多项式插值方法 教学目的及要求： 要求掌握基本的定理及各种插值方法。 插值方法是数学分析中很古老的一个分支.它有悠久的历史.等距结点内插公式是由我国隋朝数学家刘焯(公元544—610年)首先提出的;而不等距结点内插公式是由唐朝数学家张遂(公元683—727年) 提出的.这比西欧学者相应结果早一千年. 插值方法在数值分析的许多分支(例如, 数值积分, 数值微分, 微分方程数值解,曲线曲面拟合,函数值近似计算,等等)均有应用.下面仅以近似计算函数值为例来说明 设已知某个函数关系的列表函数值  而问应该如何估值对于函数关系,我们所知道仅仅上述的表列值,它们常常是间接求得的.例如是由实验(观测)得来的,或者是从级数或微分方程求得的. 我们可以使用插值方法估计y. 插值方法的目的是寻求简单的连续函数,使它在n+1个点处取给定值,而在别处希望它也能近似地代表函数.因为已是有解析表达式的简单函数,所以它在处的值可以按表达式精确地计算出来.这样我们就可以将看成的近似值了 给定点为插值结点.称函数为函数的关于的插值函数.称为被插函数. 严格的说,插值方法一词只用于落在给定点之间的情形,所以也称它为内插法.如果落在给定点之外,并且仍以插值函数在处近似地代替,则一般称这种近似计算函数的方法为外插法. 本章我只研究多项式插值，亦即是x的多项式的情形.这不仅仅因为多项式是最简单的函数，而且因为在许多场合，函数容易用多项式近似地表示出来.此外,用多项式作插值函数可满意地解决一系列有应用价值的重要问题.特别是数值积分与数值微分的问题. 本章讲不涉及三角插值法.其实,只要理解了代数多项式插值方法的实质读者就不难自行导出关于三角多项式插值方法的一系列相应与代数多项式插值方法的理论结果 §1. Lagrange插值公式 设是实变量x得单值函数，且已知在给定的n+1个互异点处的值,即  插值的基本问题是,寻求多项式,使得  设是一个m次多项式  则插值问题是，如何确定中的系数,使得(1.1)式得以满足.所以该问题等价于求解下述的线性方程组:  上述的线性方程组的系数矩阵为  它是一个(n+1)×（m+1）矩阵. 当m>n时，A的列数大于行数.不难证明矩阵A的秩数为n+1.因为A的前n+1列所组成的行列式为(称为Vandermonde行列式)  我们有  为证(1.3),考虑n次多项式  显然均为它的零点,且它的系数恰为即  从而有下述递推关系式  运用它即可证明(1.3)式 根据(1.3),并注意到诸互异，从而线性方程组(1.2)的系数矩阵的秩数为n+1 .它表明(1.2)的解是不唯一的，即插值问题(1.1)的解不唯一。 当m<n时,矩阵A的行数大于列数.按照(1.3)式,线性方程组(1.2)的每m+1个方程组成的方程组均有唯一一组解.但一般说来，如此求出的各组未必相同. 即此时(1.2)可能是矛盾方程组. 鉴于以上情形，看来取m=n是最为适宜的.现在我们重提多项式插值问题: 给定n+1个互异点,对任意一组数，是否存在唯一的，使得如下插值条件被满足  该问题的答案是肯定的 .今采用构造性方法把所要求的多项式求出来。 试设想,如果可求出具有如下性质的特殊的插值多项式  则多项式  必为满足(1.4)的多项式.但(1.5)中上面的等式,指出中除外,均为的零点,因此 其中c为常数，但(1.5)中下面的等式指出  所以  记，则又可表示为更简洁的形式  总之n次多项式  满足插值条件（1.4） 若也满足插值条件（1.4）,则必以为零点,即.这样一来,n次多项式竟然有n+1个不同的零点.是故所以由(1.7)表示的n次多项式（严格地说，是次数不超过n的多项式）是中满足插值条件的唯一多项式.它常常称作为Lagrange插值多项式,并记为  按前述推理可知Lagrange插值多项式也可视为是从下面的行列式方程中解出来的:  (请读者自行补证).由(1.9)式表示的公式便于推广到一般形式的插值问题由于篇幅所限,此处不能祥述. 由(1.1)所示的条件称为插值条件,点组称为插值结点.上面所得到的结果可以从几何上解释为,有且仅有一条n次代数曲线，通过平面上事先给定的n+1个点.其中 Lagrange插值公式（1.8）具有结构清晰、紧凑的特点，因而适合于作理论分析和应用. 例1 已知。