第三章 土中应力计算
? § 3.1土中自重应力（水平，竖直）
? § 3.2与基础接触的基底压力
? § 3.3外荷在作用下地基土的附加应力
? § 3.3地基中附加应力计算的有关问题 ＊
主要内容
§ 3.1 土中自重应力计算
? 自重应力, 由于土体本身自重引起的应力
确定土体初始
应力状态
土体在自重作用下，在漫长的地质历史时期，已经
压缩稳定，因此，土的自重应力 不再引起土的变形。
但对于新沉积土层或近期人工充填土应考虑自重应力
引起的变形。
一,竖向自重应力
天然地面
cz?
cx?
cy? 1
1
z
zcz ?? ?
z
?cz
σcz= ?z
土体中任意深度处的竖向自重应力等于单位面积上土柱
的有效重量
二、成层土的自重应力计算
i
n
i
inncz hhhh ?
?
????????
1
2211 ?????
说明：
1.地下水位以上土层
采用天然重度，地下
水位以下土层采用浮
重度
2.非均质土中自重应
力沿深度呈折线分布
天然地面
h1
h2
h3 ??3
?2
?1
水位面
?1 h1
?1 h1 + ?2h2
?1 h1 + ?2h2 + ??3h3
三、水平向自重应力
czcycx K ??? 0??
天然地面
z
cz?
cx?
cy?
zcz ?? ?
静止侧压
力系数
四、例题分析
? 【例】 一地基由多层土组成，地质剖面如下图所示，
试计算并绘制自重应力 σ cz沿深度的分布图
57.0kPa
80.1kPa
103.1kPa
150.1kPa
194.1kPa
i
n
i
inncz hhhh ?
?
????????
1
2211 ?????
§ 3.2 基底压力
? 基底压力, 建筑物上部结构荷载和基础自重通过基础传
递给地基，作用于基础底面传至地基的单位面积压力
F
? 影响基底压力的因素,基础的形状、大小、刚度，埋臵深
度，基础上作用荷载的性质（中心、偏心、倾斜等）及大小、
地基土性质
一、中心荷载作用下的基底压力
A
GFp ??
若是条形基础，
F,G取单位长度
基底面积计算
G=?GAd
取室内外平
均埋深计算
二、偏心荷载作用下的基底压力
F+G
e
e
l
b
pmax
pmin
W
M
A
GF
p
p ???
m i n
m a x
作用于基础底面
形心上的力矩
M=(F+G)?e
基础底面的抵
抗矩 ； 矩形截
面 W=bl2/6
?????? ??? lebl GFpp 61
m i n
m a x
?????? ??? lebl GFpp 61
m i n
m a x
讨论：
当 e<l/6时,pmax,pmin>0,基底压力呈梯形分布
当 e=l/6时,pmax>0,pmin=0,基底压力呈三角形分布
当 e>l/6时,pmax>0,pmin<0,基底出现拉应力，基底压力重分布
pmax pmin
e<l/6 pmax
pmin=0
e=l/6
e>l/6
pmax pmin<0
pmax
pmin=0
基底压力重分布
基底压力重分布
belpGF ?????? ???? 2321 m a x
偏心荷载作用在
基底压力分布图
形的形心上
? ?
bel
GFp
?
?
??
?
? ?
??
2
3
2
m a x
? 基底附加压力,作用于地基表面，由于建造建筑物
而 新增加 的压力称为基底附加压力，即导致地基中产
生附加应力的那部分基底压力
三、基底附加压力
F
F
d
实际情况
基底附加压力在数
值上等于基底压力
扣除基底标高处原
有土体的自重应力
dpp 00 ???
基底压力呈梯形分布时，
基底附加压力 dpppp 0
m i n
m a x
m i n0
m a x0 ???
基底附加压力
自重应力
? 附加应力,新增外加荷载在地基土体中引起的应力
§ 3.3 地基中的附加应力
? 计算基本假定,地基土是连续、均匀、各向同性
的半无限完全弹
性体
不同地基
中应力分
布各有其
特点
平面问题
空间问题
x,z的函数
x,y,z的函数
一,竖向集中荷载作用下的地基 附加应力
1885年法国学者布
辛涅斯克解
M(x,y,z)
Po
y
x
z
x y
z
r
R M?(x,y,0)
q
q??? 325
3
c o s2 323 RPRPzz ??
2z
PK
z ??
附加应力系数
附加应力分布规律
? 距离地面越深，附加应力的分布范围越广
? 在集中力作用线上的附加应力最大，向两侧逐渐
减小
? 同一竖向线上的附加应力随深度而变化
? 在集中力作用线上，当 z＝ 0时,σ z→∞, 随着深
度增加,σ z逐渐减小
? 竖向集中力作用引起的附加应力向深部向四周无
限传播，在传播过程中，应力强度不断降低（ 应
力扩散 ）
附加应力分布规律
叠加原理
由几个外力共同作用时所引起的某一参数（内力、
应力或位移），等于每个外力单独作用时所引起的该
参数值的 代数和
Pa
z
Pb
a b
两个集中力
作用下 σ z的
叠加
二、矩形基础地基中的附加应力计算
pK cz ??
