§ 3.4 奇 解
一、包络
二、奇解
三、克莱罗 (Clairaut)方程
一、包络
定义 1,对于给定的一个单参数曲线族,
0),,(,?? cyxl c
其中 RIc ??
为参数,
若存在一条曲线
,l
满足下列条件,
(1)
? ? ;Iccll ??
(2) 对任意的 ? ?,,
00 lyx ?
存在唯一的,
0 Ic ?
使得
? ? 000,clyx ?
且 l
与
0cl
在
? ?00,yx
有相同的切线,
则称
l
为曲线族
0),,(,?? cyxl c
的一条包络线,
简称为包络,
例如,
单参数曲线族,
222)(,Rycxl c ???
（其中 R是常数,c是参数）表示圆心为（ c,0）而半径
等于 R的一族圆, 如图
R
从图形可见,此曲线族有包络,
y=R 和 y= -R,
但是,并不是每个曲线族都有包络,
例如, 单参数曲线族,
222,cyxl c ??
(其中 c为参数 )表示一族同心圆, 如图 从图形可见,此曲线族没有包络,
问题,对于给定的单参数曲线族,
0),,(,?? cyxl c
其中 RIc ??
为参数,
如何判断它是否有包络?
如果有包络,如何求?
根据定义,假设该单参数曲线族有包络,l
则对任意的
存在唯一的
使得 ? ?,,lyx ?,Ic?
? ?,,clyx ?
于是得到对应关系,
,,Ilc ?
).,(),( yxcyx ?
从而得到二元函数 lyxyxcc ?? ),(),,(
使得
.),(,0)),(,,( lyxyxcyx ???
若
l
可用参数形式表示为,
),(
),(
),( ??
?
? ?
?
?
?
?
? t
ty
tx
记 ),())(),(( tcttcc ?? ??
则
),(,0))(),(),(( ???? ??? ttctt
于是,
.0?????? dtdcdtddtd cyx ??
l
任取一个固定点 M,则 M在某一条曲线
cl
上,
由于
l
与
cl
现在
在 M点有相同的切线,
因为
l
与
cl
在 M点的切线的斜率
分别为
dx
dy
与
,
y
x
?
??
所以,有
从而
.0?? dtdcc
,0???? dtddtd yx ??
由于在
l
上不同的点也在不同的
cl
上,
即,0?
dt
dc
因此
.0?? c
因此,包络线 l
任意一点 M不仅要满足
,0),,( ?? cyx
而且还要满足,0),,( ?? cyx
c
定义 2,
把联立方程组,
?
?
?
??
??
0),,(
0),,(
cyx
cyx
c
中消去参数 c得到的方程 F(x,y)=0所表示的曲线 *l
称为曲线族
? ? Iccl ?
的 c-判别曲线
定理 1(包络的必要条件 ),
设 ),,( cyx?
及其各一阶偏导数是
(x,y,c)的连续函数,
且,0),,( ?? cyx
有连续光滑的包络,
则包络必位于 0),,( ?? cyx
的 c-判别曲线中,
注, 0),,( ?? cyx
的包络是 c-判别曲线,
但 c-判别曲线未必是包络,
因此从 c-判别曲线分解出来的一支或数支曲线是否为 0),,( ?? cyx
的包络,
尚需按定义作进一步的验证,
例 1,222)( Rycx ???
的包络,
解,
记,0)(),,( 222 ?????? Rycxcyx
则
?
?
?
????
????
0)1()(2
0)( 222
cx
Rycx
消去参数 c,得
,22 Ry ?
于是
Ry ?
和
Ry ??
是两支 c-判别曲线,
经验证,Ry ?
和 Ry ??
是 222)( Rycx ???
的包络,
例 2,
求直线族, 0s i nc o s ??? pyx ??
的包络,
这里 ?
是参数,p
是常数,
解,
记,0s i nc o s),,( ????? pyxyx ???
则
?
?
?
???
???
.0c o ss i n
,0s i nc o s
??
??
yx
pyx
消去参数,?
得
.222 pyx ??
0s i nc o s ??? pyx ??
的 c-判别曲线,
经验证 222 pyx ??