求的Lagrange插值多项式 解 依公式有  从而  例2 设则 依Lagrange插值公式，有  §2. Newton插值公式 Lagrange插值公式的缺点是，当插值结点的个数有所变动时（例如，为了提高精度,有时需增加插值节点的个数）Lagrange因子就要虽之发生变化,从而整个公式的结构也要发生变化,这在计算实践中是不方便的.为了克服它的上述缺点,在这一节中我们引进了Newton形的插值公式 显然,n+1个结点上的n 次Lagrange插值多项式也可以写成下列形式：  下面，来确定上式中的 令表示n个结点上的（n-1）次Lagrange插值多项式，由于 , 所以  此处c为常数，由条件可以定出  又因  故又有  引进记号  得与之间的关系  同理  继续下去，最终得到 公式（2.2）就是Newton型插值公式.系数由（2.1）式确. Newton插值公式的导数很不好记,因此有必要另寻方法确定它们.为此我们引进差商的概念,并指出Newton插值公式中各导数即是的i阶差商.设已知不同的自变量上的函数值称  为的一阶差商(或均差). 一阶差商的一阶差商  叫做的二阶差商.一般说来我们称(n-1)阶差商的一阶差商  为函数的n阶差商 差商有以下诸性质 若，c为常数，则  若，则  若，m为自然数,则  差商是的对称函数,亦即当任意调换的位置时,差商的值不变,例如  5. 差商可以表示成两行列式之商: 注规定，当n=0时，=1 :. 性质1和性质2由定义可以直接推出。现在我们证明性质3。的一阶差商可根据定义直接计算出来：  如所见，它是的次齐次函数。 相继作出各阶差商并依完全归纳法，可证实下列公式：   此处求和运算遍及所有可能的形如的的次齐次项。这样便证明了性质3。 再来证明性质4。作出相继的各阶各差商之后，读者不难看出它们是由形如的个项的和表示出来的。由完全归纳法，易求得可由（2.1）式的右端表出。使用前面的记号也可将它写成  如此便证明了性质4。 最后，用完全归纳法同样可以证明性质5。 为了作数值计算，常利用形式如下的差商表：  一阶差商 二阶差商 三阶差商            由性质4得知Newton插值公式(2.2)中的系数恰标出）。因此，当已知时利用差商表可以很容易地算出的各阶差商的值，而不必去记忆公式。 因为在个不同的点上取给定值的次数不超过ｎ的多项式是唯一的，所以次数相同的插值多项式与插值多项式是恒等的，它们的差异仅是书写形式不同而已。但是，这种差异却为计算实践带来了很大的方便。实际上，对于插值公式来说，当需要增加一个插值结点时，只需在原插值多项式的后面再添加一个新项就可以了。 例１　已知列表函数：  ２ ３ ５ ６   ５ ２ ３ ４  求这个函数的插值多项式。 解　先造好下列的差商表：   一阶差商 二阶差商 三阶差商           然后从上表顶部对角线上取得的值代入公式，便可得到要求的多项式：  §３．插值余项 设是在点处关于的插值多项式。我们希望知道时，与的偏差，意指此方法所固有的误差，而忽略在计算时造成的舍入误差。通常，舍入误差与在逼近中的固有误差相比是小的。按习惯，称 　　　　　　 为插值误差（插值余项）。下面定理给出了的表达式。 定理1 若于包含着插值结点的区间上次可微，则对任意，有与有关的ξ存在（a<ξ<b）,使得  （3.1） 其中。 证明 今取一点，显然当时，(3.1)式是自然满足的。以下设不是插值结点，作辅助函数 。 （3.2） 显然于上次可微，并且。因为各不相同，由Rolle引理知于内至少有个不同的根。依此类推，最后知于内至少有一个根ξ，亦即由(3.2)式应有 。 由此，便得到了公式(3.1)。证毕。 通常我们并不知道(3.1)式中的ξ（一旦知道了ξ，就知道了精确的误差），尽管如此，我们还是能从(3.1)式得到有用的信息。例如，若上有上界，亦即  ， 则由(3.1)式立刻得到 。 (3.3) 设已知，并且。如所知，为了构造一个次插值多项式，只需要个插值结点。因此自然提出这样的问题：在所有的已知点的横坐标中，如何选取插值结点使得  (3.4) 为此，只须从中选择使差  取最小值的作为第一个插值结点。然后，在剩下的个点中再选择使得为最小的点作为第二个插值结点。如此等等，直到选出为止。显然，这样选取的满足(3.4)的要求。 