非线性逼近方法 教学目的和要求： 要求掌握非线性一致逼近、有理函数逼近、Pad逼近方法、有理逼近的一些算法 . 考虑函数的逼近问题.它的Taylor展开式为 . 记上式右端前项的和为，显然可以作为的一种近似.由连分式展开 的方法，又有如下的连分式展开式：  不难算出它的前4个渐近分式依次为  可以具体算出，的展开式将含有函数之Taylor展开式的前项和. 下面来比较与的逼近误差.设以与 分别记与同之间的误差，并取.它们误差的对比，如下表：           1 2 3 4 0.667 0.692 31 0.693 122 0.693 146 32 0.026 0.000 84 0.000 025 0.000 000 76 0.50 0.58 0.617 0.634 0.19 0.11 0.076 0.058   （ 由上表可知，的精确度竟比的精确度高几乎倍.这说明开展某些函数的有 逼近或一般非线性逼近的研究是很有必要的. §1. 非线性一致逼近 首先讨论如下有理分式，：  （1.1） 其中分别为的次多项式.设是既约有理分式，即 与互质. 设是有界闭区间上的连续函数.定义偏差函数的绝对值的上确界为与的最大偏差，简称为偏差： . (1.2) 又定义量  （1.3） 为形如（1.1）的有理分式类：对给定函数的最佳逼近或最小 偏差. 关于偏差的下界估计，有： 定理1（Vallée-Poussin）设多项式 互质，其中且设  于区间上为有穷，差函数在中的点列  上以正负交错的符号取异于0的值  （不妨假定各个）.而且则对每一形如（1.1） 的函数恒有  （1.4） 当且（即时，此不等式仍然成立. 证明 采用反证法.假若存在一个形如（1.1）的函数满足  考察差  . 显然不等于0且正负交错变号.由于于上连续，根据 连续函数的中值定理，与内至少有个零点.然而  中分子的次数从而必有，亦即 .此与定理假设相矛盾，故定理得证. 定理2 在所有形如（1.1）的有理分式中，至少存在一个有理分式使得它与 的偏差取到极小值，即 . 证明 只须证明存在形如（1.1）的有理分式使得 . 下面我们将具体地构造出来.按下确界的定义，存在无穷函数序列，使得 ， 其中 . 将如下标准化，使其分母的系数满足  我们来证明相应的系数也是有界的.事实上，设  又设为内给定的互异点，则对其中任一点，必有   . 从而有正常数存在，使得 . 由于多项式于个点处的值是有界的， 比方设它们依次为，则按线性方程组 ， 可以解出的一个表达式.显然这些均有界. 由于和有界，根据Bolzano-Weierstrass定理， 在有理分式序列中，可以选出某子序列，不妨仍记为，使得  今作（1.1）型有理分式  以下来证明因为只可能在有限多个点处 变为无穷，而在区间的其它点处，显然有 . （1.5） 所以   即除去可能在有限个点处外，总有  从而上式于区间上处处成立.即在区间上处处有限，所以（1.5）式 处处成立. 由于个系数与个相应系数之间的极限关系，不难看出极限关系式  在上一致成立.这样一来，若于   两边令趋于无穷，立即得到  是故又显然有 , 所以最终证得 . 存在性定理2证毕. 根据定理2，存在形如（1.1）的有理分式，使得 ， （1.6） 其中是区间上连续函数.称满足（1.6）的有理分式为于（1.1） 所示有理分式类中的最佳一致逼近有理分式.下面的Tchebyshev定理对最佳一致 逼近有理分式的特征作了确切的描述. 定理3 形如（1.1）的有理分式函数中在上与偏差最小的有理 分式由下述特征所唯一确定① . 若将写成 ， 其中互质，.则在上使 以正负交错的符号达到的点列之点数，其中. 若，则. 证明 充分性.设 . 并于定理1中取，则知对任何形如（1.1）的有理分式，必有  从而是最佳逼近有理分式. 必要性.采用反证法.设满足要求的偏离点的个数为，我们 来证必不是最佳逼近有理分式.将分为如下的个子区间： ， （1.7） 使之在上述区间上，轮流满足 ， 此处所说的唯一性，乃指经约分化简后为相同的有理分式者. 和  并且（1.7）中每个区间内只含有一个偏离点. 为证不是最佳者，只须求得（1.1）形有理分式，使得  成立即可. 引入多项式  显然它在处依次变号. 由于与互质，于是存在次数分别为与的多项式与， 使得  于上式两边同乘多项式，得到 . （1.9） 用，分别去除（带余）：  （1.10） 其中，分别为次多项式. 将（1.10）代入（1.9）有    ， 其中为次数不高于的多项式. 