是曲线族
0s i nc o s ??? pyx ??
的包络,
如图,
O
?
p
x
y
例 3,
求曲线族 0)(32)( 22 ???? cxcy
的包络,
解,
记,0)(32)(),,( 22 ?????? cxcycyx
则
消去参数 c,
由 (2)得
)3(,)( 2cxcy ???
??
?
?
?
?????
????
)2(.0)(2)(2
)1(,0)(
3
2)(
2
22
cxcy
cxcy
(3)代入 (1),得,0)(32)( 34 ???? cxcx
化简得
.0]32)[()( 3 ???? cxcx
于是,0)(3
2)( 22 ???? cxcy
的两支 c-判别曲线为,
将 0?? cx
代入 (2),得,cy ?
于是得到一支 c-判别曲线;:*1 xyl ?
将 032 ??? cx
代入 (2),得另一支 c-判别曲线
.929432:*2 ????? xxyl
显然,
??
?
?
?
???
????
).(2
,)(2 2
cy
cx
y
x
考察 因为对任意的 ? ?
*,,100 lyx ?
则有
??
?
?
?
?
????
.00
3
00
2
00,0)(3
2)(
xy
cxcy
解之得,.23; 0000 ??? ccxy
对 ??? ?? ??,0,0
y
x
切线不存在 ;,000 cxy ??
对,23000 ??? cxy ?
?
?
?
?
??
???
.3
,
2
9
y
x
0cl
在
? ?00,yx
点的切线的斜率为,1230 ?????? yxck
所以
xyl ?:*1
不是 0)(
3
2)( 22 ???? cxcy
的包络 ;
考察,
9
2
9
4
3
2:*
2 ????? xxyl
对任意的 ? ? *,,200 lyx ?
则有
?
?
?
?
?
??
????
.
9
2
,0)(
3
2
)(
00
3
00
2
00
xy
cxcy
因为,3200 ?? cx
所以 ?
?
?
?
?
????????
??????
.
9
8
)
9
2
3
2
(2)
9
2
(2
,
9
8
)
3
2
(2
00 cxy
x
0cl
于是,
在
? ?00,yx
点的切线的斜率为
,1
0
?????
y
x
ck
所以 929432:*2 ????? xxyl
是
0)(32)( 22 ???? cxcy
的包络,
x
y
O
二、奇解
定义 3,
对于一阶微分方程 F（ x,y,y’） =0,如果存在一条曲线,l
满足下列条件,
(1)
l
为方程的一条积分曲线 ;
(2) l
上每点处至少还有另外一条积分曲线经过,且两者在该
点相切,
则称曲线 l
(即积分曲线 )
为方程 F(x,y,y’)=0 的一条奇积分
曲线,所对应的解称为奇解,
注,
方程 F(x,y,y’)=0 的奇解是这样的一个解,
使的在它上面的每一点处,存在唯一性不成立,
问题,
给定一个具体的微分方程 F(x,y,y’)=0,如何求它的奇解呢?
结果,
对于一阶微分方程 F(x,y,y’)=0,
设 0),,( ?? cyx
是它的通解,
如果积分曲线族 0),,( ?? cyx
的包络 l
存在,
则包络 l
就是方程 F(x,y,y’)=0的一条奇积分曲线,
即 l
所对应的解就是方程 F(x,y,y’)=0的奇解,
例 4,
求微分方程
32 '
27
8'
9
4 yyyx ???
的奇解,
解,
令,' py ?
求得它的通解为,,0)()( 32 ???? cxcy
令 ??? ??????? ??????,0)(3)(2),,(,0)()(),,( 3
32
cxcycyx
cxcycyx
c
消去参数 c,
得到
xy ?
和,
27
4?? xy
经检验, xy ?
不是 0)()(
32 ???? cxcy
的包络,
从而
xy ?
不是方程的奇解
(实际上
不是方程的解 ); xy ?
27
4?? xy
是 0)()( 32 ???? cxcy
的包络,
从而
27
4?? xy
是方程
32 '
27
8'
9
4 yyyx ???
的奇解,
问题,
能否不通过求方程 F(x,y,y’)=0的通解,
而由方程
F(x,y,y’)=0本身求的奇解呢?
