1
第二章 平面力系
§ 2–1 平面汇交力系
§ 2–2 力的投影、力矩和力偶
§ 2–3 平面一般力系
2
§ 2-1 平面汇交力系
一、合成的几何法
?c o s2 212221 FFFFR ???
)180s i n (s i n
1
?? ??
RF
2,任意个共点力的合成
为力多边形
1.两个共点力的合成
合力方向由正弦定理,
由余弦定理,
?? c o s)1 8 0c o s ( ????由力的平行四边形法则作，
也可用力的三角形来作。
3
结论,即,
即：平面汇交力系的合力等于各分力的矢量和，合力的作用
线通过各力的汇交点。
二、平面汇交力系平衡的几何条件
?? FR
4321 FFFFR ????
在上面几何法求力系的合力中，合力为
零意味着力多边形自行封闭。所以平面
汇交力系平衡的必要与充分的几何条件
是,
平面汇交力系平衡的充要条件是,
? ?? 0FR
力多边形自行封闭
或
力系中各力的矢量和等于零
4
[例 ] 已知压路机碾子重 P=20kN,r=60cm,欲拉过 h=8cm的障碍
物。求：在中心作用的水平力 F的大小和碾子对障碍物的压力。
577.0)(tg
22
?? ??? hr hrr?
又由几何关系,
① 选碾子为研究对象
② 取分离体画受力图
解,
∵ 当碾子刚离地面时 NA=0,拉力 F最大,这时
拉力 F和自重及支反力 NB构成一平衡力系。
由平衡的几何条件，力多边形封闭，故
?tg?? PF ?co sPN B ?
5
由作用力和反作用力的关系,碾子对障碍物的压力等于 23.1kN。
此题也可用力多边形方法用比例尺去量。
F=11.5kN,NB=23.1kN 所以
几何法解题步骤：①选研究对象；②作出受力图；
③作力多边形，选择适当的比例尺；
④求出未知数
几何法解题不足,①精度不够，误差大 ②作图要求精度高；
③不能表达各个量之间的函数关系。
下面我们研究平面汇交力系合成与平衡的另一种方法,
解析法 。
6
F
F
F
X x???c o s
F
F
F
Y y???c o s
22
yx FFF ??
一、力在坐标轴上的投影
X=Fx=F·cos?,
Y=Fy=F·sin?=F ·cos?
§ 2–2 力的投影、力矩和力偶
1、力在坐标轴上的投影
7
2、合力投影定理 由图可看出，各分力在 x轴和在 y
轴投影的和分别为,
????? XXXXR x 421
??????? YYYYYR y 4321
?? YR y?? XR x
合力投影定理：合力在任一轴上的投影，等于各分力在同一
轴上投影的代数和。
即,
8
合力的大小,
方向,
作用点,
2222
?? ???? YXRRR yx
x
y
R
R
??tg ?
?
?? ??
X
Y
R
R
x
y 11 tgtg?
∴
为该力系的汇交点
3、平面汇交力系合成与平衡的解析法
从前述可知：平面汇交力系平衡的必要与充分条件是该力系
的合力为零。 即,00
22
???? yx RRR
?
?
??
??
0
0
YR
XR
y
x 为平衡的充要条件，也叫平衡方程
9
解,①研究 AB杆
②画出受力图
③列平衡方程
④解平衡方程
0?? X
0??Y
045c o sc o s 0 ???? CDA SR ?
045s i ns i n 0 ?????? CDA SRP ?
[例 ] 已知 P=2kN 求 SCD,RA
由 EB=BC=0.4m,
3
1
2.1
4.0tg ???
AB
EB?解得,
kN 24.4tg45c o s45s in 00 ???? ?PS CD kN 16.3
c o s
45c o s 0 ???
?CDA SR；
?
10
[例 ] 已知如图 P,Q,求平衡时 =？ 地面的反力 ND=？ ?
解,研究球受力如图,
选投影轴列方程为
PP-TN D 3Q60s i n2Qs i n-Q 02 ????? ?
由②得
060???
212c o s 21 ??? PPT
T?
由①得
0?? X
0?? Y
0co s 12 ??? TT ?
0Qs i n2 ???? DNT ?
①
②
11
又,
?co s
FN ?
)2(1)(c o s
22
hRhRR hRR ??????
)2( hRh
RFN
??
???
[例 ] 求当 F力达到多大时，球离开地面？已知 P,R,h
解,研究块,受力如图,
解力三角形,
12
再研究球，受力如图,
作力三角形
解力三角形,
?s i n??? NP?
R
hR ???s i n?又 NN ??
R
hR
hRh
RFNP ??
??
?????
)2(
s i n ?
)2(
)(
hRh
hRFP
?
???
hR
hRhPF
?
