第一章 数字电路基础
1.1 逻辑代数的 基本运算
1.2逻辑代数的定律和运算规则
1.3逻辑函数的代数化简法
1.4逻辑函数的卡诺图化简法
1.1 逻辑代数的基本运算
5
V(V)
0
t(ms)
10 20 30 40 50
数字信号在电路中常表现为突变的电压或电流。
一、基本概念
1,数字信号的特点
数字信号 ——在时间上和数值上均是离散的。如电子表
的秒信号，生产线上记录零件个数的记数信号等。
有两种逻辑体制：
正逻辑体制 规定：高电平为逻辑 1,低电平为逻辑 0。
负逻辑体制 规定：低电平为逻辑 1,高电平为逻辑 0。
下图为采用正逻辑体制所表的示逻辑信号：
2、正逻辑与负逻辑
数字信号是一种二值信号，用两个电平（高电平和低电
平）分别来表示两个逻辑值（逻辑 1和逻辑 0）。
逻辑 0 逻辑 0 逻辑 0
逻辑 1 逻辑 1
3、在数字电路中，输入信号是“条件”，
输出信号是“结果”，因此输入、输出之间
存在一定的因果关系，称其为逻辑关系。
它可以用逻辑表达式,图形和真值表来描
述。
一、基本逻辑运算
设：开关闭合 =“1”
开关不闭合 =“0”
灯亮, L=1
灯不亮, L=0
二,基本逻辑运算
与逻辑 ——只有当决定一件事情的条件全部具备之后, 这
件事情才会发生 。
1．与运算
BAL ??
与逻辑表达式：
A B 灯 L
不闭合
不闭合
闭合
闭合
不闭合
闭合
不闭合
闭合
不亮
不亮
不亮
亮
0
1
0
1
B LA
0
0
1
1
输 入
0
0
0
1
输出
与逻辑真值表
V
B
L
A
A & L = A ·B
B
2,或运算
或逻辑表达式：
L＝ A+B
或逻辑 ——当决定一件事情的几个条件中, 只要有一个
或一个以上条件具备, 这件事情就发生 。
A B 灯 L
不闭合
不闭合
闭合
闭合
不闭合
闭合
不闭合
闭合
不亮
亮
亮
亮
0
1
0
1
B LA
0
0
1
1
输 入
0
1
1
1
输出
或逻辑真值表
L
B
V
A
L = A + B
A ≥1
B
3,非运算
非逻辑表达式：
非逻辑 ——某事情发生与否, 仅取决于一个条件, 而
且是对该条件的否定 。 即条件具备时事情不发生；条
件不具备时事情才发生 。
A 灯 L
闭合
不闭合
不亮
亮
LA
0
1
1
0
非逻辑真值表
A L
R
V
L = A1A AL?
AL?
三、其他常用逻辑运算
2．或非 ——
由或运算和
非运算组合
而成。
1．与非 ——
由与运算 和
非运算组合而
成。
0
1
0
1
B LA
0
0
1
1
输 入
1
1
1
0
输出
“与 非, 真值
表
0
1
0
1
B LA
0
0
1
1
输 入
1
0
0
0
输出
“或 非, 真值
表
&A
B
L = A ·B
A
B
L = A + B
≥1
3．异或
异或是一种 二变量 逻辑运算,当两个变量取值相同时，
逻辑函数值为 0；当两个变量取值不同时，逻辑函数值为 1。
0
1
0
1
B LA
0
0
1
1
输 入
0
1
1
0
输出
“异或, 真值
表
BAL ??异或的逻辑表达式为：
B
A
L = A
=1
+ B
四,逻辑函数及其表示方法
解,第一步：设置自变量和因变量 。
第二步：状态赋值 。
对于自变量 A,B,C设：
同意为逻辑, 1”，
不同意为逻辑, 0”。
对于因变量 L设：
事情通过为逻辑, 1”，
没通过为逻辑, 0”。
（一）、逻辑函数的建立
例 1,1 三个人表决一件事情，结果按, 少数服从多数, 的原则决
定，试建立该逻辑函数。
第三步：根据题义及上述规定
列出函数的真值表 。
0 0 0
0 0 1
0 1 0
0 1 1
1 0 0
1 0 1
1 1 0
1 1 1
A B C
0
0
0
1
0
1
1
1
L
三人表决电路真值表
一般地说, 若输入逻辑变量 A,B,C…
的取值确定以后, 输出逻辑变量 L的值也唯
一地确定了, 就称 L是 A,B,C的逻辑函数,
写作：
L=f（ A,B,C… ）
逻辑函数与普通代数中的函数相比较, 有两
个突出的特点：
（ 1） 逻辑变量和逻辑函数只能取两个值 0和 1。
（ 2） 函数和变量之间的关系是由, 与,,
,或,,, 非, 三种基本运算决定的 。
（二）、逻辑函数的表示方法
ABCCABCBABCAL ????