由隐方程的存在唯一性定理 (p76),
对于 ).,(,),( 000 ???? pGyx
如果 0),,( 000 ?pyxF
但,0),,( 000 ?pyxF p
则初值问题,
?
?
?
??
?
0000 )(',)(
,0)',,(
pxyyxy
yyxF
在
(h为足够小的正数 ) hxx ?? 0
上存在唯一解,
因此,方程 F(x,y,y’)=的奇解,如果存在的话,必含在从方程组,
?
?
?
?
?
0),,(
0),,(
pyxF
pyxF
p
消去参数 p而得到的曲线 0),( ?yx?
中,
定义 4,
对于微分方程 F(x,y,y’)=0,
从方程组,
?
?
?
?
?
0),,(
0),,(
pyxF
pyxF
p
消去参数 p而得到的曲线,0),( ?yx?
称为方程 F(x,y,y’)=0
的 p-判别曲线,
定理 2,
设 F(x,y,p)及其各一阶偏导数是 (x,y,p)的连续函数,
若微分方程 F(x,y,y’)=0有奇积分曲线,则它必含在 F(x,y,y’)=0的
附注,
p-判别曲线 0),( ?yx?
中,
从方程 F(x,y,y’)=0中分解出来的一支或数支曲线是否为
方程 F(x,y,y’)=0的奇积分曲线,即奇解,需要作进一步验证,
(1)该支曲线是方程 F(x,y,y’)=0的积分曲线 ;
(2) 该曲线上任一点处至少还有 F(x,y,y’)=0的另外一条
积分曲线经过,且两者在该点相切,
如果 (1)不成立,则该支曲线根本就不是积分曲线 ;如果 (1)成立,
而 (2)不成立,则该支曲线仅是一般的积分曲线,不是奇积分曲线
只有当 (1)和 (2)同时成立时,该支曲线才是奇积分曲线,即奇解
,
进一步,可以证明,
定理 2*,
奇解必须同时适合方程组,
?
?
?
?
?
??
?
?
.0
,0),,(
,0),,(
yx
p
pFF
pyxF
pyxF
并且只有当上述三个方程之一,比如 0?? yx pFF
是其它两个方程的结果时,奇解才有可能存在,
例 5,
求微分方程
012
2
????????? ydxdy
的奇解,
解,
令
??
?
?
???
.02
,0122
p
yp
消去 p(实际上 p=0),得到 p-判别曲线
,12 ?y
即,1??y
可以证明,
1?y
和 1??y
是方程
012
2
????????? ydxdy
的奇解,
例 6,
求微分方程 0]1)[('2]1)[(' 222 ??????? yxyyxy
的奇解,
解,
令
?
?
?
????
???????
.02]1)[(2
,0]1)[(2]1)[(
2
222
yxp
yxpyxp
消去 p,得到 p-判别曲线,,11)( 2 ???? yx
即
和,0?? yx2??? yx
经验证, 2??? yx
是方程的奇解 ;
而 0?? yx
不是方程的奇解,实际上,它不是方程的解,
x
y
O
2??? yx
2?? yx
三、克莱罗（ Clairaut）方程
定义 5,
形如
的方程,
称为克莱罗（ Clairaut）方程,
其中
???????? dxdyfdxdyxy
)(pf
是 p
的已知连续可微函数,
这是就 y已解出的一阶微分方程,
为求它的解,
令
,dxdyp ?
得 ).( pfxpy ??
两边对 x求导,
并以
pdxdy ?
代入,
即得,)('
dx
dppfp
dx
dpxp ???
经化简,
.0)]('[ ?? pfxdxdp
得
如果
,0?dxdp
则得到,cp ?
于是,Clairaut方程的通解为,
).( cfcxy ??
如果
,0)(' ?? pfx
它与等式 )( pfxpy ??
