第二章 拉伸与压缩
§ 3-1 轴向拉伸与压缩的概述
受力特征：杆受一对大小相等、方向相反的纵 向力
，力的作用线与杆轴线重合
变形特征：沿轴线方向伸长或缩短，横
截面沿轴线平行移动
§ 3-2截面法、轴力、轴力图
N P? ? ?N P
拉伸为正，压缩为负
1、内力的概念
2、截面法
二、轴力
一、内力与截面法
例：求图示杆 1-1,2-2,3-3截面上的轴力
解,
N 1 10? kN
N 2 5? ? kN
N 3 20? ? kN
三、轴力图
N
N
N
1
2
3
10
5
20
?
? ?
? ?
kN
kN
kN
轴力图
P1
P2
m
m
K
一,应力的概念
一、应力,
内力在杆件截面上某一点的密集程度
Δ A
Δ F P3
P4
P3
P4
?
?? ??
?
kA FA
F
0lim
正应力 s
剪应力 ?
控制 复杂，按理论力学上分成两个分量 ?kF ?
kF
量纲,
力 /长度 2＝ N/m2 ＝ Pa
通常用 MPa＝ N/mm2 ＝ 10 6 Pa
有些材料常数 GPa＝ kN/mm2 ＝ 10 9 Pa
工程上用 kg/cm2 ＝ 0.1 MPa
用控制 s,?来控制,由 s,?来建立强度条件 ?
kF
?kF
K s
?
§ 3-3 轴向拉伸或压缩杆件的应力
1、横截面上的正应力公式
N
s
平面假设,
变形前为平面的横截面，变形后仍保
持为平面，且垂直于杆轴线。
设想杆件由无数根平行于轴线的纵向纤维组成
平面假设
AdAdNN
A
???? ? ? ss
求应力，先要找到应力在横截面上的分布情况。
应力是内力的集度，而内力与变形有关，所以可以由
观察杆件变形来确定应力在截面上的分布规律。
各纤维伸长相同 各点内力相等 应力在横截上均匀分布
N —— 轴力
A —— 横截面积
正应力的正负号与轴力 N相同，拉为正，压为负。 AN?s
二,拉压杆应力的计算
例 图所示为一民用建筑砖柱，上段截面尺寸为 240?240mm，承受荷载 P1
＝ 50kN；下段 370?370mm，承受荷载 P2＝ 100kN。试求各段轴力和应力。
解：外力和的作用线都与柱的轴线重
合，故 AB和 BC段均产生轴向压缩。
（ 1）求轴力
截面法：沿 1-1截面截开
设轴力为拉力，列静力平衡方程,
AB段,N1＝－ P1＝－ 50kN
BC段,N2＝－ P1－ P2 ＝－ 150kN
绘轴力图
AB段,A1＝ 240?240mm＝ 57600mm2
M P a87.0
mm/N87.0
5 7 6 0 0
1050
A
N 23
1
1
1
??
??????s
BC段,A2＝ 370?370mm＝ 136900mm2
M P a1.1
mm/N1.1
1 3 6 9 0 0
10150
A
N 23
2
2
2
??
??????s
应力为负号表示柱受压。正应力的正负号与轴力 N相同。
计算时将轴力 N的符号代入，结果为正即拉应力，负即为压应力。
（ 2）求应力
P P
d ′
a ′
c ′
b ′
? x +d ? x
L+d LL 1
横截面
a b
c d
?x
L
一、拉压杆的纵向变形及线应变
§ 3－ 4 轴向拉（压）杆的变形
4,x点处的纵向线应变,
x
xd
x ?
??
?? 0
lim ?
6,x点处的横向线应变,
5、杆的横向变形,accaac ?????
ac
ac????
1、杆的纵向总变形,LLL ???
1
2、线应变：单位长度的线变形。
3、平均线应变,
L
LL
L
L ???? 1?
（ 7-5）
（ 7-4）
二、拉压杆的胡克定律
A
PLL ??
