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? 一、缓和曲线的作用与性质
? （ 一 ） 缓和曲线的作用
? 1,曲率连续变化, 便于车辆行驶
? 2,离心加速度逐渐变化, 旅客感觉舒适
? 3,超高横坡度逐渐变化, 行车更加平稳
? 4,与圆曲线配合得当, 增加线形美观
第四节 缓和曲线
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φ
? 汽车等速行驶, 司机匀速转动方向盘 时, 汽车的行
驶轨迹,
? 当方向盘转动角度为 ?时, 前轮相应转动角度为 ?，
它们之间的关系为,?=k? ；
（ 二 ） 缓和曲线的性质
?其中, ?是在 t时间后方向
盘转动的角度, ?=?t ；
? 汽车前轮的转向角为
? ?=kωt (rad)
?轨迹曲率半径：
tg φ
dr ?
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?设汽车前后轮轴距为 d,前轮转动 ?后, 汽车的行
驶轨迹曲线半径为
tk
dd
tg φ
dr
??
???
?汽车以 v（ m／ s） 等速行驶, 经时间 t以后, 其行驶
距离 （ 弧长 ） 为 l：
? l=vt (m)
rωk
dt ?
r
1.
ωk
vd
rωk
vdl ??
k ω
vdC ?
r
Cl ?
?汽车匀速从直线进入圆曲线（或相反）其行驶轨迹的
弧长与曲线的曲率半径之乘积为一常数，这一性质与
数学上的回旋线正好相符。
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二, 回旋线作为缓和曲线
? （一）回旋线的数学表达式
? 回旋线是公路路线设计中最常用的一种缓和曲线 。
我国, 标准, 规定缓和曲线采用回旋线 。
?回旋线的基本公式为：
? rl=A2 (rl=C) —— 极坐标方程式
?式中,r—— 回旋线上某点的曲率半径 （ m） ；
? l—— 回旋线上某点到原点的曲线长 （ m） ；
? A—— 回旋线的参数 。 A表征回旋线曲率变化的
缓急程度 。
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1,回旋线的参数值 A的确定：
? 回旋线的应用范围：
R L sA ?
O
Ls
Y
X
? 缓和曲线起点：回旋线的起点, l=0,r=∞；
? 缓和曲线终点：回旋线某一点, l＝ Ls,r＝ R。
? 则 RLs=A2,即回旋线的参数值为：
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直线 直线圆曲线缓和曲线 缓和曲线
1,回旋线的参数值 A的确定：
? 回旋线的应用范围：
R L sA ?
? 缓和曲线起点：回旋线的起点, l=0,r=∞；
? 缓和曲线终点：回旋线某一点, l＝ Ls,r＝ R。
? 则 RLs=A2,即回旋线的参数值为：
?缓和曲线的曲率变化：
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回旋线起点切线o
?由微分方程推导回旋
线的直角坐标方程：
?以 rl=A2代入得：
?回旋线微分方程为：
? dl = r ·d?
? dx = dl ·cos?
? dy = dl ·sin?
d β
l
Adl ?? 2
?或 l·dl = A2·dβ
2,回旋线的数学表达式：
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? 当 l=0时, ?=0。
? 对 l·dl=A2·d?积分得：
?式中,?——回旋线上任一点的半径方向与 Y轴的夹
角 。
? 对回旋线微分方程组中的 dx,dy积分时, 可
把 cos?,sin?用泰勒级数展开, 然后用代入 β 表
达式, 再进行积分 。
2
2
2
2
2,2 A
lAl ????
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? dx,dy的展开：
dlβdx ?? c o s dl)
!6!4!21(
642
?????????
dlAlAlAl ])2(7 2 01)2(241)2(21-1[ 62
2
4
2
2
2
2
2
?????
dlAlAlAl )6472038481( 12
12
8
8
4
4
???????
dl( βdlβdy )!7!5!3s i n
753
???????????
dl
A
l
A
l
A
l
A
l
])
2
(
5040
1
)
2
(
120
1
)
2
(
6
1
-
2
[ 7
2
2
5
2
2
3
2
2
2
2
?????
dlAlAlAlAl )1 2 85 0 4 03 8 4 0482( 14
14
10
10
4
6
2
2
???????
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对 dx,dy分别进行积分：
dldxx ??? ? ? c o s
dlAlAl )38481( 8
8
4
4
????? ?
