第四章 受弯构件
d A
y
y
z
z
O
?
§ 4-1 截面的几何性质
d A
y
y
z
z
O
S y Az
A
? ? d,S z Ay A? ? d
定义为图形对 轴和 轴的静矩z y
y Ad
I y Az
A
? ? 2 d
d A
y
y
z
z
O
y A2 d
,I z Ay
A
? ? 2 d
定义为图形对 轴和 轴的惯性矩z y
I y z A
y z
yz
A
? ? d
定义为图形对, 轴的惯性积
d A
y
y
z
z
O
y z Ad
I A
O
p
A
? ? ?
2
d
定义为图形对 点的极惯性矩
d A
y
y
z
z
O
? 2 d A
?
一,静矩和形心
d A
y
y
z
z
O
S y Az
A
? ? d,S z Ay
A
? ? d
形心坐标,
y
y A
A
z
z A
A
C
A
C
A
? ?
? ?d d
,
C
y
y C
zC
z
O
静矩和形心坐标之间的关系,
y
S
A
z
S
A
C
z
C
y
?
?
C
y
y C
zC
z
O
S y A S z Az C y C? ?,
例：计算由抛物线,y轴和 z轴所围成的平面
图形对 y轴和 z轴的静矩，并确定图形的形心坐
标。
z h
y
b
? ?
?
?
?
?
?
?1
2
2
y
z
O
z h
y
b
? ?
?
?
?
?
?
?1
2
2
y d y
b
h
S
z
Ay
A
? ?
2
d
解,
S y Az
A
? ? d
? ?
?
?
?
?
?
??
1
2
1
0
2
2
2
2b
h
y
b
yd
? ?
?
?
?
?
?
?? y h
y
b
y
b
0
2
2
1 d
y
z
O
?
4
15
2bh
?
b h2
4
A A
A
? ? d
形心坐标为,
y
S
A
bh
bh
b
C
z
? ? ?
2
4
2
3
3
8
z
S
A
bh
bh
h
C
y
? ? ?
4
15
2
3
2
5
2
? ?
?
?
?
?
?
??
0
2
2
1
b
h
y
b
yd ?
2
3
bh
例：确定图示图形形心 C的位置。
解,
y
S
AC
z?
z
S
A
C
y
? ?
? ? ? ? ?
?
?
10 120 60 70 10 5
1200 700
39 7,mm
?
? ? ? ? ?
?
?
10 120 5 70 10 45
1200 700
19 7,mm
例：求图示阴影部分的面积对 y轴的静矩。
S b
h
a a
h a
y ? ?
?
?
?
?
?
? ? ?
?
?
?
?
?
?
2 4 2
解,
? ?
?
?
?
?
?
?
b h
a
2 4
2
2
二,惯性矩、极惯性矩和惯性积
1、惯性矩
I y A I z Az
A y A
? ?? ?2 2d d,
d A
y
y
z
z
O
工程中常把惯性矩表示为平面图形的面积与
某一长度平方的乘积，即
分别称为平面图形对 y轴和 z轴的惯性半径
i iy z、
I A iy y? 2 或 i
I
A
y
y
?
I A i i
I
A
z z z
z
? ?
2
或
I Ap
A
? ? ? 2 d
? ? 2 2 2? ?y z
? ? ?I I Ip y z
2、极惯性矩
d A
y
y
z
z
O
?
例：求图示矩形对对称轴 y,z的惯性矩。
解,
I z Ay
A
? ? 2 d
z
dz
?
?
? z b z
h
h
2
2
2
/
/
d ?
bh
3
12
例：求图示圆平面对 y,z轴的惯性矩。
I
d
p ?
?
4
32
I Iy z?
I I Iy z p? ?
3、惯性积
I y z Ayz
A
? ? d
d A
y
z
z
O y
如果所选的正交坐标轴中，有一个坐标轴
是对称轴，则平面图形对该对坐标轴的惯性积
必等于零。
I yz ? 0
z
y
d Ad A
几个主要定义,
(1)主惯性轴 当平面图形对某一对正交
坐标轴 y0,z0的惯性积 Iy0z0=0时，则坐标轴
y0,z0称为主惯性轴。
因此，具有一个或两个对称轴的正交坐标
轴一定是平面图形的主惯性轴。
(2)主惯性矩 平面图形对任一主惯性轴的
惯性矩称为主惯性矩。
(3)形心主惯性轴 过形心的主惯性轴称为
形心主惯性轴。
可以证明,任意平面图形必定存在一对相互垂直的形心主
惯性轴。
(4)形心主惯性矩 平面图形对任一形心主惯性轴的惯性
矩称为形心主惯性矩。
三,平行移轴公式
C
y
z
O
zc
yc
b
a
y
z
d A
yc
zc
y y a
z z b
c
c
? ?
? ?
I y A I z A I y z Az
A y A y z A
? ? ?? ? ?2 2d d d,,
I y A I z A I y z Az c
A y cA y z c cAc c c c
? ? ?? ? ?2 2d d d,,
y y a z z bc c? ? ? ?,
I y Az
A
? ? 2 d
? ?? ( )y a Ac
A
2 d
? ? ?? ? ?y A a y A a Ac
A cA A
2 22d d d
? ?I a Az c 2
C
y
z
O
zc
yc
b
a
I I a Az z
C
? ? 2
I I b A
I I a A
I I abA
y y
z z
yz y z
C
C
C C
? ?
? ?
? ?