联立,
则得到 Clairaut方程的以 p为参数的一个解,
如果令,0)(),,( ????? ycfxccyx
则
,0)('),,( ???? cfxcyxc
或 ??? ?? ?? )( 0)(' pfxpy pfx ??? ?? ?? )( 0)(' cfxcy cfx
其中 c为参数,
因此,求得此解的过程正好与从通解中求包络的手续一样,
并且可以证明,此参数曲线恰为通解的包络
结果,
Clairaut方程
???????? dxdyfdxdyxy
的通解 )( cfcxy ??
是一直线族,
此直线族的包络
?
?
?
??
??
)(
0)('
pfxpy
pfx
或
?
?
?
??
??
)(
0)('
cfxcy
cfx
是 Clairaut方程的奇积分曲线,所对应的解是奇解,
例 7,
求解方程
.'1' yxyy ??
解,
这是 Clairaut方程,
因而它有通解,
.1ccxy ??
其中
.'1)'( yyf ?
因为
,1)( ccf ?
所以
.1)(' 2ccf ??
从
?
?
?
?
?
??
??
c
cxy
c
x
1
0
1
2
中消去参数 c,
得到原方程的奇解,,42 xy ?
故,此方程的通解是直线族,,1
ccxy ??
而奇解是通解的包络,
.42 xy ?
如图,
x
y
O
xy 42 ?
例 8,
求一曲线,使在其上每一点的切线截割坐标轴而成的直角三角形
的面积都等于 2,
x
y
o
A(a,0)
B(0,b)
设所求的曲线的切线方程为
.1?? byax
按条件,有,4?ab
而,
dx
dy
a
b ??
消去 a,b 得到
dx
dy
dx
dyxy 42 ???
?
??
?
? ?
或,2
dx
dy
dx
dyxy ???
这是 Clairaut方程,
其通解为,22 2
11 xcccxcy ?????
其中
1cc ???
为任意常数,
显然,此直线族中的每一条直线截割
坐标轴而成的直角三角形的面积都等于 2,
为求此曲线族的包络,
即微分方程的奇解,
从
??
?
??
??
01
2 2
cx
xccy
中消去参数 c,
得到微分方程的奇解,1?xy
直接检验可知曲线
1?xy
就是要求的曲线,
习题,
P99,(一 ) 5,10
(二 ) 2,4
(三 )
一、包络
二、奇解
三、克莱罗 (Clairaut)方程
一、包络
定义 1,对于给定的一个单参数曲线族,
0),,(,?? cyxl c
其中 RIc ??
为参数,
若存在一条曲线
,l
满足下列条件,
(1)
? ? ;Iccll ??
(2) 对任意的 ? ?,,
00 lyx ?
存在唯一的,
0 Ic ?
使得
? ? 000,clyx ?
且 l
与
0cl
在
? ?00,yx
有相同的切线,
则称
l
为曲线族
0),,(,?? cyxl c
的一条包络线,
简称为包络,
例如,
单参数曲线族,
222)(,Rycxl c ???
（其中 R是常数,c是参数）表示圆心为（ c,0）而半径
等于 R的一族圆, 如图
R
从图形可见,此曲线族有包络,
y=R 和 y= -R,
但是,并不是每个曲线族都有包络,
例如, 单参数曲线族,
222,cyxl c ??
(其中 c为参数 )表示一族同心圆, 如图 从图形可见,此曲线族没有包络,
问题,对于给定的单参数曲线族,
0),,(,?? cyxl c
其中 RIc ??
为参数,
如何判断它是否有包络?
如果有包络,如何求?
根据定义,假设该单参数曲线族有包络,l
则对任意的
存在唯一的
使得 ? ?,,lyx ?,Ic?
? ?,,clyx ?
于是得到对应关系,
,,Ilc ?
).,(),( yxcyx ?
从而得到二元函数 lyxyxcc ?? ),(),,(
使得
.),(,0)),(,,( lyxyxcyx ???
若
l
可用参数形式表示为,
),(
),(
),( ??
?
? ?
?
?
?
?
? t
ty
tx
记 ),())(),(( tcttcc ?? ??
则
),(,0))(),(),(( ???? ??? ttctt
于是,
.0?????? dtdcdtddtd cyx ??
l
任取一个固定点 M,则 M在某一条曲线
cl
上,
由于
l
与
cl
现在
在 M点有相同的切线,
因为
l
与
cl
在 M点的切线的斜率
分别为
dx
dy
与
,
y
x
?