关于在整个插值区间上的余项极小化问题，与第二章中Tchebyshev最小零偏差多项式直接相关。事实上，由(3.3)式，为使插至余项在整个区间上尽可能地小的“最佳”插值结点组，应该取为该区间上最小零偏差多项式的零点。 以下给出插值余项的Peano估计。它是意大利数学家G.Peano在1913年给出的。 令是有限区间，是整数。若在上连续，而上分段连续且，则说函数属于函数类. 令。容易验证。 令及  则   因此，，同时 令是实数，是整数。二个变量的函数定义如下  若为固定常数，则的截断多项式。对于截断多项式的图形如下 (图3.1)：  当固定时，是t的函数，请读者绘出它的图形(). 我们用来记包含着点的最小区间。仍表插值误差，亦即其中在结点上的次插值多项式。 定理2 设是正整数(),则当属于时，存在一个仅依赖于的函数：  (3.6) 使得  (3.7) 证明 依假设条件，可以将展成Taylor级数：  其中   显然，  由于当是次数的多项式时插值是精确的，所以，因此  （3.8） 现在，我们写出：  把上式中的积分合并，并依公式（3.6）和（3.8），即得（3.7）。证毕。 定理2也称为关于插值公式的核定理。函数称为Peano核。显然，只依赖于，而不依赖于。 利用方程（3.7），可以估计插值误差的界。例如，有下面的定理。 定理3 设是一正整数（），则 , (3.9) 其中  （3.10） 证明 由于所以  证毕。 自然会问，估计式（3.9）中的常数能不能用较小的常数代替？结论由下面的定理给出。 定理4 设是一正整数由公式（3.10）给出，则有函数使得  证明 令  （3.11） 于是，通过对次不定积分运算，即可求出（自然它含有个任意的积分常数）。依（3.11）式，  从而  证毕。 由（3.3）所给出的估计式  与估计式（3.9）是一致的（取）。 定理5 由（3.3）式与（3.9）式给出的插值误差的界是恒等的，换言之  （3.12） 这个定理的证明基于以下三个引理。 引理1 当时，核函数上至少改变一次符号。 证明 考虑多项式。若，则。但是，  从而  并因此至少在上改变一次符号。证毕。 引理2 如果上改变次符号，则上至少改变次符号。 证明 依（3.6）式，  另一方面，不难看出的不定积分（取负号）。由此推出，若处改变符号，则上最多改变一次符号。 引理3 当上恰好改变次符号（从而，上不变号）。 证明 我们知道，是阶分段多项式，特别，分别是常数。处有跳跃。因为这些点中有两个是的两端点，所以的符号在上最多改变次。如果的变号次数小于，或者如果对于任何的变号次数小于，则依引理2，不变号。但是，依引理1这是不可能的，于是恰好改变符号次。 定理5的证明 考虑函数由于所以  但是，依（3.7）式又有  由于不变号，故  综合之，即得（3.12）式。证毕。 §4. 有限差分计算 这一节介绍有限差分的概念。设已知函数在一串等距结点上的值定义表达式  为在点处的一阶有限差分，或简称一阶差分。一阶差分的一阶差分叫二阶差分，记为  一般说来，阶差分定义为阶差分的一阶差分：  例如  按定义可知符号满足指数律：  其中是正整数。 有限差分的理论是微分学的原始形式。在历史上，微分学正是由有限积分的理论产生的，所以差分与微分有着极其相似的性质。兹列举如下： 常数的差分等于零，亦即若，则  常数因子可以提到差分号外，亦即若为常数，则有  如果当时，  其中是一些常数，用归纳法可以证明  如果当则  用归纳法可以证明上述结论。 设次多项式（最高次项的系数为），则阶差分为次多项式；当时，是常数，即时为零。 不失一般性，读者可以仅就的情形，用归纳法证明这一结论。 设已知的值，用逐次代入法容易证明，计算差分有以下公式：  （4.1）按相似的方法，对(4.1)型方程用逐次消元法，得到  （4.2） 实际计算差分时，常用如下表格（差分表）：         …           下面的定理揭示了函数的差商，差分和到数之间的关系。 定理6 设函数在包含结点的区间上为次可微函数，则  此处  证明 首先，用归纳法容易证明（4.3）式。现在证明（4.4）式。令表示在结点上的次插值多项式。因为插值余项于处为零，类似于定理1的证明知有某使得  另一方面，由Newton插值公式知道  联合以上两式可得（4.4）式。最后，由(4.3)与(4.4)式即可导出(4.5)式。