????? 8
9
4
5
3 4 5 640 A
l
A
ll
dldyy ??? ?? s in
dlAlAlAl )3840482( 10
10
4
6
2
2
????? ?
????? 10
11
6
7
2
3
4 2 2 4 03 3 66 A
l
A
l
A
l
4
5
401 A
l??
6
7
2
3
3 3 66 A
l
A
l ??
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?在回旋线终点处, l = Ls,r = R,A2 = RLs
回旋线终点坐标计算公式：
????? 8
9
4
5
A3456
Ls
A40
LsLsX
????? 4
5
2
3
R3 4 5 6
Ls
R40
LsLs
????? 10
11
6
7
2
3
A4 2 2 4 0
Ls
A3 3 6
Ls
A6
LsY
????? 5
6
3
42
R4 2 2 4 0
Ls
R3 3 6
Ls
R6
Ls
2
3
R40
LsLs ??
3
42
R3 3 6
Ls
R6
Ls ??
?回旋线终点的半径方向与 Y轴夹角 β0计算公式,
R2
Ls
A2
Ls
20 ???
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?1,各要素的计算公式
?基本公式,r·l=A2，
?（ 二 ） 回旋线的几何要素
?任意点 P处的曲率半径：
2
2
2 A
l??
?
?
?
??
22
2 Al
l
Ar
?P点的回旋线长度：
????? rArAl 22
2
?P点的半径方向与 Y轴的夹角
2
2
2
2
222 r
A
r
l
A
l ????
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? p = y + rcosβ -
r
? P点曲率圆圆心 M点
的坐标：
? xm = x – rsinβ
? ym = r + p
? P点的弦长：
? P点曲率圆的内移值：
?? s in
ya
?P点弦偏角：
)r a d(3xya r c t g ????
p
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? 道路平面线形三要素的基本组成是：直线 -回旋线
-圆曲线 -回旋线 -直线 。
? (1)几何元素的计算公式：
2,有缓和曲线的道路平曲线几何元素：
)(
2 3 8 424
)c o s1(
3
42
m
R
Ls
R
Ls
RYp
??
??? ?
2
3
0
2 4 02
c o s
R
LsLs
RXq
??
?? ?
度）(6 4 7 9.2822 20 RLsRLsALs ????
?回旋线终点处内移值：
?回旋线终点处曲率圆圆心 x坐标,
?回旋线终点处 半径方向与 Y轴的夹角,
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?(1)几何元素的计算公式：
)m(q2tg)pR(T ????
?切线长：
?曲线长：
)m(LsR
180
)m(Ls2R
180
)2(L 0
??
?
?
?
?
????
?外距：
)m(R2s e c)pR(E ????
?校正值,J = 2T - L
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?(2)主点里程桩号计算方法,
?以交点里程桩号
为起算点：
?ZH = JD – T
?HY = ZH + Ls
?QZ = ZH + L/2
?YH = HZ – Ls
?HZ = ZH + L
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?① 用切线支距法敷设回旋线公式：
? l—— 回旋线上任意点 m至缓和曲线终点的
弧长 （ m） 。
?（ 3） 切线支距法敷设曲线计算方法：
22
5
4
5
401401 SLR
l
A
lx ????
33
73
6
7
2
3
33663366 SS LR
l
RL
l
A
l
A
ly ????
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n
β
O
M
α n
YH
HY
HZ
ZH
β δ
φ
y
x
q
p
R
R si n φ
R
(1
-c
o
sφ
)
0
0
?② 切线支距法敷设带有回旋线的圆曲线公式：
? x=q+Rsin?m (m)
? y=p+R(1-cos?m) (m)
?式中：
)()2(6479.280 ???????? R Lsl mmm
? lm—— 圆曲线上任
意点 m至缓和曲线终点
的弧长 （ m） ；
? αm—— lm 所 对 应 的
圆心角 （ rad） 。
R
lm
m ??
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（三）回旋线的相似性
? 回旋线的曲率是连续变化的, 而且其曲率的变化
与曲线长度的变化呈线性关系 。
? 可以认为回旋线的形状只有一种, 只需改变参数 A
就能得到不同大小的回旋曲线 。
? A相当于回旋线的放大系数, 回旋线的这种相似性
对于简化其几何要素的计算和编制曲线表很有用
处 。
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例题：
? 已 知 平 原 区 某 二 级 公 路 有 一 弯 道, 偏角 α 右
=15° 28′ 30″, 半径 R=600m,缓和曲线长度 Ls=70m，
JD=K2+536.48。
? 要求,（ 1） 计算曲线主点里程桩号；
? （ 2） 计算曲线上每隔 25m整桩号切线支距值 。
? 解,（ 1） 曲线要素计算：
340.025024 7024
22
???? RLsp
996.34250240 702702402 2
3
2
3
?????? RLsLsq
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56 5.11 699 6.34228 30.15)34 0.025 0(2)( ??????? tgqtgpRT ?