2
2
平行移轴公式,
§ 4-2-1 平面弯曲的概念
当作用在杆件上的 载荷和支反力都垂
直于杆件轴线 时，杆件的轴线因变形由直线
变成了曲线，这种变形称为 弯曲变形 。
工程中以弯曲变形为主的杆件称为
§ 4-2 受弯构件的内力
纵向对称面,梁的轴线与横截面的对称轴所
构成的平面
CL7TU1
平面弯曲,当作用在梁上的载荷和支反力均
位于纵向对称面内时，梁的轴线由直线弯成
一条位于纵向对称面内的曲线。
§ 4-2-2 受弯构件的内力及计算
一、杆件的简化
用梁的轴线来代替实际的梁
折杆或曲杆用中心线代替
二、载荷的分类
1,集中载荷
2,分布载荷
3,集中力偶
三、支座的分类
根据支座对梁在载荷平面内的约束情况，
一般可以简化为三种基本形式,
1,固定铰支座 2,可动铰支座 3,固定端支座
CL7TU2
四、静定梁的基本形式
1.简支梁
2.外伸梁
3.悬臂梁
CL7TU3
五 剪力和弯矩的符号规定
CL7TU4
a b
l
x
P
A B
RA
R l P bA ? ? ?
RB
R
P b
l
A ?
R
P a
l
B ?
Q R
P b
l
A? ?
M R x
P b x
l
A? ?
?
a b
l
x
P
RA
RB
x
Q
?Q
M
?M P
A B
剪力 Q的符号规定,
弯矩 M的符号规定,
CL7TU5
左上右下为正
上压下拉 (上凹下凸 ) 为正
CL7TU6
例：求图示梁 1-1,2-2,3-3,4-4截面上的
剪力和弯矩。
解：由 得? ?M B 0R qaA ? 5
4
由 得? ?M A 0 R qa
B ?
7
4
Q R
qa
A1
5
4
? ?
M R a
qa
A1
25
4
? ? ?
Q R qa
qa
A2 4? ? ?
M 2 ?
Q 3 ?
M R a qa a
qa
A3
2
2
3
2
? ? ? ? ?
Q qa R
qa
B4
3
4
? ? ? ?,M
qa
4
25
4
?
§ 4-3 剪力图和弯矩图
4-3-1利用剪力方程和弯矩方程作梁的内力图
一、剪力方程和弯矩方程
二、剪力和弯矩作图规定
1、剪力作图规定：上正下负
2、弯矩作图规定：画在受拉侧（上负下正）
三、用截面法求指定截面内力
先计算左截面的内力，可取截面 1以左
隔离体进行分析。
P P
P
P
1.5a
M Z 1
N Z 1
Q Z 1
PNx Z ??? 10
PQPQy ZZ ??????? 11 00
PaMaPMM ZZ 5.105.10 111 ????????
M U 1
N U 1
Q U 1
2Pa
计算右截面的内力,也可取截面 1以左隔
离体进行分析。在这个隔离体上有集
中力矩 2Pa,三个未知力为,
PNx U ??? 10
PQPQy UU ??????? 11 00
PaM
aPPaMM
U
U
5.0
05.120
1
11
??
??????
P
2Pa
1
a
1.5a 1.5a
P
计算如图所示结构截面 1 的内力
P
P
1.5a
根据静力平衡条件求截面未知力,
a M
2
N 2
Q2
a
P
1.5a 1.5a
2Pa
P P
P
1 2
3
(a)
P
P
1.5a
(d)
1.5a
2 2Pa
P
N 2
M 2
Q2,
,
,
2
2
2
PaM
PQ
PN
??
??
?
N 3
P
a
P
Q3 M 3
现取截面 2 左边的隔离体进行
分析，根据三个平衡条件就可得出
截面 2 上的三个未知力,
此时应取截面 3 以上的隔离体进行
分析比较简单。,
,
,0
3
3
3
PaM
PQ
N
?
?
?
计算截面 2 的内力
也可取截面 2 右边隔离体计算
计算截面 3 的内力
4-3-1,荷载、内力之间的关系 （平衡条件的几种表达方式）
q(x)
d x
Q
Q+d Q
M
M+d M
（ 1）微分关系
qdxdQ ??
Q
dx
dM ?
q
dx
Md ??
2
2
q
d x
（ 2）增量关系
Q
Q+? Q
M
M+? M
d x
P
m
PQ ???
mM ??
（ 3）积分关系
q(x)
QA Q
B
MA M
B
由 d Q = – q·d x
? ??? BAxxAB dxxqQQ )(
由 d M = Q·d x
? ??? BAxxAB dxxQMM )(
水平杆件下侧
受拉为正；
竖向杆件右侧
受拉为正。
q x( )
Q x( ) Q x Q x( ) ( )? d
M x( ) M x M x( ) ( )? d
? ?
d ( )
d
( )
Q x
x
q x
M x M x M x Q x x q x dx( ) ( ) ( ) ( ) ( )? ? ? ? ?d d
1
2
02
Q x Q x Q x q x x( ) ( ) ( ) ( )? ? ?d d
d ( )
d
( )
M x
x
Q x?
载荷集度、剪力和弯矩的微分关系,
d ( )
d
( )
Q x
x
q x?
d ( )
d
( )
M x
x
Q x?
d ( )
d
d ( )
d
( )
2
2
M x
x
Q x
x
q x? ?
几种典型弯矩图和剪力图
l /2 l /2
m
l /2 l /2
P
l
q
2P
2P
lm
2ql
2ql
4Pl
2m
2m 82ql
1、集中荷载作用点
M图有一夹角，荷载向
下夹角亦向下；
Q 图有一突变，荷载
向下突变亦向下。
2、集中力矩作用点
M图有一突变，力矩
为顺时针向下突变；
Q 图没有变化。
3、均布荷载作用段
M图为抛物线，荷载向
下曲线亦向下凸；
Q 图为斜直线，荷载向
下直线由左向右下斜
§ 4-3-2 分段叠加法作弯矩图
?AY ?BY
MA MB q
M?
+
q P
A B
q MB
NA
YA YB
NB
MA
MA MB
?AY ?BY
q
MB
MA
?MMM ??
M
M?
MB M
A
MA MB M
M?