作有理分式 . 于是   因为   +， （1.11） 于是只须特别取，并取充分小，则在调节正、负号的前提下可以保证 （1.11）最后一等号右端第二项恰与第一项在个偏离点上的值异号.从而，只须对充分 小的取（1.1）形有理分式 ， 则可保证不等式（1.8）成立.必要性得证. 最后证明唯一性，用反证法.设还有（1.1）形有理分式，使得 . 假设与相应的量与意义相同.由必要性，知 . 为确定起见，不妨假设. 设  为相应于的偏离点，考虑差函数  . 若点同样也是的同类（同正或同负）偏离点，则应有  否则，，但此时必然有  （1.12） 例如假设  由于与同号，从而根据（1.12）知 . 当为偶数时，由（1.13），于区间两端点上同号.于是在该区间上有偶数个根.当为奇数时，由（1.13），于区间两端点上异号.于是在该区间上有奇数个根. 总之，于区间区间中根的个数与同奇偶.但已知（共个）是的根，于是为保证同奇偶，必有第个根存在.依此推导，可知 于区间内至少应有个根.但这是不可能的，因为中分子的 次数   当，  当，  当 因而定理唯一性证完. 最后我们来证明，当时，是最佳逼近有理分式必须且只须. 若，则于定理1所示的Vallée-Poussin定理中取 ， 则队任何（1.1）形有理分式，均有 . 从而为最佳逼近有理分式. 反之，设为最佳逼近有理分式，我们来证.若不然，设偏离点 个数.考虑 . 作，其中为一充分小实数，则可以同前面必要性证明一样而引出矛盾. 至此定理全部证完. 曾经讨论了有理逼近的误差估计问题.下面我们来介绍有关结果. 若是两个互质多项式的商：  ， 则称为n阶有理函数.定义 , 其中A为实数集合, 取遍一切n阶有理函数.根据关于函数类的“宽度”的研究可知,对于性质比较好的函数来说,有理函数逼近的优越性不大.然而,对于有较小奇异性的函数,有理逼近却非常有效,下面来考察函数在区间上用n阶有理函数逼近的误差估计问题.Newman证明了下述定理: 定理4 当时恒有 . (1.14) 证明 设.则当n充分大时,a接近于1,而却接近于零,先来证明估计式   (1.15) 事实上,利用数学分析中的典型方法不难证明 , 当 . 从而 . 又,当时, . 对于所有,还有 , 所以 . 是故估计式(1.15)成立. 现在设 , . (1.16) 显然是n阶有理函数.我们来证明  (, ) (1.17) 因为与都是偶函数,为了证明(1.17)只需考虑的情形.对于满足条件的x,由于.从而 . 故有 , 即当时(1.17)式成立. 当时,必存在某个j(),使得.于是由(1.15),有    . 因此当时,由于下述不等式成立(): , 所以  (). 定理4证完. Newman还证明了  (). (1.18) 综合(1.14)与(1.18),可知  (). (1.19) 它比在上的最佳n次多项式逼近的误差阶O()要优越得多. D.newman的不等式(1.19)还可以用来估计某些函数的有理逼近的误差阶. §2. 有理函数插值 给定m+n+1个互异的点  和相应的函数值 , 希望构造一个有理分式函数 , (2.1) 使之满足插值条件  () (2.2) 这种问题就是所谓有理函数插值问题. 显然,当分母次数时,是一个m次的多项式,从而插值问题(2.2)的解存在并且唯一.但是,当,即(2.1)所示的真正是一个有理分式函数时,插值问题(2.2)是否对任何右端皆有唯一解存在呢? 且看下述几个例子. 例1 设 ,,, . 于是由推知.但是当时,显然  不成立.是故,此时相应插值问题无解. 例2 设,且 . 则由相应插值条件,必有 . 于是 . 而,从而 . 若,则退化为一次多项式.既然于处的值一样(假定),说明是一条平行于X轴的直线.当然也就不可能满足  了.所以不妨设.于是 . 从而  . 这样一来,又不可能满足插值条件中所要求的条件  了.总之,本例所讨论的有理插值问题的解不存在. 为了便于讨论,需要引进一些定义.两个有理分式  ,  (2.3) 称为恒等,如果存在一个非零常数a ,使得  , . 此时记. (2.3) 所示两有理分式称为等价的,如果 . 此时常记为～. 对于此处所定义的关系“～”,显然有下列三个性质: (i) R(x) ～ R(x); (ii) R(x) ～Q(x),Q(x) ～S(x)则R(x) ～S(x); (iii) R(x) ～Q(x), 则Q(x) ～R(x) . 所以“～”是一种等价关系. 显然可知,两有理分式和等价,必须且只须和 的最简(既约)有理分式和恒等. 