),( nmfK c ?
blm /?
bzn /?
dp布辛涅斯克解
积
分
矩形基础角点
下的竖向附加
应力系数
角点法计算地基附加应力 Ⅰ
? ? pKKKK ccccz ⅣⅢⅡⅠ ?????
z
M
o
IV
IIIII
I
o
I
IIIII
IV
p
角点法计算地基附加应力 Ⅱ
? ? pKK ccz ⅡⅠ ???
II
I
oo
I
IIIo IVo
? ? pKKKK ccccz ⅣⅢⅡⅠ ?????
II
计算点在基底边缘
计算点在基底边缘外
角点法计算地基附加应力 Ⅲ
计算点在基底角点外
I
o o
III
IIIV
? ? pKKKK ccccz ⅣⅢⅡⅠ ?????
垂直三角形分布荷载
pK tz 11 ??
dp布辛涅斯克解
积
分
矩形基础角点
下的竖向附加
应力系数，均
为 m,n的函数
ttz pK 22 ??
水平均布荷载
hhz pK??1?
矩形基础角点
下的竖向附加
应力系数，均
为 m,n的函数
hhz pK??2?
【例题分析】
? 有两相邻基础 A和 B，
其尺寸、相对位臵及
基底附加压力分布见
右图，若考虑相邻荷
载的影响，试求 A基础
底面中心点 o下 2m处的
竖向附加应力
分析
o点的附加应力应该是两个基础共同产生的附加应力之和，
根据叠加原理可以分别进行计算
2m
2m
200kPa
A
o
1m
1m
1m
300kPa 3m
2m
B
A基础引起的附加
应力
σzA=4Kc pA
σzB=（ Kc1- Kc2- Kc3+ Kc4） pB
B基础引起的
附加应力
三、条形基础地基中的附加应力计算
基础底面长宽
比 l / b→∞ 条形基础
基础底面长宽
比 l / b≥10
理想
情况
实际
情况
z?
? ?222
32
zx
pz
?
?
?
pdy布辛涅斯克解
线积分
几种不同分布荷载计算 Ⅰ
p
x
z
Mx
zb/2b/2 pK szz ??
均布荷载情况
pt
x
z
Mx
zb
三角形荷载情况
ttzz pK??
Ksz,Ktz条形基底竖向附
加应力系数,均为 m,n
的函数，其中 m=x/b，
n=z/b,可查表得到
几种不同分布荷载计算 Ⅱ
z
Mx
zb hhzz pK??
水平分布荷载情况
ph
x
y
Khz条形基底竖向附加应
力系数,为 m,n的函数，
其中 m=x/b,n=z/b,可
查表得到
总结,对于条形基础地基附加应力计算同样可以采用角点法，
利用叠加原理，进行计算，计算中应注意不同分布情况的附
加应力系数所对应的附加应力系数表格不同，查表计算时应
该注意
【例题分析】
? 【例】 某条形地基，如下图所示。基础上作用荷载
F=400kN/m,M=20kN?m,试求基础中点下的附加应
力，并绘制附加应力分布图
2m
F
M
?0 ＝ 18.5kN/m3
0.1m
1.5m
分析步骤 I：
1.基底压力计算 ?????? ??? lebl GFpp 61
m i n
m a x
F=400kN/m
?0 ＝ 18.5kN/m3
M=20kN ?m
0.1m
2m
1.5m
基础及上覆
土重 G=?GAd
荷载偏心距
e=M/(F+G)
条形基础取单
位长度计算
319.7kPa 140.3kPa
分析步骤 Ⅱ:
2.基底附加压力计算
1.5m
292.0kPa 112.6kPa
dpppp 0
m i n
m a x
m i n0
m a x0 ???
0.1mF=400kN/m
M=20kN ?m
2m
?0 ＝ 18.5kN/m3
基底标高以上
天然土层的加
权平均重度
基础埋
臵深度
1.5m
分析步骤 Ⅲ:
3.基底中点下附加压
力计算
2m
F=400kN/m
M=20kN ?m
0.1m
1.5m ?0 ＝ 18.5kN/m
3
179.4kPa
112.6kPa
292.0kPa 112.6kPa
分析步骤 Ⅳ:
2m
F=400kN/m
M=20kN ?m
0.1m
1.5m ?0 ＝ 18.5kN/m
3
202.2kPa
193.7kPa
165.7kPa
111.2kPa
80.9kPa
62.3kPa
地基附加应
力分布曲线
1m
1m
2m
2m
2m
? § 3.1土中自重应力（水平，竖直）
? § 3.2与基础接触的基底压力
? § 3.3外荷在作用下地基土的附加应力
? § 3.3地基中附加应力计算的有关问题 ＊
主要内容
§ 3.1 土中自重应力计算
? 自重应力, 由于土体本身自重引起的应力
确定土体初始
应力状态
土体在自重作用下，在漫长的地质历史时期，已经
压缩稳定，因此，土的自重应力 不再引起土的变形。
但对于新沉积土层或近期人工充填土应考虑自重应力
引起的变形。
一,竖向自重应力
天然地面
cz?
