第五章 压杆稳定
§ 5-1 压杆稳定性的概念
CL13TU1
钢板尺：一端固定
一端自
由
CL13TU2,3
称为临界压力
Pcr
CL13TU4
§ 5-2 细长压杆的临界压力
欧拉公式
一、两端铰支细长压杆的临界压力
CL13TU5
M x P v( ) ? ?
M x P v( ) ? ?
E I v M x P v?? ? ? ?( )
即 ?? ? ?v
P
E I
v 0
令 k
P
E I
2
?
，则 ?? ? ?v k v2 0
特征方程为 r k2 2 0? ?
有两个共轭复根 ? ki
附：求二阶常系数齐次 微分方程
的通解
?? ? ? ? ?y p y q 0
特征方程为 r pr q2 0? ? ?
①两个不相等的实根, 通解r r1 2
y C e C er x r x? ?1 21 2
②两个相等的实根 通解r r1 2?
y C C x e r x? ?（ ）1 2 1
③一对共轭复根 通解r i1 2,? ?? ?
y e C x C xx? ?? ? ?( c o s s i n )1 2
s i n kl ? 0
通解,v A kx B kx? ?s i n c o s
边界条件,x v? ?0 0时：
? ?B 0
x l v? ?时,0? ?A kls i n 0
? ? ?kl n n? (,,,)0 1 2 ?
k
n
l
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l
2 2
2
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k
P
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2
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P
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P
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c r
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2
2
两端铰支细长压杆临界压力的 欧拉公式
CL13TU6
二、其它杆端约束条件下细长压杆的临界压力
P
E I
l
c r
?
?
?
?
2
2
( )
称为长度系数
P
E I
l
c r
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?
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2
2
1
P
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l
c r
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2
2
2
2
( )
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2
2
0 7
0 7
(, )
.
P
E I
l
c r
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2
2
0 5
0 5
(, )
.
P
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2
2
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2
2
2
E I
l( )
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2
2
0 7
E I
l(, )
?
2
2
0 5
E I
l(, )
例：图示两桁架中各杆的材料和截面均相
同，设 P1和 P2分别为这两个桁架稳定的最大载
荷，则
(A) P1=P2 (B) P1<P2
(C) P1>P2 (D) 不能断定 P1和 P2
的关系
CL13TU10
解：图 中,杆受压( )a AD
N PAD ? 2 1
? ?
?
?
2
2
2
E I
a
? ?P
E I
a
1
2
2
1
2 2
?
图（ ）中,杆受压b AB
N PAB ? 2 ? ?
2
2
E I
a
? ?P
E I
a
2
2
2
?
例：长方形截面细长压杆,b/h=1/2；如
果将 b改为 h 后仍为细长杆，临界力 Pcr是原来
的多少倍？
CL13TU11
解：
P
P
cr b
cr a
?
?
?
?
?
2
2
2
2
E I
l
E I
l
b
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hb
4
3
12
12
?
?
?
?
?
?
?
h
b
3 ? 8
例：圆截面的细长压杆，材料、杆长和杆端
约束保持不变，若将压杆的直径缩小一半，则
其临界力为原压杆的＿＿＿＿＿；若将压杆的
横截面改变为面积相同的正方形截面，则其临
界力为原压杆的＿＿＿＿＿。
解,( )1
P
E I
l
cr ?
?
?
2
2( )
?
?
?
?
2
4
2
64
E
d
l( )
1
16
( )2
P
P
cr
cr
正
圆
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?
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?
?
2
2
2
2
E I
l
E I
l
正
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I
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d
d
2
2
4
4
12
64
?
?
3
例：三种不同截面形状的细长压杆如图
所示。试标出压杆失稳时各截面将绕哪根形心
主惯性轴转动。
正方形 等边角钢 槽钢
CL13TU12
例：五根直径都为 d的细长圆杆铰接构成
平面正方形杆系 ABCD，如各杆材料相同，弹
性模量为 E。求图 (a),(b)所示两种载荷作用
下杆系所能承受的最大载荷。
CL13TU15
解,( )a 杆 受压，其余杆受拉BD
BD 杆的临界压力,
? ?