今后只要两有理分式等价,则认为它们是同一个有理分式,而不加以区别.有理函数插值的唯一性也是在这种意义上说的. 定理5 插值问题(2.2)若有解,则必唯一. 证明 设  ,  同时满足插值条件(2.2):  (). 于是由  (). 可推知  (). 因为与为次数不高于的多项式,所以从上式可知 . 从而～.定理5证完. 定理5说明对于有理函数插值来说,关键的问题是存在性和具体解法. 我们知道,当(2.1)所示的有理分式满足插值条件(2.2)时,只要分母 (),就应有  (). (2.4) 它是一个关于系数的线性代数方程组.这当然比非线性方程组(2.2)要容易求解了. 那么,(2.2)在什么条件下会与(2.4)等价呢? 下面定理6对这个问题作了明确的回答. 定理6 设线性方程组(2.4)有非平凡解.为使满足插值条件(2.2)的最简有理分式存在,必须且只须(2.4)的任一非平凡解,在约去一切公因子后得到的互斥多项式,仍然是(2.4)的解,即  (). 证明 必要性.设是(2.4)的任一组非平凡解 (). (2.5) 按假设,有(2.1)型的最简有理分式存在,使插值条件(2.2)得以满足:  (). (2.6) 由于与互质,所以.因为否则为使上式成立,必亦有,是故有公共因子()了.以(2.6)代入(2.5),得到  (). 两边通乘以,得到  (). 这样一来,次数不超过的多项式  已有个互异的根,从而   0 在上式中约去的最大公因子,则有 . 特别地,也应有  (). 注意到(2.6)式,上式亦即  (). 必要性得证. 充分性.设如上定义的是(2.4)的解:  (). 可断言.因为否则由上式,必也有.从而与互质的假定相矛盾.既然如此,我们可以用遍除上式两边,而得到  (). 是故满足插值条件(2.2).充分性得证.定理6全部证完. 定理6建立了(2.2)与(2.4)等价的充分必要条件.然而由于所给条件仍不便于检验,所以N.Macon与D.E.Dupree还给出了便于检验的条件. 定理7 设() ()中各 ()是互异的.为使满足插值条件(2.2)的最简有理分式  存在,必须且只须诸矩阵  (2.7) ()都是非奇异的.其中 (). 定理7的证明要用到若干引理,此处不拟列出. H.Salzer讨论了切触有理插值问题.设是x的两个多项式,是互异实数,, 为一批给定的数.所谓切触有理插值,就是确定和的系数,使得  (2.8) 若,通常取和的次数相等或接近相等.即当为k奇数时, 和的次数皆取成;当k为偶数时,和的次数则分别取和-1. 设,一般有理函数插值问题  () 自然等价于 ().一切切触插值 , (2.9) 可以表示为  =  . (2.10) 后一等式中又可以代替然后用遍乘而化为.因而(2.9)最后化成 , . (2.11) 完全类似地,二阶切触有理插值可转化为 , ,  (2.12) 一般情况下,是否也可把有理切触插值  () (2.13) 化成等价形式(当时) ()?(2.14) 回答是肯定的.这可以用数学归纳法来证明.事实上,由前面的分析,已知当时,(2.13)和(2.14)是等价的.今设当时,(2.13)与(2.14)也是等价的.我们来证明当时,它们还是等价的.其实只须再证明  (2.15) 与  (2.16) 等价就够了. 设(2.16)成立.因由Leibnitz公式 , (2.17) . (2.18) 由归纳假定,后一式右端中 ().因而比较上两式右端,即知 . 亦即(2.15)成立. 反之,假定(2.15)式成立.则由(2.18),有  =  = . 即(2.16)成立. 总之,我们已建立了如下定理: 定理8 设,则有理切触插值问题  () 与下列线性问题 () 是等价的. 若把定理8中的微商换成有限差(等距情况)或差商,则可以建立类似的定理.另外,当和不是普通多项式,而是广义多项式时,定理8也是照样成立的. 由定理8可知,只要各个,则有理切触插值问题(2.8)便等价于线性方程组  (2.19) (; ). 下面我们应用定理8来具体讨论有理切触插值的构造问题.Salzer具体讨论了下述连分式作为有理分式的表达式:    (2.20) 为了讨论方便,先介绍一些有关连分式的预备知识:  连分式表示      分式称为连分式(2.21)的第n节;与称为连分式(2.21)的第n节的两项;称为连分式(2.21)的部分分子,称为连分式(2.21)的部分分母.有限连分式  称为连分式(2.21)的第n个渐近分式.  