第一讲
第一章 绪论
§ 1.1 微分方程模型
例 1 求平面上过点 (1,3)且每点切线斜率为横坐标 2倍的曲线方程,
解, 设所求的曲线方程为 ).( xfy ? 由导数的几何意义,应有
t
,2)(' xxf ?
即
.2)( 2 CxCdxxxf ???? ?
又由条件, 曲线过 (1,3),即
,3)1( ?f
于是得,2?C 故所求的曲线方程为,
.22 ?? xy
例 2 物理冷却过程的数学模型
将某物体放置于空气中,在时刻 0?t 时,测得它的温度为
,1500 Cu ??
10分钟后测量得温度为 试决定此物,100
1 Cu ??
体的温度 和时间 的关系,并计算 20分钟后物体的温度, 这
里假设空气的温度保持在
u t
.24 Cu a ??
解, Newton 冷却定律,
1,热量总是从温度高的物体向温度低的物体传导 ;
2,在一定的温度范围内,一个物体的温度变化速度与这一
物体的温度与其所在的介质的温度之差成正比,
设物体在时刻 的温度为 根据导数的物理意义,则
温度的变化速度为 由 Newton冷却定律,得到
t ).(tu
.dtdu
),( auukdtdu ???
其中 为比例系数, 此数学关系式就是物体冷却过程的数
学模型,
0?k
注意,此式子并不是直接给出 和 之间的函数关系,而只是
给出了未知函数的导数与未知函数之间的关系式,如何由此式
子求得 与 之间的关系式,以后再介绍,
u t
u t
例 3 R-L-C电路
如图所示的 R-L-C电路, 它包含电感 L,电阻 R,电容 C及电源 e(t),
设 L,R,C均为常数,e(t)是时间 t的已知函数,试求当开关 K合上后,电
路中电流强度 I与时间 t之间的关系,
解, 电路的 Kirchhoff第二定律,
在闭合回路中,所有支路上的电压的代数和为零,
设当开关 K合上后,电路中在时刻 t的电流强度为 I(t),则电流
经过电感 L,电阻 R和电容的电压降分别为 其中 Q
为电量,于是由 Kirchhoff第二定律,得到,,,C
QRI
dt
dIL
.0)( ???? CQRIdtdILte
因为 于是得到
,dtdQI ?
.)(12
2
dt
tde
LLC
I
dt
dI
L
R
dt
Id ???
这就是电流强度 I与时间 t所满足的数学关系式,
例 4 数学摆
数学摆是系于一根长度为 的线上而质量为 的质点 M,
在重力作用下,它在垂直于地面的平面上沿圆周运动,如图所示,
试确定摆的运动方程,
l m
解, Newton第二定律,,maF ?
取反时针运动方向为计量摆与铅垂线所成的角 的正方
向, 则由 Newton第二定律,得到摆的运动方程为
?
.s in2
2
?? lgdtd ??
附注 1,如果研究摆的微小振动,即当 比较小时,可以取
的近似值 代入上式,这样就得到微小振动时摆的运动方程,
? ?sin
?
.2
2
??
l
g
dt
d ??
附注 2,假设摆是在一个有粘性的介质中作摆动,如果阻力
系数为 则摆的运动方程为,,?
.2
2
???? lgdtdmdtd ???
附注 3,假设摆还沿着摆的运动方向受到一个外力 F(t)的作
用,则摆的运动方程为,
).(12
2
tFmllgdtdmdtd ???? ????
习题,
p16,8,9(2,4,6)
第一章 绪论
§ 1.1 微分方程模型
例 1 求平面上过点 (1,3)且每点切线斜率为横坐标 2倍的曲线方程,
解, 设所求的曲线方程为 ).( xfy ? 由导数的几何意义,应有
t
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即
.2)( 2 CxCdxxxf ???? ?
又由条件, 曲线过 (1,3),即
,3)1( ?f
于是得,2?C 故所求的曲线方程为,
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例 2 物理冷却过程的数学模型
将某物体放置于空气中,在时刻 0?t 时,测得它的温度为
,1500 Cu ??
10分钟后测量得温度为 试决定此物,100
1 Cu ??
体的温度 和时间 的关系,并计算 20分钟后物体的温度, 这
里假设空气的温度保持在
u t
.24 Cu a ??
解, Newton 冷却定律,
1,热量总是从温度高的物体向温度低的物体传导 ;
2,在一定的温度范围内,一个物体的温度变化速度与这一
物体的温度与其所在的介质的温度之差成正比,
设物体在时刻 的温度为 根据导数的物理意义,则
温度的变化速度为 由 Newton冷却定律,得到
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其中 为比例系数, 此数学关系式就是物体冷却过程的数
学模型,
0?k
注意,此式子并不是直接给出 和 之间的函数关系,而只是
给出了未知函数的导数与未知函数之间的关系式,如何由此式
子求得 与 之间的关系式,以后再介绍,
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例 3 R-L-C电路
如图所示的 R-L-C电路, 它包含电感 L,电阻 R,电容 C及电源 e(t),
设 L,R,C均为常数,e(t)是时间 t的已知函数,试求当开关 K合上后,电
路中电流强度 I与时间 t之间的关系,
解, 电路的 Kirchhoff第二定律,
在闭合回路中,所有支路上的电压的代数和为零,
设当开关 K合上后,电路中在时刻 t的电流强度为 I(t),则电流
经过电感 L,电阻 R和电容的电压降分别为 其中 Q
为电量,于是由 Kirchhoff第二定律,得到,,,C
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这就是电流强度 I与时间 t所满足的数学关系式,
例 4 数学摆
数学摆是系于一根长度为 的线上而质量为 的质点 M,
在重力作用下,它在垂直于地面的平面上沿圆周运动,如图所示,
试确定摆的运动方程,
l m
解, Newton第二定律,,maF ?
取反时针运动方向为计量摆与铅垂线所成的角 的正方
向, 则由 Newton第二定律,得到摆的运动方程为
?
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2
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附注 1,如果研究摆的微小振动,即当 比较小时,可以取
的近似值 代入上式,这样就得到微小振动时摆的运动方程,
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附注 2,假设摆是在一个有粘性的介质中作摆动,如果阻力
系数为 则摆的运动方程为,,?
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附注 3,假设摆还沿着摆的运动方向受到一个外力 F(t)的作
用,则摆的运动方程为,
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习题,
p16,8,9(2,4,6)