??? )2(
时球方能离开地面当 hR hRhPF ? ??? )2(
NB=0时为球
离开地面
13
1、一般地，对于只受三个力作用的物体，且角度
特殊时用 几 何法（解力三角形）比较简便。
解题技巧及说明,
3、投影轴常选择与未知力垂直，最好使每个方程中
只有一个未知数。
2、一般对于受多个力作用的物体，且角度不特殊或
特殊，都用解析法。
14
5、解析法解题时，力的方向可以任意设，如果求出
负值，说明力方向与假设相反。对于二力构件,
一般先设为拉力，如果求出负值，说明物体受压
力。
4、对力的方向判定不准的，一般用解析法。
15
① 是代数量。 )( FM
O
当 F=0或 d=0时,=0。 )( FM
O
③ 是影响转动的独立因素。 )( FM O
⑤ =2⊿ AOB=F?d,2倍 ⊿ 形面积。 )( FM
O
力对物体可以产生 移动效应 --取决于力的大小、方向
转动效应 --取决于力矩的大小、方向
- + 二、力矩
dFFM O ???)(
说明,
② F↑,d↑ 转动效应明显。
④ 单位 N?m，工程单位 kgf?m。
§ 2–2 力的投影、力矩和力偶
1、力矩的概念
16
定理,平面汇交力系的合力对平面内任一点的矩，等于所
有各分力对同一点的矩的代数和
即,
2、合力矩定理
由合力投影定理有：
证毕现 )()()( 21 FmFmRm ooo ??
[证 ]
?
?
?
n
i
iOO FmRm
1
)()(
od=ob+oc
oboAo ABFM o ???? 2)( 1
ocoAo ACFM o ???? 2)( 2
odoAo ADRM o ??? ?2)(
又 ∵
17
[例 ] 已知：如图 F,Q,l,求,和
解,①用力对点的矩法
②应用合力矩定理
)( Fm O )(Qm o
? s i n)(
lFdFFm
O ????
lQQm o ???)(
?c t g)( ????? lFlFFm yxO
lQQm o ???)(
18
① 两个同向平行力的合力 大小,R=Q+P
方向：平行于 Q,P且指向一致
作用点,C处
确定 C点，由合力距定理
)()( QmRm BB ? QPR ???又
ABQCBR ????
代入CBACAB ?? Q
P
CB
AC ?整理得
三、力偶的概念和性质
力偶,两力大小相等，作用线不重合的反向平行力叫力偶。
性质 1：力偶既没有合力，本身又不平衡，是一个基本力学量。
1、力偶的概念
19
② 两个反向平行力的合力 大小,R=Q-P
方向：平行于 Q,P且与较大的相同
作用点,C处 （推导同上）
P
Q
CA
CB ?
性质 2：力偶对其所在平面内任一点的矩恒等于力偶矩，而
与矩心的位置无关，因此力偶对刚体的效应用力偶矩度量。
力偶 无合力 R=F'-F=0
1' ??
F
F
CA
CB? CACB ??
???? CBdCBCB 必有成立若,
处合力的作用点在无限远????? d
20
??? 0)( Rm O ????? 0)'()( FmFm OO
为有限量证明 ??? 0)( Rm O
xFdxFFmFm OO ?????? ')()'()(?
)( RmdF O????
说明：① m是代数量，有 +,-；
② F,d 都不独立，只有力偶矩 是独立 量；
③ m的值 m=± 2⊿ ABC ；
④单位,N? m
dFm ???
由于 O点是任取的
dFm ???? — +
d
21
性质 3：平面力偶等效定理
作用在同一平面内的两个力偶，只要它的力偶矩的大小相等，
转向相同，则该两个力偶彼此等效。
[证 ] 设物体的某一平面
上作用一力偶 (F,F')
现沿力偶臂 AB方向
加一对平衡力 (Q,Q'),
Q',F'合成 R',
再将 Q,F合成 R,
得到新力偶 (R,R'),
将 R,R'移到 A',B'点，则 (R,R')，取 代了原力偶 (F,F' )
并与原力偶等效。
22
② 只要保持力偶矩大小和转向
不变，可以任意改变力偶中力
的大小和相应力偶臂的长短，
而不改变它对刚体的作用效应。
由上述证明可得下列 两个推论,
比较 (F,F')和 (R,R')可得
m(F,F')=2△ ABD=m(R,R')
=2 △ ABC
即△ ABD= △ ABC,
且它们转向相同。
① 力偶可以在其作用面内任
意移动，而不影响它对刚体
的作用效应。
23;111 dFm ??
222 dFm ??
dPm 11 ?又
dPm 22 ???
'21 PPR A ??
2'1 PPR B ??
21'21'21 )( mmdPdPdPPdRM A ????????? 合力矩
平面力偶系,作用在物体同一平面的许多力偶叫平面力偶系
设有两个力偶
d d
2、力偶系的合成与平衡
24
平面力偶系平衡的充要条件是,所有各力偶矩的代数和
等于零。
?
?
?????
n
i
in mmmmM
1
21 ?
即 0
1
??
?
n
i
im
结论,
平面力偶系合成结果还是一个力偶,其力偶矩为各力偶矩
的代数和 。
25
[例 ] 在一钻床上水平放置工件,在工件上同时钻四个等直径
的孔,每个钻头的力偶矩为
求工件的总切削力偶矩和 A, B端水平反力?
mN154321 ????? mmmm
mN60)15(4
4321
??????
