第四章平 面
§ 4－１
平面的投影一、平面的投影性质一般情况下，平面图形的投影仍是一个类似的图形，但形状、大小可能变化。
P
p
q
D C
BA
d c
ba
H
二、用几何元素表示平面
１,不在同一直线上的三点
２,一直线及直线外一点
３,相交两直线
４,平行两直线
5、平面图形
1.不在同一直线上的三点
Ｘ Ｏ
a′
a
b′
b
c
c′
2.一直线及直线外一点
Ｘ Ｏ
a′
a
b′
b
c
c′
３,相交两直线
Ｘ Ｏ
a′
a
b′
b
c
c′
4.平行两直线
Ｘ Ｏ
a′
a
b′
b
c
c′
5.平面图形
Ｘ Ｏ
a′
a
b′
b
c
c′
a′
b′
c′
a
c
b
b?
a?
c?
例 4－ 1：已知平面的两面投影，求第三面投影例 4－ 2：已知平面的两投影，求第三投影三、用迹线表示平面
迹线,平面与投影面的 交线水平迹线（ H面迹线）：平面与 H面的交线正面迹线（ V面迹线）：平面与 V面的交线侧面迹线（ W面迹线）：平面与 W面的交线
PV PW
PH
水平迹线 PH
正面迹线 PV
侧面迹线 PW
平面迹线
P
PZ
PX PY
迹线表示平面的投影图
O Y
1
Z
X
Y
PV
PW
PH
PZ
PX PY
V
H
PX
M1
M2
N1
N2
PH
PV
作平面的迹线可归结为作该平面上两条直线的迹点如何作平面的迹线？
§ 4－ 2
平面上的点和直线平面上的点一点位于平面内一直线上，则该点位于平面上。
b′
c′
b
c
m′ n′
m n
a′
a
直线在平面上的判定规则
1、一直线若通过一平面上的 两点,则此直线必位于该平面上。
2、一直线若通过一平面上的 一点,且 平行于此平面上的一直线，则此直线必位于该平面上。
a′
b′
c′ a′
b′
c′
a
b
ca
b
c
m′ n′
m n
m′
m
1、一直线通过平面上的两点 2、一直线通过平面上一点，
且平行于平面上一直线作平面上的点的投影方法
1、先在已知平面内作一条 辅助直线
2、再在此辅助直线上 定点
Ｏ YW
c′
a
Ｘ
YＨ
Ｚ
c
b
a′
b′
a〞
b〞
c〞
m
m〞m′
例 4-3：已知点Ｍ在平面三角形ＡＢＣ上，作出Ｍ点的三面投影
d′
d
d?
a′
c′ b′
a
b
c
f′
例 4-4：已知△ＡＢＣ平面，并知该面上一点 F的 V面投影 f′，求 f
g′
g
f
1′
a′
d′
e′
g′
f′
h′
c′
2′
b′
d
e f
c1
a
g
2
h
b
例 4-5：求作平面梯形 ABCD上的梯形 EFGH的水平投影例 4－ 6,已知平面四边形 ABCD的水平投影 abcd和正面投影 a?b?d?，
试完成四边形的正面投影。
§ 4－ 3
平面对投影面的相对位置一、一般位置平面二、投影面垂直面三、投影面平行面一、一般位置平面对三个投影面都 倾斜 的平面称为 一般位置平面
c
ba
a′ b′
c′
b″
a″
c″
A
C
B
一般位置平面的投影投影为空间平面的类似形
Ｏ Y
W
c′
a
Ｘ
YＨ
Ｚ
一般位置平面的投影
c
b
a′
b′
a〞
b〞
c〞
二、投影面垂直面垂直于一个投影面的平面称为投影面垂直面垂直于水平投影面的平面叫做 铅垂面垂直于正立投影面的平面叫做 正垂面垂直于侧立投影面的平面叫做 侧垂面铅垂面的投影
p′
p?
