下述线性代数方程组  (2.26) 容易看出该线性方程组的系数矩阵不是稀疏矩阵。方程组(2.26)有时甚至是病态的。 为了避免出现以上不理想情况，我们经常采用B—样条作为的基底，转而来求解一个新的线性方程组  (2.27) 由于的支集的有限性，此时系数矩阵就不会出现以上的情况了。 § 3. 三次样条插值 三次样条插值问题，除了可用B—样条作为基函数来求解外，还可用下述方法直接求得。 设给定一区间[a,b]，且  任意给定一组常数，要求构造一个 ， 使得如下插值条件得以满足：  (3.1) 今以表示由于为分段3次多项式，所以在区间上为一线性函数。因而它可由过与两点的线性插值函数  (3.2) 所决定，其中。 为了最后求出在上的表达式，只须对(3.2)式积分两次，并定出积分常数就够了。 当时  (3.3) 由(3.3)可知，为求，关键是设法确定各个。而为了求得各个，必须引用样条结点处的光滑连接条件  (3.5) 按(3.4)有  由(3.5)可得连续性方程  (3.6) 它给出了N+1个未知数的N-1个方程式，按它尚不足以唯一确定。尚须补充两个“边界条件”，这有下述几种情形： 假定于是按前面的公式，可得方程  (3.7) 假定，这相当于自然样条函数的条件。 无论（1）或（2），均可概括为  (3.8) 引入记号 ， (3.9) 则(3.6)可以改写为  (3.10) 所以由(3.8)， (3.10)确定的线性方程组为  (3.11) 表示(3.11)的右端项。 一个n次样条函数如果满足条件 ， (3.12) 则称之为以b-a 为周期的n次周期样条函数。显然，对以b-a 为周期的3次周期样条函数来说，应该要求(3.10)对j=N的情况也成立。如果再注意到这时的性质，而把(3.10)中的，则相应于3次周期样条函数的方程组为  (3.13) 其中  线性代数方程组(3.11)常可采用追赶法来求解。而方程组(3.13)则可把先作为参量，求解其中前N-1方程中的N-1个未知数（其解依赖于），然后代入最后一个方程以求出，同时也随之确定了。 为使读者使用方便，下面简要介绍有关具体计算程序。 (3.11)是一个以三对角矩阵为系数的线性代数方程组，其一般形式为  (3.14) 其计算程序为先形成：  (3.15) 然后按下述关系式逐一推算各的值；  (3.16) 方程组(3.13)的一般形式为  (3.17) 其计算程序为先按(3.15)计算出。再按下述公式计算出：  (3.18) 接着从方程  (3.19) 中解出.最后由递推关系式 =+  逐个求出. 应该指出，此处在推导3次样条插值时，乃是从其2阶导数为线性函数这一点出发的.当然，也可以从特殊形式的Hermite插值公式出发来建立3次样条插值的一类新的计算方案.这一工作留给读者作为习题去完成. 下面介绍等距离结点的3次自然样条函数的一种计算表格.此时  . 而于区间上的表达式为 = + 相应连续性方程为  , 其中 为2阶中心差分=.而3阶自然样条函数的边界条件为 . (3.32)所示线形代数方程组为  = 今将(3.24)最后一行的-1/4倍加到倒数第二行,使倒数第二行的主对角线上方的元素为0 . 再从这个新的倒数第二行出发,把倒数第三行主对角线上方的元素变为0.一直这样作下去,即可将(3.24)变形为 M = , (3.25) 其中 M=，  ,  , （3.26） . 若定义 , (3.27) 则由（3.26）可推出递推关系式  ，  于是（3.27）又可以改写为  . （3.28） 又由（3.26）可推知 ， 即 . 以之代入（3.25）的第一个等式，并注意（3.28）,即可得到  （3.29） 由它算出，然后由连续性方程（3.22）和边界条件（3.23）即可计算出1其它个 .因为出现在（3.21）中，若把它直接作为未知数就 可以减少舍入误差并节省计算机存贮量 前若干个的值可列表如下： j -1 0 1 2 3 4 5 6   1 4 15 56 209 780 2911 10 864   j 7 8 9 10 11   40 545 151 316 564 719 2 107 560 7 865 521   j 12 13 14 15   29 354 524 109 552 575 408 855 776 1 525 870 529   j 16 17   5 694 626 340 21 252 634 831   例 给定型值点 x 1 2 3，4 5 6 7 8 9 10  y 244.0 221.0 208.0 211.5 216.0 219.0 221.0 221.5 220.0   采用上述方法( h = 1 ),可求出 . 