???? mmmmM
02.0 4321 ?????? mmmmN B
N3 0 02.060 ??? BN N 3 0 0??? BA NN
解, 各力偶的合力偶距为
根据平面力偶系平衡方程有,
由力偶只能与力偶平衡的性质，
力 NA与力 NB组成一力偶。
26
平面一般力系, 各力的作用线在同一平面内，既不汇交为一点
又不相互平行的力系叫 ～。
[例 ]
力系向一点简化, 把未知力系（平面任意力系）变成已知
力系（平面汇交力系和平面力偶系）
§ 2-3 平面一般力系
27
2-3-1 力线平移定理
力的平移定理, 可以把作用在刚体上点 A的力 平行移到任一
点 B，但必须同时附加一个力偶。这个力偶
的矩等于原来的力 对新作用点 B的矩。 F
F
[证 ] 力 力系 ），力偶（力 FFF ????FFF ???,,F
28
① 力线平移定理揭示了力与力偶的关系：力 力 +力偶
（例断丝锥）
②力平移的条件是附加一个力偶 m，且 m与 d有关,m=F?d
③ 力线平移定理是力系简化的理论基础。
说明,
29
2-3-2 平面一般力系向一点简化
一般力系（任意力系） 向一点简化 汇交力系 +力偶系
（未知力系） （已知力系）
汇交力系 力, R'(主矢 ), (作用在简化中心 )
力 偶 系 力偶, MO (主矩 ), (作用在该平面上 )
一、平面一般力系向一点简化
30
大小,
主矢 方向,
简化中心 (与简化中心位置无关 )
[因主矢等于各力的矢量和 ]
R?
?????? iFFFFR ?321'主矢
?????
????
)()()(
21
321
iOOO
O
FmFmFm
mmmM
?
?主矩
2222 )()(''' ?? ???? YXRRR
yx
?
??? ??
X
Y
R
R
x
y 11 tgtg?
（ 移动效应 ）
31
大小,
主矩 MO 方向, 方向规定 + —
简化中心, (与简化中心有关 )
（因主矩等于各力对简化中心取矩的代数和）
)( iOO FmM ??
（ 转动效应 ）
固定端（插入端）约束 在工程中常见的
雨 搭 车 刀
32
固定端（插入端）约束 说明
① 认为 Fi这群力在同一
平面内 ;
② 将 Fi向 A点简化得一
力和一力偶 ;
③ RA方向不定可用正交
分力 YA,XA表示 ;
④ YA,XA,MA为固定端
约束反力 ;
⑤ YA,XA限制物体平动,
MA为限制转动。
33
简化结果,主矢,主矩 MO,下面分别讨论 。
② =0,MO≠0 即简化结果为一合力偶,MO=M 此时刚
体等效于只有一个力偶的作用，因为力偶可以在刚体平
面内任意移动，故这时，主矩与简化中心 O无关。
R?
① =0,MO =0,则力系平衡,下节专门讨论。 R?
R?
③ ≠0,MO =0,即简化为一个作用于简化中心的合力。这时,
简化结果就是合力 （ 这个力系的合力）,。 （此时
与简化中心有关，换个简化中心，主矩不为零）
R?
RR ??
二、平面一般力系的简化结果讨论
34
R?④ ≠0,MO ≠0,为最一般的情况。此种情况还 可以继续简
化为一个合力 。 R
合力 的大小等于原力系的主矢
合力 的作用线位置
R
Md O?
R
R
35
结论,
)(
1
?
?
?
n
i
iOO FmM
)()( 主矩OO MdRRm ???
?
)()(
1
?
?
?
n
i
iOO FmRM
平面任意力系的简化结果,①合力偶 MO ； ②合力
合力矩定理,由于主矩
而合力对 O点的矩
——— 合力矩定理
由于简化中心是任意选取的，故此式有普遍意义。
即,平面任意力系的合力对作用面内任一点之矩等于力系
中各力对于同一点之矩的代数和。
R
36
2-3-3 平面一般力系的平衡条件与平衡方程
由于 =0 为力平衡
MO=0 为力偶也平衡
R?
所以 平面任意力系平衡的充要条件为,
力系的主矢 和主矩 MO 都等于零,即,
0)()(' 22 ??? ?? YXR
0)( ?? ? iOO FmM
R?
一、平衡方程的基本形式
37
0?? X
0)( ?? iA Fm
0)( ?? iB Fm
② 二矩式
条件,x 轴不 AB
连线
?
0)( ?? iA Fm
0)( ?? iB Fm
0)( ?? iC Fm
③ 三矩式
条件,A,B,C不在
同一直线上
上式有三个独立方程，只能求出三个未知数。
0?? X
0?? Y
0)( ?? iO Fm
① 一矩式
二、平衡方程的其他形式
38
[例 ] 已知,P,a,求,A,B两点的支座反力？
解：①选 AB梁研究
②画受力图（ 以后注明
解除约束，可把支反
力直接画在整体结构
的原图上 ）
0)( ?? iA Fm由
3
2,032 PNaNaP
BB ???????
0?? X 0?AX
0?? Y
3,0
PYPNY
ABB ?????
解除约束
39
设有 F1,F2 … Fn 各平行力系,
向 O点简化得,
合力作用线的位置为,
平衡的充要条件为 主矢 =0
主矩 MO =0
?
???
F
xF
R
Mx iiO
R ' R?
??? FRR O '主矢
?? ?? iiiOO xFFmM )(主矩
平面平行力系,各力的作用线在同一平面内且相互平行的力系叫 ～。
三、平衡方程的特殊情况平面 ——平行力系的平衡方程
40
所以 平面平行力系的平衡方程为,
0)( ?? iA Fm
0)( ?? iB Fm
二矩式
条件,AB连线不能平行
于力的作用线
0?? Y
0)( ?? iO Fm
一矩式
实质上是各力在 x 轴上的投影
恒等于零，即
恒成立,所以只有两个
独立方程，只能求解两个独立
的未知数。
0?? X
41
0,0 ??? AXX由
02
2; 0)(
????????
