平方逼近 教学目的及要求： 掌握最小二乘法、初步掌握平方逼近及直交多项式、平方度量意义下函数的逼近问题。 本书第二章是用数量  来度量逼近多项式与已知函数的近似程度。若则意味着序列在区间上一致收敛到。一致逼近度量，亦称Tchebyshev度量是很重要的一类度量标准。然而由于它的非线性特性，使得最佳一致逼近多项式的构造问题十分困难。 对于许多问题来讲，人们需要求出的是在确定意义下的“整体”近似。本章讨论一类新的度量----平方度量意义下函数的逼近问题。先从最小二乘法谈起。 §1. 最小二乘法 最小二乘法起源于以测量和观测为基础的天文学。Gauss在1794年利用最小二乘法解决了多余观测问题，当时他只有十七岁。可以用下面的简单例子描述这类问题。 假定通过观测或实验得到如下一组数据（即列表函数）：  1 2 3 4 5 6 7 8   0 1 2 3 4 5 6 7   1.4 1.3 1.4 1.1 1.3 1.8 1.6 2.3  我们的目的是一简单的式子表出这些数据间的关系。从分析数据看出，这些点差不多分布在一条直线上，因此我们自然想到用线性式表示它们之间的关系。这就须定出参数和的值来。这实际上是多余观测问题，用插值法不能确定出和的值。代定参数的确定归结为矛盾方程组的求解问题。 假定有某方法可以定出和，则按，给出一个便可以算出一个。我们记  称为的估计值，显然它们不会是完全相同的，它们之间的差（通常称为残差）  无疑是衡量被确定的参数和（也就是近似多项式）好坏的重要标志。 可以规定许多原则来确定参数。例如 参数的确定，将使残差绝对值中最大的一个达到最小，即 为最小； 参数的确定，将使残差绝对值之和达到最小，即为最小； 参数的确定，将使残差的平方和达到最小，即为最小。 和（2）两个原则是很直观的，也很理想，但很不好用；而原则（3）既直观又很好用。按原则（3）确定待定参数，从而得到近似多项式的方法，就是通常所说的最小二乘法。这一方法的理论根据是，概率理论已证明，只有这样的原则才能使得观测或实验的偶然误差对于所作的近似多项式有最小的影响。 回到所提出的问题上来，即用最小二乘法确定参数。按最小二乘法，应使  取最小值。因此，应有  由此，得到如下线性方程组：  经过简单计算，这个方程组成为  解之可得从而得近似多项式 现在转入讨论更为一般的情形。设已知列表函数并且我们想用一个通常的次多项式  （1.1） 去近似它。问题是应该如何选择使能较好地近似列表函数。按最小二乘法，应该选择使得  取最小。注意到S是非负的，且是的2次多项式，它必有最小值。求S对的偏导数，并令其等于零，得到  进一步，可以将它们写成  引进记号  和  则上述方程组为  (1.3) 它的系数行列式是  由的定义及行列式性质，可以断言  (1.4) 此处符号W表Vandermonde行列式，而是对所有可能的求和（每个可以取值并且当时）。 由（1.4）式及Vandermonde行列式的性质可知，当互异时，  从而，方程组有唯一解且它们使取极小值.如此，我们应用最小二乘法找到了的近似多项式. 在利用最小二乘法组成和式时，所有点都起到了同样的作用，但是有时依据某种理由认为中的某些项的作用大些，而另外一些作用小些（例如，一些是由精度较高的仪器或操作上比较熟练的人员获得的，自然应该予以较大的信任），这在数学上表现为用和  替代和取最小值.且通常称之为权；而为加权和. 例1 设已知函数的表列值为   0.2  0.5  0.7  0.85  1     1.221  1.649  2.014  2.340  2.718  试按最小二乘法构造的二次近似多项式. 解 经过简单计算可得关于参数,和的方程组（参阅下面的第一个表）： 5+3.250+2.503=9.942 3.250+2.503+2.090=7.185 2.503+2.090+1.826=5.857 解之，得 =0.928, =0.751, =1.036.故  =0.928+0.751+1.036.          