其它等则可按递推关系 而逐一计算出来。而于各子区间上的表达式也可随之用（3.21）表出. 例如于区间[1，2]上，的表达式为 =1.806 511 2-5.419 533 6-19.386 977 6+76 §4.多元样条 设D为二维欧氏空间中的给定区域.以记二元实系数代数多项式的 集合： . 二元多项式称为是不可约的，如果（在复域中） 除常数和该多项式本 身外，没有其它多项式可整除它.代数曲线 ：  称为是不可约代数曲线，如果是不可约多项式.显然，任何直线都是不 可约的代数曲线. 用有限条不可约代数曲线对区域D进行剖分△.则D被剖分为有限个子区 域，它们称作是D的胞腔.相邻胞腔的公共边界线段称为网线，网 线的交点称为网点或顶点. 多元样条空间定义为 （△） 按以上定义可知，任一样条（△） 均为在D上具有阶连续偏导数的分片次多项式函数. 定理14 设函数在两相邻胞腔和上的表达式分别为 和，其中为使 ， 必须且只必须存在多项式，使得 ， 其中  为 与的公共网线，且不可约多项式的次数为. 证明 先取.按定理所给的条件，如果于上处处连续，则   于上处处为0.于是上的 任一点均为与的公共零点.因为上的点数无穷 多，根据本讲义第三章引述过的Bezout定理,与必有公共因子.但为不可约多项式,所以它必为的因子即存在一个次数不超过k-d的多项式（按Bezout定理，它一般为复系数多 项式使得  由于与为实系数多项式，只须于上式两边取共轭复数，即可指 明必亦为实系数多项式. 若取.根据于上1阶偏导数处处为零的性质可知   因为为不可约多项式，在上不能处处为零.不然的话，按Bezout定理， 与必有共因子存在.但次数低于的次数，因此势必 要除得尽，这与不可约性相矛盾.总之，由前两式只能推出在上 处处为0.再一次运用Bezout定理，知存在，使得  是故  依次类推，根据于上的2阶，3阶，…阶偏导数的连续性， 最后可得（4.1）式. 反之，如果（4.1）式成立，则显然. 按（4.1）式所确定的多项式称为内网线：=0上的（从 的）光滑余因子.称内网线 上的光滑余因子存在，即指形如 （4.1）的 等式成立. 相邻两胞腔的公共网线为 =：==0.由 （4.1）式，上的光滑余因子与上的光滑余因子满足关系式 . 设A为剖分△的任一给定的内网点.按下列顺序将过A的所有内网线 所涉及的指标作如下调整：使当一动点沿A为心的逆时针方向越过时， 恰好是从跨入. 定义内网点A处的协调条件为  （4.2） 其中表示对一切以内网点A为一端点的内网线所求的和，而为 上的光滑余因子. 设△的所有内网点为.整体协调条件定义为 ， (4.3) 其中相应于内网点的协调条件之满足（4.2）中所作的规定. 定理 15 对给定的剖分△，函数，必须而且只须 在每一条内网线上均有一光滑余因子存在，并且满足（4.3）所示的整体协调条件. 事实上，各内网线上光滑余因子的存在性等价于由该分片多项式的光滑连接性质.而各内网点处满足协调条件，即整体协调条件又等价于该分片多项式函数在整个区域D上的单值性.所以定理15必然成立.请读者自行给出细节（留作习题）. 以上定理证明，多元样条的问题在一定意义上等价于由（4.3）所确定的代数问题.而后者是一个关于诸光滑余因子中个各系数间的一齐次线性代数方程组问题. 如所知，多元样条空间是一个线性空间.对于各种特定的剖分 △，如何找出的便于应用的基函数组，是多元样条理论和应用的关键问题之一.为此，首先要求出样条空间 的维数dim.因为样条空间的维数，正是该空间基函数组中所含函数的个数. 遗憾的是，多元样条空间的维数，特别是当值和接近时，有时会严重依赖于剖分△的几何性质.该多元样条空间 ， 其中是如下的三角剖分（图4.1）：  可以算出下述维数公式  顺便指出,对于任意三角剖分△来说,多元样条空间的维数问题至今仍是一个国际上尚未最终解决的难题. 若区域D的剖分△是由有限条贯穿区域D的直线切割而成的,则称剖分△是贯穿剖分,常记之为.每一条贯穿区域D的直线称为贯穿线. 定理16 设为对区域D的贯穿剖分,则如下维数公式成立 , (4.4) 其中L为形成的贯穿线数,V为中内网点数,是经过第个内网点的贯穿线数,而 , (4.5) 表示不超过的最大整数,. 根据定理15与贯穿剖分的特点可以证明定理16.此处从略.请读者自行补证,或参阅有关资料. 如下的三角剖分和(图4.2)  分别称为1-型和2-型三角剖分.它们都是对矩形区域的特殊的三角剖分,也是贯穿剖分. 作为定理16的推论,有 定理17  (4.6)  (4.7) 对于给定剖分△,所有以△的网线为边的多边形的集合记为.