??
aPm
a
aqaR
Fm
B
A
0?? Y 0????? PqaRY
BA
)kN(122028.0162 8.02022 ??????????? PamqaR B
)kN(24128.02020 ???????? BA RqaPY
[例 ] 已知,P=20kN,m=16kN·m,q=20kN/m,a=0.8m
求,A,B的支反力。
解：研究 AB梁
解得,
42
[例 ]
四、物体系统的平衡问题
外力,外界物体作用于系统上的力叫外力。
内力,系统内部各物体之间的相互作用力叫内力。
物体系统（ 物系 ）：由若干个物体通过约束所组成的系统叫 ～。
43
物系平衡的特点,
①物系静止
②物系中每个单体也是平衡的。每个单体可列 3个
平衡方程，整个系统可列 3n个方程（设物系中
有 n个物体）
解物系问题的一般方法,
由整体 局部 （常用）,由局部 整体 （用较少）
44
[例 ] 已知,OA=R,AB= l,当 OA水平时，冲压力为 P时,
求：① M=？② O点的约束反力？③ AB杆内力？
④冲头给导轨的侧压力？
0?? X由
0s i n ??? ?BSN
0?? Y
0co s ??? ?BSP
?? gPNPS B t,c o s ???
解,研究 B
45
0)( ?? Fm O
0c o s ???? MRS A ?
0?? X
0s i n ??? ?AO SX
0?? Y
0c o s ??? OA YS ?
PRM ??
PY O ??? t gPX O ??
[负号表示力的方向与图中所设方向相反 ]
再研究轮
46
,平面一般力系习题课,
一、力线平移定理是力系简化的理论基础
力 力 +力偶
③ 平衡;0,0' ?? OMR
合力矩定理
)()(
1
i
n
i
OO FmRm ?
?
?;0,0;0,0 '' ???? OO MRMR 或
① 合力（主矢）;0,0' ?? OMR
② 合力偶（主矩）
二、平面一般力系的合成结果
本章小结,
47
一矩式 二矩式 三矩式
三,
? ?
? ?
? ?
0)(
0
0
Fm
Y
X
O ?
?
? ?
? ?
0)(
0)(
0
Fm
Fm
X
B
A
A,B连线不 x轴 ?
? ?
? ?
? ?
0)(
0)(
0)(
Fm
Fm
Fm
C
B
A
A,B,C不共线
平面一般力系的平衡方程
平面平行力系的平衡方程
成为恒等式
一矩式 二矩式
? ? 0X?
0)(
0
??
??
Fm
Y
A 0)(
0)(
?
?
?
?
Fm
Fm
B
A
BA 连线不平行于力线
48
平面汇交力系的平衡方程
成为恒等式 0)( ?? Fm A? ?
?
?
?
?
0
0
Y
X
平面力偶系的平衡方程
0?? im
四、物系平衡
物系平衡时，物系中每个构件都平衡,
解物系问题的方法常是,由整体 局部 单体
49
六、解题步骤与技巧
解题步骤 解题技巧
选研究对象 选坐标轴最好是未知力 投影轴；
画受力图（受力分析） 取矩点最好选在未知力的交叉点上；
选坐标、取矩点、列 充分发挥二力杆的直观性；
平衡方程。
解方程求出未知数 灵活使用合力矩定理。
① ①
② ②
③ ③
④ ④
?
七、注意问题
力偶在坐标轴上投影不存在；
力偶矩 M =常数，它与坐标轴与取矩点的选择无关。
50
解, 选整体研究
受力如图
选坐标、取矩点,Bxy,B点
列方程为,
解方程得
①
②
③
④
? ? 0X ;0?BX
0?? Bm 0??? DEPM B
)mN(100011000 ????BM
? ? 0Y ;0?? PY B PYB ?
[例 1] 已知各杆均铰接,B端插入地内,P=1000N，
AE=BE=CE=DE=1m，杆重不计。 求 AC 杆内力？ B点的反力？
八、例题分析
51
受力如图
取 E为矩心，列方程
解方程求未知数
045s i n,0 ???????? EDPCESm oCAE
①
②
③
④
)N(1 4 1 41707.0 11 0 0 045s i n ?????????? CEEDPS oCA
再研究 CD杆
52
[例 2] 已知,P=100N,AC=1.6m,BC=0.9m,CD=EC=1.2m,AD=2m
且 AB水平,ED铅垂,BD垂直于
斜面； 求?和支座反力？
解, 研究整体
画受力图
选坐标列方程
?BDS
02.15.2,0 ??????? PYm AB
0s i nc o ss i n,0' ???????? ??? PYXX AA
5
3
2
2.1 co s ;
5
4
2
6.1 s i n ??????
AD
CD
AD
AC ??而
N48 ;N1 3 6, ???? AA YX解得
53
再研究 AB杆，受力如图
0s i n,0 ???????? ACYCBSm ABC ?由
N7.106
5
49.0
6.1)48(
s i n
,?
?
??
?
?
?
?
?BC
ACY
S AB解得
54
[例 3] 已知：连续梁上,P=10kN,Q=50kN,CE 铅垂,不计梁重
求,A,B和 D点的反力 （看出未知数多余三个，不能先整
体求出，要拆开）
0?? Fm由
0512 ?????? PQY G
)kN(502 10550 ????? GY
解, ① 研究起重机
55
? ? 0Cm由
016 ' ???? GD YY
)kN(33.8650 ??? DY
0610123,0 ?????????? QPYYm DBA )kN(100?? BY
0,0 ??????? PQYYYY DBA )kN(33.48??? AY
③
再
研
究
整
体
② 再研究梁 CD
第二章 平面力系
§ 2–1 平面汇交力系
§ 2–2 力的投影、力矩和力偶
§ 2–3 平面一般力系
2
§ 2-1 平面汇交力系
一、合成的几何法
?c o s2 212221 FFFFR ???