1 1 1 1 1 0.2 0.5 0.7 0.85 1 0.04 0.25 0.49 0.723 1 0.008 0.125 0.343 0.614 1 0.002 0.063 0.240 0.522 1 1.221 1.649 2.014 2.340 2.718 0.244 0.824 1.410 1.989 2.718 0.049 0.412 0.997 1.690 2.718  5 3.250 2.503 2.090 1.826 9.942 7.185 5.857  下表给出了在结点处的误差.  0.2 0.5  0.7  0.85  1     1.221  1.649  2.014  2.340  2.718    1.223  1.644  2.017  2.344  2.715    -0.002  0.005  -0.003  -0.004  0.003  用多项式去近似一个给定的列表函数（即给出的一组观测值）时，需要确定的参数是而可以看成是的线性函数.但是有时在利用观测或实验数据去确定一个经验公式时，往往要确定的函数和待定参数之间不具有线性形式的关系.这样问题就变得有些复杂.然而，常常可以通过变量替换使其线性化.例如： 有时，我们希望用如下类型的函数：  去近似一个由一组观测数据（列表）所描绘的函数，其中和是待定的两个参数.显然已非和的线性函数.怎样线性化呢？为此，我们在式两端取对数，得到  记 =，= ，=，=，则 式变成 . 这是一个一次多项式，它的系数和可以用最小二乘法求得.  我们经常希望用函数  去近似一个以给定的列表函数，其中、是待定的参数.这时，我们可以在的两端取对数：  记=，，则式变成  这样，仍可用最小二乘法定出（从而也就定出了），得到近似函数 . 例2 设已知如下一组实验数据： =2.2 2.7 3.5 4.1 =65 60 53 50 试求一个型的函数去近似它. 解 计算以紧凑的形式表示如下：      1 0.342 4 0.117 2 1.812 9 0.620 7 1 0.431 4 0.186 1 1.778 2 0.767 1 1 0.544 1 0.296 0 1.724 3 0.938 2 1 0.612 8 0.375 5 1.699 0 1.041 1 4 1.930 7 0.974 8 7.014 4 3.367 1      由此得方程组  解之得 从而  §2 空间 设已知一列表函数为了构造函数的一个次近似多项式按最小二乘法，应使和  取最小值.这相当于在结点处约束看近似列表函数的程度如何，也只是看在这m+1个结点上的情况（亦即平方偏差）.有时也需要考虑在全区间上构造函数的近似多项式此时自然应以积分  代替和取最小值.实际上，在数值分析中常以数量  来度量函数与的接近程度. 只要回想一下维欧式空间中的两点距离公式，就知道上述数量可以类似地理解为函数空间中的元素与两者间的距离.而当时，也就可把理解为按照上述的平方度量收敛于，记  在实变函数论中讨论空间理论时，人们正是这样来理解一个序列的收敛（或极限）概念的. 为了实用的需要，我们还有必要进一步去扩充上述观点，设是一个在区间上（L）可积的非负函数，它至多只在一个测度为零的集合上可能等于零.以后我们常把 成为权函数. 对于任意一个定义在区间上的可测函数，如果为（L）可积，则就说属于类；如果为（L）可积，则说属于类. 由不等式  可以看出，凡中的函数都在内（即）.又由不等式 ， 可知中每两个函数之积恒属于. 现在介绍一下范数的概念. 中的每一个函数，都赋予一个数值 ， 并称它为的广义绝对值或范数.由此  便给出了两个函数和之间的距离或接近程度的度量.所谓平方逼近正式按照这种度量来衡量其逼近程度的. 下面关于范数的三条基本性质是容易验证的： 1．并且当切仅当时； 2．为一任意常数； 3． 看来只有性质3是需要仔细验证的.事实上，在Schwarz不等式  的两边乘以2并各加上  得到 . 再将上式两边各自开平方，就恰好得到了性质3中的不等式. 利用泛函分析的术语来说，若是一个函数类中的元素（函数），按某种方式赋予范数的概念之后，而范数恰好具有性质1，2，和3，那么就说该函数类构成一个赋范空间.如此看来，函数类对于上面规定的范数来所恰好构成一个赋范空间，不妨仍用来表示这个空间，同时还不妨把其中的所有元素（函数）称之为该空间的点. 读者还不难自行验证，当上一切连续函数（多项式自然包括在内）赋以范数之后，恰好构成一个赋范空间.原因是性质1，2，3都是具备的. 下面，我们来介绍一下距离空间的一般概念.