第三章直 线主要内容
1、直线的投影
2、直线对投影面的相对位置
3、直线上的点
4、两直线的相对位置
§ 3－ 1
直线的投影一、直线的投影特性
E
F G H
A
B
a
b
g he f
1、直线的投影，一般情况下仍是直线。
2、直线上任一点的投影，必在直线的投影上。
C
c
二、直线投影的作法
b
b’
B b”
1、作出直线上任意两点的投影
2、连接这两个点的同面投影
a
a”
a’
OX YW
YH
Z
a’
a
b
b’ b”
a”
例 3-1,已知点 A的 V,H投影和点 B的 H投影,B点的 Z坐标为 0，
求线段 AB的三面投影 。
注,直线的投影用粗实线表示
§ 3－ 2
直线对投影面的相对位置一、一般位置直线二、投影面的平行线三、投影面的垂直线一、一般位置直线与各投影面都 倾斜 的直线，
称为一般位置直线。
一般位置直线的投影和倾角
α
β γ
α为直线 AB与投影面
H的倾角
β为直线 AB与投影面
V的倾角
γ为直线 AB与投影面
W的倾角
一般位置直线的投影特性：
1、三个投影都倾斜于投影轴
2、三个投影均不反映实长和倾角二,投影面平行线平行于某一个投影面的直线,称为投影面平行线 。
平行于 H面的直线称为 水平线平行于 V面的直线称为 正平线平行于 W面的直线称为 侧平线水平线的投影
a′b′ //OX轴
a?b?//OY轴
ab 反映 AB的实长
A
B
a
b
a′ b′
a?
b?
β
γ
β
γ
水平线的投影特性
1、水平投影 ab反映实长，
并反映倾角 β,γ
2、正面投影 a′b′//OX轴，
侧面投影 a?b?//OYw轴?
a
b
a′ b′ a? b?
正平线的投影
c′d′反映 CD实长
C
D
c′
d′
c d
c?
d? c?d?//OZ轴
cd //OX轴
正平线的投影特性
1、正面投影 c′d′反映实长，并反映倾角 α,γ
2、水平投影 cd //OX轴，
侧面投影 c?d?//OZ轴
c′
d′
c d
d?
c?
侧平线的投影
e?f?反映 EF实长
e′f′//OZ轴
ef//OY轴
E
F
e
f
e′
f′
e?
f?
αβ β α
侧平线的投影特性,
1、侧面投影 e?f?反映实长，
并反映倾角 α,β
2、正面投影 e′f′//OZ轴，
水平投影 ef //OYH轴
e
f
e?
f?
e′
f′
投影面平行线的投影特性
1、直线在它所平行的投影面上的投影反映实长（即 显实性 ），并且这个投影与投影轴的夹角等于空间直线对相应投影面的倾角。
2、其他两个投影平行于相应的投影轴，并且小于实长。
三,投影面垂直线垂直于投影面的直线称为投影面垂直线垂直于 H面的直线称为 铅垂线垂直于 V面的直线称为 正垂线垂直于 W面的直线称为 侧垂线铅垂线的投影铅垂线的投影特性
1、水平投影积聚为一点
a(b)
2、正面投影 a’b’垂直于
ox轴，侧面投影 a”b”
垂直于 OYw轴，且都反映实长。
正垂线的投影
C
D
c’ (d’)
c
d
c”
d”
)(dc c?
c
d
d? 正垂线的投影特性：
1、正面投影积聚为一点 c’ (d’)
2、水平投影 cd垂直于 ox轴，
侧面投影 c”d”垂直于 oz轴，
且都反映实长。
侧垂线的投影
fe
E F
e′ f′
e?(f?)
e? f?