)180s i n (s i n
1
?? ??
RF
2,任意个共点力的合成
为力多边形
1.两个共点力的合成
合力方向由正弦定理,
由余弦定理,
?? c o s)1 8 0c o s ( ????由力的平行四边形法则作，
也可用力的三角形来作。
3
结论,即,
即：平面汇交力系的合力等于各分力的矢量和，合力的作用
线通过各力的汇交点。
二、平面汇交力系平衡的几何条件
?? FR
4321 FFFFR ????
在上面几何法求力系的合力中，合力为
零意味着力多边形自行封闭。所以平面
汇交力系平衡的必要与充分的几何条件
是,
平面汇交力系平衡的充要条件是,
? ?? 0FR
力多边形自行封闭
或
力系中各力的矢量和等于零
4
[例 ] 已知压路机碾子重 P=20kN,r=60cm,欲拉过 h=8cm的障碍
物。求：在中心作用的水平力 F的大小和碾子对障碍物的压力。
577.0)(tg
22
?? ??? hr hrr?
又由几何关系,
① 选碾子为研究对象
② 取分离体画受力图
解,
∵ 当碾子刚离地面时 NA=0,拉力 F最大,这时
拉力 F和自重及支反力 NB构成一平衡力系。
由平衡的几何条件，力多边形封闭，故
?tg?? PF ?co sPN B ?
5
由作用力和反作用力的关系,碾子对障碍物的压力等于 23.1kN。
此题也可用力多边形方法用比例尺去量。
F=11.5kN,NB=23.1kN 所以
几何法解题步骤：①选研究对象；②作出受力图；
③作力多边形，选择适当的比例尺；
④求出未知数
几何法解题不足,①精度不够，误差大 ②作图要求精度高；
③不能表达各个量之间的函数关系。
下面我们研究平面汇交力系合成与平衡的另一种方法,
解析法 。
6
F
F
F
X x???c o s
F
F
F
Y y???c o s
22
yx FFF ??
一、力在坐标轴上的投影
X=Fx=F·cos?,
Y=Fy=F·sin?=F ·cos?
§ 2–2 力的投影、力矩和力偶
1、力在坐标轴上的投影
7
2、合力投影定理 由图可看出，各分力在 x轴和在 y
轴投影的和分别为,
????? XXXXR x 421
??????? YYYYYR y 4321
?? YR y?? XR x
合力投影定理：合力在任一轴上的投影，等于各分力在同一
轴上投影的代数和。
即,
8
合力的大小,
方向,
作用点,
2222
?? ???? YXRRR yx
x
y
R
R
??tg ?
?
?? ??
X
Y
R
R
x
y 11 tgtg?
∴
为该力系的汇交点
3、平面汇交力系合成与平衡的解析法
从前述可知：平面汇交力系平衡的必要与充分条件是该力系
的合力为零。 即,00
22
???? yx RRR
?
?
??
??
0
0
YR
XR
y
x 为平衡的充要条件，也叫平衡方程
9
解,①研究 AB杆
②画出受力图
③列平衡方程
④解平衡方程
0?? X
0??Y
045c o sc o s 0 ???? CDA SR ?
045s i ns i n 0 ?????? CDA SRP ?
[例 ] 已知 P=2kN 求 SCD,RA
由 EB=BC=0.4m,
3
1
2.1
4.0tg ???
AB
EB?解得,
kN 24.4tg45c o s45s in 00 ???? ?PS CD kN 16.3
c o s
45c o s 0 ???
?CDA SR；
?
10
[例 ] 已知如图 P,Q,求平衡时 =？ 地面的反力 ND=？ ?
解,研究球受力如图,
选投影轴列方程为
PP-TN D 3Q60s i n2Qs i n-Q 02 ????? ?
由②得
060???
212c o s 21 ??? PPT
T?
由①得
0?? X
0?? Y
0co s 12 ??? TT ?
0Qs i n2 ???? DNT ?
①
②
11
又,
?co s
FN ?
)2(1)(c o s
22
hRhRR hRR ??????
)2( hRh
RFN
??
???
[例 ] 求当 F力达到多大时，球离开地面？已知 P,R,h
解,研究块,受力如图,
解力三角形,
12
再研究球，受力如图,
作力三角形
解力三角形,
?s i n??? NP?
R
hR ???s i n?又 NN ??
R
hR
hRh
RFNP ??
??
?????
)2(
s i n ?
)2(
)(
hRh
hRFP
?
???
hR
hRhPF
?