P
E I
a
cr ?
?
2
2
2
?
? 2
22
E I
a
故杆系所能承受的最大 载荷
P P crm a x ?
?
? 2
22
E I
a
?
? 3 4
2128
E d
a
( )b 杆 受拉，其余杆受压BD
四根受压杆的临界压力,
P
E I
a
cr ?
?
2
2
故杆系所能承受的最大 载荷：
P P crm a x ? 2
?
2
64
3 4
2
? E d
a
例：图示结构,①、②两杆 截面和材料相
同，为细长压杆。确定使载荷 P 为最大值时的
θ角（设 0<θ<π/2）。
?
?
90?
② ①
CL13TU16
解：由静力平衡条件可 解得两杆的压力分别为,
N P N P1 2? ?c o s s i n? ?，
两杆的临界压力分别为,
P
E I
l
P
E I
l
c r c r1
2
1
2 2
2
2
2
? ?
? ?
，
要使 最大，只有, 都达
到临界压力，即
P N N1 2
P
E I
l
P
E I
l
c o s
s i n
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?
?
?
?
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2
1
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2
2
2
1
2
（ ）
（ ）
?
?
90?
② ①
将式 除以式 便得( ) ( ),2 1
1
2
2
tg ? ?
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?
?
?
?
?
l
l
? c t g 2 ?
由此得 ? ?? a r c t g ( c t g 2 )
?
?
90?
② ①
§ 5-3 压杆的临界应力及临界应力总图
一、压杆的临界应力
P
E I
l
c r ?
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2
2
( )
? c r
c rP
A
? ?
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2
2
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2
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2
2
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2
2
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l
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压杆的长细比
压杆的柔度
计算压杆的临界应力
的欧拉公式
?
?
?
c r
E
?
2
2
二、欧拉公式的适用范围 经验公式
在推导欧拉公式时,使用了挠曲线的近似微
分方程
E I v M x?? ? ( )
?
?
?
?c r p
E
? ?
2
2
在推导该方程时,应用了胡克定律。因此，欧拉公式也只有在满
足胡克定律时才能适用,
或写成 ?
?
?
?
2
E
p
欧拉公式的适用范围,
满足该条件的杆称为 细长杆 或大柔度杆
记 ?
?
?
p
p
E
?
2
则
? ?? p
对 A3钢，当取 E=206GPa,σp=200MPa,则
?
?
?
p
p
E
?
2
所以，只有压杆的长细比 λ≥100时，才能应用欧拉公式计算其
临界压力。
?
? ?
?
?
2 9
6
206 10
200 10
? 100
当压杆的长细比 λ＜ λp时，欧拉公式已不
适用。
? ?c r a b? ?
直线公式
式中 a,b是与材料性质有关的系数。
在工程上，一般采用经验公式。 在我国的设计手册和规
范中给出的是直线公式和抛物线公式。
表 13-2 直 线 公 式 的 系 数 a 和 b
材料 a( MPa) b( MPa)
A3 钢 304 1.12
优质碳钢 461 2.568
硅钢 578 3.744
铬钼钢 9807 5.296
铸铁 332.2 1.454
强铝 373 2.15
松木 28.7 0.19
下面考虑经验公式的适用范围,
? ? ?c r sa b? ? ?
经验公式的适用范围
对于塑性材料,
即 ?
?
?
?a
b
s
记 ?
?
s
sa
b
?
?
则 ? ? ?s p? ?
对于 λ＜ λs的杆，不存在失稳问题，应考虑强
度问题
? ?c r s?