证毕。 熟知，次多项式的阶导数等于零，因此它的阶差分也等于零。这个性质使得我们可以借助于差分表的性质来确定所需的插值多项式的次数。例如，当发现函数的第阶差分为常数或近似为常数时，则用次多项式去作插值多项式就会有较好的结果。 上面介绍的差分叫向前差分。鉴于计算实践的需要，我们再介绍向后差分和中心差分的概念。 设为已知，则分别定义  为在处的向后1阶，2阶，阶差分。 由向后差分定义，容易验证  在实际计算向后差分时，我们常采用向后差分表：       由方程定义的差分叫作一阶中心差分。类似地，称  为阶中心差分。容易验证  可以利用下表计算中心差分        三种差分间有下列关系：  今定义位移算子E为  其中为步长。单位算子（恒等算子）I定义为  即。诸多算子间有以下关系式成立：  鉴于对足够光滑的，有  所以  由此不难看出，的任一近似计算公式都可派生出一个相应的数值微分公式（至于误差则要作具体分析）。这表明对数函数和指数函数的近似计算问题具有十分重要的意义。因为由此我们可以“发现”新的数值微分和数值积分公式。 应该指出的是，这里介绍的观点可以用来“发现”一些新的数值微分与数值积分公式，但不能作为严格的手段来运用。事实上，人们在“发现”了新的公式之后，还应该用严密的推理来论证它们。只有这样，才是周全的。 §5. 等距结点上的插值公式 对于给定的等距结点的数据，我们可以灵活运用插值余项极小化原则，给出适应具体要求的插值公式。一般说来，在左端点附近进行插值，宜用Newton向前插值公式；在右端点附近插值，宜用Newton向后插值公式。如果在插值区间中间进行插值，宜用带中心差分的插值公式。下面分别予以简要介绍。 5.1 Newton向前插值公式 设已知，需求于  处的近似值。按余项极小化原则，插直结点应取注意差商与差分的关系，由Newton插值公式，得到  其中   通常称该公式为Newton向前插值公式。 5.2 Newton向后插值公式 设，由插值公式（2.2），可得Newton向后插值公式：  此处  其中在诸之间。 该公式适用于计算函数在最后一个结点附近的近似值（内插或外推）。 5.3 Gauss插值公式 现在我们引进带中心差分的插值公式。在插值公式（2.2）中，用结点列  替代结点列得到  若设，则有  （5.1）  在（5.1）式中，当时，取至偶数阶差分时，取至基数阶差分 插值余项为：当时，  (5.2) 当时，  通常，称上述公式为Gauss向前公式。在公式(2.2)中，若用结点列  替代结点列时，得到的是Gauss向后公式：  (5.3)  在公式(5.3)(5.1)中，“或”的意义相同。是余项，并且当时，它由(5.2)给出，而当时，  §6. Hermite插值公式 为了理论和应用上的需要，本节讨论一类具有重结点的多项式插值方法，即Hermite插值方法。因为此类插值问题要求在结点处满足相应的导数条条件，所以它也被称为切触插值问题。 设  (6.1) 为事先指定的实数，其中为正整数：  (6.2) 今构造一个次多项式使之满足插值条件：  (6.3) 为解决插值问题(6.3)，最直接的方法是采用代定系数法，或者求解由(6.3)所确定的线性方程组。 此处我们采用构造基本多项式的办法来解决Hermite插值问题(6.3)。构造一批次多项式  使之满足  (6.4) 和   (6.5) 显然，只要上述问题一解决，则次多项式  (6.6) 就必满足插值条件(6.3)。 以下集中来构造由(6.4)和(6.5)，可知  其中是某次多项式。若令  则上式可缩写为  (6.7) 为确定还需利用条件(6.5)和Taylor展开可得  (6.8) 比较(6.7)与(6.8)，有  其中为确定的常数，所以它必定是函数于处Taylor展开的前项和。若把这项和记为  则由(6.7)式，应有  从而  (6.9) 若于(6.3)中取则相应的Hermite插值多项式为  (6.10) 例1 设则插值问题(6.3)就是通常多项式插值问题。此时，按定义有  其中相应的Hermite插值多项式恰为一般Lagrange插值公式  例2 设仅有一个重的结点则而相应的Hemite插值多项式恰为于点附近Taylor展开式的部分和  例3 设则相应的Hermite插值问题为求次多项式使之满足   (6.11) 这个特定的Hermite插值问题的几何意义在于使曲线不仅通过给定的型值点而且在处与曲线有相同的切线。 