??? )2(
时球方能离开地面当 hR hRhPF ? ??? )2(
NB=0时为球
离开地面
13
1、一般地，对于只受三个力作用的物体，且角度
特殊时用 几 何法（解力三角形）比较简便。
解题技巧及说明,
3、投影轴常选择与未知力垂直，最好使每个方程中
只有一个未知数。
2、一般对于受多个力作用的物体，且角度不特殊或
特殊，都用解析法。
14
5、解析法解题时，力的方向可以任意设，如果求出
负值，说明力方向与假设相反。对于二力构件,
一般先设为拉力，如果求出负值，说明物体受压
力。
4、对力的方向判定不准的，一般用解析法。
15
① 是代数量。 )( FM
O
当 F=0或 d=0时,=0。 )( FM
O
③ 是影响转动的独立因素。 )( FM O
⑤ =2⊿ AOB=F?d,2倍 ⊿ 形面积。 )( FM
O
力对物体可以产生 移动效应 --取决于力的大小、方向
转动效应 --取决于力矩的大小、方向
- + 二、力矩
dFFM O ???)(
说明,
② F↑,d↑ 转动效应明显。
④ 单位 N?m，工程单位 kgf?m。
§ 2–2 力的投影、力矩和力偶
1、力矩的概念
16
定理,平面汇交力系的合力对平面内任一点的矩，等于所
有各分力对同一点的矩的代数和
即,
2、合力矩定理
由合力投影定理有：
证毕现 )()()( 21 FmFmRm ooo ??
[证 ]
?
?
?
n
i
iOO FmRm
1
)()(
od=ob+oc
oboAo ABFM o ???? 2)( 1
ocoAo ACFM o ???? 2)( 2
odoAo ADRM o ??? ?2)(
又 ∵
17
[例 ] 已知：如图 F,Q,l,求,和
解,①用力对点的矩法
②应用合力矩定理
)( Fm O )(Qm o
? s i n)(
lFdFFm
O ????
lQQm o ???)(
?c t g)( ????? lFlFFm yxO
lQQm o ???)(
18
① 两个同向平行力的合力 大小,R=Q+P
方向：平行于 Q,P且指向一致
作用点,C处
确定 C点，由合力距定理
)()( QmRm BB ? QPR ???又
ABQCBR ????
代入CBACAB ?? Q
P
CB
AC ?整理得
三、力偶的概念和性质
力偶,两力大小相等，作用线不重合的反向平行力叫力偶。
性质 1：力偶既没有合力，本身又不平衡，是一个基本力学量。
1、力偶的概念
19
② 两个反向平行力的合力 大小,R=Q-P
方向：平行于 Q,P且与较大的相同
作用点,C处 （推导同上）
P
Q
CA
CB ?
性质 2：力偶对其所在平面内任一点的矩恒等于力偶矩，而
与矩心的位置无关，因此力偶对刚体的效应用力偶矩度量。
力偶 无合力 R=F'-F=0
1' ??
F
F
CA
CB? CACB ??
???? CBdCBCB 必有成立若,
处合力的作用点在无限远????? d
20
??? 0)( Rm O ????? 0)'()( FmFm OO
为有限量证明 ??? 0)( Rm O
xFdxFFmFm OO ?????? ')()'()(?
)( RmdF O????
说明：① m是代数量，有 +,-；
② F,d 都不独立，只有力偶矩 是独立 量；
③ m的值 m=± 2⊿ ABC ；
④单位,N? m
dFm ???
由于 O点是任取的
dFm ???? — +
d
21
性质 3：平面力偶等效定理
作用在同一平面内的两个力偶，只要它的力偶矩的大小相等，
转向相同，则该两个力偶彼此等效。
[证 ] 设物体的某一平面
上作用一力偶 (F,F')
现沿力偶臂 AB方向
加一对平衡力 (Q,Q'),
Q',F'合成 R',
再将 Q,F合成 R,
得到新力偶 (R,R'),
将 R,R'移到 A',B'点，则 (R,R')，取 代了原力偶 (F,F' )
并与原力偶等效。
22
② 只要保持力偶矩大小和转向
不变，可以任意改变力偶中力
的大小和相应力偶臂的长短，
而不改变它对刚体的作用效应。
由上述证明可得下列 两个推论,
比较 (F,F')和 (R,R')可得
m(F,F')=2△ ABD=m(R,R')
=2 △ ABC
即△ ABD= △ ABC,
且它们转向相同。
① 力偶可以在其作用面内任
意移动，而不影响它对刚体
的作用效应。
23;111 dFm ??
222 dFm ??
dPm 11 ?又
dPm 22 ???
'21 PPR A ??
2'1 PPR B ??
21'21'21 )( mmdPdPdPPdRM A ????????? 合力矩
平面力偶系,作用在物体同一平面的许多力偶叫平面力偶系
设有两个力偶
d d
2、力偶系的合成与平衡
24
平面力偶系平衡的充要条件是,所有各力偶矩的代数和
等于零。
?
?
?????
n
i
in mmmmM
1
21 ?
即 0
1
??
?
n
i
im
结论,
平面力偶系合成结果还是一个力偶,其力偶矩为各力偶矩
的代数和 。
25
[例 ] 在一钻床上水平放置工件,在工件上同时钻四个等直径
的孔,每个钻头的力偶矩为
求工件的总切削力偶矩和 A, B端水平反力?
mN154321 ????? mmmm
mN60)15(4
4321
??????