假设是任意性质的元素的集合.如果对应于中每一对元素和都具有如下性质的实数： 并且当且仅当时  （所谓三角不等式）， 那么集合便叫做“距离空间”，而称为元素与间的距离. 就空间来看，如果令  则条件与显然被满足，而条件相当于  其中均属于.由于所以这个不等式是可以从范数性质3推导出来的.因此又作成一个距离空间. 仿空间的理论，我们也可对中的元素序列引进平均收敛性概念.假如则称序列平均收敛于，记作完全类似地，假如  则称为中的基本序列. 还可以证明，空间理论中的Fischer定理在此仍然成立.亦即，凡中的基本序列必有极限且极限函数仍在中（这也就是关于空间的完备性定理）. §3. 直交函数系与广义Fourier级数 设为定义在闭区间上的权函数.如果函数与满足条件：  则说函数与在上关于权函数是直交的.如果函数系统  中每一对函数在区间上关于权函数均为直交，则称该系统为区间上关于权函数的直交函数系.特别，若那就可以不必提到权函数. 让我们在这里列举几个最常见的直交函数系. 例 1 三角函数系  是定义在闭区间上的直交函数系. 例 2余弦函数系与正弦函数系  均是上的直交函数系. 例 3 Legendre 多项式  是区间上的直交多项式系. 例 4 Tchebyshev 多项式系 是区间上对权函数而言的直交系. 例5考虑Sturm-Liouville型微分方程边值问题：此处是定义在上的连续函数，而为数值参数.除去平凡解不予考虑之外，凡不恒等于零的解均称为基本函数，而对应的值称为特征值（注意并非任何值都对应有基本函数）.根据微分方程理论，上述问题的特征值总是存在的，而且除常数因子不计外，对应于每一特征值都只有一个基本函数.特征值可以由小到大的排列起来，因而对应的基本函数也可以排成一列，例如：  可以证明，上列的基本函数系在闭区间上关于权是直交系. 事实上，假如则  用分别乘以第一、第二式，再相减可得：  两边积分又可得  由边界条件及便得知  证毕. 下面着重介绍广义的Fourier展开问题.设在区间上关于权函数作成直交函数系，其中每一个均不几乎处处等于零且均在空间中.因而  都是有限正数.特别，若则称为标准直交系（显然，总是标准直交系）. 设称按下式算出的常数  为的广义Fourier系数，从而有如下的广义Fourier级数：  由于我们还不能断定上面的Fourier级数是否平均收敛于，所以只能用联结符号~去表示它们之间的相应关系.尽管如此，这个级数的部分和却能用来圆满的解答一般形式的最小二乘方问题.这便是下面的定理. 定理 1（Toepler） 对于任意指定的正整数，用线性组合式  作成的函数对给定的进行平方逼近时，为使偏差（平均平方偏差）  达到最小值，函数必须等于广义Fourier级数的部分和  而偏差的最小值等于  证明 根据的直交性易于算出   因此要使取最小值，唯有令亦即，只有当恰好等于Fourier级数的部分和时才给出了偏差的最小值.证毕. 注意因此根据最小值的那个表达式，立即推出  又因为不等式的右端与无关，故可令而得出  通常称式为广义Bessel不等式. 根据偏差的最小值表达式知，上述的Bessel不等式能改为所谓的Parseval等式：  的充要条件是  换言之，Fourier级数的部分和平均收敛于这件事是同的Parseval等式成立这件事互相等价的.因此，空间中的一个Fourier级数是否收敛的问题也就归结为Parseval等式是否成立的问题. 试问，在什么条件下，给定的数列能够有资格作为中某一函数的Fourier系数，并且由其形成的Fourier级数平均收敛于？正像通常的Fourier级数论那样，对于这个问题的回答有如下的定理. 定理 2（Riesz-Fischer）设在闭区间上关于权函数作成直交函数系.若数列满足条件：  其中则中存在唯一的函数，使得的Fourier系数恰好是，且 证明 记  则于时依间的直交性，显然有  因此，为一基本序列，从而由的完备性得知其极限亦在中（当然这里所说的极限是按照平均收敛的意义而言的）.亦即有中的函数使得  现在来验证恰好是的Fourier系数.由于  故  这表明恰好是的Fourier系数.从而恰好是的Fourier级数的前项部分和，而极限关系式表明该Fourier级数是平均收敛的：  又因为序列的极限是唯一的，因此作为极限函数而存在的也是唯一的.