为推导相应Hermite插值公式，记则  又因  故由(6.10)式，有  更特殊地，当时，相应插值公式为下述3次多项式  (6.13) 这是一个非常重要的Hermite插值多项式。它所刻画的曲线是这样一条曲线；其在区间两个端点处，不仅通过曲线上的点与，而且与有相同的切线。 Hermite插值公式(6.12)的误差估计由下述定理给出。 定理7 设于上连续，于内存在，又设  则由(6.12)式所确定的Hermite插值多项式有如下的估计式  (6.14) 其中 证明 若为中的某一个，则显然(6.14)成立。以下假设中的任一个。由于以为二重零点，因此可设  (6.15) 对上述给定的作辅助函数  按插值条件，可知  这表明有个2重零点和单零点。由Rolle定理，于以及这个不同点所形成的个小区间内部各有一个零点。注意到原来已有个零点 ，从而有个互异的零点。再次运用Rolle定理，有个零点。依此类推，最后可知有一个零点，记为。根据的定义和(6.15)式，即知(6.14)式成立。证毕。 §7. 多元多项式插值 在一元插值问题中，我们曾利用差商算法导出Newton插值公式。本节将讨论多元多项式插值问题。先从比较简单的二元插商插值算法开始。 设D是上的有界闭区域，是定义在D上的连续函数。取定D中的结点组（可整序格点网）  (7.1) 其中  对于函数，可视自变量为固定值，则可按一元差商的定义而得到  再视上述差商中的诸为固定，则又可得到它关于自变量的差商  这样一来，我们已经给出了二元差商的一种定义方式，并可以计算出它们来。 为了书写方便，记  按一元Newton插值公式，可知  从而上的插值公式为  (7.2) 其中 =  (7.3) 是满足插值条件 (,)= (7.4) 的多项式，而相应插值余项为  （7.5） 应该注意到，上述插值多项式空间为 . 容易直接验证以上插值多项式是唯一的. 例1 在插值公式(7.2)中取 , 则得到矩形网点上的插值公式 , (7.6) 其中   = 这里和落在包含的最小区间内，而和落在包含的最小区内． 　　注意此时插值空间为 　　　　　　　　　　　． 例２　在插值公式（7.2）中取  , 则得到插值空间中的插值公式 　　 + (7.7) 其中  利用插值公式（7.2）,人们还可以引导出许多插值公式。读者可以根据需要来确定和使用它们。 设函数定义在区间上，对于给定的个不同的点个数值显然插值问题  有解，必须且只须行列式  （7.8） 一个由个定义在点集上的函数组成的系统称为在上是唯一可解的，如果对于中任意给定的个互异点，来说，（7.8）恒成立。显然，在上唯一可解，必须且只须在的个互异点上取值为零的线性组合必恒为零. 由1，组成的函数组在上是唯一可解的，但在[-1，1]上却不是唯一可解的. 在任何区间[]上,函数组是唯一可解的. 三角函数系 在-π＜π上是唯一可解的. 以下Haar定理指出，在高维空间中，唯一可解性通常是保证不了的。 定理8（Haar） 设是欧氏空间中包含一个内点的点集。设定义于上，且其中每个函数均在的一个邻域内连续。则这个函数组在上不是唯一可解的。 证明 设是一个包含在中以为中心的小球，它使得诸在其内是连续的。选取中个不同的点。可以假定  （7.9） 若不然，则该函数组已经不是唯一可解，从而定理已证完了。现固定，并在内连续的移动和，使得和互换位置。由于是中的小球，因而在和互换位置的过程中，人们既可保证和不相重合，又可保证它们也不与中的任一点相重合。注意到当我们按上述要求交换了与的位置后，（7.9）式右端行列式的第1列和第2列恰好交换了位置。按行列式性质，交换前后两行列式异号。因为是内的连续函数，所以在和互换位置的过程中必然存在某个中间位置，使与之相对应的行列式为零。从而函数组在上不是唯一可解的。证毕。 顺便指出，为使上述Haar定理成立，可以不必要求点集中包含有内点。事实上，只须要求中包含有一个“三岔“点，亦即在点处有3段互相遇就可以了（见图7.1）。  因为人们可以仿照火车惯用的方法使得与互换位置。 根据Haar定理,在构造多元插值多项式时,插值结点组的选取是一个关键的问题。因为并不是对于任意给定的插值结点组，多元插值多项式都是存在并且唯一的。 