1．真值表 ——将输入逻辑变量的各种可能取值和相应的函数值排列
在一起而组成的表格。
2．函数表达式 ——由逻辑变量和“与”、“或”、“非”三种运算
符所构成的表达式。
由真值表可以转换为函数表达式 。 例如, 由, 三人表决, 函数的 真
值表可写出 逻辑表达式：
解,该函数有两个变量, 有 4种取值的
可能组合, 将他们按顺序排列起来即
得真值表 。
反之，由函数表达式也可以转换成真值表。
例 1,2 列出下列函数的真值表：
真值表
0 0
0 1
1 0
1 1
A B
1
0
0
1
L
BABAL ????
3．逻辑图 ——由逻辑符号及它们之间的连线而构成的图形。
例 1,4 写出如图所示
逻辑图的函数表达式 。
由函数表达式可以画出逻辑图 。
解,可用两个非门、两个与门
和一个或门组成。
由逻辑图也可以写出表达式 。
ACBCABL ???解：
&
C
B
A &
&
L
≥1
&
&
L
≥1
A
B
1
1
例 1.3,画出下列函数的逻辑图,BABAL ????
1,2逻辑代数的定律和运算规则
一、逻辑代数的基本公式
二、逻辑代数的基本规则
1,代入规则
对于任何一个逻辑等式，以某个逻辑变量或逻辑
函数同时取代等式两端任何一个逻辑变量后，等式依然
成立。
例如，在反演律中用 BC去代替等式中的 B，则新的等式
仍成立：
CBABCAA B C ?????
2,对偶规则
将一个逻辑函数 L进行下列变换：
·→ ＋，＋ → ·
0 → 1, 1 → 0
所得新函数表达式叫做 L的对偶式，用 L` 表示。
对偶规则的基本内容是：如果两个逻辑函数表达相
等，它们的对偶式也一定相等。
基本公式中的公式 l和公式 2就互为对偶 式 。
3,反演规则
将一个逻辑函数 L进行下列变换：
·→ ＋，＋ → ·；
0 → 1, 1 → 0 ；
原变量 → 反变量,反变量 → 原变量。
所得新函数表达式叫做 L的反函数，用 L表示。
利用反演规则，可以非常方便地求得一个函数的反函数。
例 2.3 求以下函数的反函数：
DBCAL ??
)()( DBCAL ????
解：
在应用反演规则求反函数时要注意以下两点：
（ 1）保持运算的优先顺序不变，必要时加括号
表明，如例三。
（ 2）变换中，几个变量（一个以上）的公共非
号保持不变，如例四。
1.3 逻辑函数的代数化简法
一、逻辑函数式的常见形式
一个逻辑函数的表达式不是唯一的，可以有多种形
式，并且能互相转换。例如：
其中，与 — 或表达式是逻辑函数的最基本表达形式。
二、逻辑函数的最简, 与 — 或表
达式, 的标准
（ 1）与项最少，即表达式中,+”号最少。
（ 2）每个与项中的变量数最少，即表达式中
,·,号最少 。
三、用代数法化简逻辑函数
1?? AA1、并项法。运用公式,将两项合并为一项，消去一个变量。
2、吸收法。运用吸收律 A+AB=A，消去多余的与项。
如
BADECBABAL ???? )(
（ 3）消去法。
EBAEBBAEBABAL ?????????