p
P
铅垂面的投影特性：
1、水平投影 p积聚成一直线，并反映倾角 β,γ
2、正面投影 p′和侧面投影 p?不反映实形
γβ
正垂面的投影
Ｑ
q′ q″
q
q
q″q′
正垂面的投影特性：
1、正面投影 q′积聚成直线，
并反映倾角 α,γ
2、水平投影 q和侧面投影
q?不反映实形
γα
侧垂面的投影
Ｒ
r′ r″
r
r?r′
r
侧垂面的投影特性：
1、侧面投影 r?积聚成直线，并反映倾角 α,β
2、水平投影 r和正面投影
r′不反映实形
αβ
投影面垂直面的投影特性
1、在它所垂直的投影面上的投影积聚为一直线（ 积聚性 ），此直线与投影轴的夹角等于空间平面与相应投影面的夹角。
2、在另外两个投影面上的投影不反映实形，
且变小。
三、投影面平行面平行于一个投影面的平面称为投影面平行面平行于水平投影面的平面叫做 水平面平行于正立投影面的平面叫做 正平面平行于侧立投影面的平面叫做 侧平面水平面的投影
p
P p″
p′
p′
p
p″
水平面的投影特性：
1、水平投影 p反映实形
2、正面投影 p′有积聚性，
且 p′//OX轴侧面投影 p?有积聚性，且
p?//OYW轴正平面的投影
Q
q′
q
q?
q′ q?
q
正平面的投影特性：
1、正面投影 q′反映实形
2、水平投影 q有积聚性，
且 q//OX轴侧面投影 q?有积聚性，且
q?//OZ轴
R
r′
r″
r
侧平面的投影
r′ r″
r
侧平面的投影特性：
1、侧面投影 r?反映实形
2、正面投影 r′有积聚性，
且 r′//OZ轴水平投影 r有积聚性，且
r//OYH轴投影面平行面的投影特性
1、平面在它所平行的投影面上的投影反映实形（ 显实性 ）
2、平面在另外两个投影面上的投影积聚成为直线（ 积聚性 ），并且分别平行于相应的投影轴。
OX
PH
OX
PV
铅垂面 正垂面
OX
PH
正平面
OX
PV
水平面垂直面的表示法（用迹线表示）
1"
3"
2
2"
Ⅱ Ⅲ
水平面侧平面铅垂面例 4－ 7：判断图中所标各面的空间位置，并找出它们的三面投影例 4－ 8：正方形 ABCD为 H面垂直面，已知其对角线 AC的两面投影，求该正方形的两面投影和倾角。
a′ c′
a
c
b′
d′
b(d)
分析：
1、由投影可知 AC为水平线
2、因 BD和 AC垂直，且正方形垂直于 H面，故 BD为铅垂线
3,b′ d′=BD=AC= ac
β
γ
思考：对角线 AC和 BD对投影面的相对位置关系？
§ 4－４
平面内的特殊直线一、平面内的投影面平行线
１,平面内的水平线
２,平面内的正平线
３,平面内的侧平线
PV PW
PH
平面内的水平线平面内的正平线平面内的侧平线平面内的投影面平行线平面内的水平线 平面内的正平线例 4－ 9：在平面内作一条距 H面为 20mm的水平线。
例 4－ 10：在水平面内作一条距Ｖ面为 20mm的正平线。
二、平面内的最大斜度线
平面内垂直于投影面的平行线的直线称为平面内的 最大斜度线
平面内垂直于水平线的直线叫做对 H面的最大斜度线
平面内垂直于正平线的直线叫做对 V面的最大斜度线
平面内垂直于侧平线的直线叫做对 W面的最大斜度线
Ｂ 1
Ｂ PH
Ｍ
Ｎ
1?
A
最大斜度线 AB对 H面的倾角 α＝平面 P对 H面的倾角平面内的最大斜度线
a
1.在平面内作该投影面的平行线
2.作该投影面的最大斜度线
3.用直角三角形法求最大斜度线对该投影面的倾角求一般位置平面对某投影面的倾角
a′
b′
c′
a
b
c
OX
例 4－ 11：求三角形 ABC对 H面的倾角
m′
m·
d
d′
α
b0
a′
b′
c′
a
b
c
OX
例 4－ 12：求三角形 ABC对 V面的倾角
n
n′·
e′
e
b0
β
例 4－ 13：已知正方形 ABCD平面的前下方一边 AB的投影，且平面的倾角 α ＝ 30°,完成此正方形的投影。
a′ b′
a
b
l
30°
c
d L为对 H面的最大斜度线，故 L对 H 面的倾角等于 30°
d′ c′
△
Z
§ 4－１
平面的投影一、平面的投影性质一般情况下，平面图形的投影仍是一个类似的图形，但形状、大小可能变化。
P
p
q
D C
BA
d c
ba
H
二、用几何元素表示平面
１,不在同一直线上的三点
２,一直线及直线外一点
３,相交两直线
４,平行两直线
5、平面图形
1.不在同一直线上的三点
Ｘ Ｏ
a′
a
b′
b
c
c′
2.一直线及直线外一点
Ｘ Ｏ
a′
a
b′
b
c
c′
３,相交两直线
Ｘ Ｏ
a′
a
b′
b
c
c′
4.平行两直线
Ｘ Ｏ
a′
a
b′
b
c
c′
5.平面图形
Ｘ Ｏ
a′
a
b′
b
c
c′
a′
b′
c′
a
c
b
b?