? ?c r a b? ?1 1 2
a b1 1、
经验公式中，抛物线公式的表达式为
式中 也是与材料性质有关的系数，可在有关的设计
手册和规范中查到。
三、临界应力总图
1
2
3
2
2
,( ),
,( ),
,( ),
细长杆 用欧拉公式
中长杆 用经验公式
粗短杆 用强度条件
? ?
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?
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l
i
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小柔度杆 中柔度杆 大柔度杆
?s
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CL13TU20
§ 5-4 压杆的稳定性计算
稳定性条件,
P
P
n
c r
s t
m a x
[ ]
?
Pm ax
Pcr
[ ]n s t
n
P
P
ns t
c r
s t? ?
m a x
[ ]
nst
式中 ------压杆所受最大工作载荷
------压杆的临界压力
------压杆的规定稳定安全系数
稳定性条件也可以表示成,
式中 为压杆实际的工作稳定安全系数。
例,非细长杆如果误用了欧拉公式计算
临界力，其结果比实际＿＿＿＿＿＿；横截面
上的正应力有可能＿＿＿＿＿＿＿＿＿。
大，危险
超过比例极限
例：三根材料、长度均相同、两端均为
球铰支座的细长杆结构，各自的截面形状如图，
求三根杆的临界应力之比以及临界力之比。
CL13TU25
? ? ?c r a c r b c r c:, ??
?
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?
?
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2
1
2
2
2
2
2
3
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E E E
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2
2
2
3
2:,
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A
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2
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4
64
2
4
2
64 4 2
4
4
4
:,
? 1 1 5:,
P P Pc r a c r b c r c:, ?? ? ?c r a c r b c r cA A A1 2 3:,
? 1 2 20:,
例：图示圆截面压杆 d=40mm,σs=235MPa。
求可以用经验公式 σcr=304-1.12λ (MPa)计
算临界应力时的最小杆长。
CL13TU26
解,?
?
s
sa
b
?
?
?
304 235
1 12
61 6
?
?
.
.
由 得：?
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61 6
0 04
4
0 7
0 88.
.
.
,m
§ 5-1 压杆稳定性的概念
CL13TU1
钢板尺：一端固定
一端自
由
CL13TU2,3
称为临界压力
Pcr
CL13TU4
§ 5-2 细长压杆的临界压力
欧拉公式
一、两端铰支细长压杆的临界压力
CL13TU5
M x P v( ) ? ?
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特征方程为 r k2 2 0? ?
有两个共轭复根 ? ki
附：求二阶常系数齐次 微分方程
的通解
?? ? ? ? ?y p y q 0
特征方程为 r pr q2 0? ? ?
①两个不相等的实根, 通解r r1 2
y C e C er x r x? ?1 21 2
②两个相等的实根 通解r r1 2?
y C C x e r x? ?（ ）1 2 1
③一对共轭复根 通解r i1 2,? ?? ?
y e C x C xx? ?? ? ?( c o s s i n )1 2
s i n kl ? 0
通解,v A kx B kx? ?s i n c o s
边界条件,x v? ?0 0时：
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两端铰支细长压杆临界压力的 欧拉公式
CL13TU6
二、其它杆端约束条件下细长压杆的临界压力
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( )
称为长度系数
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(, )
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例：图示两桁架中各杆的材料和截面均相
同，设 P1和 P2分别为这两个桁架稳定的最大载
荷，则
(A) P1=P2 (B) P1<P2
(C) P1>P2 (D) 不能断定 P1和 P2
的关系
CL13TU10
解：图 中,杆受压( )a AD
N PAD ? 2 1
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例：长方形截面细长压杆,b/h=1/2；如
果将 b改为 h 后仍为细长杆，临界力 Pcr是原来
的多少倍？
CL13TU11
解：
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例：圆截面的细长压杆，材料、杆长和杆端
约束保持不变，若将压杆的直径缩小一半，则
其临界力为原压杆的＿＿＿＿＿；若将压杆的
横截面改变为面积相同的正方形截面，则其临
界力为原压杆的＿＿＿＿＿。
解,( )1
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例：三种不同截面形状的细长压杆如图
所示。试标出压杆失稳时各截面将绕哪根形心
主惯性轴转动。
正方形 等边角钢 槽钢
CL13TU12
例：五根直径都为 d的细长圆杆铰接构成
平面正方形杆系 ABCD，如各杆材料相同，弹
性模量为 E。求图 (a),(b)所示两种载荷作用
下杆系所能承受的最大载荷。
CL13TU15
解,( )a 杆 受压，其余杆受拉BD
BD 杆的临界压力,
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2128
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( )b 杆 受拉，其余杆受压BD
四根受压杆的临界压力,
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故杆系所能承受的最大 载荷：
P P crm a x ? 2
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3 4
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例：图示结构,①、②两杆 截面和材料相
同，为细长压杆。确定使载荷 P 为最大值时的
θ角（设 0<θ<π/2）。
?
