第二讲
§ 1.2 基本概念
一、常微分方程与偏微分方程
二、微分方程的阶
三、线性与非线性微分方程
四、微分方程的解
1,显式解与隐式解
2,通解与特解
一, 常微分方程与偏微分方程
定义 1,把联系自变量, 未知函数及未知函数导数 （ 或微分 ） 的
关系式称为微分方程,; 2 )1( xdxdy ?; 0 ( 2 ) ?? y d xx d y; 0 )3(
3
2
2
???
?
??
?
?? x
dt
dxtx
dt
xd; s in35 )4( 2244 txdt xddt xd ???; )5( zyzxz ??????
,0 )6( 2222 ????????? uzyxy ux u
例 1,下列关系式都是微分方程
附注 1,一个关系式要成为微分方程, 要求该关系式中必须含有未
知函数的导数或微分, 但其中的自变量或未知函数可以不显含, 如
果一个关系式中不显含未知函数的导数或微分, 则这样的关系式
就不能成为微分方程, 例如 就不是微分方程, 实际上,
我们在数学分析课程中已经知道, 它是一个函数方程,
122 ?? yx
附注 2,如果在一个微分方程中，自变量的个数只有一个，则这样
的微分方程称为 常微分方程,如上面例 1中;2 )1( xdxdy ?; 0 ( 2 ) ?? y d xx d y;0 )3(
3
2
2
???
?
??
?
?? x
dt
dxtx
dt
xd;s in35 )4( 2244 txdt xddt xd ???
就是常微分方程；
如果自变量的个数为两个或两个以上的微分方程称为 偏微分方程,
如上面例 1中; )5( zyzxz ??????
,0 )6( 2222 ????????? uzyxy ux u
就是偏微分方程,
本课程主要研究常微分方程, 同时把常微分方程简称为微分方
程或方程,
二, 微分方程的阶
定义 2：微分方程中出现的未知函数的最高阶导数或微分的阶数称
为微分方程的阶数,
在上面例 1中,
2 )1( xdxdy ?
是一阶微分方程；
0 ( 2 ) ?? y d xx d y 是一阶微分方程；
是二阶微分方程；
0 )3(
3
2
2
???
?
??
?
?? x
dt
dxtx
dt
xd
是四阶微分方程, s in35 )4(
2
2
4
4 tx
dt
xd
dt
xd ???
例如上面例 1中
2 )1( xdxdy ?
是线性微分方程,
0 ( 2 ) ?? y d xx d y
s in35 )4( 2244 txdt xddt xd ???
是非线性微分方程,
,
而
0 )3(
3
2
2
???
?
??
?
?? x
dt
dxtx
dt
xd
习题,
p15,1(2,4,6)； 2； 3（ 1,3,5,7）；
4； 5