a?
c?
例 4－ 1：已知平面的两面投影，求第三面投影例 4－ 2：已知平面的两投影，求第三投影三、用迹线表示平面
迹线,平面与投影面的 交线水平迹线（ H面迹线）：平面与 H面的交线正面迹线（ V面迹线）：平面与 V面的交线侧面迹线（ W面迹线）：平面与 W面的交线
PV PW
PH
水平迹线 PH
正面迹线 PV
侧面迹线 PW
平面迹线
P
PZ
PX PY
迹线表示平面的投影图
O Y
1
Z
X
Y
PV
PW
PH
PZ
PX PY
V
H
PX
M1
M2
N1
N2
PH
PV
作平面的迹线可归结为作该平面上两条直线的迹点如何作平面的迹线？
§ 4－ 2
平面上的点和直线平面上的点一点位于平面内一直线上，则该点位于平面上。
b′
c′
b
c
m′ n′
m n
a′
a
直线在平面上的判定规则
1、一直线若通过一平面上的 两点,则此直线必位于该平面上。
2、一直线若通过一平面上的 一点,且 平行于此平面上的一直线，则此直线必位于该平面上。
a′
b′
c′ a′
b′
c′
a
b
ca
b
c
m′ n′
m n
m′
m
1、一直线通过平面上的两点 2、一直线通过平面上一点，
且平行于平面上一直线作平面上的点的投影方法
1、先在已知平面内作一条 辅助直线
2、再在此辅助直线上 定点
Ｏ YW
c′
a
Ｘ
YＨ
Ｚ
c
b
a′
b′
a〞
b〞
c〞
m
m〞m′
例 4-3：已知点Ｍ在平面三角形ＡＢＣ上，作出Ｍ点的三面投影
d′
d
d?
a′
c′ b′
a
b
c
f′
例 4-4：已知△ＡＢＣ平面，并知该面上一点 F的 V面投影 f′，求 f
g′
g
f
1′
a′
d′
e′
g′
f′
h′
c′
2′
b′
d
e f
c1
a
g
2
h
b
例 4-5：求作平面梯形 ABCD上的梯形 EFGH的水平投影例 4－ 6,已知平面四边形 ABCD的水平投影 abcd和正面投影 a?b?d?，
试完成四边形的正面投影。
§ 4－ 3
平面对投影面的相对位置一、一般位置平面二、投影面垂直面三、投影面平行面一、一般位置平面对三个投影面都 倾斜 的平面称为 一般位置平面
c
ba
a′ b′
c′
b″
a″
c″
A
C
B
一般位置平面的投影投影为空间平面的类似形
Ｏ Y
W
c′
a
Ｘ
YＨ
Ｚ
一般位置平面的投影
c
b
a′
b′
a〞
b〞
c〞
二、投影面垂直面垂直于一个投影面的平面称为投影面垂直面垂直于水平投影面的平面叫做 铅垂面垂直于正立投影面的平面叫做 正垂面垂直于侧立投影面的平面叫做 侧垂面铅垂面的投影
p′
p?