相邻三个渐近分式之间有递推关系式  (2.22)事实上,按连分式的定义  ,  . 这说明当n=1和n=2时,(2.22)式成立(已人为地取定=1,=0).设递推公式(2.22)对n已成立.即 . 我们来证明当n换成n+1时,(2.22)也成立.注意从变到应以代替,于是  . 所以对于一切正整数而言,递推公式(2.22)恒成立(其中已规定=1,=0). 下面回过来继续讨论(2.20)所述的切触插值问题.假定已经求出,于是由(2.20)可以求出它的渐近分式,此处.根据关系(2.22),有  , (2.23) 其中   (2.24) 当按(2.23)所示的和切触条件(2.8)(其中x=)来确定时(共个条件),表达式中的项  是可以忽略的.若记  则由定理8,和两多项式的系数应该满足   (). (2.25) 由此求出表达式中的各系数.于是(2.24)的渐近分式可按渐近分式  当,  , 当  当, (2.26)  当 来逐个地确定.用i+1替代i,用t+替代t又可重复上述各步骤……当具有较小的值时,比如=2,=3,…,则立即可以比较方便地在多个点处应用公式(2.25). Euler-Minding曾经推导出关于有限连分式的具体有理分式表达:    （2.27） 和 其中()表示(). 具体写出,可列下表:       1   1   2     3     4      5      6  +   +   §3. Padé逼近方法 一个函数的Taylor级数展开的系数同该函数值的关系问题,既是一个有深刻意义的数学问题,又是一个重要的实际问题.它是数学分析研究的基础,又是遍及许多物理和生物学中数学模型的实际计算基础.如所知,如果一个Taylor级数展开绝对收敛,则它唯一确定一函数的值,且该函数任意次可微.反之,如果一个函数任意次可微,则它也唯一确定一个Taylor级数展开.此时实际上我们可以用多项式来逼近给定的函数.当然这种功能是有一定限度的.考虑 . (3.1) 容易看到当时,上述Taylor级数是不收敛的.当然也不能用它来计算了! 如果作变量替换  或 , 则   (3.2) 于()处是收敛的.取Taylor级数(3.2)的前几个截断多项式于的值,即可得的近似值: 1,1.125,1.343 75,1.382 81,1.399 90,…. (3.3) 还原于原先的变量x,则(3.2)的前几个关于的截断多项式,正是x的下列有理分式 . (3.4) 下面我们考虑获取由Taylor级数展开式(3.1)所定义函数的其它有理分式逼近的一种重要方法—Padé逼近方法. 考虑的这样一种有理分式逼近 , 使其Taylor级数展开的前3项同(3.1)的前3项相重合,于是求得 . (3.5) 按它算出,它比(3.3)所给近似为好.考虑的下述有理分式: , 使其Taylor级数展开的前5项同(3.1)的前5项重合,则得到 . (3.6) 由它算得.往下,按同样思路分别考虑分子(母)为3次,4次和5次多项式之有理分式,使其Taylor级数展开与(3.1)的前7项,9项和11项相重合.于是相应求得的下述近似值: 1.414 201 183,1.414 213 198和 1.414 213 552. (3.7) 同最后一近似的误差仅为.足见这种算法还是很优越的.由此即可引导出一般的Padé逼近方法. 设由下述形式幂级数所定义 . (3.8) 的 Padé逼近为 , (3.9) 其中,分别为次数不超过L,M的多项式.(3.9)中和的系数,按下述方程来确定: . (3.10) 因为一个有理分式的分子、分母同乘一常数其值不变,我们特地要求满足标准化条件 . (3.11) 最后要求与无公共因子存在. 若记  ， （3.12） 则由标准化条件（3.11），可用遍乘（3.10）式以线性化系数方程。于是比较系数可得线性方程组  （3.13） 其中已规定 （当n < 0）.  (当 j > M). （3.14） 为方便计,记 L + M = N, L - M = J. (3.15) Frobenius和Padé曾利用条件≠0来替代标准化条件(3.11).这两类条件显然是不同的.事实上,作为例子考虑 . 对于L = M = 1,容易验证 , 满足  而不满足(3.10).按我们的定义,该幂级数的[1/1]逼近是不存在的. 下面的唯一性定理,无论按哪种规定都是成立的. 定理9(Frobenius-Padé) 对于任意形式幂级数,若其[L/M] Padé逼近形式存在,则必唯一. 证明 仅就标准化条件(3.11)情况来证明.