证毕. 若为封闭的直交函数系，而与为中的任意两函数，它们的Fourier系数分别为与，则下列广义Parseval 等式成立：  事实上，因为的Fourier系数为因此利用通常的Parseval等式，有  由上列三式间的比较便可得出广义的Parseval 等式. 给定一个直交系，如果中再也没有一个函数（几乎处处等于零的函数除外）能和一切相直交，那么便称为完备的直交系. 定理 3 是一个完备直交系的充分必要条件是：它是一个封闭直交系. 证明 如果是封闭直交系，当函数和每一个都直交时，则该函数的Fourier系数就都等于零，即因而根据Parsevel等式就得到  注意非负而且至多只在一个零侧度集上可能等于0，因此可断言只能几乎处处等于0.这就表明必是一个完备直交系. 反之，如果不是封闭的，则在中就有使Parseval等式不成立的函数，亦即有.  其中为的Fourier 系数.既然，故按Riesz-Fischer定理，中又必存在函数，它以作为Fourier系数，且.从而有  以此与上述不等式相比较，可知差函数不能几乎处处等于0.然而的Fourier 系数都是0（亦即与一切直交），这表明必非完备直交系.定理证毕. 作为简单总结，我们知道下列诸概念都是彼此等价的： 是完备直交系； 是封闭直交系； Parseval等式对每个都成立； 中每个的Fourier级数都平均收敛； 只有几乎处处取零值的函数才能同一切直交； 当两个函数有相同的Fourier级数时，它们必定几乎处处相等； 对中的每个用的线性组合来作平方逼近时，偏差的最小值恒与同时趋于0； 由中的函数的一切线性组合构成的类是在中稠密的（也就是说：对中的每个及对任意，都存在有满足不等式的线性组合）. 注意上述的等价命题可直接从Toepler定理的结论得知.而与的等价关系也是十分明显的. §4. 直交函数结构公式 关于函数系的线性相关与线性无关的概念，实际和通常向量代数中所说的概念是完全一样的. 设是定义在上的函数系.若能找到一组不全为0的常数，使得 ， 那么就称该函数系是线性相关的.反之，便称之为线性无关的（只要函数是几乎处处等于零，就说它恒等于零，并拥记号“0”表示）.显然在线性无关的情形下要使  就只有. 一个包含可数多个函数的函数系，要是它的每一个有限部分都是线性无关的，那么该函数系便称为线性无关的. 例 1 函数系是线性无关的. 事实上，它的每一个有限部分都是在任何区间上的线性无关函数系. 例 2 关于权函数的任意直交函数系都是线性无关的. 事实上，要是，则以乘等式的两边并积分，得到. 作为例2 的特例，我们知道三角函数系、余弦函数系、正弦函数系等都是线性无关的系统. 设与是中的两个函数，则称与乘积的积分  为与的内积，如果都是中的函数，则称由内积构成的行列式  为函数系的Gram行列式.借助这种行列式可以给出一个关于函数系统线性相关与否的判别准则： 定理 4 函数系为线性相关的充分必要条件是Gram行列式 . 证明 若函数系为线性相关，则由定义可知有不全为0的数值使得.于是将此式两边乘以之后再积分，便得到下列方程组： . 既然上面的齐次方程组有非零解，故其系数行列式的值一定为0，亦即 . 反之，若，则上述方程组将有非零解.显然，方程组可改写为 . 于是用乘上式两边之后再取和，便得到  这表明，亦即函数系是线性相关的.证毕. 容易看出，如若，则必有.事实上，若，则便将是线性相关的，从而也将线性相关了. 定理 5 若线性无关则. 证明 令有如下行列式所定义：  ， 则用乘上式两边再对积分，可得  事实上，当时，将式右边行列式的最后一列乘以再对积分之后便与前面的第列相同.今将的行列式展开，则  既然，故，因而.今以乘以式两边并积分，再注意到，则得  从而可见与的符号相同.依此类推，可知与的符号都相同.但，因此.定理得证. 我们不准备重述实变函数论中的Schmidt直交化手续，而进一步指出直交函数的普遍结构公式. 定理 6 设是中的一个线性无关函数系（有限或可数）又设的定义如前，则按下列公式便可造出一个标准直交系  证明 为使的表达式对一切都通用，只需规定就可以了.今设 ，则根据定理5证明中已证明的公式，易算出如下的内积：  证毕. §5. 