???? mmmmM
02.0 4321 ?????? mmmmN B
N3 0 02.060 ??? BN N 3 0 0??? BA NN
解, 各力偶的合力偶距为
根据平面力偶系平衡方程有,
由力偶只能与力偶平衡的性质，
力 NA与力 NB组成一力偶。
26
平面一般力系, 各力的作用线在同一平面内，既不汇交为一点
又不相互平行的力系叫 ～。
[例 ]
力系向一点简化, 把未知力系（平面任意力系）变成已知
力系（平面汇交力系和平面力偶系）
§ 2-3 平面一般力系
27
2-3-1 力线平移定理
力的平移定理, 可以把作用在刚体上点 A的力 平行移到任一
点 B，但必须同时附加一个力偶。这个力偶
的矩等于原来的力 对新作用点 B的矩。 F
F
[证 ] 力 力系 ），力偶（力 FFF ????FFF ???,,F
28
① 力线平移定理揭示了力与力偶的关系：力 力 +力偶
（例断丝锥）
②力平移的条件是附加一个力偶 m，且 m与 d有关,m=F?d
③ 力线平移定理是力系简化的理论基础。
说明,
29
2-3-2 平面一般力系向一点简化
一般力系（任意力系） 向一点简化 汇交力系 +力偶系
（未知力系） （已知力系）
汇交力系 力, R'(主矢 ), (作用在简化中心 )
力 偶 系 力偶, MO (主矩 ), (作用在该平面上 )
一、平面一般力系向一点简化
30
大小,
主矢 方向,
简化中心 (与简化中心位置无关 )
[因主矢等于各力的矢量和 ]
R?
?????? iFFFFR ?321'主矢
?????
????
)()()(
21
321
iOOO
O
FmFmFm
mmmM
?
?主矩
2222 )()(''' ?? ???? YXRRR
yx
?
??? ??
X
Y
R
R
x
y 11 tgtg?
（ 移动效应 ）
31
大小,
主矩 MO 方向, 方向规定 + —
简化中心, (与简化中心有关 )
（因主矩等于各力对简化中心取矩的代数和）
)( iOO FmM ??
（ 转动效应 ）
固定端（插入端）约束 在工程中常见的
雨 搭 车 刀
32
固定端（插入端）约束 说明
① 认为 Fi这群力在同一
平面内 ;
② 将 Fi向 A点简化得一
力和一力偶 ;
③ RA方向不定可用正交
分力 YA,XA表示 ;
④ YA,XA,MA为固定端
约束反力 ;
⑤ YA,XA限制物体平动,
MA为限制转动。
33
简化结果,主矢,主矩 MO,下面分别讨论 。
② =0,MO≠0 即简化结果为一合力偶,MO=M 此时刚
体等效于只有一个力偶的作用，因为力偶可以在刚体平
面内任意移动，故这时，主矩与简化中心 O无关。
R?
① =0,MO =0,则力系平衡,下节专门讨论。 R?
R?
③ ≠0,MO =0,即简化为一个作用于简化中心的合力。这时,
简化结果就是合力 （ 这个力系的合力）,。 （此时
与简化中心有关，换个简化中心，主矩不为零）
R?
RR ??
二、平面一般力系的简化结果讨论
34
R?④ ≠0,MO ≠0,为最一般的情况。此种情况还 可以继续简
化为一个合力 。 R
合力 的大小等于原力系的主矢
合力 的作用线位置
R
Md O?
R
R
35
结论,
)(
1
?
?
?
n
i
iOO FmM
)()( 主矩OO MdRRm ???
?
)()(
1
?
?
?
n
i
iOO FmRM
平面任意力系的简化结果,①合力偶 MO ； ②合力
合力矩定理,由于主矩
而合力对 O点的矩
——— 合力矩定理
由于简化中心是任意选取的，故此式有普遍意义。
即,平面任意力系的合力对作用面内任一点之矩等于力系
中各力对于同一点之矩的代数和。
R
36
2-3-3 平面一般力系的平衡条件与平衡方程
由于 =0 为力平衡
MO=0 为力偶也平衡
R?
所以 平面任意力系平衡的充要条件为,
力系的主矢 和主矩 MO 都等于零,即,
0)()(' 22 ??? ?? YXR
0)( ?? ? iOO FmM
R?
一、平衡方程的基本形式
37
0?? X
0)( ?? iA Fm
0)( ?? iB Fm
② 二矩式
条件,x 轴不 AB
连线
?
0)( ?? iA Fm
0)( ?? iB Fm
0)( ?? iC Fm
③ 三矩式
条件,A,B,C不在
同一直线上
上式有三个独立方程，只能求出三个未知数。
0?? X
0?? Y
0)( ?? iO Fm
① 一矩式
二、平衡方程的其他形式
38
[例 ] 已知,P,a,求,A,B两点的支座反力？
解：①选 AB梁研究
②画受力图（ 以后注明
解除约束，可把支反
力直接画在整体结构
的原图上 ）
0)( ?? iA Fm由
3
2,032 PNaNaP
BB ???????
0?? X 0?AX
0?? Y
3,0
PYPNY
ABB ?????
解除约束
39
设有 F1,F2 … Fn 各平行力系,
向 O点简化得,
合力作用线的位置为,
平衡的充要条件为 主矢 =0
主矩 MO =0
?
???
F
xF
R
Mx iiO
R ' R?
??? FRR O '主矢
?? ?? iiiOO xFFmM )(主矩
平面平行力系,各力的作用线在同一平面内且相互平行的力系叫 ～。
三、平衡方程的特殊情况平面 ——平行力系的平衡方程
40
所以 平面平行力系的平衡方程为,
0)( ?? iA Fm
0)( ?? iB Fm
二矩式
条件,AB连线不能平行
于力的作用线
0?? Y
0)( ?? iO Fm
一矩式
实质上是各力在 x 轴上的投影
恒等于零，即
恒成立,所以只有两个
独立方程，只能求解两个独立
的未知数。
0?? X
41
0,0 ??? AXX由
02
2; 0)(
????????