（ 4）配项法。
CAAB
B C DAA B C DCAAB
AAB C DCAABB C DCAABL
??
????
??????? )(
在化简逻辑函数时，要灵活运用上述方法，才能将逻辑函
数化为最简。
1.4 逻辑函数的卡诺图化简法
）
一,最小项的定义与性质
二、逻辑函数的最小项表达式
任何一个逻辑函数表达式都可以转换为一组最小项之
和，称为最小项表达式。
例 4.1：将以下逻辑函数转换成最小项表达式：
CAABCBAL ??),,(
)()(),,( BBCACCABCAABCBAL ??????解：
CBABCACABABC ????
=m7+m6+m3+m1
例 4.2 将下列逻辑函数转换成最小项表达式：
CBAABABF ????
解,CBABCAABCBABAABCBAABAB ??????????? ))((
CBABCACABA B CCBABCACCAB ???????? )(
=m7+m6+m3+m5=∑m（ 3,5,6,7）
三、卡诺图
CBA
ACBBACCBAABC ???? )(
1．相邻最小项
如果两个最小项中只有一个变量互为反变量，其余变量均相同，则
称这两个最小项为逻辑相邻，简称 相邻项 。
例如，最小项 ABC和 就是相邻最小项。
如果两个相邻最小项出现在同一个逻辑函数中，可以合并为一项，
同时消去互为反变量的那个量。如
2,卡诺图
最小项的定义：
n个变量的逻辑函数中，包含全部变量的乘积项称为最
小项。 n变量逻辑函数的全部最小项共有 2n个。
用小方格来表示最小项，一个小方格代表一个最小项，
然后将这些最小项按照相邻性排列起来。即用小方格几
何位置上的相邻性来表示最小项逻辑上的相邻性。
3．卡诺图的结构
（ 1）二变量卡诺图
（ 2）三变量卡诺图
0
m
ABC
m
ABC
1
m
3
m
ABCABC
2
65
m
ABC
74
ABC
mmm
ABC ABC
0
(a)
(b)
1 3 2
4 5 7 6
1001 1100
BC
A
0
1
B
C
A
（ 3）四变量卡诺图
m
0
A B CD A B CD
m
1
A B CD
m
3
m
A B CD
2
m
5 67
mm
A B CDA B CD
m
A B CD
4
A B CD
A B CD
mm
13
A B CD A B CD
1412
m
15
m
A B CDA B CD A B CD
m
A B CD
8
m
1011
m
9
m
A B CD
A
B
C
D
0 1 3 2
7 654
13 141512
98 11 10
AB
CD
00
00
01
01
11
11
10
10
(a)
(b)
仔细观察可以发现，卡诺图具有很强的相邻性：
（ 1）直观相邻性，只要小方格在几何位置上相邻
（不管上下左右），它代表的最小项在逻辑上一定
是相邻的。
（ 2）对边相邻性，即与中心轴对称的左右两边和上
下两边的小方格也具有相邻性。
四、用卡诺图表示逻辑函数
1．从真值表到卡诺图
2．从逻辑表达式到卡诺图
（ 1）如果表达式为最小项表达式，则可直接填入卡诺
图。
（ 2）如表达式不是最小项表达式，但是“与 — 或表达
式”，可将其先化成最小项表达式，再填入卡诺图。
也可直接填入。
五、逻辑函数的卡诺图化简法
1．卡诺图化简逻辑函数的原理,
（ 1） 2个相邻的最小项结合，可以消去 1个取值不同的变量而