直交多项式的一般性质 在前面§3中讨论广义Fourier 展开时，我们已经知道利用直交函数的线性组合，能够对指定的函数作平方逼近.另一方面，从实际计算的能行性与简便性观点出发，我们曾一再强调过利用多项式函数作逼近工具是最理想的.因此人们自然就去考虑这样的问题：能否构造出种种最有用的直交多项式系统以便作为平方逼近的工具？ 看来上述问题是有解答的.因为首先，原始的幂函数系数在任一闭区间上都是线性无关的；其次，根据Schmidt 直交化手续或直交函数结构公式，对于每一个函数总是可以将该幂函数系进行直交化的. 我们还必须考虑这样一个更基本的问题，即不论是怎样的权函数，多项式类是否总是在中稠密？也就是问：是否对中的每个函数都能用多项式作任意精确的逼近？事实上，我们有如下的定理. 定理7 设，则对任意，都存在多项式，使得. 证明 分三步证.首先证明存在有界可测函数，使得. 事实上，由于点集序列  因此点集的测度的极限为  又由于Lebesgue积分的绝对连续性，可知存在，使得对含于中的任一可测子集，当时，有 . 令取充分大，使得，于是引入有界可测函数：  便可导出  这就表明确实存在有界可测函数，使得. 其次再证明对有界可测函数，恒存在一连续函数，使得.事实上，存在充分小正数，使得时，能保证 . 根据Luzin 定理知有连续函数满足条件：及，因而得到  这就表明有连续函数，使得. 最后根据Weierstrass第一逼近定理，可知恒存在多项式，使得  亦即.因此利用范数的三角不等式便终于得到所希望证明的结果：  现在再让我们来注意一个事实：假如对权函数而言已经作出一个标准直交多项式系其中的次数正好是.那么对于任意给定的次多项式，显然总可以取一适当常数，使得降低成为次多项式.于是利用乘上适当常数去减它又可降低成为次多项式.依此类推，便可知：凡此多项式总可以用的线性组合去表示. 如此，上面所建立的多项式逼近定理又可改述成这样形式：“设，则对任意，都存在着诸的某一线性组合，使得”.这也可以概括成一句话：“由中的函数的所有线性组合构成的类是在中稠密的”. 由§3之最后总结中的等价命题不难推知下列定理为真： 定理8 对权函数而言的标准直交多项式系（的次数是）是空间中的完备直交系（亦即封闭直交系）. 定理9 幂函数系对任何空间来说都是完备的. 经过以上理论分析之后，可以看出，如何利用直交多项式系来作为各空间中的平方逼近工具是极有意义的问题.以下便进入较具体的讨论. 设为给定的权函数，令为给定在区间上的幂函数系.称  为权函数的矩量.显然内积可表成  因而Gram行列式可记成  其次，§4中定理5证明中引进的函数可表成  为方便计可规定于是根据§4中的定理6，便可以构造出如下的标准直交函数系  注意正好是次数为的多项式，而且的系数是总结一下，便是下面的定理： 定理10 不论定义在上的权函数如何，都存在有关于权的标准直交多项式系其中正好是次多项式，其具体结构形式由上列公式给出. 按§4中的理论不难推知，对于给定的权而言，除每个直交函数的正负号容许选择之外，标准直交函数系是唯一确定的.因此在规定取正号以后，定理10中的都是唯一存在的.值得再指出的是：只要知道一串矩量的值，也就可以造出来了. 如果所要求的只是直交多项式系，而并不要求标准化，那么直交系中的每一个函数除了可以变动一个常数因子之外，其构造形式基本上也是唯一确定的，这就是下面的定理. 定理11设是对权函数的直交系，正好是次多项式，而最高次项系数为，则诸必可唯一的表示成  事实上，因为可以表示成  而且也可以表示成的线性组合，因此由诸间的直交性与诸间的直交性便推知当时，恒有  这就表明 注意中的系数为，而中的系数为因此由相等关系定出的数值之后，也就得到定理的证明. 定理12 设则在所有次数不高于的多项式中，使平方偏差  达到最小值的只有其Fourier级数的部分和  并且最小平方偏差是  这个定理是一般的Toepler定理的推论.注意标准直交多项式系是封闭的，故有Parseval 等式成立，因而最小平方偏差为  这就证明了定理12.多项式还有一个有趣的极值性质： 定理13 在最高次项系数为1的所有次多项式中，使积分达到最小值的多项式只有  证明 显然最高次项系数为1的次多项式恒可表作  因此选择多项式就等于选择系数既然本身为多项式且已表示成的有穷级数（亦即Fourier级数部分和），故Parseval等式自然成立，亦即有  由此可见其最小值即有条件所给出.