Liapunov第二方
法
一、按线性近似判定非线性微分方程解的稳定性的缺陷 ? ? ? ?
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2
122
22
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rr
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yxyxy
yx
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yxxyx
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线性化系统为,
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,
xy
yx
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二、考虑无阻力数学摆
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x
l
gy
yx
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tx
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l
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yx
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取函数
性质,
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.0)0,0(,1
????
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yxVRyx
V
时当 ?
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,)1(0 )c o s1(
2
1 2
闭曲线收缩到原点
且随为一族闭曲线
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c
ccx
l
gy
)c o s1(21),( 2 xlgyyxV ???
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0
tytxVtytxV
tt
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积分得到从
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,
),(),( 00
走上的点轨线将沿此曲线
相平面上经过曲线 tytxVyxV ??
? ? ? ?? 0)( 0),(, ??
dt
tytxdV思考
Liapunov第二方法思想：构造特殊函数，通过沿方程的轨
线对该函数求全导数的符号来确定方程解的稳定性,
特殊函数 Liapunov函数
Liapunov第一方法：直接把解表示成级数形式
三,Liapunov第二方法的一般理论
( 6, 3 4 ) )( ??????
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xfdt xd ?
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212
211
2
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n
n
n
xxxf
xxxf
xxxf
xf
x
x
x
x
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其中
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)(:)(,0)0(
有连续偏导数
内为正常数在某区域 AAxGxff ?? ?
????
.)(
),(,
,0)(,0,
,0)(.0)0(
,)(,
的常负是定负数
则称函常正是定正如果函数为定正的
称函数都有如果对一切为常正的
则称函数如果在此域内恒有
内定义的一个连续函数为在域假设定义
V
VV
xVx
VxVV
HxxV
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i
i
i
n
i
i
i
f
x
V
dt
dx
x
V
dt
dV
xV 的全导数为通过方程函数 ?
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定正
定负
定正
定正
常正例
,0)(,)(
2
1
),(
,04,0
,04,0
),(
).c o s1(
2
1
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,),(
0
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2
2
22
2
22
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? xxgdssgyyxV
baca
baca
cyb x yaxyxV
x
l
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yyxV
yyxyxV
x
.( 6, 3 4 ),0)(,
0;
0,,,0
)()(
( 6, 3 4 ),)(
.( 6, 3 4 ),
( 6, 3 4 ) ),(
.( 6, 3 4 )
,( 6, 3 4 )
),(( 6, 3 4 ) 5
的零解是渐进稳定的则方程组使个
存在某的任意小邻域内都至少而在或恒等于零
为常正函数而当为定正函数时且当
可表为的全导数
其通过和某非负常数如果存在一个函数
的零解是渐进稳定的则方程组为定负
的全导数其通过如果找到一个定正函数
的零解是稳定的组
则方程为常负或恒等于零的全导数其通过
可以找到一个定正函数如果对微分方程组定理
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xVx
x
WW
xWxV
dt
dV
dt
dV
xV
dt
dV
xV
dt
dV
xV
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,0) ( 0,,0 0,
,0) ( 0,,0,
.,
2
1
),(
.
,
4422
3
3
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不稳定
稳定
渐进稳定定负
则取
考虑二阶微分方程例
dt
dV
dt
dV
dt
dV
yx
dt
dV
yxyxV
yxy
xyx
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dt
dV
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yxy
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nm
nm
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4
2
2
),,( ),(
.2
,
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则有待定取
考虑二阶微分方程例
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nmm ynxymxmx 42 2??? ?
.4
),(,2,4
4x
dt
dV
，yxVnm
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?? 且为定正函数此时令
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.0) ( 0,,0 0,
,0) ( 0,,0 0,
,0) ( 0,,0,
不稳定
不稳定
渐进稳定定负
dt
dV
a
dt
dV
a
dt
dV
a
。
，x
x
dt
xdV
dt
dV
xV
的零解是渐进稳定的程组
则方的整条正半轨线外并不包含方程组
的集中除零解的点但使为常负数
的全导其通过如果存在定正函数定理
( 6, 3 4 )
( 6, 3 4 )0
0
)(
,
( 6, 3 4 )),( 6
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四,Liapunov第二方法的几何解释
为定正函数假设以平面系统为例 ),( yxV，
.)10( ),(,1 为闭曲线???? ccyxV
.),(0,2 将收缩到原点闭曲线时 cyxV，c ?? ?
.),(
))(),(.(
))(),(( 0)))(),(( (,3
0
0
cyxV
tttytx
ttttytxVtytxV
dt
d
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???
地进入闭曲线族
增加而一层一层将随轨线不增函数
的是对一切
1,,),(
),(,
,
,),( ),0(,4
000
如图内当然更在域内闭曲线
时停留在的轨线在域初值为
半径点为中心的最大内接圆并在该闭曲线内取以原
内作最大闭曲线在域
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???
??
???
?????
xcyxV
ttxyx
cyxVxH
图 1
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cV?
.),(,0,5 cyxVdtdV ?? 缩到原点的闭曲线族轨线严格地进入逐渐收
从定正函数梯度角度解释 Liapunov第二方法
}.,{)G r a d e (},{},{ yxVyxVVyVxVdtdV yxyx ?????? ??????
0},{)G r a d e ( 0 ???? yxVdtdV ??
)Grade(V
},{ yx ??
cyxV ?),(
图２
谢 谢 大 家
再见