三、其它形式的缓和曲线
（一）三次抛物线
三次抛物线的方程式：
x
Cr ?
?三次抛物线上各点的直
角坐标方程式：
? x=l
C
xy
6
3
?
三、其它形式的缓和曲线
（ 二 ） 双纽线
双纽线方程式：
?双纽线的极角为 45° 时,
曲线半径最小 。 此后半径
增大至原点, 全程转角达
到 270° 。
a
Cr ?
回旋曲线、三次抛物线和双纽线线形比较：
回旋曲线、三次抛物线和双纽线在极角较小
（ 5° ～ 6° ）时，几乎没有差别。
随着极角的增加，三次抛物线的长度比双纽线的长
度增加的较快，而双纽线的长度又比回旋线的长度
增加得快些。
回旋线的半径减小得最快，而三次抛物线则减小的
最慢。从保证汽车平顺过渡的角度看，三种曲线都
可以作为缓和曲线。
此外，也有使用 n次（ n≥3）抛物线、正弦形曲线、
多圆弧曲线作为缓和曲线的。但世界各国使用回旋
曲线居多，我国, 标准, 推荐的缓和曲线也是回旋
线。
四、缓和曲线的长度及参数
（ 一 ） 缓和曲线的最小长度,
1,旅客感觉舒适,
汽车行驶在缓和曲线上, 其离心加速度将随着缓和
曲线曲率的变化而变化, 若变化过快, 将会使旅客
有不舒适的感觉 。
离心加速度的变化率 as：
Rt
v
t
aa 2
s ??
?在等速行驶的情况下：
v
Lst ?
R L s
V0 2 1 4.0
R L s
va 33
s ??
?满足乘车舒适感的缓和曲线最小长度,
Ra
V0214.0Ls
s
3
m in ?
?我国公路计算规范一般建议 as≤0.6
R
V036.0Ls 3
m in ?
2．超高渐变率适中
由于缓和曲线上设有超高缓和段, 如果缓和段太短,
则会因路面急剧地由双坡变为单坡而形成一种扭曲
的面, 对行车和路容均不利 。
,规范, 规定了适中的超高渐变率, 由此可导出计
算缓和段最小长度的公式：
?式中,B—— 旋转轴至行车道 （ 设路缘带时为路缘带 ）
外侧边缘的宽度；
? Δi—— 超高坡度与路拱坡度代数差 （ %） ；
? p —— 超高渐变率，即旋转轴线与行车道外侧
边缘线之间的相对坡度。
p
BLs i
m in
??
3．行驶时间不过短
缓和曲线不管其参数如何, 都不可使车辆在缓和曲
线上的行驶时间过短而使司机驾驶操纵过于匆忙 。
一般认为 汽车在缓和曲线上的行驶时间至少应有 3s
?,标准, 按行驶时间不小于 3s的要求制定了各级公路
缓和曲线最小长度 。
?,城规, 制定了城市道路的最小缓和曲线长度, 如表
3-7。
2.1
VLs
m in ?
（二）回旋曲线参数的确定
在一般情况下, 特别是当圆曲线半径较大时, 车速
较高时, 应该使用更长的缓和曲线 。
回旋线参数表达式,A2 = R·Ls
从视觉条件要求确定 A：
考察司机的视觉, 当回旋曲线很短, 其回旋线切线
角 （ 或称缓和曲线角 ） β在 3° 左右时, 曲线极不明
显, 在视觉上容易被忽略 。
回旋线过长 β大于 29° 时, 圆曲线与回旋线不能很
好协调 。
适宜的缓和曲线角是 β=3° ～ 29° 。
由 β0=3° ～ 29° 推导出合适的 A值：
将 β0=3° 和 β0=29° 分别代入上式, 则 A的取值范围
为：
R
Ls6 4 7 9.28
0 ?? 6479.28
RLs 0??
6 4 7 9.28
RR L sA 0???
RA
3
R ??
回旋线参数 A的确定：
经验证明, 当 R在 100m左右时, 通常取 A＝ R；如
果 R小于 100m,则选择 A≥R。
在圆曲线半径较大时, R≥3000m,A<R/3。
（三）缓和曲线的省略
在直线和圆曲线间设置缓和曲线后, 圆曲线产生了
内移, 其位移值为 p，
?在 Ls一定的情况下,p与圆曲线半径成反比，当 R
大到一定程度时,p值将会很小。这时缓和曲线的
设置与否，线形上已经没有多大差异。
?一般认为当 p≤0.10时，即可忽略缓和曲线。如按 3s
行程计算缓和曲线长度时，若取 p=0.10，则不设缓
和曲线的临界半径为：
R24
Lsp 2?