??
所以,有
从而
.0?? dtdcc
,0???? dtddtd yx ??
由于在
l
上不同的点也在不同的
cl
上,
即,0?
dt
dc
因此
.0?? c
因此,包络线 l
任意一点 M不仅要满足
,0),,( ?? cyx
而且还要满足,0),,( ?? cyx
c
定义 2,
把联立方程组,
?
?
?
??
??
0),,(
0),,(
cyx
cyx
c
中消去参数 c得到的方程 F(x,y)=0所表示的曲线 *l
称为曲线族
? ? Iccl ?
的 c-判别曲线
定理 1(包络的必要条件 ),
设 ),,( cyx?
及其各一阶偏导数是
(x,y,c)的连续函数,
且,0),,( ?? cyx
有连续光滑的包络,
则包络必位于 0),,( ?? cyx
的 c-判别曲线中,
注, 0),,( ?? cyx
的包络是 c-判别曲线,
但 c-判别曲线未必是包络,
因此从 c-判别曲线分解出来的一支或数支曲线是否为 0),,( ?? cyx
的包络,
尚需按定义作进一步的验证,
例 1,222)( Rycx ???
的包络,
解,
记,0)(),,( 222 ?????? Rycxcyx
则
?
?
?
????
????
0)1()(2
0)( 222
cx
Rycx
消去参数 c,得
,22 Ry ?
于是
Ry ?
和
Ry ??
是两支 c-判别曲线,
经验证,Ry ?
和 Ry ??
是 222)( Rycx ???
的包络,
例 2,
求直线族, 0s i nc o s ??? pyx ??
的包络,
这里 ?
是参数,p
是常数,
解,
记,0s i nc o s),,( ????? pyxyx ???
则
?
?
?
???
???
.0c o ss i n
,0s i nc o s
??
??
yx
pyx
消去参数,?
得
.222 pyx ??
0s i nc o s ??? pyx ??
的 c-判别曲线,
经验证 222 pyx ??
是曲线族
0s i nc o s ??? pyx ??
的包络,
如图,
O
?
p
x
y
例 3,
求曲线族 0)(32)( 22 ???? cxcy
的包络,
解,
记,0)(32)(),,( 22 ?????? cxcycyx
则
消去参数 c,
由 (2)得
)3(,)( 2cxcy ???
??
?
?
?
?????
????
)2(.0)(2)(2
)1(,0)(
3
2)(
2
22
cxcy
cxcy
(3)代入 (1),得,0)(32)( 34 ???? cxcx
化简得
.0]32)[()( 3 ???? cxcx
于是,0)(3
2)( 22 ???? cxcy
的两支 c-判别曲线为,
将 0?? cx
代入 (2),得,cy ?
于是得到一支 c-判别曲线;:*1 xyl ?
将 032 ??? cx
代入 (2),得另一支 c-判别曲线
.929432:*2 ????? xxyl
显然,
??
?
?
?
???
????
).(2
,)(2 2
cy
cx
y
x
考察 因为对任意的 ? ?
*,,100 lyx ?
则有
??
?
?
?
?
????
.00
3
00
2
00,0)(3
2)(
xy
cxcy
解之得,.23; 0000 ??? ccxy
对 ??? ?? ??,0,0
y
x
切线不存在 ;,000 cxy ??
对,23000 ??? cxy ?
?
?
?
?
??
???
.3
,
2
9
y
x
0cl
在
? ?00,yx
点的切线的斜率为,1230 ?????? yxck
所以
xyl ?:*1
不是 0)(
3
2)( 22 ???? cxcy
的包络 ;
考察,
9
2
9
4
3
2:*
2 ????? xxyl
对任意的 ? ? *,,200 lyx ?
则有
?
?
?
?
?
??
????
.
9
2
,0)(
3
2
)(
00
3
00
2
00
xy
cxcy
因为,3200 ?? cx
所以 ?
?
?
?
?
????????
??????
.