M
分段叠加法的理论依据,
假定,在外荷载作用下，结构
构件材料均处于线弹性阶段。
A
B
O
?
?
图中,OA段即为线弹性阶段
AB段为非线性弹性阶段
3m 3m
4kN 4kN·m
4kN·m
4kN·m
2kN·m
4kN·m
6kN·m
3m 3m
8kN·m 2kN/m
4kN·m
2kN·m
4kN·m
4kN·m
6kN·m 4kN·m
2kN·m
（ 1）集中荷载作用下
（ 2）集中力偶作用下
（ 3）叠加得弯矩图
（ 1）悬臂段分布荷载作用下
（ 2）跨中集中力偶作用下
（ 3）叠加得弯矩图
分段叠加法作弯矩图的方法,
（ 1）选定外力的不连续点（集中力作用点、集中力偶作用点、分布荷载的
始点和终点）为控制截面，首先计算控制截面的弯矩值；
（ 2）分段求作弯矩图。当控制截面间无荷载时，弯矩图为连接控制截面弯
矩值的直线；当控制截面间存在荷载时，弯矩图应在控制截面弯矩值作出的
直线上在叠加该段简支梁作用荷载时产生的弯矩值。
1m 1m 2m 2m 1m 1m
q=4 kN/m
A B
C
P=8kN m=16kN.m
D E F G
例：利用叠加法求作图示梁结构的内力图。
[分析 ] 该梁为简支梁，弯矩控制截
面为,C,D,F,G
叠加法求作弯矩图的关键是
计算控制截面位置的弯矩值
解,（ 1）先计算支座反力
17?AR kN 7?BR kN （ 2）求控制截面弯矩值
取 AC部分为隔离体，可计算得,
取 GB部分为隔离体，可计算得,
17117 ???CM kN
717 ???rGM kN
1m 1m 2m 2m 1m 1m
q=4 kN/m
A B
C
P=8kN m=16kN.m
D E F G
A B C D E F G
A B
C D
E F G
17
A C
lCQ
CM
17
17
?
?
C
l
C
M
Q
17
13
P=8kN
A D
m=16kN.m G B
4
26
7
G B
GQ
rGM
7
7
?
??
r
G
G
M
Q
7
8
23
15
30 8
M图（ kN.m）
17
9
7
+
_
Q图（ kN）
掌握：表 6-1 内力图绘制的规律性总结
P
m
q=常数
q=0
无外力梁段
dFs（ x）
dx = q(x)=0
dM（ x）
dx = Fs(x),斜直线
Q>0 ； Q<0
梁上外力情况 剪 力 图（ Q图） 弯 矩 图（ M图）
dFs（ x）
dx = q＜ 0
dFs（ x）
dx = q＞ 0
d2M（ x）
dx2 = q(x)=const,抛物线
q>0 q<0
Q(x)=0处,M取极值
P力作用处 Fs有突变，突变值为
P
P
P力作用处 M会有转折
m 作用处 Fs无变化 m作用处,M突变，突变量为 m m
[例 ]外伸梁如图所示，已知 q=5kN/m,P=15kN，试画出该梁的
内力图。
YD Y
B 2m 2m 2m
D B C A
P q
10kN
5kN
10kN
（ -） （ -）
（ +）
Q 图
M 图
RB=(15*2+5*2*5)/4
=20kN
RD=(15*2-5*2*1)/4
=5kN
10kN·m
10kN·m
§ 4-4 梁的应力与强度计算
从三方面考虑,
1、变形几何关系
用较易变形的材料制成的矩形截面等直梁
作纯弯曲试验,
变形几何关系
物理关系
静力学关系
一、梁的正应力
CL8TU3
a a
b b
m n
m n
m m
m m
观察到以下变形现象,
(1)aa,bb弯成弧线,aa缩短,bb伸长
(2)mm,nn变形后仍保持为直线，且仍与变
为 弧线的 aa,bb垂直
(3)矩形截面的宽度变形后上宽下窄
梁在纯弯曲时的 平面假设,
梁的各个横截面在变形后仍保持为平面，
并仍垂直于变形后的轴线，只是横截面绕某一
轴旋转了一个角度。
再作单向受力假设：假设各纵向纤维之间
互不挤压。于是各纵向纤维均处于单向受拉或
受压的状态。
推论,
梁在弯曲变形时，上面部分纵向纤维缩短，
下面部分纵向纤维伸长，必有一层纵向纤维既
不伸长也不缩短,保持原来的长度，这一纵向纤
维层称为 中性层 。
中性层与横截面的交线称为 中性轴
中性层
中性轴
中性层
CL8TU3-1
?
? ? ? ?
? ?
?
? ?( )y d d
d
CL8TU3-2 y
z
dx
y
d?
y
?
?
y
?
2、物理关系
? ?? E
? E
y
?
3、静力学关系
? dA
N Ax
A
? ? ? d
M z Ay
A
? ?? ? d
M y Az
A
? ?? ? d
? 0
? 0
? M
N Ax
A
? ?? ? d 0 ? ?? E
y
A
A
?
d 0 ? ?? y A
A
d 0
S z ? 0 中性轴过形心
M z Ay
A
? ? ?? ? d 0? ? ?? z E
y
A
A
?
d 0
? ?I yz 0
M y A Mz
A
? ? ?? ? d ? ? ?? y E
y
A M
A
?
d
1
?
?
M
EI z
1
?
?
M
EI z
? ?
M y
I z
中性轴过截面形心
中性层的曲率公式,
正应力计算公式,
横截面上的最大正应力,
? t
Z
M y
I
? 1
y y y1 2? ? m a x
CL8TU4
当中性轴是横截面的对称轴时,
,? c
Z
M y
I
? 2
? ? ?t c? ? m a x
?
M
W Z
? m a x
m a x
?