cx?
cy? 1
1
z
zcz ?? ?
z
?cz
σcz= ?z
土体中任意深度处的竖向自重应力等于单位面积上土柱
的有效重量
二、成层土的自重应力计算
i
n
i
inncz hhhh ?
?
????????
1
2211 ?????
说明：
1.地下水位以上土层
采用天然重度，地下
水位以下土层采用浮
重度
2.非均质土中自重应
力沿深度呈折线分布
天然地面
h1
h2
h3 ??3
?2
?1
水位面
?1 h1
?1 h1 + ?2h2
?1 h1 + ?2h2 + ??3h3
三、水平向自重应力
czcycx K ??? 0??
天然地面
z
cz?
cx?
cy?
zcz ?? ?
静止侧压
力系数
四、例题分析
? 【例】 一地基由多层土组成，地质剖面如下图所示，
试计算并绘制自重应力 σ cz沿深度的分布图
57.0kPa
80.1kPa
103.1kPa
150.1kPa
194.1kPa
i
n
i
inncz hhhh ?
?
????????
1
2211 ?????
§ 3.2 基底压力
? 基底压力, 建筑物上部结构荷载和基础自重通过基础传
递给地基，作用于基础底面传至地基的单位面积压力
F
? 影响基底压力的因素,基础的形状、大小、刚度，埋臵深
度，基础上作用荷载的性质（中心、偏心、倾斜等）及大小、
地基土性质
一、中心荷载作用下的基底压力
A
GFp ??
若是条形基础，
F,G取单位长度
基底面积计算
G=?GAd
取室内外平
均埋深计算
二、偏心荷载作用下的基底压力
F+G
e
e
l
b
pmax
pmin
W
M
A
GF
p
p ???
m i n
m a x
作用于基础底面
形心上的力矩
M=(F+G)?e
基础底面的抵
抗矩 ； 矩形截
面 W=bl2/6
?????? ??? lebl GFpp 61
m i n
m a x
?????? ??? lebl GFpp 61
m i n
m a x
讨论：
当 e<l/6时,pmax,pmin>0,基底压力呈梯形分布
当 e=l/6时,pmax>0,pmin=0,基底压力呈三角形分布
当 e>l/6时,pmax>0,pmin<0,基底出现拉应力，基底压力重分布
pmax pmin
e<l/6 pmax
pmin=0
e=l/6
e>l/6
pmax pmin<0
pmax
pmin=0
基底压力重分布
基底压力重分布
belpGF ?????? ???? 2321 m a x
偏心荷载作用在
基底压力分布图
形的形心上
? ?
bel
GFp
?
?
??
?
? ?
??
2
3
2
m a x
? 基底附加压力,作用于地基表面，由于建造建筑物
而 新增加 的压力称为基底附加压力，即导致地基中产
生附加应力的那部分基底压力
三、基底附加压力
F
F
d
实际情况
基底附加压力在数
值上等于基底压力
扣除基底标高处原
有土体的自重应力
dpp 00 ???
基底压力呈梯形分布时，
基底附加压力 dpppp 0
m i n
m a x
m i n0
m a x0 ???
基底附加压力
自重应力
? 附加应力,新增外加荷载在地基土体中引起的应力
§ 3.3 地基中的附加应力
? 计算基本假定,地基土是连续、均匀、各向同性
的半无限完全弹
性体
不同地基
中应力分
布各有其
特点
平面问题
空间问题
x,z的函数
x,y,z的函数
一,竖向集中荷载作用下的地基 附加应力
1885年法国学者布
辛涅斯克解
M(x,y,z)
Po
y
x
z
x y
z
r
R M?(x,y,0)
q
q??? 325
3
c o s2 323 RPRPzz ??
2z
PK
z ??
附加应力系数
附加应力分布规律
? 距离地面越深，附加应力的分布范围越广
? 在集中力作用线上的附加应力最大，向两侧逐渐
减小
? 同一竖向线上的附加应力随深度而变化
? 在集中力作用线上，当 z＝ 0时,σ z→∞, 随着深
度增加,σ z逐渐减小
? 竖向集中力作用引起的附加应力向深部向四周无
限传播，在传播过程中，应力强度不断降低（ 应
力扩散 ）
附加应力分布规律
叠加原理
由几个外力共同作用时所引起的某一参数（内力、
应力或位移），等于每个外力单独作用时所引起的该
参数值的 代数和
Pa
z
Pb
a b
两个集中力
作用下 σ z的
叠加
二、矩形基础地基中的附加应力计算
pK cz ??