?
90?
② ①
CL13TU16
解：由静力平衡条件可 解得两杆的压力分别为,
N P N P1 2? ?c o s s i n? ?，
两杆的临界压力分别为,
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到临界压力，即
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② ①
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由此得 ? ?? a r c t g ( c t g 2 )
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② ①
§ 5-3 压杆的临界应力及临界应力总图
一、压杆的临界应力
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计算压杆的临界应力
的欧拉公式
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二、欧拉公式的适用范围 经验公式
在推导欧拉公式时,使用了挠曲线的近似微
分方程
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2
2
在推导该方程时,应用了胡克定律。因此，欧拉公式也只有在满
足胡克定律时才能适用,
或写成 ?
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欧拉公式的适用范围,
满足该条件的杆称为 细长杆 或大柔度杆
记 ?
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对 A3钢，当取 E=206GPa,σp=200MPa,则
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所以，只有压杆的长细比 λ≥100时，才能应用欧拉公式计算其
临界压力。
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2 9
6
206 10
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当压杆的长细比 λ＜ λp时，欧拉公式已不
适用。
? ?c r a b? ?
直线公式
式中 a,b是与材料性质有关的系数。
在工程上，一般采用经验公式。 在我国的设计手册和规
范中给出的是直线公式和抛物线公式。
表 13-2 直 线 公 式 的 系 数 a 和 b
材料 a( MPa) b( MPa)
A3 钢 304 1.12
优质碳钢 461 2.568
硅钢 578 3.744
铬钼钢 9807 5.296
铸铁 332.2 1.454
强铝 373 2.15
松木 28.7 0.19
下面考虑经验公式的适用范围,
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经验公式的适用范围
对于塑性材料,
即 ?
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对于 λ＜ λs的杆，不存在失稳问题，应考虑强
度问题
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经验公式中，抛物线公式的表达式为
式中 也是与材料性质有关的系数，可在有关的设计
手册和规范中查到。
三、临界应力总图
1
2
3
2
2
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细长杆 用欧拉公式
中长杆 用经验公式
粗短杆 用强度条件
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小柔度杆 中柔度杆 大柔度杆
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CL13TU20
§ 5-4 压杆的稳定性计算
稳定性条件,
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式中 ------压杆所受最大工作载荷
------压杆的临界压力
------压杆的规定稳定安全系数
稳定性条件也可以表示成,
式中 为压杆实际的工作稳定安全系数。
例,非细长杆如果误用了欧拉公式计算
临界力，其结果比实际＿＿＿＿＿＿；横截面
上的正应力有可能＿＿＿＿＿＿＿＿＿。
大，危险
超过比例极限
例：三根材料、长度均相同、两端均为
球铰支座的细长杆结构，各自的截面形状如图，
求三根杆的临界应力之比以及临界力之比。
CL13TU25
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例：图示圆截面压杆 d=40mm,σs=235MPa。
求可以用经验公式 σcr=304-1.12λ (MPa)计
算临界应力时的最小杆长。
CL13TU26
解,?
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304 235
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