M y
I Z
Wz 称为抗弯截面模量
W
I
y
z
z
?
m a x
CL8TU5
I
b h
Z ?
3
12
I
d
Z ?
?
4
64
I
D d D
Z ?
?
? ?
? ?
?
( )
( )
4 4 4
4
64 64
1
CL8TU6
,W
b h
Z ?
2
6
,W
d
Z ?
?
3
32
W
D
Z ? ?
?
?
3
4
32
1( )
§ 4.4 正应力强度计算
上式是在 平面假设 和 单向受力假设 的基础上推导的，
实验证明在纯弯曲情况下这是正确的。
对于横力弯曲，由于剪力的存在，横截面产生剪切变
形，使横截面发生翘曲，不再保持为平面。
? ?
M y
I z
一、梁的正应力强度计算
弹性力学精确分析结果指出：当梁的跨度大于
梁的横截面高度 5倍 (即 l>5h)时，剪应力和挤
压应力对弯曲正应力的影响甚小，可以忽略不
计。因此由纯弯曲梁导出的正应力计算公式，
仍可以应用于横力弯曲的梁中。
二、梁的正应力强度条件
利用上式可以进行三方面的强度计算,
①已知外力、截面形状尺寸、许用应力，校核
梁的强度
②已知外力、截面形状、许用应力，设计梁的
截面尺寸
③已知截面形状尺寸、许用应力，求许可载荷
? ?m a x
m a x
[ ]? ?
M
W Z
例：两矩形截面梁，尺寸和材料的许用应力均
相等，但放置如图 (a),(b)。按弯曲正应力强
度条件确定两者许可载荷之比 P1／ P2＝？
CL8TU7
l
解,
?
m a x
m a x
1
1
1
1
2
6
? ?
M
W
P l
bhz
?
m a x
m a x
2
2
2
2
2
6
? ?
M
W
P l
hbz
由 得? ? ?m a x m a x [ ],1 2? ?
P
P
h
b
1
2
?
§ 4-4-2 弯曲剪应力和强度校核
一、矩形截面梁的剪应力
CL8TU16
q x( ) P
b
h
x dx
q x( )
M x( ) M x M x( ) ( )? d
? ?
M y
I z
z
y
假设,的方向都与 平行1 ) ? Q
y;
)2 ? 沿宽度均布。
?
?
NI NII
N A
A
I d? ? ?
*
N A
M M y
I
A
M M
I
y A
M M
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S
A zA z A z
zII d
d
d
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* * *
( ) *
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*
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*
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M M
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M
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z
z
z
z
?
? ? ?
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d
* *
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S
I b
M
x
z
z
*
d
d
?
Q S
I b
z
z
*
N N b xII I d? ? ??
NI NII
?
式中 I
b h
Z ?
3
12
,S
b h
yZ
*
? ?
?
?
?
?
?
?
2 4
2
2
? ? ?
?
?
?
?
?
?
6
43
2
2Q
bh
h
y
? m a x ? ?
3
2
3
2
Q
bh
Q
A
? m a x
z
b
h
二,工字形截面梁的剪应力
腹板
CL8TU17
翼缘
在腹板上,
b
B
h H
y
在翼缘上，有平行于 Q的剪应力分量，分
布情况较复杂，但数量很小，并无实际意义，
可忽略不计。
在翼缘上，还有垂直于 Q方向的剪应力分
量，它与腹板上的剪应力比较，一般来说也是
次要的。
腹板负担了截面上的绝大部分剪力，翼
缘负担了截面上的大部分弯矩。
?
m a x
m a x
*
m a x
*
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
Q S
I b
Q
b
I
S
Z
Z
Z
Z
对于标准工字钢梁,
三、圆截面梁的剪应力
CL8TU18
? m a x ?
4
3
Q
A
下面求最大剪应力,Q
z
y
弯曲剪应力强度条件
? ?
m a x
m a x m a x
*
[ ]? ?
Q S
I b
Z
Z
例：圆形截面梁受力如图所示。已知材料的
许用应力［ σ］ =160MPa，［ τ］ =100MPa，
试求最小直径 dmin。
CL8TU19
q ? 20 kN / m
4 m
A B d
q ? 20 kN / m
4 m
A B d
解,
Q m a x ? 40 k N,
? ?m a x m a x [ ]? ?
M
W z
M
ql
m a x ? ? ?
2
8
40 kN m
由正应力强度条件,
即
40 10
32
160 10
3
3
6?
? ?
? d
得 d ? 137 mm
? ?m a x m a x [ ]? ?
4
3
Q
A 即
4
3
40 10
4
100 10
3
2
6
?
?
? ?
? d
得 d ? 26 1,mm
由剪应力强度条件,
所以 d m i n ? 137 mm
§ 4-5 提高梁强度的主要措施
控制梁弯曲强度的主要因素是弯曲正应力，即
以
? ?
m a x
m a x
[ ]? ?
M
W
Z
作为梁设计的主要依据。因此应使 Mmax尽可
能地小，使 WZ尽可能地大。
一、梁的合理截面
合理的截面形状应使截面积较小而抗弯截面
模量较大。
CL8TU20
h
b
h
b
P
z z
CL8TU21
y
y
t
c
1
2
?
[ ]
[ ]
?
?
CL8TU9
y1
P
z
y2
C
二、合理安排梁的受力情况
CL8TU22
q q
M Mql
2
8 0 0214 2,ql
x l? 0 207.
xx
l
l
CL8TU23
P
M P l / 4 a
l
?
2
l
2
P
P l / 8
M
l
2
l
2
l
2
a
2
a
2
三、采用变截面梁
梁的各横截面上的最大正应力都等于材料的
许用应力 ［ σ］ 时，称为 等强度梁 。
P
l
2
l
2
d A
y
y
z
z
O
?