),( nmfK c ?
blm /?
bzn /?
dp布辛涅斯克解
积
分
矩形基础角点
下的竖向附加
应力系数
角点法计算地基附加应力 Ⅰ
? ? pKKKK ccccz ⅣⅢⅡⅠ ?????
z
M
o
IV
IIIII
I
o
I
IIIII
IV
p
角点法计算地基附加应力 Ⅱ
? ? pKK ccz ⅡⅠ ???
II
I
oo
I
IIIo IVo
? ? pKKKK ccccz ⅣⅢⅡⅠ ?????
II
计算点在基底边缘
计算点在基底边缘外
角点法计算地基附加应力 Ⅲ
计算点在基底角点外
I
o o
III
IIIV
? ? pKKKK ccccz ⅣⅢⅡⅠ ?????
垂直三角形分布荷载
pK tz 11 ??
dp布辛涅斯克解
积
分
矩形基础角点
下的竖向附加
应力系数，均
为 m,n的函数
ttz pK 22 ??
水平均布荷载
hhz pK??1?
矩形基础角点
下的竖向附加
应力系数，均
为 m,n的函数
hhz pK??2?
【例题分析】
? 有两相邻基础 A和 B，
其尺寸、相对位臵及
基底附加压力分布见
右图，若考虑相邻荷
载的影响，试求 A基础
底面中心点 o下 2m处的
竖向附加应力
分析
o点的附加应力应该是两个基础共同产生的附加应力之和，
根据叠加原理可以分别进行计算
2m
2m
200kPa
A
o
1m
1m
1m
300kPa 3m
2m
B
A基础引起的附加
应力
σzA=4Kc pA
σzB=（ Kc1- Kc2- Kc3+ Kc4） pB
B基础引起的
附加应力
三、条形基础地基中的附加应力计算
基础底面长宽
比 l / b→∞ 条形基础
基础底面长宽
比 l / b≥10
理想
情况
实际
情况
z?
? ?222
32
zx
pz
?
?
?
pdy布辛涅斯克解
线积分
几种不同分布荷载计算 Ⅰ
p
x
z
Mx
zb/2b/2 pK szz ??
均布荷载情况
pt
x
z
Mx
zb
三角形荷载情况
ttzz pK??
Ksz,Ktz条形基底竖向附
加应力系数,均为 m,n
的函数，其中 m=x/b，
n=z/b,可查表得到
几种不同分布荷载计算 Ⅱ
z
Mx
zb hhzz pK??
水平分布荷载情况
ph
x
y
Khz条形基底竖向附加应
力系数,为 m,n的函数，
其中 m=x/b,n=z/b,可
查表得到
总结,对于条形基础地基附加应力计算同样可以采用角点法，
利用叠加原理，进行计算，计算中应注意不同分布情况的附
加应力系数所对应的附加应力系数表格不同，查表计算时应
该注意
【例题分析】
? 【例】 某条形地基，如下图所示。基础上作用荷载
F=400kN/m,M=20kN?m,试求基础中点下的附加应
力，并绘制附加应力分布图
2m
F
M
?0 ＝ 18.5kN/m3
0.1m
1.5m
分析步骤 I：
1.基底压力计算 ?????? ??? lebl GFpp 61
m i n
m a x
F=400kN/m
?0 ＝ 18.5kN/m3
M=20kN ?m
0.1m
2m
1.5m
基础及上覆
土重 G=?GAd
荷载偏心距
e=M/(F+G)
条形基础取单
位长度计算
319.7kPa 140.3kPa
分析步骤 Ⅱ:
2.基底附加压力计算
1.5m
292.0kPa 112.6kPa
dpppp 0
m i n
m a x
m i n0
m a x0 ???
0.1mF=400kN/m
M=20kN ?m
2m
?0 ＝ 18.5kN/m3
基底标高以上
天然土层的加
权平均重度
基础埋
臵深度
1.5m
分析步骤 Ⅲ:
3.基底中点下附加压
力计算
2m
F=400kN/m
M=20kN ?m
0.1m
1.5m ?0 ＝ 18.5kN/m
3
179.4kPa
112.6kPa
292.0kPa 112.6kPa
分析步骤 Ⅳ:
2m
F=400kN/m
M=20kN ?m
0.1m
1.5m ?0 ＝ 18.5kN/m
3
202.2kPa
193.7kPa
165.7kPa
111.2kPa
80.9kPa
62.3kPa
地基附加应
力分布曲线
1m
1m
2m
2m
2m