假定有两个这样的Padé逼近 , 其中.按(3.10),必然有 . (3.16) 今以Y(x)V(x)遍乘(3.16)式两边,可得  (3.17) 因为(3.17)式的左端为一个次数不超过L+M的多项式,为使(3.17)成立,只有  恒为0.因为不Y(x)与V(x)恒为0,因而有 . 因为按定义X(x)与Y(x), U(x)与V(x)互质,且Y(0)=V(0)=1.0.唯一得证. 上述定理的成立与否,是与定义方程的奇异性无关的.当非奇异时,可直接求解而得[L/M] Padé逼近: , (3.18) 在上述各求和号中,若下标超过上标时,该和为0.这个结果是Jacobi得到的. 常把一函数的Padé逼近列成一张所谓” Padé表”  例1 的Padé逼近表(见下表). 令x=1,则可得e的相应的Padé逼近表,其中 [1/1] = 3, [2/2] = 19/7, [3/3] = 193/71, [4/4]=2 721/1 001. 2 721/1 001与e真值的误差仅在第八位小数上相差1. 例1中的Padé逼近表 L/M 0 1 2 3 4  0         1          2         3         4           大量具体的算例表明,在N=L+M为一确定常数时,所有各可能[L/M]Padé逼近中,以L和M相等或接近相等者为最精确.比如当N=2n时,我们应该采用[n/n] Padé逼近;当N=2n+1时,我们应该采用[n+1/N]或[n/n+1] Padé逼近.总而言之,应该采用Padé逼近表的主对角线或主对角线附近的 Padé逼近. 为了得到比(3.18)更为紧凑的表现形式,于(3.18)右端分子和分母两行列式中,均以第1列各元素减去第2列相应元素的x倍；以第2列各元素减去第3列相应元素的x倍；……则按行列式性质,其值是不变的,即得出  (3.19) 按行列式性质,上式分母以最后一列展开即可化为一个M阶行列式;同时对分子上的行列式施以变换:以乘其第j列(j=1,…,M),然后将它们统统加到最后一列,则得到  (3.20) 再将(3.20)的分子上的行列式按最后一行作Laplace展开,并且除的代数余子式外,其它各余子式均有按其最后一列作Laplace展开,则由逆矩阵的定义知 , (3.21) 其中是下述矩阵的逆矩阵: , (3.22) 而 , (3.23) 如果j<0,则规定.当L<M时,(3.21)式中的和式.纵使当M>L+1时,出现x的负幂,等式(3.21)也照样成立. 按照同样的方法也可得到另一种紧凑表达式 , 其中. (3.24) 关于有理分式函数的Padé逼近,有 定理10 (Padé) 函数具有形式 , (3.25) 必须且只须它的Padé逼近为 , (3.26) 只要. 证明 若(3.25)的幂级数展开式为 , (3.27) 则有() . (3.28) 选取任一给定的满足的h次多项式,并取  (),  (), 则由(3.28)可知它们满足定义[L/M] Padé逼近的方程组(3.13).这表明由(3.25)定义的确为它自己的[L/M] Padé逼近. 反之,若对所有,恒使(3.26)式成立,则由Padé逼近方程,知 . (3.29) 因为,对比(3.13)即可发现在每一方程中,具有最高下指标的的系数正好是1.0.考虑足够大的L和M,采用把(3.29)右端看作是0的方法,可以得到任意x次幂的系数.因此(3.29)提供了唯一由(3.26)给出的关于的解.因为等于(3.27)中的,此即由(3.26)推出了(3.25).定理证毕. 定理11 给定任一形式幂级数(3.8)(),下面事实成立:  对任一固定M,均存在的一个无穷序列,使得恒存在;  对任一固定L,均存在的一个无穷序列,使得恒存在; 对任一固定J,均存在一无穷序列,使得恒存在; 该定理是Baker于1973年建立的.它表明,任一形式幂级数总是可以用Padé逼近方法而获得其有理逼近的. 例2 求的逼近. 先引出的[2/4] Padé逼近,并以x[2/4]作为的逼近.考虑的幂级数 , 列出相应方程组(3.13),则可求得 , . 因而 . 相应的 ()的[3/4]逼近为: . 常按下法来估计Padé逼近的误差上界:取  幂级数展开式中第一个非零项作为误差项,即为 . 于是用x[2/4]逼近的相对误差函数是 . 以近似替代上式右端的分子,则相对误差函数近似为 . 当时, . 从而于时 . 于[-1,1]上最佳有理逼近为 . 其相对误差为. 