合并为 l项。
（ 2） 4个相邻的最小项结合，可以消去 2个取值不同的变量而
合并为 l项。
（ 3） 8个相邻的最小项结合，可以消去 3个取值不同的变量而
合并为 l项。
总之,2n个相邻的最小项结合，可以消去 n个取值不
同的变量而合并为 l项。
2．用卡诺图合并最小项的原则（画圈的原则）
（ 1）尽量画大圈，但每个圈内只能含有 2n
（ n=0,1,2,3…… ）个相邻项。要特别注意对边相邻性和
四角相邻性。
（ 2）圈的个数尽量少。
（ 3）卡诺图中所有取值为 1的方格均要被圈过，即不能
漏下取值为 1的最小项。
（ 4）在新画的包围圈中至少要含有 1个末被圈过的 1
方格，否则该包围圈是多余的。
3．用卡诺图化简逻辑函数的步骤：
（ 1）画出逻辑函数的卡诺图。
（ 2）合并相邻的最小项，即根据前述原则画圈。
（ 3）写出化简后的表达式。每一个圈写一个最简与项，规
则是，取值为 l的变量用原变量表示，取值为 0的变量用反变
量表示，将这些变量相与。然后将所有与项进行逻辑加，即
得最简与 — 或表达式
例 用卡诺图化简逻辑函数：
L（ A,B,C,D） =∑m（ 0,2,3,4,6,7,10,11,13,14,15）
解：（ 1）由表达式画出卡诺图。
（ 2）画包围圈，合并最小项，
得简化的与 — 或表达式,
例 4.8 某逻辑函数的真值表如表 3所示，用卡诺图化简该
逻辑函数。
解：（ 1）由真值表画出卡诺图。
（ 2）画包围圈合并最小项。
有两种画圈的方法：
（ a）：写出表达式：
（ b）：写出表达式：
通过这个例子可以看出,一个逻辑
函数的真值表是唯一的，卡诺图也
是唯一的，但化简结果有时不是唯
一的。
4．卡诺图化简逻辑函数的另一种
方法 —— 圈 0法
例 4.9 已知逻辑函数的卡诺图如图所示，
分别用, 圈 1法, 和, 圈 0法, 写出其最简
与 — 或式。
解：（ 1）用圈 1法画包围圈，得：
（ 2）用圈 0法画包围圈，得：
六、具有无关项的逻辑函数的化简
1．无关项 —— 在有些逻辑函数中，输入变量的某些
取值组合不会出现，或者一旦出现，逻辑值可以是
任意的。这样的取值组合所对应的最小项称为无关
项、任意项或约束项。
带有无关项的逻辑函数的最小项表达式为：
L=∑m（ ） +∑d（ ）
2．具有无关项的逻辑函数的化简
化简具有无关项的逻辑函数时，要充分利用
无关项可以当 0也可以当 1的特点，尽量扩大
卡诺圈，使逻辑函数更简。
例 10：不考虑无关项时，表达式为：
考虑无关项时，表达式为,
注意,
在考虑无关项时，哪些无关项当作 1，哪些无关项
当作 0，要以尽量扩大卡诺圈、减少圈的个数，使
逻辑函数更简为原则。
本章小结
1．逻辑运算中的三种基本运算是与、或、非
运算。
2．描述逻辑关系的函数称为逻辑函数。逻辑
函数中的变量和函数值都只能取 0或 1两个值。
3．常用的逻辑函数表示方法有真值表、函数
表达式,逻辑图等，它们之间可以任意地相互
转换。
4．逻辑代数是分析和设计逻辑电路的工具。
应熟记基本公式与基本规则。
5．可用两种方法化简逻辑函数，公式法
和卡诺图法。
公式法是用逻辑代数的基本公式与规
则进行化简，必须熟记基本公式和规则
并具有一定的运算技巧和经验。
卡诺图法是基于合并相邻最小项的原
理进行化简的，特点是简单、直观，不
易出错，有一定的步骤和方法可循。