e f
)( fe
侧垂线的投影特性：
1、侧面投影积聚为一点 e” (f”)
2、正面投影 e’f’垂直于 OZ轴，
水平投影 ef垂直于 OYH轴，
且都反映实长投影面垂直线的投影特性
1,直线 在所垂直的投影面上积聚为一点
（ 即有 积聚性 ）
2,其它两个投影垂直于相应的投影轴,并且反映实长 （ 即有 显实性 ） 。
铅垂线正垂线正平线
d’ d”
例 3－ 2：判断 AB,CD,DE直线的空间位置，并找出其第三投影
e”
a’ c’
b’
e
d ca (b)
e’
a”
b”
c”
§ 3－ 3
一般位置直线的 实长 和 倾角
α
β γ
D C E
直线的实长与倾角的空间状况直角△ ABC中：
一直角边 AC=ab；
另一直角边 BC＝ Bb－ Aa，即 A,B两点离开 H面的高度差△ Z
1、过 A点作 AC//ab
2、过 b点作 bb0⊥ab,且 bb0=BC
3、连接 ab0
A
B
a
b
Cα
H
b0α
X O
a′
b′
a
b
m
b0
根据一般位置直线的投影求其实长和倾角 （ 直角三角形法 ）
α
ab0=AB
α等于 AB对投影面 H的倾角
a′
b′V
求 一般位置直线ＡＢ的实长及其对Ｖ面的倾角 β
y?
y?
X O
bo
a′
b′
a
b
求 一般位置直线ＡＢ的实长及其对Ｗ面的倾角 γ
x?
x?
b
oa′
b′
a
b
b″
a″
在投影图上求直线实长和倾角的方法
以直线在某个投影面上的投影为一直角边，
以直线的两端点到这个投影面的 距离差 为另一直角边，作一直角三角形。
此直角三角形的 斜边 就是所求的 实长,此斜边和投影的 夹角,就等于直线对该投影面的倾角 。
直角三角形法例 3－ 3,已知直线 CD对投影面 H的倾角 α＝ 30°,试补全 c′d′
OX
d
c
c′
30°
△ Z
△ Z
d′
d′
do
例 3－ 4,在已知直线上截取 AB等于定长 L
OX
a′
a
L
k
k′
m
k0 b
0
b′
b
α
§ 3－ 4
直线上的点点Ｃ在直线ＡＢ上
1,C点的投影在直线的同面投影上
2,ac:cb=a’c’:c’b’=a”c”:c”b”=AC:CB
a?
b?
c? c
c
a
b
b
a
C点在直线上,则Ｃ点的投影在直线的同面投影上,并符合点的投影规律 。
直线上点的投影特性
1.直线上一点的投影,必在直线的同面投影上 。 （ 从属性 ）
2.点分线段成某一比例,则该点的各个投影也分该线段的同面投影成相同的比例 。 （ 定比性 ）
点在直线上的判定一点的各投影若在直线的同名投上，且符合点的投影规律，则在空间，该点必在该直线上。
一般情况下，可由它们的任意两个投影来决定。
如直线平行于某投影面时，则还应观察直线所平行的那个投影面上的投影，才能判断该点是否在直线上。
例 3－ 5,判断点Ｍ是否在直线ＣＤ 上
m〞 不在 c〞 d〞 上,不 符合点在直线上的投影特性 （ 从属性 ）,故Ｍ点不在直线ＣＤ上 。
YWX
Z
YH
方法 2：
cm:md≠c ’m’:m’d’,不 符合点在直线上的投影特性 （ 定比性 ）,故Ｍ点不在直线ＣＤ上 。
YWX
Z
YH
X O
例 3－ 6,已知侧平线 CD上一点 M的正面投影，要求作出 M点的水平投影 m
解法一：利用直线上点的投影特性之 从属性
YWX
Z
YH
X O
n
m
解法二：利用直线上点的投影特性之 定比性直线的 迹点,直线与投影面的交点
X
V
H
O
A
B
a′
b′
b
a
N
n
n′
M
m′
m
n′
m′
n
求直线的迹点及其投影
1、作为投影面上的点，则它在该投影面上的投影与它本身重合，另一个投影落在投影轴上。
2、作为直线上的点，则它各个投影必在该直线的同面投影上。
m
M
N
迹点投影的特性（ 两重性 ）：
§ 3－ 5
两直线的相对位置两直线的相对位置
1、两直线 平行
2、两直线 相交
3、两直线 交错
A
B
C
D
a
b
c
d
a’
b’
c'
d’
V
H
一、两直线平行
2、反之，若两直线各组同名投影相互平行，则两直线在空间也必平行
1、两直线相互平行，则它们的同名投影也相互平行（ 平行性 ）
若两条一般位置直线的任意两组同名投影互相平行，则可判定这两条直线在空间互相平行。
a′
b′
a
b
c′
d′
c
d
AB//CD
X Yw
a′
b′
a
b
a?
b?
c′
d′
d
c
c?
d?