EA
NL
EA
PLL ???
1、等内力拉压杆的弹性定律
2、变内力拉压杆的弹性定律
)(
)()(
xEA
dxxNdx ??
?? ???? LL xEA dxxNdxL )()( )(
N （ x ）
x
d x
?
?
??
n
i ii
ii
AE
LNL
1
内力在 n段中分别为常量时
E：比例常数，材料的弹性模量
※“EA” 称为杆的抗拉压刚度。
P P
（ 7-6）
1
)(
)(1)( s?
ExA
xN
Edx
dx ????
3、单向应力状态下的弹性定律,
1,s?
E
?即
4、泊松比（或横向变形系数）
?
?? ??
, ??? ???或
弹性定律是材料力学等固体力学中的一个非常重要的定律。一般认
为它是由英国科学家胡克 (1635一 1703)首先提出来的，所以通常叫做胡
克定律。
40
20
10
–
+
–
50kN 20kN 30kN
21 mm250?A
2
2 mm20?A
A B C D E
1m 2m 3m 1m
。求杆的总变形。材料的弹性模量
积，受力如图。已知杆的长度、截面面例
M P a101.2 5??E
解,画轴力图,
mm57.1
m0 0 1 5 7.0
109.111081.3
102 0 0101.2
3102011010
102 5 0101.2
2101011040
44
611
33
611
33
??
??
?????
???
?????
?
???
??????
?
?????
??????
??
?
?
?
?
EA
Nl
LL
LLLL
DECD
BCABi总
下的伸长量。
。求自重作用长抗拉刚度等直杆容重为例 lEA,,?
??a
y
qyN ?
y
q
L
q
EA
1 1
?
GyAlql ??
??b
qyN ?
dy
??c
解,
? ? ? ? ? ?
? ?
EA
GL
EA
LAL
EA
qL
EA
q y d y
EA
N d y
LdL
A
L
G
qALG
EA
N d y
Ld
cdybaqyN
L
LL
222
11
2
0
?
?
?????
????
???
???
?
??
??
?,,
,.
重量
图，，取微段轴力图图，截面，轴力取
dNN ?
§ 3－ 5 材料的力学性能与拉压强度计算
2、试验仪器：万能材料试验机；变形仪（常用引伸仪）。
一、试验条件及试验仪器
1、试验条件：常温 (20℃) ；静载（及其缓慢地加载）；标准试件。
EEA
P
L
L s? ????
二、低碳钢试件的拉伸图 (P-- ?L图 )
三、低碳钢试件的应力 --应变曲线 (s--?图 )
EA
PLL ??
(a)、低碳钢拉伸的弹性阶段 (o e段 )
E
s? ?
?tgE ?
)( nf ?s ?
2,p e --曲线段, -- 弹性极限
es
1,op --比例段, ---比例极限
ps
弹性区域内的应力 -应变关系
s（ MPa）
o ?
?
? △ s
△ ?
△
0.001
sp
p 200
e
屈服阶段的应力 -应变关系
s（ MPa）
o ?
?
? △ s
△ ?
△
0.001
sp
200
(b)、低碳钢 (Ⅰ 级钢）拉伸的屈服 (流动）阶段 (e s 段 )
e s --屈服 段, ---屈服极限
ss
塑性材料的失效应力,
ss
滑移线
,
150
100
50
250
p
e
se
s
ss
0.05
２、卸载定律,
３、冷作硬化,
４、冷作时效,
(c)、低碳钢拉伸的强化阶段 (ｓｂ 段 )
１,---强度 极限
bs
低碳钢 s-?曲线 o ?
150
100
50
250
0.15
b
s（ MPa）
?
0.05
sp
200 p e
se
s
ss
450
350
?p ?e
?t
sb
1、延伸率,?
00
1 1 0 0???
L
LL?
２、面缩率,?
00
1 100???
A
AA?
3、脆性、塑性及相对性
为界以 005??