9
8
)
9
2
3
2
(2)
9
2
(2
,
9
8
)
3
2
(2
00 cxy
x
0cl
于是,
在
? ?00,yx
点的切线的斜率为
,1
0
?????
y
x
ck
所以 929432:*2 ????? xxyl
是
0)(32)( 22 ???? cxcy
的包络,
x
y
O
二、奇解
定义 3,
对于一阶微分方程 F（ x,y,y’） =0,如果存在一条曲线,l
满足下列条件,
(1)
l
为方程的一条积分曲线 ;
(2) l
上每点处至少还有另外一条积分曲线经过,且两者在该
点相切,
则称曲线 l
(即积分曲线 )
为方程 F(x,y,y’)=0 的一条奇积分
曲线,所对应的解称为奇解,
注,
方程 F(x,y,y’)=0 的奇解是这样的一个解,
使的在它上面的每一点处,存在唯一性不成立,
问题,
给定一个具体的微分方程 F(x,y,y’)=0,如何求它的奇解呢?
结果,
对于一阶微分方程 F(x,y,y’)=0,
设 0),,( ?? cyx
是它的通解,
如果积分曲线族 0),,( ?? cyx
的包络 l
存在,
则包络 l
就是方程 F(x,y,y’)=0的一条奇积分曲线,
即 l
所对应的解就是方程 F(x,y,y’)=0的奇解,
例 4,
求微分方程
32 '
27
8'
9
4 yyyx ???
的奇解,
解,
令,' py ?
求得它的通解为,,0)()( 32 ???? cxcy
令 ??? ??????? ??????,0)(3)(2),,(,0)()(),,( 3
32
cxcycyx
cxcycyx
c
消去参数 c,
得到
xy ?
和,
27
4?? xy
经检验, xy ?
不是 0)()(
32 ???? cxcy
的包络,
从而
xy ?
不是方程的奇解
(实际上
不是方程的解 ); xy ?
27
4?? xy
是 0)()( 32 ???? cxcy
的包络,
从而
27
4?? xy
是方程
32 '
27
8'
9
4 yyyx ???
的奇解,
问题,
能否不通过求方程 F(x,y,y’)=0的通解,
而由方程
F(x,y,y’)=0本身求的奇解呢?
由隐方程的存在唯一性定理 (p76),
对于 ).,(,),( 000 ???? pGyx
如果 0),,( 000 ?pyxF
但,0),,( 000 ?pyxF p
则初值问题,
?
?
?
??
?
0000 )(',)(
,0)',,(
pxyyxy
yyxF
在
(h为足够小的正数 ) hxx ?? 0
上存在唯一解,
因此,方程 F(x,y,y’)=的奇解,如果存在的话,必含在从方程组,
?
?
?
?
?
0),,(
0),,(
pyxF
pyxF
p
消去参数 p而得到的曲线 0),( ?yx?
中,
定义 4,
对于微分方程 F(x,y,y’)=0,
从方程组,
?
?
?
?
?
0),,(
0),,(
pyxF
pyxF
p
消去参数 p而得到的曲线,0),( ?yx?
称为方程 F(x,y,y’)=0
的 p-判别曲线,
定理 2,
设 F(x,y,p)及其各一阶偏导数是 (x,y,p)的连续函数,
若微分方程 F(x,y,y’)=0有奇积分曲线,则它必含在 F(x,y,y’)=0的
附注,
p-判别曲线 0),( ?yx?
中,
从方程 F(x,y,y’)=0中分解出来的一支或数支曲线是否为
方程 F(x,y,y’)=0的奇积分曲线,即奇解,需要作进一步验证,
(1)该支曲线是方程 F(x,y,y’)=0的积分曲线 ;
(2) 该曲线上任一点处至少还有 F(x,y,y’)=0的另外一条
积分曲线经过,且两者在该点相切,
如果 (1)不成立,则该支曲线根本就不是积分曲线 ;如果 (1)成立,
而 (2)不成立,则该支曲线仅是一般的积分曲线,不是奇积分曲线
只有当 (1)和 (2)同时成立时,该支曲线才是奇积分曲线,即奇解
,
进一步,可以证明,
定理 2*,
奇解必须同时适合方程组,
?
?
?
?
?
??
?
?