O
YH
Z
A
B
a
b
a′
b′
a?
b?
d′
c′
C
D
c?
d?
d
c
若两直线为某一投影面平行线，则需作出该投影面上的同名投影才能判定。
A
B
C
D
a (b) c (d)
ac=AB和 CD的距离两条平行的投影面垂直线例 3－ 7,已知直线 AB平行直线 CD，试完成直线 AB和 CD的三面投影
ac
b
b″
d
a″
c″
d″d′
a′c′
b′
二、两直线相交
A
B
a’
b’
ba
C
D
K
kc
d
k’
c’
d’
1、两直线相交，则它们的同名投影必相交，并且交点的投影符合点的投影规律
2、反之，若两直线的同名投影相交，且 投影的 交点符合点的投影规律,则两直线在空间必相交。
c′
a
bc
d
a′
b′
d′
e′
e
两条一般位置直线，只要任意两组同名投影相交，且交点符合点的投影规律，即可判定其在空间相交。
a′
b′
c′
d′
a
b
d
c d?
c?
b?
a?
两直线中若有一条为投影面平行线，则需作出在该投影面上的同名投影才能判定。
a′
b′
c′
d′
a
b
c
d
d?
c?
b?
a?
AB和 CD不相交AB和 CD相交例 3－ 8,已知三条直线 A,B,C，作直线 DE平行直线 C，并与直线 A,B交于 D,E点
a′
a
b′
b
c′
c
e′
d′
e
d
V
H
II
III
IV
1(2)
3′(4′)
A
B D
C
a
b
b′
a′
c
d
c′
d′
三、两直线交叉空间既不平行又不相交的两直线为交叉直线 (异面直线 )
a′
b′
b
a
d′
c′
d
c
1(2)
OX
3′(4′)
3
4
2
1
两交错直线的投影例 3－ 9,判定下列图中两直线的相对位置
a′
b′c′
d′
a b
c d
a′
b′
d′
c′
a
bc (d)
a′
b′
d′
c′
c
b
a
d
a′
b′
c′
d′
d
c
a
b
交错 相交 平行 交错
§ 3－ 6
一边平行于投影面的直角投影
H
A
B
C
a
b
c
α
α
a′ b′ c′
a
b
cα
两相交直线（或两交叉直线）同时平行于某一投影面时，其夹角在投影面上的投影反映夹角的真实大小相交（或交叉）成直角的两直线，只要其中 有一条直线平行于某投影面,则它们在该投影面上的投影仍反映直角。
Ａ
Ｂ
Ｃ
a
b
c
水平线反之，两直线之一是某投影面平行线，且两直线在该投影面上的同名投影互相垂直，则在空间两直线互相垂直
a′
a
b′
c′
b
c
m′
n′
e′ f′
e
f
n
m
a′
b′
c′
b
a
c f
f′
e
e′
m
n
m′
n′
两条互相垂直的直线，如果其中有一条是水平线，则它们的水平投影互相垂直两条互相垂直的直线，如果其中有一条是正平线，则它们的正面投影互相垂直
a
b
b′a′
例 3－ 10,过Ｂ点作直线ＢＣ垂直于ＡＢ,ＢＣ为任意长度
X O
a
b
c
b′
c′
a′
X O
c′
在 H面上反映直角有无穷多解例 3－ 11,确定点 A到正平线 CD的距离
c′
d′
c d
a′
a
b′
b
b0
ab0=所求距离例 3－ 12,作一直线与 AB和 CD相交，并与它们垂直
（即求两直线的 公垂线 ）
a′
b′
a
b
c′
d′
c (d)
e
f