定理得证. 直交多项式的根（亦称零点）恰好是各种Gauss型求积公式的结点.仅从这点即可知，开展直交多项式根的研究的重要性.我们有如下的简单定理： 定理14 标准直交系中的多项式的所有根都是单实根，并且都在开区间内. 证明 假如在内的根都是偶重根（即根的重数为偶数），则在上便保持定号，因而与常数的直交性条件. ， 也就不可能成立.由此看来，在内部必有奇重根.设奇重根的个数为，而为这些相异的奇重根.于是为次数低于的多项式，由直交性可知  但另一方面，是只含偶重根的多项式，因此根据前段的同样推理，可知上述积分不可能为0.由此可见， 的假定是不对的.亦即必然有.这就说明个根都是开区间内的单根. 定理15 设，则和的根必相互交错.亦即的根和的根之间有如下的不等式关系：  应用数学归纳法，可以证明这个定理（留作习题）. 令表示最高次项系数是1的次直交多项式，则  下面的定理给出了诸间的一个递推关系. 定理16 对一切都成立着递推关系  其中与为某些常数. 证明 显然次多项式可以表示成  因左边最高次项系数为1，故.其次，若用乘等式两边再积分（亦即取内积），则于时有直交性可知等式即变为  因而.于是原式相当于  因而递推公式得证. 最后，再让我们来确定常数与.显然，若用来乘定理中的递推公式的两边并积分，则得  因而得出  注意上式右边分子积分中多出一个因子，因而容易得出估计式再用乘递推公式两边并积分，则得  其中为低于次的多项式.故  若记，则上列等式便对亦成立. 由定理16易推知与不能由公共根.假若不然，该根亦将是与的公共根.依此类推，最后该根还将是的公共根.但，故得出矛盾. 递推公式是很有用的，因为利用它可以逐步确定出诸（或）的具体结构形式，而不必去展开所代表的行列式.特别地，当较大时，行列式的展开是很麻烦的. §6. 直交多项式级数的收敛性 设是对权函数的标准直交多项式系，为空间中的一个函数.试研究在什么条件下，的广义Fourier级数能在通常意义下收敛到. 以记的广义Fourier级数的第部分和  即  它相当于通常Fourier级数理论中的Dirichlet积分，而表达式  称之为广义Dirichlet核（简称为核）. 显然，不高于次的多项式按直交多项式展开所得的第部分和是与等同的：  于是  两边各加一并移项，则得出.  因为连续函数，故存在最佳逼近，而.因此是否趋向于0的问题归结为是否趋于0的问题. 显然   其中称为Lebesgue函数. 这样，便总结出如下的收敛定理： 定理17 设为上的连续函数，则当条件  满足时，便有收敛的Fourier 级数  又若在上，则上列级数便是一致收敛的. 注 利用§5中所讲的递推公式，可以证明广义Dirichlet 核能简单地表示成  这叫做Christoffel-Darboux公式.根据这个公式可以建立另外一些收敛性定理.例如，假设对固定的点，序列为有界.又设属于空间.那么在点处等式便成立. §7. 几种特殊的直交多项式 本节将简略的介绍三种最常用的直交多项式系.它们是Legendre多项式系Laguerre多项式系和Hermite多项式系它们在数学物理问题及数值积分中均有重要意义. Legendre 多项式 在区间上对于权函数构成直交系的多项式称为Legendre多项式可根据§4中所讲述的一般结构公式（定理6）来找出的表达式，然而行列式的计算是很麻烦的. 早在1814年Rodrigue就已经找到了简单而便利的表达式：  容易看出，这确实是一个次多项式，而且项的系数是  因此当规定最高次项系数为1时，多项式可表作  现在来验证上述多项式系是关于权函数的直交系.记则 而且 设为次数不高于的任意多项式，则由分部积分法易算出   因此假如的次数低于，则从而便和相直交.这就表明是与都直交.因而确实是上关于权的直交系. 若在上列计算中取，则   因此标准直交函数为  根据一般理论，可知的所有根都是单实根，且位于开区间之内.以下给出的显明表达式以供参考：  根据Rodrigue 公式，利用二项式展开定理及逐项微分容易得到如下的普遍表达式：  实际是下列Legendre微分方程式  在正规点附近满足条件的唯一确定的多项式解.要证明这一点，只需利用微分方程幂级数解法就行.