p
P
铅垂面的投影特性：
1、水平投影 p积聚成一直线，并反映倾角 β,γ
2、正面投影 p′和侧面投影 p?不反映实形
γβ
正垂面的投影
Ｑ
q′ q″
q
q
q″q′
正垂面的投影特性：
1、正面投影 q′积聚成直线，
并反映倾角 α,γ
2、水平投影 q和侧面投影
q?不反映实形
γα
侧垂面的投影
Ｒ
r′ r″
r
r?r′
r
侧垂面的投影特性：
1、侧面投影 r?积聚成直线，并反映倾角 α,β
2、水平投影 r和正面投影
r′不反映实形
αβ
投影面垂直面的投影特性
1、在它所垂直的投影面上的投影积聚为一直线（ 积聚性 ），此直线与投影轴的夹角等于空间平面与相应投影面的夹角。
2、在另外两个投影面上的投影不反映实形，
且变小。
三、投影面平行面平行于一个投影面的平面称为投影面平行面平行于水平投影面的平面叫做 水平面平行于正立投影面的平面叫做 正平面平行于侧立投影面的平面叫做 侧平面水平面的投影
p
P p″
p′
p′
p
p″
水平面的投影特性：
1、水平投影 p反映实形
2、正面投影 p′有积聚性，
且 p′//OX轴侧面投影 p?有积聚性，且
p?//OYW轴正平面的投影
Q
q′
q
q?
q′ q?
q
正平面的投影特性：
1、正面投影 q′反映实形
2、水平投影 q有积聚性，
且 q//OX轴侧面投影 q?有积聚性，且
q?//OZ轴
R
r′
r″
r
侧平面的投影
r′ r″
r
侧平面的投影特性：
1、侧面投影 r?反映实形
2、正面投影 r′有积聚性，
且 r′//OZ轴水平投影 r有积聚性，且
r//OYH轴投影面平行面的投影特性
1、平面在它所平行的投影面上的投影反映实形（ 显实性 ）
2、平面在另外两个投影面上的投影积聚成为直线（ 积聚性 ），并且分别平行于相应的投影轴。
OX
PH
OX
PV
铅垂面 正垂面
OX
PH
正平面
OX
PV
水平面垂直面的表示法（用迹线表示）
1"
3"
2
2"
Ⅱ Ⅲ
水平面侧平面铅垂面例 4－ 7：判断图中所标各面的空间位置，并找出它们的三面投影例 4－ 8：正方形 ABCD为 H面垂直面，已知其对角线 AC的两面投影，求该正方形的两面投影和倾角。
a′ c′
a
c
b′
d′
b(d)
分析：
1、由投影可知 AC为水平线
2、因 BD和 AC垂直，且正方形垂直于 H面，故 BD为铅垂线
3,b′ d′=BD=AC= ac
β
γ
思考：对角线 AC和 BD对投影面的相对位置关系？
§ 4－４
平面内的特殊直线一、平面内的投影面平行线
１,平面内的水平线
２,平面内的正平线
３,平面内的侧平线
PV PW
PH
平面内的水平线平面内的正平线平面内的侧平线平面内的投影面平行线平面内的水平线 平面内的正平线例 4－ 9：在平面内作一条距 H面为 20mm的水平线。
例 4－ 10：在水平面内作一条距Ｖ面为 20mm的正平线。
二、平面内的最大斜度线
平面内垂直于投影面的平行线的直线称为平面内的 最大斜度线
平面内垂直于水平线的直线叫做对 H面的最大斜度线
平面内垂直于正平线的直线叫做对 V面的最大斜度线
平面内垂直于侧平线的直线叫做对 W面的最大斜度线
Ｂ 1
Ｂ PH
Ｍ
Ｎ
1?
A
最大斜度线 AB对 H面的倾角 α＝平面 P对 H面的倾角平面内的最大斜度线
a
1.在平面内作该投影面的平行线
2.作该投影面的最大斜度线
3.用直角三角形法求最大斜度线对该投影面的倾角求一般位置平面对某投影面的倾角
a′
b′
c′
a
b
c
OX
例 4－ 11：求三角形 ABC对 H面的倾角
m′
m·
d
d′
α
b0
a′
b′
c′
a
b
c
OX
例 4－ 12：求三角形 ABC对 V面的倾角
n
n′·
e′
e
b0
β
例 4－ 13：已知正方形 ABCD平面的前下方一边 AB的投影，且平面的倾角 α ＝ 30°,完成此正方形的投影。
a′ b′
a
b
l
30°
c
d L为对 H面的最大斜度线，故 L对 H 面的倾角等于 30°
d′ c′
△
Z