f′ e′
1、直线的投影
2、直线对投影面的相对位置
3、直线上的点
4、两直线的相对位置
§ 3－ 1
直线的投影一、直线的投影特性
E
F G H
A
B
a
b
g he f
1、直线的投影，一般情况下仍是直线。
2、直线上任一点的投影，必在直线的投影上。
C
c
二、直线投影的作法
b
b’
B b”
1、作出直线上任意两点的投影
2、连接这两个点的同面投影
a
a”
a’
OX YW
YH
Z
a’
a
b
b’ b”
a”
例 3-1,已知点 A的 V,H投影和点 B的 H投影,B点的 Z坐标为 0，
求线段 AB的三面投影 。
注,直线的投影用粗实线表示
§ 3－ 2
直线对投影面的相对位置一、一般位置直线二、投影面的平行线三、投影面的垂直线一、一般位置直线与各投影面都 倾斜 的直线，
称为一般位置直线。
一般位置直线的投影和倾角
α
β γ
α为直线 AB与投影面
H的倾角
β为直线 AB与投影面
V的倾角
γ为直线 AB与投影面
W的倾角
一般位置直线的投影特性：
1、三个投影都倾斜于投影轴
2、三个投影均不反映实长和倾角二,投影面平行线平行于某一个投影面的直线,称为投影面平行线 。
平行于 H面的直线称为 水平线平行于 V面的直线称为 正平线平行于 W面的直线称为 侧平线水平线的投影
a′b′ //OX轴
a?b?//OY轴
ab 反映 AB的实长
A
B
a
b
a′ b′
a?
b?
β
γ
β
γ
水平线的投影特性
1、水平投影 ab反映实长，
并反映倾角 β,γ
2、正面投影 a′b′//OX轴，
侧面投影 a?b?//OYw轴?
a
b
a′ b′ a? b?
正平线的投影
c′d′反映 CD实长
C
D
c′
d′
c d
c?
d? c?d?//OZ轴
cd //OX轴
正平线的投影特性
1、正面投影 c′d′反映实长，并反映倾角 α,γ
2、水平投影 cd //OX轴，
侧面投影 c?d?//OZ轴
c′
d′
c d
d?
c?
侧平线的投影
e?f?反映 EF实长
e′f′//OZ轴
ef//OY轴
E
F
e
f
e′
f′
e?
f?
αβ β α
侧平线的投影特性,
1、侧面投影 e?f?反映实长，
并反映倾角 α,β
2、正面投影 e′f′//OZ轴，
水平投影 ef //OYH轴
e
f
e?
f?
e′
f′
投影面平行线的投影特性
1、直线在它所平行的投影面上的投影反映实长（即 显实性 ），并且这个投影与投影轴的夹角等于空间直线对相应投影面的倾角。
2、其他两个投影平行于相应的投影轴，并且小于实长。
三,投影面垂直线垂直于投影面的直线称为投影面垂直线垂直于 H面的直线称为 铅垂线垂直于 V面的直线称为 正垂线垂直于 W面的直线称为 侧垂线铅垂线的投影铅垂线的投影特性
1、水平投影积聚为一点
a(b)
2、正面投影 a’b’垂直于
ox轴，侧面投影 a”b”
垂直于 OYw轴，且都反映实长。
正垂线的投影
C
D
c’ (d’)
c
d
c”
d”
)(dc c?
c
d
d? 正垂线的投影特性：
1、正面投影积聚为一点 c’ (d’)
2、水平投影 cd垂直于 ox轴，
侧面投影 c”d”垂直于 oz轴，
且都反映实长。
侧垂线的投影
fe
E F
e′ f′
e?(f?)
e? f?
