第一章 数字电路基础 一.目的要求: 1.了解正逻辑与负逻辑规定,掌握逻辑运算中的三种基本运算:与、或、非运算。 2.掌握常用的逻辑函数表示方法及它们之间相互转换. 3.掌握逻辑代数的定律和运算规律。 4.掌握逻辑函数的代数法化简和卡诺图化简法。 二.主要内容: 1.逻辑运算中的三种基本运算,逻辑函数表示方法及它们之间相互转换。 2.逻辑代数的定律和运算规则 3.逻辑函数的代数化简法 4最小项的定义与性质,逻辑函数的最小项表达式。逻辑函数的卡诺图化简法 5.无关项的概念,具有无关项函数的卡诺图化简法 三.重点和难点: 1.逻辑运算中的三种基本运算,逻辑函数表示方法及它们之间相互转换. 2. 用代数法化简逻辑函数的方法(难点) 3.逻辑函数的卡诺图化简法(难点) 四.课时数:12学时 1.1逻辑代数的基本运算 基本概念 1.数字信号的特点 数字信号在时间上和数值上均是离散的。 数字信号在电路中常表现为突变的电压或电流。 图1.1 典型的数字信号 2、正逻辑与负逻辑 数字信号是一种二值信号,用两个电平(高电平和低电平)分别来表示两个逻辑值(逻辑1和逻辑0) 有两种逻辑体制: 正逻辑体制规定:高电平为逻辑1,低电平为逻辑0。 负逻辑体制规定:低电平为逻辑1,高电平为逻辑0。 如果采用正逻辑,图1.1所示的数字电压信号就成为下图所示逻辑信号。  3、在数字电路中,输入信号是“条件”,输出信号是“结果”,因此输入、输出之间存在一定的因果关系,称其为逻辑关系。它可以用逻辑表达式、图形和真值表来描述。 二、基本逻辑运算 1.与运算——只有当决定一件事情的条件全部具备之后,这件事情才会发生。我们把这种因果关系称为与逻辑。 与逻辑举例:图1.2(a)所示, A、B是两个串联开关,L是灯,用开关控制灯亮和灭的关系如图2(b)所示。 设1表示开关闭合或灯亮;0表示开关不闭合或灯不亮,则得真值表图2(c)所示  图1.2与逻辑运算 (a)电路图(b)真值表(c)逻辑真值表(d)逻辑符 若用逻辑表达式来描述,则可写为 与运算的规则为: “输入有0,输出为0;输入全1,输出为1”。 数字电路中能实现与运算的电路称为与门电路,其逻辑符号如图(d)所示。与运算可以推广到多变量:…… 2.或运算——当决定一件事情的几个条件中,只要有一个或一个以上条件具备,这件事情就发生。我们把这种因果关系称为或逻辑。 或逻辑举例:如图1.3(a)所示,或运算的真值表如图1.3(b)所示,逻辑真值表如图1.3(c)所示。若用逻辑表达式来描述,则可写为 L=A+B 或运算的规则为:“输入有1,输出为1;输入全0,输出为0”。 图1.3或逻辑运算 电路图(b)真值表(c)逻辑真值表(d)逻辑符号 在数字电路中能实现或运算的电路称为或门电路,其逻辑符号如图(d)所示。或运算也可以推广到多变量:…… 3.非运算——某事情发生与否,仅取决于一个条件,而且是对该条件的否定。即条件具备时事情不发生;条件不具备时事情才发生。 非逻辑举例:例如图1.4(a)所示的电路,当开关A闭合时,灯不亮;而当A不闭合时,灯亮。其真值表如图1.4(b)所示,逻辑真值表如图1.4(c)所示。若用逻辑表达式来描述,则可写为: 图1.4 非逻辑运算 (a)电路图(b)真值表(c)逻辑真值表(d)逻辑符号 三、其他常用逻辑运算 1.与非 ——由与运算和非运算组合而成。  图1.5 与非逻辑运算 逻辑真值表 (b)逻辑符号 2.或非 ——由或运算和非运算组合而成。 若用逻辑表达式来描述,则可写为  图1.6 或非逻辑运算 (a)逻辑真值表 (b)逻辑符号 3.异或运算: 异或是一种二变量逻辑运算,当两个变量取值相同时,逻辑函数值为0;当两个变量取值不同时,逻辑函数值为1。 图1.7异或逻辑运算 (a)逻辑真值表 (b)逻辑符号 异或的逻辑表达式为: 四、逻辑函数及其表示方法 (一).逻辑函数的建立 【例1.1】三个人表决一件事情,结果按“少数服从多数”的原则决定,试建立该逻辑函数。 解:第一步:设置自变量和因变量。将三人的意见设置为自变量A、B、C,并规定只能有同意或不同意两种意见。将表决结果设置为因变量L,显然也只有两个情况。 第二步:状态赋值。对于自变量A、B、C设:同意为逻辑“1”,不同意为逻辑“0”。对于因变量L设:事情通过为逻辑“1”,没通过为逻辑“0”。 第三步:根据题义及上述规定列出函数的真值表如表1.1所示。 由真值表可以看出,当自变量A、B、C取确定值后,因变量L的值就完全确定了。所以,L就是A、B、C的函数。A、B、C常称为输入逻辑变量,L称为输出逻辑变量。 一般地说,若输入逻辑变量A、B、C…的取值确定以后,输出逻辑变量L的值也唯一地确定了,就称L是A、B、C…的逻辑函数,写作: L=f(A,B,C…) 表1.1 例1.1真值表 A B C L  0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1   逻辑函数与普通代数中的函数相比较,有两个突出的特点: (1)逻辑变量和逻辑函数只能取两个值0和1。 (2)函数和变量之间的关系是由“与”、“或”、“非”三种基本运算决定的。 (二). 逻辑函数的表示方法 一个逻辑函数有四种表示方法,即真值表、函数表达式、逻辑图和卡诺图。这里先介绍前三种。 1.真值表——将输入逻辑变量的各种可能取值和相应的函数值排列在一起而组成的表格。 为避免遗漏,各变量的取值组合应按照二进制递增的次序排列。 真值表的特点: (1)直观明了。输入变量取值一旦确定后,即可在真值表中查出相应的函数值。 (2)把一个实际的逻辑问题抽象成一个逻辑函数时,使用真值表是最方便的。所以,在设计逻辑电路时,总是先根据设计要求列出真值表。 (3)真值表的缺点是,当变量比较多时,表比较大,显得过于繁琐。 2.函数表达式——由逻辑变量和“与”、“或”、“非”三种运算符所构成的表达式。 由真值表可以转换为函数表达式。例如,由“三人表决”函数的真值表可写出逻辑表达式: 反之,由函数表达式也可以转换成真值表。 【例1.2】列出下列函数的真值表: 解:该函数有两个变量,有4种取值的可能组合, 将他们按顺序排列起来,由函数表达式算出L即得真值表,如右表所示。 3.逻辑图—逻辑图是由逻辑符号及它们之间的连线而构成的图形。 由函数表达式可以画出其相应的逻辑图。由逻辑图也可以写出其相应的函数表达式。 【例1.3】 画出下列函数的逻辑图: 解:可用两个非门、两个与门和一个或门组成。 【例1.4】写出如图所示逻辑图的函数表达式。 解:可由输入至输出逐步写出逻辑表达式: 1.2逻辑代数的定律和运算规则 一、逻辑代数的基本公式 公式的证明方法: 1)用简单的公式证明略为复杂的公式。 【例2.1】证明吸收律: 证: 2)用真值表证明,即检验等式两边函数的真值表是否一致。 【例2.2】 用真值表证明反演律 二、逻辑代数的基本规则 1 .代入规则 对于任何一个逻辑等式,以某个逻辑变量或逻辑函数同时取代等式两端任何一个逻辑变量后,等式依然成立。 例如,在反演律中用BC去代替等式中的B,则新的等式仍成立: 2 .对偶规则 将一个逻辑函数L进行下列变换: ·→+,+ →· 0 → 1,1 → 0 所得新函数表达式叫做L的对偶式,用 L`表示。 对偶规则的基本内容是:如果两个逻辑函数表达式相等,那么它们的对偶式也一定相等。 基本公式中的公式l和公式2就互为对偶式。 3 .反演规则 将一个逻辑函数L进行下列变换: ·→+,+ →· ; 0 → 1,1 → 0 ; 原变量 → 反变量, 反变量 → 原变量。 所得新函数表达式叫做L的反函数,用  表示。 利用反演规则,可以非常方便地求得一个函数的反函数 【例2.3】求以下函数的反函数: 解: 【例2.4】求以下函数的反函数: 解: 在应用反演规则求反函数时要注意以下两点: (1)保持运算的优先顺序不变,必要时加括号表明,如【例2.3】。 (2)变换中,几个变量(一个以上)的公共非号保持不变,如【例2.4】。 1.3逻辑函数的代数化简法 一、逻辑函数式的常见形式 一个逻辑函数的表达式不是唯一的,可以有多种形式,并且能互相转换。例如: 其中,与—或表达式是逻辑函数的最基本表达形式。 二、逻辑函数的最简“与—或表达式” 的标准 (1)与项最少,即表达式中“+”号最少。 (2)每个与项中的变量数最少,即表达式中“· ”号最少。 三、用代数法化简逻辑函数 1、并项法。运用公式 ,将两项合并为一项,消去一个变量。 如 2、吸收法。运用吸收律 A+AB=A,消去多余的与项。如: 3、消去法。 (4)配项法。 在化简逻辑函数时,要灵活运用上述方法,才能将逻辑函数化为最简。 再举几个例子: 【例3.1】 化简逻辑函数: 解: ( 利用 ) (利用A+AB=A) (利用 ) 【例3.2】化简逻辑函数: 解: (利用反演律) (利用 ) (利用A+AB=A) (配项法) (利用A+AB=A) (利用 ) 【例3.3】化简逻辑函数 解法1:(增加冗余项)  (消去1个冗余项)  (再消去1个冗余项) 解法2:(增加冗余项)  (消去1个冗余项)  (再消去1个冗余项) 由上例可知,逻辑函数的化简结果不是唯一的。 1.4 逻辑函数的卡诺图化简法 一、 最小项的定义与性质 二、逻辑函数的最小项表达式 任何一个逻辑函数表达式都可以转换为一组最小项之和,称为最小项表达式。 【例4.1】将以下逻辑函数转换成最小项表达式: 解: =m7+m6+m3+m1 【例4.2】将下列逻辑函数转换成最小项表达式: 解: =m7+m6+m3+m5=∑m(3,5,6,7) 三、卡诺图 1.相邻最小项 如果两个最小项中只有一个变量互为反变量,其余变量均相同,则称这两个最小项为逻辑相邻,简称相邻项。 例如,最小项ABC和 就是相邻最小项。 如果两个相邻最小项出现在同一个逻辑函数中,可以合并为一项,同时消去互为反变量的那个量。如 2 .卡诺图 最小项