§ 4-1 截面的几何性质
d A
y
y
z
z
O
S y Az
A
? ? d,S z Ay A? ? d
定义为图形对 轴和 轴的静矩z y
y Ad
I y Az
A
? ? 2 d
d A
y
y
z
z
O
y A2 d
,I z Ay
A
? ? 2 d
定义为图形对 轴和 轴的惯性矩z y
I y z A
y z
yz
A
? ? d
定义为图形对, 轴的惯性积
d A
y
y
z
z
O
y z Ad
I A
O
p
A
? ? ?
2
d
定义为图形对 点的极惯性矩
d A
y
y
z
z
O
? 2 d A
?
一,静矩和形心
d A
y
y
z
z
O
S y Az
A
? ? d,S z Ay
A
? ? d
形心坐标,
y
y A
A
z
z A
A
C
A
C
A
? ?
? ?d d
,
C
y
y C
zC
z
O
静矩和形心坐标之间的关系,
y
S
A
z
S
A
C
z
C
y
?
?
C
y
y C
zC
z
O
S y A S z Az C y C? ?,
例：计算由抛物线,y轴和 z轴所围成的平面
图形对 y轴和 z轴的静矩，并确定图形的形心坐
标。
z h
y
b
? ?
?
?
?
?
?
?1
2
2
y
z
O
z h
y
b
? ?
?
?
?
?
?
?1
2
2
y d y
b
h
S
z
Ay
A
? ?
2
d
解,
S y Az
A
? ? d
? ?
?
?
?
?
?
??
1
2
1
0
2
2
2
2b
h
y
b
yd
? ?
?
?
?
?
?
?? y h
y
b
y
b
0
2
2
1 d
y
z
O
?
4
15
2bh
?
b h2
4
A A
A
? ? d
形心坐标为,
y
S
A
bh
bh
b
C
z
? ? ?
2
4
2
3
3
8
z
S
A
bh
bh
h
C
y
? ? ?
4
15
2
3
2
5
2
? ?
?
?
?
?
?
??
0
2
2
1
b
h
y
b
yd ?
2
3
bh
例：确定图示图形形心 C的位置。
解,
y
S
AC
z?
z
S
A
C
y
? ?
? ? ? ? ?
?
?
10 120 60 70 10 5
1200 700
39 7,mm
?
? ? ? ? ?
?
?
10 120 5 70 10 45
1200 700
19 7,mm
例：求图示阴影部分的面积对 y轴的静矩。
S b
h
a a
h a
y ? ?
?
?
?
?
?
? ? ?
?
?
?
?
?
?
2 4 2
解,
? ?
?
?
?
?
?
?
b h
a
2 4
2
2
二,惯性矩、极惯性矩和惯性积
1、惯性矩
I y A I z Az
A y A
? ?? ?2 2d d,
d A
y
y
z
z
O
工程中常把惯性矩表示为平面图形的面积与
某一长度平方的乘积，即
分别称为平面图形对 y轴和 z轴的惯性半径
i iy z、
I A iy y? 2 或 i
I
A
y
y
?
I A i i
I
A
z z z
z
? ?
2
或
I Ap
A
? ? ? 2 d
? ? 2 2 2? ?y z
? ? ?I I Ip y z
2、极惯性矩
d A
y
y
z
z
O
?
例：求图示矩形对对称轴 y,z的惯性矩。
解,
I z Ay
A
? ? 2 d
z
dz
?
?
? z b z
h
h
2
2
2
/
/
d ?
bh
3
12
例：求图示圆平面对 y,z轴的惯性矩。
I
d
p ?
?
4
32
I Iy z?
I I Iy z p? ?
3、惯性积
I y z Ayz
A
? ? d
d A
y
z
z
O y
如果所选的正交坐标轴中，有一个坐标轴
是对称轴，则平面图形对该对坐标轴的惯性积
必等于零。
I yz ? 0
z
y
d Ad A
几个主要定义,
(1)主惯性轴 当平面图形对某一对正交
坐标轴 y0,z0的惯性积 Iy0z0=0时，则坐标轴
y0,z0称为主惯性轴。
因此，具有一个或两个对称轴的正交坐标
轴一定是平面图形的主惯性轴。
(2)主惯性矩 平面图形对任一主惯性轴的
惯性矩称为主惯性矩。
(3)形心主惯性轴 过形心的主惯性轴称为
形心主惯性轴。
可以证明,任意平面图形必定存在一对相互垂直的形心主
惯性轴。
(4)形心主惯性矩 平面图形对任一形心主惯性轴的惯性
矩称为形心主惯性矩。
三,平行移轴公式
C
y
z
O
zc
yc
b
a
y
z
d A
yc
zc
y y a
z z b
c
c
? ?
? ?
I y A I z A I y z Az
A y A y z A
? ? ?? ? ?2 2d d d,,
I y A I z A I y z Az c
A y cA y z c cAc c c c
? ? ?? ? ?2 2d d d,,
y y a z z bc c? ? ? ?,
I y Az
A
? ? 2 d
? ?? ( )y a Ac
A
2 d
? ? ?? ? ?y A a y A a Ac
A cA A
2 22d d d
? ?I a Az c 2
C
y
z
O
zc
yc
b
a
I I a Az z
C
? ? 2
I I b A
I I a A
I I abA
y y
z z
yz y z
C
C
C C
? ?
? ?
? ?