以下介绍寻求Padé逼近的-算法.可谓-算法,原是Shanks与Wynn为提高序列收敛速度而设计的.对于给定的序列-算法的基本关系为 , , . 今设是下列形式幂级数  的前j+1项部分和在点的值: . Shanks与Wynn指出了-算法与Padé逼近方法的重要关系 ， （3.31） 即是f(x)的Padé逼近在点的值. 在实际应用时,常把-算法所生成的2维数组排列成一个所谓-阵:       (3.32) 考虑-阵中的一块  (3.33) 按照公式(3.30)可知  , . (3.34) 上两式左、右端分别相减,并利用递推关系(3.30),可得  . (3.35) 取r = i,m + r = j(i,j = 0,1,…)再根据(3.31)式,即可得   i,j = 0,1,…. (3.36) 它指出了Padé表中,相邻5个Padé逼近的关系.若记它们为 N W C E S 则(3.36)指出了 . (3.37) 关于Padé逼近的推广可以作如下一种考虑.因为f(x)的Padé逼近也可以理解为是由方程 一直到项系数全为0 中解出所得的近似式.Shafer于1972年提出考虑从 一直到项系数为0 (3.38) 中解出f(x),并以如此而得到的f(x)逼近式作为Padé逼近的推广. 由于f(x)的幂级数展开已知,从而的幂级数展开也已知.这样由上述关系可建立关于、和各系数的线形方程组.从中可求出,和,而f(x)的所谓2次逼近为 . 甚至有人把(3.38)换成微分方程形式 , 而考虑Padé逼近的新的推广.此处不拟详述了. §4. 有理逼近的一些算法 4.1 Darboux公式及其有关方法 研究积分 . (4.1) 反复作分部积分,可得到  . 若其中为一次数不超过n的多项式,则上式右端积分为零.于是有Darboux公式  . (4.3) 此处 . (4.3)式称为Hummel-Seebeck-Obrechkoff公式,简称HSO公式. 对于满足  (4.4) (其中和为z的任意给定的有理函数)的任一函数f(z),显然(4.3)式两边都有含f(z)的项.只须从中把f(z)作为未知元解出,即可得到f(z)的一种有理逼近式.例如    其中R(x)为任意有理函数,而a为任意指定的实数,都可以采用HSO公式而获得相应的有理逼近式. 例1 设,取a=0.从相应公式(4.3)中解出,可得的有理逼近式 , (4.5) 其中.舍去(4.5)中的,即可得的有理逼近式. 分别取n=0,1,2,…，则由（4.5）得到的逼近式，， ,,…它们恰好为的，，，,…Padé逼近.这自然是一个很有趣的巧合. 当然并不是一切函数的HSO逼近都能得到Padé逼近式的.事实上,如果取=,则其HSO逼近为  但相应的Padé逼近却为 . 例2 设时,由HSO公式给出的逼近式为. 它在（-∞,+∞）上的最大误差为0.0125. 但如果采用Darboux公式，其中取为[0，1]区间上的最小零偏差多项式，则对同一个所得逼近式为 . 它在（-∞,+∞）上的最大误差为0.026. 4.2 微分修正算法(Cheney-Loeb算法) 对于给定的函数，有理逼近问题，相当于选取c,d使得 . 为了给出一个一般算法,考虑  , （4.6） 其中表示与c内积，且c仅限于在下述区域内取值 . (4.7) 本节将仅限于i的取值范围是一个有限集合. 定理12(Cheney-Loeb) 于区域D上的局部极小必然也是整体极小. 证明 假若不然.设有是在D上的非整体的局部极小值点.则存在点,使得  作辅助函数 , 并选取i,使 , 且在方向上是不减的.因于D中是连续可微的,根据Rolle定理,存在点 ,使得. 实际进行导数运算,有  不难看出,得分子不依赖于.所以它只要在某一处为0,必然处处为0.是故应在连接与的线段上有常数.所以 . 定理证毕. 定理13 为使是在D中的极小值点,必须且只须线形不等式组   (4.8) 不相容,其中  . (4.9) 证明 假设是在D中的极小值点,则对充分小的z，有 . 于是必存在某,使得 . 从而.整理即得 . 按的定义,.于是 . 即(4.8)不相容.必要性得证. 反之,设(4.8)不相容.则对任何z,都存在,使得 . 另一方面,按的定义,有 . 上两式两边对应相加,得 . 即 . 是故为极小值点.充分性得证.定理证毕. 今设为任意集合D上的实值函数,假定对一切和i(i = 1,…,m),均有 . (4.10) 重新定义 . (4.11) 微分修正算法的具体算法如下:  选取初始近似；  假定已经求得(k = 1,2,…),然后来求辅助函数  (4.12) 于D中的极小值点,并以其作为新的近似向量. 