0 54.2 32702 502 83 0.151 801 80 ??????? ??? LsRL
865.52502s e c)340.0250(2s e c)( ??????? ?? RpRE
J=2T-L=2× 116.565-232.054=1.077
? （ 1） 曲线要素计算：
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?（ 2） 主点里程桩号计算,
?以交点里程桩号为起算点,JD = K2+536.48
?ZH = JD – T =K2+536.48 - 116.565 = K2+419.915
?HY = ZH + Ls = K2+419.915 +70 = K2+489.915
?QZ = ZH + L/2= K2+419.915+232.054/2 =K2+535.942
?HZ = ZH + L = K2+419.915 +232.054 =K2+651.969
?YH = HZ – Ls = K2+651.97 –70=K2+581.969
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（ 3）计算曲线上每隔 25m整桩号的切线支距值：
? 列表计算曲线 25m整桩号,ZH= K2+419.915
? K2+425 K2+450 K2+475 K2+500 …
平曲线切线支距计算表
桩 号
计算切线支距
l 缓和曲线 圆曲线x
S yS φ m(° ) xC yC
ZH+419.915 0 0 0
K2+425 5.085 5.085 0.000
K2+450 30.085 30.085 0.108
……
HY+489.915 70 69.976 1.361
K2+500 10.085 4.3053 80.038 2.033
K2+525 35.085 6.6926 104.922 4.428
……
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计算切线支距值：
? （ 1） LCZ=K2+425（缓和曲线段）,ZH=K2+419.915
? l=2425-2419.915=5.085
085.57025040 085.51401401 2222
5
4
5
?????????
SLR
l
A
lx
000.0702506 085.566
33
2
3
??????
SRL
l
A
ly
? （ 2） LCZ=K2+500, HY=K2+489.915 （圆曲线段）
? lm=2500-2489.915=10.085
? x=q+Rsin?m =34.996+250sin4.3053=80.038(m)
? y=p+R(1-cos?m)=0.34+250（ 1-cos4.3053） =2.033(m)
????????? 30 53.4)25 0 7008 5.102(94 79.28)2(64 79.280 R Lsl mmm ???
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作业：
? 1,用级数展开法计算 p,q的表达式 。
? 2,已知平原区某一级公路有一弯道, 偏角 α左
=16° 36′42″,半径 R=1000m,JD=K7+153.63。
? 要求,（ 1） 计算曲线主点里程桩号；
? （ 2） 计算曲线上每隔 25m整桩号的切线支
距值 （ 列表计算 ） 。
? 一、缓和曲线的作用与性质
? （ 一 ） 缓和曲线的作用
? 1,曲率连续变化, 便于车辆行驶
? 2,离心加速度逐渐变化, 旅客感觉舒适
? 3,超高横坡度逐渐变化, 行车更加平稳
? 4,与圆曲线配合得当, 增加线形美观
第四节 缓和曲线
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φ
? 汽车等速行驶, 司机匀速转动方向盘 时, 汽车的行
驶轨迹,
? 当方向盘转动角度为 ?时, 前轮相应转动角度为 ?，
它们之间的关系为,?=k? ；
（ 二 ） 缓和曲线的性质
?其中, ?是在 t时间后方向
盘转动的角度, ?=?t ；
? 汽车前轮的转向角为
? ?=kωt (rad)
?轨迹曲率半径：
tg φ
dr ?
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?设汽车前后轮轴距为 d,前轮转动 ?后, 汽车的行
驶轨迹曲线半径为
tk
dd
tg φ
dr
??
???
?汽车以 v（ m／ s） 等速行驶, 经时间 t以后, 其行驶
距离 （ 弧长 ） 为 l：
? l=vt (m)
rωk
dt ?
r
1.
ωk
vd
rωk
vdl ??
k ω
vdC ?
r
Cl ?