2
2
平行移轴公式,
§ 4-2-1 平面弯曲的概念
当作用在杆件上的 载荷和支反力都垂
直于杆件轴线 时，杆件的轴线因变形由直线
变成了曲线，这种变形称为 弯曲变形 。
工程中以弯曲变形为主的杆件称为
§ 4-2 受弯构件的内力
纵向对称面,梁的轴线与横截面的对称轴所
构成的平面
CL7TU1
平面弯曲,当作用在梁上的载荷和支反力均
位于纵向对称面内时，梁的轴线由直线弯成
一条位于纵向对称面内的曲线。
§ 4-2-2 受弯构件的内力及计算
一、杆件的简化
用梁的轴线来代替实际的梁
折杆或曲杆用中心线代替
二、载荷的分类
1,集中载荷
2,分布载荷
3,集中力偶
三、支座的分类
根据支座对梁在载荷平面内的约束情况，
一般可以简化为三种基本形式,
1,固定铰支座 2,可动铰支座 3,固定端支座
CL7TU2
四、静定梁的基本形式
1.简支梁
2.外伸梁
3.悬臂梁
CL7TU3
五 剪力和弯矩的符号规定
CL7TU4
a b
l
x
P
A B
RA
R l P bA ? ? ?
RB
R
P b
l
A ?
R
P a
l
B ?
Q R
P b
l
A? ?
M R x
P b x
l
A? ?
?
a b
l
x
P
RA
RB
x
Q
?Q
M
?M P
A B
剪力 Q的符号规定,
弯矩 M的符号规定,
CL7TU5
左上右下为正
上压下拉 (上凹下凸 ) 为正
CL7TU6
例：求图示梁 1-1,2-2,3-3,4-4截面上的
剪力和弯矩。
解：由 得? ?M B 0R qaA ? 5
4
由 得? ?M A 0 R qa
B ?
7
4
Q R
qa
A1
5
4
? ?
M R a
qa
A1
25
4
? ? ?
Q R qa
qa
A2 4? ? ?
M 2 ?
Q 3 ?
M R a qa a
qa
A3
2
2
3
2
? ? ? ? ?
Q qa R
qa
B4
3
4
? ? ? ?,M
qa
4
25
4
?
§ 4-3 剪力图和弯矩图
4-3-1利用剪力方程和弯矩方程作梁的内力图
一、剪力方程和弯矩方程
二、剪力和弯矩作图规定
1、剪力作图规定：上正下负
2、弯矩作图规定：画在受拉侧（上负下正）
三、用截面法求指定截面内力
先计算左截面的内力，可取截面 1以左
隔离体进行分析。
P P
P
P
1.5a
M Z 1
N Z 1
Q Z 1
PNx Z ??? 10
PQPQy ZZ ??????? 11 00
PaMaPMM ZZ 5.105.10 111 ????????
M U 1
N U 1
Q U 1
2Pa
计算右截面的内力,也可取截面 1以左隔
离体进行分析。在这个隔离体上有集
中力矩 2Pa,三个未知力为,
PNx U ??? 10
PQPQy UU ??????? 11 00
PaM
aPPaMM
U
U
5.0
05.120
1
11
??
??????
P
2Pa
1
a
1.5a 1.5a
P
计算如图所示结构截面 1 的内力
P
P
1.5a
根据静力平衡条件求截面未知力,
a M
2
N 2
Q2
a
P
1.5a 1.5a
2Pa
P P
P
1 2
3
(a)
P
P
1.5a
(d)
1.5a
2 2Pa
P
N 2
M 2
Q2,
,
,
2
2
2
PaM
PQ
PN
??
??
?
N 3
P
a
P
Q3 M 3
现取截面 2 左边的隔离体进行
分析，根据三个平衡条件就可得出
截面 2 上的三个未知力,
此时应取截面 3 以上的隔离体进行
分析比较简单。,
,
,0
3
3
3
PaM
PQ
N
?
?
?
计算截面 2 的内力
也可取截面 2 右边隔离体计算
计算截面 3 的内力
4-3-1,荷载、内力之间的关系 （平衡条件的几种表达方式）
q(x)
d x
Q
Q+d Q
M
M+d M
（ 1）微分关系
qdxdQ ??
Q
dx
dM ?
q
dx
Md ??
2
2
q
d x
（ 2）增量关系
Q
Q+? Q
M
M+? M
d x
P
m
PQ ???
mM ??
（ 3）积分关系
q(x)
QA Q
B
MA M
B
由 d Q = – q·d x
? ??? BAxxAB dxxqQQ )(
由 d M = Q·d x
? ??? BAxxAB dxxQMM )(
水平杆件下侧
受拉为正；
竖向杆件右侧
受拉为正。
q x( )
Q x( ) Q x Q x( ) ( )? d
M x( ) M x M x( ) ( )? d
? ?
d ( )
d
( )
Q x
x
q x
M x M x M x Q x x q x dx( ) ( ) ( ) ( ) ( )? ? ? ? ?d d
1
2
02
Q x Q x Q x q x x( ) ( ) ( ) ( )? ? ?d d
d ( )
d
( )
M x
x
Q x?
载荷集度、剪力和弯矩的微分关系,
d ( )
d
( )
Q x
x
q x?
d ( )
d
( )
M x
x
Q x?
d ( )
d
d ( )
d
( )
2
2
M x
x
Q x
x
q x? ?
几种典型弯矩图和剪力图
l /2 l /2
m
l /2 l /2
P
l
q
2P
2P
lm
2ql
2ql
4Pl
2m
2m 82ql
1、集中荷载作用点
M图有一夹角，荷载向
下夹角亦向下；
Q 图有一突变，荷载
向下突变亦向下。
2、集中力矩作用点
M图有一突变，力矩
为顺时针向下突变；
Q 图没有变化。
3、均布荷载作用段
M图为抛物线，荷载向
下曲线亦向下凸；
Q 图为斜直线，荷载向
下直线由左向右下斜
§ 4-3-2 分段叠加法作弯矩图
?AY ?BY
MA MB q
M?
+
q P
A B
q MB
NA
YA YB
NB
MA
MA MB
?AY ?BY
q
MB
MA
?MMM ??
M
M?
MB M
A
MA MB M
M?
M
分段叠加法的理论依据,
假定,在外荷载作用下，结构
构件材料均处于线弹性阶段。
A
B
O
?