我们说是一个具有局部支集的多元样条,如果存在,使得于多边形的外部处处为0.此时称为多元样条的支集.从数值分析和计算的角度考虑,最有兴趣的问题之一,是找出的由具有局部支集样条组成的基函数. 此处仅讨论和的具有局部支集样条基函数.特别地,我们仅讨论其中,且尽可能小的情形.它们在实际问题中是最重要的. 由定理16可知,要使中的具局部支集的样条得以存在,则在其支集多边形个顶点处的网线(直线)数必须满足如下基本不等式 . (4.8) 因为只有满足(4.8),在那个顶点处的协调条件解空间的维数才大于0. 由此可知,在和中欲使具有局部支集的样条得以存在, 其分片多项式的最小次数,分别为3和2.以下仅讨论空间 , 空间 . 按维数公式(4.6),该空间的维数  (4.9) 在空间中有两个具有局部支集的样条和,它们的支集分别为六边形 ( )和(  )(图4.3)    与有如下关系 . (4.10) 我们可以给出在支集各胞腔上的表达式.因为在三角形上定义的 任意一个3次多项式可由它在三个顶点处的值，关于，的两个1阶偏导数值， 以及它在此三角形重心处的值所唯一确定.若以一个3维向量表示在某网点处的那三个值，则在诸网点的值为 而在诸三角形重心处的值，分别记在相应的三角形中（见图）.从中不难发现某种意义的对称性. 的值完全可由（4.10）所确定. 和都是中具有最小局部支集的样条，常称之为B-样条.考虑和的平移.为此定义  和下标集 . 容易算出的基数为 , 它比空间的维数还要多3.所以 ?  是线性相关的。这表明二元样条空间中的B—样条集合未必是线性无关的。这与 一元情况相比较，有着本质的差别。 对于来讲，可以证明 = ? 事实上，按确定的规律从?中删去某3个B—样条是线性无关的。不仅如此，并且对r=1,2均有  （4.12）所表示的性质，称为单位分解性质.由于篇幅所限，此处不能给出（4.11）的证明. 但（4.12）则可根据的定义而证得（留做习题）. 定义下列变差缩减算子（拟差值算子）  (4.13) 显然它们是线性正算子.可以证明，对一切，均有 . (4.14) (4.14)的证明留作习题. 记剖分的直径为:  因为单位分解性质(4.12)成立,故不难用连续模数估计法证得如下定理: 定理18 对任意给定的,均有如下的极限等式成立, . (4.15) 并且上述极限关系式在D上一致成立. (4.11)表示,为确定中的样条,只须根据已知条件去确定作为()中诸元素线性组合的系数.而定理18表明,对任意给定的连续函数,人们恒可利用拟插值算子来逼近. 空间 . 区域的2-型三角剖分,由下述剖分线所产生:  其中. 按维数公式(4.7),可知 . 在空间中有一个具有下述局部支集的样条(图4.4):  根据多项式插值理论，胞腔（三角形）上2次多项式可由该多项式在三角形三个顶点，以及三边中点上的值所唯一确定.事实上，上述六个点正是2次多项式插值的一组适定结点组.所以为表示上述具局部支集的样条（B-样条），只须指出诸胞腔上相应六点的值即可.为此，我们在图中标出了在各点上的相应值.由此B-样条对于轴， 轴，以及原点O均具对称性质 .其它各点的值完全可按对称性来确定. 若置的支集中心在原点（0，0），则由其平移可产生一系列B-样条  . 集合  是的子集，而其基数为，它比多1.从而A是一个线性相关集合.然而可以证明，从A中任意删去一个B-样条后，其余的B-样条是线性无关的，亦即它们是空间的支架.即 . 容易证明  ， (4.17)  ，. 定义如下拟插值算子（变差缩减算子），  (4.18) 它是一个线性正算子.还可以定义另一个拟插值算子 , 其中是如下的线性泛函数 虽然不是一个线性正算子，但它却有更高的逼近阶.不难验明 , 当 ,当. 采用常规的误差估计方法，即Taylor展开方法，可得到下述误差估计： 定理19 设紧集K为包含D的开集的闭包. (ⅰ) 设，则对有 ； (ⅱ)若，则 ； (ⅲ)若，则 ， 其中 ， ， ， ，. 定理 20 设，且.当时， 当时， ， 其中定义为 ， 其中表示的三阶偏导数，下标当中任何一个等于1时 是表示对求导，等于2时是表示对求导求导. 在矩形区域的非均匀矩形剖分的基础上，再连接每一个小矩形（胞腔）的两条对角线所形成的三角剖分，成为非均匀2-型三角剖分，仍记为.业已证明，对于如此的剖分，仍有相应的中的B-样条，有一套完全类似的结果，为篇幅所限，此处不能介绍，有兴趣的读者可参阅相关文献和著作. 本书所介绍的多元样条空间和 （均匀与非均匀）中的B-样条基函数，以及拟插值算子等有着广泛的应用.