?汽车匀速从直线进入圆曲线（或相反）其行驶轨迹的
弧长与曲线的曲率半径之乘积为一常数，这一性质与
数学上的回旋线正好相符。
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二, 回旋线作为缓和曲线
? （一）回旋线的数学表达式
? 回旋线是公路路线设计中最常用的一种缓和曲线 。
我国, 标准, 规定缓和曲线采用回旋线 。
?回旋线的基本公式为：
? rl=A2 (rl=C) —— 极坐标方程式
?式中,r—— 回旋线上某点的曲率半径 （ m） ；
? l—— 回旋线上某点到原点的曲线长 （ m） ；
? A—— 回旋线的参数 。 A表征回旋线曲率变化的
缓急程度 。
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1,回旋线的参数值 A的确定：
? 回旋线的应用范围：
R L sA ?
O
Ls
Y
X
? 缓和曲线起点：回旋线的起点, l=0,r=∞；
? 缓和曲线终点：回旋线某一点, l＝ Ls,r＝ R。
? 则 RLs=A2,即回旋线的参数值为：
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直线 直线圆曲线缓和曲线 缓和曲线
1,回旋线的参数值 A的确定：
? 回旋线的应用范围：
R L sA ?
? 缓和曲线起点：回旋线的起点, l=0,r=∞；
? 缓和曲线终点：回旋线某一点, l＝ Ls,r＝ R。
? 则 RLs=A2,即回旋线的参数值为：
?缓和曲线的曲率变化：
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回旋线起点切线o
?由微分方程推导回旋
线的直角坐标方程：
?以 rl=A2代入得：
?回旋线微分方程为：
? dl = r ·d?
? dx = dl ·cos?
? dy = dl ·sin?
d β
l
Adl ?? 2
?或 l·dl = A2·dβ
2,回旋线的数学表达式：
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? 当 l=0时, ?=0。
? 对 l·dl=A2·d?积分得：
?式中,?——回旋线上任一点的半径方向与 Y轴的夹
角 。
? 对回旋线微分方程组中的 dx,dy积分时, 可
把 cos?,sin?用泰勒级数展开, 然后用代入 β 表
达式, 再进行积分 。
2
2
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2
2,2 A
lAl ????
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? dx,dy的展开：
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对 dx,dy分别进行积分：
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3 3 66 A
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?在回旋线终点处, l = Ls,r = R,A2 = RLs
回旋线终点坐标计算公式：
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Ls
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LsLsX
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R3 3 6
Ls
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?回旋线终点的半径方向与 Y轴夹角 β0计算公式,
R2
Ls
A2
Ls
20 ???
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?1,各要素的计算公式
?基本公式,r·l=A2，
?（ 二 ） 回旋线的几何要素
?任意点 P处的曲率半径：
2
2
2 A
l??
?
?
?
??
22
2 Al
l
Ar
?P点的回旋线长度：
????? rArAl 22
2
?P点的半径方向与 Y轴的夹角
2
2
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222 r
A
r
l
A
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? p = y + rcosβ -
r
? P点曲率圆圆心 M点
的坐标：
? xm = x – rsinβ
? ym = r + p
? P点的弦长：
? P点曲率圆的内移值：
?? s in
ya
?P点弦偏角：
)r a d(3xya r c t g ????
p
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? 道路平面线形三要素的基本组成是：直线 -回旋线
-圆曲线 -回旋线 -直线 。
? (1)几何元素的计算公式：
2,有缓和曲线的道路平曲线几何元素：
)(
2 3 8 424
)c o s1(
3
42
m
R
Ls
R
Ls
RYp
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??? ?
2
3
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2 4 02
c o s
R
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度）(6 4 7 9.2822 20 RLsRLsALs ????
?回旋线终点处内移值：
?回旋线终点处曲率圆圆心 x坐标,
?回旋线终点处 半径方向与 Y轴的夹角,
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?(1)几何元素的计算公式：
)m(q2tg)pR(T ????
?切线长：
?曲线长：
)m(LsR
180
)m(Ls2R
180
)2(L 0
??
?
?
?
?
????
?外距：
)m(R2s e c)pR(E ????
?校正值,J = 2T - L
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?(2)主点里程桩号计算方法,
?以交点里程桩号
为起算点：
?ZH = JD – T
?HY = ZH + Ls
?QZ = ZH + L/2
?YH = HZ – Ls
?HZ = ZH + L
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?① 用切线支距法敷设回旋线公式：
? l—— 回旋线上任意点 m至缓和曲线终点的
弧长 （ m） 。
?（ 3） 切线支距法敷设曲线计算方法：
22
5
4
5
401401 SLR
l
A
lx ????