?
图中,OA段即为线弹性阶段
AB段为非线性弹性阶段
3m 3m
4kN 4kN·m
4kN·m
4kN·m
2kN·m
4kN·m
6kN·m
3m 3m
8kN·m 2kN/m
4kN·m
2kN·m
4kN·m
4kN·m
6kN·m 4kN·m
2kN·m
（ 1）集中荷载作用下
（ 2）集中力偶作用下
（ 3）叠加得弯矩图
（ 1）悬臂段分布荷载作用下
（ 2）跨中集中力偶作用下
（ 3）叠加得弯矩图
分段叠加法作弯矩图的方法,
（ 1）选定外力的不连续点（集中力作用点、集中力偶作用点、分布荷载的
始点和终点）为控制截面，首先计算控制截面的弯矩值；
（ 2）分段求作弯矩图。当控制截面间无荷载时，弯矩图为连接控制截面弯
矩值的直线；当控制截面间存在荷载时，弯矩图应在控制截面弯矩值作出的
直线上在叠加该段简支梁作用荷载时产生的弯矩值。
1m 1m 2m 2m 1m 1m
q=4 kN/m
A B
C
P=8kN m=16kN.m
D E F G
例：利用叠加法求作图示梁结构的内力图。
[分析 ] 该梁为简支梁，弯矩控制截
面为,C,D,F,G
叠加法求作弯矩图的关键是
计算控制截面位置的弯矩值
解,（ 1）先计算支座反力
17?AR kN 7?BR kN （ 2）求控制截面弯矩值
取 AC部分为隔离体，可计算得,
取 GB部分为隔离体，可计算得,
17117 ???CM kN
717 ???rGM kN
1m 1m 2m 2m 1m 1m
q=4 kN/m
A B
C
P=8kN m=16kN.m
D E F G
A B C D E F G
A B
C D
E F G
17
A C
lCQ
CM
17
17
?
?
C
l
C
M
Q
17
13
P=8kN
A D
m=16kN.m G B
4
26
7
G B
GQ
rGM
7
7
?
??
r
G
G
M
Q
7
8
23
15
30 8
M图（ kN.m）
17
9
7
+
_
Q图（ kN）
掌握：表 6-1 内力图绘制的规律性总结
P
m
q=常数
q=0
无外力梁段
dFs（ x）
dx = q(x)=0
dM（ x）
dx = Fs(x),斜直线
Q>0 ； Q<0
梁上外力情况 剪 力 图（ Q图） 弯 矩 图（ M图）
dFs（ x）
dx = q＜ 0
dFs（ x）
dx = q＞ 0
d2M（ x）
dx2 = q(x)=const,抛物线
q>0 q<0
Q(x)=0处,M取极值
P力作用处 Fs有突变，突变值为
P
P
P力作用处 M会有转折
m 作用处 Fs无变化 m作用处,M突变，突变量为 m m
[例 ]外伸梁如图所示，已知 q=5kN/m,P=15kN，试画出该梁的
内力图。
YD Y
B 2m 2m 2m
D B C A
P q
10kN
5kN
10kN
（ -） （ -）
（ +）
Q 图
M 图
RB=(15*2+5*2*5)/4
=20kN
RD=(15*2-5*2*1)/4
=5kN
10kN·m
10kN·m
§ 4-4 梁的应力与强度计算
从三方面考虑,
1、变形几何关系
用较易变形的材料制成的矩形截面等直梁
作纯弯曲试验,
变形几何关系
物理关系
静力学关系
一、梁的正应力
CL8TU3
a a
b b
m n
m n
m m
m m
观察到以下变形现象,
(1)aa,bb弯成弧线,aa缩短,bb伸长
(2)mm,nn变形后仍保持为直线，且仍与变
为 弧线的 aa,bb垂直
(3)矩形截面的宽度变形后上宽下窄
梁在纯弯曲时的 平面假设,
梁的各个横截面在变形后仍保持为平面，
并仍垂直于变形后的轴线，只是横截面绕某一
轴旋转了一个角度。
再作单向受力假设：假设各纵向纤维之间
互不挤压。于是各纵向纤维均处于单向受拉或
受压的状态。
推论,
梁在弯曲变形时，上面部分纵向纤维缩短，
下面部分纵向纤维伸长，必有一层纵向纤维既
不伸长也不缩短,保持原来的长度，这一纵向纤
维层称为 中性层 。
中性层与横截面的交线称为 中性轴
中性层
中性轴
中性层
CL8TU3-1
?
? ? ? ?
? ?
?
? ?( )y d d
d
CL8TU3-2 y
z
dx
y
d?
y
?
?
y
?
2、物理关系
? ?? E
? E
y
?
3、静力学关系
? dA
N Ax
A
? ? ? d
M z Ay
A
? ?? ? d
M y Az
A
? ?? ? d
? 0
? 0
? M
N Ax
A
? ?? ? d 0 ? ?? E
y
A
A
?
d 0 ? ?? y A
A
d 0
S z ? 0 中性轴过形心
M z Ay
A
? ? ?? ? d 0? ? ?? z E
y
A
A
?
d 0
? ?I yz 0
M y A Mz
A
? ? ?? ? d ? ? ?? y E
y
A M
A
?
d
1
?
?
M
EI z
1
?
?
M
EI z
? ?
M y
I z
中性轴过截面形心
中性层的曲率公式,
正应力计算公式,
横截面上的最大正应力,
? t
Z
M y
I
? 1
y y y1 2? ? m a x
CL8TU4
当中性轴是横截面的对称轴时,
,? c
Z
M y
I
? 2
? ? ?t c? ? m a x
?
M
W Z
? m a x
m a x
?
M y
I Z
Wz 称为抗弯截面模量
W
I
y
z
z
?
m a x
CL8TU5
I
b h
Z ?