e f
)( fe
侧垂线的投影特性：
1、侧面投影积聚为一点 e” (f”)
2、正面投影 e’f’垂直于 OZ轴，
水平投影 ef垂直于 OYH轴，
且都反映实长投影面垂直线的投影特性
1,直线 在所垂直的投影面上积聚为一点
（ 即有 积聚性 ）
2,其它两个投影垂直于相应的投影轴,并且反映实长 （ 即有 显实性 ） 。
铅垂线正垂线正平线
d’ d”
例 3－ 2：判断 AB,CD,DE直线的空间位置，并找出其第三投影
e”
a’ c’
b’
e
d ca (b)
e’
a”
b”
c”
§ 3－ 3
一般位置直线的 实长 和 倾角
α
β γ
D C E
直线的实长与倾角的空间状况直角△ ABC中：
一直角边 AC=ab；
另一直角边 BC＝ Bb－ Aa，即 A,B两点离开 H面的高度差△ Z
1、过 A点作 AC//ab
2、过 b点作 bb0⊥ab,且 bb0=BC
3、连接 ab0
A
B
a
b
Cα
H
b0α
X O
a′
b′
a
b
m
b0
根据一般位置直线的投影求其实长和倾角 （ 直角三角形法 ）
α
ab0=AB
α等于 AB对投影面 H的倾角
a′
b′V
求 一般位置直线ＡＢ的实长及其对Ｖ面的倾角 β
y?
y?
X O
bo
a′
b′
a
b
求 一般位置直线ＡＢ的实长及其对Ｗ面的倾角 γ
x?
x?
b
oa′
b′
a
b
b″
a″
在投影图上求直线实长和倾角的方法
以直线在某个投影面上的投影为一直角边，
以直线的两端点到这个投影面的 距离差 为另一直角边，作一直角三角形。
此直角三角形的 斜边 就是所求的 实长,此斜边和投影的 夹角,就等于直线对该投影面的倾角 。
直角三角形法例 3－ 3,已知直线 CD对投影面 H的倾角 α＝ 30°,试补全 c′d′
OX
d
c
c′
30°
△ Z
△ Z
d′
d′
do
例 3－ 4,在已知直线上截取 AB等于定长 L
OX
a′
a
L
k
k′
m
k0 b
0
b′
b
α
§ 3－ 4
直线上的点点Ｃ在直线ＡＢ上
1,C点的投影在直线的同面投影上
2,ac:cb=a’c’:c’b’=a”c”:c”b”=AC:CB
a?
b?
c? c
c
a
b
b
a
C点在直线上,则Ｃ点的投影在直线的同面投影上,并符合点的投影规律 。
直线上点的投影特性
1.直线上一点的投影,必在直线的同面投影上 。 （ 从属性 ）
2.点分线段成某一比例,则该点的各个投影也分该线段的同面投影成相同的比例 。 （ 定比性 ）
点在直线上的判定一点的各投影若在直线的同名投上，且符合点的投影规律，则在空间，该点必在该直线上。
一般情况下，可由它们的任意两个投影来决定。
如直线平行于某投影面时，则还应观察直线所平行的那个投影面上的投影，才能判断该点是否在直线上。
例 3－ 5,判断点Ｍ是否在直线ＣＤ 上
m〞 不在 c〞 d〞 上,不 符合点在直线上的投影特性 （ 从属性 ）,故Ｍ点不在直线ＣＤ上 。
YWX
Z
YH
方法 2：
cm:md≠c ’m’:m’d’,不 符合点在直线上的投影特性 （ 定比性 ）,故Ｍ点不在直线ＣＤ上 。
YWX
Z
YH
X O
例 3－ 6,已知侧平线 CD上一点 M的正面投影，要求作出 M点的水平投影 m
解法一：利用直线上点的投影特性之 从属性
YWX
Z
YH
X O
n
m
解法二：利用直线上点的投影特性之 定比性直线的 迹点,直线与投影面的交点
X
V
H
O
A
B
a′
b′
b
a
N
n
n′
M
m′
m
n′
m′
n
求直线的迹点及其投影
1、作为投影面上的点，则它在该投影面上的投影与它本身重合，另一个投影落在投影轴上。
2、作为直线上的点，则它各个投影必在该直线的同面投影上。
m
M
N
迹点投影的特性（ 两重性 ）：
§ 3－ 5
两直线的相对位置两直线的相对位置
1、两直线 平行
2、两直线 相交
3、两直线 交错
A
B
C
D
a
b
c
d
a’
b’
c'
d’
V
H
一、两直线平行
2、反之，若两直线各组同名投影相互平行，则两直线在空间也必平行
1、两直线相互平行，则它们的同名投影也相互平行（ 平行性 ）
若两条一般位置直线的任意两组同名投影互相平行，则可判定这两条直线在空间互相平行。
a′
b′
a
b
c′
d′
c
d
AB//CD
X Yw
a′
b′
a
b
a?
b?
c′
d′
d
c
c?
d?