.0
,0),,(
,0),,(
yx
p
pFF
pyxF
pyxF
并且只有当上述三个方程之一,比如 0?? yx pFF
是其它两个方程的结果时,奇解才有可能存在,
例 5,
求微分方程
012
2
????????? ydxdy
的奇解,
解,
令
??
?
?
???
.02
,0122
p
yp
消去 p(实际上 p=0),得到 p-判别曲线
,12 ?y
即,1??y
可以证明,
1?y
和 1??y
是方程
012
2
????????? ydxdy
的奇解,
例 6,
求微分方程 0]1)[('2]1)[(' 222 ??????? yxyyxy
的奇解,
解,
令
?
?
?
????
???????
.02]1)[(2
,0]1)[(2]1)[(
2
222
yxp
yxpyxp
消去 p,得到 p-判别曲线,,11)( 2 ???? yx
即
和,0?? yx2??? yx
经验证, 2??? yx
是方程的奇解 ;
而 0?? yx
不是方程的奇解,实际上,它不是方程的解,
x
y
O
2??? yx
2?? yx
三、克莱罗（ Clairaut）方程
定义 5,
形如
的方程,
称为克莱罗（ Clairaut）方程,
其中
???????? dxdyfdxdyxy
)(pf
是 p
的已知连续可微函数,
这是就 y已解出的一阶微分方程,
为求它的解,
令
,dxdyp ?
得 ).( pfxpy ??
两边对 x求导,
并以
pdxdy ?
代入,
即得,)('
dx
dppfp
dx
dpxp ???
经化简,
.0)]('[ ?? pfxdxdp
得
如果
,0?dxdp
则得到,cp ?
于是,Clairaut方程的通解为,
).( cfcxy ??
如果
,0)(' ?? pfx
它与等式 )( pfxpy ??
联立,
则得到 Clairaut方程的以 p为参数的一个解,
如果令,0)(),,( ????? ycfxccyx
则
,0)('),,( ???? cfxcyxc
或 ??? ?? ?? )( 0)(' pfxpy pfx ??? ?? ?? )( 0)(' cfxcy cfx
其中 c为参数,
因此,求得此解的过程正好与从通解中求包络的手续一样,
并且可以证明,此参数曲线恰为通解的包络
结果,
Clairaut方程
???????? dxdyfdxdyxy
的通解 )( cfcxy ??
是一直线族,
此直线族的包络
?
?
?
??
??
)(
0)('
pfxpy
pfx
或
?
?
?
??
??
)(
0)('
cfxcy
cfx
是 Clairaut方程的奇积分曲线,所对应的解是奇解,
例 7,
求解方程
.'1' yxyy ??
解,
这是 Clairaut方程,
因而它有通解,
.1ccxy ??
其中
.'1)'( yyf ?
因为
,1)( ccf ?
所以
.1)(' 2ccf ??
从
?
?
?
?
?
??
??
c
cxy
c
x
1
0
1
2
中消去参数 c,
得到原方程的奇解,,42 xy ?
故,此方程的通解是直线族,,1
ccxy ??
而奇解是通解的包络,
.42 xy ?
如图,
x
y
O
xy 42 ?
例 8,
求一曲线,使在其上每一点的切线截割坐标轴而成的直角三角形
的面积都等于 2,
x
y
o
A(a,0)
B(0,b)
设所求的曲线的切线方程为
.1?? byax
按条件,有,4?ab
而,
dx
dy
a
b ??
消去 a,b 得到
dx
dy
dx
dyxy 42 ???
?
??
?
? ?
或,2
dx
dy
dx
dyxy ???
这是 Clairaut方程,
其通解为,22 2
11 xcccxcy ?????
其中
1cc ???
为任意常数,
显然,此直线族中的每一条直线截割
坐标轴而成的直角三角形的面积都等于 2,
为求此曲线族的包络,
即微分方程的奇解,
从
??
?
??
??
01
2 2
cx
xccy
中消去参数 c,
得到微分方程的奇解,1?xy
直接检验可知曲线
1?xy
就是要求的曲线,
习题,
P99,(一 ) 5,10
(二 ) 2,4
(三 )