(d)、低碳钢拉伸的颈缩（断裂）阶段 (ｂ ｆ 段 )
? ?
s
四、无明显屈服现象的塑性材料
0.2
s0.2
名义屈服应力,
s 0.2,即此类材料的失效应力。
五、铸铁拉伸时的机械性能
sｂ L ---铸铁拉伸强度 极限（失效应力）
割线斜率; ?tgE ?
?
s
s
b L
（六）、材料压缩时的机械性能
低碳钢压缩
铸铁压缩
---铸铁压缩强度 极限；
?（ 4 — 6）
bys
bys bls
§ 3-5 轴向拉压杆件强度计算
轴向拉压杆内的最大正应力,
s m a x
m a x? N
A
强度条件,
式中,称为最大工作应力
称为材料的许用应力
s sm a x m a x [ ]? ?
N
A
s m a x
[ ]s
根据 上述强度条件，可以进行三种类型
的强度计算,
一、校核杆的强度
已知 Nmax,A,[σ]，验算构件是否满足强度条件
二、设计截面
已知 Nmax,[σ],根据强度条件，求 A
三、确定许可载荷
已知 A,[σ]，根据强度条件,求 Nmax
例 1：一直径 d=14mm的圆杆，许用应力
[σ]=170MPa，受轴向拉力 P=2.5kN作
用，试校核此杆是否满足强度条件。
s
?
sm a x
m a x,
? ?
?
? ?
?
?
N
A
2 5 10
4
14 10
162
3
2 6
M P a < [ ]
解,
满足强度条件。
例 2：图示三角形托架,其杆 AB是由两根
等边角钢组成。已知 P=75kN,
[σ]=160MPa,试选择等边角钢的型号 。
解,由 得? M N P
C AB? ? ?0 75,,kN
A
N AB
?
[ ]s
?
?
?
75 10
160 10
3
6
? ? ??4 687 10 4 6874 2.,m cm2
选边厚为 的 号等边角钢 其3 4 2 359mm cm 2,.A ?
例 2：图示起重机，钢丝绳 AB的直径
d=24mm,[σ]=40MPa，试求该起重机
容许吊起的最大荷载 P。
CL2TU8
解,
N AAB ? ? ?
?
? ?[ ]
.
s
? 0 024
4
40 10
2
6
? ? ?18 086 10 18 0863.,N kN
P = 3 0, 0 2 4 kN
§ 3-1 轴向拉伸与压缩的概述
受力特征：杆受一对大小相等、方向相反的纵 向力
，力的作用线与杆轴线重合
变形特征：沿轴线方向伸长或缩短，横
截面沿轴线平行移动
§ 3-2截面法、轴力、轴力图
N P? ? ?N P
拉伸为正，压缩为负
1、内力的概念
2、截面法
二、轴力
一、内力与截面法
例：求图示杆 1-1,2-2,3-3截面上的轴力
解,
N 1 10? kN
N 2 5? ? kN
N 3 20? ? kN
三、轴力图
N
N
N
1
2
3
10
5
20
?
? ?
? ?
kN
kN
kN
轴力图
P1
P2
m
m
K
一,应力的概念
一、应力,
内力在杆件截面上某一点的密集程度
Δ A
Δ F P3
P4
P3
P4
?
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?
kA FA
F
0lim
正应力 s
剪应力 ?
控制 复杂，按理论力学上分成两个分量 ?kF ?
kF
量纲,
力 /长度 2＝ N/m2 ＝ Pa
通常用 MPa＝ N/mm2 ＝ 10 6 Pa
有些材料常数 GPa＝ kN/mm2 ＝ 10 9 Pa
工程上用 kg/cm2 ＝ 0.1 MPa
用控制 s,?来控制,由 s,?来建立强度条件 ?
kF
?kF
K s
?