O
YH
Z
A
B
a
b
a′
b′
a?
b?
d′
c′
C
D
c?
d?
d
c
若两直线为某一投影面平行线，则需作出该投影面上的同名投影才能判定。
A
B
C
D
a (b) c (d)
ac=AB和 CD的距离两条平行的投影面垂直线例 3－ 7,已知直线 AB平行直线 CD，试完成直线 AB和 CD的三面投影
ac
b
b″
d
a″
c″
d″d′
a′c′
b′
二、两直线相交
A
B
a’
b’
ba
C
D
K
kc
d
k’
c’
d’
1、两直线相交，则它们的同名投影必相交，并且交点的投影符合点的投影规律
2、反之，若两直线的同名投影相交，且 投影的 交点符合点的投影规律,则两直线在空间必相交。
c′
a
bc
d
a′
b′
d′
e′
e
两条一般位置直线，只要任意两组同名投影相交，且交点符合点的投影规律，即可判定其在空间相交。
a′
b′
c′
d′
a
b
d
c d?
c?
b?
a?
两直线中若有一条为投影面平行线，则需作出在该投影面上的同名投影才能判定。
a′
b′
c′
d′
a
b
c
d
d?
c?
b?
a?
AB和 CD不相交AB和 CD相交例 3－ 8,已知三条直线 A,B,C，作直线 DE平行直线 C，并与直线 A,B交于 D,E点
a′
a
b′
b
c′
c
e′
d′
e
d
V
H
II
III
IV
1(2)
3′(4′)
A
B D
C
a
b
b′
a′
c
d
c′
d′
三、两直线交叉空间既不平行又不相交的两直线为交叉直线 (异面直线 )
a′
b′
b
a
d′
c′
d
c
1(2)
OX
3′(4′)
3
4
2
1
两交错直线的投影例 3－ 9,判定下列图中两直线的相对位置
a′
b′c′
d′
a b
c d
a′
b′
d′
c′
a
bc (d)
a′
b′
d′
c′
c
b
a
d
a′
b′
c′
d′
d
c
a
b
交错 相交 平行 交错
§ 3－ 6
一边平行于投影面的直角投影
H
A
B
C
a
b
c
α
α
a′ b′ c′
a
b
cα
两相交直线（或两交叉直线）同时平行于某一投影面时，其夹角在投影面上的投影反映夹角的真实大小相交（或交叉）成直角的两直线，只要其中 有一条直线平行于某投影面,则它们在该投影面上的投影仍反映直角。
Ａ
Ｂ
Ｃ
a
b
c
水平线反之，两直线之一是某投影面平行线，且两直线在该投影面上的同名投影互相垂直，则在空间两直线互相垂直
a′
a
b′
c′
b
c
m′
n′
e′ f′
e
f
n
m
a′
b′
c′
b
a
c f
f′
e
e′
m
n
m′
n′
两条互相垂直的直线，如果其中有一条是水平线，则它们的水平投影互相垂直两条互相垂直的直线，如果其中有一条是正平线，则它们的正面投影互相垂直
a
b
b′a′
例 3－ 10,过Ｂ点作直线ＢＣ垂直于ＡＢ,ＢＣ为任意长度
X O
a
b
c
b′
c′
a′
X O
c′
在 H面上反映直角有无穷多解例 3－ 11,确定点 A到正平线 CD的距离
c′
d′
c d
a′
a
b′
b
b0
ab0=所求距离例 3－ 12,作一直线与 AB和 CD相交，并与它们垂直
（即求两直线的 公垂线 ）
a′
b′
a
b
c′
d′
c (d)
e
f
f′ e′