??
aPm
a
aqaR
Fm
B
A
0?? Y 0????? PqaRY
BA
)kN(122028.0162 8.02022 ??????????? PamqaR B
)kN(24128.02020 ???????? BA RqaPY
[例 ] 已知,P=20kN,m=16kN·m,q=20kN/m,a=0.8m
求,A,B的支反力。
解：研究 AB梁
解得,
42
[例 ]
四、物体系统的平衡问题
外力,外界物体作用于系统上的力叫外力。
内力,系统内部各物体之间的相互作用力叫内力。
物体系统（ 物系 ）：由若干个物体通过约束所组成的系统叫 ～。
43
物系平衡的特点,
①物系静止
②物系中每个单体也是平衡的。每个单体可列 3个
平衡方程，整个系统可列 3n个方程（设物系中
有 n个物体）
解物系问题的一般方法,
由整体 局部 （常用）,由局部 整体 （用较少）
44
[例 ] 已知,OA=R,AB= l,当 OA水平时，冲压力为 P时,
求：① M=？② O点的约束反力？③ AB杆内力？
④冲头给导轨的侧压力？
0?? X由
0s i n ??? ?BSN
0?? Y
0co s ??? ?BSP
?? gPNPS B t,c o s ???
解,研究 B
45
0)( ?? Fm O
0c o s ???? MRS A ?
0?? X
0s i n ??? ?AO SX
0?? Y
0c o s ??? OA YS ?
PRM ??
PY O ??? t gPX O ??
[负号表示力的方向与图中所设方向相反 ]
再研究轮
46
,平面一般力系习题课,
一、力线平移定理是力系简化的理论基础
力 力 +力偶
③ 平衡;0,0' ?? OMR
合力矩定理
)()(
1
i
n
i
OO FmRm ?
?
?;0,0;0,0 '' ???? OO MRMR 或
① 合力（主矢）;0,0' ?? OMR
② 合力偶（主矩）
二、平面一般力系的合成结果
本章小结,
47
一矩式 二矩式 三矩式
三,
? ?
? ?
? ?
0)(
0
0
Fm
Y
X
O ?
?
? ?
? ?
0)(
0)(
0
Fm
Fm
X
B
A
A,B连线不 x轴 ?
? ?
? ?
? ?
0)(
0)(
0)(
Fm
Fm
Fm
C
B
A
A,B,C不共线
平面一般力系的平衡方程
平面平行力系的平衡方程
成为恒等式
一矩式 二矩式
? ? 0X?
0)(
0
??
??
Fm
Y
A 0)(
0)(
?
?
?
?
Fm
Fm
B
A
BA 连线不平行于力线
48
平面汇交力系的平衡方程
成为恒等式 0)( ?? Fm A? ?
?
?
?
?
0
0
Y
X
平面力偶系的平衡方程
0?? im
四、物系平衡
物系平衡时，物系中每个构件都平衡,
解物系问题的方法常是,由整体 局部 单体
49
六、解题步骤与技巧
解题步骤 解题技巧
选研究对象 选坐标轴最好是未知力 投影轴；
画受力图（受力分析） 取矩点最好选在未知力的交叉点上；
选坐标、取矩点、列 充分发挥二力杆的直观性；
平衡方程。
解方程求出未知数 灵活使用合力矩定理。
① ①
② ②
③ ③
④ ④
?
七、注意问题
力偶在坐标轴上投影不存在；
力偶矩 M =常数，它与坐标轴与取矩点的选择无关。
50
解, 选整体研究
受力如图
选坐标、取矩点,Bxy,B点
列方程为,
解方程得
①
②
③
④
? ? 0X ;0?BX
0?? Bm 0??? DEPM B
)mN(100011000 ????BM
? ? 0Y ;0?? PY B PYB ?
[例 1] 已知各杆均铰接,B端插入地内,P=1000N，
AE=BE=CE=DE=1m，杆重不计。 求 AC 杆内力？ B点的反力？
八、例题分析
51
受力如图
取 E为矩心，列方程
解方程求未知数
045s i n,0 ???????? EDPCESm oCAE
①
②
③
④
)N(1 4 1 41707.0 11 0 0 045s i n ?????????? CEEDPS oCA
再研究 CD杆
52
[例 2] 已知,P=100N,AC=1.6m,BC=0.9m,CD=EC=1.2m,AD=2m
且 AB水平,ED铅垂,BD垂直于
斜面； 求?和支座反力？
解, 研究整体
画受力图
选坐标列方程
?BDS
02.15.2,0 ??????? PYm AB
0s i nc o ss i n,0' ???????? ??? PYXX AA
5
3
2
2.1 co s ;
5
4
2
6.1 s i n ??????
AD
CD
AD
AC ??而
N48 ;N1 3 6, ???? AA YX解得
53
再研究 AB杆，受力如图
0s i n,0 ???????? ACYCBSm ABC ?由
N7.106
5
49.0
6.1)48(
s i n
,?
?
??
?
?
?
?
?BC
ACY
S AB解得
54
[例 3] 已知：连续梁上,P=10kN,Q=50kN,CE 铅垂,不计梁重
求,A,B和 D点的反力 （看出未知数多余三个，不能先整
体求出，要拆开）
0?? Fm由
0512 ?????? PQY G
)kN(502 10550 ????? GY
解, ① 研究起重机
55
? ? 0Cm由
016 ' ???? GD YY
)kN(33.8650 ??? DY
0610123,0 ?????????? QPYYm DBA )kN(100?? BY
0,0 ??????? PQYYYY DBA )kN(33.48??? AY
③
再
研
究
整
体
② 再研究梁 CD