§ 3-3 轴向拉伸或压缩杆件的应力
1、横截面上的正应力公式
N
s
平面假设,
变形前为平面的横截面，变形后仍保
持为平面，且垂直于杆轴线。
设想杆件由无数根平行于轴线的纵向纤维组成
平面假设
AdAdNN
A
???? ? ? ss
求应力，先要找到应力在横截面上的分布情况。
应力是内力的集度，而内力与变形有关，所以可以由
观察杆件变形来确定应力在截面上的分布规律。
各纤维伸长相同 各点内力相等 应力在横截上均匀分布
N —— 轴力
A —— 横截面积
正应力的正负号与轴力 N相同，拉为正，压为负。 AN?s
二,拉压杆应力的计算
例 图所示为一民用建筑砖柱，上段截面尺寸为 240?240mm，承受荷载 P1
＝ 50kN；下段 370?370mm，承受荷载 P2＝ 100kN。试求各段轴力和应力。
解：外力和的作用线都与柱的轴线重
合，故 AB和 BC段均产生轴向压缩。
（ 1）求轴力
截面法：沿 1-1截面截开
设轴力为拉力，列静力平衡方程,
AB段,N1＝－ P1＝－ 50kN
BC段,N2＝－ P1－ P2 ＝－ 150kN
绘轴力图
AB段,A1＝ 240?240mm＝ 57600mm2
M P a87.0
mm/N87.0
5 7 6 0 0
1050
A
N 23
1
1
1
??
??????s
BC段,A2＝ 370?370mm＝ 136900mm2
M P a1.1
mm/N1.1
1 3 6 9 0 0
10150
A
N 23
2
2
2
??
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应力为负号表示柱受压。正应力的正负号与轴力 N相同。
计算时将轴力 N的符号代入，结果为正即拉应力，负即为压应力。
（ 2）求应力
P P
d ′
a ′
c ′
b ′
? x +d ? x
L+d LL 1
横截面
a b
c d
?x
L
一、拉压杆的纵向变形及线应变
§ 3－ 4 轴向拉（压）杆的变形
4,x点处的纵向线应变,
x
xd
x ?
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lim ?
6,x点处的横向线应变,
5、杆的横向变形,accaac ?????
ac
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1、杆的纵向总变形,LLL ???
1
2、线应变：单位长度的线变形。
3、平均线应变,
L
LL
L
L ???? 1?
（ 7-5）
（ 7-4）
二、拉压杆的胡克定律
A
PLL ??
EA
NL
EA
PLL ???
1、等内力拉压杆的弹性定律
2、变内力拉压杆的弹性定律
)(
)()(
xEA
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?? ???? LL xEA dxxNdxL )()( )(
N （ x ）
x
d x
?
?
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n
i ii
ii
AE
LNL
1
内力在 n段中分别为常量时
E：比例常数，材料的弹性模量
※“EA” 称为杆的抗拉压刚度。
P P
（ 7-6）
1
)(
)(1)( s?
ExA
xN
Edx
dx ????
3、单向应力状态下的弹性定律,
1,s?
E
?即
4、泊松比（或横向变形系数）
?
?? ??
, ??? ???或
弹性定律是材料力学等固体力学中的一个非常重要的定律。一般认
为它是由英国科学家胡克 (1635一 1703)首先提出来的，所以通常叫做胡
克定律。
40
20
10
–
+
–
50kN 20kN 30kN
21 mm250?A
2
2 mm20?A
A B C D E
1m 2m 3m 1m
。求杆的总变形。材料的弹性模量
积，受力如图。已知杆的长度、截面面例
M P a101.2 5??E
解,画轴力图,
mm57.1
m0 0 1 5 7.0
109.111081.3
102 0 0101.2
3102011010
102 5 0101.2
2101011040
44
611
33
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EA
Nl
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BCABi总
下的伸长量。
。求自重作用长抗拉刚度等直杆容重为例 lEA,,?
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y
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1 1
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解,
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EA
N d y
LdL
A
L
G
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cdybaqyN
L
LL
222
11
2
0
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?????
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???
???
?
??
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?,,
,.