这样可形成一个向量序列{}.关于序列{}的极小化性质是Cheney-Loeb建立的: 定理14(Cheney-Loeb) 随k的增大而单调下降,且 . (4.13) 证明 首先,由于是的极小值点,因而 . (4.14) 对任意,亦有  . (4.15) 于(4.15)中取,并利用(4.14),可得  . (4.16) 选取,使 . (4.17) 这样的c若不存在,则已为所求,从而无须讨论.由(4.15),可知, . 于是联系(4.16)式可知 , 即 . 根据下确界与下界关系,有 . (4.18) 由(4.17)及上述不等式可知,即单调下降. 若单调下降而趋于-,则显然为极小化序列.否则随k无限增大而趋于确定的极限值.于是只须在(4.18)中令,得出 . 但由,又有  . 从而(4.13)式成立.定理14得证. Cheney-Loeb还指出:对,设 ,其中,而 . 采用下述方法产生的序列{},使得且:先于单位立方体上选取,使于[a,b]上；对给定,取  于单位立方体上的极小值点作为. 特别,当对的每个极小值点而言,与均互质,则. 4.3 Maehly连分式经济化方法 在第二章中,我们曾介绍过利用最小零偏差多项式来改善幂级数展开的所谓经济化技巧.对于一个给定函数的收敛连分式展开来讲,也有类似的经济化方法.这就是此处的Maehly方法. 设函数F(x)()在[-1,1]上有较好的收敛连分式展开 , (4.19) 或者当F(x)是偶函数时, , (4.20) 当F(x)是奇函数时, . (4.21) 先假定F(x)既非偶,又非奇函数,则它的连分式展开式为(4.19).考虑连分式 , (4.22) 其中按下述方法确定.仍以记Tchebyshev多项式.因为中系数为.所以 , (4.23)　 其中诸是确定的常数. 设 , (4.24) 则由下式确定 , (4.25) 如此确定的截断连分式就是F(x)在[-1,1]上的一个有理逼近.实际上, 几乎就是F(x)的最佳一致有理逼近.不难验证, - F(x)近似地等于一个很小的常数乘以.因为是按F(x)的连分式展开的第n+1阶渐近公式而引导出来的,可以称为的经济化.通常它比F(x)的第n阶渐近分式的近似程度更好. 当F(x)是偶函数或奇函数时,也有类似的经济化方法. 设F(x)为偶函数,其连分式展开为 . 考虑连分式 , 其中诸按下述方法确定.设 , 其中为2n次Tchebyshev多项式.设仍按(4.24)定义,但 . (4.26) 这样, - F(x)近似地等于一个很小的常数乘以 () 当F(x)为奇函数时,它的连分式展开为 . 考虑连分式 , 其中诸a按下述方法确定。设 ， 其中为2n+1次Tchebyshev多项式。仍按（4.24）定义，但  （4.27） 类似的，而是一个小常数。 4．4 Remez算法 Remez算法是一种寻求函数的近似最佳有理逼近的方法。由于篇幅所限，此处仅做一简要介绍。 假定我们要用中的有理分式  （4.28） 来逼近。 假定（4.28）分母中的常数项，这可以采用分子、分母通乘以一个非零常数的方法来办到。 设m+n+2个交错点用来表示： . 则由Tchebyshev最佳逼近定理，有 , (4.29) 此处。从而 ， 如果我们已经知道交错点组，并且可以解出这个非线性方程组，则的系数即可得到。因而已求出。Remez采用一下迭代算法来求的各系数： 选择初始值，使得。 求解如下m+n+2个非线性方程组成的方程组  （4.30） 以求出和下述有理分式中的各系数：  求出绝对误差函数  在内的极值点。为简单起见，假设包括在内恰有m+n+2个极值点，它们是  （4） 以替代，并重复（2）以及其后步骤。 …… 该方法的目的是使得 和。通常该过程的收敛性理论是比较复杂的，但只要充分接近，则在适当假定下，该过程具有2次收敛性。在实际计算是，一般这种迭代要进行五或六步。 以上介绍的是Remez 算法的梗概。下面考虑一些细节。 初始近似选的不恰当，则该过程可能不收敛。通常人们选取的Tchebyshev 多项式的极值点作为初始点：  （4.31） 注意 因为（4.30）是一个关于多项式的线性方程组，它可用直接方法来求解。现在利用迭代方法来解它。重写（4.30）为  （4.32） 注意其中除一处外，欧文们已用取代了原来的。如果把作为已知的，则（4.32）是一个以和为未知数的方程组。开始迭代时，令，并解（4.32），以求出这些未知数。