事实上，只须将代入上述微分方程加以验证即可.还可以根据的表达式去验证（留作习题）. 现在来证明有如下的母函数：  在验证之前，记上式左端为  我们的目标是证明 首先根据二项展开式的形式容易看出的系数的确是的次多项式.令，则  因而，如此看来，只要再验证满足Legendre 微分方程就够了. 对微分，经变形即得  再对微分，由比较可得  以分别代入上列二式的两边，并分别比较和的系数，得到  如果将上面所列第一式对微分，并利用第二式（其中令改为）消去则得出  又利用上列第二式乘以再与此处所得之式相加，则得出  对微分此最后所得之式，化简后得  这就证实了确实满足Legendre 方程，并且.由于多项式解的唯一性，就可以得出结论： 利用母函数还可以证明如下的不等式：  事实上，令代入母函数公式后，得出  当时，右端二幂级数是可以相乘的.比较左右两端的系数后得出  注意上式右边各项的系数均为正，而各项将于时达到最大值.这样便推出  这就证明了所需的不等式. 最后还值得提到关于的一个递推公式：  这在论证的母函数时实际已经得到，只要在那儿将改换成就可以了.如果应用§5中的公式（定理16），也同样可以得到上述结果. 2 Laguerre 多项式 以前所讨论的一切，都是假定基本区间是有限的.其实，权函数、空间亦即直交系等概念也完全可以推广到无限区间的情形.所谓Laguerre多项式系，就是在区间上关于权函数所构成的直交系.它们可以用类似于Rodrigue公式的表达式来定义：  只要将上式右端的导数算出，就知道是次多项式：  其中最高次项系数是，因此  便是最高次项系数为1的Laguerre多项式. 记 则  因此假如是次数不高于的多项式，则由分部积分法易算出  因此当的次数低于时，上面的最后结果便是零.这表明是与一切次数较低的多项式相直交的.从而也就证明是关于权的直交系. 又如果在以上的计算中取，则  从而可知标准化了的直交函数应该写成  3． Hermite 多项式 所谓Hermite 多项式，就是在区间上关于权函数所构成的直交系.它可以通过如下的表达式来定义：  将上式右端的导数逐步算出，就知道是次的多项式，而且用归纳法容易证明它的最高次项系数是 记，则 因此对任何次数不高于的多项式，利用逐次分部积分法同样可得出：  因此当的次数低于时，上式右端便是零，这就证明了确实是关于权的直交系. 其次，如果在上式中取，则  因而标准直交函数的形式应该是  指出直交多项式与连分式的密切关系是很有意义的. 设是固定的，则  是的次多项式.由对称性可知，它也是的次多项式.所以函数  也是的次多项式.对于如此的多项式，亦有如下递推公式  其中与同定理16中所指出者.事实上，可以根据定理16和函数的定义直接推出此递推关系式.如果约定，则对于亦成立. 引进记号  并用表示的根，则有理分式  为连分式  的第近似.事实上，的第1近似为  第2近似为  再根据连分式的性质及数学归纳法即可证得. 以下定理指出了连分式与直交多项式的关系. Stieljes 定理 设是位于闭区间外的实数，则连分式收敛且其值为  证明 不妨设.作辅助函数  并求它的最小值点. 显然这个问题的解是存在且唯一的.因为所论问题正是求函数用线性无关函数的线性组合关于权的最佳平方逼近问题. 按多元函数极值问题求法，所要求的应满足  记所求得的值为则  若记 ， 则表明  由此容易推知  这说明次多项式与所有低于次的多项式，关于权均直交.从而与仅能相差一常数因子，即  取，则得到，从而  所以若用表示的最小值，则  然而  所以  为证  （7.7） 考虑 . 若用表示使取到最小值的点，则对任何值，显然  特别地取，因为当时 ， 是故  即  同样地，有  ………   从而  即（5.7）式成立。实际上，分式在任何与[a,b]的距离为正数的集合上，一致收敛与积分(7.5). 以Tchebyshev多项式为例来说明上述结果。如所知，在闭区间[-1，1]上， Tchebyshev多项式系关于权函数构成直交系。对于首项系数为1的Tchebyshev多项式的递推关系式为  即相应于一般理论中的和为而相应于n=0的.因为按前面取法，是的零点，所以.最后还有 . 所以  作变量替换，可得  从而  不难验证，上述连分式的第n近似分式的分母与相同。 