22
2
h V289.0)2.1
V(
10.0
1
24
1
p24
LsR ???
（三）缓和曲线的省略
? 由上表可知，设缓和曲线的临界半径比不设超高的
最小半径小。考虑到缓和曲线还有完成超高和加宽的
作用，应按超高控制。
?,标准, 规定,当公路的平曲线半径小于不设超高的
最小半径时，应设缓和曲线。
? 四级公路可不设缓和曲线。
,规范, 规定可不设缓和曲线的情况：
?（ 1） 在直线和圆曲线间, 当圆曲线半径大于或等于
,标准, 规定的, 不设超高的最小半径, 时；
?（ 2） 半径不同的同向圆曲线间, 当小圆半径大于或
等于, 不设超高的最小半径, 时；
?（ 3） 小圆半径大于表 7.4.2中所列半径, 且符合下列
条件之一时：
,规范, 规定可不设缓和曲线的情况：
? ② 计算行车速度 ≥80km/h时, 大圆半径 （ R1） 与小
圆半径 (R2)之比小于 1.5。
? ③ 计算行车速度 <80km/h时, 大圆半径 （ R1） 与小
圆半径 (R2)之比小于 2。
?（ 1） 在直线和圆曲线间, 当圆曲线半径大于或等于
,标准, 规定的, 不设超高的最小半径, 时；
?（ 2） 半径不同的同向圆曲线间, 当小圆半径大于或
等于, 不设超高的最小半径, 时；
?（ 3） 小圆半径大于表 7.2.4中所列半径, 且符合下列
条件之一时：
? ① 小圆曲线按规定设置相当于最小回旋线长的回
旋线时, 其大圆与小圆的内移值之差不超过 0.10m。
作业题：
已知平原区某二级公路有一弯道，偏角 α右
=13° 38′42″，半径 R=800m,JD=K5+136.53。计
算确定缓和曲线长度及曲线主点里程桩号。
（一）三次抛物线
三次抛物线的方程式：
x
Cr ?
?三次抛物线上各点的直
角坐标方程式：
? x=l
C
xy
6
3
?
三、其它形式的缓和曲线
（ 二 ） 双纽线
双纽线方程式：
?双纽线的极角为 45° 时,
曲线半径最小 。 此后半径
增大至原点, 全程转角达
到 270° 。
a
Cr ?
回旋曲线、三次抛物线和双纽线线形比较：
回旋曲线、三次抛物线和双纽线在极角较小
（ 5° ～ 6° ）时，几乎没有差别。
随着极角的增加，三次抛物线的长度比双纽线的长
度增加的较快，而双纽线的长度又比回旋线的长度
增加得快些。
回旋线的半径减小得最快，而三次抛物线则减小的
最慢。从保证汽车平顺过渡的角度看，三种曲线都
可以作为缓和曲线。
此外，也有使用 n次（ n≥3）抛物线、正弦形曲线、
多圆弧曲线作为缓和曲线的。但世界各国使用回旋
曲线居多，我国, 标准, 推荐的缓和曲线也是回旋
线。
四、缓和曲线的长度及参数
（ 一 ） 缓和曲线的最小长度,
1,旅客感觉舒适,
汽车行驶在缓和曲线上, 其离心加速度将随着缓和
曲线曲率的变化而变化, 若变化过快, 将会使旅客
有不舒适的感觉 。
离心加速度的变化率 as：
Rt
v
t
aa 2
s ??
?在等速行驶的情况下：
v
Lst ?
R L s
V0 2 1 4.0
R L s
va 33
s ??
?满足乘车舒适感的缓和曲线最小长度,
Ra
V0214.0Ls
s
3
m in ?
?我国公路计算规范一般建议 as≤0.6
R
V036.0Ls 3
m in ?
2．超高渐变率适中
由于缓和曲线上设有超高缓和段, 如果缓和段太短,
则会因路面急剧地由双坡变为单坡而形成一种扭曲
的面, 对行车和路容均不利 。
,规范, 规定了适中的超高渐变率, 由此可导出计
算缓和段最小长度的公式：
?式中,B—— 旋转轴至行车道 （ 设路缘带时为路缘带 ）
外侧边缘的宽度；
? Δi—— 超高坡度与路拱坡度代数差 （ %） ；
? p —— 超高渐变率，即旋转轴线与行车道外侧
边缘线之间的相对坡度。
p
BLs i
m in
??