然后用新求得的代替（但诸保持不变），再求解（4.32）。这样，作为Remez方法的步骤（2）的一部分，我们执行了一个求解m+n+2个线性方程组的内迭代。通常和能很好地收敛到（4.30）的解。 在步骤（3）中，需要寻求误差函数在内的极值点。 中的诸系数可从步骤（2）中得到。为寻求极值点，没有特殊的方法可采用。在求出的导数后，可用通常办法来求这些极值点。在这些计算中的精度不必要求太高，因为系数对于极值点的微小改变并不敏感。 为了修正上面叙及的Remez算法，来得到的最佳相对误差逼近，我们须用下式类似替代（4.30）：   并对（4.32）作相应的改变。同样在步骤（3）中，我们确定的是相对误差函数的极值点，而不是绝对误差的极值点。下面例子将给出用Remez算法计算相对误差逼近的说明。 在实际应用Remez算法时，可能会遇到一些困难。例如，当（4.32）中的未知数越来越多时，（4.32）可能会成为病态方程。但若计算的精度足够高，这个问题可以避免；如果（4.28） 中用以表达 的不可约有理分式很接近可约，即它的分子、分母有接近相同的因子时，Remez方法的收敛速度可能较差；最后月一个困难是，在应用Remez方法时，在步骤（2）中可能得到一个并不是人们所需要的解。例如一个解使得的分母在内有零点，从而这样得到的不属于有理函数类。 例 3 在类中，寻求一有理分式，使得它在区间上与函数的相对误差的最大值为最小。即是的最佳有理（相对）逼近。 解 具有形式 用Remez方法计算和： 取并且和自始至终保持这些值，为了估算另外两个最低极值点和，任意取两个初始值，  线性方程组成为  利用前面讲述的Remez方法，从中解出 找出相对误差函数 在区间中的极值点，其中的系数是按步骤（2）已求得的。求这个相对误差函数的导数，并令该导数为0。经整理，得到。上述方程的较小根为，较大根为，其它两个极值点，恒为 以下表格中给出了用Remez方法迭代了四次的结果。 迭代步后        0 1 2 3 4 0．400 000 0．141 723 0．122 816 0．127 369 0．127 347 0．700 000 0．656 591 0．487 372 0．491 034 0．490 783  — 0．155 548 0．146 615 0．148 607 0．148 596  — 1．774 123 2．026 298 1．999 239 1．999 654  — 0．942 204 1．208 816 1．188 498 1．188 972  — 0．006 453 0．016 255 0．018 576 0．018 603   所以  §5. Prony 指数型函数逼近方法 Prony 方法是一类为了获得指数型非线性逼近的重要算法，起目的是构造指数型函数 ， （5.1） 使得  （5.2） 其中T为步长，为给定的型值，而和为待求的2?n个参数。 引入新的变量  并按下式定义变量：  （5.3） 于是（5.1），（5.2）等价于  （5.4） 由（5.3）和（5.4）可得方程组  因为，于是上述方程组可写为  （5.5） 从中解出。然而依据（5.3）式,求解高次代数方程  （5.6） 得到n个根最后按公式  （5.7） 即可定出（5.1）中的指数来。再由（5.4）中前n个方程组成的方程组解出（5.1）中的各个系数 以上就是Prony 方法的概貌。下面来讨论Prony 方法与Z变换的关系。 所谓一个函数的Z变换，乃是  （5.8） 其中按定义，显然的Z变换为  于是不难看出由（5.1）所给出的的Z变换应具有形式  （5.9） 我们希望恰为的Pade逼近，即使  令两边从至的系数相等。这样得到由2n个方程组成的方程组  （5.10）  （5.11） 不难发现，（5.11）与（5.5）是完全一样的，所以在Pade逼近（5.9）中的和由此确定的，等恰为Prony 方法中的那些同名参数。 再注意到  因此在求出（5.11）中的各个以后，先按（5.10）求出各，然后形成（5.9）中的有理函数。最后依据恒等式  即可定出各个系数来。 以上分析表明，Prony 方法从实质上讲，是与某相应的Z变换的Pade逼近相通的。 例 设是单位方形脉冲  取n=3,T=1/3,型值则为  于是  与（5.11）相应的线性方程组为  其解是  于是的分母为  它的零点是  的指数则为  又由（5.10）得出  这样一来，应有  将其展成部分分式，求出  因此  其逼近情况如图5.1所示。