前面我们讲述直交多项式的理论时并没有提及连分式理论，只是在这里点明了它们两者的有机联系。然而值得提到的是，从历史的观点来说，直交多项式一般理论的创始人P.L.Tchebyshev，当年正是把函数展开为连分式作为出发点来研究直交多项式的。目前已有学者，借助于这种观点来讨论多元直交多项式的构造理论和方法。 §8．多元直交多项式 直交函数系，特别是直交多项式系在数值分析中起着十分重要的作用。为了适应处理多元函数展开，特别是多元平方逼近理论和实际问题的需要，建立多元 直交多项式的理论一直是人们关注的热门课题之一。 设是n维欧氏空间。显然，次数不超过k次的n元多项式空间的维数是次数为k的互异的n元单项式的个数为 。 记次数恰为d的多项式集合为，次数不超过d-1的多项式集合仍记为 定理18 对于中给定的区域D和权函数恰有个线性无关的多项式，它们中的每一个多项式在D上关于权与中所有的多项式均直交。即  对一切均成立。 证明 仅就n=2,k=3的情形来证明。一般情形的证明是类似的。我们将 指出，有4个多项式     与全体直交。 显然，为证与中的所有多项式直交，只须证明它与直交即可。按直交性的定义，由上可引出中6个系数满足的线性方程组  （8.1） = 其中  以记（8.1）中系数矩阵。完全类似地，按 与中所有多项式的直交性，也可得到相应的系数所应满足的线性方程组。不难验证，这些方程组的系数矩阵都是下述的定理20指出，是满秩的，从而（8.1）有唯一解存在。即存在且唯一。 定理 19 矩阵满秩。 证明 假若不然，即奇异。则有不全为0的常数和存在，它们是（8.1）相应齐次方程组的非零解。若记  则    （8.2）    分别以和乘（8.2）中的第1，2，3，4，5和6式，在相加起来，可得出  但这是不可能的。所以满秩。 定理20 若在D上关于权与中的多项式均直交，则是和的线性组合。 证明 设 与中的所有多项式直交。按和的定义， 因为均与中的所有多项式直交，所以作为它们 线性组合的必也与中一切多项式直交。特别地，与自己直交。即  从而是故  证毕。 由于定理20 成立，称和为关于区域D和权的3次直交多项式的基底。 对于一般情况而言，相对应的结论是：对于给定的区域D，非负权函数存在确定的个形如  （8.3） 的k次多项式与中所有的多项式皆直交。（8.3）所示的个多项式是线性无关的，并且在D上关于权的k次直交多项式的基底。 （8.3）式中的低次项的系数，可通过求解阶线性方程组而得到。 用记该方程组系数矩阵。显然是对称的，且包含所有单项式积分 类似于定理19，可以证明是满秩的。事实上，还是正定的。对于2维情形，如果在D上非负，则也是正定的。若令  则  是故对任意的 正定。 在n维区域D上， 非负不是直交多项式基底存在且唯一的必要条件；满秩是基底存在且唯一的充分条件。 如所知，一元直交多项式的零点是实的、互异的并且全部位于给定区间的内部。对于二元情形，也有类似的结果。 设多项式在给定的单连通区域D上关于非负权函数与所有中的多项式直交。又设在实数域上分解为不可约多项式因子的乘积  （8.4） 其中诸是实系数多项式，且在实数域中是不可约的。 定理 21 （8.4）式中的不可约实因子是互异的（若两实因子只差一个常数因子，则认为是同一个多项式，而不加区别）；而且对每一个i，曲线与D内部区域的交集是非空的。 证明 先证第一条结论。若两个已经重合，例如取  则由上述表达式及直交性可知  但这是不可能的。从而（8.4）中的各因子是互异的。 为证定理的第二条结论，设与D内部无交集。考虑多项式  按的直交性，可知  (8.5) 既然按反证法假定，与D内部无交集，因而在D上与同时变号，即在D上不变号。这与（8.5）式相矛盾。证毕。 以下介绍几种常见区域上的直交多项式。 记n维方体域为  （8.6） 上以权的直交多项式的基底是Legendre多项式的乘积：  其中是[-1，1]上的次Legendre多项式。 n维球域  上次数的直交多项式基底为             若是非负整数，则  是次多项式，且在上同所有低次多项式直交，其中K是常数。可以通过选择K使得标准化。 对于2维上，次数的情形，这些直交多项式如下：          n维单纯形区域  上次数的直交多项式基底为           当n=2时，上的直交多项式为