3．行驶时间不过短
缓和曲线不管其参数如何, 都不可使车辆在缓和曲
线上的行驶时间过短而使司机驾驶操纵过于匆忙 。
一般认为 汽车在缓和曲线上的行驶时间至少应有 3s
?,标准, 按行驶时间不小于 3s的要求制定了各级公路
缓和曲线最小长度 。
?,城规, 制定了城市道路的最小缓和曲线长度, 如表
3-7。
2.1
VLs
m in ?
（二）回旋曲线参数的确定
在一般情况下, 特别是当圆曲线半径较大时, 车速
较高时, 应该使用更长的缓和曲线 。
回旋线参数表达式,A2 = R·Ls
从视觉条件要求确定 A：
考察司机的视觉, 当回旋曲线很短, 其回旋线切线
角 （ 或称缓和曲线角 ） β在 3° 左右时, 曲线极不明
显, 在视觉上容易被忽略 。
回旋线过长 β大于 29° 时, 圆曲线与回旋线不能很
好协调 。
适宜的缓和曲线角是 β=3° ～ 29° 。
由 β0=3° ～ 29° 推导出合适的 A值：
将 β0=3° 和 β0=29° 分别代入上式, 则 A的取值范围
为：
R
Ls6 4 7 9.28
0 ?? 6479.28
RLs 0??
6 4 7 9.28
RR L sA 0???
RA
3
R ??
回旋线参数 A的确定：
经验证明, 当 R在 100m左右时, 通常取 A＝ R；如
果 R小于 100m,则选择 A≥R。
在圆曲线半径较大时, R≥3000m,A<R/3。
（三）缓和曲线的省略
在直线和圆曲线间设置缓和曲线后, 圆曲线产生了
内移, 其位移值为 p，
?在 Ls一定的情况下,p与圆曲线半径成反比，当 R
大到一定程度时,p值将会很小。这时缓和曲线的
设置与否，线形上已经没有多大差异。
?一般认为当 p≤0.10时，即可忽略缓和曲线。如按 3s
行程计算缓和曲线长度时，若取 p=0.10，则不设缓
和曲线的临界半径为：
R24
Lsp 2?
22
2
h V289.0)2.1
V(
10.0
1
24
1
p24
LsR ???
（三）缓和曲线的省略
? 由上表可知，设缓和曲线的临界半径比不设超高的
最小半径小。考虑到缓和曲线还有完成超高和加宽的
作用，应按超高控制。
?,标准, 规定,当公路的平曲线半径小于不设超高的
最小半径时，应设缓和曲线。
? 四级公路可不设缓和曲线。
,规范, 规定可不设缓和曲线的情况：
?（ 1） 在直线和圆曲线间, 当圆曲线半径大于或等于
,标准, 规定的, 不设超高的最小半径, 时；
?（ 2） 半径不同的同向圆曲线间, 当小圆半径大于或
等于, 不设超高的最小半径, 时；
?（ 3） 小圆半径大于表 7.4.2中所列半径, 且符合下列
条件之一时：
,规范, 规定可不设缓和曲线的情况：
? ② 计算行车速度 ≥80km/h时, 大圆半径 （ R1） 与小
圆半径 (R2)之比小于 1.5。
? ③ 计算行车速度 <80km/h时, 大圆半径 （ R1） 与小
圆半径 (R2)之比小于 2。
?（ 1） 在直线和圆曲线间, 当圆曲线半径大于或等于
,标准, 规定的, 不设超高的最小半径, 时；
?（ 2） 半径不同的同向圆曲线间, 当小圆半径大于或
等于, 不设超高的最小半径, 时；
?（ 3） 小圆半径大于表 7.2.4中所列半径, 且符合下列
条件之一时：
? ① 小圆曲线按规定设置相当于最小回旋线长的回
旋线时, 其大圆与小圆的内移值之差不超过 0.10m。
作业题：
已知平原区某二级公路有一弯道，偏角 α右
=13° 38′42″，半径 R=800m,JD=K5+136.53。计
算确定缓和曲线长度及曲线主点里程桩号。