重量
图，，取微段轴力图图，截面，轴力取
dNN ?
§ 3－ 5 材料的力学性能与拉压强度计算
2、试验仪器：万能材料试验机；变形仪（常用引伸仪）。
一、试验条件及试验仪器
1、试验条件：常温 (20℃) ；静载（及其缓慢地加载）；标准试件。
EEA
P
L
L s? ????
二、低碳钢试件的拉伸图 (P-- ?L图 )
三、低碳钢试件的应力 --应变曲线 (s--?图 )
EA
PLL ??
(a)、低碳钢拉伸的弹性阶段 (o e段 )
E
s? ?
?tgE ?
)( nf ?s ?
2,p e --曲线段, -- 弹性极限
es
1,op --比例段, ---比例极限
ps
弹性区域内的应力 -应变关系
s（ MPa）
o ?
?
? △ s
△ ?
△
0.001
sp
p 200
e
屈服阶段的应力 -应变关系
s（ MPa）
o ?
?
? △ s
△ ?
△
0.001
sp
200
(b)、低碳钢 (Ⅰ 级钢）拉伸的屈服 (流动）阶段 (e s 段 )
e s --屈服 段, ---屈服极限
ss
塑性材料的失效应力,
ss
滑移线
,
150
100
50
250
p
e
se
s
ss
0.05
２、卸载定律,
３、冷作硬化,
４、冷作时效,
(c)、低碳钢拉伸的强化阶段 (ｓｂ 段 )
１,---强度 极限
bs
低碳钢 s-?曲线 o ?
150
100
50
250
0.15
b
s（ MPa）
?
0.05
sp
200 p e
se
s
ss
450
350
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sb
1、延伸率,?
00
1 1 0 0???
L
LL?
２、面缩率,?
00
1 100???
A
AA?
3、脆性、塑性及相对性
为界以 005??
(d)、低碳钢拉伸的颈缩（断裂）阶段 (ｂ ｆ 段 )
? ?
s
四、无明显屈服现象的塑性材料
0.2
s0.2
名义屈服应力,
s 0.2,即此类材料的失效应力。
五、铸铁拉伸时的机械性能
sｂ L ---铸铁拉伸强度 极限（失效应力）
割线斜率; ?tgE ?
?
s
s
b L
（六）、材料压缩时的机械性能
低碳钢压缩
铸铁压缩
---铸铁压缩强度 极限；
?（ 4 — 6）
bys
bys bls
§ 3-5 轴向拉压杆件强度计算
轴向拉压杆内的最大正应力,
s m a x
m a x? N
A
强度条件,
式中,称为最大工作应力
称为材料的许用应力
s sm a x m a x [ ]? ?
N
A
s m a x
[ ]s
根据 上述强度条件，可以进行三种类型
的强度计算,
一、校核杆的强度
已知 Nmax,A,[σ]，验算构件是否满足强度条件
二、设计截面
已知 Nmax,[σ],根据强度条件，求 A
三、确定许可载荷
已知 A,[σ]，根据强度条件,求 Nmax
例 1：一直径 d=14mm的圆杆，许用应力
[σ]=170MPa，受轴向拉力 P=2.5kN作
用，试校核此杆是否满足强度条件。
s
?
sm a x
m a x,
? ?
?
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N
A
2 5 10
4
14 10
162
3
2 6
M P a < [ ]
解,
满足强度条件。
例 2：图示三角形托架,其杆 AB是由两根
等边角钢组成。已知 P=75kN,
[σ]=160MPa,试选择等边角钢的型号 。
解,由 得? M N P
C AB? ? ?0 75,,kN
A
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[ ]s
?
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75 10
160 10
3
6
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选边厚为 的 号等边角钢 其3 4 2 359mm cm 2,.A ?
例 2：图示起重机，钢丝绳 AB的直径
d=24mm,[σ]=40MPa，试求该起重机
容许吊起的最大荷载 P。
CL2TU8
解,
N AAB ? ? ?
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.
s
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