为搞清插值结点组的选取问题，先须引入相应的概念。 设是一组线性无关的实系数二元多项式， P=span. D是上的有界闭区域，是D中无异的点。二元多项式插 值问题，是要寻求，使得下述插值条件被满足：  . (7.10) 这样的多项式称为在P中的插值多项式，称为插值 结点。 由Harr定理，为求得插值多项式，首要的问题是选择插直结点组 ，使得插值问题（7.10）的解存在并且唯一。若对给定的被插函数， 插值问题（7.10）的解存在并且唯一，则称是空间P的适定节点组。 设是P中的一个非零多项式,P中的代数曲线由下述 点集所定义： 。 由插值适定结点组的定义和线性代数理论，可以建立下述引理。 引理 点组是空间P的适定结点组，必须且只须该点组不在P中 的任何一条曲线上。 该引理的必要性是显然的。事实上，如果是P中的适定结点组，则 表明插值问题（7.10）对任意给定的均有唯一的解存在。于是行列式  。 若有某非零多项式存在，使得点组落在代数曲线 上。即。有适定性定义，必有。这与多项式 的非零性相矛盾。必要性得证。 以下证明充分性。假定不是P的适定结点组。于是=0。这表明  的k个行向量组是线性相关的，即存在一组不全为零的实数 ，使得 。 它说明落在 P 中的代数曲线  上。充分性得证。 Bezout定理 设与分别是m与n次的代数多项式.如 果它们的公共零点数多于mn ,则与必有公共因子存在。 这是一条十分重要的定理，由于篇幅所限 ，此处不拟证明。 关于  的适定结点组的选取问题有下述一类方法。其理论基础为下述定理。 定理9 若是的是定结点组，且它的每个点都不在某条次 （=1或2）不可约代数曲线上。则将在该曲线上任取得 个不同点与放在一起，必构成空间的一个适定结点组。 采用Bezout定理可以证明本定理。用A表示在不可约代数曲线上 所取得个不同点的集合。的点数 。用B表示这两个点集的并，则点集B的点数恰与的维数相同（注意或2）。利用反证法来证明B是的适定结点组。假若B不是的适定结点组，则由引理，必存在非零多项式，使得B中所有点落在代数曲线上。但A中点均位于不可约代数曲线上，于是次不可约代数曲线与次代数曲线至少有个交点。由Bezout定理必有公因子存在。但是不可约多项式，是故必为的因子。即有多项式存在，使得，并有。注意到的适定结点组，所以，进而。此与是非零多项式的假设矛盾。证毕。 利用定理9可以构成一系列适定结点组。例如有以下构造适定结点组的“添加直线法”。 第0步：在平面上任选一点q作为一个结点； 第1步：在平面上任意画一条不通过q的直线,并于其上任选2个互异点作为新增加的结点； 一般地， 第n步：在平面上任意画一条不通过已选好结点的直线，并于其上选个互异点作为新增加的结点。 第n步完成后，前面步所得到的结点组成一个的适定结点组。这样的适定结点组称为n次直线型结点组。 由上面一系列的分析可知，在选好了适定结点组以后，插值问题（7.10）的求解问题，实质上是一个线性代数问题。所以人们可以将相应的插值多项式具体求出来。由于结点组的适定性保证了插值多项式的唯一性，所以往往可以不必按部就班的去求解线性代数问题（7.10）,而采取灵活的方法求出多元插值多项式来。今举两例如下： 例4 三角形网点上的Lagrange插值多项式 对于平面上任意给定的三角形ABC,将其三边均n等分。过每边上的任一分点，分别作另两边的平行线。这样我们便把三角形ABC作了三步剖分。 设由上产生的与BC,AC,AB平行的直线簇方程分别为  其中分别是BC,AC和AB三边的方程。如果以记的交点，则由定理9可知结点组  是的适定结点组。 记    则上Lagrange插值公式为  其中  为Lagrange型插值基本多项式，而为插值余项。 直线简单相交网点上的Lagrange插值多项式 设，是一组直线，它们两两相交，但任意三条均不相交于一点，这样所得的交点的集合称为是该直线族的简单相交网。今记 与的交点为（显然），  则上Lagrange插值公式为 (7.12) 其中为插值余项，而  应该指出，以上插值技巧也可以应用于多条直线相交于同一结点的情形。 设已知条互异直线  (7.13) 它们间的交点集合为其中由(7.13)中的条直线相交所得，则不难求出相应的插值多项式来。请读者自行导出它来（留作习题）。