33
73
6
7
2
3
33663366 SS LR
l
RL
l
A
l
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n
β
O
M
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HZ
ZH
β δ
φ
y
x
q
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R
R si n φ
R
(1
-c
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sφ
)
0
0
?② 切线支距法敷设带有回旋线的圆曲线公式：
? x=q+Rsin?m (m)
? y=p+R(1-cos?m) (m)
?式中：
)()2(6479.280 ???????? R Lsl mmm
? lm—— 圆曲线上任
意点 m至缓和曲线终点
的弧长 （ m） ；
? αm—— lm 所 对 应 的
圆心角 （ rad） 。
R
lm
m ??
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（三）回旋线的相似性
? 回旋线的曲率是连续变化的, 而且其曲率的变化
与曲线长度的变化呈线性关系 。
? 可以认为回旋线的形状只有一种, 只需改变参数 A
就能得到不同大小的回旋曲线 。
? A相当于回旋线的放大系数, 回旋线的这种相似性
对于简化其几何要素的计算和编制曲线表很有用
处 。
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例题：
? 已 知 平 原 区 某 二 级 公 路 有 一 弯 道, 偏角 α 右
=15° 28′ 30″, 半径 R=600m,缓和曲线长度 Ls=70m，
JD=K2+536.48。
? 要求,（ 1） 计算曲线主点里程桩号；
? （ 2） 计算曲线上每隔 25m整桩号切线支距值 。
? 解,（ 1） 曲线要素计算：
340.025024 7024
22
???? RLsp
996.34250240 702702402 2
3
2
3
?????? RLsLsq
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56 5.11 699 6.34228 30.15)34 0.025 0(2)( ??????? tgqtgpRT ?
0 54.2 32702 502 83 0.151 801 80 ??????? ??? LsRL
865.52502s e c)340.0250(2s e c)( ??????? ?? RpRE
J=2T-L=2× 116.565-232.054=1.077
? （ 1） 曲线要素计算：
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?（ 2） 主点里程桩号计算,
?以交点里程桩号为起算点,JD = K2+536.48
?ZH = JD – T =K2+536.48 - 116.565 = K2+419.915
?HY = ZH + Ls = K2+419.915 +70 = K2+489.915
?QZ = ZH + L/2= K2+419.915+232.054/2 =K2+535.942
?HZ = ZH + L = K2+419.915 +232.054 =K2+651.969
?YH = HZ – Ls = K2+651.97 –70=K2+581.969
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（ 3）计算曲线上每隔 25m整桩号的切线支距值：
? 列表计算曲线 25m整桩号,ZH= K2+419.915
? K2+425 K2+450 K2+475 K2+500 …
平曲线切线支距计算表
桩 号
计算切线支距
l 缓和曲线 圆曲线x
S yS φ m(° ) xC yC
ZH+419.915 0 0 0
K2+425 5.085 5.085 0.000
K2+450 30.085 30.085 0.108
……
HY+489.915 70 69.976 1.361
K2+500 10.085 4.3053 80.038 2.033
K2+525 35.085 6.6926 104.922 4.428
……
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计算切线支距值：
? （ 1） LCZ=K2+425（缓和曲线段）,ZH=K2+419.915
? l=2425-2419.915=5.085
085.57025040 085.51401401 2222
5
4
5
?????????
SLR
l
A
lx
000.0702506 085.566
33
2
3
??????
SRL
l
A
ly
? （ 2） LCZ=K2+500, HY=K2+489.915 （圆曲线段）
? lm=2500-2489.915=10.085
? x=q+Rsin?m =34.996+250sin4.3053=80.038(m)
? y=p+R(1-cos?m)=0.34+250（ 1-cos4.3053） =2.033(m)
????????? 30 53.4)25 0 7008 5.102(94 79.28)2(64 79.280 R Lsl mmm ???
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作业：
? 1,用级数展开法计算 p,q的表达式 。
? 2,已知平原区某一级公路有一弯道, 偏角 α左
=16° 36′42″,半径 R=1000m,JD=K7+153.63。
? 要求,（ 1） 计算曲线主点里程桩号；
? （ 2） 计算曲线上每隔 25m整桩号的切线支
距值 （ 列表计算 ） 。