3
12
I
d
Z ?
?
4
64
I
D d D
Z ?
?
? ?
? ?
?
( )
( )
4 4 4
4
64 64
1
CL8TU6
,W
b h
Z ?
2
6
,W
d
Z ?
?
3
32
W
D
Z ? ?
?
?
3
4
32
1( )
§ 4.4 正应力强度计算
上式是在 平面假设 和 单向受力假设 的基础上推导的，
实验证明在纯弯曲情况下这是正确的。
对于横力弯曲，由于剪力的存在，横截面产生剪切变
形，使横截面发生翘曲，不再保持为平面。
? ?
M y
I z
一、梁的正应力强度计算
弹性力学精确分析结果指出：当梁的跨度大于
梁的横截面高度 5倍 (即 l>5h)时，剪应力和挤
压应力对弯曲正应力的影响甚小，可以忽略不
计。因此由纯弯曲梁导出的正应力计算公式，
仍可以应用于横力弯曲的梁中。
二、梁的正应力强度条件
利用上式可以进行三方面的强度计算,
①已知外力、截面形状尺寸、许用应力，校核
梁的强度
②已知外力、截面形状、许用应力，设计梁的
截面尺寸
③已知截面形状尺寸、许用应力，求许可载荷
? ?m a x
m a x
[ ]? ?
M
W Z
例：两矩形截面梁，尺寸和材料的许用应力均
相等，但放置如图 (a),(b)。按弯曲正应力强
度条件确定两者许可载荷之比 P1／ P2＝？
CL8TU7
l
解,
?
m a x
m a x
1
1
1
1
2
6
? ?
M
W
P l
bhz
?
m a x
m a x
2
2
2
2
2
6
? ?
M
W
P l
hbz
由 得? ? ?m a x m a x [ ],1 2? ?
P
P
h
b
1
2
?
§ 4-4-2 弯曲剪应力和强度校核
一、矩形截面梁的剪应力
CL8TU16
q x( ) P
b
h
x dx
q x( )
M x( ) M x M x( ) ( )? d
? ?
M y
I z
z
y
假设,的方向都与 平行1 ) ? Q
y;
)2 ? 沿宽度均布。
?
?
NI NII
N A
A
I d? ? ?
*
N A
M M y
I
A
M M
I
y A
M M
I
S
A zA z A z
zII d
d
d
d
d
d
? ?
?
?
?
?
?
? ? ??
* * *
( ) *
? ?
M y
I
A
zA
d
*
? ?
M
I
y A
z A
d
*
?
M
I
S
z
z
*
NI NII
M M
I
S
M
I
S b x
z
z
z
z
?
? ? ?
d
d
* *
?
? ?
S
I b
M
x
z
z
*
d
d
?
Q S
I b
z
z
*
N N b xII I d? ? ??
NI NII
?
式中 I
b h
Z ?
3
12
,S
b h
yZ
*
? ?
?
?
?
?
?
?
2 4
2
2
? ? ?
?
?
?
?
?
?
6
43
2
2Q
bh
h
y
? m a x ? ?
3
2
3
2
Q
bh
Q
A
? m a x
z
b
h
二,工字形截面梁的剪应力
腹板
CL8TU17
翼缘
在腹板上,
b
B
h H
y
在翼缘上，有平行于 Q的剪应力分量，分
布情况较复杂，但数量很小，并无实际意义，
可忽略不计。
在翼缘上，还有垂直于 Q方向的剪应力分
量，它与腹板上的剪应力比较，一般来说也是
次要的。
腹板负担了截面上的绝大部分剪力，翼
缘负担了截面上的大部分弯矩。
?
m a x
m a x
*
m a x
*
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
Q S
I b
Q
b
I
S
Z
Z
Z
Z
对于标准工字钢梁,
三、圆截面梁的剪应力
CL8TU18
? m a x ?
4
3
Q
A
下面求最大剪应力,Q
z
y
弯曲剪应力强度条件
? ?
m a x
m a x m a x
*
[ ]? ?
Q S
I b
Z
Z
例：圆形截面梁受力如图所示。已知材料的
许用应力［ σ］ =160MPa，［ τ］ =100MPa，
试求最小直径 dmin。
CL8TU19
q ? 20 kN / m
4 m
A B d
q ? 20 kN / m
4 m
A B d
解,
Q m a x ? 40 k N,
? ?m a x m a x [ ]? ?
M
W z
M
ql
m a x ? ? ?
2
8
40 kN m
由正应力强度条件,
即
40 10
32
160 10
3
3
6?
? ?
? d
得 d ? 137 mm
? ?m a x m a x [ ]? ?
4
3
Q
A 即
4
3
40 10
4
100 10
3
2
6
?
?
? ?
? d
得 d ? 26 1,mm
由剪应力强度条件,
所以 d m i n ? 137 mm
§ 4-5 提高梁强度的主要措施
控制梁弯曲强度的主要因素是弯曲正应力，即
以
? ?
m a x
m a x
[ ]? ?
M
W
Z
作为梁设计的主要依据。因此应使 Mmax尽可
能地小，使 WZ尽可能地大。
一、梁的合理截面
合理的截面形状应使截面积较小而抗弯截面
模量较大。
CL8TU20
h
b
h
b
P
z z
CL8TU21
y
y
t
c
1
2
?
[ ]
[ ]
?
?
CL8TU9
y1
P
z
y2
C
二、合理安排梁的受力情况
CL8TU22
q q
M Mql
2
8 0 0214 2,ql
x l? 0 207.
xx
l
l
CL8TU23
P
M P l / 4 a
l
?
2
l
2
P
P l / 8
M
l
2
l
2
l
2
a
2
a
2
三、采用变截面梁
梁的各横截面上的最大正应力都等于材料的
许用应力 ［ σ］ 时，称为 等强度梁 。
P
l
2
l
2
